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幾何原本/卷六

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卷六
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西洋利瑪竇譯

卷六之首编辑

界説六則编辑

第一界

凡形相當之各角等而各等角旁两線之比例俱等為  相似之形

 甲乙丙丁戊己两角形之甲角與丁角等乙與戊丙  與己各等其甲角旁之甲乙與甲丙  两線之比例若丁角旁之丁戊與  丁己两線而甲乙與乙丙若丁戊與  戊己甲丙與丙乙若丁己與己戊則  此两角形為相似之形依顯凡平邊  形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱  平邊角形其各角俱等而各邊之比例亦等者是也  四邊五邊以上諸形俱倣此

第二界

两形之各两邊線互為前後率相與為比例而等為互  相視之形

 甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙  乙丙邊與戊己己庚邊相與為比例  等而彼此互為前後如甲乙與戊己  若己庚與乙丙也則此两形為互相  視之形依顯壬癸子丑寅卯两角形  之壬子與丑寅若丑夘與壬癸或壬癸與丑寅若丑  夘與壬子亦互相視之形也

第三界

理分中末線者一線两分之其全與大分之比例若大  分與小分之比例

甲乙線两分之于丙而甲乙與大分甲丙之比 例若大分甲丙與小分丙乙此為理分中末線 其分法見本卷三十題而與二卷十一題理同  名異此線為用甚廣至量體尤所必須十三卷諸題  多賴之古人目為神分線也

第四界

度各形之高皆以垂線之亘為度 甲乙丙角形從甲頂向乙丙底作甲庚垂 線即甲庚為甲乙丙之高又丁戊己角形 作丁辛垂線即丁辛為丁戊己之高若两  形相視两垂線等即两形之高必等如上两形在两  平行線之内者是也若以丙己為頂以甲乙丁戊為  底則不等自餘諸形之度高俱倣此

 凡度物高以頂底為界以垂線為度盖物之定度止  有一不得有二自頂至底垂線一而己偏線無數也

第五界

比例以比例相結者以多比例之命數相乘除而結為  一比例之命數

 此各比例不同理而相聚為一比例者則用相結之  法合各比例之命數求首尾一比例之命數也曷為  比例之命數謂大幾何所倍於小幾何若干或小幾  何在大幾何内若干也如大幾何四倍于小或小幾  何為大四分之一即各以四為命比例之數也五卷界說          今言以彼多比例之命數相          乘除而結為此一比例之命數          者如十二倍之此比例則以彼          二倍六倍两比例相結也二六          相乘為十二故也或以彼三倍          四倍两比例相結也三四相乘          亦十二故也又如三十倍之此          比例則以彼二倍三倍五倍三          比例相結也二乘三為六六乘  五為三十故也

 其曰相結者相結之理盖在中率凡中率為前比例  之後後比例之前故以二比例合為一比例則中率  為輳合之因如两爿合此為之膠如两襟合此為之  紐矣第五卷第十界言數幾何為同理之比例則第  一與第三為再加之比例再加者以前中二率之命  數再加為前後二率之命數亦以中率為紐也但彼  所言者多比例同理故止以第一比例之命數累加  之此題所言則不同理之多比例不得以第一比例  之命數累加之故用此乘除相結之理于不同理之  中求其同理别為累加之法其紐結之義頗相類焉  下文仍發明借象之術以需後用也

 五卷言多比例同理者第一與第三為再加與第四  為三加與第五為四加以至無窮今此相結之理亦           以三率為始三率則两比例           相乘除而中率為紐也若四           率則先以前三率之两比例           相乘除而結為一比例復以           此初結之比例與第三比例  乘除相結為一比例也若五率則先以前三率之两  比例乘除相結復以此再結之比例與第三比例乘  除相結又以三結之比例與第四比例乘除相結為  一比例也或以第一第二第三率之两比例乘除相  結以第三第四第五之两比例乘除相結又以此二  所結比例乘除相結而為一比例也自六以上倣此  以至無窮

 設三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第  一與二第二與三两比例相結也如上圖三幾何二  比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁 與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六 倍大二乘三為六也若以小不等戊己  為第一甲乙為第三三乘二亦六則戊己與甲乙為  反六倍大也

 甲乙與丙丁既二倍大試以甲乙二平分之為甲庚  庚乙必各與丙丁等丙丁與戊己既三倍大而甲庚  庚乙各與丙丁等即甲庚亦三倍大於戊己庚乙亦  三倍大於戊己而甲乙必六倍大於戊己 又如上圖三幾何二比例前以大不等 後以小不等者中率小子前後两率也

 其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大  反二倍大者丙丁得戊己之半即甲乙與戊己為等帶半三乘半得  等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反推之半  除三為反等帶半也

又如上圖三幾何二比例前以小不等 後以大不等者中率大於前後二率也  其甲乙與丙丁為反二倍大甲乙得丙丁之半丙丁與戊己  為等帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半甲乙得戊  己三分之二何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己  當三是甲乙二戊己當三也

 後増其乘除之法則以命數三帶得數一為四以半  除之得二二比三為反等帶半也若以戊己為第一  甲乙為第三三比二為等帶半也

設四幾何為三比例不同理而合為一 比例則以第一與二第二與三第三與 四三比例相結也如上圖甲乙丙丁四  幾何三比例先依上論以甲與乙乙與丙二比例相  結為甲與丙之比例次以甲與丙丙與丁相結即得  甲與丁之比例也如是遞結可至無窮也

 或用此圖申明本題之㫖曰甲與乙之命數為丁乙  與丙之命數為戊即甲與丙之命數  為己何者三命數以一丁二戊相乘  得三己即三比例以一甲與乙二乙  與丙相乘得三甲與丙  後増若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法  如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大  帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數  從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八  通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為  十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二  倍大帶三之二也

 曷謂借象之術如上所說三幾何二比例者皆以中  率為前比例之後後比例之前乘除相結畧如連比  例之同用一中率也而不同理别有二比例異中率  者是不同理之斷比例也無法可以相結當于其所  設幾何之外别立三幾何二比例而同中率者乘除  相結作為儀式以彼異中率之四幾何二比例依倣  求之即得故謂之借象術也假如所設幾何十六為             首十二為尾却云十六             與十二之比例若八與             三及二與四之比例八             為前比例之前四為後             比例之後三與二為前             之後後之前此所謂異  中率也欲以此二比例乘除相結無法可通矣用是  别立三幾何二比例如其八與三二與四之比例而  務令同中率如三其八得二十四為前比例之前三  其三得九為前比例之後即以九為後比例之前又  求九與何數為比例若二與四得十八為後比例之  後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四  也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之  比例矣是用借象之術變異中率為同中率乘除相  結而合二比例為一比例也其三比例以上亦如上  方所說展轉借象遞結之 詳見本卷二十三題筭  家所用借象金法雙金法俱本此

第六界

平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為  形大於線

 甲乙線其上作甲戊丁丙平行方形不滿甲乙線而  丙乙上無形即作己乙線與丁丙平行次引戊丁線 遇己乙于己是為甲戊己乙滿甲乙線平 行方形則甲丁為依甲乙線之有闕平行 方形而丙己平行方形為甲丁之闕形又  甲丙線上作甲戊己乙平行方形其甲乙邊大于元  設甲丙線之較為丙乙而甲己形大于甲丙線上之  甲丁形則甲己為依甲丙線之帶餘平行方形而丙  己平行方形為甲己之餘形

卷六编辑

西洋利瑪竇撰


第一題

等高之三角形方形自相與為比例與其底之比例等

解曰:甲乙丙丁戊己两角形等高其底乙

丙戊己丙庚戊辛两方形等高其底乙丙 戊己題言甲乙丙與丁戊己之比例丙庚 與戊辛之比例皆若乙丙與戊己

論曰:試置四形於庚辛子寅两平行線内

     凡形自頂至底作垂線即本形之高故等高者必在平行線内見本卷界說四于 乙子線内作數底線各與乙丙等為乙壬 壬癸癸子于己寅線内作數底線各與戊 己等為己丑丑寅次從甲從丁作甲壬甲 癸甲子丁丑丁寅諸線其甲乙丙甲乙壬  甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行線内即  等一卷三八依顯丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等  則子丙底線大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于  甲乙丙亦若干倍依顯戊寅之倍戊己亦若丁戊寅  之倍丁戊己底線分數與形之分數等故即用三試法若子丙  底大于戊寅底則甲子丙形亦大于丁戊寅形也若  等亦等若小亦小也一卷三八則一乙丙所倍之子丙三  甲乙丙所倍之甲子丙與二戊己所倍之戊寅四丁  戊己所倍之丁戊寅等大小皆同類也而一乙丙底  與二戊己底之比例若三甲乙丙與四丁戊己矣五卷  六界又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两  角形一卷卅三而甲乙丙與丁戊己之比例既若乙丙與  戊己即丙庚與戊辛两方形之比例亦若乙丙與戊  己两底矣五卷十五或從壬癸子及丑寅各作直線與庚  乙辛己平行即依上論推顯

增題:凡两角形两方形各等底其自相與為比例

若两形之高之比例

解曰:甲乙丙與丁戊己两角形甲庚乙

丙與丁戊己辛两方形其底乙丙與戊 己等題言甲乙丙與丁戊己两角形之 比例甲庚乙丙與丁戊己辛两方形之 比例皆若甲壬與丁癸两高

論曰:試作子壬底線與乙丙等作丑癸

底線與戊己等次作甲子丁丑两線其甲壬子與 甲乙丙两角形等底又等高即等依顯丁癸丑與 甲乙丙两角形等底又等高即等依顯丁癸丑與   丁戊己两角形亦等一卷三八即甲乙丙與丁戊己之 比例若甲壬子與丁癸丑也五卷七今以甲壬丁癸 為底即甲壬子與丁癸丑两角形之比例若甲壬 與丁癸两底也本篇一而甲乙丙與丁戊乙之比例 亦若甲壬與丁癸矣又甲乙丙與丁戊己两角形 之比例既以倍大故若甲庚乙丙與丁戊己辛两   方形之比例五卷十五即两方形之比例亦若甲壬與   丁癸两底也五卷十一若作庚子辛丑两線亦依前論 推顯

第二題二支

三角形任依一邊作平行線即此線分两餘邊以為比  例必等三角形内有一線分两邊以為比例而等即  此線與餘邊為平行

先解曰:甲乙丙角形内如作丁戊線與乙

丙平行題言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊  以為比例必等者甲丁與丁乙若甲戊與戊丙也

論曰:試作丁丙戊乙两線其丁戊乙丁戊丙两角形同

 以丁戊為底同在两平行線内即等一卷三七而甲戊丁  與丁戊乙两角形之比例若甲戊丁與丁戊丙矣五卷  夫甲戊丁與丁戊乙两角形亦在两平行線内若干  戊㸃上作一線與甲乙平行即两形在其内則甲戊丁與丁戊乙两角形  之比例若甲丁與丁乙两底也本篇一依顯甲戊與戊  丙两底之比例亦若甲戊丁與丁戊丙两角形也两形  亦在两平行線内故是甲丁與丁乙两線之比例甲戊與戊丙  两線之比例皆若甲戊丁與丁戊乙也或與丁戊丙  也丁戊乙與丁戊丙等則甲丁與丁乙亦若甲戊與戊丙也五卷  十一

