欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第113卷

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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百十三卷目錄

 算法部彙考五

  算法統宗一序目 算義總 算義總一

曆法典第一百十三卷

算法部彙考五编辑

《算法統宗一》
明程大位著
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序目编辑

夫算非小技也,有熊氏命隸首創焉。周官則置保氏, 教國子以六藝,而數居其一。惟是數,以俟夫算,算以 成夫數,固二而一者也。藉令算為小技,何古先哲王 用意勤篤如是哉。迺今隸首遠矣,保氏之職廢,精其 理者代不數人。程汝思氏悵然有恫於衷,爰輯《算法 統宗》若干卷。汝思少游吳楚,歷大澤名山,老憩丘園。 舉平生師友之所講,求咨詢之所獨得者,提綱挈要, 縷析支分,著是編而迪來學儻。其中有前賢未及者, 而汝思悉為闡明之。汝思謂余曰:大位悅孫武子兵 家言而感其通於事理也。曰:多算勝,少算不勝。而況 於無算乎。迄今疇為隸首,而吾幾其徒耶。疇為保氏, 而吾幾其副耶。匪汝思自任所事,思之自得者耳。汝 思之書,具在一寓目,而千古所謂方田以下,旁要以 上,九數云者,靡不了了於胸臆間。始知汝思之稱說 不迂矣。余謂汝思不佞於此道,未見一斑。第嘗讀漢 記至安定嵩真,元元理,一能自算其年壽,一能為 友人算囷米,舉所食著十餘轉不差,圭合其術。後相 授受,得其分數而失元妙焉。不佞未嘗不欣慕而抱 願見之思。今觀汝思,駸駸乎跂,元妙之歸,無讓嵩真 元理,當吾世而獲覯其人,一何快哉。吳繼綬著。

算義總编辑

總說           河圖         洛書伏羲則圖作易四圖   洛書釋數

九宮八卦圖        洛書易換數黃鐘萬事根本圖      先賢格言算法提綱         九章名義算學節要         乘除用字釋用字凡例         數附暗馬式    大數  小數度 量 衡 畝      諸物輕重數錢鈔名數         定算盤位次實左法右論九九八十一        九九合數九歸歌          因乘論九歸論          商除論加法論          減法論約分法論         通分法論異乘同除論        異乘同乘論異除同除論        開平方法論開立方法論        倍法論折半法論         定位總歌凡三直指定位訣        定法實訣歸除法實凡四總訣

初學盤式圖        九因八問九歸九問       乘法八問

歸除歌一十問     撞歸法 起一還原法加法四問       減法三問

商除二問       約分四問

乘分一問       課分一問

通分七問       差分七問

異乘同除一圖五問   同乘異除一問異乘同乘一問     異除同除一問同乘同除一問     傾煎論色六問

方田章第一

丈量田地總歌凡二   丈量步車圖併製釋

方圓定則九圖        各種田形圖凡七十一二十八問

方圍方束圖解       田畝演段根源圖解方圓論說附圖     方圓環總圖說帶分母用約分法六問  休邑科則凡二畝法論          古今折步粟布章第二

粟布諸數率數八問   官糧帶耗三問盤量倉窖一十六問

各處鹽場散堆量算引法一問

衡法二十四問     煉鎔銅鐵礦三問度法九問       就物抽分三問

衰分章第三

合率差分十問     四六差分五問二八差分三問     三七差分四問折半差分三問     遞減挨次差分十問

帶分母子差分四問   互和減半差分八問匿價差分四問     貴賤差分三問仙人換影六問     物不知總三問

少廣章第四

開平方法         開平求廉率作法本源圖方廉隅圖五問     一方四廉兩隅演段圖一問歸除開平方二問    歸除平方帶縱一問帶縱開平方四問    長闊相和一問長闊相差一問     平圓三問

