御製厯象考成 (四庫全書本)/上編卷03

御製厯象考成　上編卷三

　　欽定四庫全書
　　御製歴象考成上編卷三
　　弧三角形下
　　斜弧三角形論
　　斜弧三角形邊角比例法
　　斜弧三角形作垂弧法
　　斜弧三角形用總較法〈次形法附〉
　　斜弧三角形設例八則








　　斜弧三角形論
　　弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過於九十度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所用之法彼此互異遂使學者莫知所從兹約以三法求之無論角之銳鈍邊之大小並視先所知之三件為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角〈或求角而無對角之邊或求邊而無對邊之角〉則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角〈或三邊求角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間〉則用總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣
　　斜弧三角形邊角比例法
　　凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角者則用邊角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙為對所知之邊甲為所知之角甲乙為對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正與對所求之甲乙邊正之比同於所知之甲角正與所求之丙角正之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己角為對所知之角丁戊為所知之邊丁為對所求之角乃以對所知之己角正與對所求之丁角正之比同於所知之丁戊邊正與所求之戊己邊正之比也
　　斜弧三角形作垂弧法
　　凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角者則用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃自乙角作乙丁垂弧於形内分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角以丁角正〈即半徑〉與甲角正之比同於甲乙邊正與乙丁垂弧正之比而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘之比同於甲乙邊正切與甲丁邊正切之比而得甲丁分邊以甲乙邊正與甲丁邊正之比同於丁角正〈即半徑〉與乙分角正之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同於半徑與乙分角餘之比而得乙分角以丁角正〈即半徑〉與乙分角正之比同於乙丙邊正與丁丙邊正之比而得丁丙分邊既得兩分角並之即乙角得兩分邊並之即甲丙邊也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作己辛垂弧於形外將戊庚弧引長至辛作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚邊及己虚角葢此形有庚外角有己庚邊有辛直角以辛角正〈即半徑〉與庚角正之比同於己庚邊正與己辛垂弧正之比而得己辛垂弧以半徑與庚角餘之比同於己庚邊正切與庚辛虚邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚邊正與庚辛邊正之比同於辛角正〈即半徑〉與己虚角正之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛總邊及己總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切與半徑之比同於己辛垂弧正切與戊辛邊之比而得戊辛總邊以己辛垂弧正與戊辛邊正之比同於戊角正與己角之比而得己總角既得戊辛總邊内減去庚辛虚邊即戊庚邊得己總角内減去己虚角即己角也
　　斜弧三角形用總較法
　　凡斜弧三角形知三邊求
　　角者則用總較法以角傍
　　之兩邊相加為總弧相減
　　為較弧各取其餘相加
　　減〈總弧較弧俱不過象限或俱過象限則兩餘
　　相減若一過象限一不過象限則兩餘相加其或
　　過二象限者與過一象限同過三象限者與不過象
　　限同〉折半為中數又以對邊
　　之矢與較弧之矢相減餘
　　為矢較乃以中數與矢較
　　為比同於半徑與所求角
　　之正矢之比也如知兩邊
　　一角而角在兩邊之間者
　　以半徑與所知角之正矢