後解曰:甲乙丙角形内有丁戊線分甲乙甲丙于丁

 于戊以為比例而等題言丁戊與乙丙為平行線

論曰:試作丁丙戊乙两線其甲丁與丁乙两底之比

 例若甲戊丁與丁戊乙两角形也在两平行線内故見本篇一而  甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙即甲戊丁與丁  戊乙之比例亦若甲戊與戊丙也五卷十一又甲戊與戊  丙两底之比例既若甲戊丁與丁戊丙在两平行線内故見本篇 則甲戊丁與丁戊乙之比例亦若甲戊 丁與丁戊丙也五卷十一而丁戊乙與丁戊丙 两角形等矣五卷九两角形同以丁戊為底  而等則在两平行線内一卷卅九

第三題二支

三角形任以直線分一角為两平分而分對角邊為两  分則两分之比例若餘两邊之比例三角形分角之  線所分對角邊之比例若餘两邊則所分角為两平  分

先解曰:甲乙丙角形以甲丁線分乙甲丙角為两平

分題言乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲  丙

論曰:試作乙戊線與甲丁平行次于丙甲線引長之

 至戊其甲乙戊與乙甲丁為平行線相對之两内角  等外角丁甲丙與内角戊亦等一卷廿九今乙甲丁與丁  甲丙又等即甲乙戊角與戊角亦等也而甲戊與甲  乙两腰亦等矣一卷六則戊甲與甲丙之比例若乙甲  與甲丙也五卷七夫戊甲與甲丙之比例若乙丁與丁  丙也本篇二則乙甲與甲丙之比例亦若乙丁與丁丙  也五卷十一後解曰乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙  題言甲丁線分乙甲丙角為两平分

論曰:依前作乙戊線與甲丁平行而引丙

甲線至戊其乙甲與甲丙之比例既若乙  丁與丁丙甲丁線又與戊乙邊平行而乙丁與丁丙  之比例若戊甲與甲丙本篇二即乙甲與甲丙之比例  亦若戊甲與甲丙五卷十一是戊甲與乙甲两線等矣五卷  則甲乙戊角與戊角亦等也一卷五夫甲乙戊與乙  甲丁為平行線相對之两内角等而外角丁甲丙與  内角戊亦等一卷廿九則乙甲丁丁甲丙两角必等

第四題

凡等角三角形其在等角旁之各两腰線相與為比例  必等而對等角之邊為相似之邊

解曰:甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙

丙與丁丙戊甲丙乙與丁戊丙乙甲丙與 丙丁戊每相當之各角俱等也題言甲乙 與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲  丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙若丁戊與丙戊而每  對等角之邊各相似相似者謂各前各後率各對本  形之相當等角論曰試並置两角形令乙丙丙戊两  底為一直線而丁丙戊為甲乙丙之外角其甲乙丙  甲丙乙两角既小于两直角一卷廿七丁戊丙與甲丙乙 两角又等即乙戊两角亦小於两直角而 乙甲戊丁两線引出之必相遇一卷界說十一即 作两線令遇于己其丁丙戊外角與甲乙 丙内角既等即丁丙與己乙為平行線一卷  廿八依顯甲丙乙外角與丁戊丙内角既等即甲丙與  己戊亦平行線一卷廿八而甲己丁丙為平行線方行則  甲己與丁丙两線等也甲丙與己丁两線等也一卷卅四  夫乙戊己角形内之甲丙線既與己戊邊平行即甲  乙與等甲己之丁丙之比例若乙丙與丙戊也本篇二  更之即甲乙與乙丙若丁丙與丙戊也五卷十六又乙戊  己角形内之丁丙線既與己乙邊平行即乙丙與丙  戊之比例若等己丁之甲丙與丁戊也本篇二更之即  乙丙與甲丙若丙戊與丁戊也五卷十六甲乙與乙丙既  若丁丙與丙戊而乙丙與甲丙又若丙戊與丁戊平  之即甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也五卷廿二  一系凡角形内之直線與一邊平行而截一分為角 形必與全形相似如上甲乙丙角形作丁 戊直線與乙丙平行而截一分為甲丁戊  角形必與甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角與甲  乙丙内角等甲戊丁外角亦與甲丙乙内角等一卷廿九  甲角又同即两形相似而各等角旁两邊之比例等  本題

増題:凡角形之内任依一邊作一平行線于此邊

任取一㸃向對角作直線則所分两平行線比例   等

解曰:甲乙丙角形内作丁戊線與乙

 丙平行次于乙丙邊任取己㸃向甲  角作直線分丁戊于庚題言乙己與  己丙之比例若丁庚與庚戊

論曰:甲己乙甲庚丁两角形既相似本系即甲己與

己乙之比例若甲庚與庚丁也更之即甲己與甲   庚若己乙與庚丁也五卷十六依顯甲己與甲庚若己 丙與庚戊也則乙己與丁庚亦若己丙與庚戊也   五卷十一更之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也五卷十六

又論曰:甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两

角形既各相似即乙己與甲己之比例若丁庚與 庚甲也本系依顯甲己與己丙亦若甲庚與庚戊也 平之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也五卷廿二

第五題

两三角形其各两邊之比例等即两形為等角形而對  各相似邊之角各等

解曰:甲乙丙丁戊己两角形其各两邊之比例等者甲乙

 與乙丙若丁戊與戊己而乙丙與甲丙若戊己與丁己甲  丙與甲乙若丁己與丁戊也題言此两形為等角形而對 各相似邊之角甲與丁乙與戊丙與己各等

論曰:試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與

丙角等而戊庚己庚两線遇于庚即庚角與甲 角等一卷三二是甲乙丙庚戊己两形等角矣則甲  乙與乙丙之比例若庚戊與戊己也本篇四甲乙與乙丙元  若丁戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也五卷十一  而丁戊與庚戊两線必等五卷九又乙丙與甲丙之比例若  戊己與庚己本篇四而乙丙與甲丙元若戊己與丁己則戊  己與庚己亦若戊己與丁己也五卷十一而丁己與庚己两線  必等五卷九夫庚戊庚己两腰既與丁戊丁己两腰各等戊己  同底即丁角與庚角亦等一卷八其餘庚戊己與丁戊己庚己  戊與丁己戊各相當之角俱等一卷四而庚角與甲角既等即  丁角與甲角亦等丁戊己角與乙角丁己戊角與丙角俱等

第六題

两三角形之一角等而等角旁之各两邊比例等即两形  為等角形而對各相似邊之角各等

解曰:甲乙丙丁戊己两角形其乙與戊两角等而甲乙與乙

 丙之比例若丁戊與戊己題言餘角丙與己甲與丁俱等

論曰:試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與

丙角等而戊庚己庚两線遇于庚依前論推顯 甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙與乙丙之比 例若庚戊與戊己也本篇四甲乙與乙丙元若丁  戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也五卷十一而  丁戊與庚戊两線必等五卷九夫丁戊庚戊两邊既等戊  己同邊庚戊己角與丁戊己角又等丁戊己角與乙角等而己戊庚亦與  乙等故即其餘各相當之角俱等一卷四而庚角既與甲  角等庚己戊角既與丙角等即甲角丙角與丁角戊  己丁角各等而甲乙丙丁戊己為等角形矣

第七題

两三角形之第一角等而第二相當角各两旁之邊比  例等其第三相當角或俱小于直角或俱不小于直  角即两形為等角形而對各相似邊之角各等

解曰:甲乙丙丁戊己两角形其一甲角與一丁角等

而第二相當角如甲丙乙两旁之甲丙丙 乙两邊偕丁己戊两旁之丁己己戊两邊 比例等其第三相當角如乙與戊或俱小 于直角或俱不小于直角題言两形等角 者謂甲丙乙角與己等乙角與戊等 先論乙與戊俱小于直角者曰如云不然  而甲丙乙大于己令作甲丙庚角與己等即甲庚丙  角宜與戊等一卷卅二甲庚丙與丁戊己為等角形矣即  甲丙與丙庚之比例宜若丁己與己戊本篇四而先設  甲丙與丙乙若丁己與己戊也是甲丙與丙庚亦若  甲丙與丙乙也五卷十一是庚丙與乙丙两線等也五卷九  丙庚乙與丙乙庚两角亦等也一卷五夫乙既小于直  角即等腰内之丙庚乙亦小于直角則較角之丙庚  甲必大于直角也丙庚甲丙庚乙两角等于两直角見一卷十三而丙庚甲  既與戊等則丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角  何由得小于直角也

後論:乙與戊俱不小于直角者曰如云不然依先論

 乙角與丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙  庚乙丙乙庚同為角形内之两角乃俱不小于直角  一卷十七何也則甲丙乙不得不等于丁己戊也而其餘  乙與戊角等矣一卷卅二

第八題

直角三邊形從直角向對邊作一垂線分本形為两直  角三邊形即两形皆與全形相似亦自相似

解曰:甲乙丙直角三邊形從乙甲丙直角作

甲丁垂線題言所分甲丁丙甲丁乙两三邊 形皆與全形相似亦自相似

論曰:甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙為

 直角而丙角又同即其餘甲乙丙丁甲丙两角必等  一卷三則甲乙丙甲丁丙两形必為等角形而等角旁  之各两邊比例必等等者謂乙丙與甲丙若甲丙與  丙丁也甲丙與甲乙若丙丁與甲丁也乙丙與甲乙  若甲丙與甲丁也即甲丁丙角形與甲乙丙全形相  似矣本篇四依顯甲丁乙角形與甲乙丙全形亦相似  也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其  餘甲丙乙丁甲乙两角必等一卷卅二甲乙丙甲丁乙两  形必為等角形而等角旁之各两邊比例必等故也  依顯甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各  與全形相似即两形自相似五卷十一  系從直角作垂線即此線為两分對邊線比例之中  率而直角旁两邊各為對角全邊與同方分邊比例  之中率何者丙丁與丁甲之比例若丁甲與丁乙也  故丁甲為丙丁丁乙两分邊比例之中率也又乙丙與  丙甲之比例若丙甲與丙丁也故丙甲為乙丙丙丁  之中率也乙丙與乙甲之比例若乙甲與乙丁也故  乙甲為乙丙乙丁之中率也

第九題

一直線求截所取之分

法曰:甲乙直線求截取三分之一先從甲任

作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作 所命分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也 次作己乙直線末作丁庚線與己乙平行即  甲庚為甲乙三分之一

論曰:甲乙己角形内之丁庚線既與乙己邊平行即

 己丁與丁甲之比例若乙庚與庚甲也本篇二合之己  甲與甲丁若乙甲與庚甲也五卷十八而甲丁既為己甲  三分之一即庚甲亦為乙甲三分之一也

注曰:甲乙線欲截取十一分之四先作甲

丙線為丙甲乙角從甲向丙任平分十一 分至丁次作丁乙線末從甲取四分得戊 作戊己線與丁乙平行即甲己為十一分 甲乙之四何者依上論丁甲與戊甲之比  例若乙甲與己甲也反之甲戊與甲丁若甲己與甲  乙也五卷四甲戊為甲丁十一分之四則甲己亦甲乙  十一分之四矣依此可推不盡分之數蓋四不為十  一之盡分故

第十題

一直線求截各分如所設之截分

法曰:甲乙線求截各分如所設甲丙任分

之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲 丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两線相聮  于甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聮末從丁從戊  作丁己戊庚两線皆與丙乙平行即分甲乙線于己  于庚若甲丙之分于丁于戊

