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○前序编辑

數一而已。一者,萬物之所從始。故《易》,一,太極也。一而二,二而四,四而八,生生不窮者,豈非自然而然之數邪?河、洛圖書泄其秘,《黃帝九章》著之書。其章有九,而其術則二百四十有六。始方田,終句股,包括三才,旁通萬有,凡言數者皆莫得而逃焉。如《易》之大衍,《書》之秝象,《詩》之萬億及秭,《禮記》之三千三百,《周官》之三百六十。數之見於經者,蓋不特《黃帝九章》為然也。自後世明算之科不設,而此學寢失其傳。由是秝法之進退畸盈,農田之方圓曲直,以至斗、升、勺、合、豪、厘、絲、忽,往往皆不能盡其法者,又豈非古學之無傳,而學者莫知所依據邪?燕山鬆庭朱先生,以數學名家周遊湖海二十餘年矣,四方之來學者日眾。先生遂發明《九章》之妙,以淑後學。為書三卷,分門二十有四,立問二百八十有八,名曰:《四元玉鑒》。其法以元氣居中,立天元一於下,地元一於左,人元一於右,物元一於上,陰陽升降,進退左右,互通變化,錯綜無窮。其於盈絀隱互、正負方程、演段開方之術,精妙元絕。其學能發先賢未盡之旨。會萬理而朝元,統三才而歸極。乘除加減,鉤深致遠,自成一家之書也。方今尊崇算學,科目漸興。先生是書行將大用於世。有能執此以往,則古人格物致知之學,治國平天下之道,其在是矣。有志於學者,可不服膺此書云。

大德癸卯上元日,臨川前進士莫若序。

○松庭先生後序编辑

《黃帝九章》以降,算經多矣,不可枚舉。唐宋設明算科,立法取士,不出《九章》《周髀》《海島》《孫子》《張丘建》《夏侯陽》《五曹》《五經算》《緝古》《綴術》數家而已。然天、地、人、物四元罔有雲及一者。厥後,平陽蔣周撰《益古》,博陸李文一撰《照膽》,鹿泉石信道撰《鈐經》,平水劉汝諧撰《如積釋鎖》,絳人元裕細草之,後人始知有天元也。平陽李德載因撰《兩儀群英集臻》,兼有地元。霍山邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰《乾坤括囊》,末僅有人元二問。吾友燕山朱漢卿先生,演數有年,探三才之賾,索《九章》之隱,按天、地、人、物立成四元。以元氣居中,立天句、地股、人弦、物黃方,考圖明之。上升下降,左右進退,互通變化,乘除往來,用假象真,以虛問實,錯綜正負,分成四式。必以寄之,剔之,餘籌易位,橫衝直撞,精而不雜,自然而然,消而和會,以成開方之式也。書成名曰《四元玉鑒》。厘為三卷,以象三才;四元以象其時;分門二十有四,以象其氣;立問二百八十有八,假象周天之數。“玉”者,比漢卿之德術:動則其聲清越以長,靜則孚尹旁達而不有隱翳。“鑒”者,照四元之形象:收則其縕昭徹而明,開則縱橫發揮而曲盡妙理矣。漢卿名世傑,鬆庭其自號也。周流四方,複遊廣陵,踵門而學者雲集。大德己亥編集《算學啟蒙》,趙元鎮已與之版而行矣。元鎮者,博雅之士也。惠然又備已財,鳩工繡梓,俾之並行於世。前成始,而今成終也。好事之德奚可量哉!二書相為表裏,不其韙歟屬餘為引,餘詳觀之,有素所未嚐接於耳目者。不用而用以之通,非數而數以之成。由是而知有數皆從無數中來。高邁於前賢,能盡其妙矣。明算君子據餘言試為細草,然後知誠而不妄也。於是乎書。

大德登科二月甲子,滹納心齋祖頤季賢父序。


卷首编辑

○今古開方會要之圖(圖一)编辑

梯法七乘方圖正者為從負者為益不動數直置數第一等定實位

方位法進退一第二等除實法第一廉進退二第三等平方隅第二廉進退三第四等立方隅第三廉進退四第五等三乘隅

第四廉進退五第六等四乘隅第五廉進退六第七等五乘隅第六廉進退七第八等六乘隅古法七乘方圖

廉七廉六廉五廉四廉三廉二廉上法方積本

○四元自乘演段之圖(圖二)编辑

凡習四元者,以明理為務。必達乘除、升降、進退之理,乃盡性窮神之學也。仆立句三、股四、弦五、黃方二為問,並之得:式一,自乘為冪,得此式:式二,共計一十六段,計冪一百九十六步。考圖認之,其理顯然。

○五和自乘演段之圖(圖三)编辑

凡句股之術,出於圓方。圓徑一而周三,方徑一而匝四。伸圓之為句,展方之為股,共結一角,斜弦適五。句股之所生也。今言五和者,句股和、句弦和、股弦和、弦和和、弦較和。並之得四十二步,自乘得一千七百六十四步,共為二十五段也。

五較自乘演段之圖(圖四)

夫算中元妙,無過演段如積,幽微莫越認圖。其法奧妙,學者鮮能造其微。前明五和,次辯五較,自知優劣也。其五較者,句股較、句弦較、股弦較、弦較較、弦和較。並之得一十步,自乘得一百步,共為二十五段。考圖認之。四象細草假令之圖

△一氣混元今有黃方乘直積得二十四步,只云股弦和九步,問句幾何?

答曰:三步。草曰:立天元一為句,如積求之。得一百六十二個黃方,乘直積式:(式三,)以一百六十二乘元積,相消,得開方式:(式四)乘方開之,得句三步,合問。

兩儀化元今有股冪減弦較較,與股乘句等。只云句冪加弦較和與句乘弦同,問股幾何?答曰:四步。

草曰:立天元一為股,地元一為句弦和,天地配合求之。得今式:(式五),求到雲式:(式六)。互隱通分消之,內二行得式:(式七),外二行得:(式八)。兩位相消,得開方式:(式九),平方開之,得股四步,合問。

△三才運元

今有股弦較除弦和和與直積等,只云句弦較除弦較和與句同。問弦幾何?答曰:五步。

草曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,三才相配,求得今式:(式一○),求得雲式:(式一一),求得三元之式:(式一二)。以雲式剔而消之,二式皆人易天位。前得:(式一三),後得:(式一四),互隱通分相消。左得:(式一五),右得:(式一六)。內二行得:(式一七),外二行得:(式一八。內外相消,四約之,得開方式:(式一九)。三乘方開之,得弦五步,合問。

△四象會元

今有股乘五較與弦冪加句乘弦等。只云句除五和與股冪減句弦較同。問黃方帶句股弦共幾何?答曰:一十四步。

草曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。求得今式:(式二○),求得雲式:(式二一),求得三元之式:(式二二),求得物元之式:(式二三)。四式和會,消而剔之,皆物易天位。得前式:(式二四),後式:(式二五),便為左行。以左行消後式:(式二六),便為右行。內二行得式:(式二七),其外二行得式:(式二八)。內外二行相消,三約得開方式:(式二九)。平方開之,得一十四步,合問。

(圖略)


卷上编辑

○直段求源(一十八問)编辑

今有弦和和乘三相和,加弦冪,共得一百六十九步。只云弦較較乘弦較和,減股弦和乘股弦較,餘一十五步。問句幾何?答曰:三步。

術曰:立天元一為句,如積求之。得二十五萬三千一百二十五為正實,八十一萬八千一百為益上廉,二十七萬八千九百二十六為從三廉,二萬二千八百六十八為益五廉,一百八十一為從隅,七乘方開之得句,合問。

今有句弦和乘股弦和,減句弦較乘股弦較,餘七十步。只云弦和和乘弦較和得七十二步。問股幾何?答曰:四步。

術曰:立天元一為股,如積求之。得一百六十七萬九千六百一十六為正實,一十八萬六千六百二十四為益上廉,六千四百七十九為從三廉,七十為益五廉,一為益隅,七乘方開之得股,合問。

今有弦和較乘弦和和,加句弦較乘句弦和,得四十步。只云句冪與股弦和等。問弦幾何?答曰:五步。

術曰:立天元一為弦,如積求之。得一千五百二十五為正實,一百四十為從方,五十四為益上廉,一十二為益下廉,一為正隅,三乘方開之得弦,合問。

今有積減弦和較餘一十步,只云句股和七步。問黃方幾何?

答曰:二步。術曰:立天元一為黃方,如積求之。得二百為益實,一百為從方,二為從廉,一為益隅,立方開之得黃方,合問。

今有積加平冪,減長冪,以平冪乘之,減和冪,餘不及積冪八千四百六十步。只云長平較三步。問長、平各幾何?

答曰:平九步,長一十二步。術曰:立天元一為長,如積求之。得八千五百三十二為正實,一百二十三為益方,五十九為從廉,九為益隅,立方開之得長,合問。

今有積,加長,以半平乘之,得一千九百五十步。只云長五分之三減平三分之二,餘七步。問長、平各幾何?

答曰:平一十二步,長二十五步。術曰:立天元一為長,如積求之。得一十三萬為益實,三千三百二十五為從方,六百為益廉,二十七為從隅,立方開之得長,合問。

今有積加三較,以長乘之,減三平,餘九千七百四十四步。只云長取太半,平取弱半為共,不及一長四步。問長、平各幾何?答曰:平一十六步,長二十四步。

術曰:立天元一為長,如積求之。得二萬九千八十八為益實,一百三十二為從方,五十一為益廉,四為正隅,立方開之得長,合問。

今有積冪減平,餘一萬一千六百五十五步。只云長四分之一,平三分之一,和二分之一,共得一十六步二分步之一。問長、平各幾何?答曰:平九步,長一十二步。

術曰:立天元一為平,如積求之。得九十四萬四千五十五為益實,八十一為益方,三萬九千二百四為從上廉,三千九百六十為益下廉,一百為正隅,三乘方開之得平,合問。今有積,減較冪,餘七十一步,只云三相和四十步。問長平和得幾何?

答曰:二十三步。

術曰:立天元一為長平和,如積求之。得四千七十一為益實,二百為從方,一為益隅,平方開之得和,合問。

今有積,加和,以積乘之,得二千一百二十步。只云長多於平三步,問積幾何?答曰:四十步。

術曰:立天元一為直積,如積求之。得四百四十九萬四千四百為正實,四千二百四十九為益上廉,四為益下廉,一為正隅,三乘方開之得積,合問。

今有積,加斜冪得三百三十三步,只云並長、平、斜得三十六步。問弦幾何?答曰:一十五步。

術曰:立天元一為弦,如積求之。得三百一十五為正實,三十六為益方,一為正隅,平方開之得弦,合問。

今有積減平,以積乘之,又減五平、四積,餘二十七萬九千六百三十步。只云長取五分之一,平取三分之二,其長分子數如平分子數二分之一。問長、平各幾何?

答曰:平一十八步,長三十步。

術曰:立天元一為平,如積求之。得五十萬三千三百三十四為益實,九為益方,一十二為益上廉,三為益下廉,五為正隅,三乘方開之得平,合問。

今有積冪,減二長、一平,餘四萬六千五百七十八步。只云平自乘與長等,問長、平各幾何?答曰:平六步,長三十六步。

術曰:立天元一為平,如積求之。得四萬六千五百七十八為益實,一為益方,二為益上廉,一為正隅,五乘方開之得平,合問。

今有積,加一長、二平、三和、四較,自乘,減一和、二較、三平、四長,餘一十五萬五千八百五步。只云平冪與較等,問長、平各幾何?答曰:平五步,長三十步。

術曰:立天元一為平,如積求之。得一十五萬五千八百五為益實,九為益方,七十四為從上廉,一百六十二為從二廉,九十九為從三廉,一十八為從下廉,一為正隅,五乘方開之得平,合問。

今有積,加三平,減一較,餘自乘,減三平,加一較,得七萬八千四百一十四步。只云平自乘與和等,問長、平各幾何?答曰:平七步,長四十二步。

術曰:立天元一為平,如積求之。得七萬八千四百一十四為益實,五為益方,二十六為從上廉,二十為益二廉,一十四為從三廉,四為益下廉,一為正隅,五乘方開之得平,合問。今有積,加平,以長中半乘之,得三千九百步。只云長以平方開之,所得不及平七步。問長、平各幾何?

答曰:平一十二步,長二十五步。

術曰:立天元一為平,如積求之。得七千八百為益實,二千四百五十為從方,一千三百八十六為益上廉,二百九十五為從二廉,二十八為益下廉,一為正隅,四乘方開之得平,合問。

今有積,加一和、三較,以積乘之,減一長、二較,又長乘之,得一十四萬七千二百一十六步。只云平以立方開之,如長六分之一。問長、平各幾何?

答曰:平八步,長一十二步。

術曰:立天元一為開方數,如積求之,得一萬二千二百六十八為益實,九為益上廉,一為從三廉,七十二為從五廉,六為益七廉,一十八為正隅,八乘方開之得二步,即開方數。六之得長,合問。

今有積,以和乘之,減積,餘以平乘之,加和,得一十七萬七千一百六十二步。只云和為益實,四為益方,三為從上廉,二為益下廉,一為正隅,三乘方開之,如平四分之一。問長、平各幾何?

答曰:平一十二步,長三十步。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得一十七萬七千一百六十二為益實,四為益方,三為從上廉,一百二十六為從二廉,四百六十五為從三廉,五百四十四為益四廉,五百一十二為從五廉,三百八十四為益六廉,一百六十為從七廉,六十四為益下廉,一十六為正隅,九乘方開之得三步,為開方數。四之即平,合問。

○混積問元(一十八問)编辑

今有直田積,加斜冪,減平冪,餘半之,以減斜冪,餘六十七步。只云斜較相和二十步,問斜長幾何?答曰:一十三步。

術曰:立天元一為斜長,如積求之。得二萬二千一百七十八為正實,五千三百二十為益方,四百九十九為從上廉,三十為益下廉,一為正隅,三乘方開之得斜,合問。今有方田冪,加斜長,減方周,餘以方面乘之,減方面,餘二千七百七十五步。問方面幾何?

答曰:一十五步。

術曰:立天元一為方面,如積求之。得一萬三千八百七十五為益實,五為益方,一十三為益廉,五為正隅,立方開之得方面,合問。

今有句股田積,加弦和和得一百四十步,只云句股較一十七步,問股幾何?答曰:二十四步。

術曰:立天元一為股,如積求之。得九萬七千四百四十為正實,八千三百為從方,四百六十七為益上廉,二十六為益下廉,一為正隅,三乘方開之得股,合問。

今有梯田積,加小闊,減大闊,餘以小闊乘之,得四千一百五十二步。只云大闊不及正長九步,卻多小闊四步。問二闊及長各幾何?答曰:大闊一十六步,小闊一十二步,正長二十五步。

術曰:立天元一為大闊,如積求之。得四千六十四為益實,五十為益方,三為從廉,一為正隅,立方開之得大闊,合問。

今有圭田積,減四長餘五十步,只云較自乘減闊冪餘與長等。問長、闊各幾何?答曰:闊一十二步,長二十五步。

術曰:立天元一為圭長,如積求之。得二百為益實,一十七為益方,一為正隅,平方開之得長,合問。

今有梭田積,加廣冪,減於長冪,不足三十六步。只云長內虛加一算,平方開之,得數以減半廣,不足四步。問長、廣各幾何?答曰:廣一十八步,長二十四步。

術曰:立天元一為半廣,如積求之。得一百八十九為正實,二百五十五為益方,九十八為從上廉,一十七為益下廉,一為正隅,三乘方開之得半廣,合問。

今有三斜田積,減中股,餘七十六步。只云中斜多於中股九步,中股不及小斜二步。問中股幾何?答曰:八步。

術曰:立天元一為中股,如積求之。得一億三千三百四十四萬八千七百四為益實,七百二萬三千六百一十六為益方,八十四萬三千二百九十六為從上廉,二十七萬八千七百六十八為從二廉,五千三百七十一步七分五厘為從三廉,四百九十五為益下廉,四十九為益隅,五乘方開之得中股,合問。今有句三,股四八角田積,以面闊三自乘加之,卻減面闊冪,餘二萬一千二百八十三步五分步之一。問每面闊幾何?