　　為比同於中數與矢較之
　　比既得矢較與較弧之矢
　　相加即得對邊之矢也如
　　甲乙丙斜弧三角形有三
　　邊求甲角則以甲角傍之
　　甲乙甲丙二邊相加得乙
　　丁〈甲丙甲戊甲丁三弧同為丁戊距等圈所截故
　　其度相等為總弧其正〉為丁
　　己餘為己庚甲乙與甲
　　丙相減餘乙戊為較弧其
　　正為戊辛餘為辛庚
　　兩餘相加得己辛〈乙丁總弧
　　過象限乙戊較弧不過象限其兩餘在圜心之兩
　　邊故相加〉折半得辛壬與癸子
　　等為中數乙丙對邊與乙
　　丑等〈乙丙與乙丑兩弧同為丑寅距等圈所截
　　故其度相等其正〉為丑卯餘
　　為卯庚正矢為乙卯以
　　乙卯與乙戊較弧之正矢
　　乙辛相減餘辛卯與辰巳
　　等為矢較戊辰巳與戊癸
　　子為同式兩勾股形故癸
　　子與辰巳之比同於戊子
　　與戊巳之比也又午庚為
　　半徑戊子為距等圈之半
　　徑午未與戊己兩段同為
　　甲丙申大圈所分則戊子
　　與戊己之比原同於午庚
　　與午未之比是以中數癸
　　子與矢較辰巳之比即同
　　於半徑午庚與甲角正矢
　　午未之比也以午未與午
　　庚半徑相減餘未庚為甲
　　角之餘檢表即得甲角
　　所當午申弧之度也若先
　　有甲角及甲乙甲丙二邊
　　求乙丙對邊則以半徑午
　　庚與甲角正矢午未之比
　　即同於中數癸子與矢較
　　辰巳之比既得辰巳與辛
　　卯等與乙戊較弧之正矢
　　乙辛相加得乙卯為乙丙
　　對邊之正矢也如有甲乙
　　甲丙乙丙三邊求乙角則
　　以乙角傍甲乙乙丙二邊
　　相加得甲丁〈乙丙乙丁乙戊三弧同為
　　戊丁距等圈所截故其度相等〉為總弧其
　　正為丁己餘為己庚
　　甲乙與乙丙相減餘甲戊
　　為較弧其正為戊辛餘
　　為辛庚兩餘相減餘
　　辛己〈甲丁總弧甲戊較弧皆不過象限其兩餘
　　同在圜心之一邊故相減〉折半得辛
　　壬與癸子等為中數甲丙
　　對邊與甲丑等〈甲丙與甲丑兩弧同
　　為寅丑距等圈所截故其度相等〉其正
　　為丑卯餘為卯庚正矢
　　為甲卯以甲卯與甲戊較
　　弧之正矢甲辛相減餘辛
　　卯與辰巳等為矢較戊癸
　　子與戊辰巳為同式兩勾
　　股形故癸子與辰巳之比
　　同於戊子與戊巳之比也
　　又午庚為半徑戊子為距
　　等圈之半徑戊巳與午未
　　兩段同為乙丙申大圈所
　　分則戊子與戊巳之比原
　　同於午庚與午未之比是
　　以中數癸子與矢較辰巳
　　之比即同於半徑午庚與
　　乙角大矢午未之比也〈凡鈍
　　角所用諸線皆與外角同惟矢則有正矢大矢之别
　　如庚未為乙銳角所當申酉弧之餘亦為乙鈍角
　　所當午申弧之餘檢表銳角即得本角度鈍角與
　　半周相減亦即得本角度而未酉為乙銳角之正矢
　　乃於酉庚半徑内減庚未餘午未為乙鈍角之大
　　矢乃於午庚半徑加庚未餘也此正矢大矢之别
　　過弧亦然〉於午未大矢内減午
　　庚半徑餘庚未為乙角之
　　餘檢表得乙外角度與
　　半周相減餘即乙鈍角之
　　度也若先有乙鈍角及甲
　　乙乙丙二邊求甲丙對邊
　　則以半徑午庚與乙角大
　　矢午未之比即同於中數
　　癸子與矢較辰巳之比既
　　得辰巳與辛卯等與甲戊
　　較弧之正矢甲辛相加得
　　甲卯為甲丙對邊之正矢
　　也
　　斜弧三角形知三角求邊
　　者則用次形法如甲乙丙
　　形可易為丁戊己次形葢
　　甲角之度當庚辛弧而庚
　　辛與己戊等〈庚己與辛戊皆象限故庚
　　辛與己戊等〉故本形之甲角即
　　次形之己戊邊乙外角之
　　度當壬癸弧而壬癸與己
　　丁等〈壬己與癸丁皆象限故壬癸與己丁等〉故本形之乙外角即次形
　　之己丁邊丙角之度當子
　　丑弧而子丑與戊丁等〈子戊
　　與丑丁皆象限故子丑與戊丁等〉故本形
　　之丙角即次形之戊丁邊
　　是本形之三角即次形之
　　三邊也又次形丁角之度
　　當癸丑弧而癸丑與乙丙
　　等〈丙丑與乙癸皆象限故癸丑與乙丙等〉故
　　次形之丁角即本形之乙
　　丙邊戊外角之度當辛子
　　弧而辛子與甲丙等〈丙子與甲
　　辛皆象限故辛子與甲丙等〉故次形之
　　戊外角即本形之甲丙邊
　　己角之度當庚壬弧而庚
　　壬與甲乙等〈乙壬與甲庚皆象限故庚
　　壬與甲乙等〉故次形之己角即
　　本形之甲乙邊是本形之
　　三邊即次形之三角也故
　　用丁己戊次形仍用總較
　　法算之求得次形之三角
　　即得本形之三邊也如有
　　乙角丙角及乙丙邊而求
　　甲角亦用丁戊己次形有
　　己丁邊戊丁邊及丁角仍
　　用總較法算之求得己戊
　　邊即甲角也
　　設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求太陽距赤道緯度幾何
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽乙丁
　　戊己為子午經圏乙丙癸
　　戊為地平經圏丁己為地
　　平庚辛為赤道庚壬為申
　　正初刻距午正赤道六十
　　度即甲角丙癸為太陽髙
　　三十二度〈即地平緯度一名髙弧〉與
　　乙癸象限相減餘太陽距
　　天頂五十八度即乙丙邊
