數學 (四庫全書本)/卷4

數學　卷四

　　欽定四庫全書
　　數學卷四
　　婺源江永撰
　　冬至權度
　　〈履端於始序則不愆厯家詳求冬至且求千歲以上冬至證之史傳或離或合其故難言元史有六厯冬至開載魯獻公戊寅至元庚辰四十九事紀大衍宣明紀元統天重修大明授時時刻之異同勿菴先生因之作春秋以來冬至攷刪去獻公一事各以其厯本法詳衍𥮅術雖明而未有折衷永因先生所攷定者用實法推筭有不合者斷其厯誤史誤名曰冬至權度俟知厯者攷焉〉
　　一論平歲實
　　太陽本天有平行厯黃道一周為平歲實與月五星周率朔策合率同理别有本輪均輪最卑最高之行以視行加減平行二十四氣時刻多少歲歲不同而古今冬至不能以一率齊之是為活汎之歲實猶之月有實㑹逐月不同五星有實合毎周不同也授時大統以前太陽高卑之理未明雖知一歲之行有盈縮不悟盈縮之中為平歲實但求歲實於活汎之冬至故一厯必更一周率與歲實然合今則戾古合古又違今統天厯遂立距差躔差之法暗藏消長以求上下兩合授時厯本之有百年長一消一之說西厯本囘厯以春分相距測定歲周小餘五小時三刻三分四十五秒以萬分通之為二四二一八七五此為平行之歲實小餘而各節氣之定氣則以均度加減定之此不易之法也欲攷往古冬至當以平歲實為本𥮅當年平冬至時刻乃以定冬至較之知其距最卑之遠近或與今法有不合則知其時本輪均輪之有半徑差有相去之遠者則知史傳所記非實測所謂苟求其故千歲之日至可坐而致者此為庶幾焉倘以授時之歲實為歲實而以百年長一消一為凖則非法矣
　　一論最卑行
　　太陽本輪最卑㸃為縮未盈初之端歲有推移與月入轉五星入厯皆有行度同理平冬至之改為定冬至也視此㸃之前後逺近以加度而減時減度而加時焉至元辛巳間最卑與平冬至同度自是以前定冬至皆在平冬至前以後定冬至皆在平冬至後最卑有行度故也〈郭氏時未悟此理恒以冬至為盈初大統承用數百年誤矣〉西法近率最卑歲行一分一秒十微以遠年冬至攷之此率似微朒大約當加二秒上求古時定冬至以此為凖焉
　　一論輪徑差
　　最卑既有行度矣而太陽之體在均輪均輪之心在本輪本輪之心在本天此兩輪半徑古今又有不同則距地遠近兩心有差西法始定兩輪半徑併千萬分之三十五萬八千四百一十六而今又漸减則古時必多於此半徑大則加減差亦大而以均度變時分加減於平冬至者視今時必稍贏焉此差率出於恒差之外厯家亦不能定者也上攷又當以此消息之〈余因劉宋大明五年測景求彼時兩半徑併詳後〉
　　右三事者攷冬至之權度也大統以前厯家莫能知而勿菴先生言之未詳永竊為補之
　　春秋以來冬至攷
　　勿菴先生云春秋以來冬至多矣而所攷只此者以其測騐之可據也厯議原載四十八事今攷獻公在春秋前無信史可徴故刪之而以左傳僖公一條為首實四十七事也〈併至元庚辰四十八事〉
　　永竊疑四十七事雖有信史可徴而厯筭與紀載未必無誤若左傳所記兩冬至尤未可信其由於實測後詳之
　　魯僖公五年丙寅歲正月辛亥朔旦冬至
　　唐開元大衍厯〈辛亥亥正三刻〉唐宣明厯〈辛亥申正初刻〉宋崇寧紀元厯〈壬子戌正一刻〉宋統天厯〈辛亥寅正三刻〉金重修大明厯〈壬子亥初二刻〉元授時厯〈辛亥寅初二刻〉
　　按傳載是年正月辛亥朔日南至公既視朔遂登觀臺以望而書古厯家皆謂至朔同日之年也今詳推之謹按厯象考成康熈甲子天正冬至氣應七日六五六三七四九二六為七日十五小時四十五分十一秒上距僖公丙寅二千三百三十八年中積八十五萬三千九百三十六日五小時三十七分三十秒滿紀法去之餘一十六日五小時三十七分三十秒轉減氣應〈加一紀減之〉餘五十一日十小時七分四十一秒平冬至乙夘巳正初刻八分又按至元辛巳前四年丁丑高衝〈即最卑〉與冬至同度上距此年一千九百三十一年約四百年行七度則此年高衝在冬至前一宫三度四十八分於今法當加均一度八分變時一日三小時三十七分減平冬至猶是甲寅日夘時再約計是時小輪併徑加大其加減均或能至一度二三十分之間變時一日十餘小時以減平冬至則定冬至亦止癸丑日亥子之間而已必不能減至辛亥則是時所推冬至先天兩三日矣又𥮅此月平朔定朔皆在壬子而當時誤推辛亥亦先天一日〈春秋緯命厯序壬子朔隋張賔張胄𤣥唐一行皆從之〉實攷之此年正月壬子朔二日癸丑冬至耳至朔何嘗同日乎〈張賔依命厯序壬子朔冬至張冑𤣥謂三日甲寅冬至既不從傳亦不從命厯序雖甲寅或稍後天然而胄𤣥之識卓矣〉春秋時王朝未必頒厯各國自為推步閏餘乖次月日参差日食或不在朔所以考求日至者必不能如後世之精宻差至二三日固無足怪〈魏晉以後厯法漸明劉宋時景初厯冬至猶