緝古算經

緝古算經
作者：王孝通　唐

唐王孝通撰。其結銜稱通直郎太史丞。其始末未詳。惟《舊唐書·律歷誌》“戊寅歷”條下有武德九年校歷人算歷博士臣王孝通，題蓋即其人也。是書一名《緝古算術》，《唐書·藝文誌》、《崇文總目》俱稱李淳風註。今案此本卷首實題孝通撰並註，則《唐誌》及《總目》為誤。又《宋誌》作一卷，《唐誌》、鄭樵《藝文略》俱作四卷，王應麟《玉海》謂今亡其三。案《孝通原表》稱二十術，檢勘書內條目相同，並無闕佚，不知應麟何所據而雲然也。書中大旨，以《九章·商功篇》有平地役功受袤之術，其於上寬下狹窄，前高後卑，闕而不論，世人多不達其理。因於平地之余，續狹斜之法。凡推朔夜半時月之所離者一術，推仰觀臺及羨道高廣袤者一術，推築堤授工上下廣及高袤不同者一術，推築龍尾堤者一術，推穿河授工斜正袤上廣及深並漘上廣不同者一術，推四郡輸粟窖上下廣袤餘郡別出入及窖深廣者一術，推亭倉上下方高者一術，推芻薨圓囤者各一術，推方倉圓窖對待者五術，推勾股邊積互求者六術，共合二十術之數。中間每以人戶道裏，大小遠近，及材物之輕重，工作之時日，乘除進退，參伍以得其法。頗不以深淺為次第，故讀者或不能驟通。而卒篇以後，由源竟委，端緒足尋，洵為思極毫芒，曲盡事理。唐代明算立學，習此書者以三年為限，亦知其術之精妙，非旦夕所克竟其義矣。其書世罕流播，此乃宋元豐七年秘書監趙彥若等校定刊行舊本，常熟毛扆得之章邱李氏，而影抄傳之者。今詳加勘正，其文間有脫闕，不敢妄補。謹撮取其義，別加圖說，附諸本文之左，以便觀覽雲。

上輯古算經表

臣孝通言：臣聞九疇載敘，紀法著於彜倫；六藝成功，數術參於造化。夫為君上者，司牧黔首，布神道而設教，采能事而經綸，盡性窮源，莫重於算。昔周公制禮，有九數之名。竊尋九數，即《九章》是也。其理幽而微，其形秘而約，重句聊用測海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與於此者？漢代張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同。魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之註。徽思極毫芒，觸類增長，乃造重差之法，列於終篇。雖即未為司南，然亦一時獨步。自茲厥後，不斷前蹤。賀循、徐嶽之徒，王彪、甄鸞之輩，會通之數無聞焉耳。但舊經殘駁，尚有闕漏，自劉已下，更不足言。其祖恒之《綴術》，時人稱之精妙，曾不覺方邑進行之術，全錯不通；芻亭方亭之問，於理未盡。臣今更作新術，於此附伸。臣長自閭閻，少小學算。鐫磨愚鈍，迄將皓首。鉆尋秘奧，曲盡無遺。代乏知音，終成寡和。伏蒙聖朝收拾，用臣為太史丞，比年已來，奉敕校勘傅仁均歷，凡駁正術錯三十余道，即付太史施行。伏尋《九章·商功篇》有平地役功受袤之術，至於上寬下狹、前高後卑，正經之內，闕而不論，致使今代之人不達深理，就平正之門，同欹邪之用。斯乃圓孔方柄，如何可安？臣晝思夜想，臨書浩嘆，恐一旦瞑目，將來莫睹，遂於平地之余，續狹斜之法，凡二十術，名曰《緝古》。輕用陳聞，伏深戰悚。謹言。

緝古算經

假今天正十一月朔夜半，日在鬥十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小余一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？（推朔夜半月度，舊術要須加時日度。自古先儒雖復修撰改制，意見甚眾，並未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐後代無人知者。今奉敕造歷，因即改制，為此新術。舊推日度之術，巳得朔夜半日度，仍須更求加時日度，然知月處。臣今作新術，但得朔夜半日度，不須加時日度，即知月處。此新術比於舊術，一年之中十二倍省功，使學者易知）