答曰:一十二步。

術曰:立天元一為每面之闊,如積求之。得一十萬六千四百一十六為益實,一十九為從上廉,五為正隅,三乘方開之得每面之闊,合問。今有三廣田積,加中廣二分之一,減大廣三分之二,又加小廣四分之三,減正長六分之五,餘以正長中半乘之,得一萬五千八百八十八步。只云並三廣正長,虛加二為實,四為從方,一為從廉,一為從隅,立方開之,並入中廣,與小廣適等。又開方數如中廣三分之一,大、小廣差二步。問長、廣各幾何?

答曰:小廣一十六步,中廣一十二步,大廣一十八步,正長四十八步。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得一十九萬六百五十六為益實,二百三十六為從方,一千九為從上廉,九百八為從二廉,四百二十五為益三廉,二百七十七為益四兼,四十為從下廉,二十一為從隅,六乘方開之得四步,為開方數,合問。今有種金田積,加對尖直長得三百一十五步。只云外兩斜各長二十五步,內兩斜各長二十步。問對尖直長幾何?

答曰:一十五步。

術曰:立天元一為對尖直長,如積求之。得四十四萬七千五百二十五為益實,二千五百二十為從方,二千四十六為從上廉,一為益隅,三乘方開之得對尖直長,合問。

今有圓田積,加圓徑,減圓周,餘自乘,加徑冪,得七千二百步。問圓徑幾何?答曰:一十二步。

術曰:立天元一為圓徑,如積求之。得一十一萬五千二百為益實,八十為從上廉,四十八為益下廉,九為正隅,三乘方開之得圓徑,合問。

今有弧田積,加矢徑強半,減上周太半,餘一百三十二步。只云虛徑以平方開之,並人上周,共得四十步。問周、徑各幾何?答曰:周三十六步,徑一十六步。

術曰:立天元一為上周,如積求之。得一萬二千八百一十六為正實,四千七十二為從方,三百二十一為益廉,三為正隅,立方開之得上周,合問。

今有完田積,加下周冪少半,減徑冪太半,餘二千七百九十五步弱半步。只云下周為實,二為從方,一為從隅,平方開之。又徑減二,餘以平方開之,少如先開方數二步。問周、徑幾何?

答曰:周九十九步,徑五十一步。

術曰:立天元一為先開方數,如積求之。得三萬三千八百三十一為益實,四百二十為從方,二百一十四為益上廉,七十四為從下廉,一為益隅,三乘方開之得九步,為先開方數,合問。

今有球露錢田積,加面徑,減圓周,餘五十六步。只云虛徑多如面徑二步,問三徑各幾何?答曰:面徑四步,虛徑六步,通徑一十四步。

術曰:立天元一為面徑,如積求之。得一百二十八為益實,一十二為益方,一十一為正隅,平方開之得面徑,合問。今有弧田積,加矢立冪,減弦平冪,餘以矢除之,加矢立冪,得五千九百一十三步。只云矢除弦得四步,問弦、矢各幾何?

答曰:矢一十八步,弦七十二步。

術曰:立天元一為矢,如積求之。得一萬一千八百二十六為益實,二十七為益方,二為從廉,二為正隅,立方開之得矢,合問。

今有車輞田積,以徑乘內周加之,以外周乘徑減之,又以徑冪乘之,減徑冪,餘三千五百二十八步。只云徑冪多如外周六步,內外周差九步。問實徑及內、外周各幾何?

答曰:實徑六步,內周二十一步,外周三十步。

術曰:立天元一為輞徑,如積求之。得三千五百二十八為益實,一為益上廉,一十九步半為益二廉,一為正隅,四乘方開之得實徑,合問。

今有錢田積冪,加一池方面,減四錢田積,餘一十二萬一千八百一十五步。只云博徑三步,問池方、田周各幾何?答曰:池方一十八步,田周九十步。

術曰:立天元一為池方,如積求之。得四十八萬四千七百七十六為益實,一千八百四為從方,四百二十四為從上廉,三十六為從下廉,一為正隅,三乘方開之得池方,合問。

今有環田積,實徑乘外周加之,卻減內周冪,餘七百二十九步。只云並內、外周,減二,餘以平方開之,所得不及實徑一步。問周、徑各幾何?答曰:實徑一十五步,內周五十四步,外周一百四十四步。

術曰:立天元一為實徑,如積求之。得二千九百二十五為益實,六十為從方,六十六為益上廉,二十為從下廉,一為益隅,三乘方開之得實徑,合問。

(圖略)

○端匹互隱(九問)编辑

今有錢三貫四百一十九文,買羅一端。只云端長內加八尺之價共得五百七十八(文尺)。問端長、尺價各幾何?答曰:端長五丈二尺,尺價六十五文(四分文之三)。

術曰:立天元一為尺價,如積求之。得三千四百一十九為益實,五百七十八為從方,八為益隅,平方開之,得尺價。不盡,以連枝同體術求之,合問。

今有綾一匹,直錢一貫五百四十八文。只云尺價內減匹長,餘以尺價乘之,減尺價,餘一貫三百一十四文。問匹長、尺價各幾何?答曰:匹長二丈八尺(三分尺之二),尺價五十四文。

術曰:立天元一為尺價,如積求之。得二千八百六十二為益實,一為益方,一為正隅,平方開之得尺價,合問。

今有錦一端,直錢四貫八十文。只云並尺價、端長為共,以尺價乘之,加端長,共得一十一貫三百五十三文。問端長、尺價各幾何?答曰:端長四丈八尺,尺價八十五文。

術曰:立天元一為端長,如積求之。得一千六百六十四萬六千四百為益實,七千二百七十三為從廉,一為益隅,立方開之得端長,合問。

今有錦一端、一匹,端長自乘內減匹長,又匹長自乘內減端長,二餘相並,共得三千五百一十六尺。只云端長多於匹長四分之一,問端、匹各長幾何?

答曰:端長四丈八尺,匹長三丈六尺。

術曰:立天元一為端長,如積求之。得五萬六千二百五十六為益實,二十八為益方,二十五為正隅,平方開之得端長,合問。

今有絹一匹,直錢一貫六百六十六文,只云匹長如尺價五百四十四分之四百四十一。問匹長、尺價各幾何?

答曰:匹長三丈六尺(四分尺之三),尺價四十五文(三分文之一)。

術曰:立天元一為匹長尺價齊率,如積求之。得一百四十四為益實,一為正隅,平方開之,得一十二為齊率。以除分母、子之數,合問。

今有錦一匹,先賣了三尺,餘賣得錢二貫九百七十五文。只云匹長不及尺價四十七文,問匹長、尺價各幾何?答曰:匹長三丈八尺,尺價八十五文。

術曰:立天元一為匹長,如積求之。得三千一百一十六為益實,四十四為從方,一為正隅,平方開之,得匹長。又立天元一為尺價,如積求之。得二千九百七十五為益實,五十為益方,一為正隅,平方開之得尺價,合問。

今有錢一百六十二貫五百六十文,買布不知匹數。只云每匹牙錢五文,今無牙錢,準布二匹,問共布及匹價各幾何?答曰:二百五十六匹,匹價六百三十五文。

術曰:立天元一為共布,如積求之。得六萬五千二十四為益實,二為益方,一為從隅,平方開之,得共布之數。又立天元一為匹價,如積求之。得四十萬六千四百為益實,五為從方,一為從隅,平方開之得匹價,合問。

今有紗一匹,先截一尺作牙錢,餘賣得錢一貫一百七十六文。只云匹長、尺價皆以平方開之,二數相並,共得十二。問匹長、尺價各幾何?答曰:匹長二丈五尺,尺價四十九文。

術曰:立天元一為匹長開方數,如積求之。得一千三百二十為益實,二十四為從方,一百四十三為從上廉,二十四為益下廉,一為正隅,三乘方開之得五,為匹長開方數,合問。

今有綾、羅共三丈,各直錢八百九十六文。只云綾、羅各一尺共直錢一百二十文。問綾、羅尺價各幾何?

答曰:綾一丈四尺(尺價六十四文);羅一丈六尺(尺價五十六文)。

術曰:立天元一為綾尺數,如積求之。得二百二十四為正實,三十為益方,一為正隅,平方開之,得綾尺數。又立天元一為綾尺價,如積求之。得三千五百八十四為益實,一百二十為從方,一為益隅,平方開之,得綾尺價。又立天元一為羅尺數,如積求之。得二百二十四為正實,三十為益方,一為正隅,平方開之,得羅尺數。又立天元一為羅尺價,如積求之。得三千五百八十四為正實,一百二十為益方,一為正隅,平方開之,得羅尺價,合問。

○廩粟回求(六問)编辑

今有方倉一所,受粟五百七十六斛。只云倉闊不及倉長三尺,深如闊三分之二,斛法二尺五寸(後皆仿此)。問倉長、闊、深各幾何?答曰:長一丈五尺,闊一丈二尺,深八尺。

術曰:立天元一為倉長,如積求之。得二千一百六十為益實,九為從方,六為益廉,一為正隅,立方開之得倉長,合問。

今有圓囤,貯粟三百六十四斛五分斛之四。只云上周如下周太半,高如下周少半。問周、高各幾何?答曰:上周二丈四尺,下周三丈六尺,高一丈二尺。

術曰:立天元一為上周,如積求之。得一萬三千八百二十四為益實,一為正隅,立方開之得上周,合問。

今有圓囤,高一丈二尺,周四丈八尺,盛粟滿中而適盡。只云今已運出三百八十四斛,問餘粟殘深幾何?答曰:殘深七尺。

術曰:立天元一為殘深,如積求之。得一千八為益實,一百四十四為從方,開無隅平方而一,得殘深,合問。

今有方倉、圓囤各一所,貯粟三千三百一十二斛。只云倉廣少於倉長四尺,多於倉深二尺,又多囤徑二分之一,卻與囤高等。問倉、囤高、深、長、廣各幾何?

答曰:倉廣一丈八尺,長二丈二尺,深一丈六尺;囤徑一丈二尺,高一丈八尺,周三丈六尺。

術曰:立天元一為倉廣,如積求之。得一萬二千四百二十為益實,一十二為益方,三為從廉,二為正隅,立方開之得倉廣,合問。

今有方倉四,圓囤五,受粟四千七百六十八斛。只云倉長取中半自乘,減七尺,餘與囤高等。又囤徑取中半自乘,加三尺,卻與倉深同。倉方多於囤徑二尺,問倉、囤高、深、方、徑各幾何?

答曰:倉方一丈,深一丈九尺;囤徑八尺,高一丈八尺。

術曰:立天元一為倉半方面,如積求之。得一萬二千二十五為益實,二百一十為從方,二十六為益上廉,六十二為益下廉,三十一為從隅,三乘方開之得半方倉面,合問。

今有粟一千九十六斛八斗,用倉、囤各一貯之,不盡者,平地堆之。只云倉長多於倉深七尺,不及囤周二丈,倉深卻多平地粟高三尺。倉闊如倉長二分之一。圓囤周高和得四十八尺,其平地粟高自乘加入粟高與粟周等。問三事各得幾何?

答曰:倉長一丈六尺,闊八尺,深九尺;囤周三丈六尺,高一丈二尺;粟周四丈二尺,高六尺。

術曰:立天元一為倉深,如積求之。得五萬二千八百九十三為益實,二千三百一十三為從方,一十八為益上廉,八十二為從二廉,一十三為益下廉,一為正隅,四乘方開之得倉深。又立天元一為倉長,如積求之。得一十四萬六千一百一十二為益實,四萬四千四百六十為從方,八千九百九十二為益上廉,九百三十六為從二廉,四十八為益下廉,一為正隅,四乘方開之得倉長。又立天元一為倉闊,如積求之。得一萬八千二百六十四為益實,一萬一千一百一十五為從方,四千四百九十六為益上廉,九百三十六為從二廉,九十六為益下廉,四為從隅,四乘方開之得倉闊。又立天元一為囤周,如積求之。得二千三百萬一百一十二為益實,三百八十六萬三千三百四十為從方,二十六萬三百五十二為益上廉,八千七百七十六為從二廉,一百四十八為益下廉,一為正隅,四乘方開之得囤周。又立天元一為囤高,如積求之。得二百三十萬二千九百九十二為正實,六十萬八百七十六為益方,六萬三千三百六十為從上廉,三千四百為益二廉,九十二為從下廉,一為益隅,四乘方開之得囤高。又立天元一為粟高,如積求之。得四萬四千七百一十二為益實,三千四百二十為從方,二百八十八為從上廉,一十六為從二廉,二為從下廉,一為正隅,四乘方開之得粟高,合問。

○商功修築(七問)编辑

今有積築圓城一座,計積四百八十八萬五千三百四十四尺。只云下內、外周差一百八尺,上內、外周差四丈二尺。上、下外周差六十尺,上、下內周差六尺。下廣少如高六尺,卻多上廣一丈一尺,高不及上內周一萬六千二百二十四尺。令侵城撅壕,取土築城。定壕廣三丈,問內、外周,高及上、下廣並濠深各得幾何?

答曰:下外周(九里三十步),內周(九里八步二尺),廣(一丈八尺);上外周(九里一十八步),內周(九里九步三尺),廣(七尺);高二丈四尺,深一丈三尺二寸一萬二百七十五分寸之七十四。

術曰:立天元一為城高,如積求之。得四百八十八萬五千三百四十四為益實,一十八萬六千九百四十八為益方,一萬六千二百四十七為從廉,一為正隅,立方開之,得高二丈四尺。餘依加減求之。求濠深術曰:四因城積,三除為實。又城下外周並入六個壕廣及城外周,折半,以濠廣乘之為法。實如法而一,即濠深合問。

今有築方城一座,計積四千五百四十一萬七千六百尺。只云下面外方減十步,餘開方除之,並入下廣,共得六十五步。又開方數少如上面外方三千五百四十六步,上面內外方差四步,上面外方多如下面內方六步。上、下廣差三步,上廣不及高五步一尺。令侵城四角周回撅圜池,取土築城及燒磚包城。令池上廣三丈五尺,下廣三丈。計料,內、外城頭合用條磚二千四百萬個,其磚每個長一尺,闊五寸,厚二寸半。每人日常役二十四尺,每人日燒磚及包訖城磚三十個。今差夫五萬人,一齊興功。問上、下,內、外方、廣及高,並興功畢日、池深各幾何?

答曰:下,外方(一十里一十步),內方(一十里),廣(二丈五尺);上,外方(一十里六步),內方(一十里二步),廣(一丈);高三丈六尺,池深二丈五尺五寸二千四百六十七分寸之四百八十三;興功五十一日一千一百二十五分日之四百七十三。

術曰:立天元一為下廣,如積求之。得四十一萬二千三百四十八為益實,一萬一千一百四十八步六分為從方,一萬四千八百九十八步二分為從上廉,一百三十一步八分為益下廉,一為正隅,三乘方開之得下廣。餘依加減求之。求池深術曰:列積四之三而一於上,又一磚之積乘合用磚數,四之,五而一,加上為實。又城外方身外加四,三之,加六個池上廣,為池外周。又池內周加六個池下闊,為池底外周;並而半之,為池底停周;又並池內、外周而半之,為池上停周。倍之,加底停周,以上廣乘之於上,又倍底停周加上停周,以下廣乘之,並上,如六而一,所得為法,除實,即池深。求興功畢日術曰:置城積並入合用磚數,以二人乘之為實。並人日常積及人日燒用磚數,以共差夫乘之,得數為法,實如法而一,合問。

今有仰觀台一所,計積一萬八千五百二十八尺。只云並上、下袤為實,平方開之,得數減於上廣,不及一丈三尺。卻於上、下袤差同,又如高三分之一。上、下廣差六尺。欲興功補為圓台。上、下斜長就為圓徑。限一日畢役,每人常積二十七尺,問上、下廣袤,及高,大、小四段弧積、用徒各幾何?

答曰:上廣(二丈一尺),下廣(二丈七尺),上袤(二丈八尺),下袤(三丈六尺),高二丈四尺;二大弧積七千七百二十尺,徒二百八十五人二十七分人之二十五;二小弧積二千七百二尺,徒一百人二十七分人之二。

術曰:立天元一為台上廣,如積求之。得一萬八千七百七十四為益實,七百二為益方,三百九十一為從上廉,三十六為益下廉,一為正隅,三乘方開之得上廣。餘依加減求之。求二大弧積術曰:上廣減於上弦,餘半之為上兩邊各補之廣,上袤內加補廣,為上兩邊各補之長。又下廣減於下弦,餘半之,為下兩邊各補之廣,下袤內加補廣,為下兩邊各補之長。倍上長,加下長,以上廣乘之於上。又倍下長,加上長,以下廣乘之加上,以高乘之,如六而一,得二大弧之積。如每人常積除之,得用徒。求二小弧積及用徒者,如前術入之即得,合問。

今有造龍尾堤一所,只云高多上廣二尺,如下廣三分之二。高並上廣自乘,不及袤九十六尺。每人日程常積二十九尺,用徒一千八百四十人,限一日役畢。問堤上、下廣及高、袤各幾何?