論曰:甲丁與丁戊之比例既若甲己與己庚本篇二

 甲己與己庚亦若甲丁與丁戊也更作丁辛線與甲  乙平行而分戊庚于壬即丁戊與戊丙若丁壬與壬  辛也亦若等丁壬之己庚一卷卅四與等壬辛之庚乙也  本篇二則己庚與庚乙亦若丁戊與戊丙也  從此題作一用法平分一直線為若干分如甲乙線求 五平分即從甲任作甲丙線為丙甲乙角 次從甲向丙任作五平分為甲丁丁戊戊 己己庚庚辛次作辛乙直線相聨末作丁 壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即  壬癸子丑分甲乙為五平分其理依前論推顯  又一簡法如甲乙線求五平分即從丙任作丙乙線  為丙乙甲角次于乙丙任取一㸃為丁作丁戊線與  甲乙平行次從丁向戊任作五平分  為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸  線令小于甲乙次從甲過癸作甲子  線遇乙丙于子末從子作子壬子辛  子庚子己四線各引長之而分甲乙 于丑于寅于夘于辰為五平分

論曰:丁戊與甲乙既平行即子壬癸與子丑甲两

  角子癸壬與子甲丑两角各等一卷廿九而甲子丑同 角即甲子丑癸子壬两角形相似矣則子癸與癸 壬之比例若子甲與甲丑也本篇四依顯子壬與壬 辛若子丑與丑寅也又癸壬與壬辛等即子壬與 壬癸若子壬與壬辛也五卷七則子丑與丑甲亦若   子丑與丑寅也而甲丑丑寅两線等矣五卷十一依顯 寅夘夘辰辰乙俱與甲丑等則甲乙線為五平分 又一簡法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲 丁乙丙两平行線次從乙任作戊己庚辛四平分  次用元度從甲作壬癸子丑四平分  末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨  即分甲乙于己于辰于夘于寅為五  平分

論曰:辛庚與壬癸既平行相等即辛

 壬與庚癸亦平行一卷卅三依顯己子戊  丑俱平行而甲丑既為四平分則甲  己亦四平分本題依顯乙辛既為四平 分則乙寅亦四平分而通甲乙為五平分          又用法先作一器丙丁戊己為          平行線任平分為若干格每分          作平行線相聨今欲分甲乙為          五平分即規取甲乙之度以一 角抵戊丙線而一角抵庚辛線如不在庚辛者即 漸移之令至也既至壬即戊壬之分為甲乙之分

論曰:庚癸與子辛既平行相等即癸子庚辛亦平

  行相等一卷卅三而丙丁戊己内諸線俱平行相等戊 庚為五平分即戊壬亦五平分矣本題戊壬之度既 與甲乙等即自戊至壬諸格分甲乙為五平分也 如戊丙線上取丑㸃而甲乙度抵庚辛之外若丑 寅即從庚辛線引長之為庚寅而癸子諸線俱引 長之其丑寅仍為五平分如前論若所欲分之線 極小則製器宜密令相稱焉

増題:有直線求两分之而两分之比例若所設两線

之比例

法曰:甲乙線求两分之而两分之比例

若所設丙與丁先從甲任作甲戊線而 為甲角次截取甲己與丙等己庚與丁 等次作庚乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即 分甲乙于辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁說 見本篇二

又増題:两直線各三分之各互為两前後率比例

等即两中率與两前两後率各為比例亦等

解曰:甲乙丙丁两線各三分之于戊

 于己于庚于辛各互為两前两後率  比例等者甲戊與戊乙若丙庚與庚 丁甲己與己乙若丙辛與辛丁也題言中率戊己 庚辛各與其前後率為比例亦等者甲戊與戊己 若丙庚與庚辛己乙與戊己若辛丁與庚辛也

論曰:甲戊與戊乙之比例既若丙庚與庚丁即合

之甲乙與戊乙若丙丁與庚丁也而甲己與己乙 既若丙辛與辛丁即合之甲乙與己乙若丙丁與 辛丁也又反之己乙與甲乙若辛丁與丙丁也夫 己乙與甲乙既若辛丁與丙丁而甲乙與戊乙又  若丙丁與庚丁即平之己乙與戊乙  亦若辛丁與庚丁也五卷廿二又轉之戊  乙與戊己若庚丁與庚辛也又分之 己乙與戊己若辛丁與庚辛也此後解也又甲戊 與戊乙既若丙庚與庚丁而戊乙與戊己又若庚 丁與庚辛即平之甲戊與戊己若丙庚與庚辛也 此前解也

又簡論曰:如後圖聨甲于丙作乙甲丁角次作丁

乙辛己庚戊三線相聨其甲戊與戊乙之比例既 若丙庚與庚丁即庚戊與丁乙平行本篇二甲己與 己乙既若丙辛與辛丁即辛己與丁乙平行本篇二   而庚戊與辛己亦平行一卷三十是甲戊與戊己若丙 庚與庚辛也己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也本篇

第十一題

两直線求别作一線相與為連比例

法曰:甲乙甲丙两線求别作一線相與為連比

例者合两線任作甲角而甲乙與甲丙之比 例若甲丙與他線也先于甲乙引長之為乙  丁與甲丙等次作丙乙線相聨次從丁作丁戊線與  丙乙平行末于甲丙引長之遇于戊即丙戊為所求  線如以甲丙為前率倣此

論曰:甲丁戊角形内之丙乙線既與戊丁邊

平行即甲乙與乙丁之比例若甲丙與丙戊  也本篇二而乙丁甲丙元等即甲乙與甲丙若甲丙與 丙戊也五卷七

注曰:别有一法以甲乙乙丙两線列作甲

乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長 之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線于丁 即乙丁為所求線

論曰:甲丙丁角形之甲丙丁既為直角而從直角

至甲丁底有丙乙垂線即丙乙為甲乙乙丁比例   之中率本篇八之系則甲乙與乙丙若乙丙與乙丁也 既從一二得三即從二三求四以上至于無窮俱 倣此

第十二題

三直線求别作一線相與為斷比例

法曰:甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相

與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲 乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙  次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次  從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊  于戊即丁戊為所求線

論曰:甲丙戊角形内之丁乙線既與丙戊邊平行即

 甲丁與丁戊之比例若甲乙與乙丙本篇二

第十三題

两直線求别作一線為連比例之中率

法曰:甲乙乙丙两直線求别作一線為中率

者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也 先以两線作一直線為甲丙次以甲丙两平  分于戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從  乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率

論曰:試從丁作丁甲丁丙两線即甲丁丙為直角三卷

 卅一而直角所下乙丁垂線两分對邊線甲丙其甲乙  與乙丁若乙丁與乙丙也本篇八之系則乙丁為甲乙乙  丙之中率

注曰:依此題可推凡半圜内之垂線皆為

分徑線之中率線如甲乙丙半圜其乙丁 為甲丁丁丙之中率己戊為甲戊戊丙之  中率辛庚為甲庚庚丙之中率也何者半圜之内從  垂線作角皆為直角三卷卅一故依前論推顯各為中率  也

増題:一直線有他直線大于元線二倍以上求分

他線為两分而以元線為中率

法曰:甲乙線大于甲丙二倍以上求两分

甲乙而以甲丙為中率先以甲乙甲丙聨 為丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以 丁為心甲乙為界作甲戊乙半圜次從丙作丙戊 線與甲乙平行而遇半圜界于戊末從戊作戊己 垂線而分甲乙于己即戊己為甲己己乙两分之 中率

論曰:試作戊甲戊乙两線依本題論即戊己為甲

己己乙之中率而甲丙戊己為平行方形即丙甲 與戊己等一卷卅四則丙甲亦甲己己乙之中率也

第十四題二支

两平行方形等一角又等即等角旁之两邊為互相視  之邊两平行方形之一角等而等角旁两邊為互相  視之邊即两形等

先解曰:甲乙丙辛乙戊己庚两平行方

形等甲乙丙戊乙庚两角又等題言此 两角各两旁之两邊為互相視之邊者  甲乙與乙庚之比例若戊乙與乙丙也

論曰:試以两等角相聨于乙令甲乙乙庚為一直線

 其甲乙丙與戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直線 一卷十五增題次從辛丙己庚各引長之遇于 丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛 乙與乙丁两形之比例若乙己與乙丁  也五卷七而辛乙與乙丁俱在两平行線之内等高即  辛乙與乙丁两形之比例若其底甲乙與乙庚也本篇  依顯乙己與乙丁两形亦若其底戊乙與乙丙也  則甲乙與乙庚亦若戊乙與乙丙也

後解曰:甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两邊為互相

 視之邊者甲乙與乙庚若戊乙與乙丙也題言辛乙  乙己两平行方形等

論曰:依上論以两等角相聨其甲乙與乙庚之比例

 既若戊乙與乙丙而甲乙與乙庚两底之比例若平  行等高之辛乙與乙丁两形本篇一戊乙與乙丙两底  之比例若平行等高之乙己與乙丁两形則辛乙與  乙丁若乙己與乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等  五卷九

第十五題二支

相等两三角形之一角等即等角旁之各两邊互相視  两三角形之一角等而等角旁之各两邊互相視即  两三角形等

先解曰:甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又

等題言等角旁之各两邊互相視者謂甲乙 與乙戊之比例若丁乙與乙丙也

論曰:試以两等角相聨于乙令甲乙乙戊為

 一直線其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一  直線一卷十五増題次作丙戊線相聨其甲乙丙乙丁戊两  角形既等即甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與  乙丙戊也五卷七夫甲乙丙與乙丙戊两等高形之比  例若其底甲乙與乙戊也而乙丁戊與乙丙戊两等  高形亦若其底丁乙與乙丙也則甲乙與乙戊若丁  乙與乙丙

後解曰:两乙角等而乙旁各两邊甲乙與乙戊之比

 例若丁乙與乙丙題言甲乙丙乙丁戊两角形等

論曰:依前列两形令等角旁两邊各為一直線其甲

 乙與乙戊之比例既若丁乙與乙丙而甲乙與乙戊  两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等高角形丁乙與  乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等高角形則  甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與乙丙戊矣而  甲乙丙與乙丁戊豈不相等五卷九

第十六題二支

四直線為斷比例即首尾两線矩内直角形與中两線  矩内直角形等首尾两線與中两線两矩内直角形  等即四線為斷比例

先解曰:甲乙己庚戊己乙丙四直線為

斷比例者謂甲乙與己庚若戊己與乙 丙也而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾两 線矩内直角形戊己庚辛為戊己己庚  中两線矩内直角形題言甲丙戊庚两形等

論曰:两形之乙與己既等為直角而甲乙與己庚之

 比例若戊己與乙丙是乙己等角旁之各两邊互相  視而甲丙戊庚两直角形必等本篇十四

後解曰:甲丙戊庚两直角形等題言四線之比例等

 者謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也

論曰:甲丙戊庚两形之乙與己既等為直角即等角

 旁之各两邊互相視而甲乙與己庚之比例若戊己  與乙丙也本篇十四則四線為斷比例矣            注曰若平行斜方形而等            角亦同此論如上圖 以上二題即筭家句股法三數筭法所賴也