開平方通分法二問   方圓三稜圖三圖七問演段根源開方解附圖  帶縱平方圖一問長闊相差求和圖二問  減縱開方圖一問減縱GJfont積圖        方圓求徑圖一問減積帶縱開平方又名鎖方一問 附圖大小三方總一圖一問  開立方法四問立圓法二問      歸除開立方法二問開立方帶縱法三問   三乘方法一問開立方廉隅圖一問   求米倉窖盛貯九問分田截積法十一圖十五問圭田截積法四圖四問梯田截積法二圖二問  環田截積法二圖二問圓田截積法一圖二問  弧矢法三圖三問

商功章第五

堅河渠濠四問     築臺五問

築牆五問       築方錐三問築方圓臺三問     築堤一問

開渠一問附雜問七   堆垛九問

挑土計方一問     量木梱三問

均輸章第六

問答凡二十七

盈朒章第七

盈不足六問      兩盈兩不足四問盈適足不足適足六問  取錢買物法三歌五問

方程章第八

二色歌二問      三色歌五問四色歌二問

句股章第九

句股名義一十三    句股論說釋義求弦求股求句容方容圓等圖二十九問求高求遠法四圖七問  難題附亦分列九章

算義總一编辑

總說

數何肇,其肇自圖書乎。伏羲得之以畫卦,大禹得之 以序疇,列聖得之以開物成務。凡天官地員,律曆兵 賦,以及纖悉秒忽,莫不有數,則莫不本於易範。故今 推明直指算法,輒揭《河圖》、《洛書》於首,見數有原本云。

河圖

河圖

《河圖》者,伏羲氏王天下,龍馬負圖出河,遂則其文,以 畫八卦。

《河圖》以相生為序,故右行自北,而東而南,而中而西,復始於北。

天數一三五七九積二十五

地數二四六八十積三十

共積五十五數此所以成變化而行。

求積法曰置天一,地十併得十一,以十乘之得一百 一十,折半得五十五為天地之數也。

洛書

洛書

《洛書》者,禹治水時,神龜負文列於背,有數至九,禹遂 因而第之,以成九疇。

《洛書》以相克為序,故右轉自北,而西而南,而東而中,復始於北。

蓋取龜象,故其數戴九,履一左三右七。二四為肩,六 八為足。

洛書易換數

洛書易換數

洛書釋數

洛書釋數

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求積法曰:併上下數,一九共十,以九乘之,得九十,折 半得積四十五,為實。以三行為法,除之,得縱橫斜角 皆十五數也。

黃鐘萬事根本圖

黃鐘萬事根本圖

先賢格言改調西江月

智慧童蒙易曉,愚頑皓首難聞。世間六藝任紛紛,算 乃人之根本。知書不知算法,如臨暗室昏昏。謾同高 手細評論,數徹無縈方寸。

算法提綱習學之法

一要先熟讀九歌,二要誦歸除歌法,三要知加減定 位,四要知度量衡畝,五要知諸分母子,六要知長闊 堆積,七要知盈朒互隱,八要知正負行例,九要知句 股弦數,十要知開方各色。

九章名義

數學從來有九歸,方田粟布易推詳。衰分辨別貴和 賤,少廣開除圓與方。商度功稅術最妙,均平輸運法 最良。盈朒得互須列位,方圓正負要排行。若算高深 併廣遠,好將句股細思量。

一曰方田以御田疇界域二曰粟布以御交質變易 三曰衰分以御貴賤廩稅四曰少廣以御積冪方圓 五曰商功以御功程積實六曰均輸以御遠近勞費 七曰盈朒以御隱雜互見八曰方程以御雜據正負 九曰句股以御高深廣遠

算學節要

學算之人須努力,先將九數時時習。呼如下位算為 先,變其身數呼求十。觀其法門果何如,仔細斟量分 法實。若然法實既能知,次求定位是為急。再考九歸 及歸除,又將減法細尋繹。有能致意用工夫,算學雖 深可盡識。