答曰:上廣一丈,下廣一丈八尺,高一丈二尺,袤五百八十尺。術曰:立天元一為堤高,如積求之。得四萬二十為益實,二十五為益方,五十二為從上廉,五為益下廉,二為從隅,三乘方開之得堤高,合問。

今有造仰觀台一所,只云上、下袤差一丈四尺。並上、下廣虛加二為實,六為從方,一為從隅,平方開之,不及上廣八尺。上袤多於上廣二分之一,高多下袤七尺。每日用徒二百二十七人,每人日程常積二十四尺。五日役畢,問台上、下廣、袤及高各幾何?

答曰:上袤(二丈四尺),下袤(三丈八尺),上廣(一丈二尺),下廣(二丈六尺),高(四丈五尺)。

術曰:立天元一為台之上廣,如積求之。得七萬七千六百四為益實,一千八百一十三為益方,五百四十六為益上廉,三十一為從下廉,六為從隅,三乘方開之即台上廣,合問。

今有造圓台一所,只云並上、下周、高為實,平方除之,如上周弱半。高與上、下周差同,高多開方數二分之一。每日用徒一十九人,限一十二日役畢。每人日程常積三十二尺。問台高及上、下周各得幾何?

答曰:上周(四丈八尺),下周(七丈二尺),高(二丈四尺)。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得一十三萬一千三百二十八為益實,二十八為從二廉,八為益三廉,一為正隅,四乘方開之,得十二為開方數。倍之,即高。餘依加減求之,合問。

今有造方台一所,共支功食錢二百五十七貫六百二十二文七分文之六。只云以台高為正實,十為益方,一為正隅,平方開之。所得再為實,開平方除之,少如先開方數。中半上方,多如先開方數強半。上、下方和得三十八尺,每人日程常積二十八尺,每三人支錢二貫四百七十七文七分文之一。用徒日自倍,令四日役畢。問台上、下方、高及逐日用徒、支錢各幾何?

答曰:上方(一丈六尺),下方(二丈二尺),高(二丈四尺)。

初日二十人五分人之四,錢一十七貫一百七十四文七分文之六;次日四十一人五分人之三,錢三十四貫三百四十九文七分文之五;三日八十三人五分人之一,錢六十八貫六百九十九文七分文之三;末日一百六十六人五分人之二,錢一百三十七貫三百九十八文七分文之六。

術曰:立天元一為後開方數,如積求之。得六千五百五十二為益實,三千六百一十為從上廉,七百四十一為益三廉,七十八為從五廉,四為益隅,七乘方開之,得二尺為後開方數。自之,即先開方數。四之,為台上方。餘依加、減求之。每日用徒及錢者,如法求之,合問。

○和分索隱(一十三問)编辑

今有句三步十分步之九,股五步五分步之一。問弦幾何?答曰:六步二分步之一。

術曰:立天元一為弦,如積求之。得一十萬五千六百二十五為益實,二千五百為從隅,平方開之得弦。不盡,按連枝同體術求之。合問。今有股五步五分步之一,弦六步二分步之一,問句幾何?

答曰:三步十分步之九。

術曰:立天元一為句,如積求之。得一千五百二十一為益實,一百為從隅,平方開之得句。不盡,按之分法求之。合問。今有弦六步二分步之一,句三步十分步之九。問股幾何?

答曰:五步五分步之一。

術曰:立天元一為股,如積求之。得二千七百四為益實,一百為從隅,平方開之得股。不盡,按之分法入之。合問。

今有直積一十八步一十二分步之五,只云長取四分之三,闊取三分之一為共,如長一十七分步之一十六。問長、平各幾何?答曰:長五步(三分步之二),闊三步(四分步之一)。

術曰:立天元一為長,如積求之。得三千七百五十七為益實,一百一十七為從隅,平方開之得長。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積一百一十步二分步之一,只云長平和二十一步一十二分步之五,問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為平,如積求之。得一千三百二十六為益實,二百五十七為從方,一十二為益隅,平方開之得平。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積一百一十步二分步之一,只云長、平差四步一十二分步之一。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為平,如積求之。得一千三百二十六為益實,四十九為從方,一十二為從隅,平方開之得平。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積一百一十步二分步之一,只云三平內減二長,餘有六分步之三。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為長,如積求之。得一千九百八十九為益實,三為從方,一十二為從隅,平方開之得長。不盡,按之分法入之。合問。

今有直積一百一十步二分步之一,只云平取八分之三,長取九分之四,共得八步一十二分步之一十一。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為長,如積求之。得三萬五千八百二為益實,七千七百四為從方,三百八十四為益隅,平方開之得長。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積一百一十步二分步之一,只云並一長、二平、三和、四較,共得一百一十步一十二分步之八。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為平,如積求之。得一萬六百八為益實,一千三百二十八為從方,一十二為益隅,平方開之得平。不盡,按之分術求之。合問。

今有直積,加平四分之一共得一百一十二步三分步之二。只云一和、五平,內減四長、三較,餘一步一十二分步之六。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為平,如積求之。得二千二十八為益實,二十七為從隅,平方開之得平。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積,加平,減較,餘一百一十五步一十二分步之一。只云三長、二平多於二和、三較一十二分步之六。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為長,如積求之。得四千一百三十一為益實,一十八為從方,二十四為從隅,平方開之得長。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積,加長,以平乘之,得一千六十八步六分步之一。只云二和、一長內減三平、五較餘九步六分步之一。問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為平,如積求之。得一萬二千八百一十八為益實,五十五為益方,三十一為益廉,二十四為從隅,立方開之得平。不盡,按之分法求之。合問。

今有直積,自乘,減和冪,餘一萬一千七百五十一步一百四十四分步之八十三。只云較不及平四步一十二分步之七,問長、平各幾何?答曰:平八步(三分步之二),長一十二步(四分步之三)。

術曰:立天元一為平,如積求之。得一百六十九萬五千二百五十二為益實,三千九百六十為從方,一千七百二十九為從上廉,二千六百四十為益下廉,五百七十六為從隅,三乘方開之得平。不盡,按之分法求之。再得一百四萬二千八十四億五千二百八十一萬二千八百為益實,二千三百三十七億三十六萬一百九十二為從方,九千一百九十萬二千五百二十八為從上廉,一萬五千七百九十二為從下廉,一為正隅,三乘方開之,得三百八十四。與分母約之,合問。


卷中编辑

○如意混和(二問)编辑

今有金球、銀球、玉球各一隻,共積三十二寸五萬五千二百六十四分寸之一萬一千三十一,計重一秤一十斤一十一兩一十八銖一萬三千八百一十六分銖之一萬三千六百一十一。只云金圓周多如銀圓周一寸,銀圓周卻多玉圓周一寸。金圓周依古法,銀圓周依徽術,玉圓周從密率。金方一寸,重一十五兩一十八銖;銀方一寸,重一十二兩六銖(金銀方寸之重皆按張邱建術);玉方一寸,重七兩(按《黃帝九章》法)。問三圓周及積寸、重各幾何?

答曰:金圓周九寸(積一十五寸一十六分寸之三,重一十四斤一十五兩四銖八分銖之七),銀圓周八寸(積一十寸一百五十七分寸之三十,重七斤一十二兩二十銖一百五十七分銖之二十八),玉圓周七寸(積六寸三百五十二分寸之二百八十九,重二斤一十五兩一十七銖四十四分銖之四十一)。

術曰:立天元一為金圓周,如積求之。得五百三十六萬八千一百一十三為益實,四萬九千四百六十四為從方,二萬九千六百八十二為益廉,一萬五十一為從隅,立方開之得金圓周。又立天元一為銀圓周,如積求之。得五百三十三萬八千二百八十為益實,二萬二百五十三為從方,四百七十一為從廉,一萬五十一為從隅,立方開之得銀圓周。又立天元一為玉圓周,如積求之。得五百三十萬七千五百五為益實,五萬一千三百四十八為從方,三萬六百二十四為從廉,一萬五十一為從隅,立方開之得玉圓周,合問。

今有三角垛,四角垛,果子、方箭、圓箭、平圓徑、立圓徑、平方面、立方面、茭草垛各一,所共積一萬五百八十九算。只云立方面不及三角底面一個,如平方面五分之二;茭草底子多三角底面一束,卻與立圓徑等;圓箭外周如四角底面太半,如方箭外周中半;三角、四角底面相和得三十三個;平圓徑多於四角底面七分之四。問九事各幾何?

答曰:三角底子一十五個,四角底子一十八個,方箭外周二十四隻,圓箭外周一十二隻,平圓徑四十二尺,立圓徑一十六尺,平方面三十五尺,立方面一十四尺,茭草底子一十六束。

術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得二百八十四萬六千八百三十五為正實,六十萬八千四百三十九為益方,一萬八千八百六十五為從廉,六百三為從隅,立方開之得三角底子。又立天元一為四角底子,如積求之。得二千四百九十八萬二千三百四十四為正實,二百六十萬六千六百五十二為益方,七萬八千五百六十二為從廉,六百三為益隅,立方開之得四角底子。又立天元一為方箭外周,如積求之。得八千八百八十二萬六千一百一十二為正實,六百九十五萬一千七十二為益方,一十五萬七千一百二十四為從廉,九百單四半為益隅,立方開之得方箭外周。又立天元一為圓箭外周,如積求之。得二千二百二十萬六千五百二十八為正實,三百四十七萬五千五百三十六為益方,一十五萬七千一百二十四為從廉,一千八百九為益隅,立方開之得圓箭外周。又立天元一為平圓徑,如積求之。得九億五千二百一十萬四千八百八十八為正實,四千二百五十七萬五千三百一十六為益方,五十四萬九千九百三十四為從廉,一千八百九為益隅,立方開之得平圓徑。又立天元一為立圓徑,如積求之。得三百四十七萬三千五百三十六為正實,六十四萬四千三百六十為益方,一萬七千五十六為從廉,六百三為從隅,立方開之得立圓徑。又立天元一為平方面,如積求之。得七百五萬五千八百二十五為正實,七十一萬一千一百二十五為益方,一萬三百三十七為從廉,一百二十步六分為從隅,立方開之得平方面。又立天元一為立方面,如積求之。得二百二十五萬七千八百六十四為正實,五十六萬八千九百為益方,二萬六百七十四為從廉,六百三為從隅,立方開之得立方面。又立天元一為茭草底子,如積求之。得三百四十七萬三千五百三十六為正實,六十四萬四千三百六十為益方,一萬七千五十六為從廉,六百三為從隅,立方開之得茭草底子,合問。

○方圓交錯(九問)编辑

今有方圓田各一段(圓從古法),二積相乘,得一萬五千五百五十二步。只云方田面除圓田周得三步,問方面、圓周各幾何?答曰:方面一十二步,圓周三十六步。

術曰:立天元一為方田面,如積求之。得二萬七百三十六為益實,一為正隅,開三乘方除之,得方田面一十二步。又立天元一為圓田周,如積求之。得一百六十七萬九千六百一十六為益實,一為正隅,三乘方開之得圓田周,合問。

今有方、圓田各一段(圓從徽術),共積二百四十七步一百五十七分步之二十九。只云方面自乘,內加圓周,共得一百八十步。問圓周、方面各幾何?

答曰:圓周三十六步,方面一十二步。

術曰:立天元一為圓田周,如積求之。得二萬一千九十六為益實,三百一十四為益方,二十五為正隅,平方開之得圓田周。又立天元一為方田面,如積求之。得七十三萬二千三百八十四為正實,八千六百八十六為益上廉,二十五為正隅,三乘方開之得方田面,合問。

今有方、圓田各一段(圓從密率),方田積內減圓田周,圓田積內減方田面,餘二數並得一百九十九步一十一分步之一。只云圓周冪減方面餘一千二百八十四步,問方面、圓周各幾何?

答曰:圓周三十六步,方面一十二步。

術曰:立天元一為圓田周,如積求之。得一億四千五百一十七萬七千二百為正實,八十八為益方,二十二萬六千六十五為益上廉,八十八為正隅,三乘方開之得圓周,合問。

今有方、圓田各一段(圓從古法),圓田積加方田面於上,又方田積加圓田周內減上,餘六十步。只云圓周、方面相和四十八步。問圓周、方面各幾何?

答曰:圓周三十六步,方面一十二步。

術曰:立天元一為圓田周,如積求之。得二萬六千三百五十二為正實,一千一百二十八為益方,一十一為正隅,平方開之得圓田周,合問。

今有方、圓田各一段(圓從徽率),方田冪內減圓田積,餘以方田冪乘之,得五千八百七十七步一百五十七分步之六十三。只云方田面如圓田周三分之一,問方田面、圓田周各幾何?

答曰:方面一十二步,圓周三十六步。

術曰:立天元一為方田面,如積求之。得二億八千九百七十四萬四千一百二十八為益實,一萬三千九百七十三為正隅,三乘方開之得方田面,合問。

今有方、圓田各一段(圓從密率),方田積內減方田面,圓田積內減圓田周,二餘數相乘,得八千八百五十六步。只云方面不及圓周二十四步,問方面、圓周各幾何?

答曰:圓周三十六步,方面一十二步。

術曰:立天元一為圓田周,如積求之。得八百五十七萬二千六百八為益實,五十八萬八百為益方,九萬三千六百三十二為從上廉,四千七百四十一為益下廉,七十七為從隅,三乘方開之得圓周,合問。

今有方、圓田各一段(圓從古法),方田積內減圓田積,餘以圓田徑乘之,得四百三十二步。只云方田周虛加一算,平方開之,不及圓田徑五步。問方面、圓周各幾何?

答曰:圓周三十六步,方面一十二步。

術曰:立天元一為圓田徑,如積求之。得六千九百一十二為益實,五百七十六為從方,四百八十為益上廉,一百三十六為從二廉,二十為益下廉,一為正隅,四乘方開之得圓田徑,三之為圓周。合問。

今有方圓田各一段(圓從徽術),方田積內減圓田周三分之二,餘數於上。圓田積內加方田面二分之一,減上,餘一十步一百五十七分步之一百二十八。只云並方面、圓周為益實,二為益方,三為從廉,一為從隅,立方開之,得數如方田面弱半。問圓周、方面各幾何?

答曰:圓周三十六步,方面一十二步。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得一萬一百八十八為益實,一千八百八十四為從方,一萬四百八十八為從上廉,二千七十二為從二廉,二百二十五為從三廉,四百五十為益下廉,七十五為益隅,五乘方開之得開方數三步,四之即方田面。合問。

今有方、圓田各一段(圓從密率),圓田積內加二個圓田周,減一段方田積,餘數於上。又方田積內加三個方田面,減一段圓田積,餘數加上,以方田面少半乘之,又以圓田周六分之一乘之,得二千三百四步。只云方田面為益實,四為益方,三為從廉,一為正隅,立方開之,得數以十八乘之,與圓田周等。問方面、圓周各幾何?

答曰:方面一十二步,圓周三十六步。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得一千一百五十二為益實,五十六為益二廉,三十為從三廉,一十九為從四廉,六為從五廉,一為從隅,六乘方開之,得二步為開方數,合問。

○三率究圓(一十四問)编辑

今有平圓積四十九步三百一十四分步之二百三十九,問為徽圓周幾何?答曰:二十五步。

術曰:立天元一為徽圓周,如積求之。得一萬五千六百二十五為益實,二十五為從隅,平方開之,合問。

今有平圓積四十九步三百一十四分步之二百三十九,問為徽圓徑幾何?答曰:七步一百五十七分步之一百五十一。

術曰:立天元一為徽圓徑,如積求之。得一百五十六萬二千五百為益實,二萬四千六百四十九為從隅,平方開之。不盡,以連枝同體術求之。合問。

今有平圓積四十五步一十一分步之九,問為密圓周幾何?答曰:二十四步。

術曰:立天元一為密圓周,如積求之。得五百七十六為益實,一為正隅,平方開之,合問。今有平圓積四十五步一十一分步之七,問為密圓徑幾何?