後天三日則春秋時無足怪〉厯家過信左氏意謂此年特載日南至必當時實測〈唐一行謂僖公登觀臺以望而書雲物出於表晷天騐非時史億度此一行之蔽也傳言書雲未嘗言測景〉作厯欲求合於古則多増斗分以就之大衍推辛亥亥正三刻宣明推辛亥申正初刻皆泥此至之過也〈大衍號稱善厯行之數年而即差由斗分大强之故〉紀元與重修大明僅能得壬子與辛亥差一日知斗分不可過増寧失此至不强求合猶為近之若統天創為距差躔差之法巧合此至而授時遂暗用之有百年長一之率𥮅此至皆得辛亥日寅時此無法之法最為乖謬夫總計距𥮅乗而益之越百年則有驟増之時刻年愈逺則驟増之數愈多〈勿菴先生亦嘗疑之〉授時以至元辛巳為元上距此年一千九百三十五𥮅即以一九三五總乗所長之一九數而益歲餘設減三十五𥮅為辛丑當文公七年距𥮅一千九百則歲餘二十四刻四十四分矣前一年庚子距𥮅一千九百零一歲餘増一分此一分乗一千九百零一凡一十九刻有竒則當此庚子年驟増一十九刻有竒天道寧有此數乎况越二千年而驟増者愈多其長伊於胡底乎故消長之法斷不可用而此年正月辛亥朔日南至當以實法考求決其為步𥮅之誤不可過信傳文而舍法以求合也
　　魯昭公二十年己夘歲正月己丑朔旦冬至
　　大衍〈己丑巳正三刻〉宣明〈己丑寅正三刻〉紀元〈庚寅夘正初刻〉統天〈戊子亥正三刻〉重修大明〈庚寅辰初初刻〉授時〈戊子戌初三刻〉
　　按此年上距僖公五年一百三十三年平冬至二十八日十五小時一十一分二十六秒壬辰日申初初刻十一分約計加均及小輪徑差減時不過一日八九小時定冬至不過辛夘日夘辰之間而已必不能減至己丑而傳載己丑日南至以此知春秋時步冬至恒先天二三日也且魯厯前年失閏此年日南至在二月夫周以子月為正日至必無在二月者當時梓慎輩徒知望氛祥占禍福於時月之易明者猶不能正何能實測冬至與天脗合乎大衍宣明紀元重修大明斗分有多少故日名有合有不合若統天授時皆以活法求之又先己丑一日失之愈逺矣同一左氏傳也丙寅之冬至則合己夘之冬至則違亦可見活法之有時窮矣由今觀之違者固非合者亦未盡是而元史厯議乃以此至為日度失行不亦誣乎
　　劉宋文帝元嘉十二年乙亥歲十一月十五日戊辰景長
　　大衍〈戊辰辰正二刻〉宣明〈戊辰辰初三刻〉紀元〈戊辰巳初二刻〉統天〈戊辰午正三刻〉重修大明〈戊辰巳初三刻〉授時〈戊辰午初一刻〉
　　按史記冬至景長始此是時用景初厯推冬至率後天三日何承天上表言之太史令錢樂之言是年景初推十一月十八日冬至其十五日景極長今推此年平冬至五日九小時四十五分一十一秒己巳日巳初三刻〈今　京師時刻劉宋都建康當減八分四秒後陳朝倣此〉是時髙衝約在平冬至前十四度太又小輪半徑差多於今加均減不啻半日定冬至宜在戊辰與史合然均度不過三十餘分減時不能越十五小時戊辰日加時大約在酉半以後是以明年冬至當越六日甲戌景長六厯推此年平冬至非不得戊辰而加時皆蚤既在午刻以前則明年安得甲戌景長乎
　　元嘉十三年丙子歲十一月二十六日甲戌景長〈景初厯推二十九日冬至〉
　　大衍〈癸酉未正一刻〉宣明〈癸酉未初三刻〉紀元〈癸酉申初一刻〉統天〈癸酉酉正二刻〉重修大明〈癸酉申初三刻〉授時〈癸酉酉初初刻〉
　　今推此年平冬至一十日十五小時三十三分五十六秒甲戌日申初二刻四分是時加均減時不能越十五時是以定冬至亦在甲戌史紀此日景長必是實測而六厯皆先一日癸酉其不能與天宻合此已見其端矣〈乂按後四年庚辰甲午景長四年之間小餘平積二十日二十三時一十五分庚辰定冬至未至乙未則甲午必是夜子初幾刻逆推此年甲戌必是子正幾刻〉
　　又按唐一行厯議云元嘉十三年十一月甲戌景長皇極麟德開元厯皆得之癸酉葢日度變常耳祖冲之既失甲戌冬至以為加時太早増小餘以附㑹之而十二年戊辰景長得己巳十七年甲午景長得乙未十一年己亥景長得庚子合一失三其失愈多愚謂此年景長甲戌可推也而一行以為日度變常非是
　　元嘉十五年戊寅歲十一月十八日甲申景長〈景初厯推二十一日冬至〉
　　大衍〈甲申丑正初刻〉宣明〈甲申丑初二刻〉紀元〈甲申寅初初刻〉統天〈甲申夘正一刻〉重修大明〈甲申寅初二刻〉授時〈甲申寅正三刻〉
　　今推此年平冬至二十一日三小時一十一分二十六秒乙酉日寅初初刻十一分定冬至以丙子歲甲戌子正幾刻推之當在甲申午正前後之間六厯皆先天
　　元嘉十六年己夘歲十一月二十九日己丑景長〈景初厯推次月二日壬辰冬至〉
　　大衍〈己丑辰初三刻〉宣明〈己丑辰初一刻〉紀元〈己丑辰正三刻〉統天〈己丑午正初刻〉重修大明〈己丑巳初一刻〉授時〈己丑巳正二刻〉
