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曆二

◎曆二 ○授時曆議下交食

曆法疏密,驗在交食,然推步之術難得其密,加時有早晚,食分有淺深,取其密合,不容偶然。推演加時,必本於躔離朓朒;考求食分,必本於距交遠近;茍入氣盈縮、入轉遲疾未得其正,則合朔不失之先,必失之後。合朔失之先後,則虧食時刻,其能密乎?日月俱東行,而日遲月疾,月追及日,是為一會。交值之道,有陽曆陰曆;交會之期,有中前中後;加以地形南北東西之不同,人目高下邪直之各異,此食分多寡,理不得一者也。今合朔既正,則加時無早晚之差;氣刻適中,則食分無強弱之失;推而上之,自《詩》、《書》、《春秋》及三國以來所載虧食,無不合焉者。合於既往,則行之悠久,自可無弊矣。

《詩》、《書》所載日食二事

《書·胤征》:「惟仲康肇位四海。乃季秋月朔,辰弗集於房。」

今按《大衍曆》作仲康即位之五年癸巳,距辛巳三千四百八年,九月庚戌朔,泛交二十六日五千四百二十一分入食限。

《詩·小雅·十月之交》,大夫刺幽王也。「十月之交,朔日辛卯,日有食之,亦孔之醜。」

今按梁太史令虞絪云:十月辛卯朔,在幽王六年乙丑朔。《大衍》亦以為然。以《授時曆》推之,是歲十月辛卯朔,泛交十四日五千七百九分入食限。

《春秋》日食三十七事隱公三年辛酉歲,春王二月己巳,日有食之。

杜預云:「不書朔,史官失之。」《公羊》云:「日食或言朔或不言朔,或日或不日,或失之前或失之後,失之前者朔在前也,失之後者朔在後也。」《穀梁》云:「言日不言朔,食晦日也。」姜岌校《春秋》日食云:「是歲二月己亥朔,無己巳,似失一閏。

三月己巳朔,去交分入食限。」《大衍》與姜岌合。今《授時曆》推之,是歲三月己巳朔,加時在晝,去交分二十六日六千六百三十一入食限。桓公三年壬申歲,七月壬辰朔,日有食之。

姜岌以為是歲七月癸亥朔,無壬辰,亦失閏。其八月壬辰朔,去交分入食限。《大衍》與姜岌合。以今曆推之,是歲八月壬辰朔,加時在晝,食六分一十四秒。

桓公十七年丙戌歲,冬十月朔,日有食之。

《左氏》云:「不書日,史官失之。」《大衍》推得在十一月交分入食限,失閏也。以今曆推之,是歲十一月加時在晝,交分二十六日八千五百六十入食限。

莊公十八年乙巳歲,春王三月,日有食之。

《穀梁》云:「不言日,不言朔,夜食也。」《大衍》推是歲五月朔,交分入食限,三月不應食。以今曆推之,是歲三月朔,不入食限。五月壬子朔,加時在晝,交分入食限,蓋誤五為三。

莊公二十五年壬子歲,六月辛未朔,日有食之。

《大衍》推之,七月辛未朔,交分入食限。以今曆推之,是歲七月辛未朔,加時在晝,交分二十七日四百八十九入食限,失閏也。莊公二十六年癸丑歲,冬十有二月癸亥朔,日有食之。

今曆推之,是歲十二月癸亥朔,加時在晝,交分十四日三千五百五十一入食限。莊公三十年丁巳歲,九月庚午朔,日有食之。

今曆推之,是歲十月庚午朔,加時在晝,去交分十四日四千六百九十六入食限,失閏也。《大衍》同。僖公十二年癸酉歲,春王三月庚午朔,日有食之。

姜氏云:「三月朔,交不應食,在誤條;其五月庚午朔,去交分入食限。」《大衍》同。今曆推之,是歲五月庚午朔,加時在晝,去交分二十六日五千一百九十二入食限,蓋五誤為三。

僖公十五年丙子歲,夏五月,日有食之。

《左氏》云:「不書朔與日,史官失之也。」《大衍》推四月癸丑朔,去交分入食限,差一閏。今曆推之,是歲四月癸丑朔,去交分一日一千三百一十六入食限。

文公元年乙未歲,二月癸亥朔,日有食之。

姜氏云:「二月甲午朔,無癸亥。三月癸亥朔,入食限。」《大衍》亦以為然。今曆推之,是歲三月癸亥朔,加時在晝,去交分二十六日五千九百十七分入食限,失閏也。

文公十五年己酉歲,六月辛丑朔,日有食之。

今曆推之,是歲六月辛丑朔,加時在晝,交分二十六日四千四百七十三分入食限。宣公八年庚申歲,秋七月甲子,日有食之。

杜預以七月甲子晦食。姜氏云:「十月甲子朔,食。」《大衍》同。今曆推之,是歲十月甲子朔,加時在晝,食九分八十一秒,蓋十誤為七。宣公十年壬戌歲,夏四月丙辰,日有食之。