答曰:七步一十一分步之七。

術曰:立天元一為密圓徑,如積求之。得七千五十六為益實,一百二十一為從隅,平方開之,得七步。不盡,按之分法求之。合問。今有立圓積九百七十二尺,問為古立圓徑幾何?

答曰:一丈二尺。

術曰:立天元一為古立圓徑,如積求之。得一萬五千五百五十二為益實,九為從隅,立方開之,得一丈二尺,合問。今有立圓積九百七十二尺,問為古立圓周幾何?

答曰:三丈六尺。

術曰:立天元一為古立圓周,如積求之。得四萬六千六百五十六為益實,一為正隅,立方開之,得三丈六尺,合問。

今有立圓積九百二十八尺一百五十七分尺之一百四,問為徽立圓徑幾何?答曰:一丈二尺。

術曰:立天元一為徽立圓徑,如積求之。得一千七百二十八為益實,一為正隅,立方開之,合問。

今有立圓積九百二十八尺一百五十七分尺之一百四,問為徽立圓周幾何?答曰:三丈六尺。

術曰:立天元一為徽立圓周,如積求之。得四萬六千六百五十六為益實,一為正隅,立方開之,得三丈六尺,合問。今有立圓積九百二十七尺一十一分尺之九,問為密立圓徑幾何?

答曰:一丈二尺。

術曰:立天元一為密立圓徑,如積求之。得三十二萬六千五百九十二為益實,一百八十九為從隅,立方開之,合問。今有立圓積九百二十七尺一十一分尺之九,問為密立圓周幾何?

答曰:三丈六尺。

術曰:立天元一為密立圓周,如積求之。得四萬六千六百五十六為益實,一為正隅,立方開之,得三丈六尺,合問。今有平冪二百六十五尺,問為平方面幾何?

答曰:一十六尺一十一分尺之三。術曰:立天元一為平方面,如積求之。得二百六十五為益實,一為正隅,平方開之。不盡,命分,合問。今有平方面一十六尺一十一分尺之三,問為平冪幾何?答曰:二百六十五尺。

術曰:立天元一為平冪,如積求之。得三萬二千六十五為益實,一百二十一為從方。上實下法而一,合問。今有立冪五百七十四尺,問為立方面幾何?

答曰:八尺七分尺之二。

術曰:立天元一為立方面,如積求之。得五百七十四為益實,一為正隅,立方開之。不盡,命分,合問。今有立方面八尺七分尺之二,問為立冪幾何?

答曰:五百七十四尺。

術曰:立天元一為立冪,如積求之。得一十九萬六千八百八十二為正實,三百四十三為益方,無隅平方開之,合問。○明積演段(二十問)

今有直積一十二步,只云句弦和八步。問句股較幾何?答曰:一步。

術曰:立天元一為較,如積求之。得二十三為正實,二十八為益方,四為從廉,一為從隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步,問句弦較幾何?

答曰:二步。

術曰:立天元一為句弦較,如積求之。得七十二為益實,六十四為從方,一十六為益廉,一為正隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問股弦較幾何?

答曰:一步。

術曰:立天元一為股弦較,如積求之。得九為正實,二十八為益方,二十為從廉,一為益隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問弦和較幾何?

答曰:二步。

術曰:立天元一為弦和較,如積求之。得七十二為正實,七十二為益方,一十六為從廉,一為正隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問弦較較幾何?

答曰:四步。

術曰:立天元一為弦較較,如積求之。得一百九十二為益實,一百二十八為從方,二十四為益廉,一為正隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問句較較幾何?

答曰:二步。

術曰:立天元一為句較較,如積求之。得八為正實,八為從方,八為益廉,一為正隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問句股和幾何?

答曰:七步。

術曰:立天元一為句股和,如積求之。得五百五十三為正實,一百為益方,四為益廉,一為正隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問股弦和幾何?

答曰:九步。

術曰:立天元一為股弦和,如積求之。得九為正實,一百為益方,二十為從廉,一為益隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步,問弦較和幾何?

答曰:六步。

術曰:立天元一為弦較和,如積求之。得七十二為正實,七十二為益方,一十六為從廉,一為益隅,立方開之,合問。今有直積一十二步,只云句弦和八步。問弦和和幾何?

答曰:一十二步。

術曰:立天元一為弦和和,如積求之。得一百九十二為益實,一百二十八為益方,二十四為從廉,一為益隅,立方開之,合問。

今有直積一百二十步,只云黃方乘句股較得四十二步,問句及黃方各幾何?答曰:句八步,黃方六步。

術曰:立天元一為句,如積求之。得二萬八百為正實,五百一十七為益上廉,三為從隅,三乘方開之得句。

又立天元一為黃方,如積求之。得五萬五百四十四為正實,一千四百四十為益上廉,一為從隅,三乘方開之,合問。

今有直積一百二十步,只云弦較較乘弦和較得六十步。問黃方幾何?答曰:六步。

術曰:立天元一為黃方,如積求之。得三十六為益實,一為從隅,平方開之,合問。

今有直積一百六十八步,只云句弦較乘弦和較得一百八步,問句弦較幾何?答曰:一十八步。

術曰:立天元一為句弦較,如積求之。得一萬四百九十七步六分為益實,二百九十一步六分為益上廉,一為正隅,三乘方開之,合問。

今有直積一百八步,只云句弦較乘句股較得一十八步。問句幾何?答曰:九步。

術曰:立天元一為句,如積求之。得三百七十七萬九千一百三十六為益實,六萬九千九百八十四為從上廉,二百七為益三廉,一為益隅,五乘方開之,合問。

今有直積一百六十八步,只云股弦較乘句弦較得一十八步。問弦和和幾何?答曰:五十六步。

術曰:立天元一為弦和和,如積求之。得三千一百三十六為益實,一為從隅,平方開之,合問。

今有直積一百八步,只云弦較較乘句弦較得七十二步。問弦和較幾何?答曰:六步。

術曰:立天元一為弦和較,如積求之。得五千一百八十四為益實,一百四十四為從隅,平方開之,合問。

今有直積一百二十步,只云股弦和乘句弦較得二百八十八步。問黃方幾何?答曰:六步。

術曰:立天元一為半黃方,如積求之。得三千六百為正實,四百九為益上廉,一為從隅,三乘方開之,得半黃方面。倍之,合問。

今有直積一百二十步,只云句弦和乘股弦較得五十步。問黃方及句股和幾何?答曰:黃方六步,句股和二十三步。

術曰:立天元一為黃方,如積求之。得五萬七千六百為正實,一千六百三十六為益上廉,一為正隅,三乘方開之,得黃方。又立天元一為句股和,如積求之,得一千八百四十為正實,八十為益方,開無隅平方除之,合問。

今有直積一百八步,只云句弦和乘股弦和得六百四十八步。問黃方及弦各幾何?答曰:黃方六步,弦一十五步。

術曰:立天元一為黃方,如積求之。得二萬三千三百二十八為益實,六百四十八為從隅,平方開之,得黃方六步。又立天元一為弦,如積求之。得一千八十為正實,七十二為益方,上實下法而一,得弦,合問。

今有直積一百八步,只云五和五較相乘得三千七百八十步。問弦幾何?答曰:一十五步。

術曰:立天元一為弦,如積求之。得七千九百七十四億九千三百六十五萬六百二十五為益實,七十五億二千二百八十四萬二千六百為從上廉,二千五十二萬四千九百九十五為益三廉,一萬二千六百三十六為從隅,五乘方開之得弦,合問。

○句股測望(八問)编辑

今有直邑,不知大小,各中開門。只云南門外二百四十步有塔,人出西門行一百八十步見塔。複抹邑西南隅行一里二百四十步,恰至塔所。問邑長、闊各幾何?

答曰:長一里一百二十步,闊一里。

術曰:立天元一為邑半長,如積求之。得一十八億六千六百二十四萬為正實,一千五百五十五萬二千為從方,二十七萬為益上廉,四百八十為從下廉,一為正隅,三乘方開之,得二百四十步。倍之,即長。又立天元一為邑半闊,如積求之。得一十八億六千六百二十四萬為正實,二千七十三萬六千為從方,二十七萬為益上廉,三百六十為從下廉,一為正隅,三乘方開之,得一百八十步。倍之即闊,合問。

今有圓城,不知大小,各中開門。甲、乙俱從城心而出,甲出南門一十五步而立,乙出東門四十步見甲。問城周幾何?答曰:一里。

術曰:立天元一為城之半圓徑,如積求之。得三十六萬為正實,六萬六千為從方,二千四百為從上廉,一為益隅,三乘方開之,得半圓徑六十步。倍而三之,即城周也。合問。

今有方城,不知大小,各中開門。北門外九十步有郵亭一所,人於城中出西門外,行一百六十步,卻遙望參城隅見亭。問城方幾何?答曰:二百四十步。

術曰:立天元一為城之半方面,如積求之。得一萬四千四百為益實,一為正隅,平方開之,得一百二十步。倍之,合問。

今有圓城,不知高遠。立兩表各高一丈二尺,表間相去八十尺,令前表與後表參相直。於前表退行六十尺,人目薄地遙望,乳頭與前表末參合;又從後表退行一百尺,人目薄地遙望,乳頭與後表末參合。問城高及前表去城各幾何?

答曰:城高三丈六尺,表去城一百二十尺。

術曰:立天元一為城高,如積求之。得一千四百四十為正實,四十為益方,上實下法而一,得城高。求表去城者,以前表退行乘表間為實,兩表退行差為法,實如法而一,合問。

今有方城,上有戍樓不知高遠。立兩表齊高一丈五尺,表間相去八十步,令前表與後表參相直。人目高四尺,於前表退行三十步,遙望樓岑,與前表末參合。複望樓足,入表五尺六寸。又從後表退行五十步,遙望樓岑,與後表末參合。問城、樓各高幾何?

答曰:樓高二丈八尺,城高三丈一尺。

術曰:立天元一為樓高,如積求之。得二千八百為益實,一百為從方,開無隅平方而一,得樓高。求城高者,置表高減人目及入表,餘乘表間為實,以兩表退行相多為法,實如法而一,合問。

今有方城,不知大小。立兩表東西相去四十三步二分,齊人目以索連之。令東表與城東南隅及東北隅參相直,於東表退行一十四步八分,遙望城西北隅入索東端一十步。又卻北行去表六十四步八分,遙望城西北隅適與西表末相參合。問城方去表、去城各幾何?

答曰:城方六里三百四十步,去表一十里八十五步(五分步之一)。

術曰:立天元一為城方,如積求之。得五千為正實,二為益方,上實下法而一,得城方。求表去城者,入索乘北行去表,以兩表相去除之,得為景差。內減東去表,餘以為法。又北行去表內減景差,餘乘東表退行為實。實如法而一,即表去城之遠,合問。

今有營居山頂,岩底有泉,欲汲而不知其深。偃矩山上,令句高四尺,從句端望泉,入下股六尺。又設重矩於上,其矩間相去一丈六尺,更從句端望泉,入上股五尺六寸。問岩深幾何?

答曰:岩深二十二丈。

術曰:立天元一為岩深,如積求之。得二十二尺為正實,一寸為從方,上實下法而一即岩深,合問。

今有登山臨邑,不知門高。偃矩山上,令句高三尺。斜望門額入下股四尺八寸,複望門閫入下股二尺八寸八分。又複立重矩於上,其間相去五尺。更從句端斜望門額,入上股三尺六寸,又望門閫,入上股二尺四寸。問城門高幾何?

答曰:門高一丈。

術曰:立天元一為門高,如積求之。得五十寸為正實,五分為益方,開無隅平方而一得門高,合問。

○或問歌彖(一十二問)编辑

或問今有方池一所,每面丈四方停。葭生西岸長其形,出水三十寸整。東岸蒲生一種,水上一尺無零。葭蒲稍接水齊平,借問三般怎定?答曰:水深一丈二尺,蒲長一丈三尺,葭長一丈五尺。

術曰:立天元一為水深,如積求之。得二千一百六十為正實,一百九十二為益方,一為正隅,平方開之,合問。又立天元一為蒲長,如積求之。得二千三百五十三為正實,一百九十四為益方,一為正隅,平方開之,合問。又立天元一為葭長,如積求之。得二千七百四十五為正實,一百九十八為益方,一為從隅,平方開之,合問。

或問務前聽得語云云,新熟醇醨共一盆。醇酒一升醉三客,醨酒三升醉一人。都來共飲十二斗,座中醉倒五十人。借問四方能算者,幾多醨酒幾多醇?

答曰:醇酒三升七合半(醉一十一人四分人之一)。醨酒一碩一斗六升二合半(醉三十八人四分人之三)。

術曰:立天元一為醇酒數,如積求之。得三十為益實,八為從方,上實下法而一,得醇酒數。又立天元一為醨酒數,如積求之。得九百三十為正實,八為益方,開無隅平方而一,得醨酒。又立天元一為飲醇酒人數,如積求之。得九十為正實,八為益方,上實下法而一,得醇酒人。又立天元一為飲醨酒人數,如積求之。得三百一十為益實,八為從方,開無隅平方而一,得醨酒人數。不盡者約之,合問。

或問今有直田一畝足,正向中間生竿竹。四角至竹各十三,借問四事元數目?答曰:長二十四步,闊一十步。

術曰:立天元一為長,如積求之。得五萬七千六百為正實,六百七十六為益上廉,一為正隅,三乘方開之得長。又立天元一為闊,如積求之。得五萬七千六百為益實,六百七十六為從上廉,一為益隅,三乘方開之得闊。又立天元一為和,如積求之。得一千一百五十六為益實,一為正隅,平方開之得和。又立天元一為較,如積求之。得一百九十六為正實,一為負隅,平方開之,得較,合問。或問

我有一壺酒,攜著遊春走。遇務添一倍,逢店飲斗九,店務經四處,沒了壺中酒。借問此壺中,當元多少酒?答曰:一斗七升八合一勺二抄五撮。

術曰:立天元一為當元壺中酒,如積求之。得二百八十五為益實,一十六為從方,上實下法而一,合問。

或問九百九十九文錢,及時梨果買一千。一十一文梨九個,七枚果子四文錢。

答曰:梨六百五十七個,價八百三文;果三百四十三枚,價一百九十六文。

術曰:立天元一為梨數,如積求之。得二萬六千九百三十七為益實,四十一為從方,開無隅平方而一,得梨。又立天元一為果數,如積求之。得一萬四千六十三為正實,四十一為益方,上實下法而一,得果。

又立天元一為梨價,如積求之。得三萬二千九百二十三為正實,四十一為益方,開無隅平方除之,得梨價。又立天元一為果價,如積求之。得八千三十六為正實,四十一為益方,上實下法而一,得果價,合問。或問

院內秋千跳起,杆索未審高低。腳登畫版女嬌嬉,離地版高一尺。隻見送行兩步,版高三尺無奇。杆繩長短怎生知?除演天元如積。答曰:杆長二丈七尺,索長二丈六尺。

術曰:立天元一為杆長,如積求之。得一百八為正實,四為益方,開無隅平方除之,得杆長。又立天元一為索長,如積求之。得一百四為正實,四為益方,上實下法而一,得索長,合問。

或問六貫二百一十錢,倩人去買幾株椽,每株腳錢三文足,無錢準與一株椽。答曰:椽四十六株,株價一百三十五文。

術曰:立天元一為椽數,如積求之。得二千七十為益實,一為益方,一為從隅,平方開之,得椽數。又立天元一為每株椽價,如積求之。得一萬八千六百三十為益實,三為從方,一為正隅,平方開之,得株價,合問。或問

方城里周六十四,假使金磚遍鋪地。每條均鑄厚一寸,長闊相和拾一尺。寸金十五兩為法,尚帶零銖一十八。每磚計重十七斤,一十五兩六銖答,七絲二黍在其中,共是一磚之重率。長闊金磚用幾何?惱得先生沒亂殺。

答曰:闊二寸四分,長七寸六分,磚四十五億四千七百三十六萬八千四百二十一枚一十九分枚之一,重八百一十六億四千八百萬斤。

術曰:立天元一為磚闊,如積求之。得一十八寸二分四厘為正實,一十寸為益方,一寸為正隅,平方開之,得磚闊。求磚數者,以寸里法通城積為實,以一磚之積寸為法實,如法而一。不盡,約之為分,合問。

或問今有人來贖解,本多利少難評。共收四貫別無零,說破源流即省。本利各開方畢,並之與日相停。若還相減甚分明,四十文差餘剩。

答曰:本錢三貫六百文,月利四十一文(三分文之二),兩個月二十日,利錢四百文。

術曰:立天元一為本錢,地元一為利錢,天地配合求之。得一百四十四萬為益實,四千為從方,一為益隅,平方開之得本錢。餘依加減求之,合問。

或問元有直田一畝地,橫行六步豎行四,斜行十五至隅頭,借問長平數目事?答曰:長一十六步,闊一十五步。

術曰:立天元一為長,地元一為平,天地配合求之。得五萬七千六百為正實,二千八百八十為益方,一百七十三為益上廉,八為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得長。又立天元一為闊,地元一為長,天地配合求之。得五萬七千六百為正實,一千九百二十為益方,一百七十三為益上廉,一十二為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得闊,合問。

或問一隻銀盤三尺周,內容三隻水晶球。若人算得穿心徑,萬兩黃金也合酬。答曰:五寸(六十九分寸之二十五)。

術曰:立天元一為球子徑,如積求之。得三百為益實,六十為從方,一為正隅,平方開之,得球子徑四寸。不盡,命分。以減盤徑,合問。

或問積減弦長與半平,餘與三句五股停。句弦股弦差相並,要作元長少半平。答曰:句八步,股一十五步,弦一十七步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,三才相配求之。得四百八十為益實,六十為從方,開無隅平方而一,得句。開地元股,得四百八十為益實,三十二為從方,上實下法除之,得股。開人元弦,得五百一十為益實,三十為從方,開無隅平方除之,得弦,合問。

○茭草形段(七問)编辑

今有茭草六百八十束,欲令落一形埵之。問底子幾何?答曰:一十五束。

術曰:立天元一為落一底子,如積求之。得四千八十為益實,二為從方,三為從廉,一為正隅,立方開之,合問。今有茭草一千八百二十束,欲令撒星形埵之。問底子幾何?

