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 卷三十三 新元史
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曆一 治曆本末

治曆本末编辑

自《三統術》以後七十餘家,至郭守敬之《授時》,測驗愈精,析理愈微,立數俞簡信,可謂度越前古者矣。然曰月星辰之高遠,而以一人之智力窮之,欲其事事物合,永無差忒,此必不可得之數也。明之《大統》,實本《授時》,至成化以後,交食已往往不驗。

皇朝宣城梅文鼎、婺源江水,皆深通數理。其生時《授時》疏舛凡數事:一曰增損歲餘、歲差。一歲小餘,古強今弱,一由日輪徑差,一由最卑動移。《授時》考古,則增歲餘而損歲差;推來,則增歲差而損歲餘。乃末得其根,而以法遷就之。似密實疏,不足為法。一曰歲實消長。天行盈縮,進退以漸,無驟增、驟減之理。《授時》百年消長一分,是百年之內皆無所差,逾一年則驟增減一分,又積百年則平差一分,逾一年又驟增減一分,無此推算之法。一曰二十四氣用恆氣。當時高衝與冬至同度,最高與夏至同度,冬至為盈初,夏至為縮初,以為盈縮之常限如此。故以兩冬至相距之日,均為二十四氣,謂合於天之平分數也。設如五十餘年之後,高卑兩點各東移一度,則平冬至與定冬至不相值,及其極也,平冬至與定冬至相差兩日,猶能以兩定冬至相距之日,均為二十四氣乎?且其求冬至也,自丙子年立冬後。依每日測景取對冬至前後日差同者為準,得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻,又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十三刻,己卯冬至在戊申日夜半後五十七刻,庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻,辛已冬至在己末日夜半後六刻。其求歲餘也,自宋大明以來得冬至時刻真數者有六,用以相距,各得其時,合用歲餘,考驗四年相符不差,仍自大明壬寅年距今八百一十九年,每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分,減大明術一十二秒,其二十五分為今律歲餘合用之數。以此二事考之,則《授時》當年所定之歲實,已有微差。稽之於史,又多牴牾。夫一歲小餘二十四刻二十五分,積之四歲王得九十七刻。丁丑冬至在戊戌日夜半後八刻,則辛巳冬至宜在己未夜半後五刻,不應有六刻也。如以辛巳之六刻為是,則丁丑之冬至宜在九刻,不應為八刻半也。此四年既皆實測所得,則已多半刻矣。而云相符不差,何也?又考大明五年十一月三日乙酉夜半後三十二刻七十分辰初三刻冬至。大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年,以《授時》歲實積之,凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分,以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻,凡二十九萬九千一百三十三日九十二刻,較多三十三刻。而云自大明壬寅距今每歲合得此數,何也?又云減大明術一十一秒。考大明術紀法與周天一歲小餘二十四刻二十八分一十四秒。《授時》減去三分一十四秒,非一十一秒也。又古時太陽本輪、均輪半徑之差,大於今日,則加減均數亦大。而冬至歲實宜更增矣。至元辛巳間高衝約與冬至同度,則歲實尤大,其小餘刻下之分約有三十分。而《授時》定為二十五分,宜其自丁丑至於辛巳四年之間,即有年刻之差,而守敬未之覺也。

凡此數事,皆足訂《授時》之誤。今撮大要著於篇,以備治曆者之參考焉。

至《授時》用平方、立方以求盈縮遲疾差,猶開方之舊術,用天元一御弧矢起數於圍三徑一,亦失之疏。若以弦矢求弧背,前後失均,象限以內差而多,象限以外差而少,此又不能為前人諱者也。