乘除用字釋

以者,用也。置者,列也。為者,數未定也。得者,數已成也。 呼者,呼喚其數也。命者,言也。首者,第一位也。尾者,末 位也。身者,本位也。率者,齊數也。實者,所問之物也。法 者,所求之價也。乘之者,九字相生之數也。除之者,謂 九歸歸除商除之類。

用字凡例

樣數也           實本數也           因法之單位者又由也 歸入己之數也增添也           減除少也           乘法之多位者    歸先歸後除合名也減少也           積乘成之數也         乘法實合變數也   如九數用此下一位也本位也           則法也            左上邊大位也    右下邊小位也直長也           橫                廣俱闊也      闊橫廣也長也            面方面也           高立起也      深陷下也加上本數也         併二數相合也         截割斷也      分撥開也初數也           差多少不同數也        通合同其數     變改換其數量度也           中算盤之中          進移上前一位    逢遇有數而言逢脊梁之上又位之左      下脊梁之下又位之右      挨隋身變數也    退移下後一位闊也            股長也            斜兩隅相去又不正也 弦句股斜曰弦弧矢亦 有弦              隅曲角也           長直也 周外圍也相減餘也          廉方直也           方四面同數     徑周中之弦盤中橫梁隔木        列位各置位次         折半減去一半    還原復舊數也 商除心與意商量而除之     相乘長闊銀貨等類       自乘法實數自相乘 再乘自乘之而又乘       遍乘先以一法遍乘諸數     商總合用商開之法 於盤中             開方即自乘還原也       開立即自乘再乘之還原也 中實即商總也         併率如一二三四五併得十五數也 得令斤兩貫箇石等 類也              得術乃法首位每下該得之名   互乘如四處數目顛 倒相乘             相較如二數以少減多餘曰較   合得算數定奪 若干一為數始十為數終未算難定 幾何與若干相同

附暗馬式

〔參考頁面〕

右大圈,九字配合,相生而成,法也。大圈之下,小圈乃暗子馬數,惟一二三,不拘橫直正位數,配合得宜,不亂為式。

假如十一數作,二十二作,三十三作,四十四 作,五十七作,六十九作

大數

數之始      十十箇一為十 百十十為百 千十百為千十千為萬數之成也 十萬       百萬      千萬 億萬萬曰億     十億       百億      千億 萬億          十萬億      百萬億     千萬億 兆萬萬億      京萬萬兆   垓萬萬京  秭萬萬垓 穰           溝        澗       正 載           極        恆河沙     阿僧秪 那由他         不可思議     無量數

自京垓,以後世之罕用,姑存之。又按萬萬曰億,萬萬億曰兆,孟子註其麗不億,解為十萬,誤也。

小數

十釐為分 釐十毫   毫十絲  絲十忽十微   微十纖   纖十沙  沙十塵 塵       埃       渺      漠 模糊      逡巡      須臾     瞬息 彈指      剎那      六德     虛空清淨

模糊以下,雖有此名,虛而無實,公私亦不用。

所以分別長短之法

十尺    尺十寸       寸十分       分十釐 釐毫絲忽同前   疋四丈今無定則五丈今亦不一

所以分別多寡之法

十斗    斗十升       升十合       合十勺十抄    抄十撮       撮十圭       圭十粟即一粒之粟 斛古一石今五斗或二斗五升六斗四升  庾十六斗      秉十六斛

所以分別輕重之法

十六兩   兩二十四銖     銖十絫       絫十黍禾方得而有準 以上是自斤而下者,然今兩之下惟用錢分釐毫絲忽,其銖絫黍等俱不用。原十五斤今二十斤或三十斤      鈞二秤即三十斤 石四鈞二百斤 以上是自斤而上者

