新法算書 (四庫全書本)/卷029

新法算書　卷二十九

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷二十九　　明　徐光啟等　撰月離厯指卷二
　　解第二均數第十
　　如上論因月有本輪自行度以致不平不順定朔定望多寡不一今用其自行度分加減其平行視行以定均數則於定朔定望及交食之法始無遺漏乃厯家詳測宻推以為未足盡月行之理故又立次輪一法以定均數與本輪第一均數並用之今解其義如左
　　古今測月行審有自行度與平行不合立為本輪法〈或不同心〉與自行加減以定朔望以正交食然其朔望之極大差不過五度此本輪之半徑也是知定朔定望時太隂恆在本輪之周矣其在上下之差則不然古厯於上下日推太隂自行本輪之二限四限〈左右兩傍之盡處所謂留際也如此則為去最髙之極大差〉又在黃道之九十度限〈一名黃平象限如此則無東西視差〉以定本日之經度若如本輪法則此差止應得為五度及用圓渾儀測候或以距太陽求月之視行經度或以恆星求其黃道上之視經度得數乃與先推殊不合論推算宜得五度論測度則得七度四十分從古至今累測皆如之又測前後若干日亦與推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小輪周餘日去離逺近多寡各有本行度分因從其差數以立差法仍定本輪周上復有次小一輪循本輪右旋〈與七政行同與自行異〉半月一周因其行度作加減差以定第二均數列表〈如後卷〉
　　求次輪之比例第十一
　　既論有次小輪今論其大小以定加減率
　　如圖丁為地心
　　庚為本輪心甲
　　乙丙為本輪周
　　作庚丁過心線作本輪之丁甲切線即庚丁甲為五度角〈視行平行之極大差〉朔望時次作庚甲戊線作丁戊線成庚丁戊角為七度四十○分視平兩行上下之大差次庚為心戊為界作戊巳圈太隂在定朔定望時必循甲乙丙本輪周左行在兩時必循戊巳周左行両前後半月間則自甲向戊戊向甲右旋為次輪之自行