今曆推之,是月丙辰朔,加時在晝,交分十四日九百六十八分入食限。宣公十七年己巳歲,六月癸卯,日有食之。

姜氏云:「六月甲辰朔,不應食。」《大衍》云:「是年五月在交限,六月甲辰朔,交分已過食限,蓋誤。」今曆推之,是歲五月乙亥朔,入食限。六月甲辰朔,泛交二日已過食限,《大衍》為是。

成公十六年丙戌歲,六月丙寅朔,日有食之。

今曆推之,是歲六月丙寅朔,加時在晝,去交分二十六日九千八百三十五分入食限。成公十七年丁亥歲,十有二月丁巳朔,日有食之。

姜氏云:「十二月戊子朔,無丁巳,似失閏。」《大衍》推十一月丁巳朔,交分入食限。今曆推之,是歲十一月丁巳朔,加時在晝,交分十四日二千八百九十七分入食限,與《大衍》同。

襄公十四年壬寅歲,二月乙未朔,日有食之。

今曆推之,是歲二月乙未朔,加時在晝,交分十四日一千三百九十三分入食限也。襄公十五年癸卯歲,秋八月丁巳朔,日有食之。

姜氏云:「七月丁巳朔,食,失閏也。」《大衍》同。今曆推之,是歲七月丁巳朔,加時在晝,去交分二十六日三千三百九十四分入食限。襄公二十年戊申歲,冬十月丙辰朔,日有食之。

今曆推之,是歲十月丙辰朔,加時在晝,交分十三日七千六百分入食限。襄公二十一年己酉歲,秋七月庚戌朔,日有食之。

今曆推之,是月庚戌朔,加時在晝,交分十四日三千六百八十二分入食限。冬十月庚辰朔,日有食之。

姜氏云:「比月而食,宜在誤條。」《大衍》亦以為然。今曆推之,十月已過交限,不應頻食,姜說為是。襄公二十三年辛亥歲,春王二月癸酉朔,日有食之。

今曆推之,是月癸酉朔,加時在晝,交分二十六日五千七百三分入食限。襄公二十四年壬子歲,秋七月甲子朔,日有食之,既。今曆推之,是月甲子朔,加時在晝,日食九分六秒。

八月癸巳朔,日有食之。

《漢志》:「董仲舒以為比食又既。」《大衍》云:「不應頻食,在誤條。」今曆推之,立分不葉,不應食,《大衍》說是。襄公二十七年乙卯歲,冬十有二月乙亥朔,日有食之。

姜氏云:「十一月乙亥朔,交分入限,應食。」《大衍》同。今曆推之,是歲十一月乙亥朔,加時在晝,交分初日八百二十五分入食限。昭公七年丙寅歲,夏四月甲辰朔,日有食之。

今曆推之,是月甲辰朔,加時在晝,交分二十七日二百九十八分入食限。昭公十五年甲戌歲,六月丁巳朔,日有食之。

《大衍》推五月丁巳朔,食,失一閏。今曆推之,是歲五月丁巳朔,加時在晝,交分十三日九千五百六十七分入食限。昭公十七年丙子歲,夏六月甲戌朔,日有食之。

姜氏云:「六月乙巳朔,交分不葉,不應食,當誤。」《大衍》云:「當在九月朔,六月不應食,姜氏是也。」今曆推之,是歲九月甲戌朔,加時在晝,交分二十六日七千六百五十分入食限。