　　丁癸為地平經度偏西八
　　十一度四十二分四十八
　　秒與丁己半周相減餘癸
　　己九十八度一十七分一
　　十二秒即乙角丙壬為太
　　陽距赤道緯度與甲壬象
　　限相減餘甲丙邊為太陽
　　距北極度故用甲乙丙三
　　角形有甲乙二角及乙丙
　　邊求甲丙邊以甲角六十
　　度為對所知之角其正
　　八百六十六萬零二百五
　　十四為一率乙角九十八
　　度一十七分一十二秒為
　　對所求之角其正九百
　　八十九萬五千五百九十
　　三為二率乙丙五十八度
　　為所知之邊其正八百
　　四十八萬零四百八十一
　　為三率求得四率九百六
　　十九萬零一百七十六為
　　所求甲丙邊之正檢表
　　得七十五度四十二分零
　　一秒即甲丙弧之度與九
　　十度相減餘一十四度一
　　十七分五十九秒即太陽
　　距赤道北之緯度也此法
　　用邊角相比例與直線三
　　角形同但直線三角形以
　　角之正與邊相比〈見數理精
　　藴第十七卷此以角之正〉與
　　邊之正相比其比例之
　　理一也又以正弧之理明
　　之試將甲乙弧引長至丁
　　自丙角作丙丁垂弧則成
　　甲丁丙乙丁丙兩正弧三
　　角形先求乙丁丙形丁角
　　正〈即半徑〉為一率乙角正
　　為二率乙丙正為三
　　率丙丁正為四率此第
　　一比例也次求甲丁丙形
　　甲角正為一率丁角正
　　〈即半徑〉為二率丙丁正
　　為三率甲丙正為四率
　　此第二比例也然第二比
　　例之二率三率即第一比
　　例之一率四率而二率三
　　率相乘與一率四率相乘
　　之數等故用第一比例之
　　二率三率而用第二比例
　　之一率即得第二比例之
　　四率此有對角求對邊之
　　法也
　　設如太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒測得髙弧三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求係何時刻
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽丙壬
　　為太陽距赤道北一十四
　　度一十七分五十九秒甲
　　丙即為太陽距北極七十
　　五度四十二分零一秒丙
　　癸為太陽髙三十二度乙
　　丙即為太陽距天頂五十
　　八度丁癸為地平經度偏
　　西八十一度四十二分四
　　十八秒癸己為九十八度
　　一十七分一十二秒即乙
　　角庚壬為太陽距午正赤
　　道度即甲角故用甲乙丙
　　三角形有乙角及甲丙乙
　　丙二邊求甲角以甲丙七
　　十五度四十二分零一秒
　　為對所知之邊其正九
　　百六十九萬零一百七十
　　六為一率乙丙五十八度
　　為對所求之邊其正八
　　百四十八萬零四百八十
　　一為二率乙角九十八度
　　一十七分一十二秒為所
　　知之角其正九百八十
　　九萬五千五百九十三為
　　三率求得四率八百六十
　　六萬零二百五十四為所
　　求甲角之正檢表得六
　　十度即甲角度以六十度
　　變得二時從午正初刻後
　　計之〈因偏西故為午正後〉為申正初
　　刻也此有對邊求對角之
　　法也
　　設如北極出地四十度申正初刻測得太陽髙三十二度求太陽距赤道緯度及地平經度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽甲己
　　為北極出地四十度甲乙
　　即為北極距天頂五十度
　　庚壬為申正初刻距午正
　　赤道六十度即甲角丙癸
　　為太陽髙三十二度乙丙
　　即為太陽距天頂五十八
　　度丙壬為太陽距赤道緯
　　度甲丙為其餘丁癸為地
　　平經度即乙角之外角〈甲乙
　　丙形之乙角當癸己弧其癸乙丁外角即當丁癸弧〉故用甲乙丙三角形有甲
　　角及甲乙乙丙二邊求甲
　　丙邊及乙角乃自乙角作
　　乙丁垂弧分為甲乙丁丙
　　乙丁兩正弧三角形先求
　　甲乙丁形以丁角正即
　　半徑一千萬為一率甲角
　　六十度之正八百六十
　　六萬零二百五十四為二
　　率甲乙五十度之正七
　　百六十六萬零四百四十
　　四為三率求得四率六百
　　六十三萬四千一百三十
　　九為乙丁弧之正檢表
　　得四十一度三十三分三
　　十九秒即乙丁弧之度也
　　〈此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求距緯之法
　　葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黃道甲丁即如赤
　　道乙丁即如距緯〉又以半徑一千
　　萬為一率甲角六十度之
　　餘五百萬為二率甲乙
　　五十度之正切一千一百
　　九十一萬七千五百三十
　　六為三率求得四率五百
　　九十五萬八千七百六十
　　八為甲丁弧之正切檢表
　　得三十度四十七分二十
　　三秒即甲丁弧之度也〈此即
　　正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道之法〉又
　　以甲乙五十度之正七
