欽定古今圖書集成/經濟彙編/樂律典/第061卷

欽定古今圖書集成
經濟彙編 第六十一卷

欽定古今圖書集成經濟彙編樂律典

　第六十一卷目錄

　律呂部彙考十五

　　明朱載堉律呂精義一〈總論造律得失　不宗黃鐘九寸　不用三分

　　損益　不拘隔八相生〉

樂律典第六十一卷

律呂部彙考十五

明朱載堉律呂精義一

總論造律得失第一

律非難造之物，而造之難成，何也？推詳其弊，蓋有三 失：王莽偽作，原非至善，而歷代善之，以為定制，根本 不正，其失一也。劉歆偽辭，全無可取，而歷代取之，以 為定說，考據不明，其失二也。三分損益，舊率疏舛，而 歷代守之，以為定法，筭術不精，其失三也。欲矯其失， 則有三要：不宗王莽律度量衡之制，一也。不從《漢志》、 劉歆、班固之說，二也。不用三分損益疏舛之法，三也。 以此三要，矯彼三失，律呂精義所由作也。或曰：「大泉 之寸，秬黍之分，非莽、歆遺法乎？今乃取之，何也？」答曰： 「大泉之徑，漢尺以為寸；秬黍之長，古尺以為分。而莽、 歆之尺則不然，所以與新法不同也。」

《漢書王莽傳》曰：「天鳳四年，初獻新樂於明堂太廟，或聞其樂聲，曰：『清麗而哀，非興國之聲也』。根本不正，此之謂也。」 《宋書律志》曰：「班氏所志，未能通律呂本源，徒訓角為觸，徵為祉，陽氣施種於黃鐘，如斯之屬，空煩其文，而為辭費。又推九六，欲符劉歆三統之數，假託非類，以飾其說，皆孟堅之妄矣。考據不明，此之謂也。」 《宋書律志》又曰：「三分益一為上生，三分損一為下生。」 此其大略，猶周天斗分四分之一耳。京房不思此意，引而伸之，仲呂上生執始，執始下生去滅，至於南事，為六十律，竟復不合，彌益其疏，筭術不精，此之謂也。大泉之寸，秬黍之分，詳見《審度篇》中。

不宗黃鐘九寸第二

「律由聲制，非由度出。」制律之初，未有度也。度尚未有， 則何以知黃鐘乃九寸哉？以黃鐘為九寸，不過漢尺 之九寸耳；周尺則不然也，商尺又不然也，虞、夏之尺 皆不然也，黃帝之尺亦不然也。

先儒謂「夏禹十寸為尺，成湯十二寸為尺，武王八寸為尺。」 三代之尺不同，尺雖不同，而黃鐘則無不同也。解釋黃鐘之義，遷就九寸之說，自漢儒為始耳。漢儒已前，《周禮》《左傳》《國語》《管子》《呂覽》之類，皆未嘗以黃鐘之長為九寸也。此說聞諸臣父云。

蓋黃帝之尺，以黃鐘之長為八十一分者，法《雒書》陽 數也。

黃帝時雒出。書見沈約《符瑞志》，猶禹時雒書也。雒書數九，自乘得八十一，是為陽數。蓋十二者，天地之大數也；百二十者，律呂之全數也。除去三十九，則八十一耳。故《呂氏春秋》曰：「斷兩節間三寸九分。」 後學未達，遂指三寸九分為黃鐘之長者，誤矣。八寸一分，三寸九分，合而為十二寸，即律呂之全數。全數之內，斷去三寸九分，餘為八寸一分，即黃鐘之長也。《管子》曰：「凡將起五音，先主一而三之，四開以合九，九以是生黃鐘。」 蓋謂筭術先置一寸為實，三之為三寸，又四之為十二寸也。開以合九，九者，八十一分開方得九分，九分自乘得八十一分，為黃鐘之長也。