答曰:一十三束。

術曰:立天元一為撒星底子,如積求之。得四萬三千六百八十為益實,六為從方,一十一為從上廉,六為從下廉,一為正隅,三乘方開之,合問。今有茭草三千三百六十七束,欲令嵐峰形埵之。問底子幾何?

答曰:一十二束。

術曰:立天元一為嵐峰底子,如積求之。得八萬八百八為益實,二為從方,九為從上廉,十為從下廉,三為從隅,三乘方開之,合問。

今有茭草八千五百六十八束,欲令撒星更落一形埵之。問底子幾何?答曰:一十四束。

術曰:立天元一為撒星更落一底子,如積求之。得一百二萬八千一百六十為益實,二十四為從方,五十為從上廉,三十五為從二廉,一十為從三廉,一為正隅,四乘方開之,合問。

今有茭草五萬三百八十八束,欲令嵐峰更落一形埵之。問底子幾何?答曰:一十六束。

術曰:立天元一為嵐峰更落一底子,如積求之。得六百四萬六千五百六十為益實,六為從方,三十五為從上廉,五十為從二廉,二十五為從三廉,四為正隅,四乘方開之,合問。

今有茭草一垛,直錢二十五貫五百七十八文。只云最上一束直錢九文,次下層層每束累貴三文。問底子幾何?答曰:二十八束。

術曰:立天元一為茭草底子,如積求之。得一十五萬三千四百六十八為益實,二十一為從方,二十七為從廉,六為從隅,立方開之,合問。

今有茭草一垛,直錢四十二貫八百四十六文。只云最下每束直錢六文,次上層層每束累貴五文,問底子幾何?答曰:三十六束。

術曰:立天元一為茭草底子,如積求之。得二十五萬七千七十六為益實,一十三為從方,一十八為從廉,五為從隅,立方開之,合問。○箭積交參(七問)

今有方、圓箭各一束,共積九十七隻。只云方箭外周不及圓箭外周四隻,問方、圓周各幾何?答曰:圓周二十四隻,方周二十隻。

術曰:立天元一為圓箭外周,如積求之。得四千六百八為益實,二十四為從方,七為從隅,平方開之得圓周,合問。

今有方、圓箭各一束,共積六十二隻。只云二周相和得三十四隻,問方、圓周各幾何?答曰:方周一十六隻,圓周一十八隻。

術曰:立天元一為方箭外周,如積求之。得二千五百六十為正實,二百七十二為益方,七為正隅,平方開之,得方周,合問。

今有方、圓箭各一束,圓箭多如方箭一十二隻。只云方箭與圓箭外周等,問方、圓周各幾何?答曰:周各二十四隻。

術曰:立天元一為方、圓箭外周,如積求之。得五百七十六為益實,一為正隅,平方開之,合問。

今有方圓箭各一束,共積九十七隻。只云方箭外周如圓箭外周六分之五,問方、圓周各幾何?答曰:方周二十隻,圓周二十四隻。

術曰:立天元一為方箭外周,如積求之。得一十一萬四千為益實,一千三百二十為從方,二百一十九為從隅,平方開之得方周,合問。

今有方、圓箭各一束,共積六十二隻。只云圓箭外周太半與方箭外周強半等。問方、圓周各幾何?答曰:圓周一十八隻,方周一十六隻。

術曰:立天元一為圓箭外周,如積求之。得一萬九千四百四十為益實,三百六為從方,四十三為從隅,平方開之,得圓周,合問。

今有方、圓箭各一束,共積二百八十一隻。只云圓周四分之一,不及方周七分之五八隻。問方、圓周各幾何?答曰:方周二十八隻,圓周四十八隻。

術曰:立天元一為方箭外周,如積求之。得四十九萬三千一百三十六為益實,三萬一千三百四為益方,一千七百四十七為正隅,平方開之,得方周,合問。

今有方、圓箭各一束,共積二百八隻。只云圓箭外邊第二層周數加二隻,與方箭外邊弟一層周數同。問方、圓周各幾何?答曰:圓周三十六隻,方周三十二隻。

術曰:立天元一為圓箭外周,如積求之。得九千九百三十六為益實,二十四為從方,七為從隅,平方開之,得圓周,合問。○撥換截田(一十九問)

今有半種金田一段,長五十步,斜闊一十步。與鄰對撥圭田一段。只云並圭田長、闊、較為正實,一十五為益方,一為正隅,平方開之,少如較四步,問圭田長、闊各幾何?

答曰:長二十五步,闊一十六步。

術曰:立天元一為半種金田之中股,如積求之。得二千四百為正實,一百為從方,五十為益隅,平方開之,得中股八步。又立天元一為較,如積求之。得四千一百七十六為正實,三千三百四十四為益方,六百三十五為從上廉,四十四為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得較,合問。

今有四不等田一段,東長二十六步,西長二十五步,南闊一十四步,北闊一十七步。與鄰對換直田一段。只云並直田長、較為益實,五為從方,一為從隅,平方開之,所得不及平七步。問長、平各幾何?

答曰:長三十一步,平一十二步。

術曰:立天元一為四不等之元方面,如積求之。得四百八十為正實,二十八為從方,二為益隅,平方開之,得二十四步。又立天元一為平,如積求之。得七百四十四為益實,一十四為從方,八為益廉,一為正隅,立方開之,得平,合問。

今有圭田一段不雲圭闊,只云長五十步,直銀五十四兩。今從尖截闊一十二步,直銀六兩。問截長及圭闊各幾何?答曰:截長一十六步太半步,闊三十六步。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得二千五百為正實,九為益隅,平方開之得截長。不盡,按之分術求之,合問。

今有梯田一段,小闊一十二步,大闊二十步,直錢三十二貫文。今從大頭截長四步,直錢九貫五百文。問截闊及元長各幾何?答曰:截闊一十八步,元長一十六步。

術曰:立天元一為截闊,如積求之。得三百二十四為正實,一為益隅,平方開之得截闊,合問。

今有梯田一段,小闊二十五步,大闊六十五步,正長一百六十步今從小闊截撥七畝一百一十二步,問截長、闊各幾何?答曰:截長五十六步,闊三十九步。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得一萬四千三百三十六為益實,二百為從方,一為從隅,平方開之,得截長,合問。

今有梯田一段,大闊四十二步,小闊一十八步,正長一百二十步。今從大闊截地十畝一百八十七步二分步之一,問截長、闊各幾何?答曰:截長七十五步,截闊二十七步。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得二萬五千八百七十五為益實,四百二十為從方,一為益隅,平方開之,得截長,合問。

今有圭田一段,長一百三十六步,闊六十八步。今從尖截地二畝四分,問截長、闊各幾何?答曰:截長四十八步,截闊二十四步。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得二千三百四為益實,一為正隅,平方開之,得截長,合問。

今有圭田一段,長一百二十步,闊四十八步。今欲從闊截賣七畝七十五步,問截長、闊各幾何?答曰:截長四十五步,截闊三十步。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得一千七百五十五為益實,四十八為從方,二分為益隅,平方開之,得截長,合問。

今有圭田一段,長一百七十四步,闊一百一十六步。今從東豎截句股積三百三十七步半,問截句、股各幾何?答曰:截句十五步,截股四十五步。

術曰:立天元一為截句,如積求之。得二百二十五為益實,一為正隅,平方開之,得截句,合問。

今有句股田一段,股長八十六步,句闊二十五步八分。今從尖截賣地一百五十三步六分,問截長、闊各幾何?答曰:截長三十二步,闊九步六分。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得一千二十四為益實,一為正隅,平方開之,得截長,合問。

今有句股田一段,句闊五十七步,股長九十五步。今從句橫截地八畝三十七步半,問截長、闊各幾何?答曰:截長四十五步,截闊三十步。

術曰:立天元一為截長,如積求之。得六千五百二十五為正實,一百九十為益方,一為正隅,平方開之,得截長,合問。

今有句股田一段,句闊六十步,股長一百五十步。令甲、乙、丙三人分之,甲截積二千九十步,乙截積一千八百五步,丙截積六百五步。從南橫截一句股與乙,從東豎截一句股與丙,外剩直田一段與甲。問三人各截長、闊各幾何?

答曰:甲截長五十五步,截闊三十八步;乙截股九十五步,截句三十八步;丙截股五十五步,截句二十二步。

術曰:立天元一為乙截句,如積求之。得一千四百四十四為益實,一為正隅,平方開之,得乙截句(即甲截闊)。又立天元一為丙截股,如積求之。得六百五為益實,二分為從隅,平方開之得丙截股(即甲截長),合問。

今有梯田一段,正長二百一十步,小闊五十步,大闊九十二步。令甲、乙、丙、丁分之。甲截積六千三百五十二步二分步之一,乙截積五千三十七步二分步之一,丙截積二千一百六十二步二分步之一,丁截積一千三百五十七步二分步之一。從上先截給甲,次與乙、丙、丁,問各截長、闊幾何?

答曰:甲截長一百五步,截闊七十一步;乙截長六十五步,截闊八十四步;丙截長二十五步,截闊八十九步;丁截長一十五步,截闊九十二步。

術曰:立天元一為甲截長,如積求之。得六萬三千五百二十五為益實,五百為從方,一為從隅,平方開之,得甲截長。又立天元一為乙截長,如積求之。得一萬七十五為益實,一百四十二為從方,二分為從隅,平方開之,得乙截長。又立天元一為丙截長,如積求之。得四千三百二十五為益實,一百六十八為從方,二分為從隅,平方開之,得丙截長。又立天元一為丁截長,如積求之。得二千七百一十五為益實,一百七十八為從方,二分為從隅,平方開之,得丁截長,合問。

今有弧田一段,弦長七十步,矢闊二十五步。今從弧背複截弧矢積二十六步,問截弦、矢各幾何?答曰:截弦二十四步,截矢二步。

術曰:先求得圓徑七十四步。立天元一為截矢,如積求之。得二千七百四為益實,一百四為從上廉,二百九十六為從下廉,五為益隅,三乘方開之,得截矢二步。自之,以減倍積,餘以矢除之,即弦,合問。

今有圓田一段,周二百六十七步。今從邊截一弧,計積一千三百一十二步中半步,問截弦、矢各幾何?答曰:截矢二十五步,截弦八十步。

術曰:立天元一為截矢,如積求之。得六百八十九萬六百二十五為正實,五千二百五十為益上廉,三百五十六為益下廉,五為正隅,三乘方開之,得截矢,合問。

今有圓田一段,徑九十步。甲、乙共截一弧,其甲從邊複截一弧,以次給乙。甲截積二百八十三步二分步之一,乙截積五百二十六步二分步之一。問甲、乙各截弦、矢幾何?

答曰:甲截矢九步,截弦五十四步;乙截矢九步,截弦七十二步。

術曰:立天元一為甲截矢,如積求之。得三十二萬一千四百八十九為正實,一千一百三十四為益上廉,三百六十為益下廉,五為正隅,三乘方開之,得甲截矢九步。列甲積,通分內子,內減矢冪。餘以矢除之,即甲截弦。又立天元一為共截矢,如積求之。得二百六十二萬四千四百為益實,三千二百四十為從上廉,三百六十為從二廉,五為益隅,三乘方開之,得共截矢一十八步。內減甲截矢,餘即乙截矢。又共矢自之,以減甲、乙並積通分內子之數,餘以共矢而一,即乙截弦,合問。

今有圓田一段,甲東截一弧,計積三十一步中半步。乙西截一弧,計積九十步。只云甲截矢少如乙截矢三步,問二弧各截弦、矢幾何?

答曰:甲截矢三步,截弦一十八步;乙截矢六步,截弦二十四步。

術曰:立天元一為甲截矢,如積求之。得三萬五千七百二十一為正實,三萬五千七百二十一為從方,一萬七百七十三為從上廉,九千六百六十六為益二廉,二百七為從三廉,三十三為從下廉,五為益隅,五乘方開之,得甲截矢。又立天元一為乙截矢,如積求之。得六十為益實,一十六為從方,一為益隅,平方開之,得乙截矢,合問。

今有大、小圓田各一段,共地六畝六十四分畝之六十一。只云小圓徑如大圓徑八分之五。今於二圓從邊各截一弧,共積二百二十二步半,其小弧矢不及大弧矢三步。問二弧矢各幾何?

答曰:截大弧矢八步,弦三十二步;截小弧矢五步,弦二十步。

術曰:立天元一為大圓徑,如積求之。得一千六百為益實,一為從隅,平方開之,得大圓徑四十步。五之,八而一,即小圓徑。又立天元一為截小矢,如積求之。得四億三千二百九十一萬五千一百二十五為正實,四千二百四十三萬八百為益方,一千二百六十萬一千四百五十為益上廉,二十二萬六千一百五十四為益二廉,一十八萬七千五百一十一為從三廉,五千七百二為從四廉,七百五十三為益五廉,一十四為益下廉,一為正隅,七乘方開之,得截小矢五步。倍之,以減小圓徑,餘自之,以減小圓徑冪,餘為實,開平方,即小弧弦,合問。

今有圓田一段,內複有圓池占之(二圓皆依古法),餘地八畝強半畝。只云環之實徑自乘,多於通徑二十步。今欲從西豎截車輞積五百三十八步,問截池弦、池矢及內、外周,兩頭博徑各幾何?

答曰:截池矢六步,池弦三十六步;內周三十七步二分,外周七十步四分;博徑一十四步,實徑一十步。

術曰:立天元一為環之實徑,如積求之。得七百為益實,二十為益方,一為益廉,一為從隅,立方開之,得實徑。求得通徑八十步,池徑六十步。又二之輞積,如實徑而一,得一百七步六分,為車輞內外周相和之數。

又立天元一為截池矢,如積求之。得一兆四千九十九萬七千九百一十七億五千五百五十九萬一千九百三十六為正實,二千五百五十八萬三千億三千九百八十三萬八千七百二十為益方,一十八萬七千八百二十九億八千四百六十三萬一十六為從上廉,二萬七千六百五十四億五千三百九十萬九千七百六十為從二廉,一百二十四億五千一百八十六萬八千六十四為益三廉,九億二千二百七十四萬三千三百六十為益四廉,四百九十五萬五千六百六十四為益五廉,八萬二千三百二十為從下廉,二千四百一為從隅,七乘方開之,得截池矢六步。倍之,以減池徑,餘自乘,複減池徑冪,餘為實,平方開之,得截池弦。又池矢自乘,倍之,以池徑除之,得數為池周弦差,加池弦,得輞內周。以減內、外周相和之數,餘即外周。又池矢加實徑為通矢,自乘,倍之,以通徑除之,所得為輞外周弦差。以減外周,餘即通弦。內減池弦,餘半之,即博徑,合問。

(圖略)

○如像招數(五問)编辑

今有官司差夫一千八百六十四人築堤,只云初日差六十四人,次日轉多七人。每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升。問築堤幾日?答曰:一十六日。

術曰:立天元一為茭草底子,如積求之。得一千八百為益實,六十七半為從方,三半為從隅,平方開之,得茭草底子一十五束。加一即日數。米求日術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得八萬四百為益實,五百九十為從方,二百一十三為從廉,七為從隅,立方開之,得三角底子一十五個。加一,即日數,合問。

今有官司,依平方招兵。初段方面四尺,次日方面轉多二尺,每人日給銀一兩二錢。已招兵四千九百五十六人,支銀二萬六千四十兩。問招來幾日?