第十七題二支

三直線為連比例即首尾两線矩内直角形與中線上  直角方形等首尾線矩内直角形與中線上直角方  形等即三線為連比例

先解曰:甲乙戊己乙丙三線為連比例者甲乙與戊

己若戊己與乙丙也而甲乙丙丁為甲 乙乙丙首尾線矩内直角形戊己 庚辛為戊己上直角方形題言甲丙戊 庚两形等

論曰:試作己庚線與戊己等即甲乙乙丙己庚戊己

 為比例等等者謂甲乙與戊己若己庚與乙丙也則  戊己己庚矩内直角形即戊己上直角方形與甲乙乙丙首尾  線矩内之甲丙形等矣本篇十六

後解曰:甲丙直角形與戊庚直角方形等題言甲乙

 與戊己之比例若戊己與乙丙

論曰:甲丙戊庚既皆直角形即甲乙與戊己之比例

 若己庚與乙丙也本篇十六而己庚與乙丙亦若等己庚  之戊己與乙丙五卷七則甲乙與戊己若戊己與乙丙  矣

注曰:若平行斜方形而等

           角亦同此論如上圖  系凡直線上直角方形與他两線所作矩内直角形  等即此線為他两線之中率何者依上後論甲乙乙  丙矩内直角形與戊己上直角方形等即可推甲乙  與戊己若戊己與乙丙而戊己為甲乙乙丙之中率  故

第十八題

直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等

法曰:如甲乙線上求作直線形與所設丙丁戊己庚

形相似而體勢等先于設形任從一角向 各對角各作直線而分本形為若干角形 如上設形則從己向丙向丁作两直線而 分為丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也  次于元線上作乙甲壬甲乙壬两角與丁丙己丙丁  己两角各等其甲壬乙壬两線遇于壬即甲壬乙與  丙己丁两角亦等而甲壬乙與丙己丁两形為等角  形矣一卷卅二次作乙壬辛壬乙辛两角與丁己戊己丁  戊两角各等其壬辛乙辛两線遇于辛即乙辛壬與  丁戊己两角亦等而乙壬辛與丁己戊两形為等角  形矣末依上作甲壬癸與丙己庚亦為等角形即甲  乙辛壬癸與丙丁戊己庚两形等角則相似而體勢  等凡設多角形俱倣此

論曰:壬甲乙角與己丙丁角既等而壬甲癸角與己

 丙庚角又等即乙甲癸全角與丁丙庚全角等依顯  甲乙辛與丙丁戊两全角亦等而其餘各全角俱等  則甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚為等角形矣又甲乙 與乙壬之比例既若丙丁與丁己而乙壬 與乙辛亦若丁己與丁戊本篇四平之即甲 乙與乙辛亦若丙丁與丁戊也五卷廿二則甲 乙辛丙丁戊两等角旁各两邊之比例等  也而辛戊两等角旁各两邊之比例亦等也两形等角即等角旁  各两邊之比例等見本篇四又辛壬與壬乙之比例既若戊己與己  丁而壬乙與壬甲亦若己丁與己丙壬甲與壬癸亦若  己丙與己庚平之即辛壬與壬癸亦若戊己與巳庚  也五卷廿二則辛壬癸戊己庚两等角旁各两邊之比例  等也依顯餘角俱如是則两形為等角形而各等角  旁各两邊之比例俱等是两形相似而體勢等

注曰:凡線上形相當之各角等即形相似

而體勢等如上甲乙丙丁戊己两角形其 乙丙戊己線上之乙角丙角與戊角己角 相當相等者是也若两形在乙丙丁戊两 線上則雖相似而體勢不等又如上甲 丙戊庚两直角形其甲丁與丁丙之比 例若戊辛與辛庚而餘邊之比例俱等 亦形相似而體勢等若甲丙壬庚两直         角形雖角旁比例等而在丁丙庚         辛線上不相當則體勢不等         増作本題别有一簡法如設甲乙         丙丁戊己直線形求于庚線上作 直線形與相似而體勢等先于甲角旁之甲乙甲 己两線任引出之為甲辛甲丑次從甲向各角各 任作直線為甲壬甲癸甲子次于甲乙線上截取 甲辛與庚線末從辛作辛壬線與乙丙平行作壬 癸與丙丁癸子與丁戊子丑與戊己各平行即所   求

論曰:两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角與甲

  辛壬甲丑子两角各等一卷廿九而甲丙乙甲丙丁两 角與甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁與辛壬 癸两全角亦等依顯丙丁戊丁戊己與壬癸子癸 子丑各全角各等則甲乙丙丁戊己與甲辛壬癸 子丑两直線形為等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲 癸子甲子丑四三角形與甲乙丙甲丙丁甲丁戊   甲戊己四三角形各相似本篇四之系即甲乙與乙丙 之比例若甲辛與辛壬也而乙丙與丙甲若辛壬 與壬甲也丙甲與丙丁若壬甲與壬癸也平之則 乙丙與丙丁亦若辛壬與壬癸也依顯餘邊俱如 是則两形相似而體勢等也

第十九題

相似三角形之比例為其相似邊再加之比例

解曰:如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙與戊丙與

 己相當之角各等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與  戊己題言两形之比例為乙丙與戊己两邊再加之  比例

先論曰:若两角形等即乙丙與戊己两邊

亦等而各两等邊為相同之比例即两形 亦相同之比例就令作再加之比例亦未 免為相同之比例則相等之两形即可為  两等邊再加之比例矣

後論曰:若乙丙邊大于戊己邊即于乙丙線上截取

 乙庚為連比例之第三率令乙丙與戊己之比例若  戊己與乙庚也本篇十一次作甲庚直線其甲乙與乙丙 之比例若丁戊與戊己更之即甲乙與丁 戊若乙丙與戊己也而乙丙與戊己若戊 己與乙庚則甲乙與丁戊若戊己與乙庚 也夫甲乙庚與丁戊己两角形有乙戊两  等角而各两旁之两邊又互相視本篇十五即两形等則  甲乙丙形與丁戊己形之比例若甲乙丙形與甲乙  庚形矣五卷七又甲乙丙與甲乙庚两等高角形之比  例若乙丙底與乙庚底本篇一則甲乙丙形與丁戊己 形之比例亦若乙丙底與乙庚底也既乙 丙戊己乙庚三線為連比例則一乙丙與 三乙庚之比例為一乙丙與二戊己再加 之比例矣是甲乙丙與丁戊己两形之比 例為乙丙與戊己再加之比例也 系依本題可顯凡三直線為連比例即第一線 上角形與第二線上角形之比例若第一線與 第三線之比例如上甲乙丙三直線為連比例  其甲與乙上各有角形相似而體勢等則一甲線與  三丙線之比例若甲形與乙形也何者甲線與丙線  之比例為甲線與乙線再加之比例而甲形與乙形  之比例亦甲線與乙線再加之比例則甲形與乙形  之比例若甲線與丙線矣依顯二乙上角形與三丙  上角形相似而體勢等則二乙形與三丙形之比例若  一甲線與三丙線

第二十題三支

以三角形分相似之多邊直線形則分數必等而相當  之各三角形各相似其各相當两三角形之比例若  两元形之比例其元形之比例為两相似邊再加之  比例

先解曰:此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邊直線

 形其乙甲戊庚己癸两角等餘相當之各角俱等而 各等角旁各两邊之比例各等題先言各 以角形分之其角形之分數必等而相當 之各角形各相似

論曰:試從乙甲戊庚己癸两角向各對角

俱作直線為甲丙甲丁己辛己壬其元形  既相似即角數等而所分角形之數亦等又乙角既  與庚角等而角旁各两邊之比例亦等即甲乙丙與  己庚辛两角形必相似本篇六乙甲丙與庚己辛两角  甲丙乙與己辛庚两角各等而各等角旁各两邊之  比例各等本篇四依顯甲戊丁己癸壬两角形亦相似  又甲丙與丙乙之比例既若己辛與辛庚而丙乙與  丙丁若辛庚與辛壬两元形相似故平之即甲丙與丙丁若  己辛與辛壬也五卷廿二又乙丙丁角既與庚辛壬角等  而各減一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙  丁角與己辛壬角必等則甲丙丁與己辛壬两角形  亦等角形亦相似矣本篇六

次解曰:題又言各相當角形之比例若两元形之比

 例

論曰:甲乙丙己庚辛两角形既相似即两形之比例

 為甲丙己辛两相似邊再加之比例本篇十九依顯甲丙  丁己辛壬之比例亦為甲丙己辛再加之比例則甲 乙丙與己庚辛两角形之比例若甲丙丁 與己辛壬两角形之比例依顯甲丁戊與 己壬癸之比例亦若甲丙丁與己辛壬之 比例則此形中諸角形之比例若彼形中 諸角形之比例此諸形為前率彼諸形為  後率而一前與一後之比例又若并前與并後之比  例五卷十二即此一角形與相當彼一角形之比例若此  元形與彼元形之比例矣

後解曰:題又言两多邊元形之比例為两相似邊再

 加之比例

論曰:甲乙丙與己庚辛两角形之比例既若甲乙丙

 丁戊與己庚辛壬癸两多邊形之比例而甲乙丙與  己庚辛两形之比例為甲乙己庚两相似邊再加之  比例本篇十九則两元形亦為甲乙己庚再加之比例

増題:此直線倍大于彼直線則此線上方形與彼

線上方形為四倍大之比例若此方形與彼方形 為四倍大之比例則此方形邊與彼方形邊為二 倍大之比例

先解曰:甲線倍乙線題言甲上方形與乙

上方形為四倍大之比例

論曰:凡直角方形俱相似本卷界說一依本題

論則甲方形與乙方形之比例為甲線與乙線再 加之比例甲線與乙線既為倍大之比例則两方 形為四倍大之比例矣何者四倍大之比 例為二倍大再加之比例若一二四為連 比例故也

後解曰:若甲上方形與乙上方形為四倍大之比

例題言甲邊與乙邊為二倍大之比例

論曰:两方形四倍大之比例既為两邊再加之比

例則甲邊二倍大于乙邊 系依此題可顯三直線為連比例如甲乙 丙則第一線上多邊形與第二線上相似 多邊形之比例若第一線與第三線之比   例 此系與本篇第十九題之系同論

第二十一題

两直線形各與他直線形相似則自相似

解曰:甲乙丙丁戊己两直線形各與庚辛壬

形相似題言两形亦自相似

論曰:甲乙丙形之各角既與庚辛壬形之各

角等而丁戊己形之各角亦與庚辛壬形之 各角等即两形之各角自相等公論两形之各 角既等則甲乙丙形與庚辛壬形各等角旁 各邊之比例等五卷十一而丁戊己形與庚壬辛 形各等角旁各邊之比例亦等也是甲乙丙  形與丁戊己形各等角旁各邊之比例亦等也各角  既等各邊之比例又等即两形定相似矣本卷界說一

第二十二題二支

四直線為斷比例則两比例線上各任作自相似之直  線形亦為斷比例两比例線上各任作自相似之直  線形為斷比例則四直線為斷比例

先解曰:甲乙丙丁戊己庚辛四直線為斷比例者甲

 乙與丙丁若戊己與庚辛也今于甲乙丙丁上各任  作直線形自相似如甲乙壬丙丁癸  于戊己庚辛上各任作直線形自相  似如戊己丑子庚辛夘寅題言四形  亦為斷比例者謂甲乙壬與丙丁癸  若戊丑與庚夘也

論曰:試以甲乙丙丁两線求其連比

 例之末率線為辰本篇十一次以戊己庚辛两線求其連  比例之末率線為己平之即甲乙與辰之比例若戊  己與己也五卷廿二夫甲乙壬與丙丁癸两相似形之比  例若甲乙線與辰線本篇十九及廿之系而戊丑與庚夘两相 似形之比例若戊己線與己線則甲乙 壬與丙丁癸之比例亦若戊丑與庚夘  矣五卷十一