虞、夏之尺，皆以黃鐘之長為十寸者，法《河圖》中數也；

《書》稱舜同律度量衡。堯、舜、禹相禪，未嘗改制度。然則禹以十寸為尺，即舜所同之度尺也。舊謂度本起於黃鐘之長，又謂黃鐘之長九寸，外加一寸為尺。何瑭嘗辨之曰：「《漢志》謂黃鐘之律九寸，加一寸以為尺。」 夫度量權衡所以取法於黃鐘者，蓋貴其與天地之氣相應也。若加一寸以為尺，則又何取於黃鐘？殊不知「黃鐘之長，固非人所能為，至於九其寸而為律，十其寸而為尺，則人之所為也。」 《漢志》不知出此，乃欲加黃鐘一寸為尺，謬矣。臣按：黃鐘之律，長九寸，縱黍為分之九寸也，寸皆九分，凡八十一分；《雒書》之奇，自相乘之數也，是謂律本。黃鐘之度，長十寸，橫黍為分之十寸也，寸皆十分，凡百分；《河圖》之偶，自相乘之數也，是為「度母。」 縱黍之律，橫黍之度，名數雖異，分劑實同，孰使之然哉？天地自然之理耳。

成湯以夏尺之十二寸有半寸為尺，則黃鐘之長乃 商尺之八寸。武王以夏尺之八寸為尺，則黃鐘之長 乃周尺之十二寸有半寸。《黃鐘》無所改，而尺有不同。 彼執著九寸為黃鐘之律，然則商之黃鐘太長，周之 黃鐘太短，豈不謬哉

起度之法，十寸為尺，八寸為咫。「商之咫，夏之尺也。夏之咫，周之尺也。十寸自乘為實，八寸為法」 ，除之得十二寸有半寸也。

不用三分損益第三

「律家三分損其一，三分益其一，曆家四分度之一，四 分日之一，與夫方則直五、斜七，圓則周三、徑一等率， 皆舉大略而言之耳，非精義也。」新法筭律與方圓皆 用句股術，其法本諸《周禮》。栗氏為量，內方尺而圓其 外，內方尺而圓其外，則圓徑與方斜同。知方之斜，則 知圓之徑矣。度本起於黃鐘之長，則黃鐘之長即度 法一尺。命平方一尺為黃鐘之率。東西十寸為句，自 乘得百寸為句羃；南北十寸為股，自乘得百寸為股 羃。相併共得二百寸為弦羃。乃置弦羃為實，開平方 法除之，得弦一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五 微六纎二三七三○九五○四八八○一六八九，為 方之斜，即圓之徑，亦即《蕤賓倍律》之率。以句十寸乘 之，得平方積。一百四十一寸四十二分一十三釐五 十六毫二十三絲七十三忽○九五○四八八○一 六八九為實。開平方法除之，得一尺一寸八分九釐 二毫○七忽一微一纎五○○二七二一○六六七 一七五，即南呂倍律之率。仍以句十寸乘之，又以股 十寸乘之，得立方積。一千一百八十九寸二百○七 分一百一十五釐○○二毫七百二十一絲○六十 六忽七一七五為實。開立方法除之，得一尺○五分 九釐四毫六絲三忽○九纎四、三、五、九、二、九、五二、六、 四、五六、一八、二、五，即應鐘倍律之率。蓋十二律黃鐘 為始，應鐘為終，終而復始，循環無端，此自然真理，猶 貞後元生，《坤》盡復來也。是故各律皆以黃鐘正「數十 寸乘之為實，皆以應鐘倍數十寸○五分九釐四毫 六絲三忽○九纎四、三、五、九、二、九、五、二、六、四、五、六、一、 八、二、五」為法，除之即得其次律也，安有往而不返之 理哉？舊法往而不返者，蓋由三分損益，筭術不精之 所致也。是故新法不用三分損益，別造密率，其詳如 左。