答曰:一十四日。

術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得七千三百五十六為益實,七十三為從方,二十一為從廉,二為從隅,立方開之,得三角底子一十二個。加二,即日數。

銀求日術曰:立天元一為三角落一底子,如積求之。得六萬四千八百九十六為益實,二百三十六為從方,九十五為從上廉,一十六為從下廉,一為從隅,三乘方開之,得三角落一底子一十二個。加二,即日數,合問。

今有官司依圓箭束招兵,初束外周一十二隻,次束外周轉多六隻,每八日給米四升。已招四千九百五人,支米九百三十一碩二斗。問招來幾日?答曰:一十五日。

術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得四千八百四十九為益實,四十八為從方,一十二為從廉,一為從隅,立方開之,得三角底子一十三個。加二,即日數。

米求日術曰:立天元一為三角落一底子,如積求之。得九萬二千八百二十為益實,三百二十八為從方,一百二十一為從上廉,一十八為從下廉,一為從隅,三乘方開之,得三角落一底子一十三個,加二,即日數,合問。

今有官司依平方招兵,初段方面五尺,次段方面轉多一尺。每人日給米三升,次日轉多三升。已招二千四百四十人,支米四千四百七十七碩三斗二升。問招來幾日?

答曰:一十五日。

術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得一萬四千二百七十四為益實,二百五十三為從方,三十九為從廉,二為從隅,立方開之,得三角底子一十三個,加二,即日數。米求日術曰:立天元一為三角嵐峰底子,如積求之。得五千三百六十七萬四千九百二十為益實,七萬三千三百八十六為從方,三萬六千七百三十五為從上廉,七千九百五十為從二廉,七百五為從下廉,二十四為從隅,四乘方開之,得三角嵐峰底子一十三個。加二,即日數,合問。

今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面轉多一尺。每人日支錢二百五十文。已招二萬三千四百人,支錢二萬三千四百六十二貫。問招來幾日?

答曰:一十五日。

術曰:立天元一為三角落一底子,如積求之。得九萬二千七百三十六為益實,六百六十為從方,一百八十一為從上廉,二十二為從下廉,一為正隅,三乘方開之,得三角落一底子一十二個。加三,即日數。錢求日術曰:立天元一為三角撒星底子,如積求之。得五百六十一萬八百四十為益實,一萬八千三百六十二為從方,六千三百九十為從上廉,一千七十五為從二廉,九十為從三廉,三為正隅,四乘方開之,得三角撒星底子一十二個。加三,即日數(或問還原。依立方招兵,初招方面三尺,次招方面轉多一尺,得數為兵。今招一十五方,每人日支錢二百五十文,問招兵及支錢各幾何?答曰:兵二萬三千四百人,錢二萬三千四百六十二貫。術曰:求得上差二十七,二差三十七,三差二十四,下差六。求兵者,今招為上積;又今招減一為茭草底子積,為二積;又今招減二為三角底子積,為三積;又今招減三為三角落一積,為下積。以各差乘各積,四位並之,即招兵數也。求支錢者,以今招為茭草積,為上積;又今招減一為三角底子積,為二積;又今招減二為三角落一積,為三積;又今招減三為三角撒星積,為下積。以各差乘各積,四位並之,所得,又以每日支錢乘之,即得支錢之數也)。合問。


卷下编辑

○果垛疊藏(二十問)编辑

今有三角垛果子一所,直錢一貫三百二十文。只云從上一個直錢二文,次下層層每個累貴一文,問底子每面幾何?答曰:九個。

術曰:立天元一為每面底子,如積求之。得三萬一千六百八十為益實,十為從方,二十一為從上廉,一十四為從下廉,三為從隅,三乘方開之,得每面底子,合問。

今有四角垛果子一所,直錢一貫三百六十五文。只云底子每個直錢一文,次上層層每個累貴二文。問底子每面幾何?答曰:九個。

術曰:立天元一為每面底子,如積求之。得八千一百九十為益實,一為從方,二為從上廉,二為從下廉,一為正隅,三乘方開之,合問。今有四角落一形果子積五百四十個。問底子幾何?

答曰:八個。

術曰:立天元一為四角落一底子,如積求之。得六千四百八十為益實,二為從方,五為從上廉,四為從下廉,一為正隅,三乘方開之,合問。今有三角嵐峰形果子積六百三十個,問底子幾何?

答曰:六個。

術曰:立天元一為三角嵐峰底子,如積求之。得七萬五千六百為益實,六為從方,三十五為從上廉,五十為從二廉,二十五為從三廉,四為從隅,四乘方開之,合問。

今有四角嵐峰形果子積四百四十八個,問底子幾何?答曰:五個。

術曰:立天元一為四角嵐峰底子,如積求之。得二萬六千八百八十為益實,一為從方,一十二半為從上廉,二十五為從二廉,一十七半為從三廉,四為正隅。四乘方開之,合問。

今有三角撒星更落一形果子積九百二十四個,問底子幾何?答曰:七個。

術曰:立天元一為三角撒星更落一底子,如積求之。得六十六萬五千二百八十為益實,一百二十為從方,二百七十四為從上廉,二百二十五為從二廉,八十五為從三廉,一十五為從四廉,一為正隅,五乘方開之,合問。

今有奇層圓錐垛果子積九百三十二個,問高幾層?答曰:一十五層。

術曰:立天元一為層數,如積求之。得七千四百五十五為益實,二為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,合問。

今有三角台垛果子積五百四個,只云上、下面底子和得二十一個。問上、下面各幾何?答曰:上面七個,下面一十四個。

術曰:立天元一為下面底子,如積求之。得六千一百三十二為益實,六百六十二為從方,三十為益廉,一為正隅,立方開之,合問。

今有四角台垛果子積一千一百一十一個,只云上面不及下面五個,卻多層數五個。問上、下面及高各幾何?答曰:上面一十一個,下面一十六個,高六層。

術曰:立天元一為上面個數,如積求之。得六千九百四十一為益實,九十五為益方,六為從隅。立方開之,合問。

今有芻童垛果子積八十二個,只云並下長、上闊,平方開之,加入下闊,共得八個。下闊不及下長二個,上闊如上長二分之一,高與上長同。問上、下長、闊及高各幾何?

答曰:下闊五個,下長七個,高四,上闊二個,上長四個。

術曰:立天元一為下闊,如積求之。得九十五萬三千一百九十為正實,七十七萬二千三百六十八為益方,二十五萬四千八百六十一為從上廉,四萬三千七百三十八為益二廉,四千一百一十二為從三廉,二百一為益四廉,四為正隅,五乘方開之,合問。

今有芻甍垛果子積一百個。只云並下長、下闊及高為共,減二,餘以平方開之,與上長等。下長多於上長中半,上長不及下闊一個,問上、下長、闊及高各幾何?

答曰:上長四個,下長八個,下闊五個,高五個。

術曰:立天元一為上長,如積求之。得一百二十為益實,二為從方,五為益上廉,一為益下廉,一為正隅,三乘方開之,合問。

今有圓錐垛果子一所,令甲、乙、丙分之,甲分五百八個,乙分四百一個,丙分二百一十五個。從上給丙奇層,次中給乙偶層,次下與甲奇層。問各分層數幾何?

答曰:甲三層,乙四層,丙九層。

術曰:立天元一為丙分層數,如積求之。得一千七百一十九為益實,二為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,得丙分層數。又立天元一為乙、丙共分層數,如積求之。得四千九百二十七為益實,二為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,得一十三層。內減丙分層數,餘即乙分層數。又立天元一為共高層數,如積求之。得八千九百九十二為益實,二為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,得共高一十六層。內減乙、丙層數,餘即甲分層數,合問。

今有四角垛果子一所,令甲、乙、丙分之。甲分五百九十個,乙分四百四十六個,丙分二百四個。從下給甲,次中與乙,次上與丙。問各分層數幾何?

答曰:甲三層,乙四層,丙八層。

術曰:立天元一為共高層數,如積求之,得七千四百四十為益實,一為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,得共高層數。又立天元一為丙分層數,如積求之。得一千二百二十四為益實,一為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,得丙分八層。又立天元一為乙、丙共分層數,如積求之。得三千九百為益實,一為從方,三為從廉,二為從隅,立方開之,得一十二層。內減丙分層數,餘為乙分層數。以減共高,餘即甲分層數,合問。

今有三角、四角垛果子各一所,共積一百一十一個。只云四角底面不及三角底面一個,問二底面各幾何?答曰:三角底面六個,四角底面五個。

術曰:立天元一為三角底面,如積求之。得二百二十二為益實,一為從方,一為從隅,立方開之,得三角底面,合問。

今有三角、四角垛果子各一所,四角積內減三角積餘二十個。只云三角、四角底面和得一十五個,問各幾何?答曰:四角底面七個,三角底面八個。

術曰:立天元一為四角底子,如積求之。得一千四百為益實,二百五十六為從方,一十五為益廉,一為正隅,立方開之,合問。

今有三角垛果子三所,四角垛果子六所,共積一千二百七十二個。只云四角底面乘三角底面得四十八個,問二底面各幾何?答曰:四角底面四個,三角底面一十二個。

術曰:立天元一為四角底子,如積求之。得五萬五千二百九十六為正實,三千四百五十六為從方,四十八為從上廉,一千二百七十二為益二廉,一為從三廉,三為從下廉,二為從隅,五乘方開之,合問。

今有三角垛果子二所,四角垛果子三所,共積六百五十二個。只云三角底面除四角底面得二個,問二底面各幾何?答曰:三角底面四個,四角底面八個。

術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得一千九百五十六為益實,五為從方,二十一為從上廉,二十五為從隅,立方開之,合問。

今有四角垛果子積,以三角垛果子積除之,得七個。只云三角底面如四角底面七分之四,問二底面各幾何?答曰:三角底面四個,四角底面七個。

術曰:立天元一為三角底子,如積求之。得三百九十二為正實,三百七十八為從方,一百一十九為益隅,平方開之,合問。

今有三角、四角果子積相乘,得二萬三千一百個。只云並三角、四角底面,平方開之,不及四角底面三個。問二底面各幾何?答曰:四角底面七個,三角底面九個。

術曰:立天元一為四角底面,如積求之。得八十三萬一千六百為益實,九百九十為從方,八百七十七為從上廉,二千五百三十為益二廉,三百五十八為從三廉,一千四百二十六為從四廉,一千一十六為益五廉,二百九十二為從六廉,三十九為益下廉,二為從隅,八乘方開之,合問。

今有三角、四角果子各一所,共積二百一十一個。只云三角底子一層之數與四角底子一層之數等,問二底面各幾何?答曰:三角底面八個,四角底面六個。

術曰:立天元一為三角底面,如積求之。得六百四十一萬一千二十四為正實,三萬五千四百五十為益方,四萬五千五百三十三為益上廉,一萬一十二為益二廉,九十九為從三廉,三十為從下廉,二為正隅,五乘方開之,合問。

○鎖套吞容(一十九問)编辑

今有圓田一段,內有圓池占之,餘積六百一十二步。只云實徑自乘不及內周四十八步,卻與內外周差等。問三事各幾何?答曰:實徑六步,內周八十四步,外周一百二十步。

術曰:立天元一為實徑,如積求之。得二千四百四十八為益實,三十二為從上廉,一為從隅,三乘方開之,得實徑,合問。

今有方田一段,內有環池占之。餘積以環內圓徑乘之,減外周冪,餘二萬五千一百六十四步。只云四角至池外楞各長一十一步半,內、外周差三十六步。問三事各幾何?

答曰:內圓徑二十八步,田方四十五步,池環徑六步。

術曰:立天元一為環之內圓徑,如積求之。得一百二十九萬六千五百四十為益實,一萬四千七百四十九為從方,四百二十七為從廉,二十五為從隅,立方開之,得內圓徑,合問。

今有圓田一段,內有圭池,容邊占之。只云圭長不及圓徑三步半,卻多池闊十步半。問池長、闊及圓徑各幾何?答曰:池闊二十一步,池長三十一步半,圓徑三十五步。

術曰:立天元一為池闊,如積求之。得一百四十七為正實,一十四為從方,一為益隅,平方開之,得池闊,合問。

今有方田一段,靠東北角有圓池占之,餘積一萬二百二十五步。只云從田西南隅斜至池楞五十九步。問田方、池徑各幾何?答曰:池徑一百二十步,田方一百四十五步。

術曰:立天元一為池徑,如積求之。得五十五萬二千為益實,四千七百二十為從方,一為益隅,平方開之,得池徑,合問。

今有圓田一段,周一百二十步。被水從中穿為直河,分為弧田二段。只云二弧弦各長三十二步,問水面闊幾何?答曰:二十四步。

術曰:立天元一為水面闊,如積求之。得五百七十六為益實,一為從隅,平方開之,得水面闊,合問。

今有方田一段,靠西北隅有結角方池占之,餘積四千步。只云從田東南隅斜至池楞六十八步八分。問田、池各方幾何?答曰:池方十五步,田方六十五步。

術曰:立天元一為池方,如積求之。得七萬七千六百六十四為益實,五千九十一步二分為從方,五步七分六厘為從隅,平方開之,得池方,合問。

今有圓田一段,西邊被水侵入一弧。外有殘周五十三步,弦長二十步。問圓徑、弧背、矢闊各幾何?答曰:圓徑二十五步,矢闊五步,弦背二十二步。

術曰:立天元一為水侵弧矢,如積求之。得三萬為正實七千三百為益方,六百為從上廉,七十三為益下廉,一為正隅,三乘方開之得矢闊。又矢除半弦冪,加矢,即圓田徑。又倍矢冪,以圓徑除之,為弦背差。加弦,即弧背,合問。

今有方田一段,西北隅被水侵占之,餘積七千一百一十二步半。只云東南隅斜至水楞一百八步半,問田方及水長各幾何?答曰:田方八十五步,水長二十一步。

術曰:立天元一為田方面,如積求之。得一萬九千一百二十五為正實,三百一十為益方,一為正隅,平方開之。所得,七之,五而一,為田斜。內減雲數,餘為池斜。倍之,即水長,合問。

今有方五、斜七八角田一段,內複有方五、斜七八角池占之,餘積三千九百七十七步四十九分步之七。只云面徑至池楞各長一十七步,問田、池面各闊幾何?

答曰:田闊三十六步,池闊二十二步。

術曰:立天元一為池面闊,如積求之。得三十六萬二千二百八為益實,一萬六千四百六十四為從方,開無隅平方而一,得池闊。加差一十四,即外田面闊,合問。

今有圓田一段,被水侵入二弧。其大弧弦長二十四步,小弧弦長一十八步。問大、小二弧矢各幾何?答曰:大弧矢六步,小弧矢三步。

術曰:立天元一為大弧矢,如積求之。得一百四十四為益實,三十為從方,一為益隅,平方開之,得大弧矢。又立天元一為小弧矢,如積求之。得八十一為正實,三十為益方,一為正隅,平方開之,得小弧矢,合問。

今有圓田一段(圓從古法),上有圓池(圓從密率),中有直池,池邊下有方池各占之,餘積一千八百六十八步四分九厘五豪二絲。只云七池方面不及一直池長五步四分四厘,卻多三直池闊二步二分四厘。方池面、圓池周和得三十步,直池斜與方池冪等。問田池、周徑、長、闊各幾何?

