實數表示法及其應用一題問

實數表示法及其應用一題問
作者:曾炯
1930年2月5日
刊於《留德學誌》第一期,民國十九年六月留德學誌社出版。
實數表示法及其應用一題問
曾 烱

  實數論爲解析學之基礎,吾人於開方,求對數,與及微分積分之討論嚴密者,已知其重要之所在。近六十年來,若Weierstrass, Cantor及Dedekind諸家之講義,無不以此爲其研究高等解析之出發點。今則凡研究函數論者,其開端卽以此也。

  今冬季學期,受冪級數論於Landau氏,課中常有關於實數問題,令同學自索,茲篇乃課作之一,譯爲國語。

  昔Cantor 關於實數之表示有一定理:

爲一組正整數,爲任意整數,自某定項以後,均爲能除盡,則任意一實數可以下列級數

   

不二的表示之。其中爲整數,等亦爲整數滿足下列諸關係:

   

爲有理數,則自某定項後,一切或全等於其最大之數,如,,

或全等於,此爲必須條件,否則爲無理數。

  此定理之證明,見諸討論實數諸專著中,吾人平常所習見者,有所謂進位法。例如,

時,則所謂十進位法是也。例如圓周率

   

  如上述定理中所表示之數,例如

   

  茲假定爲同向增大,卽

則  

  表示一常斂冪級數,其理甚明。故此實數,乃時表示之數值。如

   

  本篇問題:乃求一常斂冪級數一切係數皆有理數,使等於已知之數時,而等於已知之數。其中均可。

  時卽Cantor定理。故本問題解決後,Cantor定理亦可同樣證明。

  爲簡便起見,且無損於問題的一般性,可假定,若,則無任爲何數均可。若,則令,先求得之常數冪級數,爲之常歛冪級數爲,

  又可假定,若時,則令,先求得關於之冪級數爲

      

再令 ,

明矣。若爲常歛冪級數,則亦爲常歛冪級數,何則?因其係數之絕對值相同故也。

  復可假定,若時,因,必有一個正有理數存在,,則。先求得對應之常歛冪級數:

   ,   而,

次令 ,

   ,

   ,

   爲有理數,  故亦爲有理數。

  故同爲常斂冪級數。

  最後可假定其中爲有理數。若不然則令,

  而 

由是本問題可令簡單之如次:

  設爲有理數,試求一常斂冪級數,其各係數均爲有理數,

  若,則必有一個有理數,使。茲令,令,則

   

  因,(若時,同此討此)由亞基末得公理,必有一個整數,使,故

   

  試分個等分。則

   其中爲整數

若 ,則本問題完成,令

   ,

   

若  

   

  如前理必有一整數

   1,

   2,

因之有一整數滿足

   ,其中

,則,此乃不可能之事。

繼續以求其次,設已求得,且

令  ,

其中 

   

由是選定一整數,

   1.

   2.

故必有一個整數滿足

   ,

故所有皆可得之。由是得一羣多項式〔〕。

   ,

設有一使 ,

則所求之冪級數爲

   

   

  若不爲此類,則〔〕一樣的向收斂;換言之,對於旣定之,必有一個存在,使

   ,只須

何則,因

   

   

   

之性質

      只須

故所求之冪級數爲

   

爲〔〕所定矣。

簡言之

   

或  

  本問題旣解決。由此定理可推論一代數問題:

  設之係數皆爲有理數,若爲其一根,則亦爲一根,其理甚簡。若爲常斂冪級數則不然,換言之,爲其一根時 不一定爲其一根也。何則,設爲正整數,由上定理,依適當的選擇可令

   

   

   

   

十九年二月五號於Göttingen.


PD-icon.svg 1996年1月1日,这部作品在原著作國家或地區屬於公有領域,之前在美國從未出版,其作者1940年逝世,在美國以及版權期限是作者終身加80年以下的國家以及地区,屬於公有領域

这部作品也可能在本國本地版權期限更長,但對外國外地作品應用較短期限規則的國家以及地区,屬於公有領域