數學 (四庫全書本)/卷2

數學　卷二

　　欽定四庫全書
　　數學卷二
　　婺源江永撰
　　嵗實消長辨
　　〈嵗實消長前人多論之者勿菴先生大約主授時而亦疑其百年消長一分以乘距算其數驟變殊覺不倫又謂今現行之嵗實稍大於授時其為復長亦似有據因為高衝近冬至而嵗餘漸消過冬至而復漸長之說葢存此以俟後學之深思永别為之說謂平嵗實本無消長而消長之故在高衝之行與小輪之改兩嵗節氣相距近高衝者嵗實稍嬴近最高者稍朒猶定朔定望定之不能均惟逐節氣算其時刻分秒而消長可勿論也管見如斯遂不能强同爰引先生之言逐節疏論於下〉
　　勿菴先生曰〈厯學答問〉授時以萬分為日故其嵗實三百六十五萬二千四百二十五分其數自至元辛巳嵗前天正冬至積至次年壬午嵗前天正冬至共得三百六十五日二十四刻二十五分若逆推前一年亦是如此〈如自庚辰年十一月冬至逆推至己夘年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分〉此嵗實之數大統與授時並同
　　永按嵗實為厯法大綱領得其真確之數為難四分厯以前無論已魏晉以後漸知一嵗小餘不及四分日之一隨時測驗一厯必更一斗分不久即有差此何以故葢步厯者泥履端於始之義但以嵗前冬至距今年冬至計其小餘時刻并入大餘以為嵗實不知冬至距冬至所得者活汎之嵗實而非經恒之嵗實也欲得經恒嵗實宜於近春分時測之〈元至元時當測定氣春分〉今嵗春分距來嵗春分苟得真時刻則得真嵗實又以前後逺年測凖之春分計其日時分秒均之各嵗則嵗實之恒率確矣此何也太陽因有高卑而生盈縮近數百年間春分則平行〈當郭氏作厯時定氣春分之日正當平行之處此以前以後雖有此亦甚微〉故所得嵗實為恒率得其恒乃可以求其定猶之月必有平朔之䇿而後可求定朔也郭太史改厯自言創造簡儀高表憑所測實數考正者七事一曰冬至二曰嵗餘其於嵗實考之詳矣其求冬至也自丙子年立冬後依毎日測到晷景逐日取對冬至前後日差同者為凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半又定戊寅冬至在癸夘日夜半後三十三刻己夘冬至在戊申日夜半後五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻辛巳冬至在己未日夜半後六刻〈從甲子日始五十五日零六刻氣應五十五萬零六百分為厯元〉其求嵗餘也自劉宋大明以來測景驗氣得冬至時刻真數者有六用以相距各得其時合用嵗餘考驗四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年毎嵗各得三百六十五日二十四刻二十五分減大明厯一十一秒其二十五分為今厯嵗餘合用之數愚以此二條考之即郭氏當年所定之嵗實已有微差稽之於史又多牴牾其可以是為消長之凖乎夫一嵗小餘二十四刻二十五分積之四嵗正得九十七刻無餘無欠丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半則辛巳年冬至宜在己未夜半後五刻半不應有六刻如以辛巳之六刻為確也則丁丑年宜在九刻不應只有八刻半此四年既皆實測所得則己亥半刻矣而云相符不差何也〈丁丑年之八刻半雖約取整數未必正是半刻然已有數十分矣其本法上考已往百年而長一刻四年所長甚微不應有半刻以下然則當時冬至嵗實刻下之小餘不止二十五分矣〉又考劉宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所測十月十日壬戌景長一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相較餘二分二釐半為實以丁未戊申景相較餘六分五釐為法以法除實得三十四刻六十分以減距日四千六百刻餘四千五百六十五刻四十分折取其日〈二千二百八十二刻七十分〉加半日刻〈午正測