Page:Gujin Tushu Jicheng, Volume 035 (1700-1725).djvu/42

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百六十,皆與次商六十呼除。先以左六對右四呼,四 六除,積二萬四千。又左六對右六呼,六六除,積三千 六百。餘實四千二百二十四步。卻以右位次商六十, 倍加六十,於四百之下,共五百二十,皆為廉法。又商 八於左初次商二百六十之下,亦置八於右。廉法五 百二十之下,皆與上商八步呼除。先以左八對右五 呼,除五八除,積四千。又呼二八,除一百六十。又呼「八 八」,除實六十四步恰盡。

一方四廉兩隅演段圖

一方四廉兩隅演段圖

《演段。解》曰:其初商二百,自乘,得積四萬,是大方積也。 次商六十,內有闊六十,長二百兩段,故倍初商二百, 作四百,為廉法,與左次商六十乘,得二萬四千,是兩 箇闊六十,長二百之積。其次商六十,自乘,得三千六 百,是中方積。又商八步,內有闊八步,長二百六十兩 段,故倍初次商二百六十,為五百二十,卻以八步乘, 得積四千一百六十,是兩箇闊八步長二百六十步 小廉積也。其又商,八步自乘,得積六十四步,是小方 隅積也。凡平圓先用《開平方》法,後用十二除,為圓。

歸除開平方

今有平方積五萬四千七百五十六步,問平方一面 若干?

答曰:「二百三十四步。」

《歸除開平方法》曰:「置積五萬四千七百五十六步為 實於盤中,見實約商二百於實左。另置二百於右下, 左右相呼,二二除實四萬步,餘實一萬四千七百五 十六步。以右下二百步倍之,得四百步為法。歸除之 呼四一二十二,逢四進一十,得商三十步。就置三十 步於右四百之下,相呼三三除實九百步,餘實一千」 八百五十六步。就以右下三十步倍之,得六十步,共 四百六十步為法。歸除之,呼四一二十二,逢八進二 十,得商四步。亦置四步於右六之下,相呼,「四六」除,實 二百四十步。又呼「四四」除,實一十六步,恰盡。以左上 所商,得二百三十四步,為平方一面之數也。

今有平方積四百九十步,欲為平方,問每面若干? 答曰:「每面二十二步又四十五分步之六。」

《歸除開平方法》曰:「置積四百九十為實於盤中,見實 四百商二十步於實左。另置二十步於右下,左右相 呼,二二除實四百步,餘實九十步。就以右位二十步 倍之,得四十步為法,歸除之,呼逢八進二步,就以二 步於右四十之下相呼,二二」除實四步,餘實六步。不 盡,以直方命之。法曰:以所商二十二步倍之,又添一 步,共得四十五步,為分母,命之曰「四十五分步之六」 也。

解曰:若以積四百九十步,加入四十五步,減去分子六步,仍得五百二十九步,便商二十三步,所謂「不及」 ,故為之命也。

歸除平方帶縱歌

平方帶縱法最奇,四因積步不須疑,縱多自乘加因 積,又用開方法除之。再以縱多併開積,折半方為長 數施,若問闊步知多少,將長減卻縱多基。

今有直田積一千七百五十步,長比闊多一十五步, 問長、闊各該若干?

答曰:「長五十步,闊三十五步。」

法曰:置積一千七百五十步,以四因之,得七千步。另 以縱多一十五步,自乘,得二百二十五步,相併,共得 七千二百二十五步為實。以開平方法除之,約商八 十於左,亦置八十於右。左右相呼,八八除實六千四 百步,餘實八百二十五步。就以下法八十倍之,得一 百六十步為法,歸除之,呼逢五進五,於初商八十之 次,共得八十五步。《下法》亦置五於一百六十之下,共 一百六十五步。左五對右六相呼,五六除實三百步。 又左五對右五呼,五五除實二十五步。恰盡得左商 八十五步。如長闊相和之步,加入縱多一十五步,共 得一百步。折半得五十步。於內,減去縱多一十五步, 餘三十五步,即是闊也。

《帶縱開平》方法歌:《兼商除》:

平方帶縱法為奇,下位先安縱步基,上商得數加縱 內,縱方,下法併為題,上下相呼除實畢,倍方不倍縱 開餘,餘數續商方再倍,何愁此術不能知。

法曰:如有田積若干,只云「闊不及長若干。」問闊者幾 何,則置田積若干為實,以不及若干為縱,列於下法, 以帶縱《開平方法》除之,實上初商得若干。下法亦置