　　今推此年平冬至二十六日九小時零一十一秒庚寅日巳初初刻定冬至當在己丑酉正前六厯皆先天
　　元嘉十七年庚辰歲十一月初十日甲午景長〈景初厯推十二日冬至〉
　　大衍〈甲午未初三刻〉宣明〈甲午未初初刻〉紀元〈甲午未正三刻〉統天〈甲午酉正初刻〉重修大明〈甲午申初初刻〉授時〈甲午申正二刻〉
　　今推此年平冬至三十一日十四小時四十八分五十六秒乙未日未正三刻四分而景長在甲午必在夜子初幾刻減時幾有十五小時則加均約三十六分以當時髙衝在冬至前十四度有竒推之而小輪半徑之差亦大畧可知矣
　　又按隋書律厯志劉孝孫等言此年厯法十三日冬至十一日景長則是乙未日矣
　　元嘉十八年辛巳歲十一月二十一日己亥景長〈景初厯推二十五日冬至〉
　　大衍〈己亥戌初二刻〉宣明〈己亥酉正四刻〉紀元〈己亥戌正二刻〉統天〈己亥夜子初三刻〉重修大明〈己亥亥初初刻〉授時〈己亥亥正一刻〉
　　今推此年平冬至三十六日二十小時三十七分四十一秒庚子日戌正二刻八分厯攷元嘉間定冬至加均減時不能越十五時此年若己亥景長則減時二十有竒葢史文二十二日譌為二十一日唐一行厯議與元史沿誤差一日也錢樂之謂尋校前後以景極長為冬至並差三日此年景初推二十五日冬至景長在二十二日是差三日若二十一日則差四日矣〈定冬至宜在庚子日寅夘之間六厯雖皆推己亥未足為據〉
　　又按隋書劉孝孫等云此年陰無景可騐今厯二十二日冬至更可證是庚子
　　元嘉十九年壬午歲十一月初三日乙巳景長〈景初厯推六日冬至〉
　　大衍〈乙巳丑初二刻〉宣明〈乙巳子正四刻〉紀元〈乙巳丑正一刻〉統天〈乙己夘初三刻〉重修大明〈乙己丑正三刻〉授時〈乙巳寅正初刻〉
　　今推此年平冬至四十二日二小時二十六分二十六秒丙午日丑正一刻十一分定冬至乙巳午初
　　孝武帝大明五年辛丑歲十一月乙酉冬至
　　大衍〈甲申申正四刻〉宣明〈甲申申正二刻〉紀元〈甲申酉初二刻〉統元〈甲申戌初初刻〉重修大明〈甲申酉正一刻〉授時〈甲申戌初初刻〉
　　按此年祖冲之詳記測景推筭冬至乙酉日夜半後三十二刻七十分今細推之當時筭冬至稍後天而六厯推甲申皆先天也詳推如左
　　一推此年平冬至
　　按大明辛丑距康熈甲子天正冬至一千二百二十二年中積四十四萬六千三百二十五日二十二小時五十二分三十秒轉減甲子氣應〈加一紀減之〉餘二十一日十六小時五十二分四十一秒平冬至乙酉申正三刻七分四十一秒建康加八分四秒酉初初刻四十五秒
　　一推此年高衝行
　　按元至元辛巳前四年丁丑高衝與冬至同度上距此年八百一十五年若依今法一年行一分一秒十微則此年高衝在冬至前十三度五十分五十一秒如此率未的一年約加二秒四百年行七度則此年高衝在冬至前十四度十六分
　　一推此年十月十日壬戌景長高弧距緯并經度按史此年祖冲之測景十月十日壬戌景長一丈七寸七分半○以三率法推筭〈一率表八尺二率景一丈七寸七分半三率半徑全數四率為餘切線〉求得一三四七以餘切檢八線表此日午正日高弧三十六度三十五分二十四秒○表所得者太陽上邊之景宜減太陽半徑一十五分二十九秒得太陽中心距地平三十六度一十九分五十五秒○日軌高視差二分二十三秒内減去青𫎇氣差二十七秒餘視差一分五十六秒加於太陽中心距地平得實髙三十六度二十一分五十一秒距天頂五十三度三十八分九秒○建康極出地約三十二度以減距天頂度餘二十一度三十八分九秒為本日午正黃赤距緯○設此時兩道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法〈兩道大距正為一率本日午正黃赤距緯正為二率半徑全數為三率得四率為餘〉求得餘九一八九檢表二十三度十四分為壬戌午正距冬至實經度減用時〈七分二十九秒〉為平時午初三刻七分半太陽距冬至實經度
　　一推壬戌午時太陽平行度
　　建康平冬至〈見前〉距壬戌午初三刻七分半二十三日五小時八分二十五秒太陽平行二十二度五十二分五十秒以減全周壬戌午初三刻七分半太陽平行十一宫七度七分一十秒