積筭旁通圖。〈此條命尺為京，後條或命寸為「兆」 ，或命寸為億，蓋欲多列位數，見開方之妙也。〉

《二》。〈本是二尺進作二百寸為實以上文所載應鐘倍律之數十寸五分有奇為法除之餘條倣此〉

右乃「《黃鐘》倍律積筭。」〈置黃鐘倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得大呂。〉

一八八七七四八六二五三六三三八六九九三二 八三八二六。

右乃「《大呂》倍律積筭。」〈置大呂倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得太簇。〉

一七八一七九七四三六二八○六七八六○九四 八○四五二。

右乃「《太簇倍律》積筭。」〈置太簇倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得夾鐘。〉

一六八一七九二八三○五○七四二九○八六○ 六二二五一。

右乃「《夾鐘》倍律積筭。」〈置夾鐘倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法，除。〉

之得姑洗

一五八七四○、一○五一、九六八、一九九四七四七 五、一七○六。

右乃「《姑洗》倍律積筭。」〈置姑洗倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得仲呂。〉

一四九八三○七○七六八七六六八一四九八七 九九二八一。

右乃「仲呂倍律積筭。」〈置仲呂倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得蕤賓。〉

一四一四二一三五六二三七三○九五○四八八 ○一六八九。

右乃「《蕤賓倍律》積筭。」〈置蕤賓倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得林鐘。〉

一三三四八三九八五四一七○○三四三六四八 三○八三二。

右乃「林鐘倍律積筭。」〈置林鐘倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得《夷則》。〉

一二五、九九二一○四九八九四、八七三一六四七 六七、二一一

右乃「《夷則倍律》積筭。」〈置《夷則》倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得南呂。〉

一一八、九二○七、一一五○○、二七二、一○六六、七、 一七、五○○。

右乃「南呂倍律積筭。」〈置南呂倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得無射。〉

一一二、二四六二○四八三○九三七二九八一四 三三五三三。

右乃「《無射倍律》積筭。」〈置無射倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得應鐘。〉

一○五九四六三○九四三五九二九五二六四五 六一八二五

右乃「《應鐘》倍律積筭。」〈置應鐘倍律積算，進一位為實，以應鐘倍律積算為法除之，得黃鐘。〉

密率源流圖

密率源。

流出於：

《周禮考》：

工記栗。

氏為《量》，

《內方尺》：

而圓。其

外。

新造密率二種。〈倍律命寸為兆正律命寸為億欲初學者知命法之變通云耳〉 黃鐘之率二十兆。〈本是二十寸命作二十兆〉

大呂之率，「十八兆八千七百七十四萬八千六百二 十五億三千六百三十三萬八千六百九十九。」 《太簇》之率，「十七兆八千一百七十九萬七千四百三 十六億二千八百○六萬七千八百六十○。」

夾鐘之率，十六兆八千一百七十九萬二千八百三 十億○五千○七十四萬二千九百○八。

《姑洗》之率，十五兆八千七百四十萬○一千○五十 一億九千六百八十一萬九千九百四十七。

仲呂之率，十四兆九千八百三十萬○七千○七十 六億八千七百六十六萬八千一百四十九。

蕤賓之率：十四兆一千四百二十一萬三千五百六 十二億三千七百三十萬○九千五百○四。

《林鐘》之率，十三兆三千四百八十三萬九千八百五 十四億一千七百萬○○三千四百三十六。

《夷則》之率，十二兆五千九百九十二萬一千○四十 九億八千九百四十八萬七千三百一十六。

南呂之率：十一兆八千九百二十萬○七千一百一 十五億○○二十七萬二千一百○六。

無射之率：十一兆二千二百四十六萬二千○四十 八億三千○九十三萬七千二百九十八。

應鐘之率，十兆　五千九百四十六萬三千○九十 四億三千五百九十二萬九千五百二十六。

黃鐘之率十億。〈本是十寸命作十億〉

大呂之率：九億四千三百八十七萬四千三百一十 二。

太簇之率，「八億九千○八十九萬八千七百一十八。 夾鐘之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五。 姑洗之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五。 仲呂之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十 八。」

蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一。 《林鐘》之率，「六億六千七百四十一萬九千九百二十 七。」

《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四。 《南呂》之率，「五億九千四百六十萬○三千五百五十 七。」

無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四。 《應鐘》之率，「五億二千九百七十三萬一千五百四十 七。」

論曰：「造率始於黃鐘，必先求蕤賓者，猶冬夏二至也。 次求夾鐘及南呂者，猶春秋二分也。太極生兩儀，兩 儀生四象，此之謂也。」始於黃鐘者，履端於始也。中於 蕤賓者，舉正於中也。終於應鐘者，歸餘於終也。律與 曆一道也。黃鐘為宮，蕤賓為中，應鐘為和，此三律者， 律呂之綱紀也。尢見變宮變徵，有益於樂，而不可妄 廢也。

不拘隔八相生第四

新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋，或右旋， 皆循環無端也，以證「《三分》損益，往而不返」之誤。所謂 四法者，開列於後。