昭公二十一年庚辰歲,七月壬午朔,日有食之。

今曆推之,是月壬午朔,加時在晝,交分二十六日八千七百九十四分入食限。昭公二十二年辛巳歲,冬十有二月癸酉朔,日有食之。

今曆推之,是月癸酉朔,交分十四日一千八百入食限。杜預以長曆推之,當為癸卯,非是。昭公二十四年癸未歲,夏五月乙未朔,日有食之。

今曆推之,是月乙未朔,加時在晝,交分二十六日三千八百三十九分入食限。昭公三十一年庚寅歲,十有二月辛亥朔,日有食之。

今曆推之,是月辛亥朔,加時在晝,交分二十六日六千一百二十八分入食限。定公五年丙申歲,春三月辛亥朔,日有食之。

今曆推之,三月辛卯朔,加時在晝,交分十四日三百三十四分入食限。定公十二年癸卯歲,十一月丙寅朔,日有食之。

今曆推之,是歲十月丙寅朔,加時在晝,交分十四日二千六百二十二分入食限,蓋失一閏。定公十五年丙午歲,八月庚辰朔,日有食之。

今曆推之,是月庚辰朔,加時在晝,交分十三日七千六百八十五分入食限。哀公十四年庚申歲,夏五月庚申朔,日有食之。

今曆推之,是月庚申朔,加時在晝,交分二十六日九千二百一分入食限。

右《詩》、《書》所載日食二事,《春秋》二百四十二年間,凡三十有七事,以《授時曆》推之,惟襄公二十一年十月庚辰朔及二十四年八月癸巳朔不入食限,蓋自有曆以來,無比月而食之理。其三十五食,食皆在朔,《經》或不書日,不書朔,《公羊》、《穀梁》以為食晦,二者非;《左氏》以為史官失之者,得之。其間或差一日二日者,蓋由古曆疏闊,置閏失當之弊,姜岌、一行已有定說。孔子作書,但因時曆以書,非大義所關,故不必致詳也。