　　百六十六萬零四百四十
　　四為一率甲丁三十度四
　　十七分二十三秒之正
　　五百一十一萬八千八百
　　八十八為二率丁角正
　　即半徑一千萬為三率求
　　得四率六百六十八萬二
　　千二百三十四為乙分角
　　之正檢表得四十一度
　　五十五分四十八秒即乙
　　分角之度也〈此即正弧三角形有黃道
　　有赤道求黃道交極圏角之法〉次求乙丙
　　丁形以乙丁四十一度三
　　十三分三十九秒之餘
　　七百四十八萬二千五百
　　二十六為一率乙丙五十
　　八度之餘五百二十九
　　萬九千一百九十三為二
　　率半徑一千萬為三率求
　　得四率七百零八萬二千
　　零九十一為丙丁弧之餘
　　檢表得四十四度五十
　　四分三十八秒即丙丁弧
　　之度也〈此即正弧三角形有黃道有距緯求
　　赤道之法葢丙角即如黃赤交角乙丙即如黃道丙
　　丁即如赤道乙丁即如距緯〉又以乙丙
　　五十八度之正八百四
　　十八萬零四百八十一為
　　一率丙丁四十四度五十
　　四分三十八秒之正七
　　百零六萬零二十七為二
　　率丁角正即半徑一千
　　萬為三率求得四率八百
　　三十二萬五千零三十為
　　乙分角之正檢表得五
　　十六度二十一分二十四
　　秒即乙分角之度也〈此即正弧
　　三角形有黃道有距緯求黄赤交角之法葢乙分角
　　即如黃赤交角乙丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁
　　即如距緯〉乃以甲丁丙丁相併
　　得甲丙七十五度四十二
　　分零一秒即太陽距北極
　　度與九十度相減餘一十
　　四度一十七分五十九秒
　　即太陽距赤道北之緯度
　　〈如甲丙大於九十度則減去九十度餘為太陽距赤〉
　　〈道南之緯度〉以兩乙分角相併
　　得九十八度一十七分一
　　十二秒與一百八十度相
　　減餘八十一度四十二分
　　四十八秒即太陽距午正
　　偏西之地平經度也此作
　　垂弧於形内之法也
　　設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求北極出地度幾何
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽丙癸
　　為太陽髙三十二度乙丙
　　即為太陽距天頂五十八
　　度庚壬為申正初刻距午
　　正赤道六十度即甲角丁
　　癸為地平經度偏西八十
　　一度四十二分四十八秒
　　即乙角之外角甲己為北
　　極出地度甲乙為其餘故
　　用甲乙丙三角形有甲乙
　　二角及乙丙邊求甲乙邊
　　乃自丙角作丙丁垂弧補
　　成甲丙丁乙丙丁兩正弧
　　三角形先求乙丙丁形以
　　丁角正即半徑一千萬
　　為一率乙角九十八度一
　　十七分一十二秒之正
　　九百八十九萬五千五百
　　九十三為二率乙丙五十
　　八度之正八百四十八
　　萬零四百八十一為三率
　　求得四率八百三十九萬
　　一千九百三十九為丙丁
　　弧之正檢表得五十七
　　度零三分一十八秒即丙
　　丁弧之度也〈此即正弧三角形有黃赤
　　交角有黃道求距緯之法葢乙角即如黃赤交角乙
　　丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁即如距緯〉又
　　以半徑一千萬為一率乙
　　角九十八度一十七分一
　　十二秒之餘一百四十
　　四萬一千二百六十為二
　　率乙丙五十八度之正切
　　一千六百萬零三千三百
　　四十五為三率求得四率
　　二百三十萬六千四百九
　　十八為乙丁弧之正切檢
　　表得一十二度五十九分
　　一十七秒即乙丁弧之度
　　也〈此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道
　　之法〉次求甲丙丁形以甲角
　　六十度之正切一千七百
　　三十二萬零五百零八為
　　一率半徑一千萬為二率
　　丙丁五十七度零三分一
　　十八秒之正切一千五百
　　四十三萬一千零五十九
　　為三率求得四率八百九
　　十萬九千一百二十六為
　　甲丁弧之正檢表得六
　　十二度五十九分一十七
　　秒即甲丁弧之度也〈此即正弧
　　三角形有黃赤交角有距緯求赤道之法葢甲角即
　　如黃赤交角甲丙即如黃道甲丁即如赤道丙丁即
　　如距緯〉乃以甲丁與乙丁相
　　減餘甲乙五十度即北極
　　距天頂又與九十度相減
　　餘四十度即北極出地度
　　也〈若求丙角則求得丙總角與丙虚角相減即得〉此作垂弧於形外之法也
　　設如大角星黃道緯北三十一度零三分赤道緯北二十度五十八分四十七秒黃極赤極〈即北極〉相距二十三度三十分求黃道經度赤道經度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　〈即北極〉乙為黃極甲乙相距
　　二十三度三十分丙為大
　　角星丁戊為黃道己庚為
　　赤道丙辛為黃道緯北三
　　十一度零三分乙丙即為
　　星距黃極五十八度五十
　　七分丙壬為赤道緯北二
　　十度五十八分四十七秒