景故加半日〉得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半後三十二刻七十分〈劉宋都建康比元大都里差應後五十七分則大都此日冬至三十二刻一十三分○按劉宋時太陽最高衝在冬至前幾半宫則取冬至前後二十餘日之景折取中數以求冬至仍有差詳見冬至權度條〉辰初三刻冬至〈大都減半刻竒〉大明壬寅〈辛丑年之十一月即壬寅嵗之始〉下距至元辛巳八百一十九年以授時嵗實積之凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九萬九千一百三十三日九十二刻較多三十三刻而云自大明壬寅距今毎嵗合得此數何也〈如郭氏百年長一之法以八百一十九總乗所長之數則壬寅冬至甲申日七十九刻太較當時所測算者又先五十餘刻則失之愈逹矣○詳冬至權度〉又云減大明厯一十一秒考祖冲之大明厯紀法與周天一嵗小餘二十四刻二十八分一十四秒授時減去三分一十四秒亦非一十一秒也〈邢士登律厯考謂金時趙知微重修大明厯小餘二十四分三十六秒實多授時一十一秒郭所減者趙厯非祖厯也其説是〉然則授時
　　所定嵗實猶是近似活泛之數而不可
　　以為恒欲定經恒之嵗實則西厯恒年表之恒率是矣按表一嵗小餘五小時三刻三分四十五秒〈一日二十四小時一小時四刻一刻十五分一分六十秒〉以分通之三百四十八分有竒以秒通之二萬○九百二十五秒〈一日八萬六千四百秒〉考其實則回回厯已如此回回厯法一嵗三百六十五日嵗有十二宫宫有閏日一百二十八年閏三十一日然則一嵗閏一百二十八分日之三十一正西法之嵗餘也〈以一百二十八乘二萬○九百二十五得二百六十七萬八千四百以八萬六千四百除之得三十一是也〉回回厯以春分為嵗首其嵗餘由累測春分得之歐邏巴厯遂用之至今因之雖分下之四十五秒未必無脁朒當亦甚微矣以此平率為凖隨其時之最高衝與最高之行而進退焉冬至近高衝則兩嵗冬至之距必多於平率〈今時多一分弱〉夏至近最高則兩嵗夏至之距必少於平率〈今時少一分弱猶之太陰當朔時入轉兩朔相距之日時必多當望時近月孛兩望相距之日時必少若朔時近月孛望時近入轉兩朔兩望相距反是〉又古時太陽本輪均輪半徑之差大於今日則加減均數亦大而冬至嵗實當更增至元辛巳間高衝約與冬至同度則嵗實尤大其小餘刻下之分約有三十分而授時定為二十五分宜其自丁丑至辛巳四年之間即有半刻之差而郭氏未之覺也〈一年少五分四年少二十分幾於半刻之半矣丁丑年之八刻半本為約畧之數半刻以下固難測算真的也○以西法嵗餘依授時萬分日較之只有二十四刻二十一分八十七秒半少授時嵗餘三分一十二秒半當時冬至為盈初小輪半徑差又大其多於平率必不止三分有竒者也〉
　　然授時原有消長之法是其新意其法自辛巳元順推至一百年則嵗實當消一分〈依法推至洪武十四年辛巳滿一百年其歳實消一分為三百六十五日二十四刻二十四分〉若自辛巳元逆推至一百年則嵗實當長一分〈依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑滿一百年嵗實長一分為三百六十五日二十四刻二十六分〉毎相距增一百年則嵗實消長各增一分以是為上考下求之凖大統諸法悉遵授時獨不用消長之法上考下求總定為三百六十五日二十四刻二十五分此其異也
　　永按冬至相距之嵗實大於平率最高衝有行度而小輪均數又有大小宜其嵗實有消長分數然必當時測定之嵗實已真確又知其無可復加而後知將來之漸消若授時嵗餘刻下之二十五分尚非確數其差分已見端於丁丑辛巳四年之間則辛巳以後能必其果消乎郭太史厯考正者七事創法者五事皆不數嵗實消長葢未能真知所以消長之故但暗用楊忠輔統天厯為活法以推往古意謂下考將來亦如是耳明大統厯悉遵授時獨不用消長之法當時厯官元統非有確見實測知其不當用消分也以今觀之猶幸大統不用消分冬至縱有先天尚未甚逺倘遽改二十五分為二十四分其先天不愈多乎〈當至元時刻下小餘約有三十分授時一嵗少五分百年約先天五刻〉