　　若庚丁線為一萬全數即庚甲為八百七十二〈五度之正〉庚戊為一千三百三十四〈七度四十分之正〉相減得甲戊四百六十三甲戊線平分於辛庚為心辛為界作辛壬為負次輪圏〈一曰帶次輪〉即甲辛為二百三十一以並庚甲得庚辛一千一百○三為負次輪辛癸圏之半徑則本輪次輪兩半徑為一一○三與二三一也
　　系有二小輪之比例可解前一推一測異同之極大差又可推朔望前後之視行疑於無法而實有法〈朔望前後三十八度其視行絶異故云疑於無法詳後論〉
　　如圖兩圏為本次二輪丁為地心甲為本輪之最髙丙為
　　其心乙為次輪心
　　作丙乙線為一一
　　○三從乙心作次
　　輪圏其半徑二三一〈如上兩輪之比例〉次從丙作丙戊丙子線切次輪於戊於子成戊子兩直角設月體在戊今論之
　　凡月行本輪周左旋〈依宗動天自東而西〉如圖庚為本輪心甲乙為白道丁為最髙己為最庳其平行則自甲向丙庚至乙其自行則自丁而丙而己而戊而復於丁從丁〈即正半轉即最髙〉入轉行極遲
　　向丙〈即中轉亦留際〉其遲日損至丙而及平行度謂之遲初限從丙向己〈即中半轉即最庳〉遲損疾益至己而極疾謂之遲末限從己向戊〈即正轉亦留際〉其疾日損至戊而及平行度謂之疾初限從戊而復向丁疾損遲益至丁而極遲謂之疾末限最髙左右二限謂之遲厯逆經度行〈逆七政經度也後省曰逆行〉最庳左右二限謂之疾厯順經度行〈後省曰順行〉二十七日有竒而周〈即轉周〉若次輪則如圖乙為其心甲巳為本輪周壬戊癸子為次輪周壬為最近癸為其最逺〈本輪可言髙庳次輪不得言髙庳故言逺近謂逺近於本輪心〉其順本輪左旋則自甲向巳其自行右旋〈如七〉
　　〈政自西而東〉則自壬而戊而癸而子而復於壬從壬入轉至戊為遲初限從戊至癸為遲末限從癸至子為疾初限從子至壬為疾末限最近左右二限為遲厯逆行最逺左右二限為疾厯順行十五日弱而周謂之次轉周
　　夫甲巳弧者約太隂距太陽之半周也〈朔與望相距之一百八十度〉次
　　輪心行甲巳半周則月循次輪行滿一
　　周是月體循本輪周行一度即循次輪
　　周行二度次輪心從甲至乙月從壬至
　　戊比本輪上之兩行皆在遲厯皆逆行一至戊切㸃則為逆行之末順行之始順行則始疾故戊切㸃為月行次輪順逆兩行之大差今以數明之
　　作乙戊線為切線之垂線成乙戊丙形戊為直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二
　　十八分為次輪上月行之最大
　　差是本輪心行度〈甲乙〉外應加應
　　減之數乙丙戊角既一十二度
　　二十八分戊乙丙角必七十七
　　度三十二分壬戊弧也半之得
　　二十八度四十六分為甲乙弧〈甲乙為壬戊之半〉
　　系凡次輪心距本輪最髙三十八度為大差之限朔望前後各等
　　論太隂次輪異名同理第十二
　　前卷推月不平行之縁為有本輪次輪因立兩均數以定其實行〈此歌白泥術〉而首卷又有異名同理一章〈第五〉言用不同心圏立法得數不異是則止論本輪未及次輪也今並論兩小輪與兩不同心圏亦復異名同理得數無二〈比馬日諾術〉如左
　　如圖是月本天之大圏平面也本天中函有諸球體有厚薄行有順逆遲速此圖平面亦函有諸圏譬猶剖球為面其中所有一一具見矣內外凡六圏甲為地心亦為月本天之心外第一圏為黃道平分十二宮次圏為
　　交道〈黃白經度畧等〉己見前解第二
　　第六總名為負太隂中距之
　　天其第二之外規面第六之
　　內規面則與地同心〈甲也〉其第
　　二之內規面第六之外規面
　　則與地不同心而以中距之
　　心為心兩天各有厚薄不等其厚薄處恆相反相對〈此二天同一色繪之〉
　　此天平面之外圏斜交於黃道內函月行諸圏為一體順經度行〈右旋〉每日六分四十○秒五十五㣲○六纖八平年三百一十二日有竒而行天一周周行無首尾其起算之界用外規之最薄即本天之最髙
　　第三第五總名為太隂中距天又名為正不同心天〈上有二面同心此四面不同心〉其心為乙距地心甲以最外規〈丁也〉之半徑〈丁甲也〉為度十分之約得一有半為乙甲求其厚得丁甲十五分之四為丁戊此天內函月行之軌道為一體順經度行〈右旋〉其外雖為負距天所挈一體順行又自有其行度毎日二十四度二十二分五十三秒有竒凡一十
　　四日七十三刻○七分有竒
　　而行天一周〈在歌白泥法為次輪上月行之
　　周〉其起算之界為最近地心
　　之處〈已也如上次輪法〉本表目其本
　　行度為日月相距之倍度是
　　為次引數凡月朔望間必行
　　一周故朔望時月恆在於最近即無此圈行度亦不用次均數皆與前法所論次輪同理此圏又名為引數之圏以其函負月軌圏為定均數之根
　　第四名為月軌圏葢太隂自行之軌道也與第三第五正不同心之天又不同心其心丙故又名次不同心之天乙丙兩心相距以中距天〈即第三第五〉之全徑〈外規過心相距〉為度六十平分之得其一分半弱
　　次不同心之心丙旋遶正不同心之心乙作一小圏月體循第四天行雖最外為負距天所挈一體順行又為中距天所挈一體順行其自行則又逆經度左旋譬之負距天如流水中距天如舟月體如人水自順地勢東行有水之行度舟亦順水勢東行又自有舟之行度人卻從船首向船尾西行又自有人之行度也其起算以自天之最髙為界日逆行一十一度一十八分五十九秒有竒三十一日七十八刻有竒而行天一周其在前解則自行本輪也