其一：「黃鐘生林鐘，林鐘生太蔟，太蔟生南呂，南呂生 姑洗，姑洗生應鐘，應鐘生蕤賓，蕤賓生大呂，大呂生 夷則，夷則生夾鐘，夾鐘生無射，無射生仲呂，仲呂生 黃鐘。長生短，五億乘之」；短生長，十億乘之，皆以七億 四千九百一十五萬三千五百三十八除之。

其二：「黃鐘生仲呂，仲呂生無射，無射生夾鐘，夾鐘生 夷則，夷則生大呂，大呂生蕤賓，蕤賓生應鐘，應鐘生 姑洗，姑洗生南呂，南呂生太蔟，太蔟生林鐘，林鐘生 黃鐘。」長生短，五億乘之；短生長，十億乘之，皆以六億 六千七百四十一萬九千九百二十七除之。

其三：「黃鐘生大呂，大呂生太蔟，太蔟生夾鐘，夾鐘生姑洗，姑洗生仲呂，仲呂生蕤賓，蕤賓生林鐘，林鐘生 夷則，夷則生南呂，南呂生無射，無射生應鐘，應鐘生 黃鐘半律。」此係長生短，皆以五億乘之，皆以五億二 千九百七十三萬一千五百四十七除之。

其四，「黃鐘半律生應鐘，應鐘生無射，無射生南呂，南 呂生夷則，夷則生林鐘，林鐘生蕤賓，蕤賓生仲呂，仲 呂生姑洗，姑洗生夾鐘，夾鐘生太蔟，太蔟生大呂，大 呂生黃鐘。」此係短生長，皆以十億乘之，皆以九億四 千三百八十七萬四千三百一十二除之。

橫黍《百分，律》依新法筭。

黃鐘長十寸，

新法：置黃鐘之率，十億為實。五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得林鐘。

《林鐘》長六寸六分七釐四毫一絲九忽九微二纎。

新法置《林鐘》之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纎。

新法：置《太蔟》之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八為實。五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得《南呂》。

南呂長五寸九分四釐六毫○三忽五微五纎。

新法置《南呂》之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得姑洗。

姑洗長七寸九分三釐七毫○○五微二纎。

新法置姑洗之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五為實。五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得應鐘。

應鐘長五寸二分九釐七毫三絲一忽五微四纎。

新法：置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得《蕤賓》。

《蕤賓》長七寸○七釐一毫○六忽七微八纎。

新法：置蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得大呂。

大呂長九寸四分三釐八毫七絲四忽三微一纎。

新法置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實。五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得《夷則》。

《夷則》長六寸二分九釐九毫六絲○五微二纎；

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夾鐘。

夾鐘長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纎。

新法置「夾鐘」 之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五為實。五億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得無射。

無射長五寸六分一釐二毫三絲一忽○二纎。

新法：置無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長七寸四分九釐一毫五絲三忽五微三纎。

新法：置「仲呂」 之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實。十億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得黃鐘。

黃鐘長十寸，〈還元〉

新法：置黃鐘之率，十億為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長七寸四分九釐一毫五絲三忽五微三纎。

新法：置仲呂之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得無射。

無射長五寸六分一釐二毫三絲一忽○二纎。

新法置無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四為實。十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得夾鐘。

夾鐘長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纎。

新法置夾鐘之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得《夷則》。

《夷則》長六寸二分九釐九毫六絲○五微二纎；

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四為實。十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得《大呂》。

大呂長九寸四分三釐八毫七絲四忽三微一纎。

新法：置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得蕤賓。

《蕤賓》長七寸○七釐一毫○六忽七微八纎。

新法置蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得應鐘。

應鐘長五寸二分九釐七毫三絲一忽五微四纎。

新法置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實。十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得姑洗。

姑洗長七寸九分三釐七毫○○五微二纎。

新法：置姑洗之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得《南呂》。

南呂長五寸九分四釐六毫○三忽五微五纎。

新法置《南呂》之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實。十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纎。

新法：置《太蔟》之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八為實。五億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得林鐘。

《林鐘》長六寸六分七釐四毫一絲九忽九微二纎。

新法置「林鐘」 之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實。十億乘之，六億六千七百四十一萬九千九百二十七除之，所得億約為寸，得黃鐘。

