實數表示法及其應用一題問
曾 烱
實數論爲解析學之基礎,吾人於開方,求對數,與及微分積分之討論嚴密者,已知其重要之所在。近六十年來,若Weierstrass, Cantor及Dedekind諸家之講義,無不以此爲其研究高等解析之出發點。今則凡研究函數論者,其開端卽以此也。
今冬季學期,受冪級數論於Landau氏,課中常有關於實數問題,令同學自索,茲篇乃課作之一,譯爲國語。
昔Cantor 關於實數之表示有一定理:
設
爲一組正整數,
爲任意整數,
自某定項以後,均爲
能除盡,則任意一實數
可以下列級數
不二的表示之。其中
爲整數,
等亦爲整數滿足下列諸關係:
若
爲有理數,則自某定項後,一切
或全等於其最大之數,如
,
,
或全等於
,此爲必須條件,否則
爲無理數。
此定理之證明,見諸討論實數諸專著中,吾人平常所習見者,有所謂
進位法。例如,
爲
時,則所謂十進位法是也。例如圓周率
如上述定理中所表示之數,例如
茲假定
爲同向增大,卽
則
表示一常斂冪級數,其理甚明。故此實數
,乃
在
時表示之數值。如
本篇問題:乃求一常斂冪級數一切係數皆有理數,使
等於已知之數
時,而
等於已知之數
。其中
均可。
時卽Cantor定理。故本問題解決後,Cantor定理亦可同樣證明。
爲簡便起見,且無損於問題的一般性,可假定
,若
,則
無任
爲何數均可。若
,則令
,先求得
之常數冪級數,爲
,
則
之常歛冪級數爲
,
。
又可假定
,若
時,則令
,先求得
關於
之冪級數爲
再令
,
明矣。若
爲常歛冪級數,則
亦爲常歛冪級數,何則?因其係數之絕對值相同故也。
復可假定
,若
時,因
,必有一個正有理數
存在,
,則
。先求得
對應之常歛冪級數:
, 而
,
次令
,
,
,
爲有理數, 故
亦爲有理數。
故同爲常斂冪級數。
最後可假定
其中
爲有理數。若不然則令
,
而
。
由是本問題可令簡單之如次:
設
爲有理數,試求一常斂冪級數
,其各係數均爲有理數,
。
若
,則必有一個有理數
,使
。茲令
,令
,則
。
因
,(若
時,同此討此)由亞基末得公理,必有一個整數
,使
,故
。
試分
爲
個等分。則
其中
爲整數
。
若
,則本問題完成,令
,
,
。
若
則
,
。
如前理必有一整數
,
1,
。
2,
。
因之有一整數
滿足
,其中
。
若
,則
,此乃不可能之事。
繼續以求其次,設已求得
,且
。
令
,
其中
,
,
由是選定一整數
,
1.
。
2.
。
故必有一個整數
滿足
,
故所有
皆可得之。由是得一羣多項式〔
〕。
,
設有一
使
,
則所求之冪級數爲
。
因
若不爲此類,則〔
〕一樣的向
收斂;換言之,對於旣定之
,必有一個
存在,使
,只須
。
何則,因
由
之性質
只須
。
故所求之冪級數爲
而
爲〔
〕所定矣。
簡言之
。
或
。
本問題旣解決。由此定理可推論一代數問題:
設
之係數皆爲有理數,若
爲其一根,則
亦爲一根,其理甚簡。若爲常斂冪級數則不然,換言之,
爲其一根時
不一定爲其一根也。何則,設
爲正整數,由上定理,依適當的選擇
可令
。
然
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