　　一推十一月二十五日丁未景長高弧距緯并經度按史丁未景長一丈八寸一分太○以三率法推筭〈一率表八尺二率景長一丈八寸一七五三率半徑全數四率為餘切線〉求得餘切一三五二二檢表此日午正日高弧三十六度二十九分三秒○減太陽半徑一十五分二十六秒太陽中心距地平三十六度一十三分三十七秒○日軌高視差二分二十四秒減去青𫎇氣差二十七秒餘視差一分五十七秒加於太陽中心距地平得實高三十六度一十五分三十四秒距天頂五十三度四十四分二十六秒○極高三十二度減距天頂度餘二十一度四十四分二十六秒為本日午正黃赤距緯○設兩道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法求得餘九二三一一檢表二十二度三十七分六秒為本日午正距冬至實經度加用時二分三十五秒為平時午正初刻二分三十五秒太陽距冬至實經度
　　一推丁未午時太陽平行度
　　建康平冬至距丁未午正初刻二分三十五秒二十一日十九小時一分五十秒太陽平行二十一度二十八分四十七秒
　　一推此時小輪半徑差
　　以本年高衝冬至前十四度十六分減壬戌太陽平行距平冬至二十二度五十二分五十秒餘八度三十六分五十秒查舊日躔加減差表減十八分四十八秒化作一千一百二十八秒為一率以舊表兩心差三五八四為二率又於壬戌經度二十三度一十四分内減平行二十二度五十二分五十秒餘二十一分十秒化作一千二百七十秒為三率求得四率四○三五二為此時兩小輪半徑併〈太陽本天一百萬本輪半徑三萬零三百六十四均輪半徑一萬零八十八由此可算其均數〉
　　一推乙酉日定冬至
　　前壬戌日午正太陽平行十一宫七度七分一十秒至乙酉日子正二十二日半平行二十二度一十分三十八秒加入壬戌午正平行度此時平行十一宫二十九度一十七分四十八秒加高衝十四度十六分滿周天去之餘一十三度三十四分為引數以此時兩小輪半徑併筭之約加均度三十二分竒加入前子正平行在十一宫二十九度五十分未滿周天者十分為時約四小時定冬至在子正後十六刻有竒當時以前後景折筭乙酉日子正後三十一刻冬至約後天十五刻
　　按以冬至前後日景折筭取中求冬至時刻此法惟郭太史時可用其時高衝與冬至同度故也若大明時高衝在冬至前十四度有竒則冬至前之日近高衝太陽之行速而景之進退也疾冬至後之日遠高衝太陽之行稍遲而景之漸短亦必稍緩雖前後之日景大畧相同而中間所厯之時刻必不均當時欲以均數求冬至宜其後天十五刻也〈冬至前二十餘日日行較連時刻宜減冬至後二十餘日日行較遲時刻宜加若欲均之則折半處必在所減之後故後天〉然劉宋之初厯法甚疎景初厯後天至三日猶幸祖氏用景長推筭違天尚未甚逺又幸史冊紀載之詳去今千有餘年猶可細推其後天之時刻也郭太史改厯所定歳周小餘二四二五者謂自大明壬寅距今每歲合得此數按此年下距至元辛巳八百一十九年以授時歲周積之二十九萬九千一百三十三日六十刻七五五分以辛巳天正冬至己未日子正後六刻逆計之則當時冬至在乙酉日子正後五十四刻後天愈加多矣既不能與當時所測筭者宻合又為百年長一之法以求合於逺古之冬至以八百一十九總乗所長之數而益之則此年冬至又在甲申日七十九刻太不又先天三十七刻乎以此知授時之歲餘非定率而統天之距差躔差授時之消長皆謬法也此年冬至所關者鉅故攷論加詳若大衍諸厯先天愈多則無足論而授時指為日度失行者總論之於後云
　　陳文帝天嘉六年乙酉歲十一月庚寅景長
　　大衍〈庚寅寅初初刻〉宣明〈庚寅寅初初刻〉紀元〈庚寅寅初二刻〉統天〈庚寅夘初四刻〉重修大明〈庚寅丑初四刻〉授時〈庚寅寅正初刻〉
　　今推此年平冬至二十六日二十一時二十二分四十一秒庚寅亥初一刻八分定冬至葢在辰巳間諸厯推丑寅皆太蚤統天近之
　　臨海王光大二年戊子歲十一月乙巳景長
　　大衍〈乙巳戌正二刻〉宣明〈乙巳戌正三刻〉紀元〈乙巳戌初初刻〉統天〈乙巳夜子初二刻〉重修大明〈乙巳戌初二刻〉授時〈乙巳戌初二刻〉
　　此年平冬至丙午未正三刻九分定冬至葢在乙巳與丙午之間乙巳之景長於次日當亦甚微然以後四歲丁夘景長推之此年所紀猶可疑說見後
　　宣帝太建四年壬辰歲十一月二十九日丁夘景長大衍〈丙寅戌正初刻〉宣明〈丙寅戌正一刻〉紀元〈丙寅酉正二刻〉統天〈丙寅亥正三刻〉重修大明〈丙寅酉正三刻〉授時〈丙寅戌正四刻〉
　　今推此年平冬至三日一十四時三分五十六秒丁夘未正初刻四分史記丁夘景長則定冬至葢在子正初刻以前四歲乙巳景長較之殊可疑此年平冬至子正後一十四時四分而景長猶在本日是加均減時不能越十四時四分也光大二年之平冬至在丙午日子正後十四時四十五分乃能越之而景長在前一日乙巳不應四歲之間差殊如此此兩歲定冬至皆在子初子正之間景長最難真確乙巳與丁夘當時測騐有一是必有一非竊疑乙巳之測未確
　　太建九年丁酉歲十一月二十三日壬辰景長
　　大衍〈癸巳丑初一刻〉宣明〈癸巳丑初二刻〉紀元〈壬辰夜子初三刻〉統天〈癸巳寅正一刻〉重修大明〈癸巳子正初刻〉授時〈癸巳丑正初刻〉