黃鐘長十寸，〈還元〉

新法：置黃鐘之率，十億為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得大呂。

大呂長九寸四分三釐八毫七絲四忽三微一纎。

新法：置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纎。

新法：置《太蔟》之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得夾鐘。

夾鐘長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纎。

新法置「夾鐘」 之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得姑洗。

姑洗長七寸九分三釐七毫○○五微二纎。

新法：置《姑洗》之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長七寸四分九釐一毫五絲三忽五微三纎。

新法置「仲呂」 之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得《蕤賓》。

《蕤賓》長七寸○七釐一毫○六忽七微八纎。

新法置蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得林鐘。

《林鐘》長六寸六分七釐四毫一絲九忽九微二纎。

新法置林鐘之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得《夷則》。

《夷則》長六寸二分九釐九毫六絲○五微二纎；

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得《南呂》。

南呂長五寸九分四釐六毫○三忽五微五纎。

新法置南呂之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得《無射》。

無射長五寸六分一釐二毫三絲一忽○二纎。

新法置無射之率，五億六千一百二十三萬一千。

○二十四為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得《應鐘》。

應鐘長五寸二分九釐七毫三絲一忽五微四纎。

新法：置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實。五億乘之，五億二千九百七十三萬一千五百四十七除之，所得億約為寸，得黃鐘半律。

《黃鐘半律》，長五寸；

新法：置黃鐘半率，五億為實，十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得應鐘。

應鐘長五寸二分九釐七毫三絲一忽五微四纎。

新法：置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得無射。

無射長五寸六分一釐二毫三絲一忽○二纎。

新法：置無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得《南呂》。

南呂長五寸九分四釐六毫○三忽五微五纎。

新法置南呂之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得《夷則》。

《夷則》長六寸二分九釐九毫六絲○五微二纎；

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得林鐘。

《林鐘》長六寸六分七釐四毫一絲九忽九微二纎。

新法置《林鐘》之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得《蕤賓》。

《蕤賓》長七寸○七釐一毫○六忽七微八纎。

新法：置《蕤賓》之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長七寸四分九釐一毫五絲三忽五微三纎。

新法置《仲呂》之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得姑洗。

姑洗長七寸九分三釐七毫○○五微二纎。

新法置《姑洗》之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得夾鐘。

夾鐘長八寸四分○八毫九絲六忽四微一纎。

新法：置「夾鐘」 之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長八寸九分○八毫九絲八忽七微一纎。

新法：置《太蔟》之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得《大呂》。

大呂長九寸四分三釐八毫七絲四忽三微一纎。

新法：置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實。十億乘之，九億四千三百八十七萬四千三百一十二除之，所得億約為寸，得黃鐘。

黃鐘長十寸，〈還元〉

已上橫黍百分之律，依《新密率》，四法筭竟。

斜黍九十分，律依新法筭。

黃鐘長九寸，〈每寸十分餘律倣此〉

新法：置黃鐘之率，十億折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得林鐘。

《林鐘》長六寸○○六毫七絲七忽九微三纎。

新法置《林鐘》之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長八寸○一釐八毫○八忽八微四纎。

新法：置《太蔟》之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八，折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得南呂。

南呂長五寸三分五釐一毫四絲三忽二微○。

新法置《南呂》之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸得姑。

洗

姑洗長七寸一分四釐三毫三絲○四微七纎。

新法置《姑洗》之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五，折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八。除之，所得億約為寸，得應鐘。

應鐘長四寸七分六釐七毫五絲八忽三微九纎。

新法：置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得《蕤賓》。

《蕤賓》長六寸三分六釐三毫九絲六忽一微○。

新法：置蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得大呂。

大呂，長八寸四分九釐四毫八絲六忽八微八纎。

新法置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二，折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八。除之，所得億約為寸，得《夷則》。

《夷則》長五寸六分六釐九毫六絲四忽四微七纎；

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得夾鐘。

夾鐘長七寸五分六釐八毫○六忽七微七纎。

新法置「夾鐘」 之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五，折半為實，九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得無射。

無射長五寸○五釐一毫○七忽九微二纎。

新法：置無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長六寸七分四釐二毫三絲八忽一微八纎。

新法：置「仲呂」 之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實。九億乘之，七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得黃鐘。

黃鐘長九寸，〈還元〉

縱黍八十一分，律依新法筭。

黃鐘長八寸一分；

新法：置黃鐘之率十億，以八十一億乘之，折半退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得林鐘。

《林鐘》長五寸四分○六毫一絲○一微四纎。

新法：置《林鐘》之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七。以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得太蔟。

