欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典
第一百二十六卷目錄
算法部彙考十八
新法曆書〈比例規解〉
曆法典第一百二十六卷
算法部彙考十八
《新法曆書》
比例規解〈遠西羅雅谷著〉
序目
天文、曆法等學,舍度與數,則授受不能措其辭,故量 法、算法恆相發焉。其法種種不襲,而器因之。各國之 法與器,大同小異,如算法之或以書,或以盤珠,吾西 國猶以為未盡其妙也。近世設立籌法,似更超越千 古,至幾何家用法,則籌有所不盡者,而量該之,不能 不藉以為用。今繇《幾何》六卷六題推顯比例,規尺一 器,其用至廣,其法至妙,前諸法器不能及之。因度用 數開闔其尺,以規搘度,得算最捷。或加減、或乘除、或 三率,或開方之面與體,此尺悉能括之。又函表度、倒 景、直景、日晷、句股弦算、五金輕重諸法,及百種技藝, 無不賴之,功倍用捷,為造瑪得瑪第嘉最近之津梁 也。昔在上海,曾為徐宗伯造其尺而未暇譯書,今奉 旨修曆,兼用敝庠之法。思此小器,為用既廣,曷敢祕 而不傳?第中西文字絕不相同,倘因艱澀而輟譯,是 坐令此器不得其用,不甚可惜哉!因草創成書,請教 宗伯。「此器之倘為用于世也,則潤色之,增補之,定有 其時,而谷之不文,或見亮於天下後世也矣。」
論度數者,其綱領有二,一曰量法,一曰算法。所量所 算者,其節目有四焉:曰點,曰線,曰面,曰體,總命之曰 幾何之學,而其法不出於比例。蓋比例法又不出於 句股,第句股為正方角,而別有等角、斜角,句股不足 盡其理,故總名之曰「三角形。」此規名比例者,用比例 法也。器不越咫尺,而量法算法,若線,若面,若體,若弧 矢方圓諸法,凡度數所須,該括欲盡,斯亦奇矣。所分 諸線,篇中稱引之說,特其指要各有本法,《本論》未及 詳焉。若所從出與其致用,則三角形之比例而已。按 《幾何原本》六卷四題云:「凡等角、三角形,其在等角旁 之各兩腰線相與為比例,必等,而對等角之邊為相 似之邊。」六題云:「兩三角形之一角等」,而對等,「角旁之 各兩邊比例等」,即兩形為等,角形而對各,相似邊之 角各等。作者因此二題,創為此器。今依左圖解之。如:
圖
「甲乙丙與丁乙戊大小兩三角形,同用乙角即為等角,則甲乙與乙丙之比例若丁乙與乙戊,而對等角之邊,如甲丙與丁戊為相似之邊也。又顯兩形為等角形,而對各相似邊之角各等也。」 今此規之樞心即乙角,兩股即乙甲乙丙兩腰,甲丙為底即與乙丁戊為等角形,而各相當之各角各邊,其比例悉等矣。任張翕之,但取「大」
圖
小兩腰,其兩底必相似也。或取兩底,其兩腰必相似也;或取此腰此底,其與彼腰彼底必相似也。以數明之,如甲乙大腰一百,乙丁小腰六十,而設甲丙大底八十,以求小底,丁戊即定尺,用規器量取,丁戊為度,向平分線取數,必四十八,不煩乘除矣。又如平方積一萬,其根一百,求作別方,為大方四之三,即以一百為腰,分面線之。
四點為大底,次以三點為小腰,取小底為度,向平分 線得八十六半強,為小方根。自之約得七千五百,為 小方積,不煩開平方矣。又如立方積八千,其根二十, 求作大方倍元方,即以二十為小底,分體線之一點 為小腰,次以二點為大腰,取大底為度,於平分線得 二十五半,自之,再自之,約得一萬六千,為大方積,不 煩開立方矣。篇中所言「某為腰,某為底」,設某數得某 數者,皆此類也。規凡二面,面有五線,共十線,其目如 左:
第一《平分線》:
第二。《分面線》。
第三更《面線》。
第四。《分體線》。
第五更《體線》,
第六。分《弦線》:
《第七節·氣線》
第八時刻線:
第九表「心線