答曰：在鬥四度七百分度之五百三十。

術曰（推朔夜半月度，新術不復加時日度，有定小余乃可用之）：以章歲減朔月行定分，余以乘朔日定小余，滿日法而一，為先行分。不盡者，半法已上收成一，已下者棄之。若先行分滿日行分而一，為度分，以減朔日夜半日所在度分，若度分不足減，加往宿度；其分不足減者，退一度為行分而減之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入歷當月行定分，即是月一日之行分。但此定分滿章歲而一，為度。凡日一日行一度。然則章歲者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均輸篇》有犬追兔術，與此術相似。彼問：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，問幾何步追及？答曰：二百五十步追及。彼術曰：以兔走減犬走，余者為法。又以犬走乘兔先走，為實。實如法而一，即得追及步數。此術亦然。何者？假令月行定分九千，章歲七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行數相減，余八千三百分者，是日先行之數。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一萬，即相及定分，此乃無對為數。其日法者，亦是相及之分。此又同數，為有八千三百，是先行分也。斯則異矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之時日在月前、月在日後，以日月相去之數四千一百五十減日行所在度分，即月夜半所在度分也）。

假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉，乙縣四十三鄉，每鄉別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問：臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？

答曰：

臺高一十八丈

上廣七丈，

下廣九丈，

上袤一十丈，

下袤一十四丈；

甲縣給高四丈五尺，

上廣八丈五尺，

下廣九丈，

上袤一十三丈，

下袤一十四丈；

乙縣給高一十三丈五尺，

上廣七丈，

下廣八丈五尺，

上袤一十丈，

下袤一十三丈；

羨道高一十八丈，

上廣三丈六尺，

下廣二丈四尺，

袤一十四丈；

甲縣鄉人給高九丈，

上廣三丈，

下廣二丈四尺，

袤七丈；

乙縣鄉人給高九丈，

上廣三丈六尺，

下廣三丈，

袤七丈。

術曰：以程功尺數乘二縣人，又以限日乘之，為臺積。又以上下袤差乘上下廣差，三而一，為隅陽冪。以乘截高，為隅陽截積。又半上下廣差，乘斬上袤，為隅頭冪。以乘截高，為隅頭截積。並二積，以減臺積，余為實。以上下廣差並上下袤差，半之，為正數，加截上袤，以乘截高，所得增隅陽冪加隅頭冪，為方法。又並截高及截上袤與正數，為廉法，從。開立方除之，即得上廣。各加差，得臺下廣及上下袤、高。

求均給積尺受廣袤，術曰：以程功尺數乘乙縣人，又以限日乘之，為乙積。三因之，又以高冪乘之，以上下廣差乘袤差而一，為實。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。又以上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又並兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即乙高。以減本高，余即甲高。此是從下給臺甲高。又以廣差乘乙高，以本高而一，所得加上廣，即甲上廣。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上廣、袤即乙下廣、袤，臺上廣、袤即乙上廣、袤。其後求廣、袤，有增損者，皆放此（此應六因乙積，臺高再乘，上下廣差乘袤差而一。又以臺高乘上廣，廣差而一，為上廣之高。又以臺高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。以上廣之高乘上袤之高，為小冪二。因下袤之高，為中冪一。凡下袤、下廣之高，即是截高與上袤與上廣之高相連並數。然此有中冪定有小冪一。又有上廣之高乘截高，為冪一。又下廣之高乘下袤之高，為大冪二。乘上袤之高為中冪一。其大冪之中又小冪一，復有上廣、上袤之高各乘截高，為中冪各一。又截高自乘，為冪一。其中冪之內有小冪一。又上袤之高乘截高，為冪一。然則截高自相乘，為冪二，小冪六。又上廣、上袤之高各三，以乘截高，為冪六。令皆半之，故以三乘小冪。又上廣、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，諸冪乘截高為積尺）。