太蔟長七寸二分一釐六毫二絲七忽九微六纎；

新法：置《太蔟》之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八。以八十一億乘之，折半退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得南呂。

南呂長四寸八分一釐六毫二絲八忽八微八纎。

新法置《南呂》之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七。以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得姑洗。

姑洗長六寸四分二釐八毫九絲七忽四微二纎；

新法置姑洗之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五。以八十一億乘之，折半退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八。除之，所得億約為寸，得應鐘。

應鐘長四寸二分九釐○八絲二忽五微五纎。

新法：置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七。以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得蕤賓。

《蕤賓》長五寸七分二釐七毫五絲六忽四微九纎。

新法：置蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一。以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得大呂。

大呂長七寸六分四釐五毫三絲八忽一微九纎。

新法：置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二。以八十一億乘之，折半退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得《夷則》。

《夷則》長五寸一分○二毫六絲八忽○二纎；

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五。

百二十四，以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得《夾鐘》。

夾鐘長六寸八分一釐一毫二絲六忽○九纎。

新法：置夾鐘之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五。以八十一億乘之，折半退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得無射。

無射長四寸五分四釐五毫九絲七忽一微二纎。

新法：置無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四。以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得仲呂。

仲呂長六寸○六釐八毫一絲四忽三微六纎。

新法：置「仲呂」 之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八。以八十一億乘之，退位為實。七億四千九百一十五萬三千五百三十八除之，所得億約為寸，得黃鐘。

黃鐘長八寸一分；〈還元〉

已上斜黍《九十分律》，及《縱黍八十一分律》，各具四法，今載其一，餘三法皆倣此，故不悉載。

縱黍八十一分作九寸，律依新法筭。

《例》曰：「此法每寸九分，每分九釐、每釐九毫、每毫九絲、每絲九忽、每忽九微、每微九纎，皆以九為法，故與十不同。」

《筭盤》首位為寸位　，第二位為「分位。」

第三位為「釐位　　」 ，第四位為「毫位。」

第五位為「《絲》位　　」 ，第六位為「《忽》位。」

第七位為《微位　　》，第八位為「《纎》位。」 初九因至「寸」 位住　，又九因至分位住。

又九因至釐位住　，又九因至毫位住。

又九因至「絲」 位住　，又九因至「忽」 位住。

又九因至微位住　，又九因至纎位住。云「至分位」 者，不許至寸位；云「至釐位」 者，不許至分位。餘倣此。

黃鐘長九寸，

新法：置黃鐘之率，十億為實，九因至寸位住，得九寸，為黃鐘。

大呂長八寸四分四釐○六絲七忽四微五纎。

新法置大呂之率，九億四千三百八十七萬四千三百一十二為實。初九因至寸位住，得八寸；又九因至分位住，得四分；又九因至釐位住，得四釐；又九因至毫位住，得○毫；又九因至絲位住，得六絲；又九因至忽位住，得七忽；又九因至微位住，得四微；又九因至纎位住，得五纎。凡九因八遍，共得八寸四分四釐○毫六絲七忽四微五纎為「大呂。」

太蔟長八寸○一釐四毫一絲六忽○八纎；

新法：置太蔟之率，八億九千○八十九萬八千七百一十八為實。初九因至寸位住，得八寸；又九因至分位住，得○分；又九因至釐位住，得一釐；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得六忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纎位住，得八纎。凡九因八遍，共得八寸○分一釐四毫一絲六忽○。微八纎為「太蔟。」

夾鐘長七寸五分一釐○一絲○七微四纎。

新法置夾鐘之率，八億四千○八十九萬六千四百一十五為實。初九因至寸位住，得七寸；又九因至分位住，得五分；又九因至釐位住，得一釐；又九因至毫位住，得○毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得○忽；又九因至微位住，得七微；又九因至纎位住，得四纎。凡九因八遍，共得七寸五分一釐○毫一絲○忽七微四纎為夾鐘。

姑洗長七寸一分二釐五毫四絲二忽○○；

新法：置姑洗之率，七億九千三百七十萬○○五百二十五為實。初九因至寸位住，得七寸；又九因至分位住，得一分；又九因至釐位住，得二釐；又九因至毫位住，得五毫；又九因至絲位住，得四絲；又九因至忽位住，得二忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纎位住，得○纎。凡九因八遍，共得七寸一分二釐五毫四絲二忽○。微○纎為「姑洗。」