《曆經》、《曆議》,皆守敬所撰。世祖招李謙為《曆議》,潤色其書而已,謙不能作也。札馬魯丁之《萬年曆》,實即明人所用之回回曆,《明史》詳矣,不具論。

蒙古初無曆法。太祖十五年,駐蹕撒馬爾干城,回鶻人奏五月望月蝕。中書令耶律楚材以《大明曆》推之,太陰當虧二分,食甚在子正,乃未盡初更而月已蝕。是年二月、五月朔,微月見於西南。楚材以舊曆不驗,遂別造《庚午元曆》。據《大明曆》減周天七十三秒,歲差亦減七十三秒。以中元庚午歲,國兵南伐,天下略定,推上元庚午歲天正十一月壬戌朔子王冬至,為太祖受命之符。又以西域、中原地逾萬里,依唐僧一行裏差之說,以增損之。東西測侯,不復差式。乃表上於行在曰:「漢、唐以來,經元創法不啻百家,其氣候之早晏,朔望之疾徐,二曜之盈衰,五星之起伏,疏密無定,先後不同。蓋都邑之各殊,或曆年之漸遠,不得不差也。唐曆八徒,宋曆九更,金《大明曆》百年才經一改。此去中原萬里,以昔程今,昔密今疏,東微西著。今二月、五月朔,微月見於西南,較之於曆,悉為先天。」自漢、唐以來曆算之書備矣。俱無此說。是年正月、四月雖皆為小盡,然亦未有朔日見月者也。是時,太祖方用兵西域,其書不果頒用。

楚材嘗言,西域曆五星密於中國,又作《麻荅曆》,今不傳。楚材父履在金末作《乙未元曆》,楚才益本其文之書,更名為《庚午元曆》云。

至世祖至元四年,西域人札馬魯丁用回回法撰《萬年曆》,帝稍採用之。其法為默特納國王馬哈麻所造曆,元起西域阿刺必年,即隨開皇己未,不置閏月,以三百六十五日為一歲。歲十二宮,宮有閏日,凡百二十八年宮閏三十一日,以三百五十四日為一周,周十二月,月有閏日,凡三十年月閏十一日。曆千九百四十一年,宮月日辰再會。此其立法之大概也。

十三年,世祖平宋,詔前中書左丞許衡、太子贊善王恂、工部郎中郭守敬,立局改治新曆。先是,太保劉秉忠以《大明曆》遼、金承用歲久,浸以後天,議修正之。已而秉忠卒,事遂寢。至是,世祖思用其言,遂命詢與守敬率南北日官陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨源、王素、嶽鉉、高敬等,分掌測驗、推步,以衡能推明曆理,俾參預之。

守敬首言:「曆之本在於測驗,而測驗之器莫先儀表。今司天渾儀,宋皇佑中汴京所造,不與此處天度相符,比量南北二極,約差四度。表百年深,亦復欹側不可用。」乃盡考其失,而移置之。既又別圖爽塏,以木為重棚,創作簡儀、高表,用相比覆。又以為天樞附極而動,昔人嘗展管望之,末得其的,作候極儀。極辰既位,天體斯正,作渾天象。象雖形似,莫適所用,作玲瓏儀。以表之測天之正圓,莫若以圓求圓,作仰儀。古有經緯,結而不動,守敬則易之,作立運儀。日有中道,月有九行,守敬則一之,作証理儀。表高景虛,罔象非真,作景符。月雖有明,察景則難,作窺幾。曆法之驗,在於交會,作日月食儀。天有赤道,輪以當之,兩極低昂,標以指之,作星晷定時儀。以上凡十三等。又作正方案、九表、懸正儀、座正儀,凡四等,為四方行測者所用。又作仰規、覆矩圖、異方、渾蓋圖、日出入永短圖,凡五等,與上諸儀互相參考。

十六年,改局為太史院,以贊善王恂為太史令,守敬為同知太史院事,給印章,立官府。是年,奏進儀表式樣,守敬對御指陳理致,一一周悉。自朝至於日晏,上不為倦。

守敬奏:唐一行開元間令天下測景,書中見者凡十三處。今疆宇比唐尤大,苦不遠方測驗,日月交食分數時刻不同,晝夜長短不同,日月星辰去天高下不同;可先南北立表,取直測景。上可其奏。遂設監候官一十四員,分道相繼而出。