求羨道廣、袤、高，術曰：以均賦常積乘二縣五十六鄉，又六因，為積。又以道上廣多下廣數加上廣少袤，為下廣少袤。又以高多袤加下廣少袤，為下廣少高。以乘下廣少袤，為隅陽冪。又以下廣少上廣乘之，為鱉隅積。以減積，余三而一，為實。並下廣少袤與下廣少高，以下廣少上廣乘之，鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又以三除上廣多下廣，以下廣少袤、下廣少高加之，為廉法，從。開立方除之，即下廣。加廣差，即上廣。加袤多上廣於上廣，即袤。加高多袤，即道高。

求羨道均給積尺甲縣受廣、袤，術曰：以均賦常積乘甲縣上十三鄉，又六因，為積。以袤再乘之，以道上下廣差乘臺高為法而一，為實。又三因下廣，以袤乘之，如上下廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以廣差乘甲袤，本袤而一，以下廣加之，即甲上廣。又以臺高乘甲袤，本袤除之，即甲高。

假令築堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當四，下山六當五，水行一當二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，並每人一日自穿、運、築程功，及堤上、下高、廣各幾何？

答曰：

一人一日自穿、運、築程功四尺九寸六分；

西頭高三丈四尺一寸，

上廣八尺，

下廣七丈六尺二寸，

東頭高三尺一寸，

上廣八尺，

下廣一丈四尺二寸，

正袤四十八丈，

斜袤四十八丈一尺；

甲縣正袤一十九丈二尺，

斜袤一十九丈二尺四寸，

下廣三丈九尺，

高一丈五尺五寸；

乙縣正袤一十四丈四尺；

斜袤一十四丈四尺三寸，

下廣五丈七尺六寸，

高二丈四尺八寸；

丙縣正袤九丈六尺，

斜袤九丈六尺二寸，

下廣七尺，

高三丈一尺；

丁縣正袤四丈八尺，

斜袤四丈八尺一寸，

下廣七丈六尺二寸，

高三丈四尺一寸。

求人到程功運築積尺，術曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟躕之間十加一，載輸一十四步，一返計一百二十四步。以古人負土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，為實。卻以一返步為法。除，得自運土到數也。又以一到負土數乘之，卻以穿方一尺土數除之，得一人一日運動積。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土數除之，為法。除之，得穿用人數。復置運功積，以每人一日常積除之，得築用人數。並之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。

求堤上、下廣及高、袤，術曰：一人一日程功乘總人，為堤積。以高差乘下廣差，六而一，為鱉冪。又以高差乘小頭廣差，二而一，為大臥塹頭冪。又半高差，乘上廣多東頭高之數，為小臥塹頭冪。並三冪，為大小塹鱉率。乘正袤多小高之數，以減堤積，余為實。又置半高差及半小頭廣差與上廣多小頭高之數，並三差，以乘正袤多小頭高之數。以加率為方法。又並正袤多小頭高、上廣多小高及半高差，兼半小頭廣差加之，為廉法，從。開方立除之，即小高。加差，即各得廣、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，並，而開方除之，即斜袤。

求甲縣高、廣、正、斜袤，術曰：以程功乘甲縣人，以六因取積，又乘袤冪。以下廣差乘高差為法除之，為實。又並小頭上下廣，以乘小高，三因之，為垣頭冪。又乘袤冪，如法而一，為垣方。又三因小頭下廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，得小頭袤，即甲袤。又以下廣差乘之，所得以正袤除之，所得加東頭下廣，即甲廣。又以兩頭高差乘甲袤，以正袤除之，以加東頭高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤東頭高減甲高，余自乘，並二位，以開方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本縣人功積尺，每以前大高、廣為後小高、主廉母自乘，為方母。廉母乘方母，為實母（此平堤在上，羨除在下。兩高之差即除高。其除兩邊各一鱉腝，中一塹堵。今以袤再乘六因積，廣差乘袤差而一，得截鱉腝袤，再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因小頭下廣，大袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法。又並小頭上下廣，又三之，以乘小頭高為頭冪，意同六除。然此頭冪，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今還依數乘除一頭冪，為從。開立方除之，得截袤）。