後解曰:如前四形為斷比例題言甲乙

丙丁戊己庚辛四線亦為斷比例

論曰:試以甲乙丙丁戊己三線求其斷

 比例之末率線為午未本篇十二次于午未上作直線形  與戊丑相似而體勢等為午未酉申本篇十八午酉與戊  丑相似即與庚夘亦相似而甲乙與丙丁之比例既  若戊己與午未依上論即甲乙壬與丙丁癸两形之  比例若戊丑與午酉矣夫甲乙壬與丙丁癸之比例  元若戊丑與庚夘則戊丑與午酉亦若戊丑與庚夘  也五卷十一而午酉與庚夘等也五卷九午酉與庚夘既等  又相似而體勢等即两形必在等線之上而庚辛與午  未必等見下方補論則戊己與午未之比例若戊己與庚  辛也而戊己與午未元若甲乙與丙丁則甲乙與丙  丁亦若戊己與庚辛也  補論曰庚夘午酉两直線形相等相似而體勢等即  在等線之上者何也盖庚辛與午未若云不等者或  言庚辛大于午未也則辛夘宜亦大于未酉矣五卷十四  而庚夘形宜亦大于午酉形矣何先設两形等也言  小倣此補論者前此未著而論中無他論可徵故别作一論以足未備

又補論曰:甲乙丙丁戊己两直線形相等相

似而體勢等即相似邊如甲乙與丁戊必等 者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也 即令以甲乙丁戊两線求其連比例之末率 線為庚本篇十一其甲乙與丁戊既若丁戊與庚  而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大  于庚矣然甲乙與庚之比例若甲乙丙形與丁戊己  形本篇十九及廿之系甲乙既大于庚則甲乙丙宜大于丁戊  己何先設两形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小  倣此

増論曰:本題别有簡論今先顯四線之比例等而甲

 乙壬與丙丁癸两形之比例若戊丑  與庚夘两形者盖甲乙與丙丁之比  例若戊己與庚辛而甲乙壬與丙丁  癸之比例為甲乙與丙丁再加之比  例本篇十九戊丑與庚卯之比例亦為戊己與庚辛再加 之比例是甲乙壬與丙丁癸若戊丑與庚夘也

次増論曰:今顯四形之比例等而甲乙與丙丁两

線之比例若戊己與庚辛两線者盖甲乙壬與丙 丁癸之比例若戊丑與庚夘而甲乙壬與丙丁癸 之比例為甲乙與丙丁再加之比例若戊丑與庚   夘為戊己與庚辛再加之比例本篇十九則甲乙與丙 丁之比例若戊己與庚辛矣

第二十三題

等角两平行方形之比例以两形之各两邊两比例相結

解曰:甲丙丙己两平行方形之乙丙

丁戊丙庚两角等題言两形之比例以 各等角旁各两邊之比例相結者謂两 比例之前率在此形两比例之後率在  彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙  與丙戊相結也或以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相  結也

論曰:試以两等相聨于丙而乙丙丙庚作一直線其

 乙丙丁角既與戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直線  一卷十五増次于甲丁己庚各引長之遇于辛次任作一  壬線次以乙丙丙庚壬三線求其斷比例之末率線  為癸本篇十二末以丁丙丙戊癸三線求其斷比例之末  率線為子其乙丙與丙庚两底之比例既若甲丙與  丙辛两形本篇一而乙丙與丙庚亦若壬與癸則甲丙  與丙辛亦若壬與癸也五卷十一依顯丙辛與丙己亦若  癸與子也平之即甲丙與丙己若壬與子也五卷廿二夫  壬與子之比例元以壬與癸癸與子两比例相結本卷  界說五而壬與癸癸與子元若乙丙與丙庚丁丙與丙 戊則甲丙與丙己之比例以乙丙與丙 庚偕丁丙與丙戊两比例相結也其以 乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結則先 以乙丙丙戊為一直線可依上推顯

後注曰:此不同理之比例也两形不相似本篇十九

  不相等之形也等角旁各两邊不互相視本篇十四故 必用相結之理必須借象之術其法假虚形實所 以通比例之窮也以數明之乙丙六十丙庚二十 壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子 二即甲丙之實二千四百與丙己之實一千六百 若壬三與子二為等帶半之比例也其曰壬與癸 癸與子两比例相結者壬三倍大于癸癸反二倍   大于子反二倍者癸得子之半三乘半得一五則壬與子為 等帶半之比例也其曰借象者乙丙與丙庚丁丙與 丙戊二比例既不同理又異中率故借壬與癸癸與   子同中率而不同理之二比例以為象本卷界說五初作 壬與癸若乙丙與丙庚次作癸與子若丁丙與丙戊   本篇十二則癸為前率之後又為後率之前是為壬子首 尾两率之樞紐令相象之丙庚丁丙亦化两率為一 率為乙丙丙戊首尾两率之樞紐因以两比例相 結為首尾两率之比例雖不能使三率為同理之 两比例而合為一連比例亦能使两不同理之比 例首尾合而為一比例矣自三以上可倣此相借 以至無窮也本卷界說五

第二十四題

平行線方形之两角線方形自相似亦與全形相似

解曰:甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線

任作戊己庚辛两線與丁丙乙丙平行而 與對角線交相遇于壬題言戊庚己辛两  角線方形自相似亦與全形相似

論曰:試依一卷廿九題推顯两角線形等角又庚甲

 戊與乙甲丁同角而甲戊壬外角與甲丁丙内角等  甲庚壬外角與甲乙丙内角等戊壬庚外角與乙己  壬内角等乙己壬外角又與乙丙丁内角等則戊庚  形與甲丙全形等角矣依顯己辛形亦與全形等角  矣今欲顯两形與全形相似者試觀甲庚壬與甲乙  丙两角形甲戊壬與甲丁丙两角形既各等角一卷廿九  可推仍見本篇四之系即甲乙與乙丙之比例若甲庚與庚壬  而庚乙两角旁各两邊之比例等也六卷四又乙丙與  丙甲之比例若庚壬與壬甲丙甲與丙丁之比例若  壬甲與壬戊平之即乙丙與丙丁若庚壬與壬戊也五卷廿二  則乙丙丁庚壬戊两角旁各两邊之比例等也依顯各  角旁各両邊之比例皆等是两角線方形自相似亦  與全形相似

第二十五題

两直線形求作他直線形與一形相似與一形相等

法曰:甲乙两直線形求作他直線形與

甲相似與乙相等先于求相似之甲形 任取一邊如丙丁于丙丁邊上作平行 方形與甲等為丙戊一卷四四四五次于丁戊 邊上作平行方形與乙等而戊丁庚角  與丁丙己角等為丁辛其丙丁庚己戊辛俱為直線  也一卷四五可推次作一壬癸線為丙丁丁庚之中率本篇十三  末于壬癸上作子形與甲相似而體勢等本篇十八即子  形與乙等

論曰:丙丁壬癸丁庚三線既為連比例即依本篇二

 十題之系可顯一丙丁與三丁庚之比例若一丙丁  上之甲與二壬癸上之子两形相似而體勢等者之  比例也又丙丁與丁庚之比例若丙戊與丁辛两等  高平行方形之比例也本篇一則丙戊與丁辛若甲與  子矣夫丙戊與丁辛元若甲與乙也丙戊與甲等丁辛與乙等則  甲與乙之比例若甲與子也五卷十一而乙形與子形等  矣五卷九

第二十六題

平行方形之内減一平行方形其減形與元形相似而  體勢等又一角同則減形必依元形之對角線

解曰:乙丁平行方形之内減戊庚平行

方形元形減形相似而體勢等又戊甲 庚同角題言戊庚形必依乙丁形之對 角線

論曰:試作甲己己丙對角两線若两線

為一直線即顯戊庚形依甲丙對角線 矣如云甲己己丙非一直線令别作元  形之對角線而分戊己邊于辛即作辛壬線與己庚  平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直  對角線則宜相似而體勢等矣本篇廿四是乙甲與甲丁  之比例宜若戊甲與甲壬也夫乙甲與甲丁元若戊  甲與甲庚元設形相似而體勢等今若所云則戊甲與甲庚亦  若戊甲與甲壬矣五卷十一而甲壬分與甲庚全亦等矣  五卷九可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬與  己戊平行依前論駁之

第二十七題

凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線  上之闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕  依形必大于此有闕依形

解曰:甲乙線平分于丙于半線丙乙上任

作丙丁戊乙平行方形其對角線乙丁次 作甲乙戊辛滿元線平行方形即甲丁為 甲丙半線上之有闕依形丙戊為丙乙半  線上之闕形本卷界說六此两形相等相似勢體又等題  言甲乙線上凡作有闕依形不滿線者其闕形與丙  戊相似而體勢等即甲丙半線上之甲丁有闕依形  必大于此有闕依形

論曰:試于乙丁對角線上任取一㸃為庚從庚作己

 庚壬線庚癸線與甲乙乙戊各平行即得甲庚為依  甲乙元線之有闕平行方形而癸壬為其闕形此癸  壬闕形既依乙丁對角線則與丙戊闕形相似而體  勢等本篇廿四夫丙庚庚戊两餘方形既等一卷四三若每加  一癸壬角線方形即丙壬與癸戊亦等也又丙壬與  丙己俱在两平行線内底等即两形等一卷三六而丙己  與癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方  形與子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬  折形之外尚有庚丁形則丙戊形必大于子丑磬折  形而等丙戊之甲丁形丙戊甲丁同在两平行線内又等底故見一卷三六必  大于等磬折形之甲庚形矣依顯凡依乙丁對角線 作形與丙戊相形者其有闕依形俱小于 甲丁也為其必有庚丁之較故也

又論:甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平

行方形同在两平行線内又底等即两形  等一卷卅六而庚戊為丁壬之分則丁壬大于庚戊較餘  一庚丁形其大于丙庚亦如之庚戊丙庚两餘方形等故見一卷四三  即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦較餘一庚丁形  也次每加一丙己形則甲丁必大于甲庚矣

又解曰:若庚㸃在丙戊形外即引乙丁對

角線至庚從庚作辛丑線與癸戊平行次 引甲癸線至辛引乙戊線至丑而與辛丑 線遇于辛于丑末作庚己線與辛甲平行  即得甲庚為依甲乙元線之有闕平行方形又得己  丑與丙戊相似而體勢等者两形同依乙庚對角線故見本篇廿四為  其闕形也題言甲丁形亦大于甲庚形

論曰:試于丙丁線引出之至子即辛子子丑两線等

 一卷卅四而辛丁丁丑两形亦等一卷卅六其丁丑己丁两餘  方形既等即己丁與辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既  較餘一庚丁形則己丁之大于辛壬亦較餘一庚丁  形也此两率者每加一甲壬平行方形則甲丁大于  甲庚者亦較餘一庚丁形矣依顯凡乙丁對角線引  出丙戊形外依而作形與丙戊相似者其有闕依形  俱小于甲丁也為其必有庚丁之較故也