先測得:南海:北極出地一十五度。夏至景在表南長一尺一寸六分,晝五十四刻,夜四十六刻。衡嶽:北極出地二十五度。夏至日在表端無景,晝五十六刻,夜四十四刻。嶽臺:北極出地三十五度,夏至景長一尺四寸八分,晝六十刻,夜四十刻。和林:北極出地四十五度,夏至景長三尺二寸四分,晝六十四刻,夜三十六刻。鐵勒:北極出地五十五度,夏至景長五尺一分,晝七十刻,夜三十刻。北海:北極出地六十五度,二至景長六尺七寸八分,晝八十二刻,夜一十八刻。繼又測得:上都:北極出地四十三度少。大部:北極出地四十二度強,夏至晷景長一丈二尺三寸六分,晝六十二刻,夜三十二刻。益部:北極出地三十七度少。登州:北極出地三十八度少。高麗:北極出地三十八度少。西京:北極出地四十度少。太原:北極出地三十八度少。安西府:北極出地三十四度半強。興元:北極出地三十三度半強。成都:北極出地三十一度半強。西涼州:北極出地四十度強。東平:北極出地三十五度太強。大名:北極出地三十六度。南京:北極出地三十四度太強。陽城:北極出地三十四度太。揚州:北極出地三十三度。鄂州:北極出地三十一度半。吉州:北極出地二十六度半。雷州:北極出地二十度太。瓊州:北極出地十九度太。

十七年,新曆告成。守敬上奏曰: 臣等竊聞帝王之事,莫重於曆。自黃帝迎日推策,帝堯以閏月定四時成歲,舜在璇璣玉衡以齊七政。爰及三代,曆無定法,周秦之間,閏餘乖次。西漢造《三統曆》,百三十年而後是非始定。東漢造《四分曆》,七十餘年而儀式備。叉百二十一年,劉洪造《乾象曆》,始悟月行有遲速。又百八十年,姜岌造《三紀甲子曆》,始悟以月食衝檢日宿度所在。又五十七年,何承天造《元嘉曆》,始悟以朔望及弦定大小餘。又六十五年,祖衝之造《大明曆》,始悟太陽有歲差之數,極星去不動處一度餘。又五十二年,張子信始悟日月交道有表裏,五星有遲疾留逆。又三十三年,劉焯造《皇極曆》,始悟日行有盈縮。又三十五年,傅仁均造《戊寅元曆》,頗採舊儀,始用定朔。又四十六年,李淳風造《麟德曆》,以古曆章對首分度不齊,始為總法,用迸朔以避晦晨月見。又六十三年,僧一行造《大衍曆》,始以朔有四大三小,定九服交食之異。又九十四年,徐昂造《宣明曆》,始悟日食有氣刻時三差。又二百三十六年,姚舜輔造《紀元曆》,始悟食甚泛餘差數。以上計千一百八十二年,曆經七十,改其創法者十有三家。

自是又百七十四年,欽惟聖朝統一六合,肇造區夏,專命臣等改治新曆。臣等用創造簡儀、高表,憑其測到實數所考正者凡七事:一曰冬至。自丙子年立冬後,依每日測到晷景,逐日取對,冬至前後日差同者為準,得丁丑年冬至在戌日夜半後八刻半。又定丁丑夏至,得在庚子日夜半後七十刻。又定戊寅冬至,在癸卯日夜半後三十三刻;己卯冬至、在戊申日夜半後五十七刻半;庚辰冬至,在癸丑日夜半後八十一刻半。各減大明曆十八刻,遠近陽符,前後應準。二曰歲餘。自劉宋《大明曆》以來,凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六,用以陽距,各得其時合用歲餘。今考驗四年,相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年,每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分為今曆歲餘合用之數。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔,得冬至日躔赤道箕宿十度,黃道箕九度有畸。仍憑每日測到太陽躔度,或憑星測月,或憑月測日,或徑憑星度測日,立術推算。起自丁丑正月,至己卯十二月,凡三年,共得一百三十四事,皆躔於箕,與月食相符。四曰月離。自丁丑以來至今,憑每日測得逐時太陰行度推算變,從黃道求入轉極疾並平行處,前後凡十三轉。計五十一事,內除去不真的外,有三十事。得大明曆入轉後天,又因考驗交食加大明曆三十刻,與天道合。五曰入交。自丁丑五月以來,憑每日測到太陰去極度數,比擬黃道去極度,得月道交於黃道,共得八事。仍依日食法度推求,皆有食分得入時刻,與大明所差不多。六曰二十八宿距度。自漢代初曆以來,距度不同,互有損益。大明曆則於度下餘分附以太半少,皆私意牽就,未嘗實測其數,今新儀皆細刻周天度分,每度為三十六分,以距線代管窺宿度餘分,並依實測,不以私意牽就。七曰日出入晝夜刻。《大明曆》日出入晝夜刻,皆據汁京為準,其刻數與大都不同。今更以本方北極出地高下、黃道出入內外度,立術推求每日日出入晝夜刻,得夏至極長,日出寅正二刻,日入戌初二刻,晝六十二刻,夜三十八刻,冬至極短,日出辰初二刻,日入申正二刻,晝三十八刻,夜六十二刻;永為定式。