求堤都積，術曰：置西頭高，倍之，加東頭高，又並西頭上下廣，半而乘之。又置東頭高，倍之，加西頭高，又並東頭上下廣，半而乘之。並二位積，以正袤乘之，六而一，得堤積也。

假令築龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共築。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。

答曰：

高三丈，

上廣三丈四尺，

下廣一丈八尺，

袤六丈六尺；

甲縣高一丈五尺，

袤三丈三尺，

上廣二丈一尺；

乙縣高二丈一尺，

袤一丈三尺二寸，

上廣二丈二尺二寸；

丙縣高三丈，袤一丈九尺八寸，

上廣二丈四尺。

求龍尾堤廣、袤、高，術曰：以程功乘總人，為堤積。又六因之，為虛積。以少高乘少袤，為隅冪。以少上廣乘之，為鱉隅積。以減虛積，余，三約之，所得為實。並少高、袤，以少上廣乘之，為鱉從橫廉冪。三而一，加隅冪，為方法。又三除少上廣，以少袤、少高加之，為廉法，從。開立方除之，得下廣。加差，即高、廣、袤。

求逐縣均給積尺受廣、袤，術曰：以程功乘當縣人，當積尺。各六因積尺。又乘袤冪。廣差乘高，為法。除之，為實。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，為都廉，從。開立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加末廣，即甲上廣。其甲上廣即乙末廣，其甲高即垣高。求實與都廉，如前。又並甲上下廣，三之，乘甲高，又乘袤冪，以法除之，得垣方，從。開立方除之，即乙袤。余放此（此龍尾猶羨除也。其塹堵一，鱉腝一，並而相連。今以袤再乘積，廣差乘高而一，所得截鱉腝袤再自乘，為立方一。又塹堵袤自乘，為冪一。又三因末廣，以袤乘之，廣差而一，與冪為高，故為廉法）。

假令穿河，袤一裏二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，並漘上廣各多少？

答曰：

漘上廣五丈八尺二寸一分；

甲郡正袤一百四十四丈，

斜袤一百四十四丈三尺，

上廣二十六丈四寸，

深一十一丈一尺六寸；

乙郡正袤一百一十五丈二尺，

斜袤一百一十五丈四尺四寸，

上廣四十丈九尺二寸，

深一十八丈六尺；

丙郡正袤五十七丈六尺，

斜袤五十七丈七尺二寸，

上廣四十八丈三尺六寸，

深二十二丈三尺二寸，

丁郡正袤二十八丈八尺，

斜袤二十八丈八尺六寸，

上廣五十二丈八寸，

深二十四丈一尺八寸。

術曰：如築堤術入之（覆堤為河，彼註甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，為積。又六因，以乘袤冪。以上廣差乘深差，為法。除之，為實。又並小頭上、下廣，以乘小頭深，三之，為垣頭冪。又乘袤冪，以法除之，為垣方。三因小頭上廣，以乘正袤，以廣差除之，為都廉，從。開立方除之，即得小頭袤，為甲袤。求深、廣，以本袤及深廣差求之。以兩頭上廣差乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭上廣，即甲上廣。以小頭深減南頭深，余以乘甲袤，以本袤除之，所得加小頭深，即甲深。又正袤自乘，深差自乘，並，而開方除之，即斜袤。若求乙、丙、丁，每以前大深、廣為後小深、廣，準甲求之，即得。

求漘上廣，術曰：以程功乘總人，又以限日乘之，為積。六因之，為實。以正袤除之，又以高除之，所得以下廣減之，余又半之，即漘上廣。

假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負、築，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？

答曰：

窖上廣八丈，

上袤九丈，

下廣一十丈，

下袤一十二丈，

深三丈；

甲郡八千七十二人，

深一十二尺，

下袤一十丈二尺，

廣八丈八尺；

乙郡七千二百七十二人，

深九尺，

下袤一十一丈一尺，

廣九丈四尺；

丙郡五千四百七十三人，

深六尺，下袤一十一丈七尺，

廣九丈八尺；

丁郡二千九百三十三人，

深三尺，

下袤一十二丈，

廣一十丈。

求窖深、廣、袤，術曰：以斛法乘總粟，為積尺。又廣差乘袤差，三而一，為隅陽冪。乃置塹上廣，半廣差加之，以乘塹上袤，為隅頭冪。又半袤差，乘塹上廣，以隅陽冪及隅頭冪加之，為方法。又置塹上袤及塹上廣，並之，為大廣。又並廣差及袤差，半之，以加大廣，為廉法，從。開立方除之，即深。各加差，即合所問。