所以分別田闊狹遠近之法

方五尺也  分五寸一尺為二分也 釐半寸一寸為二釐也 毫絲忽同 畝橫一步直二百四十步為一畝;每步止五尺。若以丈計即橫一丈長六十丈,以尺計長橫計積六千 尺。

二十四步為一分,十分為一畝。分之下亦有釐毫絲忽。然上是步之分釐毫絲忽分,是步十分之一 此是,畝之釐毫絲忽分是畝十分之一。

百畝為頃  角一畝分為四角每角六十步三百六十步為一里計一百八十丈約人行一千步

諸物輕重數謂長闊高,皆方一寸為則。

重十六兩  銀重十四兩    玉重十二兩      鉛重九兩五錢重七兩五錢 鐵重六兩     青石重三兩

按輕重數不知。所本西法比例鉛次于金,而重于銀與此不同。錢鈔名數

錢鈔之法謂之文,一文之上有十文,十十為百文,十 百文為千,文千文為一貫,五貫為一錠。一文之下 亦有分釐毫絲忽之數。

定算盤位次實左法右論

按《洛書》數曰:左三右七,則右者第一之行位也,左者 第二之行位也。又按《大學章句》曰:別為序次,如左則 左者以後之事也,又曰:右傳之某章,則右者,以前之 事也。今當以初行為右,次行為左。以理而推之,法當 從右實當在左,此乃不易之位也。

九九八十一

一遍 一上一  二上二  三上三  四上四

五上五  六上六  七上七  八上八九上九

二遍 一上一  二上二  三下五除二

四下五除一     五起五成一十六上一起五成一十  七上二起五成一十八退二成一十    九退一成一十

三遍 一上一  二下五除三  三上三

四起六成一十    五上五  六上六七退三成一十    八退二成一十九退一成一十

四遍 一上一  二上二  三起七成一十

四下五除一     五起五成一十六退四成一十    七退三成一十八上三起五成一十  九退一成一十

五遍 一下五除四     二起八成一十

三下五除二     四起六成一十五上五       六上一起五成一十  七上七八退二成一十    九退一成一十

六遍 一上一       二上二       三起七成一十

四下五除一     五起五成一十六上六       七退三成一十八退二成一十    九上四起五成一十

七遍 一上一       二下五除三     三上三

四退六成一十    五上五六退四成一十    七上二起五成一十八退二成一十    九退一成一十

八遍 一上一       二上二       三下五除二

四下五除一     五起五成一十六上一起五成一十  七退三成一十八退二成十     九退一成一十

九遍 一上一       二上二       三上三  四上四

五上五       六上六       七上七  八上八九退一成一十

九九合數乘除加減,皆呼此數,故呼小數在上,大數在下。

一一如一

一二如二 二二如四

一三如三 二三如六 三三如九

一四如四 二四如八 三四一十二 四四一十 六

一五如五 二五得一十 三五一十五 四五得 二十 五五二十五

一六如六 二六一十二 三六一十八 四六二 十四 五六得三十 六六三十六

一七如七 二七一十四 三七二十一 四七二 十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九 一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三 十二 五八得四十 六八四十八 七八五十六

八八六十四

一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三 十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三

