Page:Gujin Tushu Jicheng, Volume 036 (1700-1725).djvu/19

餘一分，恰勾一寸差數，則矢之為一寸也無疑矣。又 如徑十寸半，背四寸四分，約得矢二寸，以減徑，餘八 寸。以矢乘，得十六寸，為弦冪。平方開之，為四寸。以減 半背四寸，而餘四分，恰得二寸矢之定差，則矢之為 二寸也無疑矣。又法：半背冪自乘為實，中藏一箇半 弦自乘之數。一箇背弦差與兩半背而空出一差相 乘之數，亦名背弦差與背相開方之數。以此兩數與 實相消，而矢數見矣。假令徑十寸半背三寸一分，其 半背冪該九寸六分一釐，約矢一寸，與徑相減相乘， 如前法，得九寸，以除實九寸。而以一寸之差一分與 兩半背而空出一差之數，得六寸一分，與上差一分 相乘，得六分一釐。并二數九寸六分一釐，除實恰盡。 以是知矢之為一寸也。又如半背四寸四分，自乘，得 十九寸三分六釐為實。約矢二寸，與徑相減相乘，如 前法，得十六寸。以除十六寸，而以二寸之差四分與 兩半背而空出一差之數，得八寸四分，與上差四分 相乘，得三寸三分六釐，併二數十九寸三分六釐，除 實恰盡。以是知矢之為二寸也。此其法亦始於先得 定差，而約矢與徑兩相消息以得矢也。其徑數有長 短，差數有多寡，亦準此法而通之也。在先得定差而 已。又法：半徑自乘為徑冪，半背自乘為背冪，二冪相 乘為實。乃約矢以減徑，以矢乘之，為半弦冪，與徑冪 相乘以除實。又以徑冪除其餘實，恰得矢數之定差， 則矢可得矣。蓋二冪相乘，中藏一箇徑冪，與弦冪相 乘之數，藏一箇徑冪，與半背弦差冪相乘之數。而背 弦差者，矢之所藏也。假令徑十寸，矢二寸，背差八分， 半徑自乘，得二十五寸；半背自乘，得十九寸三分六 釐，相乘得四百八十四寸，為實，及約矢，得二寸，以減 徑而乘之，得十六寸，為弦冪。與徑冪相乘，得四百以 除實，餘八十四寸，又以徑冪除之，得三寸三分六釐， 恰與二寸矢之定差相合。然二寸矢之定差四分，而 乃有三寸三分六釐者，蓋始求背冪之時，以兩背數 相乘，則四分寓其間，恰得此數，所謂差與背相開方 之數也。以四分與八寸四分相乘，得三寸三分六釐， 故定差四分，而其積則三寸三分六釐也。以八寸四 分除之，則定差本數也。夫背弦差者，矢之所藏也。以 差立法，古未有之，而實求矢之大機也。差徑求矢，以 差與徑相乘，平方開之，得矢差。矢求徑，矢自乘，以差 為從。平方開之，得徑。而差與弦亦可以求矢徑半弦 之冪。矢除徑而矢乘徑之數也。差者，矢冪而徑除之 之數也。先約徑，矢數與弦冪相同，而又以徑除矢冪 與差數同，則得矢徑差。與背求矢徑，減差則得弦，即 差弦求矢徑也。積者，矢與弦并，以矢除而半之之數 也。積弦求矢，倍積為實，約矢而加之，於弦，為從方，以 矢為法除之，則得矢也。矢積求弦，矢自乘而置虛積， 與元積相當，然後減去矢自乘之冪，而以矢除其虛 積，與元積之并，則得弦也。假令矢一寸，積三寸五分， 矢自乘得寸，添積二寸五分，乃與元積相當，然後減 去矢自乘之，寸餘六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二 寸積十寸，矢自乘得四寸，加虛積六寸，與元積相當， 減去矢自乘之，寸餘十六寸，以矢除之，得弦八寸也。 如不以矢徑求弦得積而遂以矢徑求積，則矢每寸 截徑寸二分五釐，而以矢自乘，再乘、以乘截餘之徑， 為徑積，然後以徑約積，而以積與矢自乘之數相乘， 添入徑積合為積冪，而復以約積自乘，亦與前積冪 同數，則積亦可得矣，然不如得弦而後得積之為簡 捷也。至於殘周與弦求矢，則亦用半弦自乘為實，而 約出矢數，以除半弦冪，而加矢為徑。乃以徑補出全 周之數，而以半背數除半弦數，餘為半背弦差，恰得 矢之定差，則矢可得矣。假令弦六寸，殘周二十三寸 八分，則以半弦自乘，得九為實，而約出矢一寸。以除 實而加之，得十寸為徑，該周三十寸，除殘周數，得半 背三寸一分，除半弦三寸而餘一分，恰得一寸矢之 定差，則矢一寸也。又如弦八寸，殘周二十一寸二分， 半弦自乘，得十六為實，約出矢二寸。以除實而加之， 得十寸為徑，該周三十寸。除殘周數，得半背四寸四 分。除半弦四寸而餘四分，恰得二寸。矢之定差，則矢 二寸也。數雖如是，而起筭極周折，惟求之弦、矢徑三 相權，則其數可準。蓋徑矢求弦，則以矢減徑，以矢乘 之，為半弦冪。徑弦求矢，則以半弦自乘，為實，而以徑 為益方，以矢減益方而相乘除實，亦是以矢減徑，以 矢乘之，而得半弦冪也。弦矢求徑，則以半弦自乘，以 矢除之，加矢而得徑。由是三者輾轉求之，則是半弦 冪中藏卻以矢減徑、以矢乘之之定數。以是約出矢 徑，而因徑以為周，減其殘周而得背。以半背與半弦 相較而得差，恰與矢之定差相同，則矢數「無所失矣。 其有不合，則更約之。」此數雖若眇茫，然準之於以矢 減徑，即以矢乘，必須與半弦冪相當，則亦未嘗無繩 墨也。此意元之又元也，至神莫知也，積也，矢也，徑也， 弦也，背也，殘周也，差也，凡七者，轉相為法而轉相求， 共得三百二十六法而後盡渾然一圓圈，而中含錯