三國以來日食蜀章武元年辛丑,六月戊辰晦,時加未。《授時曆》,食甚未五刻。《大明曆》,食甚未五刻。

右皆親。二曆推戊辰皆七月朔。魏黃初三年壬寅,十一月庚申晦食,時加西南維。《授時曆》,食甚申二刻。《大明曆》,食甚申三刻。

右《授時》親,《大明》次親。二曆推庚申皆十二月朔。梁中大通五年癸丑,四月己未朔食,在丙。《授時曆》,虧初午四刻。《大明曆》,虧初午四刻。

右皆親。太清元年丁卯,正月己亥朔食,時加申。《授時曆》,食甚申一刻。《大明曆》,食甚申三刻。

右《授時》次親,《大明》親。陳太建八年丙申,六月戊申朔食,於卯甲間。《授時曆》,食甚卯二刻。《大明曆》,食甚卯四刻。

右《授時》次親,《大明》疏遠。唐永隆元年庚辰,十一月壬申朔食,巳四刻甚。《授時曆》,食甚巳七刻。《大明曆》,食甚巳五刻。

右《授時》疏,《大明》親。開耀元年辛巳,十月丙寅朔食,巳初甚。《授時曆》,食甚辰正三刻。《大明曆》,食甚辰正一刻。

右《授時》親,《大明》疏。嗣聖八年辛卯,四月壬寅朔食,卯二刻甚。《授時曆》,食甚寅八刻。《大明曆》,食甚卯初刻。

右皆次親。十七年庚子,五月己酉朔食,申初甚。《授時曆》,食甚申初二刻。《大明曆》,食甚申正初刻。

右《授時》次親,《大明》疏遠。十九年壬寅,九月乙丑朔食,申三刻甚。《授時曆》,食甚申一刻。《大明曆》,食甚申四刻。

右《授時》次親,《大明》親。景龍元年丁未,六月丁卯朔食,午正甚。《授時曆》,食甚午正二刻。《大明曆》,食甚未初初刻。

右《授時》次親,《大明》疏遠。開元九年辛酉,九月乙巳朔食,午正後三刻甚。《授時曆》,食甚午正一刻。《大明曆》,食甚午正二刻。

右《授時》次親,《大明》親。宋慶曆六年丙戌,三月辛巳朔食,申正三刻復滿。《授時曆》,復滿申正三刻。《大明曆》,復滿申正一刻。

右《授時》密合,《大明》次親。皇祐元年己丑,正月甲午朔食,午正甚。《授時曆》,食甚午初三刻。《大明曆》,食甚午正初刻。

右《授時》親,《大明》密合。五年癸巳歲,十月丙申朔食,未一刻甚。《授時曆》,食甚未三刻。《大明曆》,食甚未初刻。

右《授時》次親,《大明》親。至和元年甲午,四月甲午朔食,申正一刻甚。《授時曆》,食甚申正一刻。《大明曆》,食甚申正二刻。

右《授時》密合,《大明》親。嘉祐四年己亥,正月丙申朔食,未三刻復滿。《授時曆》,復滿未初二刻。《大明曆》,復滿未初二刻。

右皆親。六年辛丑,六月壬子朔食,未初虧初。《授時曆》,虧初未初刻。《大明曆》,虧初未一刻。

右《授時》親,《大明》次親。治平三年丙午,九月壬子朔食,未二刻甚。《授時曆》,食甚未三刻。《大明曆》,食甚未四刻。

右《授時》親,《大明》次親。熙寧二年己酉,七月乙丑朔食,辰三刻甚。《授時曆》,食甚辰五刻。《大明曆》,食甚辰四刻。

右《授時》次親,《大明》親。元豐三年庚申,十一月己丑朔食,巳六刻甚。《授時曆》,食甚巳五刻。《大明曆》,食甚巳二刻。

右《授時》親,《大明》疏遠。紹聖元年甲戌,三月壬申朔食,未六刻甚。《授時曆》,食甚未五刻。《大明曆》,食甚未五刻。

右皆親。

大觀元年丁亥,十一月壬子朔食,未二刻虧初,未八刻甚,申六刻復滿。《授時曆》,虧初未三刻,食甚申初刻,復滿申六刻。《大明曆》,虧初未初刻,食甚未七刻,復滿申五刻。

右《授時曆》虧初、食甚皆親,復滿密合;《大明》虧初次親,食甚、復滿皆親。紹興三十二年壬午,正月戊辰朔食,申初虧初。《授時曆》,虧初申一刻。

《大明曆》,虧初未七刻。右皆親。淳熙十年癸卯,十一月壬戌朔食,巳正二刻甚。《授時曆》,食甚巳正二刻。

《大明曆》,食甚巳正一刻。右《授時》密合,《大明》親。慶元元年乙卯,三月丙戌朔食,午初二刻虧初。《授時曆》,虧初午初一刻。

《大明曆》,虧初午初二刻。右《授時》虧初親,《大明》虧初密合。嘉泰二年壬戌,五月甲辰朔食,午初一刻虧初。《授時曆》,虧初巳正三刻。

《大明曆》,虧初午初三刻。右皆親。嘉定九年丙子,二月甲申朔食,申正四刻甚。《授時曆》,食甚申正三刻。

《大明曆》,食甚申正二刻。右《授時》親,《大明》次親。淳祐三年癸卯,三月丁丑朔食,巳初二刻甚。《授時曆》,食甚巳初一刻。

《大明曆》,食甚巳初初刻。右《授時》親,《大明》次親。本朝中統元年庚申,三月戊辰朔食,申正二刻甚。《授時曆》,食甚申正一刻。

《大明曆》,食甚申初三刻。右《授時》親,《大明》疏。

至元十四年丁丑,十月丙辰朔食,午正初刻虧初,未初一刻食甚,未正二刻復滿。《授時曆》,虧初午正初刻,食甚未初一刻,復滿未正一刻。《大明曆》,虧初午正三刻,食甚未正一刻,復滿申初二刻。

右《授時》虧初、食甚皆密合,復滿親;《大明》虧初疏,食甚、復滿皆疏遠。

前代考古交食,同刻者為密合,相較一刻為親,二刻為次親,三刻為疏,四刻為疏遠。今《授時》、《大明》校古日食,上自後漢章武元年,下訖本朝,計三十五事。密合者,《授時》七,《大明》二。親者,《授時》十有七,《大明》十有六。次親者,《授時》十,《大明》八。疏者,《授時》一,《大明》三。疏遠者,《授時》無,《大明》六。

前代月食

宋元嘉十一年甲戌,七月丙子望食,四更二唱虧初,四更四唱食既。《授時曆》,虧初四更三點,食既在四更四點。《大明曆》,虧初在四更二點,食既在四更五點。

右《授時》虧初親,食既密合;《大明》虧初密合,食既親。十三年丙子,十二月癸巳望食,一更三唱食既。《授時曆》,食既在一更三點。《大明曆》,食既在一更四點。

右《授時》密合,《大明》親。十四年丁丑,十一月丁亥望食,二更四唱虧初,三更一唱食既。《授時曆》,虧初在二更五點,食既在三更二點。《大明曆》,虧初在二更四點,食既在三更二點。