第二十八題

一直線求作依線之有闕平行方形與所設直線形等  而其闕形與所設平行方形相似其所設直線形不  大于半線上所作平行方形與所設平行方形相似  者

法曰:甲乙線求作依線之有闕平行方形與所設直

 線形丙等而其闕形與所設平行方形丁相似先以  甲乙線两平分于戊次于戊乙半線  上作戊己庚乙平行方形與丁相似  而體勢等本篇十八次作甲辛庚乙滿元  線平行方形若甲己平行方形與丙  等者本篇廿五即得所求矣若甲己大于        丙者題言甲己小即不可作見本篇廿七即等甲己之  戊庚亦大于丙也則尋戊庚之大于丙幾何假令其  較為壬两直線形不等相減之較法見一卷四五増即作癸子丑寅平行  方形與壬等又與戊庚形相似而體勢本篇廿五則戊庚  平行方形與丙直線形及癸丑平行方形并等而戊  庚必大于癸丑矣夫戊庚與癸丑既相似即戊己與巳  庚两邊之比例若寅癸與癸子也而戊庚既大于癸  丑即戊己己庚两邊亦大于寅癸癸子也次截取己巳  己夘與癸子癸寅等而作己己辰夘平行方形必與  癸丑形相等相似而體勢等矣又夘  己形既與戊庚相似而體勢等必同  依乙己對角線也本篇廿六次于己辰線  引出抵甲乙元線于夘辰两界各引  出作午未線即甲辰為依甲乙線之  有闕平行方形與丙等而其闕形乙  辰與戊庚相似本篇廿四即亦與丁相似

論曰:辰庚與辰戊两餘方形既等一卷四三每加一乙辰

 角線方形即乙己與戊午亦等而與等戊午之戊未  亦等戊午戊未同在平行線内又底等故見一卷卅六乙己與戊未既等又  每加一申辰方形即甲辰平行方形與申酉罄折形  亦等矣夫申酉罄折形為戊庚形之分而戊庚與丙  及癸丑等戊庚所截去之夘己又與癸丑等則申酉  罄折形與丙等也而甲辰亦與丙等也

第二十九題

一直線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形等  而其餘形與所設平行方形相似

法曰:甲乙線求作依線之帶餘平行

 方形與所設直線形丙等而其餘形  與所設平行方形丁相似先以甲乙  線两平分于戊次于戊乙半線上作  戊己庚乙平行方形與丁相似而體  勢等本篇十八次别作一平行方形與丙及  戊庚并等為辛二卷十四次别作一平行方形與辛等又  與丁相似而體勢等為壬癸子丑本篇廿五其丑癸既與  辛等即大于戊庚而丑癸既與戊庚相似即丑壬與  壬癸两邊之比例若戊己與己庚也而丑壬與壬癸  两線必大於戊巳與巳庚也若等或小即丑癸不大於戊庚次於巳  戊引之至卯與壬丑等於巳庚引之至寅與壬癸等  而作卯寅平行方形即卯寅與丑癸同依辰巳對角  線而等本篇廿六又與戊庚相似而體勢等矣次于甲乙  引之至巳庚乙引之至午於午卯引之至未末作甲  未線與己夘平行即得甲辰帶餘平行方形依甲乙  線與丙等而己午為其餘形與戊庚形相似而體勢  等本篇廿四即與丁相似而體勢等

論曰:甲夘戊午两形既等一卷卅六戊午與乙寅两餘方

 形又等一卷四三則甲夘與乙寅亦等矣而每加一夘己  形則甲辰平行方形與戊辰寅罄折形亦等矣夫戊  辰寅罄折形元與丙等丑癸即夘寅與丙及戊庚并等每減一戊庚即罄折形與  丙等即甲辰亦與丙等

第三十題

一直線求作理分中末線

法曰:甲乙線求理分中末先于元線作甲

乙丙丁直角方形次依丁甲邊作丁己帶  餘平行方形與甲丙直角方形等而甲己為其餘形  又與甲丙形相似本篇廿九即甲己亦直角方形矣惟直角方  形恒與直角方形相似則戊己線分甲乙于辛為理分中末線  也本卷界說三

論曰:丁己與甲丙两形既等每減一甲戊形即所存

 甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两  角既等两皆直角故即两角旁之各两邊線為互相視之  線也本篇十四而等戊辛之甲乙線與等辛己之甲辛線  其為比例若甲辛與辛乙也是甲辛乙線為理分中  末也

又論曰:甲乙甲辛辛乙凡三線而第一第三矩内之

 辛丙直角形與第二甲辛上直角方形等即三線為  連比例本篇十七而甲乙與甲辛若甲辛與辛乙矣

又法曰:甲乙線求分于丙而甲乙偕丙乙矩内

直角形與甲丙上直角方形等二卷十一即甲乙之 分于丙為理分中末線盖甲乙甲丙丙乙三線  為連比例故本篇廿七

第三十一題

三邊直角形之對直角邊上一形與直角旁邊上两形  若相似而體勢等則一形與两形并等

解曰:甲乙丙三邊直角形乙甲丙為直

角于乙丙上任作直線形為乙丙丁戊 次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙 壬辛两形與乙丁形相似而體勢等本篇  十八題言乙丁形與乙庚丙辛两形并等

論曰:試從甲作甲癸為乙丙之垂線依本篇第八題

 之系即乙丙與丙甲两邊之比例若丙甲與丙癸两  邊則一乙丙邊與三丙癸邊之比例若一乙丙上之  乙丁形與二甲丙上之丙辛形也本篇十九或二十之系反之  則丙癸與乙丙两邊之比例若丙辛與乙丁两形也  依顯乙癸與乙丙两邊之比例若乙庚與乙丁两形  也乙丙乙甲乙癸三邊為連比例故見本篇八之系夫一丙癸與二乙丙之  比例既若三丙辛與四乙丁而五乙癸與二乙丙之  比例亦若六乙庚與四乙丁則一丙癸五乙癸并與  二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并與四乙丁也既  一丙癸五乙癸并與二乙丙等則三丙辛六乙庚并  與四乙丁亦等五卷廿四

又論曰:甲乙丙與癸甲丙两角形既相

似而甲乙丙角形其乙丙與丙甲之比 例若癸甲丙角形之丙甲與丙癸本篇八 即乙丙與丙甲两邊相似則癸甲丙與  甲乙丙两角形之比例為丙甲與乙丙再加之比例  本篇十九而丙辛與乙丁两形之比例亦為丙甲與乙丙  再加之比例本篇十九二十則癸甲丙與甲乙丙两角形之  比例若丙辛與乙丁两形也五卷十一依顯癸乙甲與甲  乙丙两角形之比例若乙庚與乙丁两形也是一甲  癸丙與二甲乙丙之比例若三丙辛與四乙丁也而  五癸乙甲與二甲乙丙之比例若六乙庚與四乙丁  也即一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙丙之比例若  三丙辛六乙庚并與四乙丁也五卷廿四既一甲癸丙五  癸乙甲并與二甲乙丙等則三丙辛六乙庚并與四  乙丁亦等

又論曰:一甲丙上直角方形與二乙丙上直角方形

 之比例若三丙辛形與四乙丁形此两率之比例皆甲丙與乙丙再加  之比例見本篇十九二十又五甲乙上直角方形與二乙丙上直  角方形之比例若六乙庚形與四乙丁形即一甲丙  上五甲乙上两直角方形并與二乙丙上直角方形 之比例若三丙辛六乙庚两形并與四 乙丁形五卷廿四旣甲丙甲乙上两直角方 形并與乙丙上直角方形等一卷四十則丙  辛乙庚两形并與乙丁形等

増題:角形之一邊上一形與餘两邊上两形相似

而體勢等者其一形與两形并等則餘两邊内角 必直角

解曰:甲乙丙角形于乙丙上任作一直線形與甲

乙甲丙上两形相似而體勢等其一形與两形并 等題言乙甲丙必直角

論曰:試作甲丁為甲丙之垂線與甲乙等次作丁

丙線其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形與乙 丙上形相似其丁丙上形與丁甲甲丙上相似而 體勢等之两形并等矣本題又甲丁與甲乙等其上 两形亦等即丁丙上形與甲乙甲丙上两形并亦 等而乙丙上形元與甲乙甲丙上两形并等則丁 丙乙丙上两形亦等而丁丙與乙丙两線亦等本篇廿二補論夫甲丙丁角形之甲丁與甲乙丙角形之甲 乙等甲丙同邊其底乙丙丁丙又等即丁甲丙與 乙甲丙两角必等丁甲丙既直角則乙甲丙亦直   角

第三十二題

两三角形此形之两邊與彼形之两邊相似而平置两 形成一外角若各相似之各两邊各平行則 其餘各一邊相聨為一直線

解曰:甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙邊

 與丁丙丁戊邊相似者謂甲乙與甲丙之比例若丁  丙與丁戊也試平置两形令相切成一甲丙丁外角  而甲乙與丁丙甲丙與丁戌各相似之两邊各平行  題言乙丙丙戊為一直線

論曰:甲乙與丁丙既平行即甲角與内相對之甲丙

 丁等一卷廿九依顯丁角亦與内相對之甲丙丁等則甲  丁两角等而甲乙丙與丁丙戊两角形之甲丁两角  旁各两邊比例又等即两形為等角形而乙角與丁  丙戊角必等本篇六次于乙角加甲角于丁丙戊角加  等甲之甲丙丁角即乙甲两角并與等甲丙丁丁丙  戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲  乙丙形之内三角并與甲丙乙甲丙戊两角并等夫  甲乙丙形之内三角等两直角一卷卅二則甲丙乙甲丙  戊并亦等两直角而為一直線一卷十四

第三十三題三支

等圜之乘圜分角或在心或在界其各相當两乘圜角  之比例皆若所乘两圜分之比例而两分圜形之比  例亦若所乘两圜分之比例

解曰:甲乙丙戊己庚两圜等其心為丁為

辛两圜各任割一圜分為乙丙為己庚其 乘圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界 者為乙甲丙己戊庚題先言乙丙與己庚 两圜分之比例若乙丁丙與己辛庚两角 次言乙甲丙與己戊庚两角之比例若乙  丙與己庚两圜分後言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分  内乙丁丙分圜形與己辛辛庚两腰偕己庚圜分内  己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚两圜分

先論曰:試作乙丙己庚两線次作丙壬合圜線與乙

 丙等作庚癸癸子两合圜線各與己庚等四卷一其丙  壬既與乙丙等即乙丙與丙壬两圜分亦等三卷十八而  乙丁丙與丙丁壬两角亦等三卷廿七依顯己庚庚癸癸  子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等則乙丙  壬圜分倍乙丙圜分之數如在心乙丁壬角或乙丁  壬内地倍乙丁丙角之數而己庚癸子圜分倍己庚  圜分之數如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛  庚角之數何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分  數與乙丙壬己庚癸子两圜分内之分數各等故也  然則乙丁壬角與地若等于己辛子角與地即乙丙 壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦 大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬 三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍 之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等 大小皆同類也則一乙丙與二己庚之比 例若三乙丁丙與四己辛庚也五卷界說六

次論曰:乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦

 倍大于己戊庚三卷二十即乙丁丙與己辛庚两角之比  例若乙甲丙與己戊庚两角矣五卷廿五則乙甲丙與己  戊庚在界乘圜之两角亦若乙丙與己庚两圜分也  五卷十一若作甲壬戊癸直線亦可用先論推顯用地當角說見  三卷廿増題

後論曰:試于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜

 分内作丙寅壬角此两角所乘之乙甲壬丙與丙乙  甲壬两圜分既等三卷廿七即两角亦等而乙丑丙與丙  寅壬两圜小分亦相似亦相等乙丙與丙壬两合圜線等故見三卷廿四  次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙  丁壬两分圜形等一卷四則乙丁壬分圜形倍乙丁丙  分圜形之數如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之數依顯  己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之數亦如己庚癸  子圜分倍己庚圜分之數然則乙丙壬圜分若等于 己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等 于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小  矣五卷界說六是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜 分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形 偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛 子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小  皆同類也則一乙丙圜分與二己庚圜分之比例若  三乙丁丙分圜形與四己辛庚分圜形也五卷界說六  一系在圜心两角之比例皆若两分圜形  二系在圜心角與四直角之比例若圜心角所乘圜  分與全圜界四直角與在圜心角之比例若全圜界  與圜心角所乘之圜分