求均給積尺受廣、袤、深，術曰：如築臺術入之。以斛法乘甲郡輸粟，為積尺。又三因，以深冪乘之，以廣差乘袤差而一，為實。深乘上廣，廣差而一，為上廣之高。深乘上袤，袤差而一，為上袤之高。上廣之高乘上袤之高，三之，為方法。又並兩高，三之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即甲深。以袤差乘之，以本深除之，所加上袤，即甲下袤。以廣差乘之，本深除之，所得加上廣，即甲下廣。若求乙、丙、丁，每以前下廣、袤為後上廣、袤，以次皆準此求之，即得。若求人數，各以程功約當郡積尺。

假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已運出五十石四斗。問：倉上下方、高及余粟深、上方各多少？

答曰：

上方三尺，

下方九尺，

高一丈二尺；

余粟深、上方俱六尺。

求倉方、高，術曰：以斛法乘容粟，為積尺。又方差自乘，三而一，為隅陽冪。以乘截高，以減積，余為實。又方差乘截高，加隅陽冪，為方法。又置方差，加截高，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問。

求余粟高及上方，術曰：以斛法乘出粟，三之，以乘高冪，令方差冪而一，為實（此是大、小高各自乘，各乘取高。是大高者，即是取高與小高並）。高乘上方，方差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，得取出高。以減本高，余即殘粟高。置出粟高，又以方差乘之，以本高除之，所得加上方，即余粟上方（此本術曰：上下方相乘，又各自乘，並以高乘之，三而一。今還元，三之，又高冪乘之，差冪而一，得大小高相乘，又各自乘之數。何者？若高乘下方，方差而一，得大高也。若高乘上方，方差而一，得小高也。然則斯本下方自乘，故須高自乘乘之，差自乘而一，即得大高自乘之數。小高亦然。凡大高者，即是取高與小高並相連。今大高自乘為大方。大方之內即有取高自乘冪一，隅頭小高自乘冪一。又其兩邊各有以取高乘小高，為冪二。又大小高相乘，為中方。中方之內即有小高乘取高冪一。又小高自乘，即是小方之冪又一。則小高乘大高，又各自乘三等冪，皆以乘取高為立積。故三因小冪為方，及三小高為廉也）。

假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺，限八日役。自穿築，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？

答曰：

高四丈八尺，

上廣三丈六尺，

袤六丈六尺。

求甲縣均給積尺受廣、袤，術曰：以程功乘乙縣人數，又以限日乘之，為積尺。以六因之，又高冪乘之，又袤差乘廣而一，所得又半之，為實。高乘上袤，袤差而一，為上袤之高。三因上袤之高，半之，為廉法，從。開立方除之，得乙高。以減甍高，余即甲高。求廣、袤，依率求之（此乙積本倍下袤，上袤從之。以下廣及高乘之，六而一，為一甍積。今還元須六因之，以高冪乘之，為實。袤差乘廣而一，得取高自乘以乘三上袤之高，則三小高為廉法，各以取高為方。仍有取高為立方者二，故半之，為立方一。又須半廉法）。

假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗。問：殘粟去口、上下周、高各多少？

答曰：

一周一丈八尺，

下周三丈，

高三丈六尺，

去口一丈八尺，

粟周二丈四尺。

求圓囤上下周及高，術曰：以斛法乘容粟，又三十六乘之，三而一，為方亭之積。又以周差自乘，三而一，為隅陽冪。以乘截高，以減亭積，余為實。又周差乘截高，加隅陽冪，為方法。又以周差加截高，為廉法，從。開立方除之，得上周。加差，而合所問。