右《授時》虧初、食既皆親;《大明》虧初密合,食既親。梁中大通二年庚戌,五月庚寅望月食,在子。《授時曆》,食甚在子正初刻。《大明曆》,食甚在子正初刻。

右皆密合。大同九年癸亥,三月乙巳望食,三更三唱虧初。《授時曆》,虧初三更一點。《大明曆》,虧初三更三點。

右《授時》次親,《大明》密合。隋開皇十二年壬子,七月己未望食,一更三唱虧初。《授時曆》,虧初在一更四點。《大明曆》,虧初在一更五點。

右《授時》親,《大明》次親。

十五年乙卯,十一月庚午望食,一更四點虧初,二更三點食甚,三更一點復滿。

《授時曆》,虧初在一更三點,食甚在二更二點,復滿在二更五點。

《大明曆》,虧初在一更五點,食甚在二更三點,復滿在二更五點。

右《授時》虧初、食甚、復滿皆親;《大明》虧初、復滿皆親,食甚密合。十六年丙辰,十一月甲子望食,四更三籌復滿。《授時曆》,復滿在四更四點。

《大明曆》,復滿在四更五點。右《授時》親,《大明》次親。後漢天福十二年丁未,十二月乙未望食,四更四點虧初。《授時曆》,虧初四更五點。

《大明曆》,虧初四更一點。右《授時》親,《大明》次親。宋皇祐四年壬辰,十一月丙辰望食,寅四刻虧初。《授時曆》,虧初在寅二刻。

《大明曆》,虧初在寅一刻。右《授時》次親,《大明》疏。嘉祐八年癸卯,十月癸未望食,卯七刻甚。《授時曆》,食甚在辰初刻。

《大明曆》,食甚在辰初刻。右皆親。

熙寧二年己酉,閏十一月丁未望食,亥六刻虧初,子五刻食甚,醜四刻復滿。《授時曆》,虧初在亥六刻,食甚在子五刻,復滿在醜三刻。《大明曆》,虧初在子初刻,食甚在子六刻,復滿在醜四刻。

右《授時》虧初、食甚密合,復滿親;《大明》虧初次親,食甚親,復滿密合。四年辛亥,十一月丙申望食,卯二刻虧初,卯六刻甚。《授時曆》,虧初在卯初刻,食甚在卯五刻。

《大明曆》,虧初在卯四刻,食甚在卯七刻。右虧初皆次親,食甚皆親。

六年癸丑,三月戊午望食,亥一刻虧初,亥六刻甚,子四刻復滿。《授時曆》,虧初在戌七刻,食甚在亥五刻,復滿在子三刻。《大明曆》,虧初在亥二刻,食甚在亥七刻,復滿在子四刻。

右《授時》虧初次親,食甚、復滿皆親;《大明》虧初、食甚皆親,復滿密合。七年甲寅,九月己酉望食,四更五點虧初,五更三點食既。《授時曆》,虧初在四更五點,食既在五更三點。

《大明曆》,虧初在四更三點,食既在五更二點。右《授時》虧初、食既皆密合;《大明》虧初次親,食既親。崇寧四年乙酉,十二月戊寅望食,酉三刻甚,戌初刻復滿。

《授時曆》,食甚在酉一刻,復滿在酉七刻。《大明曆》,食甚在酉三刻,復滿在戌二刻。右《授時》食甚、復滿皆次親;《大明》食甚密合,復滿次親。

本朝至元七年庚午,三月乙卯望食,醜三刻虧初,寅初刻食甚,寅六刻復滿。《授時曆》,虧初在醜二刻,食甚在寅初刻,復滿在寅六刻。《大明曆》,虧初在醜四刻,食甚在寅一刻,復滿在寅七刻。

右《授時》虧初親,食甚、復滿密合;《大明》虧初、食甚、復滿皆親。

九年壬申,七月辛未望食,丑初刻虧初,醜六刻食甚,寅三刻復滿。《授時曆》,虧初在子七刻,食甚在醜四刻,復滿在寅一刻。《大明曆》,虧初在醜二刻,食甚在醜六刻,復滿在寅二刻。

右《授時》虧初親,食甚、復滿皆次親;《大明》虧初次親,食甚密合,復滿親。

十四年丁丑,四月癸酉望食,子六刻虧初,醜三刻食既,醜五刻甚,醜七刻生光,寅四刻復滿。

《授時曆》,虧初在子六刻,食既在醜四刻,食甚在醜五刻,生光醜六刻,復滿寅四刻。

《大明曆》,虧初在丑初刻,食既醜七刻,食甚在醜七刻,生光在醜八刻,復滿寅六刻。

右《授時》虧初、食甚、復滿皆密合,食既、生光皆親;《大明》虧初、食甚、復滿皆次親,食既疏遠,生光親。

十六年己卯,二月癸酉望食,子五刻虧初,醜二刻甚,醜七刻復滿。《授時曆》,虧初在子五刻,食甚在醜二刻,復滿在醜七刻。《大明曆》,虧初在子七刻,食甚在醜三刻,復滿在醜七刻。