　　甲丙即為星距赤極六十
　　九度零一分一十三秒丁
　　辛為星距夏至後黃道經
　　度即乙角己壬為星距夏
　　至後赤道經度即甲角之
　　外角故用甲乙丙三角形
　　有甲乙甲丙乙丙三邊求
　　甲乙二角先求乙角則以
　　夾乙角之甲乙邊二十三
　　度三十分與乙丙邊五十
　　八度五十七分相加得八
　　十二度二十七分為總弧
　　其餘一百三十一萬三
　　千九百一十三又以甲乙
　　乙丙兩邊相減餘三十五
　　度二十七分為較弧其餘
　　八百一十四萬六千二
　　百二十兩餘相減〈總弧較弧
　　俱不過象限或俱過象限則兩餘相減若一過象
　　限一不過象限則兩餘相加其或過二象限者與
　　過一象限同過三象限者與不過象限同〉餘六
　　百八十三萬二千三百零
　　七折半得三百四十一萬
　　六千一百五十四為中數
　　為一率以對乙角之甲丙
　　邊六十九度零一分一十
　　三秒之正矢六百四十一
　　萬九千六百二十五〈餘與半
　　徑相減得矢度〉與較弧三十五度
　　二十七分之正矢一百八
　　十五萬三千七百八十相
　　減餘四百五十六萬五千
　　八百四十五為矢較為二
　　率半徑一千萬為三率求
　　得四率一千三百三十六
　　萬五千四百五十四為乙
　　角之大矢〈凡矢度過於半徑者為大矢其
　　角即為鈍角〉内減半徑一千萬
　　餘三百三十六萬五千四
　　百五十四為乙角之餘
　　檢表得七十度二十分與
　　半周相減餘一百零九度
　　四十分為乙角度即星距
　　夏至後黃道經度自夏至
　　未宫初度逆計之為卯宫
　　一十九度四十分也如圖
　　甲乙與乙丙相加得甲癸
　　為總弧〈乙丙乙癸乙子三弧同為癸子距等
　　圈所截故其度相等其正〉為癸丑
　　餘為丑寅甲乙與乙丙
　　相減餘甲子為較弧其正
　　為子卯餘為卯寅以
　　丑寅與卯寅兩餘相減
　　餘卯丑折半得卯辰與巳
　　午等為中數又對乙角之
　　甲丙邊與甲未等其正
　　為未申餘為申寅正矢
　　為甲申以甲申與甲子較
　　弧之正矢甲卯相減餘卯
　　申與酉戌等為矢較遂成
　　子酉戌與子巳午同式兩
　　勾股形故巳午與酉戌之
　　比必同於子午與子戌之
　　比也又丁寅為半徑子午
　　為距等圈之半徑子戌與
　　丁亥兩段同為乙丙辛黃
　　道經圈之所分則子午與
　　子戌之比原同於丁寅與
　　丁亥之比是以中數己午
　　與矢較酉戌之比即同於
　　半徑丁寅與乙角大矢丁
　　亥之比也既得丁亥大矢
　　内減丁寅半徑餘寅亥即
　　乙外角之餘檢表得乙
　　外角所當辛戊弧之度復
　　與半周相減即得乙角所
　　當丁辛弧之度也既得乙
　　角則以對邊對角之法求
　　之即得甲角度矣
　　如先求甲角則以夾甲角
　　之甲乙邊二十三度三十
　　分與甲丙邊六十九度零
　　一分一十三秒相加得九
　　十二度三十一分一十三
　　秒為總弧其餘四十三
　　萬九千七百二十九又以
　　甲乙甲丙兩邊相減餘四
　　十五度三十一分一十三
　　秒為較弧其餘七百萬
　　零六千五百六十八兩餘
　　相加〈總弧過象限較弧不過象限故兩餘
　　相加〉得七百四十四萬六
　　千二百九十七折半得三
　　百七十二萬三千一百四
　　十八為中數為一率以對
　　甲角之乙丙邊五十八度
　　五十七分之正矢四百八
　　十四萬二千一百四十一
　　與較弧四十五度三十一
　　分一十三秒之正矢二百
　　九十九萬三千四百三十
　　二相減餘一百八十四萬
　　八千七百零九為矢較為
　　二率半徑一千萬為三率
　　求得四率四百九十六萬
　　五千四百四十五為甲角
　　之正矢與半徑一千萬相
　　減餘五百零三萬四千五
　　百五十五為甲角之餘
　　檢表得五十九度四十六
　　分一十六秒即甲角度與
　　半周相減餘一百二十度
　　一十三分四十四秒即星
　　距夏至後赤道經度自夏
　　至未宫初度逆計之為卯
　　宫初度一十三分四十四
　　秒也如圖甲乙與甲丙相
　　加得乙癸為總弧其正
　　為癸子餘為子丑甲乙
　　與甲丙相減餘乙寅為較
　　弧其正為寅卯餘為
　　卯丑兩餘相加得卯子
　　〈因兩餘在圜心之兩邊故相加〉折半得
　　卯辰與巳午等為中數又
　　對甲角之乙丙邊與乙未
　　等其正為未申餘為
　　申丑正矢為乙申以乙申
　　與乙寅較弧之正矢乙卯
　　相減餘卯申與酉戌等為
　　矢較遂成寅巳午與寅酉
　　戌同式兩勾股形故巳午
　　與酉戌之比同於寅午與
　　寅戌之比又庚丑為半徑
　　寅午為距等圈之半徑寅
　　戌與庚亥兩段同為甲丙
　　壬赤道經圈之所分則寅
　　午與寅戌之比原同於庚
　　丑與庚亥之比是以巳午
　　中數與矢較酉戌之比即
　　同於半徑庚丑與甲角正
　　矢庚亥之比也既得庚亥
　　正矢與庚丑半徑相減餘
　　亥丑即甲角之餘檢表
　　即得甲角所當庚壬弧之
　　度也既得甲角則以對邊
　　對角之法求之亦即得乙
　　角度矣此三邊求角之法
　　也
