面二十步。各以方面自乘,得各積《合問》。
若四段則用《四歸》。五段則用《五歸》。
假如大小圓田二段共積,只云大圓徑多小圓徑者, 法置共積,以四因三歸,得數仍如前方田算。或只云 「大圓周多小圓周」者,法置共積,以十二乘,得數仍如 大小方田算。
假如大、小立方二所共積,只云「大立方面多小立方 面」者,法置共積,另置大立方面多小立方面數自乘、 再乘,以減共積,餘積折半為實。初商自乘、再乘,得數 除,實訖,次商若干,併入初商,共若干,自乘、再乘,得數 內減去初商自乘、再乘數餘若干,除實訖,仍餘實若 干倍之,卻以大多小數併入初商、次商數共若干,以 初次商若干乘,得數又以大多小數乘,得若干,卻以 三因之,得若干。除實恰盡,得小立方面數;加多數,得 大立方面數。各以方面自乘,再乘,得各積立方。三所 共積,用三歸,若四所共積,用四歸。餘倣此。
《開立》方法歌:〈自乘為平方,再乘為立方。〉
自乘,再乘除實積,三因初商方另列,次商遍乘,名為 廉。方法乘廉除次積,次商自再乘,名隅,依數除積方 了畢。初次三因又為方。三商遍乘倣此的。
認商歌
一千商十定無疑,三萬纔為三十餘,九十九萬不離 十,百萬方為一百推。
解曰:謂如積一千步,約商一十步。又如積三萬,就約商三十步。又如積九十九萬步,就約商九十步。如積一百萬步,可約商一百步。乃自乘、再乘之積而求原數也。此謂有實無法,故曰「約之。」
商一步 積一步起至七步止,皆商一步。
商二步 積八步起,至二十六步止。
商三步 積二十七步起,至六十三步止。
商四步, 積六十四步,起至一百二十四步止。 商五步, 積一百二十五步,起至二百一十五步止。 商六步, 積二百一十六步,起至三百四十二步止。 商七步, 積三百四十三步,起至五百一十一步止。 商八步, 積五百一十二步,起至七百二十八步止。 商九步, 積七百二十九步,起至九百九十九步止。 商一十步, 積一千步,起,至七千步止。
商:二十步 積八千步起,至二萬六千步止。
商:三十步 積二萬七千步起,至六萬步止。
商四十步, 積六萬四千步起至一十二萬步止。 商五十步, 積一十二萬五千步,起至二十一萬止。 商六十步, 積二十一萬六千步起至三十四萬止。 商七十步, 積三十四萬三千步起至五十一萬止。 商八十步, 積五十一萬二千步起至七十二萬止。 商九十步, 積七十二萬九千步,起至九十九萬止。 商一百步, 積一百萬步起,至七百萬步止。
已上皆言「初商」 首位之積,以所商自乘、再乘之數,次商用法不同。
法曰:置積為實,別置一算,名曰「下法。」於實數之下。〈自末 位至首常超二位〉約實自千至九十餘萬俱定十及百萬後, 俱定百實。上商置第一位,得若干。下法亦置初商若 干,自乘再乘得若干,除實訖,餘實若干。卻以三乘下 法初商若干,得若干,為方法列位。次商置第一位於 初商之次,得若干。下法亦置次商若干,於初商之次, 共得若干。就以次商若干,遍乘得若干,為廉法。再以 方法乘廉得若干,除實訖,餘實若干,卻以次商若干 自乘,再乘得若干,為隅法,除實盡,得立方面數。若有 不盡數,仍前再商之,或有不盡數,以法命之。何謂之 「命若」餘實若干,不盡,卻以所商得立方數若干自乘 得若干,又以三因之,得若干,另以所商得立方數若 干,用三因之,得若干,再添一箇,共得若干,便商得多 一立方數也。因此不及而為之命也。〈立圓法遇有不盡者亦倣此〉 若要還原,以立方面自乘,再乘見積。若還原,遇立方 原有不盡數者,以立方面自乘、再乘,併入不盡數見 積。
今有物三千三百七十五尺,問立方面若干?
答曰:「立方面一十五尺。」
法曰:置物三千三百七十五尺為實。約初商得一十 於左。下法亦置一十於右。自乘得一百,再乘得一千。 除實訖,餘實二千三百七十五尺。卻以三乘下法一 十,得三十,為方法,列位次商五尺於左。初商之次。下 法亦置次商五於初商一十之次,共一十五,就以五 遍乘之,得七十五,為廉法。再以方法三十乘廉法七 十五,得二千二百五十,除實訖,餘實一百二十五,恰 以次商五自乘,再乘,得一百二十五,為隅法。除實恰 盡。
圖
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