右《授時》虧初、食甚、復滿皆密合;《大明》虧初次親,食甚親,復滿密合。八月己丑望食,醜五刻虧初,寅初刻甚,寅四刻復滿。《授時曆》,虧初在醜三刻,食甚在寅初刻,復滿在寅四刻。

《大明曆》,虧初在醜七刻,食甚在寅二刻,復滿在寅四刻。

右《授時》虧初次親,食甚、復滿皆密合;《大明》虧初、食甚皆次親,復滿密合。十七年庚辰,八月甲申望食,在晝,戌一刻復滿。《授時曆》,復滿在戌一刻。

《大明曆》,復滿在戌四刻。右《授時》密合,《大明》疏。

已上四十五事,密合者,《授時》十有八,《大明》十有一;親者,《授時》十有八,《大明》十有七;次親者,《授時》九,《大明》十有四;疏者,《授時》無,《大明》二;疏遠者,《授時》無,《大明》一。

定朔

日平行一度,月平行十三度十九分度之七,一晝夜之間,月先日十二度有奇,曆二十九日五十三刻,復追及日,與之同度,是謂經朔。經朔雲者,謂合朔大量不出此也。日有盈縮,月有遲疾,以盈縮遲疾之數損益之,始為定朔。

古人立法,簡而未密,初用平朔,一大一小,故日食有在朔二,月食有在望前後者。漢張衡以月行遲疾,分為九道;宋何承天以日行盈縮,推定小余;故月有三大二小。隋劉孝孫、劉焯欲遵用其法,時議排抵,以為迂怪,卒不能行。唐傅仁均始采用之,至貞觀十九年九月後,四月頻大,復用平朔。訖麟德元年,始用李淳風《甲子元曆》,定朔之法遂行。淳風又以晦月頻見,故立進朔之法,謂朔日小余在日法四分之三已上者,虛進一日,後代皆循用之。然虞絪嘗曰:「朔在會同,茍躔次既合,何疑於頻大;日月相離,何拘於間小。」一行亦曰:「天事誠密,雖四大三小,庸何傷。」今但取辰集時刻所在之日以為定朔,朔雖小余在進限,亦不之進,甚矣,人之安於故習也。

初曆法用平朔,止知一大一小,為法之不可易,初聞三大二小之說,皆不以為然。自有曆以來,下訖麟德,而定朔始行,四大三小,理數自然,唐人弗克若天,而止用平朔。迨本朝至元,而常議方革。至如進朔之意,止欲避晦日月見,殊不思合朔在酉戌亥,距前日之卯十八九辰矣,若進一日,則晦不見月,此論誠然。茍合朔在辰申之間,法不當進,距前日之卯已逾十四五度,則月見於晦,庸得免乎?且月之隱見,本天道之自然,朔之進退,出人為之牽強,孰若廢人用天,不復虛進,為得其實哉。至理所在,奚恤乎人言,可為知者道也。

不用積年日法

曆法之作,所以步日月之躔離,候氣朔之盈虛,不揆其端,無以測知天道,而與之吻合;然日月之行遲速不同,氣朔之運參差不一,昔人立法,必推求往古生數之始,謂之演紀上元。當斯之際,日月五星同度,如合璧連珠然。惟其世代綿遠,馴積其數至逾億萬,後人厭其布算繁多,互相推考,斷截其數而增損日法,以為得改憲之術,此歷代積年日法所以不能相同者也。然行之未遠,浸復差失,蓋天道自然,豈人為附會所能茍合哉?夫七政運行於天,進退自有常度,茍原始要終,候驗周匝,則象數昭著,有不容隱者,又何必舍目前簡易之法,而求億萬年宏闊之術哉?