答曰:圓田徑六十四步,圓池周二十二步,直池長六十一步(四分四厘),闊一十七步(九分二厘),圓池徑七步,方池面八步。

術曰:立天元一為圓池周,如積求之。得七千七百八十五萬五千一百二十六步八分為正實,一千五十五萬三千七百三十四步四分為益方,五十三萬二千三百一步五分為從上廉,一萬一千八百八十為益下廉,九十九為從隅,三乘方開之,得圓池周。餘依加減求之,合問。

今有方田一段,內有方池,池心複有方亭台各占之,三積共五千五十六尺。只云並台高、台方為益實,二從方,一益廉,一從隅,立方開之,並入台方面,共得一丈一尺。台高不及池方面九尺,台方面冪與外田方同。問三方面及台高各幾何?

答曰:田方六十四尺,池方二十五尺,台高一丈六尺,台方八尺。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得八千一百三十三為正實,四千六百九十七為益方,五百二十七為正上廉,一百二為正二廉,二十二為益下廉,一為正隅,四乘方開之,得三尺為開方數,合問。

今有圓田一段,內有圓池,池中複有圓亭台各占之,三積共九千五百四尺。只云台池二周皆以平方開之,相並,自之,與外田周等。其台周開方數如池周開方數二分之一,不及台高二尺。問三圓周及台高各幾何?

答曰:田周三百二十四尺,池周一百四十四尺,台周三丈六尺,台高八尺。

術曰:立天元一為台高,如積求之。得一十一萬二千七百六十八為益實,二千五百四十四為益方,一千八百八十八為從上廉,六百一十六為益二廉,七十二為從下廉,一為正隅,四乘方開之,得台高,合問。

今有圭田一段,闊一十四步,長二十四步。於內欲容圓池一所,問池徑幾何?答曰:一十步二分步之一。

術曰:立天元一為容圓池徑,如積求之。得一千一百七十六為益實,四十九為從方,六為從隅,平方開之,得圓徑,合問。

今有句股田一段,句闊一十八步,股長二十四步。今欲從句內容圓池一所,問容池周幾何?答曰:三十六步。

術曰:立天元一為容池周,如積求之。得七千七百七十六為正實,二百五十二為益方,一為正隅,平方開之,得池周,合問。

今有句股田一段,句闊六步,股長一十二步。今欲從句容方池一所,問容方面幾何?答曰:四步。

術曰:立天元一為容方面,如積求之。得七十二為益實,一十八為從方,開無隅平方而一,得容方面,合問。

今有梯田一段,小闊八步,大闊三十二步,長二十二步半。欲於大闊容圓池一所,問容池徑幾何?答曰:一十九步二分。

術曰:立天元一為大闊容圓徑,如積求之。得一十三萬八千二百四十為益實,四千六百八為從方,一百三十五為從隅,平方開之,得容圓徑,合問。

今有梯田一段,大闊三十二步,小闊八步長二十二步半。欲於小頭容圓池一所,問容池周幾何?答曰:四十步。

術曰:立天元一為小頭容圓徑,如積求之。得九百六十為益實,一百二十八為益方,一十五為從隅,平方開之,不盡,按之分法求之,得容圓徑。三之,即池周,合問。

今有圓田一段,內有匝邊容等徑圓池三所。只云田周減六步,餘為益實,一十四為從方,五為益廉,一為正隅,立方開之,得數加入圓徑,共得四十八步。問三池積幾何?

答曰:八百五十五步九十七分步之三十六。

術曰:立天元一為開方數,如積求之。得一百三十八為益實,一十七為從方,五為益廉,一為正隅,立方開之,得六步。以減雲數,餘為圓田徑。又立天元一為容圓池徑,如積求之。得五千二百九十二為益實,二百五十二為從方,一為正隅,平方開之,得池徑,不盡,命分。求池積術曰:列池徑,通分內子,自之於上。分母、分子相減,餘以子乘之,加上,三之,四而一,所得為實。以分母自之為法,實如法而一,不盡,約之,命分。三之,即三池積,合問。

○方程正負(八問)编辑

今有絲二百七十三兩,織錦七匹,織綾一匹;又絲二百四十七兩,織綾八匹,織綢一匹;又絲二百四十二兩,織綢九匹,織錦一匹。其錦匹長自乘,內減綾匹長,餘又自乘,內加綢匹長,共得三十五萬八千八百二十九尺。綾匹長不及綢匹長二尺,卻多錦匹長一尺。問三色用絲及匹法各長幾何?

答曰:綿二丈五尺,絲三十五兩;綾二丈六尺,絲二十八兩;綢二丈八尺,絲二十三兩。

術曰:如方程正負術入之,得三色每匹用絲之數。立天元一為錦匹長,如積求之。得三十五萬八千八百二十五為益實,三為從方,一為益上廉,二為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得錦匹長。又立天元一為綾匹長,如積求之。得三十五萬八千八百二十六為益實,五為益方,一十一為從上廉,六為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得綾匹長。又立天元一為綢匹長,如積求之。得三十五萬八千七百八為益實,一百五十三為益方,七十一為從上廉,一十四為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得綢匹長,合問。

今有米、麥、豆共糶,得錢三貫四百八文。只云米取弱半,麥取大半,豆取中半,共得二十八斗;又米取中半,麥取少半,豆取強半,共得三十二斗;又米取強半,麥取中半,豆取大半,共得三十七斗。其米斗價取三分之一,麥斗價取八分之五,豆斗價取二分之一,共得八十七文。又豆、麥斗價和得一百一十文,麥斗價少如米斗價八文。問三色及斗價各幾何?

答曰:米一碩六斗,斗價七十二文;麥一碩八斗,斗價六十四文;豆二碩四斗,斗價四十六文。

術曰:先以合分法求之,次如方程正負術入之。左行得米,中行得麥,右行得豆。又三色斗價如前術求之,得二貫八十八文,即三色共價。立天元一為米斗價,如積求之。得八百六十四為正實,一十二為益方,上實下法而一,得米斗價七十二文。又立天元一為麥斗價,如積求之。得七百六十八為正實,一十二為益方,開無隅平方而一,得麥斗價六十四文。又立天元一為豆斗價,如積求之。得五百五十二為益實,一十二為從方,上實下法而一,得豆斗價四十六文,合問。

今有圭田、梯田各一段,共八畝一十五分畝之八。只云梯取大闊六分之五,小闊取三分之二為共,減長八分之三,餘二十二步;又大闊取三分之一,長取四分之三為共,減小闊六分之五,餘四十步;又小闊取三分之一,長取八分之五為共,減大闊四分之三,餘二十一步。又倍圭長與圭闊冪等。問圭田長、闊各幾何?

答曰:圭田長三十二步,闊八步。

術曰:先以合分法求之,後如方程正負術入之。左行得長,中行得小闊,右行得大闊。又梯積減共積,餘為圭積。立天元一為圭長,如積求之。得三萬二千七百六十八為益實,一為正隅,立方開之,得圭長三十二步。又立天元一為圭闊,如積求之。得五百一十二為益實,一為從隅,立方開之,得圭闊八步,合問。

今有甲、乙、丙買絲各不知數。甲雲得乙絲三分之二,丙絲三分之一,滿二斤半;乙雲得甲絲三分之二,丙絲二分之一,亦滿二斤半;丙雲得甲、乙絲各三分之二,亦滿二斤半。其絲兩價取少半,自乘,內減大半兩價,餘又自乘,內加大半兩價,共得二千八百二十二貫四百八十四文。問絲及斤價各幾何?

答曰:甲一斤半,乙一斤二兩,丙一十二兩,斤價二貫一十六文。

術曰:置絲通兩,各以分母乘之,如方程正負術入之。左行得丙絲,中行得乙絲,右行得甲絲。立天元一為少半兩價,如積求之。得二百八十二萬二千四百八十四為益實,二為從方,四為從上廉,四為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得四十二文。以四十八乘之,即斤價,合問。

今有三斜田一段,只云並大斜一,中斜二,減小斜四,餘一十五步;又並大斜二,小斜三,減中斜五,少一十五步;又並中斜二,小斜一,減大斜二,餘一十五步。問中股幾何?

答曰:中股三十六步。

術曰:如方程正負術入之。左行得小斜,中行得中斜,右行得大斜。立天元一為中股,如積求之。得一千二百九十六為益實,一為正隅,平方開之,得中股,合問。

今有直田、環田各一段,共一十三畝四分畝之一。只云並環田外周一,中周二,實徑三,與六個直田斜相較之,多六步。又並外周二,中周一,直斜二,與六十三個實徑相較之,少二步。又並外周二,實徑五,直斜一,與四個中周相較之,多四步。又並中周二,實徑四,直斜一,與二個外周相較之,少六步。問直田長、平各幾何?

答曰:直田長七十步,闊二十四步。

術曰:如方程正負術入之。左行得直田斜,次行得實徑,次行得中周,右行得外周。又環積減共積餘為直積。立天元一為闊,如積求之。得二百八十二萬二千四百為正實,五千四百七十六為益上廉,一為正隅,三乘方開之得闊。又立天元一為長,如積求之。得二百八十二萬二千四百為益實,五千四百七十六為從上廉,一為益隅,三乘方開之,得長。又立天元一為和,如積求之。得八千八百三十六為益實,一為正隅,平方開之,得和。又立天元一為較,如積求之。得二千一百一十六為益實,一為正隅,平方開之,得較,合問。

今有句股田一段。取句弦和一,股弦和二,句弦較三為共,內減股弦較四,餘二百六十步。又句弦和二,股弦和一,股弦較三為共,內減句弦較四,餘七十六步。又句弦和三,句弦較二,股弦較一為共,內減股弦和二,餘五十五步。又股弦和二,句弦較一,股弦較三為共,內減句弦和三,餘二十八步。問句、股、弦各幾何?

答曰:句一十二步,股三十五步,弦三十七步。

術曰:如方程正負術入之。左行得股弦較,次行得句弦較,次行得股弦和,右行得句弦和。立天元一為句,如積求之。得一百四十四為益實,一為正隅,平方開之,得句。立天元一為股,如積求之。得一千二百二十五為益實,一為正隅,平方開之,得股。立天元一為弦,如積求之。得一千三百六十九為益實,一為正隅,平方開之,即弦,合問。

今有平圓、立圓、平方、立方各一所。只云平圓積取九分之一,立圓積取九分之二,平方積取五分之三,減立方積九分之八,盈二尺。又平圓積取九分之一,立方積取九分之二,立圓積取四分之一,減於平方積五分之四,不足二尺。又立圓積取四分之一,立方積取九分之二,平方積取五分之一,減平圓積三分之二,盈二尺。又平方積取五分之一,立方積取九分之四,平圓積取三分之一,減於立圓積九分之七,不足二尺。其立圓徑不及平方面一尺,卻多立方面一尺,如平圓徑三分之二。問四事各幾何?

答曰:平圓徑六尺,立圓徑四尺,平方面五尺,立方面三尺。

術曰:先以合分法求之,次如方程正負術入之。左行得立方積,次行得平方積,次行得立圓積,右行得平圓積。並之為共積。立天元一為平圓徑,如積求之。得二千四百八十四為益實,七十二為從方,三為益廉,十為從隅,立方開之,得平圓徑。又立天元一為立圓徑,如積求之。得三百六十八為益實,一十六為從方,一為益廉,五為正隅,立方開之,得立圓徑。又立天元一為平方面,如積求之。得三百九十為益實,三十三為從方,一十六為益廉,五為從隅,立方開之,得平方面。又立天元一為立方面,如積求之。得三百四十八為益實,二十九為從方,一十四為從廉,五為從隅,立方開之,得立方面,合問。

(圖略)

○雜範類會(一十三問)编辑

今有沈香立圓球一隻,徑十寸。今從頂截周八寸四分,問厚幾何?答曰:二分。

術曰:立天元一為截頂厚,如積求之。得一寸九分六厘為正實,一十寸為益方,一寸為從隅,平方開之得頂厚,合問。

今有人買酒,持錢一十二貫七百四十四文。只云每瓶納稅八十五文,又共與用錢一百二十六文。無錢納官準酒九瓶。問共酒及瓶價各幾何?答曰:共酒三十六瓶,瓶價三百五十四文。

術曰:立天元一為瓶價,如積求之。得一十二萬三百六十為益實,一十四為益方,一為正隅,平方開之,得瓶價,合問。

今有客持珍珠不知顆數,直銀一千二百兩。只云每顆納稅銀四錢,準納七顆,貼與客銀八兩二錢九分錢之二。問元珠及顆價各幾何?答曰:元珠一百三十五顆,顆價八兩八錢九分錢之八。

術曰:立天元一為元珠數,如積求之。得一十八萬九千為正實,一百八十五為益方,九為益隅,平開方之,即珠數。又立天元一為顆價,如積求之。得四十三萬二千為益實,七百四十為益方,六十三為正隅,平方開之,得顆價。不盡,按之分法求之,合問。

今有人贖解,本利共收九貫八百五十文。只云利錢平方開之,加入本錢,共得五貫六百九十文。

又開方數如日一百二十五分日之一十三(月率三十文,與日同),問本、利及日數,每貫月利幾何?

答曰:本五貫六百二十五文,每貫月利三十六文(七十五分文之四),二十個月零(二十五日),利四貫二百二十五文。

術曰:立天元一為本錢,如積求之。得三千二百三十六萬六千二百五十為正實,一萬一千三百七十九為益方,一為正隅,平開方之,即本錢。餘依法求之,合問。

今有錢八貫六百一十二文,已令五人分之。只云乙如甲五分之三,丙不及乙一貫八百八十文。並甲、丙,以乙除之,所得與戊同。丁少如丙七百九十文。問各分幾何?

答曰:甲四貫七百文,乙二貫八百二十文,丙九百四十文,丁一百五十文,戊二文。

術曰:立天元一為一分之率,如積求之。得九百四十為益實,一萬九千七百三十九為益方,二十一為從隅,平方開之,得九百四十文為一分之率,合問。

今有木圓球一隻,徑一尺八寸。欲令漆之,先用布抃。布闊二尺,問用布長幾何?答曰:三尺六寸(二十分寸之九)。

術曰:立天元一為布長,如積求之。得七尺二寸九分為益實,二尺為從方,上實下法而一,即長,合問。今有立方面五尺,問東南上角直至西北下角長幾何?

答曰:八尺六寸(一百七十三分寸之四)。

術曰:立天元一為斜長,如積求之。得七十四為益實,一為正隅,平方開之,不盡,命分,合問。今有圓材徑三尺。只云鋸深三寸,問鋸道長幾何?

答曰:一尺八寸。

術曰:立天元一為鋸道長,如積求之。得三百二十四為益實,一為正隅,平方開之,合問。今有圓材徑三尺。只云鋸道長一尺八寸,問深幾何?答曰:三寸。

術曰:立天元一為鋸深,如積求之。得八十一為正實,三十為益方,一為正隅,平方開之,合問。

今有天上雁三群,地上雁一群,共三百一隻。只云頭群、次群共二百五十六隻。又以次群除頭群,所得加地上雁,與末群同。地上雁不及次群四十三隻。問四群各幾何?

答曰:頭群一百九十二隻,次群六十四隻,末群二十四隻,地上二十一隻。

術曰:立天元一為次群雁,如積求之。得一百二十八為正實,六十六為益方,一為正隅,平方開之,得次群雁,合問。

今有徽術弧田一畝一百七十三步,只云矢不及弦五十步。問弦、矢各幾何?答曰:弦六十步,矢一十步。

術曰:立天元一為弦,如積求之。得三十三萬四千八百為正實,三萬為益方,四百七為從隅,平方開之,得弦,合問。

今有密率弧田積一百三十六步半。只云矢冪多於弦二十一步,問弦、矢各幾何?答曰:矢七步,弦二十八步。

術曰:立天元一為矢,如積求之。得七千二百三為益實,五百八十八為益方,一十四為益上廉,二十八為從下廉,一為正隅,三乘方開之,得矢七步,合問。

今有立方、立圓、平方各一所,共積二萬九千九百八十四尺。只云立圓徑如立方面七分之六,平方面如立圓徑三分之二。問三事各幾何?答曰:立圓徑二十四尺,立方面二十八尺,平方面一十六尺。

術曰:立天元一為立圓徑,如積求之。得一千二百九十五萬三千八十八為益實,一百九十二為從廉,九百二十九為從隅,立方開之,得立圓徑,合問。

○兩儀合轍(一十二問)编辑

今有句股積三十步,只云句股和一十七步。問句弦和幾何?答曰:一十八步。

術曰:立天元一為句弦和,地元一為句,天地配合求之。得三千六百為益實,三千七百六為益方,七十一為益上廉,三十四為從下廉,一為益隅,三乘方開之,合問。

今有句股積三十步,只云句股和一十七步。問股弦和幾何?答曰:二十五步。

術曰:立天元一為股弦和,地元一為股,天地配合求之。得三千六百為正實,三千七百六為從方,七十一為從上廉,三十四為益下廉,一為正隅,三乘方開之,合問。

今有句股積三十步,只云句股和一十七步。問弦和和幾何?答曰:三十步。

術曰:立天元一為弦和和,地元一為句,天地配合求之。得一百二十為正實,三十四為益方,一為正隅,平方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步。問弦較和幾何?