丁先生言歐几里得六卷中多研察有比例之線 竟不及有比例之面故因其義類増益數題用補 闕如左云竇復増一題竊弁于首仍以題㫖從先 生舊題隨類附演以廣其用俱稱今者以别于先 生舊増也

今増題:圜與圜為其徑與徑再加之比例
解曰:甲乙丙丁戊己两圜其徑甲丙丁己題言甲

          乙丙與丁戊己為甲丙與丁           己再加之比例           論曰如云不然當言甲乙丙           圜與小于丁戊己之庚辛壬           圜或大于丁戊己之癸子丑           圜為甲丙與丁己再加之比   例也五卷界說二十増若言庚辛壬是者試置庚辛壬圜 于丁戊己圜内為同心次于外圜内作丁亥戊未 己申酉戌多邊切形其多邊為偶數又等而全不   至内圜也四卷十六補題次于甲乙丙圜内作甲午乙寅 丙夘辰己多邊切形與丁戊己圜内切形相似四卷   十六補題可推其两圜内两徑上有丁亥戊未己與甲午 乙寅丙相似之两多邊形則為两相似邊再加之   比例也本篇二十而甲丙與丁己两線為两形之相似 邊據如彼論即甲午乙寅丙與丁亥戊未己两形 甲乙丙與庚辛壬两圜同為甲丙與丁己两線再 加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将 庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎則分大于 全乎若言癸子丑是者亦如前論甲午乙寅丙與 丁亥戊未己两形甲乙丙與癸子丑两圜同為甲 丙與丁己两線再加之比例也反之即癸子丑與           甲乙丙两圜之比例為丁己           與甲丙两徑再加之比例也           設他圜乾兊離令癸子丑與           甲乙丙之比例若丁戊己與           乾兊離五卷界說増則丁戊己與           乾兊離两圜亦宜為丁己與 甲丙两徑再加之比例也癸子丑既大于丁戊己 即甲乙丙亦大于乾兊離而丁戊己與小于甲乙 丙之乾兊離两圜能為丁己與甲丙两徑再加之   比例乎前己駁有两圜其第一與他圜之小于第二者不得為元圜两徑再加之比例夫 甲乙丙不得與圜之大于丁戊己者小于丁戊己 者為甲丙與丁己再加之比例則止有元两圜為 其元两徑再加之比例 一系全圜與全圜半圜與半圜相當分與相當分 任相與為比例皆等蓋諸比例皆两徑再加之比例故 二系三邊直角形對直角邊為徑所作圜與 餘两邊為徑所作两圜并等半圜與两半圜并等 圜分與相似两圜分并等本篇卅一可推 三系三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比 例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求 各圜之相與為比例者本篇十九二十之系可推 一増題直線形求減所命分其所減所存各作形 與所設形相似而體勢等

法曰:如甲直線形求減三分之一其所

減所存各作形與所設乙形相似而體 勢等先作丙丁形與甲等與乙相似而 體勢等本篇廿五次任于其一邊如丙戊上 作丙己戊半圜次分丙戊為三平分而取其一庚 戊次從庚作己庚為丙戊之垂線本篇九次作己丙 己戊两線末于己丙己戊上作己辛己壬两形各 與丙丁相似而體勢等本篇十八即所求

論曰:丙己戊角形既負半圜為直角三卷卅一即丙丁

直線形與己辛己壬相似之两形并等本篇卅而于 等甲之丙丁形減己壬存己辛两形各與丙丁相 似而體勢等則與乙相似而體勢等今欲顯己壬 為丙丁三分之一者試觀丙庚己丙己戊两角形 既相似本篇八即丙庚與庚己之比例若丙己與己 戊也本篇四夫丙庚庚己庚戊三線為連比例即丙   庚與庚戊為丙庚與庚己再加之比例本篇八之系而 己辛與己壬两形亦為丙己與己戊两相似邊再   加之比例本篇十九二十即丙庚與庚戊两線之比例若   己辛與己戊两形也两比例為两同理比例之再加故合之則丙 戊與庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁 與己壬矣丙戊三倍于庚戊則丙丁亦三倍于己 壬而己壬為等甲之丙丁三分之一 若直線形求減之不論所減所存何形其法更易  如甲形求減三分之一先作乙丙平  行線形與甲等一卷四一次分乙丁為三 平分而取其一戊丁末從戊作己戊線與丙丁平 行即戊丙形為等甲之乙丙形三分之一本篇一 今附若于大圜求減所設小圜則以圜徑當形邊 餘法同前如上圖

又今附依此法可方一初月形方初月形者謂作直 角方形與初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜 四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方 形與初月形等先從乙丙作甲乙丙丁内切圜直 角方形三卷六次用方形法四平分之即 其一為所求方形與初月形等何者甲 乙丙半圜與甲乙乙丙上两半圜并等   本増題之今附甲乙乙丙两線自相等即其上两半圜亦 自相等而庚乙壬丙分圜形為大半圜之半即與 乙己丙戊小半圜等此两率者各減一同用之乙 己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月 形與庚乙丙角形等而庚己丙辛直角 方形與庚乙丙角形亦等則與乙壬丙 戊初月形亦等依顯甲乙丙丁直角方形與大圜 界上四初月形并等

二増題:两直線形求别作一直線形為連比例
法曰:甲與乙丙丁两直線形求别作一直線形為

連比例先作一戊己庚直線形與甲等與乙丙丁 相似而體勢等本篇廿五次以两形相似之 各一邊如戊己乙丙為前中率線而求 其連比例之末率線為辛壬本篇十一末于   辛壬上作辛壬癸形與两形相似而體勢等本篇十八 即所求

論曰:戊己乙丙辛壬三線既為連比例即其上三

形相似而體勢等者亦為連比例本篇廿二 今附有两圜求别作一圜為連比例則以圜徑當 形邊依上法作之

三増題:三直線形求别作一直線形為斷比例
法曰:一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直線形求别

作一直線形為斷比例先作壬癸子丑形與甲等   與乙丁相似而體勢等本篇廿五次以三形之任各一 邊如壬癸乙丙己庚為三率求其斷比例之末率  線為寅夘本篇十二末于寅夘上作寅夘  辰形與己庚辛相似而體勢等本篇十八  即所求

論曰:四線既為斷比例即其線上形

 相似而體勢等者亦為斷比例本篇廿二 今附有三圜求别作一圜為斷比例亦以圜徑當 形邊依上法作之

四増題:两直線形求别作一形為連比例之中率
法曰:甲與乙丙丁两直線形求别作一形為連比

例之中率先作戊己庚直線形與甲等與乙丙丁  相似而體勢等本篇廿五次求戊己乙丙  两直線連比例之中率為辛壬本篇十三  末于辛壬上作辛壬癸形與戊己乙 丙上形相似而體勢等本篇十八即所求

論曰:戊己辛壬乙丙三線既為連比例

即各線上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形 亦為連比例本篇廿二

又法曰:甲乙两直線形求别作一形為

連比例之中率先作丁丙己戊平行線形任直斜 角與甲等一卷四五次作庚戊壬辛平行線 形與乙等與丁己形相似而體勢等本篇 廿五次置两平行線形以戊角相聨而丁 戊戊壬為一直線即庚戊戊己亦一直   線一卷十五増末從两形引長各邊成丙子辛癸平行 線形即两餘方形俱為丁己庚壬两形之中率

論曰:丁己庚壬两形既相似而體勢等即丁戊與

己戊之比例若戊壬與戊庚也更之即丁戊與戊 壬若己戊與戊庚也夫丁戊與戊壬两線之比例 亦若丁己與戊癸两形己戊與戊庚两線之比例 又若戊癸與庚壬两形則戊癸為丁己庚壬之中 率矣

又論曰:丁己庚壬两形既相似而體勢等即同依

  丙辛對角線本篇廿六而子戊戊癸两餘方形自相等 則丁己與戊癸两形之比例若子戊與庚壬两形 何者此两比例皆若丁戊與戊壬也則子戊戊癸 皆丁己庚壬之中率也

今附若两圜求作一圜為連比例之中率亦以圜 徑當形邊依上前法作之

五増:一直線形求分作两直線形俱與所設形相

似而體勢等其比例若所設两幾何之比例

法曰:甲直線形求分作两直線形俱與所設丁形

相似而體勢等其比例若所設两幾何如乙線與  丙線之比例先作戊己庚辛直線形  與甲等與丁相似而體勢等本篇廿五次  任用其一邊如戊辛两分之于壬令  戊壬與壬辛之比例若乙與丙也分法   先以乙丙两線聯為一直線次截戊壬與壬辛若乙與丙見本篇十次于戊辛上作 戊癸辛半圜次從壬作癸壬為戊辛之垂線次作 戊癸癸辛線相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸   癸夘寅辛两形與戊庚形俱相似而體勢等本篇十八 即此两形并與甲等又各與丁相似而體勢等其 比例又若乙與丙

論曰:戊癸辛既負半圜為直角三卷卅一即戊子癸寅

  两形并與等戊庚之甲等本篇卅一又戊壬與壬癸之   比例若戊癸與癸辛俱在直角两旁故見本篇四戊壬壬癸壬 辛三線為連比例即戊壬與壬辛為戊壬與壬癸   再加之比例本篇八之系而戊子與癸寅两形亦為戊   癸與癸辛两相似邊再加之比例本篇二十則戊壬與   壬辛之比例亦若戊子與癸寅也两比例為两同理比例之再加 夫戊壬與壬辛元若乙與丙也則戊子與癸寅 亦若乙與丙也

今附若一圜求分作两圜其比例若所設两幾何 亦以圜徑當形邊依上法作之

六増題:一直線形求分作两直線形俱與所設形

相似而體勢等其两分形两相似邊之比例若所 設两幾何之比例

法曰:甲直線形求分作两直線形

        俱與所設丁形相似而體勢等其         两分形两相似邊之比例若所設         两幾何如乙線與丙線之比例先         以乙與丙两線求其連比例之末   率為戊本篇十一次作己庚辛直線形與甲等與丁相 似而體勢等次任用其一邊如己辛两分之于壬 令己壬與壬辛之比例若乙與戊也本篇十次于己 辛線上作己癸辛半圜次從壬作壬癸為己辛之 垂線次作己癸癸辛两線相聨未于己癸癸辛上 作己子癸癸丑辛两形俱與丁相似而體勢等即 此两形并與等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相 似邊之比例若乙與丙

論曰:己癸辛既負半圜為直角三卷卅即己子癸癸

  丑辛两形并與等己庚辛之甲等本篇卅一又己壬與   壬癸之比例若己癸與癸辛俱在直角两旁故見本篇四己壬 壬癸壬辛三線為連比例即己壬與壬辛為己壬   與壬癸再加之比例本篇八之系夫己壬與壬癸之比         例既若己子癸癸丑辛两形相似         邊之己癸與癸辛而乙與戊元若         己壬與壬辛乙與戊元為乙與丙         再加之比例則己癸癸辛之比例         若乙與丙