今《授時曆》以至元辛巳為元,所用之數,一本諸天,秒而分,分而刻,刻而日,皆以百為率,比之他曆積年日法,推演附會,出於人為者,為得自然。

或曰:「昔人謂建曆之本,必先立元,元正然後定日法,法定然後度周天以定分至,然則曆之有積年日法尚矣。自黃帝以來,諸曆轉相祖述,殆七八十家,未聞舍此而能成者。今一切削去,無乃昧於本原,而考求未得其方歟?」是殆不然。晉杜預有云:「治曆者,當順天以求合,非為合以驗天。」前代演積之法,不過為合驗天耳。今以舊曆頗疏,乃命厘正,法之不密,在所必更,奚暇踵故習哉。遂取漢以來諸曆積年日法及行用年數,具列於後,仍附演積數法,以釋或者之疑。

《三統曆》(西漢太初元年丁丑鄧平造,行一百八十八年,至東漢元和乙酉,後天七十八刻。)積年,十一四萬四千五百一十一。日法,八十一。

《四分曆》,(東漢元和二年乙酉編造,行一百二十一年,至建安丙戌,後天七刻。)積年,一萬五百六十一。日法,四。

《乾象曆》(建安十一年丙戌劉洪造,行三十一年,魏景初丁巳,後天七刻。)積年,八千四百五十二。日法,一千四百五十七。

《景初曆》(魏景初元年丁巳楊偉造,行二百六年,至宋元嘉癸未,先天五十刻。)積年,五千八十九。日法,四千五百五十九。

《元嘉曆》(宋元嘉二十年癸未何承天造,行二十年,至大明七年癸卯,先天五十刻。)積年,六千五百四十一。日法,七百五十二。

《大明曆》(宋大明七年癸卯宋祖沖之造,行五十八年,至魏正光辛丑,後天二十九刻。)積年,五萬二千七百五十七。日法,三千九百三十九。

《正光曆》(後魏正光二年辛丑李業興造,行一十九年,至興和庚申,先天十三刻。)積年,一十六萬八千五百九。日法,七萬四千九百五十二。

《興和曆》(興和二年庚申李業興造,行一十年,至齊天保庚午,先天九十九刻。)積年,二十萬四千七百三十七。日法,二十萬八千五百三十。

《天保曆》(北齊天保元年庚午宋景業造,行一十七年,至周天和丙戌,後天一日八十七刻。)積年,一十一萬一千二百五十七。日法,二萬三千六百六十。

《天和曆》(後周天和元年丙戌甄鸞造,行一十三年,至大象己亥,先天四十刻。)積年,八十七萬六千五百七。日法,二萬三千四百六十。

《大象曆》(大象元年己亥馬顯造,行五年,至隋開皇甲辰,後天十刻。)積年,四萬二千二百五十五。日法,一萬二千九百九十二。

《開皇曆》(隋開皇四年甲辰張賓造,行二十四年,至大業戊辰,後天七刻。)積年,四百一十二萬九千六百九十七。日法,一十萬二千九百六十。

《大業曆》(大業四年戊辰張胄玄造,行一十一年,至唐武德己卯,後天七刻。)積年,一百四十二萬八千三百一十七。日法,一千一百四十四。

《戊寅曆》(唐武德二年己卯道士傅仁均造,行四十六年,至麟德乙丑,後天四十七刻。)積年,一十六萬五千三。日法,一萬三千六。

《麟德曆》(麟德二年乙丑李淳風造,行六十三年,至開元戊辰,後天一十二刻。)積年,二十七萬四百九十七。日法,一千三百四十。

《大衍曆》(開元十六年戊辰僧一行造,行三十四年,至寶應壬寅,先天一十三刻。)積年,九千六百九十六萬二千二百九十七。日法,三千四十。

《五紀曆》(寶應元年壬寅郭獻之造,行二十三年,至貞元乙丑,後天二十四刻。)積年,二十七萬四百九十七。日法,一千三百四十。

《貞元曆》(貞元元年乙丑徐承嗣造,行三十七年,至長慶壬寅,先天十五刻。)積年,四十萬三千三百九十七。日法,一千九十五。

《宣明曆》(長慶二年壬寅徐昂造,行七十一年,至景福癸丑,先天四刻。)積年,七百七萬五百九十七。日法,八千四百。

《崇玄曆》(景福二年癸丑邊岡造,行十四年,後六十三年,至周顯德丙辰,先天四刻。)積年,五千三百九十四萬七千六百九十七。日法,一萬三千五百。

《欽天曆》(五代周顯德三年丙辰王樸造,行五年,至宋建隆庚申,先天二刻。)積年,七千二百六十九萬八千七百七十七。日法,七千二百。

《應天曆》(宋建隆元年庚申王處訥造,行二十一年,至太平興國辛巳,後天二刻。)積年,四百八十二萬五千八百七十七。日法,一萬單二。