　　今推此年平冬至二十九日一十九時七分四十一秒癸巳戌初初刻八分定冬至葢在本日寅夘之間統天近之二十三日壬辰景長此必史誤
　　太建十年戊戌歲十一月五日戊戌景長
　　大衍〈戊戌辰初一刻〉宣明〈戊戌辰初二刻〉紀元〈戊戌夘初二刻〉統天〈戊戌巳正初刻〉重修大明〈戊戌夘初四刻〉授時〈戊戌辰正初刻〉
　　此與丁酉歲相去一年平冬至己亥定冬至戊戌可考而知故不細推
　　隋文帝開皇四年甲辰歲十一月十一日己巳景長大衍〈己巳酉正二刻〉宣明〈己巳酉正三刻〉紀元〈己巳夜子初一刻〉統天〈己巳戌初初刻〉重修大明〈己巳酉初初刻〉授時〈己巳戌正二刻〉
　　今推此年平冬至六日一十一時四十八分五十六秒庚午日午初三刻四分〈隋都長安早二刻後唐朝則倣此〉定冬至己巳亥子之間〈史云此年在洛川測冬至景與京師二處進退絲毫不差張賔厯推己巳冬至張胄𤣥厯推庚午冬至〉
　　開皇五年乙巳歲十一月二十二日乙亥景長
　　大衍〈乙亥子正一刻〉宣明〈乙亥子正二刻〉紀元〈甲戌亥正二刻〉統天〈乙亥寅初初刻〉重修大明〈甲戌戌正三刻〉授時〈乙亥丑正二刻〉
　　今推此年平冬至十一日一十七時三十七分四十一秒乙亥酉初二刻八分定冬至在本日寅時推甲戌者非是
　　開皇六年丙午歲十一月三日庚辰景長
　　大衍〈庚辰夘正初刻〉宣明〈庚辰夘正一刻〉紀元〈庚辰寅正一刻〉統天〈庚辰辰正三刻〉重修大明〈庚辰寅正三刻〉授時〈庚辰辰正一刻〉
　　與前年相距一歲平定冬至皆在庚辰可攷而知
　　開皇七年丁未歲十一月十四日乙酉景長
　　大衍〈乙酉午正初刻〉宣明〈乙酉午正一刻〉紀元〈乙酉巳正初刻〉統天〈乙酉未正三刻〉重修大明〈乙酉巳正二刻〉授時〈乙酉未正初刻〉
　　此年平冬至丙戌夘初一刻定冬至乙酉申時
　　開皇十一年辛亥歲十一月二十八日丙午景長大衍〈丙午午初二刻〉宣明〈丙午午初三刻〉紀元〈丙午巳初二刻〉統天〈丙午未正初刻〉重修大明〈丙午巳初四刻〉授時〈丙午未初二刻〉
　　此年平冬至四十三日四時三十分一十一秒丁未寅正二刻定冬至丙午申時
　　開皇十四年甲寅歲十一月辛酉朔旦冬至
　　大衍〈壬戌夘初初刻〉宣明〈壬戌夘初二刻〉紀元〈壬戌寅初初刻〉統天〈壬戌辰初二刻〉重修大明〈壬戌寅初二刻〉授時〈壬戌辰初初刻〉
　　今推此年平冬至五十八日二十一時五十六分二十六秒壬戌亥初三刻十一分定冬至本日己午間而史記辛酉朔冬至當時厯誤推先天
　　唐太宗貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長
　　大衍〈甲申巳正一刻〉宣明〈甲申午初初刻〉紀元〈甲申辰初二刻〉統天〈甲申午正初刻〉重修大明〈甲申辰初三刻〉授時〈甲申巳正三刻〉
　　今推此年平冬至二十一日三十三分五十六秒乙酉子正二刻四分長安里差二刻平冬至已是子正初刻矣減時不啻十時定冬至當在甲申日未時而史謂乙酉景長誤
　　貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長
　　大衍〈庚戌申初二刻〉宣明〈庚戌申正一刻〉紀元〈庚戌午正三刻〉統天〈庚戌酉初一刻〉重修大明〈庚戌未初初刻〉授時〈庚戌申初三刻〉
　　今推此年平冬至四十七日五時三十七分四十一秒辛亥夘初二刻八分定冬至庚戌日酉戌之間而史謂辛亥景長亦誤
　　高宗龍朔二年壬戌十一月四日己未至戊午景長大衍〈戊午戌正初刻〉宣明〈戊午戌正二刻〉紀元〈戊午申正三刻〉統天〈戊午戌正初刻〉重修大明〈戊午酉初初刻〉授時〈戊午戌初三刻〉
　　今推此年平冬至己未巳初初刻十一分長安辰正二刻十一分此時加均減時約十小時定冬至戊午夜子時是以戊午景長當時厯推冬至己未而實測景長在戊午今推之果不爽也
　　高宗儀鳯元年丙子歲十一月壬申景長
　　大衍〈壬申夘正初刻〉宣明〈壬申夘正三刻〉紀元〈壬申丑正二刻〉統天〈壬申辰初初刻〉重修大明〈壬申丑正三刻〉授時〈壬申卯初一刻〉
　　今推此年平冬至八日一十八時三十三分五十六秒壬申酉正二刻四分定冬至辰時
　　高宗永淳元年壬午歲十一月癸夘景長
　　大衍〈癸夘酉初一刻〉宣明〈癸夘酉正初刻〉紀元〈癸夘未初二刻〉統天〈癸夘酉正一刻〉重修大明〈癸夘未初四刻〉授時〈癸夘酉初三刻〉
　　此年平冬至甲辰夘初一刻十一分定冬至癸夘酉戌之間
　　明皇開元十年壬戌歲十一月癸酉景長