所創法凡五事:一曰太陽盈縮。用四正定氣立為升降艱,立招差求得每日行分初末極差積度,比古為密。二曰月行遲疾。古曆皆用二十八限,今以萬分日之八百二十分為一限,凡析為三百三十六限,依垛疊招差,求得轉分進退,其遲疾度數逐時不用,蓋前所未有。三曰黃赤道差。舊法以一百一度相減相乘。今依算術勾股弧矢方圓斜直所容,求到度率積差差率,與天道實為吻合。四曰黃赤道內外度。據累年實測內外極度二十三度九十分,以圓容方直矢接勾股為法求每日去極,與所測相符。五曰白道交周。舊法黃道變推白道,以斜求斜。今用立渾比量,得用與赤道正交,距春秋二正黃赤道正交一十四度六十六分,擬以為法。推逐月每交二十八宿度分,於理為盡。

詔賜名曰授時曆。十八年,頒新曆於天下。

十九年,守敬以推步之式與立成之數皆無定稿,乃著《推步》七卷、《立成》二卷、《曆議擬稿》三卷、《轉神選擇》二卷、《上中下三曆注式》十二卷,表上之。二十年,又詔太子諭德李謙就守敬之《曆議稿》重加修訂,以闡新曆順天求合之理。

大德三年八月朔,時加巳依新曆日食二分有奇,至其時不應,臺官皆懼。保章正齊履謙曰:「日當食不食,古有之。況時近午,陽盛陰微,宜當食不食。」遂考唐開元以來當食不食者凡十事以聞。六年六月朔,時加戌依新曆日食五十七秒,眾以涉交既淺,且近濁,欲匿不報。履謙曰:「吾所掌者常數也。其食與否,則系於天。」獨以狀聞。及其時,果食。蓋高遠難窮之事,必積時累驗,乃見端倪。《授時曆》推日食之法,較前之十三家最密矣,然尚不能無數刻之差。故元之一代,日食四十有五,推食而不食者一,食而失推者一,夜食而誤晝者一。履謙謂:食與否系於天,足猶泥前人當食不食,不當食而食之謬說,誣莫甚矣。

泰定間,履謙為太史院使,以《授時曆》行五十年未嘗推考,乃日測晷景並晨昏五星宿度,自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加時真數,各減見行曆書二刻,撰《二至晷景考》二卷。《授時》雖有經串,而經以著定法,串以紀成數;求共法之所以然,數之所從出,則略而不詳;作《經串演說》八卷,以發明其蘊焉。

時鄱陽人趙友欽推演《授時》之理,著《革象新書》五卷,號為新曆之學。

其《曆法改革篇》曰:「曆法由古及今,六十餘術矣。漢太初粗為可取,然猶疏略未密。唐一行作大衍術,當時以為密矣,以今觀之,猶自甚疏。蓋歲淺則差少未覺,久而積差漸多,不容不改,要當隨時測驗,以求真數。

其《日道歲差篇》曰:「統天術謂周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒,周歲三百六十五日二十四分二十五秒,百年差一度半,然又謂周歲漸漸不同,上古歲策多,後世歲策少,如此則上古歲差少,後世歲差多。當今術法謜之,立減加歲策之法,上考往古,百年加一秒,下驗將來,百年減一秒。」

其《黃道損益篇》曰:「二至之日,黃道平其度,斂狹每度約得十之九二分,斜行赤道之交。今之授時術步得冬至日躔箕宿。以此知寅申度數最少,己亥度數最多,其餘則多寡稍近。

其《積年日法篇》曰:「前代造術者,逆求往古門上元,求其積年總會,是以必立日法。然有所謂截元術,但將推步定數為順算逆考,不求其齊。當今授時術採舊術截元之術,凡積年日法皆所不取。

