幾何論約 (四庫全書本)/表卷04

幾何論約　表卷四

　　欽定四庫全書
　　幾何論約卷四
　　柘城杜知耕撰
　　一題
　　有圜求作合圜線與所設線等
　　法曰甲乙丙圜求作合圜線與所設丁線等先作丙乙圜徑若與丁等即是合線若丁小于徑〈若大于徑即不可合〉即于乙丙截
　　乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙線為所求〈耕日當任指乙為心丁為度向圜界作短界線為甲即作甲乙線〉
　　二題
　　有圜求作圜内三角切形與所設三角形等
　　法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先
　　作庚辛切圜線次作庚甲乙角與所設己角等次作辛甲丙角與所設戊角等末作乙丙線為所求論曰甲丙乙與庚甲乙兩角甲乙丙與辛甲丙兩角各交互相等〈三巻三一〉兩角既等餘一角必亦等三題
　　有圜求作圜外三角切形與所設三角形等
　　法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先引長戊己邉為庚辛次自圜界
　　抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末于三線各作垂線成三角形為所求
　　論曰甲壬乙子四邉形之四角與四直角等〈一巻三二〉而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙兩角并等兩直角彼丁戊庚丁戊己亦等兩直角〈一巻十三〉毎減一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子乙必等依顯五與己癸與丁角俱等〈一巻三二〉四題
　　三角形求作形内切圜
　　法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙兩角各平分之作乙丁丙丁兩線相遇于丁次自丁至各邉作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊兩角與乙丁己角形之丁己乙丁乙己兩角各等乙
　　丁同邊即丁戊丁己兩邊亦等〈一巻二六〉依顯丁己丁庚兩邉亦等夫三線俱等丁必圜心即以丁為心戊為界在己戊庚圜為所求〈耕曰兩分角線相遇處即圜心任作一垂線便可作圜不必更作餘兩線餘兩線為論理而設非作法所需也〉
　　五題
　　三角形求作形外切圜
　　法曰甲乙丙角形求作形
　　外切圜先平分兩邉〈若直角鈍
　　角則分直鈍兩旁之邉〉于丁于戊作
　　丁己戊己為兩邉之垂線相遇于己其己㸃或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三線或在乙丙邊上止作己甲線其甲丁己角形之甲丁與乙丁己形之乙丁兩腰等丁己同腰丁之兩旁俱直角即甲己己乙兩底必等〈一巻四〉依顯甲己己丙兩底亦等夫三線俱等己必圜心即以己為心甲為界作乙甲丙圜為所求
　　耕曰兩垂線相遇處為心即可作圜不必更作餘線
　　一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必鈍角形
　　二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉鈍角形必在形外
　　増任設三㸃不在一直線可作過三㸃之圜其法于三㸃各作直線相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三㸃先以甲乙各自為心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚兩線引
　　長相交于辛即辛為圜心
　　六題
　　有圜求内切圜直角方形
　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊
　　次作甲乙乙丙等四線為所求
　　論曰四角皆負半圜分故皆直角〈三巻三一〉
　　七題
　　有圜求作外切圜直角方形
　　法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊
　　次作庚己己辛等四線各與兩徑平行為所求八題
　　直角方形求作形内切圜
　　法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁兩線相交于戊即以戊為心甲為界作甲乙丙丁圜為所求
　　九題
　　直角方形求作形外切圜
　　法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁對角線相交于戊即以戊為心甲為界
　　作圜為所求
　　十題
　　求作兩邉等三角形底上兩角各倍大于腰間角法曰先任作甲乙線次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形與甲丙上方形等〈二巻十一〉次以甲為心乙為界作乙丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等〈本巻一〉末作甲丁線相聨即兩
　　邊等三角形而乙丁兩角倍大於甲角
　　論曰試作丙丁線成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜〈本巻五〉其甲乙偕丙乙矩内形與甲丙上方形等亦與乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切線〈三巻二七〉即乙丁丙角與甲角交互相等〈三巻三二〉于兩角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角與丙甲丁丙丁甲兩角并等又乙丙丁外角亦與丙甲丁丙丁甲兩内角并等〈一巻三二〉即乙丙丁角與甲丁乙角等而與相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁兩角既等則丙丁乙丁兩線必等又乙丁元與甲丙等是丙丁與甲丙亦等兩線既等則甲與甲丁丙兩角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一題
　　有圜求作圜内五邉切形其形等邊等角
　　法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩角俱倍大于己角〈本巻十〉次于圜内作甲丙丁角形與己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙兩角作丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙等四線為所求
　　論曰甲丙丁甲丁丙兩角皆倍大于丙甲丁角今平分兩角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等則五邉等矣又甲乙丙丁圜分與乙丙丁戊圜分等則乗兩圜分之甲戊丁與乙甲戊兩角亦等依顯餘三角俱等而五角等矣
　　十二題
　　有圜求圜外五邉切形其形等邉等角
　　法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次從巳心作已甲巳乙等五線次從此五線作庚辛辛壬
　　等五垂線為所求
　　十三題
　　五邊形求作形内切圜
　　法曰甲乙丙丁戊五邊形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙邊于辛次作庚丙辛戊兩垂線相交于己末以己為心
　　庚為界作圜為所求
　　十四題
　　五邊形求作形外切圜
　　法曰甲乙丙丁戊五邊形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊兩角作庚丙辛丁兩線相交于己末以己為心丙為界作圜為所求
　　十五題
　　有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
　　法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁徑線次以丁為
　　心庚為界作圜兩圜相交于丙于戊次從庚心作庚丙庚戊各引長為丙己戊乙末以甲乙乙丙等六線聨之為所求
　　耕曰兩圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同為上圜之半徑必等而庚丁丙丁同為下圜之半徑亦等〈六三角形俱依此推顯〉三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也
　　一糸凡圜之半徑為六分圜之一之分何者庚丁與丁丙等故也
　　二糸依前十二十三十四題可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜
　　十六題
　　有圜求作圜内十五邉切形其形等邊等角
　　法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形〈本巻二〉毎一邉當圜三分之一即當十五分之五次從甲作甲戊己
　　庚辛五邉形毎一邉當圜五分之一即當十五分之三平分戊乙于壬則壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜線為所求
　　一糸依前十二十三十四題可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜
　　増題若圜内從一㸃設不等兩内切形之各一邉此兩邉各為若干分圜之一其兩若干分相乗之數即後作形之分數其兩若干分之較數即兩邉相距之圜分如甲丙戊圜從甲㸃作甲乙為六邉形之一邉甲丙為
　　五邉形之一邉甲丁為四邉形之一邉甲戊為三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五較數一即乙丙圜分為三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故當為三十邊也較數一故當為一邉也又甲乙圜分為六分圜之一即三十分之五甲丙為五分圜之一即三十分
　　之六則乙丙得三十分之一也依顯乙丁為二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又較數二也因推乙戊為十八邉形之三邉丙戊為十五邉形之二邉丁戊為十二邉形之一邉也
　　二糸凡作形于圜之内等邉則等角何者形之邉所乗之圜分皆等故〈二巻二七〉凡作形于圜之外從圜心至角各作直線依本巻十二題可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
　　四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分為兩平分而毎分各作一線即三邉可作六邉四邉可作八邉倣此以至無窮
　　又補題圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉為偶數而等如甲乙丙丁戊兩圜同以己為心先作甲丙徑線截丁戊圜于戊次從戊作庚辛為甲戊之垂線次平分甲乙丙于乙
　　再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合線即所求多邉形之一邉也


　　幾何論約巻四