　　嵗實即一年之日數自一年以至千百年共積若干是為積日亦謂之中積〈上考下求皆距至元辛巳立算〉假如今康熙庚午嵗相距四百零九算依授時法推得積日一十四萬九千三百八十四日零一刻八十九分〈因距算四百以上嵗實當消四分為三百六十五日二十四刻二十一公以乘距算四百零九得如上數〉大統不用消長則積日為一十四萬九千三百八十四日一十八刻二十五分兩法相差一十六刻三十六分〈以命冬至日辰授時得癸夘日丑初三刻大統得癸夘日夘初三刻〉
　　永按凡天行盈縮進退必以漸無驟増驟減之理郭氏百年消長一分則是百年之内皆無所差至一百零一年驟増減一分又越百年皆平差一分至二百零一年又驟増一分豈有此數與法乎即如其法算數百年後亦當逐節計其消分積而數之不當總計當消之分而以距算總乘之也如大統厯康熙庚午冬至癸夘日夘初三刻查時憲書乃是巳初一刻〈大統先天一十四刻〉授時大統用消分均之無當於天行其故何哉當年所測嵗實刻下小餘其數不真故也嵗實已弱矣而又消之安得不先天乎使當改二十五分為三十分由辛巳以後漸而消之或庶幾耳曰至元嵗餘若果二十四刻三十分則上考當長乎消乎曰上考亦消也葢至元時高衝與冬至同度小輪均數又最大故冬至嵗實為長極之時而上考下考皆當消但消於三十分之内非消於二十五分之内也〈今時高衝在冬至後七八度小輪又漸小冬至嵗餘以萬分日計之約二十四刻二十八九分之間劉宋大明時高衝在冬至前半宫以祖冲之紀法除其嵗周當時嵗實三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒可見至元前後皆消於三十分之内其消甚遲約四百餘年始消一分葢小輪均數在初宮有若平差故也至一宫以外則漸疾矣〉若以春分平嵗實相較則冬至嵗實上下數千年皆在長限之中而至元時尤為長之極必俟高衝行至春分則冬至嵗實始平〈如今之春分〉又數千年高衝行至夏至最高行至冬至則冬至嵗實始為消之極耳〈如今之夏至〉然冬至嵗實消則春分嵗實長冬至嵗實消之極則夏至嵗實又為長之極矣抑今日本輪差小古時差大則消長中復有消長苟知此理則後之治厯者但隨時測高衝之行與小輪之差以算定氣而嵗實消長俱可勿論猶之太陰但實算定朔定望定不必復計此月與彼月多於朔䇿幾何少於朔䇿幾何也
　　又曰〈厯學疑問〉問嵗實既有一定之數授時何以有消長之法曰此非授時新法而宋統天之法然亦非統天億創之法而合古今累代之法而為之者也
　　永按統天厯宋寧宗時楊忠輔所造其嵗實與授時正同以斗分乘距差為躔差暗藏加減之法約百年加減一分零六秒弱然行之未久鮑澣之造開禧厯臧元震造成天厯皆増嵗實改各率紛紛竟無定論云
　　葢古厯周天三百六十五度四分度之一一嵗之日亦如之故四年而増一日其後漸覺後天皆以為斗分太强因稍損之
　　永按古厯四年而増一日其術甚疎雖古斗分宜多亦百數十年即當後天一日何以自周迄漢久而後覺曰周之厯却失之先天僖公五年辛亥日南至昭公二十年己丑日南至皆先天二三日厯數百年以有餘之嵗實盈其所先之數乃適得其平〈約在周秦間〉厥後猶執四分之術漸失之後天故久而後覺耳
　　自漢而晉而唐而宋毎次改厯必有所減以合當時實測之數故用前代之厯以順推後代必至後天以斗分强也〈斗分即嵗餘〉若用後代之厯據近測以逆溯往代亦必後天以斗分弱也
　　永按漢已前之冬至非實測先後天或至二三日後漢末劉洪始覺其後天而改斗分東晉虞喜始立嵗差法後秦姜岌始知以月蝕衝檢日宿度所在而劉宋之初冬至猶後天三日大明時祖冲之始解於測景以冬至前後二十餘日之景比對取中而定冬至然後冬至日躔漸得其實猶不能盡合也故唐一行謂麟德厯已前實録所記乃依時厯書之非𠉀景所得郭太史謂自大明厯以來測景驗氣得冬至時刻真數者有六然則實測之能合天者亦鮮矣
　　統天厯見其然故為之法以通之於嵗實平行之中加一古多今少之率則於前代諸厯不相乖戾而又不違於今之實測此其用法之巧也然統天厯藏其數於法之中而未嘗明言消長授時則明言之今遂以為授時之法耳郭太史自述創法五端初未及此也