八九七十二 九九八十一

右法遇十,挨身上逢,如下位加 謂句內有十字之數,就本身之位上之,若句內有如字之數,下一位上之也。

九歸歌呼大數在上小數在下

一歸 一歸不須歸一者原數不必歸也 其法故不立 二歸 二一添作五 逢二進一十 逢四進二十

逢六進三十 逢八進四十

三歸 三一三十一 三二六十二 逢三進一十

逢六進二十 逢九進三十

四歸 四一二十二 四二添作五 四三七十二

逢四進一十 逢八進二十

五歸 五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六

五四倍作八 逢五進一十

六歸 六一下加四 六二三十二 六三添作五

六四六十四 六五八十二 逢六進一十

七歸 七一下加三 七二下加六 七三四十二

七四五十五 七五七十一 七六八十四逢七進一十

八歸 八一下加二 八二下加四 八三下加六

八四添作五 八五六十二 八六七十四八七八十六 逢八進一十

九歸 九歸隨身下 逢九進一十

右法與九九合數相混。但記句法惟辨多數在先,少數在次,即九歸之句。如八六七十四是歸,六八四十八是因之類。已上句法,併後各樣歌訣,皆學者所當熟記。按一歸不須歸者,為單一數言耳,若除法自兩位三位以上,其法首或為一十或為一百一千則仍有逢一進一,至逢九進九之用。九歸歌有法有實有得數有餘,實如云二一添作五者,則二是法,一是實,五是得數。其意是兩人分一數,則各得其半,如分一兩各得五錢也。又此所分不能成一整數,故不言進而。但于本位添一作五故謂之添作也。其云逢二者,二即實也,進一十者,得數也。兩人分二數則各得其一也。所得既為整一,故進前一位而謂之進一。十逢二上,宜有二字,為法數。今不言者,省文也。餘倣此其云三一三十一者三為法一為實三十為得數末一字,則餘實也。其意如三人分一兩,各得三錢,仍餘一錢也。此三十即本位而餘實一,則置于丁位以待再分也,餘倣此,其五歸倍作云者,皆得數在本位倍之,與添作五同,其云六一下加四者,六為法,一為實,又為得數下加四者,餘實也,假如六人分一兩,各得一錢,而仍餘四錢,以待再分也。因得數在本位,與實數同為一故不用添倍,即借原數為得數,而但于下位加餘實四,即得之矣。餘倣此。

因乘法者,單位曰因,位數多曰乘,通而言之乘也,置 所有物為實,以所求價,為法皆從末位而起,如法乘 之,呼九字相生之數,次第乘之,呼如須次位,言十在 本身,陞積謂之乘其數,雖陞而位,反降矣,必須用定 位之法而治之。詳見於後。

九歸歸除法者,單位者,曰歸。位數多者,曰歸除。通而言之,曰歸除。置所出率為實,以所求率為法,皆從實 首位而起,以法之首位用歸,以次之位皆用除之,故 曰歸。除歸者,呼九歸之歌,除者呼九字相生之數。次 第除之,降積謂之除,其數雖降而位反陞矣,須詳定 位訣而求之,以法為母,以實為子,實如法而一。法實 相反失之千里,必須用心詳玩。直指定位法實訣於 後,或有畸零之不盡者,設有約分,之法而命之。 商除法者,商量法實多寡而除之,古法未有歸除,故 用之不如歸除最是捷徑之法也。然開方法用之。 加法者,隨母留身增添謂之加,謂如正米每斗帶耗 七合者,留身以七合隔位加之,又如每銀一兩加利 三錢不破本身,以三增之,故謂之加法,或用乘法而 代之,如每斗加七合,就以一斗零七合乘之,得正耗 之數也。

減法者,即曰定身除法約存原本之數,而除之,故謂 之減。假有正耗米共九斗,只約正米八斗呼七八減 去五升六合之類。又如本利銀四兩,每兩減去三錢。 只呼三三除減九錢得本銀三兩有零之類。或用歸 除而代之,如正耗米為實,就以一斗零七合為法歸 除之,得正米之數也。

約分法者,凡用除法多有畸零數之不盡,位數多者 以法約之,則簡假如九百四十分之二百三十五,以 法約之得四分之一何也。曰分母九百四十分乃是 四箇二百三十五故謂四分之一也。去其繁而截其 約之故耳。

通分法者,謂法實帶有畸零之數,若不設法通之則 何由而置位乎。假如畸零四分之一者,就以一分之 數變作四分加入零,一分可用乘除而算之,故曰通 母凡公私皆不用之。今但有畸零者,至於毫忽以五 收之,以四去之,算家若不精微豈可合得數乎。 異乘同除者,謂先應用除法而後用乘法者,其除法 多有畸零不盡之數,則何出而用乘法乎。故變法而 先用乘法然後用歸除,雖有畸零數之不盡者,而可 命之,故曰異乘同除。至於精奧其變通之大術矣。 異乘同乘者,謂如用四,乘之又,用五乘之,再以七乘 之者,就變法以四乘五得二十。再以七乘之得一百 四十。就以一百四十為法乘之,以代三次相乘而數 不差矣。