其《日月盈縮筒》曰:「月行十三度餘十九之七,然或先期,或後期,有差至四五度者,後漢劉洪始考究之,知月有盈縮。隋之劉焯始覺太陽亦有盈縮,最多之時在於春秋二分,均差兩度有餘。李淳風有推步月孛法,謂六十二日行七度,六十二年七周天。所謂孛者,乃彗星之一種光芒,偏槊者則謂之彗,光芒四出如渾圓者乃謂之孛。然孛以月為名者,孛之所在,太陰所行最遲,太陰在孛星對衝處則所行最疾。孛星不常見,止以太陰所行最遲處測之。

其《月有九道篇》曰:「月行出入黃道之內外,遠於黃道處六度二分。月道與黃道相交處在二交之始,名曰羅喉,交之中,名曰計都。自交初至於交中,月在黃道外,名曰陽限。自交中至於交出,月在黃道內,名曰陰限。所謂九行者,當以畫圖比之。四圖各兩黃道,似一圓環,俱於環南定為夏至。環北定為冬至,環西定為春分,環東定為秋分。將一圖畫為青追,與黃道交於南北,南交為羅,北交為計。其青道二邊入在黃道西之東,是內青道;一邊出在黃道東之東,是外青道。又將一圖畫白道,亦與黃道交於南北,南交為計,北交為羅。其白道一邊入在黃道東之西,是內白道;一邊出在黃道西之西,是外白道。又將一圖畫朱道,與黃道交於東西,東交為計,西交為羅。其朱道一邊入黃道之南,是內朱道,一邊出在黃道南之南,是外朱道。又將一圖畫黑道,亦與黃道交於東西,東交為羅,西交為計。其黑道一邊入在黃道南之北,是內黑道;一邊出在黃道北之北,是外黑道。此雖畫四圖,然四圖之八道止是一道也。本八道而曰九行者,以北道之行,交於黃道,故道以九言也。八道常變易,不可置於渾儀上,亦不得畫於星圖。所可具者黃、赤二道耳。欲別於黃,故塗以赤。赤道近八道皆相交遠近。朱道止十八度遠,黑道至三十度遠,青白二道約二十四度遠。」

其《地域遠近篇》曰:「古者立八尺之表,以驗四時日景。地中夏至,景在表北一尺六寸,冬至,景在表北一丈三尺。南至交廣,北至鐵勒等處驗之,俱各不同。表高八尺,似失之短。至元以來,表長四丈,誠萬古之定法也。所謂土圭者,自古有之。然地上天多早晚,太陽與人相近,則景移必疾;日午與人相遠,則景移必遲。世間土圭均畫而已,豈免午侵己未,而早晚時刻俱差。地中差已如是,若以八方偏地驗之,土圭之不可準尤為顯。然偏東者,早景疾,而晚景遲,午景先至;偏西者,早景遲,而晚景疾,午景後期;偏北者,少其畫,而景遲;偏南者,多其畫,而景疾。若南越短,景南指,而子午反復,則又訛逆甚矣。」其《日月薄食篇》曰:「日之圓,體大,月之圓,體小。日道之周圍亦大,月道之周圍亦小。日道距天較近,月道距天較遠。日月之體與所行之道,雖有少廣之差,然月與人相近,日與人相遠。故月體因近視而可比日道之廣,日食、月食當以天度經緯而推。同經不同緯,止曰合朔。同經同緯合朔,而有食矣。人望日體,見為月之黑體所障,故云日食。然日體未嘗有損,所謂食者,強名而已。日月對躔,而望若不當二交前後,則不食。望在二交前後,則必食。或既或不既,當以距交遠近而推。日月之圓徑相倍。日徑一度,月徑止得日徑之半,然在於近視,亦準一度。是猶省秤出於復秤,斤兩雖同,其實則有輕重之異。日之圓徑倍於月,則暗虛之圓徑亦倍於月。月既準一度,則暗虛廣二度矣。月食分數止以距交近遠而論,別無四時加試。八方所見食分並同。日食則不然,舊曆云:假令中國食既戴,日之下所虧才半,化外反觀,則交而不食。何以言之?日月如大小二球,共懸一索。日上、月下,相去稍遠,人在其下正望之,黑球遮盡赤球,比若食既。若傍視,則分遠近之差,即食數有多寡也。」