　　設如大角星黃道經度距夏至一百零九度四十分赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黃赤兩過極經圈交角二十三度四十二分四十五秒求黃道緯度赤道緯度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　〈即北極〉乙為黃極甲乙為兩
　　極距度丙為大角星丁戊
　　為黃道己庚為赤道丁辛
　　為黃道經度距夏至一百
　　零九度四十分即乙角己
　　壬為赤道經度距夏至一
　　百二十度一十三分四十
　　四秒即甲角之外角丙角
　　為甲壬乙辛兩經圏交角
　　二十三度四十二分四十
　　五秒丙辛為黃道北緯度
　　乙丙為其餘丙壬為赤道
　　北緯度甲丙為其餘故用
　　甲乙丙三角形有甲乙丙
　　三角求乙丙甲丙二邊乃
　　用次形法先求乙丙邊將
　　甲乙丙形易為癸子丑次
　　形葢本形之甲角即次形
　　之子丑邊〈甲角當庚壬弧與子丑等〉本
　　形乙角之外角即次形之
　　癸丑邊〈乙角之外角當戊辛弧與癸丑等〉本形之丙角即次形之癸
　　子邊〈丙角當寅卯弧與癸子等〉本形之
　　甲乙邊即次形之丑角〈丁己
　　弧與甲乙等即丑角度〉本形之乙丙
　　邊即次形之癸角〈辛寅弧與乙丙
　　等即癸角度〉本形之甲丙邊即
　　次形子角之外角〈壬卯弧與甲丙
　　等即子銳角度為癸子丑形子鈍角之外角〉故
　　用癸子丑三角形有三邊
　　求癸角〈即乙丙邊〉以夾癸角之
　　癸子邊〈即丙角〉二十三度四
　　十二分四十五秒與癸丑
　　邊〈即乙外角〉七十度二十分相
　　加得九十四度零二分四
　　十五秒為總弧其餘七
　　十萬五千五百四十四又
　　以癸子癸丑兩邊相減餘
　　四十六度三十七分一十
　　五秒為較弧其餘六百
　　八十六萬八千二百三十
　　二兩餘相加〈總弧過象限較弧不
　　過象限故兩餘相加〉得七百五十
　　七萬三千七百七十六折
　　半得三百七十八萬六千
　　八百八十八為中數為一
　　率以對癸角之子丑邊〈即甲
　　角五十九度四十六分一〉
　　十六秒之正矢四百九十
　　六萬五千四百四十五與
　　較弧四十六度三十七分
　　一十五秒之正矢三百一
　　十三萬一千七百六十八
　　相減餘一百八十三萬三
　　千六百七十七為矢較為
　　二率半徑一千萬為三率
　　求得四率四百八十四萬
　　二千一百七十四為癸角
　　之正矢與半徑一千萬相
　　減餘五百一十五萬七千
　　八百二十六為癸角之餘
　　檢表得五十八度五十
　　七分即癸角度亦即乙丙
　　邊度與象限相減餘三十
　　一度零三分即黃道北之
　　緯度也既得乙丙邊則以
　　對邊對角之法求之即得
　　甲丙邊矣
　　如先求甲丙邊則用癸子
　　丑次形求子角〈子角之外角當壬卯
　　弧與甲丙等〉以夾子角之子丑
　　邊〈即甲角〉五十九度四十六
　　分一十六秒與癸子邊〈即丙
　　角二十三度四十二分四〉
　　十五秒相加得八十三度
　　二十九分零一秒為總弧
　　其餘一百一十三萬四
　　千八百七十四又以子丑
　　癸子兩邊相減餘三十六
　　度零三分三十一秒為較
　　弧其餘八百零八萬四
　　千一百五十二兩餘相
　　減〈總弧較弧俱不過象限故兩餘相減〉餘
　　六百九十四萬九千二百
　　七十八折半得三百四十
　　七萬四千六百三十九為
　　中數為一率以對子角之
　　癸丑邊〈即乙外角〉七十度二十
　　分之正矢六百六十三萬
　　四千五百二十五與較弧
　　三十六度零三分三十一
　　秒之正矢一百九十一萬
　　五千八百四十八相減餘
　　四百七十一萬八千六百
　　七十七為矢較為二率半
　　徑一千萬為三率求得四
　　率一千三百五十八萬零
　　三百三十七為子角之大
　　矢内減半徑一千萬餘三
　　百五十八萬零三百三十
　　七為子角之餘檢表得
　　六十九度零一分一十三
　　秒即子角之外角度亦即
　　甲丙邊度與象限相減餘
　　二十度五十八分四十七
　　秒即赤道北之緯度也既
　　得甲丙邊則以對邊對角
　　之法求之亦即得乙丙邊
　　矣此三角求邊之法也
　　設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黃道南緯度二度三十七分黄極赤極相距二十三度三十分求赤道經度緯度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　〈即北極〉乙為黃極甲乙相距
　　二十三度三十分丙為土
　　星丁戊為赤道己庚為黃
　　道己辛為黃道經度距夏
　　至一百二十二度二十九
　　分即乙角丙辛為黃道南
　　緯度二度三十七分乙丙
　　為星距黃極九十二度三
　　十七分丙壬為赤道南緯
　　度甲丙即星距北極度丁
　　壬為距夏至赤道經度即
　　甲角之外角故用甲乙丙
　　三角形有乙角及甲乙乙
　　丙二邊求甲丙邊及甲角
　　先求甲丙邊以半徑一千
　　萬為一率乙角一百二十
　　二度二十九分之大矢一
　　千五百三十七萬零五百
　　四十二為二率以夾乙角
　　之甲乙邊二十三度三十
　　分與乙丙邊九十二度三
　　十七分相加得一百一十
　　六度零七分為總弧其餘
　　四百四十萬二千零四