仲呂長六寸六分六釐一毫一絲六忽八微一纎。

新法置仲呂之率，七億四千九百一十五萬三千五百三十八為實。初九因至寸位住，得六寸；又九因至分位住，得六分；又九因至釐位住，得六釐；又九因至毫位住，得一毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得六忽；又九因至微位住，得八微；又九因至纎位住，得一纎。凡九因八遍，共得六寸六分六釐一毫一絲六忽八微一纎為「仲呂。」

《蕤賓》長六寸三分二釐四毫二絲八忽四微七纎。

新法：置蕤賓之率，七億○七百一十萬○六千七百八十一為實。初九因至寸位住，得六寸。又九因。

至分位住，得三分；又九因至釐位住，得二釐；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得二絲；又九因至忽位住，得八忽；又九因至微位住，得四微；又九因至纎位住，得七纎。凡九因八遍，共得六寸三分二釐四毫二絲八忽四微七纎，為蕤賓。

《林鐘》長六寸○○四毫八絲四忽二微七纎。

新法置林鐘之率，六億六千七百四十一萬九千九百二十七為實。初九因至寸位住，得六寸；又九因至分位住，得○分；又九因至釐位住，得○釐；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得八絲；又九因至忽位住，得四忽；又九因至微位住，得二微；又九因至纎位住，得七纎。凡九因八遍，共得六寸○分○釐四毫八絲四忽二微七纎，為「林鐘。」

《夷則》長五寸六分○二毫一絲四忽七微五纎。

新法置《夷則》之率，六億二千九百九十六萬○五百二十四為實。初九因至寸位住，得五寸；又九因至分位住，得六分；又九因至釐位住，得○釐；又九因至毫位住，得二毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得四忽；又九因至微位住，得七微；又九因至纎位住，得五纎。凡九因八遍，共得五寸六分○釐二毫一絲四忽七微五纎為《夷則》。

南呂長五寸三分一釐四毫一絲六忽六微三纎。

新法置南呂之率，五億九千四百六十萬○三千五百五十七為實。初九因至寸位住，得五寸；又九因至分位住，得三分；又九因至釐位住，得一釐；又九因至毫位住，得四毫；又九因至絲位住，得一絲；又九因至忽位住，得六忽；又九因至微位住，得六微；又九因至纎位住，得三纎。凡九因八遍，共得五寸三分一釐四毫一絲六忽六微三纎為「南呂。」

無射長五寸○四釐一毫二絲一忽一微五纎。

新法置無射之率，五億六千一百二十三萬一千○二十四為實。初九因至寸位住，得五寸；又九因至分位住，得○分；又九因至釐位住，得四釐；又九因至毫位住，得一毫；又九因至絲位住，得二絲；又九因至忽位住，得一忽；又九因至微位住，得一微；又九因至纎位住，得五纎。凡九因八遍，共得五寸○分四釐一毫二絲一忽一微五纎，為「無射。」

應鐘長四寸六分八釐一毫五絲一忽○五纎。

新法置應鐘之率，五億二千九百七十三萬一千五百四十七為實。初九因至寸位住，得四寸；又九因至分位住，得六分；又九因至釐位住，得八釐；又九因至毫位住，得一毫；又九因至絲位住，得五絲；又九因至忽位住，得一忽；又九因至微位住，得○微；又九因至纎位住，得五纎。凡九因八遍，共得四寸六分八釐一毫五絲一忽○微五纎，為「應鐘。」

《黃鐘半律》，長四寸四分四釐四毫四絲四忽四微四 纎。

新法置黃鐘半率，五億為實，八因九歸億約為寸，得四寸四分四釐四毫四絲四忽四微四纎，為黃鐘半律。

謹按：約十為九主意蓋為三分損益而設，使歸除無不盡數耳。夫律呂之理，循環無端，而秒忽之數，歸除不盡，此自然之理也。因其天生自然，不須人力穿鑿，以此筭律，何善如之？歷代筭律，祇欲秒忽除之有盡，遂致律呂往而不返，此乃顛倒之見，非自然之理也。是以新法不用三分損益，不拘隔八相生。然而相生有序，循環無端，《十二律呂》，一以貫之，此蓋二千餘年之所未有，自我朝始也，學者宜盡心焉。。