答曰:二十步。術曰:立天元一為弦較和,地元一為較,天地配合求之。得一萬四千四百為益實,四百三十六為從上廉,一為益隅,三乘方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問句股較幾何?答曰:七步。

術曰:立天元一為句股較,地元一為句,天地配合求之。得四十九為益實,一為正隅,平方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步。問句弦較幾何?

答曰:八步。

術曰:立天元一為句弦較,地元一為句,天地配合求之。得三千六百為益實,三千七百六為從方,七十一為益上廉,三十四為益下廉,一為益隅,三乘方開之,合問。

今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問股弦較幾何?答曰:一步。

術曰:立天元一為股弦較,地元一為股,天地配合求之。得三千六百為正實,三千七百六為益方,七十一為從上廉,三十四為從下廉,一為正隅,三乘方開之,合問。

今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問弦和較幾何?答曰:四步。

術曰:立天元一為弦和較,地元一為句,天地配合求之。得一百二十為正實,三十四為益方,一為從隅,平方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問弦較較幾何?

答曰:六步。

術曰:立天元一為弦較較,地元一為較,天地配合求之。得一萬四千四百為正實,四百三十六為益上廉,一為從隅,三乘方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問句冪幾何?

答曰:二十五步。

術曰:立天元一為句冪,地元一為句,天地配合求之。得三千六百為正實,一百六十九為益方,一為正隅,平方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問股冪幾何?

答曰:一百四十四步。

術曰:立天元一為股冪,地元一為句,天地配合求之。得三千六百為益實,一百六十九為從方,一為益隅,平方開之,合問。今有句股積三十步,只云句股和一十七步,問弦冪幾何?

答曰:一百六十九步。

術曰:立天元一為弦冪,地元一為股,天地配合求之。得二千八百七十三為正實,一十七為益方,開無隅平方,合問。

○左右逢元(二十一問)编辑

今有弦和較乘句得六步,只云弦較較除股冪得四步,問句、股幾何?答曰:句三步。

術曰:立天元一為股,地元一為較,天地配合求之。得三千七十二為正實,七百八十四為益上廉,一百六十八為從下廉,五為益隅,三乘方開之,合問。

今有句弦相乘比直積多三步,只云股弦相乘比弦冪少五步,問句股幾何?答曰:句三步,股四步。

術曰:立天元一為股,地元一為股弦較,天地配合求之。得一十二為正實,三為益方,開無隅平方,合問。

今有直積,加平,減二較,以長乘之,減積,以平除之,加二較,共得一十五步三分步之一。只云平冪減和,與二較等。問長、平各幾何?答曰:平三步,長四步。

術曰:立天元一為長,地元一為平,天地配合求之。得一千八百四十為益實,一千六十為從方,二百一十為從上廉,五十四為益下廉,九為益隅,三乘方開之,得長,合問。

今有直積,加句冪,減股冪,以平乘之,減直積,與平等。只云和減三較,以長除之,與較同。問長、平各幾何?答曰:平三步,長四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得三為正實,一十一為從方,八為從上廉,七為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得平,合問。

今有直積,加一平,減三長,餘有三步。只云平冪與較等,問積幾何?答曰:三十六步。

術曰:立天元一為直積,地元一為平,天地配合求之。得三十六為益實,三十七為從方,三十七為益廉,一為正隅,立方開之,得積,合問。

今有直積,加小和,小較,減大和,大較,餘五十二步。只云大長加小和,小較,平方開之,不及大平二步。問長、平各幾何?答曰:平六步,長一十二步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得九十六為正實,六十八為從方,一十四為益上廉,六為從下廉,一為益隅,三乘方開之,得平,合問。

今有直田,長自乘,減和,餘九步。只云平自乘,減較,餘八步。問長、平各幾何?答曰:平三步,長四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得六十三為正實,一十八為益方,一十六為益上廉,二為從下廉,一為正隅,三乘方開之,得平,合問。

今有直積,加一長,二平,共得二十二步。只云長冪加平,減較冪,餘一十八步。問長、平各幾何?答曰:平三步,長四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長。天地配合求之。得一十八為正實,二十七為益方,四為從廉,一為從隅,立方開之,得平,合問。

今有直積,加二平,減三較,餘一十五步。只云長取強半,平取少半,與和七分之四等。問長、平各幾何?答曰:平三步,長四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得四十五為益實,三為從方,四為從隅,平方開之得平,合問。

今有直積,以長乘之,用平除之,所得減積,如長而一,得七步。只云較冪加長,與平冪同。問長、平各幾何?答曰:平八步,長一十五步。

術曰:立天元一為長,地元一為平,天地配合求之。得一十五為益實,一為從方,上實下法而一,得長,合問。

今有直田平冪,減一和,六較,餘與長等。只云較冪加一平,減四較亦與長等。問長、平各幾何?答曰:平八步,長一十三步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得一百二十為益實,三十一為從方,六為從廉,一為益隅,立方開之,得平,合問。

今有直積,加和冪,減較冪,以平除之,與積等。只云長冪加二較,減二差冪,亦與積等。問長、平各幾何?答曰:平五步,長一十二步。

術曰:立天元一為長,地元一為平,天地配合求之。得六十為益實,一十七為從方,一為益隅,平方開之得長,合問。

今有直積,減小平,加大較,小和,多積五步。只云二大和減小長,大平,少積五步。問長、平各幾何?答曰:平三步,長六步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得一十五為益實,二為從方,一為從隅,平方開之,得平,合問。

今有直積,平方開之,減平,餘有三步。只云長以平方開之,不及較三步。問長、平各幾何?答曰:平九步,長一十六步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得八十一為正實,四十五為從方,三為從廉,一為益隅,立方開之,得平,合問。

今有直積及和,各以平方開之,所得相並,減平,餘八步。只云長以平方開之,少如和開方數一步。問長、平各幾何?答曰:平九步,長一十六步。

術曰:立天元一為平,地元一為和開方數,天地配合求之。得二百二十五為正實,一百九十六為益方,二十六為益上廉,四為益下廉,一為正隅,三乘方開之,得平,合問。

今有直積,加平,與二和一較等。只云長冪減較冪亦與二和一較等。問四事各幾何?答曰:平三步,長四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得三為正實,二為從方,一為益隅,平方開之,得平。又立天元一為長,地元一為平,求得一十二為益實,三為從方,開無隅平方而一,得長。又立天元一為和,地元一為平。求得七為正實,六為從方,一為益隅,平方開之得和。又立天元一為較,地元一為長。求得三為正實,三為益方,上實下法而一,即較,合問。

今有平乘直積,與一長五和等。只云長冪加較冪與一長三和等。問長、平各幾何?答曰:平三步,長五步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得一百八為益實,三十六為從方,三十六為從上廉,一十二為益二廉,三為益下廉,一為正隅,四乘方開之,得平。又立天元一為長,地元一為平。求得五為正實,七十六為益方,五十五為從上廉,二為從二廉,八為從下廉,二為益隅,四乘方開之,得長,合問。

今有直積,三乘方開之,得數以平除之,不及平三步。只云長以平方開之,多於平二分之一。問長、平各幾何?答曰:平四步,長六十四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得四為正實,八十一為益方,一百八為從上廉,五十四為益二廉,一十二為從下廉,一為益隅,四乘方開之,得平,合問。

今有直積,三乘方開之,如平而一,所得少平三步。只云長以平方開之,不及長八分之七。問長、平各幾何?答曰:平四步,長六十四步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得六十四為益實,八十一為從二廉,一百八為益三廉,五十四為從四廉,一十二為益下廉,一為正隅,六乘方開之,得平,合問。

今有直積,減小平,加小較,以大平乘之,如大長而一,得數減小平,餘有九步。只云平冪加大較,如大長而一,加大長,得八步。問長、平各幾何?

答曰:平三步,長六步。

術曰:立天元一為平,地元一為長,天地配合求之。得五萬六百八十八為益實,一千七百二十八為從方,一萬七千一百五十二為從上廉,一千七百七十六為益二廉,一千二百八為益三廉,四百九十一為從四廉,一百七十為益五廉,五十三為益六廉,二十七為從七廉,二為從八廉,一為益隅,九乘方開之,得平,合問。

今有句弦相乘,加句股較,平方開之,與股適等。只云股弦相乘,減弦和和,立方開之,與句弦較同。問句、弦各幾何?答曰:句三步,股四步。

術曰:立天元一為句,地元一為股弦較,天地配合求之。得六為益實,一十四為從方,一百一十為從上廉,六百二十為益二廉,一千五百二十為從三廉,二千四百四十六為益四廉,二千七百四十七為從五廉,一千九百三十二為益六廉,六百七十一為從七廉,二十二為從八廉,六十為益九廉,八為從隅,十乘方開之,得句三步,合問。

○三才變通(十一問)编辑

今有直積,減弦較和,加股弦較冪,與弦較較冪等。只云句冪減三相和,與弦較和同。問弦幾何?答曰:一十七步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,三才相配求之。得三十四為正實,一十九為益方,一為正隅,平方開之,得弦,合問。

今有直積,加黃方冪,開方除之,與倍之句弦較等。只云弦較較冪,減句股和,開方除之,與股少股弦較同。問三相和幾何?答曰:一十二步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為三相和,三才相配求之。得八百六十四為益實,四千一百四為益方,四萬二千二百二十八為從上廉,五萬三千九百九十八為益下廉,四千二百九為從隅,三乘方開之,合問。

今有平乘積,如長而一,所得減一平,三較,餘與平等。只云長乘和,減平,與二積一較同。問和冪,弦冪,較冪,帶一積、一長、一平,六事連環得幾何?

答曰:九十四步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得一百八十八為正實,九十六為益方,一為正隅,平方開之,合問。

今有長乘積,減二平,如平而一,所得加二較,如長而一,減平,與一較等。只云長乘較減於直積,餘如長而一,與二較同。問積冪,和冪,長冪,平冪,較冪,帶一和、二平、三長、四較,九事連環得幾何?

答曰:二百四十八步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得七萬九千六百八為正實,五百六十九為益方,一為正隅,平方開之,合問。

今有直積減句股和,以句乘之,加句股較,減直積,以股除之;加句股和,以股乘之,加股,以句除之,減二股,一句股較,與句等。只云句乘股冪,以股除之,加直積,減句冪,以句除之,與弦同。問五和、五較、帶一積、一弦,共一十二事連環得幾何?答曰:六十九步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得一萬五千一百八十為正實,二千八十三為益方,二十七為正隅,平方開之,合問。

今有直積減句股和,以句乘之,加句股較,減直積,以股除之,加句股和,以股乘之,加股,以句除之,減二股,一句股較,與句等。只云句乘股冪,以股除之,加直積,減句冪,以句除之,與弦同。問弦較較乘直積得幾何?

答曰:四十八步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得六千為正實,四萬六千七百八十一為益方,九百七十二為從隅,平方開之,合問。

今有直積減句股和,以句乘之,加句股較,減直積,以股除之,加句股和,以股乘之,加股,以句除之,減二股,一句股較,與句等。只云句乘股,以股除之,加直積,減句冪,以句除之,與弦同。問弦和和乘黃方得幾何?

答曰:二十四步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得六百為益實,一千三百二十一為從方,五十四為益隅,平方開之,合問。

今有直積,減句股和,以句乘之,加句股較,減直積,以股除之,加句股和,以股乘之,加股,以句除之,減二股,一句股較,與句等。只云句乘股冪,以股除之,加直積,減句冪,以句除之,與弦同。問五和乘五較得幾何?

答曰:四百二十步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得三十六萬七千五百為正實,四萬六千二百三十五為益方,一百八為正隅,平方開之,合問。

今有直積減句股和,以句乘之,加句股較,減直積,以股除之,加句股和,以股乘之,加股,以句除之,減二股,一句股較,與句等。只云句乘股冪,以股除之,加直積,減句冪,以句除之,與弦同。問五較連環,除弦,乘三相和得幾何?

答曰:六步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得三十為正實,四十一為益方,六為正隅,平方開之,合問。

今有直積,減句股和,以句乘之,加句股較,減直積,以股除之,加句股和,以股乘之,加股,以句除之,減二股,一句股較,與句等。只云句乘股冪,以股除之,加直積,減句冪,以句除之,與弦同。問五和、五較、句、股及弦十三事連環除股,乘直積冪得幾何?

答曰:九步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為開數,三才相配求之。得五千六百二十五為正實,一百六十八萬二百四十一為益方,一十八萬六千六百二十四為正隅,平方開之,合問。

今有句弦較乘股弦和,加句股和,開方得數,多股一步。只云股弦較乘弦較和,減弦,開方,得數少黃方冪三步。問弦和較幾何?答曰:二步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦和較,三才相配求之。得三千五百六十為正實,七百六十為從方,七千六百九十八為益上廉,一千一百三十四為益二廉,六千五百二十二為從三廉,七百二十為從四廉,二千八百二十九為益五廉,二百三十三為益六廉,六百七十為從七廉,三十六為從八廉,八十二為益九廉,二為益十廉,四為正隅,十一乘方開之,合問。

○四象朝元(六問)编辑

今有五平、三長,立方開之,少股一步。只云三和、四較,平方開之,多句二步。問弦較較帶黃方二事連環得幾何?答曰:六步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。得三萬九千三百六十為正實,七萬四千八十為從方,五千五百二十為從上廉,二百八十為益二廉,二百六十四為益三廉,三十為益四廉,一為益隅,五乘方開之,合問。

今有弦較和如股冪八分之三。只云弦較較冪如句弦和冪四分之一。問二弦、四句、二股三事連環得幾何?答曰:三十步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。得六萬為益實,一千一百為從方,三百為從廉,九為益隅,立方開之,合問。

今有弦和較冪加句弦較冪,比股冪少一段句弦和。只云弦和和冪,減句股和,乘弦和和,加句弦較,比二弦冪多一段三相和。問句、股、弦三事連環得幾何?

答曰:一十二步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。得四十八為益實,四百二十四為從方,八百五十一為益上廉,六十八為從二廉,九十六為從三廉,六百五十六為益四廉,四十八為從隅,五乘方開之,合問。

今有五和並三事,與四直積加二句等。只云三事減五較,與四相和(常例五和、五較,四和者句、股、弦、黃方)減股冪同。問句、股、弦和、較五事連環得幾何?

答曰:二十步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。得七千六百八十為正實,七萬五千五百八十四為益方,一十一萬八千一百六十為從上廉,五千七百八十為從二廉,二千三百七十五為益三廉,七十為益四廉,八為正隅,五乘方開之,合問。

今有句、股、弦各自乘,減五和,與倍之黃方冪適等。只云五和加二句、二股冪,減八弦,與半之五較冪多弦和較相同。問立方開十三事得幾何?答曰:四步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。得三千七十二為正實,一百一十二為益方,四十一為益隅,立方開之,得四步,合問。

今有一數不知多少,但言五較各自乘並之為正實,以三為益方,一為從上廉,一為從下廉,二為益隅,三乘方開之,與其數相等。只云句股和冪減二直積加三相和,與其數冪自乘,並弦冪,減股相同。又雲半之三相和加黃方與其數再自乘亦等。問元數幾何?

答曰:二步。

術曰:立天元一為句,地元一為股,人元一為弦,物元一為開數,四象和會求之。得一千一百五十二為正實,七百六十八為益方,六百四十為益上廉,一千七百九十二為從二廉,三百八十四為益三廉,九千八為益四廉,一萬九千一百一十二為從五廉,八千七百九十九為益六廉,八千七百九十五為益七廉,一萬二千六百三十七為從八廉,二千三十為從九廉,一萬九千一百六十八為益十廉,二萬二千二百九十二為從十一廉,一萬一千一百一十二為益十二廉,二千六為正隅,十三乘方開之,得二步,即元數也。合問。


  本元朝作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经遠遠超过100年。