　　永按授時厯實暗用統天之法者也其嵗餘二十四刻二十五分與統天同而上推百年長一之法亦相似故授時厯議謂自魯獻公戊寅至至元辛巳冬至日名共四十九事授時法合者三十九不合者十統天不合者惟獻公戊寅與授時異餘三十八與授時同二厯推冬至畧相似也然而劉宋大明壬寅嵗前冬至乙酉夜半後三十二刻七十分則當時祖冲之測景推算所得者縱有未確亦不甚逺〈當時所算約後天十六刻詳見冬至權度〉依授時統天法皆推甲申日戌初初刻先天甚多豈可謂大明非而授時統天是歟郭氏謂自大明以來測景驗氣得冬至時刻真數者有六用以相距既以大明壬寅之冬至為得真數之首矣及用法推算即失此至乃謂日度失常其可乎以今觀之一由授時所定嵗餘本未真一由長數當漸積不當總計長分而以八百一十九距算總乘之也〈統天距差乘差躔差咸汎積失亦畧同〉
　　然則大統厯何以不用消長曰此則元統之失也當時李德芳固已上疏争之矣然在洪武時去授時立法不過百年所減不過一分積之不過一刻故雖不用消長無甚差殊也崇禎厯書謂元統得之測驗竊不謂然何也元統與德芳辨但言未變舊法不言測驗有差又其所著通軌雖便初學殊昧根宗間有更張輒違經㫖〈如月食時差既内分等俱妄改背理〉豈能於冬至加時先後一刻之間而測得真數乎
　　永按明初李德芳與元統争嵗實消長為厯家一段公案闗係有明二百餘年之厯法邢士登恨元統不用消分致萬厯間節氣後天九刻有竒愚有以斷之據授時嵗實上考固宜有長分矣然而授時之嵗餘本未確則所據以為長之端者亦未真既言毎百年長一分則當以漸而長乃總計長分以乘距算則又無此算法觀其推至大明壬寅巳違當時之實測又何論春秋以前乎德芳所據者謂魯獻公十五年戊寅天正甲寅冬至依授時法推得甲寅日夜子初三刻依大統法推得己未日午正三刻〈己未史誤作丁巳〉相差四日六時五刻當用至元辛巳為元及消長之法方合天道夫魯獻公之年史有舛錯本難憑信漢志謂獻公十五年甲寅冬至此自劉歆三統厯逆推當年冬至是甲寅耳豈有實測紀之信史哉而德芳以此駁元統其無卓識可知矣然元統之不用消長也初無實據但云上考下推不用消長以合天道又云天道無端惟數可以推其機天道至妙因數可以明其理理因數顯數從理出故理數可相倚而不可相違夫既未嘗實測而憑虛以言天道言理數宜其不能服德芳也今日厯學大明由後觀之前此二百餘年猶幸元統不用消分冬至加時先天尚未甚逺葢授時嵗餘一嵗約少五分自至元辛巳至洪武甲子一百零三年固已先天五刻矣使大統減一分又越百年二百年而更減之先天不愈多乎邢士登謂萬厯間大統厯後天九刻此非有所測驗但據用消分與不用消分積算如此豈知明厯皆失之先天乎觀前所舉康熙庚午年時憲書癸夘日巳初一刻冬至依大統算夘初三刻先天一十四刻若依授時算丑初三刻則先天三十刻自辛酉溯戊辰五十餘年約減二三刻則戊辰以前大統厯率先天十一二刻若用授時法先天遂至二十七八刻矣此豈可厚非大統乎
　　然則消長必不可廢乎曰上古則不可知矣若春秋之日南至固可考據而唐宋諸家之實測有據者史册亦具存也今以消長之法求之其數皆合若以大統法求之則皆後天而於春秋且差三日矣安可廢乎
　　永按春秋時厯法最疎置閏或疏或密日食或不在朔則步冬至違天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙夘日巳時定冬至在甲寅即令此時小輪均數大能使定氣移前一日半亦不過癸丑日之夜刻辛亥實先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己夘二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛夘當時推己丑亦先天二日且己丑為此年正月朔安得為二月也授時推僖五年冬至以嵗餘長十九分乘距算一千九百三十五加於中積得辛亥日寅初二刻是以總長分數乘距算而非積漸而長亦因𫝊有辛亥