異除同除者,謂用四歸之又用五歸之,再用十二歸 之者,就變法以四乘五得二十再以一十二乘之得 二百四十,就以二歸四除以代三次除,也已上皆言 算法變通之理。

開平方法者,謂如平地四面皆然也,如長十步闊十 步自乘得積一百步,開者以積求方面之數也。此法 別是一種有實而,無法則商約而除之,所以最難之 法也。今新增歸除開平方而法之便矣。

開立方法者,立者,立起之方也。如長十尺闊十尺自 乘得一百尺,再以高十尺乘之得積一千尺。開者以 積求立方每面之數也,有實而無法,則商約而除之, 所以更難也。今新增歸除開立方而法又便矣。 倍法者,加一倍是也。法當用二,因而位反降矣。今變 用五歸而位不降矣。

折半法者,謂減去一半是也。法當用二歸而位反陞 矣,今變用五因而位不陞矣。

定位總歌

數家定位法為奇,因乘俱向下位推。加減只須認本 位,歸與歸除上位施。法多原實逆上法,位前得令須 下宜,法少原實降下數,法前得令逆上知。

又十二字訣

乘從每下得術,歸從法前得令。

定位祕訣

凡定位俱從實上原首位數起,至遇法首位。乘則每數即斤 兩貫箇石等類除則不拘斤兩,貫箇石等類。則止。 乘從每下得術。

術者,乃法首位每下該得之名也。從實上原首位起往後順數至法首位,每數則止於下位,得法首每該之名是錢,呼錢是石,呼石是兩,呼兩已。上十百千萬已下釐毫合勺回向前數,則陞依數呼之。

歸從法前得令。

令,者斤兩貫鈞石等類,亦從實上原首位起,實多法少者,往後順數至法首之數則止。轉向前一位得令往前逐位陞之合得。實少法多者亦從實上原首位數起往前逆數,順至法首之數則止。再進前一位,得令回則往後降起。

直指定位訣

用因乘定位訣曰:預先以算盤上寫定萬千百十或 頃畝石斗兩錢之類,因乘完畢得數莫動,或云每畝 科糧四升但以畝之下位得升,以畝變斗以十變石 以百畝變十石之類是也,餘物倣此。

用歸除定位訣有二條曰:預先以算盤上寫定石斗 或兩錢頃畝步分之類。假如有米四百餘石,每銀一兩糴米三石,問共該銀 若干,法曰:置米為實,以銀每兩糴米三石為法除之, 得數莫動,定位訣曰:此是實多法少,先從實首位起, 數原實百順下至石,遇法首位是石則止,前一位得 令是兩,又前一位是十兩,又前一位是百兩,此是逆 上。

假如麥四百五十石,賣銀三十二兩四錢,問每石該 銀若干,法曰:置銀為實,以麥為法,歸除之得數莫動。 定位訣曰:此是法多實少,先從實首位起,數原實十 逆上至百遇法首位是百,則止前一位得令,是兩。降 下順數至實是七分,次位即二釐也。

但用因乘法實,後定位故云乘法雖陞而位反降矣。 但用歸除法,實前定位,故云除法雖降而位反陞矣。

定法實訣

訣曰:凡因乘不必拘於法實,或以法乘實,或以實乘 法,皆可也。惟歸除不可顛倒錯亂,詳理而用之。

歸除法實

假如有銀若干買物若干,或幾人分,或幾人出以銀 物為實,以人分為法。

假如有銀若干,買貨若干問銀,每兩該貨若干,以貨 為實,以總銀為法。若問貨價則以銀為實,以貨為法。 假如有銀若干,每貨價若干,問共該買貨若干,以總 銀為實,以貨價為法。