　　大衍〈癸酉午初四刻〉宣明〈癸酉午正四刻〉紀元〈癸酉辰初二刻〉統天〈癸酉午初初刻〉重修大明〈癸酉辰初三刻〉授時〈癸酉午初初刻〉
　　此年平冬至癸酉亥初三刻十一分定冬至巳時
　　開元十一年癸亥十一月戊寅景長
　　大衍〈戊寅酉初三刻〉宣明〈戊寅酉正三刻〉紀元〈戊寅未初三刻〉統天〈戊寅初初三刻〉重修大明〈戊寅未初二刻〉授時〈戊寅酉初初刻〉
　　此年平冬至己夘定冬至戊寅與前間一歲可攷而知
　　開元十二年甲子歲十一月癸未冬至
　　大衍〈癸未夜子初二刻〉宣明〈甲申子正三刻〉紀元〈癸未戌初一刻〉統天〈癸未夜子初三刻〉重修大明〈癸未戌初二刻〉授時〈癸未亥正三刻〉
　　按此年僧一行陽城測景癸未最長今推此年平冬至二十九日時三十三分五十六秒甲申巳初二刻四分陽城約早一刻十分為巳初初刻九分此年距元至元丁丑五百五十二年高衝約行九度四十分以今加減表攷之加均二十分二十秒變時八時一十五分以減平時餘五十四分為甲申子正三刻九分當時小輪半徑大於今再減一時有竒則定冬至在癸未夜子刻而大衍厯推算癸未九十八刻太强此當年之實測今固可追步也
　　按大衍厯以三千零四十為通法一百一十一萬零三百四十三為策實一萬五千九百四十三為䇿餘以通法五減策餘餘七百四十三為小餘以萬分通之小餘二千四百四十四又七九弱視授時之二四二五者多一十九太强當時小餘雖大必不及此數是以自此年以前大衍推往古則先天推後來則後天〈小餘之太强由欲强合僖五年辛亥日南至故也〉
　　宋真宗景德四年丁未歲十一月戊辰日南至
　　大衍〈戊辰寅初三刻〉宣明〈戊辰夘正一刻〉紀元〈丁夘酉初三刻〉統天〈丁夘戌初一刻〉重修大明〈丁夘酉正初刻〉授時〈丁夘戌初一刻〉
　　今推此年平冬至三日二十二時三十分一秒丁夘亥正二刻宋都河南蚤八分其時高衝在冬至前約四度四十二分又有小輪半徑差通減時約四時三刻有竒定冬至葢在丁夘酉初二刻紀元近之史記戊辰日南至斗分太多誤推後天也
　　仁宗皇祐二年庚寅歲十一月三十日癸丑景長大衍〈癸丑申初二刻〉宣明〈癸丑酉正三刻〉紀元〈癸丑夘初一刻〉統天〈癸丑夘初初刻〉重修大明〈癸丑夘初一刻〉授時〈癸丑夘初三刻〉
　　今推此年平冬至四十九日八時二十六分一十六秒癸丑辰正一刻十一分定冬至寅時
　　神宗元豐六年癸亥歲十一月丙午景長
　　大衍〈丙午酉初二刻〉宣明〈丙午戌正二刻〉紀元〈丙午夘正一刻〉統天〈丙午夘正一刻〉重修大明〈丙午夘正一刻〉授時〈丙午夘正一刻〉
　　今推此年平冬至四十二日八時一十五分一秒丙午辰正一刻定冬至寅夘之間
　　元豐七年甲子歲十一月辛亥景長
　　大衍〈辛亥夜子初一刻〉宣明〈壬子丑正一刻〉紀元〈辛亥午正初刻〉統天〈辛亥午正一刻〉重修大明〈辛亥午正初刻〉授時〈辛亥午正一刻〉
　　此與前間一歲定冬至在辛亥巳時
　　哲宗元祐三年戊辰歲十一月壬申景長
　　大衍〈壬申亥正三刻〉宣明〈癸酉丑初二刻〉紀元〈壬申午初二刻〉統天〈壬申午初二刻〉重修大明〈壬申午初二刻〉授時〈壬申午初二刻〉
　　此年平冬至壬申未初一刻四分定冬至巳時
　　元祐四年己巳歲十一月丁丑景長
　　大衍〈戊寅寅正二刻〉宣明〈戊寅辰初三刻〉紀元〈丁丑酉初一刻〉統天〈丁丑酉初一刻〉重修大明〈丁丑酉初一刻〉授時〈丁丑酉初一刻〉
　　此與前間一歲定冬至丁丑申時
　　元祐五年庚午歲十一月壬午冬至
　　大衍〈癸未巳正二刻〉宣明〈癸未未初二刻〉紀元〈壬午夜子初初刻〉統天〈壬午夜子初一刻〉重修大明〈壬午夜子初一刻〉授時〈壬午夜子初初刻〉
　　此與前間一歲定冬至壬午亥時
　　元祐七年壬申歲十一月癸巳冬至
　　大衍〈癸巳亥正一刻〉宣明〈甲午丑初一刻〉紀元〈癸己巳正三刻〉統天〈癸己巳正三刻〉重修大明〈癸己巳正三刻〉授時〈癸己巳正三刻〉
　　此年平冬至癸巳午正二刻四分定冬至巳初
　　哲宗元符元年戊寅歲十一月甲子冬至
　　大衍〈乙丑巳初二刻〉宣明〈乙丑午正二刻〉紀元〈甲子亥正初刻〉統天〈甲子亥初三刻〉重修大明〈甲子亥正初刻〉授時〈甲子亥初三刻〉
　　此年平冬至甲子二十三時二十六分一十六秒夜子初一刻十分定冬至戌時
　　按授時百年長一之率年逺則所加分漸贏其所定歲餘刻下二十五分又失之太弱是以推遠年之冬至恒先天推近年之冬至恒後天
　　徽宗崇寧三年甲申歲十一月丙申冬至
　　大衍〈丙申戌正二刻〉宣明〈丙申夜子初三刻〉紀元〈丙申巳初初刻〉統天〈丙申辰正三刻〉重修大明〈丙申巳初初刻〉授時〈丙申辰正二刻〉