《乾元曆》(太平興國六年辛巳吳昭素造,行二十年,至咸平辛丑,合。)積年,三千五十四萬四千二百七十七。日法,二千九百四十。

《儀天曆》(咸平四年辛丑史序造,行二十三年,至天聖甲子,合。)積年,七十一萬六千七百七十七。日法,一萬一百。

《崇天曆》(天聖二年甲子宋行古造,行四十年,至治平甲辰,後天五十四刻。)積年,九千七百五十五萬六千五百九十七。日法,一萬五百九十。

《明天曆》(治平元年甲辰周琮造,行一十年,至熙寧甲寅,合。)積年,七十一萬一千九百七十七。日法,三萬九千。

《奉元曆》(熙寧七年甲寅衛樸造,行十八年,至元祐壬申,後天七刻。)積年,八千三百一十八萬五千二百七十七。日法,二萬三千七百。

《觀天曆》(元祐七年壬申皇居卿造,行一十一年,至崇寧癸未,先天六刻。)積年,五百九十四萬四千九百九十七。日法,一萬二千三十。

《占天曆》(崇寧二年癸未姚舜輔造,行三年,至丙戌,後天四刻。)積年,二千五百五十萬一千九百三十七。日法,二萬八千八十。

《紀元曆》(崇寧五年丙戌姚舜輔造,行二十一年,至金天會丁未,合。)積年,二千八百六十一萬三千四百六十七。日法,七千二百九十。

《大明曆》(金天會五年丁未楊級造,行五十三年,至大定庚子,合。)積年,三億八千三百七十六萬八千六百五十七。日法,五千二百三十。

《重修大明曆》(大定二十年庚子趙知微重修,行一百一年,至元朝至元辛巳,後天一十九刻。)積年,八千八百六十三萬九千七百五十七。日法,五千二百三十。

《統元曆》(後宋紹興五年乙卯陳得一造,行三十二年,至乾道丁亥,合。)積年,九千四百二十五萬一千七百三十七。日法,六千九百三十。

《乾道曆》(乾道三年丁亥劉孝榮造,行九年,至淳熙丙申,後天一刻。)積年,九千一百六十四萬五千九百三十七。日法,三萬。

《淳熙曆》(淳熙三年丙申劉孝榮造,行一十五年,至紹熙辛亥,合。)積年,五千二百四十二萬二千七十七。日法,五千六百四十。

《會元曆》(紹熙二年辛亥劉孝榮造,行八年,至慶元己未,後天一十刻。)積年,二千五百四十九萬四千八百五十七。日法,三萬八千七百。

《統天曆》(慶元五年己未楊忠輔造,行八年,至開禧丁卯,先天六刻。)積年,三千九百一十七。日法,一萬二千。

《開禧曆》(開禧三年丁卯鮑浣之造,行四十四年,至淳祐辛亥,後天七刻。)積年,七百八十四萬八千二百五十七。日法,一萬六千九百。

《淳祐曆》(淳祐十年庚戌李德卿造,行一年,至壬子,合。)積年,一億二千二十六萬七千六百七十七。日法,三千五百三十。

《會天曆》(寶祐元年癸丑譚玉造,行十八年,至咸淳辛未,後天一刻。)積年,一千一百三十五萬六千一百五十七。日法,九千七百四十。

《成天曆》(咸淳七年辛未陳鼎造,行四年,至至元辛巳,後天一刻。)積年,七千一百七十五萬八千一百五十七。日法,七千四百二十。

此下不曾行用,見於典籍經進者二曆。

《皇極曆》(大業間劉焯造,阻難不行,至唐武德二年己卯,先天四十三刻。)積年,一百萬九千五百一十七。日法,一千二百四十二。

《乙未曆》(大定二十年庚子耶律履造,不曾行用,至辛巳,後天一十九刻。)積年,四千四十五萬三千一百二十六。日法,二萬六百九十。

《授時曆》(元至元十八年辛巳為元。)積年、日法不用。實測到至元十八年辛巳歲。氣應,五十五日六百分。

閏應,二十日一千八百五十分。經朔,三十四日八千七百五十分。

日法,二千一百九十,演紀上元己亥,距至元辛巳九千八百二十五萬一千四百二十二算。氣應,五十五日六百二分。閏應,二十日一千八百五十三分。

經朔,三十四日八千七百四十九分。

日法,八千二百七十,演紀上元甲子,距辛巳五百六十七萬五百五十七算,日命甲子。氣應,五十五日五百三十三分。閏應,二十日一千八百八分。

經朔,三十四日八千七百二十五分。

日法,六千五百七十,寅紀上元甲子,距辛巳三千九百七十五萬二千五百三十七算。氣應,五十五日六百三十一分。閏應,二十日一千九百一十九分。

經朔,三十四日八千七百一十二分。

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