假如有貨若干,每兩賣貨若干,問共該銀若干,以總 貨為實,以每兩之貨為法。

總訣

一曰以所有總數為實,以所求每數為法,除之。 一曰有總物而又有總價,或問每物,則以物為法,以 價為實。或問每價即以價為法,以物為實。餘倣此。

分別法實左右圖

分別法實左右圖

九因

凡二至九單位者,用此置物為實,以價為法,呼九九 合數,言十就身。言如隔位從末位算起,用九歸還原。

因法歌

合數九因須記熟,起手先從末位推。言十就身如隔 位,若要還原用九歸。

歸因總歌

歸從頭上起,因從足下生。逢如須隔位,言十在本身。 假如今有銀一百二十三兩四錢,每銀一兩糴米二 石,問共該米若干。

答曰:二百四十六石八斗。

法曰:置銀於左,為實,以每銀糴米二石於右,為法,因 之合問。定位法只認兩下位即錢之位定石逆上即兩之位 定十石再上位十兩之位定百石合得。

此所謂因乘俱向下位推,先數左首原實百位起 順下至兩,遇右法首位每兩二石,則止下位得術是 石,回向前逐位逆數陞上合得也。今列布算之法於 後。

圖

還原用二歸法詳後

逢二進一十 逢四進二十 逢六進三十 進八 進四十

假如今有米二百三十四石五斗,每石賣銀三錢。問 共該銀若干。

答曰:共該七十兩零三錢五分。

法曰:置所有米為實,以每石銀三錢為法,因之合問。

定位先數原實百起,順下至石止。下一位得術是

錢,回向前逆數陞上合得。

還原用三歸法詳後

逢六進二十 三一三十一 三一三十一 逢三 進一十 三一三十一 逢六進二十

假如有人借去本銀二百五十八兩二錢,每年加四 還利。問該利銀若干。

答曰:該利一百零三兩二錢八分。

法曰置本銀為實,以利四錢為法,因之合問,定位 同前。

還原用四歸法詳後

四一二十二 四二添作五 四三七十二 逢四 進一十 逢八進二十

假如今有穀二百四十六石九斗,每石碾米五斗。問 該白米若干。

答曰一百二十三石四斗五升。

法曰:置穀為實,以每石碾米五斗為法,因之合問。

還原用五歸法詳後

五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六 五四 倍作八 逢五進一十

假如今有杉木二萬三千五百六十九根,每根價銀 六分。問共該銀若干。

答曰:一千四百一十四兩一錢四分。

法曰:置木為實,以每根價銀六分為法,因之合問。

還原用六歸法詳後

六一下加四 逢六進一十 六二三十二 六三 添作五 六四六十四 六五八十二 逢六進一 十

假如秋糧米二萬三千四百五十七石九斗,每石科 銀七錢。問共該銀若干。

答曰:一萬六千四百二十兩零五錢三分。

法曰:置糧米為實,以每石七錢為法,因之合問。

還原用七歸法詳後

七一下加三 逢七進一十 七二下加六 逢七 進一十 七三四十二 七四五十五 七五七十 一 七六八十四 逢七進一十

假如今有軍人一百三十四萬五千六百七十九名, 每名給米八斗。問共該米若干。

答曰:一百零七萬六千五百四十三石二斗。

法曰:置軍人為實,以每名給米八斗為法,因之合問。

還原用八歸法詳後

八一下加二 八二下加四四下五除一 逢八進 一十 八三下加六 逢八進一十 八四添作五

八五六十二 八六七十四 八七八十六 逢

八進一十

假如濕穀一千二百三十四石五斗六升七合九勺, 每石晒得乾穀九斗。問該乾穀若干。

答曰:一千一百一十一石一斗一升一合一勺一抄。 法曰:置濕穀為實,以晒乾九斗為法,因之合問。