　　又以甲乙乙丙兩邊相減
　　餘六十九度零七分為較
　　弧其餘三百五十六萬
　　四千六百六十二兩餘
　　相加〈總弧過象限較弧不過象限故兩餘相
　　加得七百九十六萬六千〉
　　六百六十六折半得三百
　　九十八萬三千三百三十
　　三為中數為三率求得四
　　率六百一十二萬二千五
　　百九十九為矢較與較弧
　　六十九度零七分之正矢
　　六百四十三萬五千三百
　　三十八相加得一千二百
　　五十五萬七千九百三十
　　七為甲丙對邊之大矢〈凡矢
　　度過於半徑者為大矢其弧即為過弧〉内減
　　半徑一千萬餘二百五十
　　五萬七千九百三十七為
　　甲丙邊之餘檢表得七
　　十五度一十分四十六秒
　　與半周相減餘一百零四
　　度四十九分一十四秒即
　　甲丙邊之度内減九十度
　　餘一十四度四十九分一
　　十四秒為赤道南之緯度
　　也如圖己癸為半徑己子
　　為甲角之大矢甲乙與乙
　　丙相加〈乙丙與乙丑乙卯皆相等〉得甲
　　丑為總弧其正為丑寅
　　餘為寅癸甲乙與乙丙
　　相減餘甲卯為較弧其正
　　為卯辰餘為辰癸兩
　　餘相加得辰寅折半得
　　辰巳與午未等為中數又
　　對乙角之甲丙邊與甲申
　　等其正為申酉餘為
　　酉癸大矢為甲酉以甲酉
　　與甲卯較弧之正矢甲辰
　　相減餘辰酉與戌亥等為
　　矢較遂成卯午未與卯戌
　　亥同式兩勾股形而卯未
　　與卯亥之比同於午未與
　　戌亥之比又卯未為丑卯
　　距等圈之半徑卯亥與巳
　　子兩段同為乙辛丙黃道
　　經圈之所分則卯未與卯
　　亥之比原同於己癸與己
　　子之比是以半徑己癸與
　　乙角大矢己子之比即同
　　於中數午未與矢較戌亥
　　之比也既得戌亥矢較與
　　甲卯較弧之正矢甲辰相
　　加得甲酉即為甲丙弧之
　　大矢内減甲癸半徑餘酉
　　癸為甲丙弧之餘亦即
　　丙乾弧之餘檢表得丙
　　乾弧之度故與半周相減
　　始為甲丙弧之度也次求
　　甲角則以甲丙弧一百零
　　四度四十九分一十四秒
　　之正九百六十六萬七
　　千三百一十六為一率乙
　　丙弧九十二度三十七分
　　之正九百九十八萬九
　　千五百七十三為二率乙
　　角一百二十二度二十九
　　分之正八百四十三萬
　　五千四百七十七為三率
　　求得四率八百七十一萬
　　六千六百七十一為甲角
　　之正檢表得六十度三
　　十九分一十秒即甲角之
　　度與半周相減餘一百一
　　十九度二十分五十秒即
　　星距夏至赤道經度自夏
　　至未宫初度逆計之為辰
　　宫二十九度二十分五十
　　秒也
　　又法將乙丙弧引長至丁
　　自甲作甲丁垂弧補成甲
　　丁乙甲丁丙兩正弧三角
　　形先求甲丁乙形以丁角
　　正即半徑一千萬為一
　　率乙外角五十七度三十
　　一分之正八百四十三
　　萬五千四百七十七為二
　　率甲乙弧二十三度三十
　　分之正三百九十八萬
　　七千四百九十一為三率
　　求得四率三百三十六萬
　　三千六百三十八為甲丁
　　弧之正檢表得一十九
　　度三十九分二十秒即甲
　　丁弧之度也〈此即正弧三角形有黃赤
　　交角有黃道求距緯之法〉又以半徑一
　　千萬為一率乙外角五十
　　七度三十一分之餘五
　　百三十七萬零五百四十
　　二為二率甲乙二十三度
　　三十分之正切四百三十
　　四萬八千一百二十四為
　　三率求得四率二百三十
　　三萬五千一百七十八為
　　乙丁弧之正切檢表得一
　　十三度零八分三十八秒
　　即乙丁弧之度也〈此即正弧三角
　　形有黄赤交角有黃道求赤道之法〉次求甲
　　丁丙形以半徑一千萬為
　　一率乙丙弧九十二度三
　　十七分與乙丁弧一十三
　　度零八分三十八秒相加
　　得丙丁弧一百零五度四
　　十五分三十八秒其餘
　　二百七十一萬六千一百
　　七十八為二率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之餘九百四十一萬七
　　千三百一十八為三率求
　　得四率二百五十五萬七
　　千九百一十一為甲丙弧
　　之餘檢表得七十五度
　　一十分四十六秒與半周
　　相減餘一百零四度四十
　　九分一十四秒即甲丙邊
　　之度也〈此即正弧三角形有赤道有距緯求
　　黃道之法〉既得甲丙邊則以對
　　邊對角之法求之即得甲
　　角矣此兩邊夾一角之法
　　也
　　設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道經度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黃極赤極相距二十三度三十分求黃道緯度赤道緯度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　〈即北極〉乙為黃極甲乙相距
　　二十三度三十分丙為土
　　星丁戊為赤道己庚為黃
　　道己辛為黃道經度距夏
　　至一百二十二度二十九
　　分即乙角丁壬為赤道經
　　度距夏至一百一十九度
　　二十分五十秒即甲角之