日南至之文强為此算以求合不知辛亥非實測也〈唐一行謂僖公登觀臺以望而書雲物出於表晷天驗非時史億度愚謂傳言書雲未嘗言測景〉其推昭二十年冬至以十八乘距算一千八百零二則不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足為據且既能上合一千九百餘年之冬至矣何以劉宋元嘉丙子十一月甲戌景長而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至〈即壬寅天正冬至〉而推甲申此二事皆八百餘年反先天一日豈非總分乘距算之法非法故失之乎
　　然則統天授時之法同乎曰亦不同也統天厯逐年迭差而授時消長之分以百年為限則授時之法又不如統天矣
　　永按統天以距差乘躔差其失亦與授時等〈由其根數未確〉
　　夫必百年而消長一分未嘗不是乃以乘距算其數驟變殊覺不倫鄭世子黃鍾厯法所以有所酌改也〈假如康熙辛酉年距元四百算故消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年嵗餘二十四刻二十二分而辛酉年嵗餘二十四刻二十一分也以此所消之一分乘距算得四百分則辛酉嵗前冬至忽早四刻而次年又只平運以實數計之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年則又是三百六十五日二十四刻二十一分其法舛矣〉
　　永按授時之謬法勿菴先生亦既覺之矣抑不惟如此而已年愈逺則失愈甚如推至春秋時一千九百年則嵗餘二十四刻四十四分若一千九百零一年嵗餘増一分此一分乘距算一千九百零一前一嵗忽増一十九刻有竒則嵗實有三百六十五日四十三刻有竒豈不甚可笑乎況又有逺於此者乎
　　問嵗實消長之法既通於古亦宜合於今乃今實測之家又以為消極而長其說安在豈亦有所以然之故與曰授時雖承統天之法而用消長但以推之舊厯而合耳初未嘗深言其故也惟厯書則為之説曰嵗實漸消者由日輪之轂漸近地心也余嘗竊疑其説今具論之夫西法以日天與地不同心疏盈縮加減之理其所謂加減皆加減於天周三百六十度之中非有所増損於其外也如最高則視行見小而有所減最卑則視行見大而有所加加度則減時矣及其加減既周則其總數適合平行畧無餘欠也若果日輪之轂漸近地心不過其加減之數漸平耳加之數漸平則減之數亦漸平其為遲速相補而歸於平行一也豈有日輪心逺地心之時則加之數多而減之數少日輪心近地心時則減之數少而加之數多乎必不然矣
　　永按冬至相距之日時古今有多少不過汎嵗實與平嵗實相差其相差又有舒疾之漸耳若今冬至有平有定本不必言消長必欲言其消長則其故有二一由高衝離冬至有逺近一由日小輪古今有大小也高衝自秋分行至冬至此三宫定冬至皆在平冬至前自冬至行至春分此三宫定冬至皆在平冬至後總此六宫上下約萬年〈以今時最高衝行約之〉皆在長限以其冬至汎嵗實皆多於平嵗實故也惟高衝正當秋分春分此兩嵗嵗實皆平〈即西法三百六十五日五小時四十八分四十五秒是也〉離此則漸有差前三宫由平而漸増多是為長中之長至高衝與冬至同度則定冬至與平冬至同日同時是為長之極當郭太史作厯正其時也後三宫由極多而漸減以至於平是為長中之消今時高衝在冬至後八度其消尚未多也若高衝過春分而行至夏至此三宫定冬至亦在平冬至後自夏至行至秋分此三宫定冬至又在平冬至前總此六宫亦約萬年皆在消限以其冬至汎嵗實皆少於平嵗實故也前三宫由平而漸減是為消中之消至高衝與夏至同度則定冬至亦與平冬至同日同時是為消之極後三宫由極少而漸増以至於平是為消中之長此通高衝行一周天而總論其消長也然而太陽兩小輪半徑三千五百八十四古多而今少多則小輪稍大日躔加減均亦稍大少則小輪稍小加減均亦稍小高衝之行一年一分一秒十微〈西士後測〉此一分一秒十微若在均數稍大之中則度分變為時分之秒數以加減於平時者必稍多若在均數稍小之中則度分變為時分之秒數以加減於平