　　此年平冬至丙申巳正一刻四分定冬至夘辰之間
　　光宗紹熈二年辛亥歲十一月壬申冬至
　　大衍〈癸酉寅初初刻〉宣明〈癸酉夘正二刻〉紀元〈壬申未初三刻〉統天〈壬申午初一刻〉重修大明〈壬申未初三刻〉授時〈壬申午初一刻〉
　　此年平冬至壬申午正初刻都臨安遲一刻午正一刻定冬至在己末
　　寧宗慶元三年丁巳歲十一月癸夘日南至
　　大衍〈甲辰未正初刻〉宣明〈甲辰酉初三刻〉紀元〈甲辰子正三刻〉統天〈癸夘亥正一刻〉重修大明〈甲辰子正三刻〉授時〈癸夘亥正一刻〉
　　此年平冬至癸夘亥正三刻八分臨安遲一刻夜子初初刻八分定冬至亥初三刻
　　寧宗嘉泰三年癸亥歲十一月甲戌日南至
　　大衍〈丙子丑正一刻〉宣明〈丙子夘初初刻〉紀元〈乙亥午初三刻〉統天〈乙亥巳初初刻〉重修大明〈乙亥午初三刻〉授時〈乙亥巳初一刻〉
　　今推此年平冬至乙亥巳初三刻臨安巳正初刻定冬至約減五刻有竒在辰正二刻當時推甲戌厯誤也
　　寧宗嘉定五年壬申歲十一月壬戌日南至
　　大衍〈癸亥夘正初刻〉宣明〈癸亥巳初四刻〉紀元〈壬戌申正二刻〉統天〈壬戌未初二刻〉重修大明〈壬戌申正初刻〉授時〈壬戌未初二刻〉
　　此年平冬至壬戌未正初刻四分臨安遲一刻未正一刻四分定冬至午正一刻
　　理宗紹定三年庚寅歲十一月丙申日南至
　　大衍〈丁酉申初二刻〉宣明〈丁酉戌初二刻〉紀元〈丁酉丑初三刻〉統天〈丙申亥正一刻〉重修大明〈丁酉丑初三刻〉授時〈丙申亥正一刻〉
　　此年平冬至丙申亥正二刻十一分臨安亥正三刻十一分定冬至亥正初刻
　　理宗淳祐十年庚戌歲十一月辛巳日南至
　　大衍〈壬午未初初刻〉宣明〈壬午酉初初刻〉紀元〈辛巳亥正三刻〉統天〈辛巳酉正二刻〉重修大明〈辛巳亥正一刻〉授時〈辛巳酉正三刻〉
　　此年平冬至辛巳酉正三刻十一分臨安戌初初刻十一分定冬至酉正二刻
　　元世祖至元十七年庚辰歲十一月己未夜半後六刻冬至
　　大衍〈己未亥初初刻〉宣明〈庚申丑初一刻〉紀元〈己未夘初初刻〉統天〈己未丑初初刻〉重修大明〈己未夘正初刻〉授時〈己未丑初一刻〉
　　今推此年平冬至五十五日一時一十八分四十六秒己未丑初一刻四分高衝在冬至後四分有竒約減均十二秒加時約五分定冬至丑初一刻九分與當時郭太史測𥮅氣應五十五日○六百分者宻合
　　梅先生云以上自魯僖公以來冬至日名共四十七并至元辛巳有刻為四十八事授時法合者三十八不合者昭公己夘劉宋元嘉丙子大明辛丑陳太建壬辰丁酉隋開皇甲寅唐貞觀甲辰己酉宋景德丁未嘉泰癸亥共十統天厯同
　　今按四十七事日名或有不合其間有厯誤有史誤今以實法攷之合者不約而符不合者亦灼然可見非厯誤推即史誤紀雖去之千百年猶旦暮也此如以有法之度度短長有凖之權權輕重故物莫能遁若大衍諸厯歲餘或强或弱如權度未定既不可以稱量而統天之距差躔差授時之百年長一又於執秤執尺之時參以智巧之私實為無理之法其不合者固不合其幸合者亦不知其實未嘗合也近年冬至時刻可定去之遠者不能細定刻分以小輪半徑古多今少難得確率耳若其大致固可上下參攷而知當不違天甚逺孟子曰苟求其故千歲之日至可坐而致恒歲實最卑行小輪差皆其故也後之治厯者精求諸此而已若諸家立法雖不可不知要之皆已陳之芻狗不可再用者也
　　元史云自春秋獻公以來凡二千一百六十餘年用六厯推筭冬至凡四十九事大衍合者三十二不合者十七宣明合者二十六不合者二十三紀元合者三十五不合者十四統天合者三十八不合者十一大明合者三十四不合者十五授時合者三十九不合者十事按獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至授時得甲寅統天得乙夘後天一日至僖公五年正月辛亥朔旦冬至授時統天皆得辛亥與天合下至昭公二十年己夘歲正月己丑朔旦冬至授時統天皆得戊子並先一日若曲變其法以從之則獻公僖公皆不合矣以此知春秋所書昭公冬至乃日度失行之騐一也〈永按獻公之年史有參差所推甲寅朔旦冬至乃劉歆三統厯以四分之法逆推非有實測紀之信史不足為據若左氏傳二至則當時之厯誤乃欲曲法以求合合者一而違者一不悟其幸合者之非真而以其不合者諉之於日度失行此大惑也〉大衍攷古冬至謂劉宋元嘉十三年丙子歲十一月甲戌日南至大衍與皇極麟德三厯皆得癸酉各先一日乃日度失行非三厯之差今以授時攷之亦得癸酉二也〈永按今以法推正得甲戌日度何嘗失行〉大明五年辛丑歲十一月乙酉冬至諸厯皆得甲申殆亦日度