Page:Gujin Tushu Jicheng, Volume 036 (1700-1725).djvu/18

以散積，補短截長，而方圓斜直通融為一，此亦天然 之妙也。假令徑十寸，矢一寸，積該三寸五分，自乘該 十二寸二分五釐，上廉三寸五分，下廉十寸，以三乘 方開之，而一寸無開方，則上下廉如元數，共得十三 寸五分為廉法。與一寸矢相乘，除實恰少一寸二分 五釐，是為負隅之數。所以用每矢一寸則帶二分五 釐為準，以減徑，然後法實相當也。又如徑十寸矢二 寸，積該十寸，自乘該百寸上廉十寸，下廉亦十寸，以 三乘方開之，則須以矢數乘上「廉，上廉該得三十寸。」 蓋長十寸而高二寸之數，以矢數自乘，得四而乘下 廉，下廉該得四十寸。蓋高十寸而闊四寸之數，上下 廉共得六十寸。又以矢二寸為方面，與上下廉相乘， 除實共二箇六十寸，該得一百二十寸，其數乃足。而 元數止得百寸，恰少積二十寸，所以用二寸五分以 除下廉，則該止得七寸五分為下廉。其下廉減去高 二寸五分，中闊該四寸，則四箇二寸五分，該得十寸。 方面二寸，與十寸相乘，共二十寸，恰勾負隅之數，所 以二寸矢則用二寸五分減法也。遞而上之，每寸以 二分五釐為準，蓋雖徑有極長極短，而一寸寸矢帶 二分五釐減徑之法，則定數也。徑積求矢，矢積求徑， 「徑矢求積」，諸法《消息管》於是矣。然此二法者，背弦之 差，則隨徑而不隨矢，所以均為一寸之矢，而其差則 有多寡之不齊，矢徑之差，則隨矢而不隨徑，所以但 得一寸之矢，則不問徑之長短，而一例為差。此二法 之異也。若以今法與舊法相通，今法不倍積，所以不 用四因，四因者，生於倍積也。古法之五為負隅，即今 之一寸帶二分五釐也。蓋以五乘之矢，除四因之徑， 則亦一寸矢而減一寸三分五釐之徑也。然有廉而 無方隅者，蓋截積止得廉數也。即此二法，可見截弧 截積之法，皆從邊起，而準之於邊，以漸消息之矣。既 得一寸之定差，則雖倍蓰十伯，錯綜變化，而皆不能 出乎範圍之外，此天然之妙也。故曰：「握其機而萬事 理矣。」其弦矢求徑法，半弦自乘為實，而以矢除之，加 矢得徑，是徑之數藏於半弦冪，與矢相除而加矢之 中也。今環而通之，以為背弦求矢諸法。背弦求矢，其 半背冪中藏一箇半弦冪，與矢相除而加矢之徑數 藏一箇矢冪，以徑數相除為背弦差之數。二數消息， 恰得半背冪本數，則矢數見矣。假令徑十寸，矢一寸， 半背弦差一分，半背數三寸一分，自乘，得九寸六分 一釐，其九寸為弦冪，所謂「中藏。」半弦冪與矢相除而 加矢之徑數，其六分一釐乃是兩半背冪，而空其一 差，亦名差與半背相開方之數，即以與其差一分相 乘之數，所謂一箇矢冪，以徑數相除，為背弦差之數 也。二數消息，以盡背冪，而法可立矣。其背矢求弦法， 若背矢先求出徑，而後以矢徑求弦，則為簡捷。蓋半 背冪中所藏弦冪，與背弦差冪，今以矢冪約徑，而以 徑除矢冪，為背弦差。又以矢截徑，以矢乘之，為半弦 冪。二數消息，恰得半背冪本數，則徑數見矣。得徑而 弦在其中矣。其矢弦求背，亦須先得徑而後得背。蓋 半弦冪為實，乃以矢約徑，以矢減之，以矢乘之，恰得 半弦冪本數，則徑數見矣。得徑而背在其中矣。假令 矢一寸，半弦三寸，自乘九寸，為半弦冪為實，以矢約 寸得十寸，以矢一寸減之得九寸，以矢一寸乘之得 九寸，恰與半弦冪相同，則為徑十寸矣。此背、弦、矢徑 四者相乘除，循環無窮之妙也。至於徑積求矢，則既 然矣。因而通之，積矢求徑，假令徑十寸，矢一寸，積三 寸五分，自乘，該十二寸二分五釐，乃以原積三寸五 分為上廉，一寸之矢為下廉，以除自乘之積餘數，得 八寸七分五釐，加矢帶數一寸二分五釐，則為徑十 寸矣。又如徑十寸，矢二寸，積十寸，自乘寸百為實。矢 乘積得二十寸，為上廉；再矢自乘，得八，為下廉。以二 乘上廉，消積四十，以八消餘，積六十，得七寸五分，加 入矢帶數二寸五分，則徑十寸矣。徑積求矢，則積為 上廉，而徑為下廉；矢積求徑，則亦積為上廉，而矢為 下廉。此其縱橫往來相通之妙。而一乘上廉，再乘下 廉，則三乘《開方》之定法也。積矢求弦，則倍其積，以矢 除積而減矢。弦矢求積，則并矢於弦，以矢乘積而半 其積，蓋矢弦并之為長，以矢乘之而得兩積，故半之 而積可見也。「倍之則為矢弦相併之積」，以矢除之而 得矢弦相併之本，數，除矢而弦可見也。徑矢求積，則 先得弦而後得積，蓋以矢減徑，以矢乘之，四因得數， 面弦冪藏於其中，平方開之得弦。乃以矢自乘，以矢 與弦相乘，合二數而半之，則得積矣。此又積矢、徑、弦 四者相乘除，循環無窮之妙也。其徑背求矢法，則以 半背自乘為實，而約矢以減徑，以矢乘之，為半弦冪。 而平方開之以減背。其減餘之數，恰與矢之背弦差 數相當，則矢數見矣。蓋半背數中藏一，半弦數藏一， 背弦差數，故合二數而消息之也。徑十寸，矢一寸半， 背三寸一分。十寸之徑，每一寸，矢該差二分，二寸矢 該差四分，為定差。今約矢一寸以減徑，得九寸，以矢 乘，亦得九寸，平方開之，得三寸為半弦。以除半背而