今附若一圜求分作两圜其两圜徑之比例若所 所設两幾何倣此

七増題:两直線形求并作一直線形與所設形相

似而體勢等

法曰:甲乙两直線形求并作一形與

 所設丙形相似而體勢等先作戊丁  己形與甲等作己庚辛形與乙等又  各與丙相似而體勢等本篇廿五次置两  形令相似之戊己己辛两邊聨為直 角次作戊辛線相聨末依戊辛線作戊辛壬與丙 相似而體勢等即與上两形并等本篇卅一如所求   又法曰作一平行方形與甲乙两形并等一卷四五次 作戊辛壬角形與平行方形等又與丙相似而體 勢等即所求

今附若两圜求并作一圜亦以圜徑當形邊依上 法作之

八増題:圜内两合線交而相分其所分之線彼此

互相視

解曰:甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合

線交而相分于戊題言所分之甲戊戊 丙乙戊戊丁為互相視之線者謂甲戊 與戊丁若乙戊與戊丙也又甲戊與乙  戊若戊丁與戊丙也

論曰:甲戊偕戊丙與乙戊偕戊丁两矩内直角形等

 三卷卅五即等角旁之两邊為互相視之邊本篇十四

九増題:圜外任取一㸃從㸃出两直線皆割圜至

規内其两全線與两規外線彼此互相視若從㸃 作一切圜線則切圜線為各割圜全線與其規外 線之各中率

解曰:甲乙丙丁圜外任取戊㸃從戊作

戊丁戊丙两割圜至規内之線遇圜界于 甲于乙題言戊丙戊乙戊丁戊甲互相 視者謂戊丙與戊丁若戊甲與戊乙也 又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也

論曰:試從戊作戊己線切圜于己即戊丙偕戊乙

  矩内直角形與戊己上直角方形等三卷卅六又戊丁 偕戊甲矩内直角形與戊己上直角方 形亦等即戊丙偕戊乙與戊丁偕戊甲 两矩内直角形自相等而等角旁之两 邊為互相視之邊本篇十四又戊丙偕戊乙 戊丁偕戊甲两矩内直角形各與戊己上直角方   形等三卷卅六即戊丙戊己戊乙三線為連比例戊丁 戊己戊甲三線亦為連比例而戊己為各全線與 其規外線之各中率本篇十七

十増題:两直線相遇作角從两線之各一界互下

垂線而每方為两線一自界至相遇處一自界至 垂線則各相對之两線皆彼此互相視

解曰:甲乙丙乙两線相遇于乙作甲乙丙角從甲

作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為 鈍角即如前圖两垂線當至甲乙丙 乙之各引出線上為甲丁為丙戊其 甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙 丙為銳角即如後圖甲丁丙戊两垂線 當在甲乙丙乙之内交而相分于己也 題言两圖之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相視 者謂甲乙與乙丙若丁乙與乙戊也又甲乙與丁 乙若乙丙與乙戊也

論曰:甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙两

角與丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两       角各等两為直角两于前圖為交角于後圖為同角故即两形 為等角形而甲乙與丁乙若乙丙與乙 戊也本篇四更之則甲乙與乙丙若丁乙 與乙戊也

又論曰:依前圖可推後圖之甲丁丙戊交而相分

于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相視蓋甲 己戊丙己丁既為等角形即甲己與己戊若丙己 與己丁也本篇四更之則甲己與丙己若己戊與己 丁也

十一増題:平行線形内两直線與两邊平行相交

而分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆 等解曰甲乙丙丁平行線形内作戊己庚 辛两線與甲丁丁丙各平行而交于壬題 言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相 與為比例皆等

論曰:戊壬與壬己两線之比例既若戊庚與庚己

两形本篇一又若乙壬與壬丙两形即戊庚與庚己   亦若乙壬與壬丙也五卷十二依顯乙壬與戊庚亦若 壬丙與庚己也

十二増題:凡四邊形之對角两線交而相分其所

分四三角形任相與為比例皆等

解曰:甲乙丙丁四邊形之甲丙乙丁两對角線交

相分于戊題言所分甲戊丁乙戊丙甲戊 乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆等

論曰:甲戊與戊丙两線之比例若甲戊丁

與丁戊丙两角形又若甲戊乙與乙戊丙两角形 本篇一即甲戊丁與丁戊丙两角形亦若甲戊乙與 乙戊丙也依顯甲戊乙與甲戊丁亦若乙戊丙與 丁戊丙也

十三増題:三角形任于一邊任取一㸃從㸃求作

一線分本形為两形其两形之比例若所設两幾 何之比例

先法曰:甲乙丙角形任于一邊如乙丙

上任取一㸃為丁求從丁作一線分本 形為两形其两形之比例若所設两幾 何如戊線與己線之比例先以乙丙線 两分之于庚令乙庚與庚丙之比例若戊與己本篇 其庚與丁若同㸃即作丁甲線則乙丁與丁丙 两線之比例若乙丁甲與丁丙甲两角形也本篇一 是丁甲線所分两形之比例若戊與己

次法曰:若庚在丁丙之内亦作丁甲線次

從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線 相聨即丁辛線分本形為两形其比例若 戊與己者謂乙丁辛甲無法四邊形與丁 丙辛角之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也

論曰:試作庚甲線即辛庚甲庚辛丁两角形等一卷

卅七次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁两角 形亦等則甲乙丙全形與丙庚甲角形之比例若 甲乙丙與丙辛丁也五卷七分之則乙庚甲角形與 丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲無法四邊形與   丙辛丁角形也五卷十七乙庚甲與丙庚甲两角形之 比例既若乙庚與庚丙本篇一則乙丁辛甲無法四 邊形與丙辛丁角形之比例亦若乙庚與庚丙也 則亦若戊與己也

後法曰:若庚在乙丁之内亦作丁甲線次

從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線 相聨即丁辛線分本形為两形其比例若 戊與己者謂乙丁辛角形與丁丙甲辛無 法四邊之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也

論曰:試作庚甲線如前推顯辛庚甲庚辛丁两角

  形等一卷卅七次每加一乙庚辛角形即乙庚甲與乙 辛丁两角形亦等則甲乙丙全形與乙庚甲角形 之比例若甲乙丙與乙辛丁也五卷七分之 則丙庚甲角形與乙庚甲角形之比例若 丁丙甲辛無法四邊形與乙辛丁角形也 五卷十七反之則乙庚甲角形與丙庚甲角形 之比例若乙辛丁角形與丁丙甲辛無法四邊形 也乙庚甲與丙庚甲之比例既若乙庚與庚丙本篇 則乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邊形之比 例亦若乙庚與庚丙也則亦若戊與己也 系凡角形任于一邊任取一㸃從㸃求減命分之 一如前法作多倍大之比例即得其所作倍數每 少于命分之一如求減四分之一即作三倍大之 比例減五分之一即作四倍大之比例也則全形 與所減分之比例其倍數若命分之數也

十四増題:一直線形求别作一直線形相似而體

勢等其小大之比例如所設两幾何之比例

法曰:甲直線形求别作直線形相似而體勢等其

 甲形與所作形小大之比例若所設  两幾何如乙與丙两線之比例先以  乙丙及任用甲之一邊如丁戊三線  求其斷比例之末率為己本篇十二次求  丁戊及己之中率線為庚辛本篇十三末  從庚辛上作壬直線形與甲相似而  體勢等即甲與壬之比例若乙與丙

論曰:丁戊庚辛己三線為連比例即

 一丁戊與三己之比例若相似而體  勢等之甲與壬本篇十九二十之系  若先設大甲求作小壬若乙與丙其  法同如上圖 用此法可依此直線形加作两倍大三倍四五倍 大以至無窮之他形亦可依此直線形減作二分 之一三分四五分之一以至無窮之他形其此形 與他形皆相似而體勢等 有用法作直角方形平行線形及各形 之相加相減者如甲乙丙丁直角方形 求别作五倍大之他形先以甲乙線引 長之以甲乙為度截取五分至戊令乙 至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平 分于己次以己為心甲戊為界作甲庚 戊半圜其乙丙線直行遇圜界于庚即乙庚為所 求方形之一邊也末作乙庚辛己直角方形即五 倍大于甲丙向者乙庚既為戊乙乙甲 之中率線本篇十三之系即一戊乙與三乙甲 之比例若二庚乙上直角方形與三甲 乙上直角方形之比例也本篇二十之系戊乙 既五倍于乙甲則乙辛亦五倍于甲丙 若戊乙為乙甲之六倍則乙辛亦甲丙 之六倍若戊乙為乙甲三分之一則乙辛亦甲丙 三分之一相加相減倣此以至無窮如甲乙丙丁 平行直角形求别作二倍大之他形相似而體勢 等先以甲乙線引長之以甲乙為度截取二分至  戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以  甲戊两平分于己次以己為心甲戊  為界作甲庚戊半圜其丙乙線直行  遇圜界于庚即乙庚為所求直角形 之一邊也次于甲戊線上截取甲辛與乙庚等從 辛作辛壬線與乙丙平行次作甲丙對角線引長 之與辛壬線遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸 平行直角形即二倍大于甲丙又相似而體勢等   何者戊乙乙庚乙甲三線既為連比例本篇十三之系如 前論一戊乙與三乙甲之比例若二等乙庚之甲 辛上平行直角形甲壬與三甲乙上平行直角形   甲丙也本篇二十之系戊乙既二倍于甲乙則甲壬亦二 倍于甲丙 用此法凡甲乙上不論何等形與乙庚上形相似 而體勢等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形 相加相減俱倣此以至無窮

今附若用前法作圜則乙庚徑上圜亦二倍大于 甲乙徑上圜相加相減倣此以至無窮

以上用法與本増題同但此用法隨作隨得中率 線不費尋求致為簡易耳

十五増題:諸三角形求作内切直角方形
法曰:如甲乙丙銳角形求作内切直角方形先從

         甲角作甲丁為乙丙之垂線次          以甲丁線两分于戊令甲戊與          戊丁之比例若甲丁與乙丙本篇          十一増題末從戊作己庚線與乙丙          平行從己從庚作己辛庚壬两          線皆與戊丁平行即得己壬形 如所求若直角鈍角形則從直角鈍角作垂線餘 法同如第二第三圖是

論曰:己戊庚線既與乙丙平行即乙丁與丁丙若

  己戊與戊庚也本篇四之増題合之即乙丙與丁丙若己          庚與戊庚也又丁丙與甲丁若          戊庚與甲戊甲丁丙與甲戊庚為等角形故見本          篇四之系平之即乙丙與甲丁若己          庚與甲戊也又甲丁與乙丙若          甲戊與戊丁平之即乙丙與乙          丙若己庚與戊丁也乙丙與乙 丙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬   又等一卷卅四戊丁與己辛庚壬亦等則己庚庚壬壬 辛辛己四邊俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦 直角一卷廿九其餘亦皆直角而己壬為直角方形

又法曰:若直角三邊形求依乙角作

 内切直角方形則以垂線甲乙两分  于丁令甲丁與丁乙之比例若甲乙 與乙丙本篇十次從丁作丁戊直線與乙丙平行從 戊作戊己直線與甲乙平行即得丁己形如所求   論曰乙丙與甲乙既若丁戊與甲丁甲乙丙甲丁戊為等角形   故見本篇四之系而甲乙與乙丙又若甲丁與丁乙平之 即乙丙與乙丙若丁戊與丁乙也乙丙與乙丙同 線必等即丁戊與丁乙必等而丁己為直角方形 今附如上三邊直角形依乙角作内切直角方形 其方形邊必為甲丁己丙两分餘邊之中率何者 甲丁與丁戊若戊己與己丙故本篇四之系  

幾何原本卷六


  本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。