時者必稍少〈如崇禎戊辰所立之加減差表初宫之初度十一宫之末度毎一十分均數二十二秒高衝一年行一分一秒十微約均數二秒有竒此二秒有竒變為時約五十七秒以加於平嵗餘五小時三分四十五秒得五小時四分四十二秒如小輪稍大則初度一十分之均不止二十二秒而一嵗高衝之行不止得均二秒有竒其變時亦不止五十七秒矣如小輪稍小則初度十分不及二十二秒高衝之行得均數不及二秒則變時亦不及五十七秒矣此畧舉初度之均以為例其他可類推〉古今小輪之大小雖不可盡知以劉宋元嘉大明間屢年之實測算當時之不同心差葢四千有竒〈詳冬至權度〉則均數必稍强至元授時厯冬至盈初加分多於今日之加分則當時小輪半徑不止三千五百八十四自此以後至今日小輪漸小均數亦漸小高衝行度所得之均數以減度加時者亦稍弱焉此又因輪轂漸近地心而微有消分也
　　又考日躔永表彼固原未有消長之說日躔厯指言平嵗用授時消分定嵗則用最高差及查恒年表之用則又只用平率是其說未有所决也
　　永按厯書非出一手故有不相應處其嵗實平率出回厯回厯得之實測春分此厯書最緊要處惜未明白剖析其日躔表說辨論從前言消長者之非則固有定說矣但小餘微有不同耳〈厯書平嵗實小餘五小時三刻三分四十五秒以萬分通之是二四二一八七五也今厯象考成亦用之而日躔表說二四二一八八六四較多一一四〉
　　又厯書言日輪漸近地心數千年後將合為一點若前之漸消由於兩心之漸近則今日之消極而長兩心亦將由近極而逺數千年後又安能合為一點乎彼葢見授時消分有據而姑為此說非能極論夫消長之故者也
　　永按七政皆有小輪獨日之小輪有改變竊意久亦必復豈有與地心合為一點之理自至元辛巳以後正是長極而消非消極而長也曰今實測之冬至後於授時之中積分明是長而以為消何也曰前已言之矣授時嵗餘刻下之分當有三十分而郭氏定為二十五分也授時之嵗實豈非出於實測然因其自述丁丑辛巳四年冬至得其自相乖違之處因以知至元時為長極而消之大界與日躔加減表十一宫末度以前均數漸減之理固相符也
　　然則將何以求其故曰授時以前之漸消既徴之經史而信矣而今現行厯之嵗實又稍大於授時其為復長亦似有據竊考西厯最高卑今定於二至後七度依永年厯毎年行一分有竒則授時立法之時最高卑正與二至同度而前此則在至前過此則在至後豈非高衝漸近冬至而嵗餘漸消及其過冬至而東又復漸長乎余觀七政厯於康熙庚申年移改最高半度弱而其年嵗實驟増一刻半强此亦一徵也存此以竢後之知厯者〈己未年最高在夏至後六度三十九分庚申年最高在夏至後七度七分除本行外計新移二十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分實計三百六十五日二十四刻十三分前後各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以較庚申年嵗實驟増一刻九分〉
　　永按嵗實消長之故一由最高衝之有行度先生因最高改移嵗實驟増而悟及此猶云存之以俟知者亦欲後人由此致思也然其所言消長若與實算相反何也日躔加減表初宫與十一宫同均而加減異號至元辛巳以前高衝行未及冬至則用初宫之均度分秒加度而減時辛巳以後高衝行已過冬至則用十一宫之均度分秒減度而加時前減時則定冬至在平冬至前後加時則定冬至在平冬至後初宫之初度與十一宫之末度其均最大則一嵗高衝之行所得均數最多變為時以加減於平時者亦最多故此處嵗實極大皆最長之時也初宫若離初度稍逺則均漸少而變時以減平時者亦稍少嵗實亦稍減矣十一宫若離末度稍逺則均漸少而變時以加平時者亦稍少嵗實亦稍減矣故高衝行漸近冬至其均由少而多嵗實正漸増以至於極也而此謂嵗餘漸消高衝已過冬至其均由多而少嵗實則由極多以漸減也而此謂復漸長豈非與實算相反乎葢先生論消長不主平嵗實為根耳