還原用九歸法詳後

九一下加一 九二下加二 九三下加三 九四

下加四 九五下加五 九六下加六 九七下加 七 九八下加八 逢九進一十

九歸

凡二至九單位者,用此置物為實,以價或分物者為 法,呼九歸之歌或進或倍,從實首位算起,用因法還 原。

歌曰

九歸之法乃分平,湊數從來有現成。數若有多歸作 十,歸如不盡搭添行。

又歌

學者如何算九歸,先從實上左頭推。逢進起身須進 上,下加次位以施為。

假如今有米四百八十六石二斗,每銀一兩糴米二 石。問共該銀若干。

答曰:二百四十三兩一錢。

法曰:置總米數為實,以每兩糴米二石為法,歸之合 問。定位法只認石上前一位,即十之位定兩逆上,即百之位 定十兩再陞,上一位定百兩合得。

此所謂歸與歸除上位施 先數,原實百起,順下至 石遇法首位是每兩二石,則止轉向前一位得令是 兩逐,位逆數陞上合得也今列布算於後。

還原用二因

一二如二 二三如六 二四如八 二二如四 假如今有銀八百三十五兩八錢,每銀三兩糴米一 石。問該米若干。

答曰:二百七十八石六斗。

法曰:置總銀為實,以每石銀三兩為法,歸之合問。 定位法只認兩,前一位是石,逆上依次,陞之合得。

還原用三因

三六一十八 三八二十四 三七二十一 二三 如六

假如今有苧麻七百三十五斤,每苧四斤賣銀一錢。 問該銀若干。

答曰:一十八兩三錢七分五釐。

法曰:置總苧麻為實,以每錢賣苧麻四斤為法歸之 合問。定位法只認斤前一位定錢依次逆陞合得。

還原用四因

四五得二十 四七二十八 三四一十二 四八 三十二 一四如四

假如今有銀一百二十三兩四錢五分,每銀五兩換 金一兩。問該金若干。

答曰:二十四兩六錢九分。

法曰:置總銀為實,以每銀五兩為法,歸之合問。定 位法只認銀兩,上前一位是金,兩數逆陞合得。

還原用五因

五九四十五 五六得三十 四五得二十 二五 得一十

假如今有米二十石,五萬人分之。問每人該米若干。 答曰:四勺。

法曰:置米為實,以人五萬為法,歸之合問。定位法 多實少,先從實首原位數起逆上,至遇法首位是萬 則止,向前一位得令,是石也,順數降一合得。

還原用五因

四五得二十

假如今有銀二百六十五兩三錢二分,作六人分之。 問每人該銀若干。

答曰:四十四兩二錢二分。

法曰:置銀為實,以六人為法歸之合問。定位法從 原實數百降下,次位幾十,又次位幾人,遇法是人則 止,前一位得令是兩,逆上陞之合得。

還原用六因

二六一十二 二六一十二 四六二十四 四六 二十四

假如今有銀七十兩,糴大麥七百五十五石一斗六 升。問每銀一兩該麥若干。

答曰:一十石零七斗八升八合。

法曰:置麥為實,以總銀七十為法歸之合問。定位 同前。

還原用七因

七八五十六 七八五十六 七七四十九 一七 如七

假如今有銀九十八兩九錢二分,買羊八十隻。問每 隻該銀若干。

答曰:一兩二錢三分六釐五毫。

法曰:置銀為實,以羊八十為法,歸之合問。

還原用八因

五八得四十 六八四十八 三八二十四 二八 一十六 一八如八

假如今有銀二百六十五兩三錢二分,買椒每斤價 銀九分。問共該椒若干。

答曰:二千九百四十八斤。

法曰:置總銀為實,以每斤椒價九分為法,歸之合問。

還原用九因

八九七十二 四九三十六 九九八十一 二九 一十八


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。