其《五緯距合篇》曰:「古者止知五緯距度,未知有變數之加減。北齊張子信仰觀歲久,始知五緯又有盈縮之變,當加減常數以求其逐日之躔。所以然者,蓋五緯不由黃道,亦不由月之九道。乃出入黃道內外,各自有其道。視太陽遠近而遲疾者,如足力之勤倦又有變數之加減者。比如道里之徑直斜曲。其《勾股測天篇》曰:「古人測景,千里一寸之差,猶未親切。今別定表之制度,並述元有算法。就地中各去南北數百里,仍不偏於東西,俱立一表,約高四丈。於表首下數寸作一方竅,外廣而內狹,當中薄如連邊,兩旁如側置漏底之碗,形圓而竅方。以南北表景之數相減餘,名景差。兩表相距里路,各乘南北表景,各如景差而一即得。二表各與戴日之地相距數日,平遠各以表景加之,所得各以表高乘之,各如表景而一即得。日輪頂與戴日地相距數,以南北表景各加平遠所得自乘,名勾冪。日高自乘,名股冪。兩冪相並,名弦冪。開為平方,名曰日遠。乃南北表竅之景距日斜遠也。

其《乾象周髀篇》曰:「古人謂圓徑一尺,周圍三尺。後世考究則不然。圓一而周三,則尚有餘;圍三而徑一,則為不足。蓋圍三徑一,是六角之用也。或謂圓徑一尺,周圍三尺一寸四分;或謂圓徑七尺,周圍二十二尺;或謂圓徑一百一十三,周圍三百五十五。徑一而周三一四,猶自徑多圍少;徑七而周二十二,卻是徑少周多;徑一百一十三,周三百五十五,最為精密。其考究之術,兩百眼茶盤一,眼廣一寸,方圖之內,畫為圓圖,徑十寸,圓內又畫小方圖。小方以算術展為圓象,自四角之方,添為八角曲圓為第一次。若第二次,則為曲十六。第三次為,則曲三十二。第四次則為曲六十四。凡多一交,其曲必倍。至十二次,則其為曲一萬六千三百八十四。其初之小方,漸加漸展,漸滿漸實,角放愈多,而其為方者不復方,而變為圓矣。今先以第一次言之,內方之弦十寸,名大弦,自乘得一百寸,名大弦冪,內方之勾冪五十寸,名第一次大勾冪。以第一次大勾冪,減其大弦冪,餘五十寸,名大股冪,開方得七寸七釐一毫有奇,名第一次大股。以第一次大股減其大弦,餘二寸九分二釐八毫有奇,名第一較,折半得一寸四分六釐四毫有奇,名第一次小勾。此小勾之數。乃內方之四邊與圓圍最相遠處也。以第一次小勾自乘,得二寸一分四釐四毫有奇,名第一次小勾冪。以第一次大勾冪,折半得二十五寸。又折半得十二寸五分,名第一次小股冪,並第一次小勾冪,得一十四寸六分四百四毫有奇,名第一次小弦冪,開方得三寸八分二釐六毫有奇,名第一次小弦,即是八曲之一。八乘第一次小弦,行三十寸六分一釐有奇,即是八曲之周圍也。此以小數求之,不若改為大數,將大弦改為一千寸,然後依法而求。若求第二次者,以第一次小弦冪,就名第二次大勾冪。以第一次大股冪減其大弦冪餘,為第二次大股冪。開方為第二次大股,以減其大弦餘為第二較,折半名二次小勾。此小勾之數,即是八曲之邊,與圓圍最相遠處也。以第二次小勾自乘,名第二次小勾冪。以第二次大勾冪兩折,名第二次小股冪。以第二次小股冪並第二次小勾冪,名第二次小弦冪,開方為第二次小弦,即是十六曲之一。以十六乘第二小弦即是十六曲之周圍也。以第二次仿第一次,若至十二次,亦遞次相仿。置第十二次之小弦,以第十二次之曲數一萬六千三百八十四乘之,得三千一百四十一寸五分九釐二毫有奇,即是千寸徑之周圍也。以一百一十三乘之,果得三百五十五。故言其法精密。要之方為數之始,圓為數之終。圓始於方,方終於圓。周髀之術,無出於此矣。

友欽闡明曆理,於授時術尤為深得,傳其學於龍遊人朱暉。有元一代,不為曆官,而知曆者,友欽一人而已。

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  这部作品在1924年1月1日以前出版,其作者1933年逝世,在美國以及版權期限是作者終身加80年以下的國家以及地区,屬於公有領域

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