　　王寅旭曰嵗實消長其說不一謂由日輪之轂漸近地心其數𣹰消者非也日輪漸近則兩心差及所生均數亦異以論定嵗誠有損益若平嵗嵗實尚未及均數則消長之源與兩心差何與乎識者欲以黃赤極相距逺近求嵗差朓朒與星嵗相較為節氣消長終始循環之法夫距度既殊則分至諸限亦宜隨易用求差數其理始全然必有平嵗之嵗差而後有朓朒之嵗差有一定之嵗實而後有消長之嵗實以有定者紀其常以無定者通其變始可以永久而無𡚁
　　永按古今言嵗實消長者皆從冬至嵗實言之非論平率嵗實也因兩心差及所生均數異而定氣微有損益是亦消長之一根不可謂其無與若黃赤極相距逺近求差數此說恐未然其言有平嵗之嵗差而後有朓朒之嵗差有一定之嵗實而後有消長之嵗實此數言極中肻綮一定之嵗實從春分測定之平嵗實是也苟知此則但言平冬至定冬至不必言消長亦可矣
　　按寅旭此論是欲據黃赤之漸近以為嵗實漸消之根葢見西赤黃赤之緯古大今小今又覺稍嬴故斷以為消極復長之故然黃赤逺近其差在緯嵗實消長其差在經似非一根又西測距緯復嬴者彼固自疑其前測最小數之未真則亦難為確據愚則以中厯嵗實起冬至而消極之時高衝與冬至同度高衝離至而嵗實亦增以經度求經差似較親切愚與寅旭生同時而不相聞及其卒也乃稍稍見其書今安得起斯人於九原而相與極論以質所疑乎
　　永按先生經緯之辨最確而謂高衝與冬至同度為消極之時永已論之於前
　　又曰〈考最高行及嵗餘〉按日行盈縮細考之則春分距夏至夏至距秋分雖皆縮厯而其縮亦不同秋分距冬至冬至距春分雖皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同細求之則節節不同又細求之其日日不同矣其故何也葢最高一點不在夏至而在其後數度又且年年移動此太陽盈縮之根而嵗實所以有消長也
　　永按以太陽盈縮之根推嵗實所以有消長此先生之定見定說也
　　按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共長一刻○三分〈中積只十一年〉壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分〈中積共只八年〉又合計癸亥夏至至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相較一日○四刻一分辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相較一日○五刻十四分八年中較數増一刻十三分
　　永按此以半年之氣前後相較驗最高之東移若以兩嵗冬至春分夏至秋分及各節氣兩嵗相距皆各有其嵗實而冬至為最大夏至為最小春秋分為近平义越數十年而諸嵗實亦微有不同矣前代只知冬至嵗實不知逐節氣皆有嵗實也
　　然二分之相距則無甚差何也葢最髙移而東則夏至後多占最高之度而減度加時之數益多故益長高衝移而東則冬至後多占最卑之度而加度減時之數益多故益消其近二至處皆為加減差最大之處故消長之較已極也乃若二分與中距雖亦嵗移而中距皆為平度不係加減其最高前後視行小之度固全在春分後半周最高衝前後視行大之度亦全在春分後半周毫無移動故無甚消長也
　　永按二分無甚差故欲得平嵗實須於近二分時測之若高衝行至春分則二分之距又最大而二至反平矣
　　按授時消分為不易之法今復有長者何也西法最高卑之點在兩至後數度嵗嵗東移故雖冬至亦有加減不得以恒為定也此是西法中一大節目其法自回回厯即有之然了凡先生頗采用回回法而不知此熊䃪石先生親與西儒論厯而亦不言及何也
　　永按最高卑之有行度誠西法中一大節目袁氏新書不知有最高卑又何以能較論前代諸厯之先後天乎
　　又曰〈厯學疑問〉袁了凡新書通回回之立成於大統可謂苦心然竟削去高卑之算又直用大統之嵗餘而棄授時之消長將逆推數百年已不效況數千萬年之久乎永按袁書逆推數百年已不效誠然若棄授時之消長則無足論授時本非不刋之法也今時厯象考成推步只有求天正冬至與求定冬至之法而不言消長紛紛之論可定矣










　　數學卷二