求粟去口，術曰：以斛法乘出斛，三十六乘之，以乘高冪，如周差冪而一，為實。高乘上周，周差而一，為小高。令自乘，三之，為方法。三因小高，為廉法，從。開立方除之，即去口（三十六乘訖，即是截方亭，與前方窖不別）。置去口，以周差乘之，以本高除之，所得加上周，即粟周。

假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？

答曰：

倉方四丈五尺三寸（容粟一萬二千七百二十二斛九斗五升八合），

窖徑四丈六尺二寸（容粟一萬三百九十七石七斗七升二合），

高與深各一丈五尺五寸。

求方、徑高深，術曰：十四乘斛法，以乘粟數，二十五而一，為實。又倍多加少，以乘少數，又十一乘之，二十五而一，多自乘加之，為方法。又倍少數，十一乘之，二十五而一，又倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟為積尺。前一十四餘，今還元，一十四乘。為徑自乘者，是一十一；方自乘者，是一十四。故並之為二十五。凡此方、圓二徑長短不同，二徑各自乘為方，大小各別。然則此塹方二丈九尺八寸，塹徑三丈七寸，皆成方面。此應塹方自乘，一十四乘之；塹徑自乘，一十一乘之，二十五而一，為隅冪，即方法也。但二隅冪皆以塹數為方面。今此術就省，倍小隅方，加差為矩袤，以差乘之為矩冪。一十一乘之，二十五而一。又差自乘之數，即是方圓之隅同有此數，若二十五乘之，還須二十五除。直以差自乘加之，故不復乘除。又須倍二廉之差，一十一乘之，二十五而一，倍差加之，為廉法，不復二十五乘除之也）。

還元，術曰：倉方自乘，以高乘之，為實。圓徑自乘，以深乘之，一十一乘，一十四而一，為實。皆為斛法除之，即得容粟（斛法二尺五寸）。

假令有粟一萬六千三百四十八石八斗，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少於圓徑一丈，多於高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？

答曰：

方一丈八尺，

高深一丈三尺，

圓徑二丈八尺。

術曰：以一十四乘斛法，以乘粟數，如八十九而一，為實。倍多加少，以乘少數，三十三乘之，八十九而一，多自乘加之，為方法。又倍少數，以三十三乘之，八十九而一，倍多加之，為廉法，從。開立方除之，即高、深。各加差，即方徑（一十四乘斛法，以乘粟，為徑自乘及方自乘數與前同。今方倉四，即四因十四。圓窖三，即三因十一。並之，為八十九，而一。此塹徑一丈五尺，塹方五尺，以高為立方。自外意同前）。

假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方於窖深二尺，少於倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、高、深各多少？

答曰：

方、徑各一丈六尺，

高一丈九尺，

深一丈四尺。

術曰：三十五乘粟，二十五而一，為率。多自乘，以並多少乘之，以乘一十四，如二十五而一，所得以減率，余為實。並多少，以乘多，倍之，乘一十四，如二十五而一，多自乘加之，為方法。又並多少，以乘一十四，如二十五而一，加多加之，為廉法，從。開立方除之，即窖深。各加差，即方、徑、高（截高五尺，塹徑及方二尺，以深為立方。十四乘斛法，故三十五乘粟。多自乘並多少乘之，為截高隅積，即二廉，方各二尺，長五尺。自外意旨皆與前同）。

假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面於圓徑等，兩深亦同，其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、深各多少？

答曰：

上方、徑各七尺，

下方、徑各二丈八尺，

深各二丈一尺。

術曰：以四十二乘斛法，以乘粟，七十五而一，為方亭積。令方差自乘，三而一，為隅陽冪，以截多乘之，減積，余為實。以多乘差，加冪，為方法。多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（凡方亭，上下方相乘，又各自乘，並以乘高，為虛。命三而一，為方亭積。若圓亭上下徑相乘，又各自乘，並以乘高，為虛。又十一乘之，四十二而一，為圓亭積。今方、圓二積並在一處，故以四十二復乘之，即得圓虛十一，方虛十四，凡二十五，而一，得一虛之積。又三除虛積，為方亭實。乃依方亭復問法，見上下方差及高差與積求上下方高術入之，故三乘，二十五而一）。