之差三也〈永按此年冬至祖冲之攷之特詳正賴當年實測可騐高衝之所在與兩心差之細數雖推筭時刻未甚親亦可得其所以未親之由今以法宻筭其為乙酉甚確郭氏不悟統天之活法不足憑獻僖逺年之幸合未可據乃以祖氏當年實測指為日度失行不亦惑乎〉陳太建四年壬辰歲十一月丁夘景長大衍授時皆得丙寅是先一日太建九年丁酉歲十一月壬辰景長大衍授時皆得癸巳是後一日一失之先一失之後若合於壬辰則差於丁酉合於丁酉則差於壬辰亦日度失行之騐五也〈永按壬辰歲不誤丁酉歲則史誤也〉開皇十一年辛亥歲十一月丙午景長大衍統天授時皆得丙午與天合至開皇十四年甲寅歲十一月辛酉冬至而大衍統天授時皆得壬戌若合於辛亥則失於甲寅合於甲寅則失於辛亥其開皇十四年甲寅歲冬至亦日度失行六也〈永按甲寅歲乃厯誤〉唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長諸厯皆得甲申貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長諸厯皆得庚戌大衍厯議以永淳開元冬至推之知前二冬至乃史官依時厯以書必非候景所得所以不合今以授時攷之亦然八也〈永按此二至若非厯誤即史誤〉自前宋以來測景騐氣者凡十七事其景德丁未歲戊辰日南至統天授時皆得丁卯是先一日嘉泰癸亥甲戌日南至統天授時皆得乙亥是後一日一失之先一失之後若曲變其數以從景德則其餘十六事多後天從嘉泰則其餘十六事多先天亦日度失行之騐十也〈永按此二至皆厯誤非日度失行〉前十事皆授時所不合以此理推之非不合矣葢類其同則知其中辨其異則知其變今於冬至畧其日度失行及史官依時厯書之者凡十事則授時三十九事皆中〈永按日為七政之主萬化之宗必無失行之理其兩心差之有改變亦必有恒率非失行也郭氏於十事中以八事為日度失行其說原於僧一行亦近誣矣其三十九事自以為中未必果皆中也中其日矣未必中其時刻除至元庚辰歲宻合天外推近歲之冬至時刻恒後天推逺歲之冬至時刻恒先天其故甚微非以權度細推其誰覺之〉以前代諸厯校之授時為宻庶幾千歲之日至可坐而致云〈永按授時固宻而有未宻者存郭氏不能知也不謂人誤而曰天誤此非常之差謬載之史冊徒為後人作笑資耳〉
　　附測景餘論
　　〈勿菴先生揆日𠉀星紀要論測景法甚詳尚有三事當論永為補之〉
　　一曰表端之景虛淡分釐難得真數當倣郭太史用景符之法取表端橫梁中景為的
　　郭氏用四丈長表頗不易制四方行測損其制度一丈亦可矣而表端為太陽上邊之景雖以太陽半徑減之可得中景而猶患其虛淡難真宜倣郭法長丈者只作九尺端為兩岐〈代二龍〉以持橫梁合之長一丈以薄銅葉為景符鑽小竅以達日光順其斜倚之勢游移前却於虛景之中取橫梁之景於圭面則所得者為中景而分數亦真
　　一曰太陽離天頂稍逺則地面與地心有南北差太陽恒降而下當檢氣差表求太陽視緯高弧加於本緯
　　一曰極高多度之方冬至太陽近地平有青𫎇氣差能升太陽使高景為之稍短此𫎇氣差難筭宜以夏至之景參校〈夏至近天頂無𫎇氣而降下之南北差亦甚微〉求黃赤北緯以知南緯〈黃赤間緯度分古多今少〉以本方冬至氣差加於南緯以冬至景長推算高弧可得𫎇氣差○後二事景差之最微者試以元史證之
　　元史授時厯議云今京師長表〈四丈〉冬至之景七丈九尺八寸有竒夏至之景一丈一尺七寸有竒〈寸下之分不著者每歲二至加時不等故也〉
　　按京師觀象臺北極出地三十九度五十五分今所測定者也今時黃赤距緯二十三度半稍弱元時距緯則不止二十三度半姑以二十三度半計之加於極高以減象限其餘二十六度三十五分為冬至高弧檢二十六度三十五分之餘切線一九九八四一以四乗之〈表四丈故〉已有七丈九尺九寸有竒之景再加距緯之大與太陽南北差則景當更長而當時所測定者七丈九尺八寸有竒以餘切求高弧為二十六度三十七分減太陽下二分以減赤道高五十度五分若只二十三度三十分者豈非𫎇氣升卑為高乎　再以夏至攷之景長一丈一尺七寸有竒以四歸之二九三有竒則七十三度四十分之餘切以赤道高弧五十度○五分減之北緯有二十三度三十五分豈非近天頂無𫎇氣差而太陽降下之數又微故見其本緯之景乎○再以北緯二十三度三十五分減赤道高為高弧二十六度三十分又約減太陽降下二分則冬至高弧宜二十六度二十八分而景長之高弧二十六度三十七分是𫎇氣升太陽九分也郭太史時八線之筭法未備太陽南北差近地𫎇氣差機竅未啟但能紀其表景尺寸不能詳其冬至二至所得黃赤距度有微差今則一一可攷而知







　　數學卷四