　　外角丙辛為黃道南緯度
　　乙丙為星距黃極度丙壬
　　為赤道南緯度甲丙為星
　　距赤極度故用甲乙丙三
　　角形有甲乙二角及甲乙
　　邊求甲丙乙丙二邊乃用
　　次形法先求丙角將甲乙
　　丙形易為癸子丑次形葢
　　本形之甲角即次形之子
　　丑邊〈甲角當壬戊弧與子丑等〉本形乙
　　角之外角即次形之癸丑
　　邊〈乙外角當辛庚弧與癸丑等〉本形之
　　丙角即次形之癸子邊〈丙角
　　當寅卯弧與癸子等〉本形之甲乙邊
　　即次形之丑角〈丁己與甲乙等即丑
　　角度〉本形之乙丙邊與半周
　　相減之餘度即次形癸角
　　之外角〈乙丙邊與半周相減餘丙辰與卯辛
　　等即辛癸卯角為癸子丑形癸角之外角葢卯丙與
　　辛辰皆象限各減辛丙故卯辛與丙辰等〉本形
　　之甲丙邊與半周相減之
　　餘度即次形之子角〈甲丙邊與〉
　　〈半周相減餘丙巳與寅壬等即子角度葢寅丙與壬
　　巳皆象限各減壬丙故壬寅與丙巳等〉故用
　　癸子丑三角形有丑角及
　　癸丑子丑二邊求癸子邊
　　〈即丙角〉以半徑一千萬為一
　　率丑角二十三度三十分
　　之正矢八十二萬九千三
　　百九十九為二率以癸丑
　　邊〈即乙外角〉五十七度三十一
　　分與子丑邊〈即甲角〉六十度
　　三十九分一十秒相加得
　　一百一十八度一十分一
　　十秒為總弧其餘四百
　　七十二萬零八百零七又
　　以癸丑子丑兩邊相減餘
　　三度零八分一十秒為較
　　弧其餘九百九十八萬
　　五千零二十四兩餘相
　　加得一千四百七十萬五
　　千八百三十一折半得七
　　百三十五萬二千九百一
　　十五為中數為三率求得
　　四率六十萬九千八百五
　　十為矢較與較弧三度零
　　八分一十秒之正矢一萬
　　四千九百七十六相加得
　　六十二萬四千八百二十
　　六為癸子對邊之正矢與
　　半徑一千萬相減餘九百
　　三十七萬五千一百七十
　　四為癸子對邊之餘檢
　　表得二十度二十一分四
　　十一秒為癸子邊之度亦
　　即丙角度也次求乙丙邊
　　則以丙角之正三百四
　　十七萬九千三百八十七
　　為一率甲角六十度三十
　　九分一十秒之正八百
　　七十一萬六千六百五十
　　七為二率甲乙邊二十三
　　度三十分之正三百九
　　十八萬七千四百九十一
　　為三率求得四率九百九
　　十八萬九千五百七十三
　　為乙丙邊之正檢表得
　　八十七度二十三分與半
　　周相減餘九十二度三十
　　七分即乙丙邊之度内減
　　九十度餘二度三十七分
　　即星距黃道南之緯度也
　　次求甲丙邊以丙角之正
　　三百四十七萬九千三
　　百八十七為一率乙角一
　　百二十二度二十九分之
　　正八百四十三萬五千
　　四百七十七為二率仍以
　　甲乙邊之正三百九十
　　八萬七千四百九十一為
　　三率求得四率九百六十
　　六萬七千三百三十一為
　　甲丙邊之正檢表得七
　　十五度一十分四十六秒
　　與半周相減餘一百零四
　　度四十九分一十四秒即
　　甲丙邊之度内減九十度
　　餘一十四度四十九分一
　　十四秒即星距赤道南之
　　緯度也
　　又法將乙丙弧引長至丁
　　自甲作甲丁垂弧補成甲
　　丁乙甲丁丙兩正弧三角
　　形先求甲丁乙形以丁角
　　正即半徑一千萬為一
　　率乙外角五十七度三十
　　一分之正八百四十三
　　萬五千四百七十七為二
　　率甲乙弧二十三度三十
　　分之正三百九十八萬
　　七千四百九十一為三率
　　求得四率三百三十六萬
　　三千六百三十八為甲丁
　　弧之正檢表得一十九
　　度三十九分二十秒即甲
　　丁弧之度也〈此即正弧三角形有黃赤
　　交角有黃道求距緯之法〉又以甲乙弧
　　二十三度三十分之正切
　　四百三十四萬八千一百
　　二十四為一率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之正切三百五十七萬一
　　千七百五十二為二率半
　　徑一千萬為三率求得四
　　率八百二十一萬四千四
　　百六十七為甲虚角之餘
　　檢表得三十四度四十
　　六分一十二秒即甲虚角
　　之度也〈此即正弧三角形有黃道有赤道求
　　黃赤交角之法〉次求甲丁丙形以
　　丙甲乙角六十度三十九
　　分一十秒與甲虚角三十
　　四度四十六分一十二秒
　　相加得九十五度二十五
　　分二十二秒為丙甲丁角
　　乃以其餘九十四萬五
　　千零六十四為一率半徑
　　一千萬為二率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之正切三百五十七萬一
　　千七百五十二為三率求
　　得四率三千七百七十九
　　萬三千七百五十七為甲
　　丙弧之正切檢表得七十
　　五度一十分四十六秒與
　　半周相減餘一百零四度
　　四十九分一十四秒即甲
　　丙邊之度也〈此即正弧三角形有黃赤
　　交角有赤道求黄道之法〉既得甲丙邊
　　則以對邊對角之法求之
　　即得乙丙邊矣此兩角夾
　　一邊之法也





　　御製𠪱象考成上編卷三
<子部,天文算法類,推步之屬,御製歷象考成>