假令有粟二萬六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問上下方、深數各多少？

答曰：

方窖上方七尺，

下方二丈八尺，

深二丈一尺，

圓窖上下徑、深與方窖同。

術曰：以四十二乘斛法，以乘粟，三百八十四而一，為方亭積尺。令方差自乘，三而一，為隅陽冪。以多乘之，以減積，余為實。以多乘差，加冪，為方法。又以多加差，為廉法，從。開立方除之，即上方。加差，即合所問（今以四十二乘。圓虛十一者四，方虛十四者六，合一百二十八虛，除之，為一虛之積。得者仍三而一，為方亭實積。乃依方亭見差復問求之，故三乘，一百二十八除之）。

假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多於句三十六十分之九。問：三事各多少？

答曰：

句十四二十分之七，

股四十九五分之一，

弦五十一四分之一。

術曰：冪自乘，倍多數而一，為實。半多數，為廉法，從。開立方除之，即句。以弦多句加之，即弦。以句除冪，即股（句股相乘冪自乘，與句冪乘股冪積等。故以倍句弦差而一，得一句與半差之共乘句冪，為方。故半差為廉法，從，開立方除之。按：此術原本不全，今依句股義擬補十三字）。

假令有句股相乘冪四千三十六五分之□，股少於弦六五分之一。問：弦多少？（按：此問原本缺二字，今依文補一股字，其股字上之□系所設分數，未便懸擬，今姑闕之）。

答曰：弦一百一十四十分之七。

術曰：冪自乘，倍少數而一，為實。半少，為廉法，從。開立方除之，即股。加差，即弦。

假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？

答曰：九十二五分之二。

術曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實。又多數自乘，倍之，為方法。又置多數，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差□□□□□為方令多再自乘半之為隅□□□□□橫虛二立廉□□□□□□□□□□□倍之為從隅□□□□□□□□□□□多為上廣即二多□□□□□□□□□法故五之二而一）。

案：此術脫簡既多，法亦煩擾，宜雲冪自乘，多數而一，所得四之，為實。多為廉法，從。立方開之，得減差，半之，即股（冪自乘，與勾冪弦冪相乘積等。令勾冪變為股弦並乘股弦差，故差而一，所得乃股弦並乘弦冪）。

假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？

答曰：六十八。

術曰：冪自乘，倍少數而一，為立冪。又少數再自乘，半之，以減立冪，余為實。又少數自乘，倍之，為方法。又置少數，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即句。加差，即弦。弦除冪，即股。

假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？

答曰：股二十六五分之二。

術曰：冪自乘，為實。句自乘，為方法，從。開方除之，所得又開方，即股（□□□□□□□□□□□□□□數亦是股□□□□□□□□□□□□為長以股□□□□□□□□□□□□得股冪又開□□□□□□□□□□□股北分母常……）

假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？

答曰：句八、五分之四。

術曰：冪自乘，為實。股自乘，為方法，從。開方除之，所得又開方，即句。

緝古算經跋

按《唐書·選舉誌》制科之目，明算居一，其定制雲：凡算學，孫子、五曹共限一歲，九章、海島共三歲，張邱建、夏侯陽各一歲，周髀、五經算共一歲，綴術四歲，緝古三歲，記遺三等數皆兼習之。竊惟數學為六藝之一，唐以取士共十經。周髀家塾曾刊行之，余則世有不能舉其名者。扆半生求之，從太倉王氏得孫子、五曹、張邱建、夏侯陽四種，從章邱李氏得周髀、緝古二種，後從黃俞邰又得九章。皆元豐七年秘書省刊板，字書端楷，雕鏤精工，真世之寶也。每卷後有秘書省官銜姓名一幅，又一幅宰輔大臣，自司馬相公而下俱列名於後，用見當時鄭重若此。因求善書者刻畫影摹，不爽毫末，什襲而藏之。但焉得海島、五經、綴術三種，竟成完璧，並得好事者刊刻流布，俾數學不絕於世，所深願也。

康熙甲子仲秋汲古後人毛扆謹識