　　前解定次輪上〈或正不同心圏理同〉太隂一日順行二十四度有竒今減本輪上〈或次不同心圏理同〉逆行一十一度一十八分有竒餘一十三度○三分有竒因兩行相背故相減所得較數為前引數
　　兩不同心圏各有最髙最庳〈前解在次輪者為最逺最近此解亦名最髙最庳〉則太隂所至有逺近四限與前解同其數以中距天之半徑丁乙為度半徑六十則極逺距地心為六十八次
　　逺為六十五分○九秒次近
　　為五十四分五十一秒極近
　　為五十二分〈皆歌白泥所測也〉第二圖次不同心之心在丙
　　其最髙在丁正不同心之最
　　髙在戊〈中名月孛西名平最髙〉甲乙戊
　　線定黃道上月孛之經度甲丙巳線定已為正最髙之經度〈甲丙巳線過甲丙兩心則己為月軌距地之極逺〉乙丙丁線定月軌道最髙之經度從巳至月前解名為月自行古史各有本表今用前兩輪解已作表不復備著
　　右二法外第谷及其門人又有別解更細更宻特為竒玅以步月離倍勝前法特㣲眇難見以步交食精粗判然今並論如左
　　第谷宻測月離覺月自行在朔望時遇初宮或六宮及左右平距〈最髙庳之左右其距地等〉即自行四限〈髙庳左右〉但依古法用一均數一本輪自行足以齊太隂之不平行矣自非然者即用古法多見參差因依古步五星法於月離法中亦加一均輪均輪者古推步五星自行用兩不用心圏一為負本輪心之圏一為均行之圏〈均行圈者與本輪心圏又不同心而出入其內外古推五星但依本輪心圏未能悉合別依此圏推步然後度分不謬故名均行之圈或用均輪也歌白泥謂月離法中可省此第谷覺有未合復用之乃合〉其解於五星厯中詳之今月離亦用之是為新法依此作五輪月行全圖如左方如圖甲為地心取甲乙線為半徑〈前法為次輪之半徑〉乙為心甲為界作甲丁丙圏〈前法為次輪〉從圏周任取丁為心作戊己癸圏其半徑丁戊是為月與地之平距〈平距者最髙庳之間〉即五
　　十六地半徑
　　也〈前法為月本天半徑
　　或負本輪圈之半徑若〉
　　丁戊為全數
　　十萬即甲乙
　　為二千一百
　　七十分右為
　　二三一又於戊巳癸周任取癸㸃為心取癸辛線五千八百分為半徑作午辛辰本輪又取辛庚線二千九百分為半徑作庚壬子均輪得癸庚線〈兩小輪之兩半徑並〉八千七百此八千七百者於前法為本輪之半徑但前用一本輪以齊太隂朔望之行此析為二析為二者以前法之本輪半徑三平分之二為新本輪之半徑一為均輪之半徑新本輪之半徑者月朔望時近逺之實半較也凡月之定朔定望時丁心與地心甲合為一㸃丁心右旋〈順經度行〉循甲丙丁圈〈從甲向丙而丁而復於甲〉半月而周〈此圏以當前法之次輪故如前月體循次輪周半月而復〉則甲丙丁周上之弧為月距太陽之倍數本輪之癸心循戊癸未圏〈從戊向癸而未而復於戊〉右旋〈順經度行〉二十七日有竒而周均輪庚子之心辛循本輪周左旋〈違經度行從辰向辛而壬而午而復於辰〉亦二十七日有竒而周即辰辛戊癸兩弧之行恆為等度分而此兩圏皆當前法之一本輪其行周皆轉終分也月體則循均輪周右旋〈順經度行從子向壬向庚而復於子〉十三日有竒而周〈是轉終之倍數〉
　　凡朔望時丁心必在甲若自行為初宮初度則如一圖癸心在戊辛心在辰月體在子無均數自行為六宮則如後圖癸心在未辛心在午月體亦在子亦無均數朔望圖見交食厯朔望之外依圖用三角形法推算則
　　得月離之宮度分可無用
　　表
　　依新法則戊為月孛葢最
　　髙也甲丁巳所指為平最
　　髙今以二法較論同異則
　　月與地之中距〈五十六地半徑〉兩
　　家㣲異〈前後為本輪心距地新法亦然皆丁戊也〉若自行初宮初度則月距地比於中距前法盈十萬之八千五百分新法盈二千九百分是損三分之二也〈此第谷所定也以視差及宻測月髙庳法得之〉若自行三宮則兩家所定最大差為小異其以次小輪〈前為次輪今為均輪〉為自行之倍數新舊一也今用合圖明之合圖説〈實線為前論歌白泥法半虛線為第谷新法〉不論次輪前法次輪在上新法次輪在下其理不二故也〈五緯厯中見其論〉
　　前法丁地心亦為戊寅庚夘圏心戊丁其半徑戊本輪心以平行右旋厯丑寅庚夘等㸃月從丙自行左旋向乙設戊平行三十度至丑月左旋從丙至乙自行二十九度一十三分〈每平行一度自行五十九分四十六秒故〉平行六十度至寅即自行五十八度二十六分亦從丙至乙〈丙乙恆為自行弧〉又








　　至庚至夘等皆同此推若依丁戊線從丁向戊取丁申
　　線與戊丙等申為心丙為界作圏必遇各乙是名過乙圏亦為髙庳圏〈不同心圏〉
　　新法丁戊半徑戊寅庚夘圏同前別取戊午線為戊丙三分之二戊為心午為界作本輪〈較舊本輪之徑減三分之一〉次平分戊午於己午為心巳為界作均輪〈得舊本輪徑三分之一〉月體在己設戊心平行至丑即戊乙戊丙兩線開展〈午心循子午本輪左旋為各子午弧〉如張箑之勢〈丁戊丙直線戊午乙過兩小輪心線若自行初宮初度即兩線合為一線後漸展開至三宮九十度成直角至六宮復合為一〉己月從最近酉〈最近本輪心也〉

　　右旋〈順經度行〉至己為自行之倍數如戊行至丑兩心線為丑酉午乙月在己則酉巳弧倍於丙乙弧或午子弧〈丙乙午子與戊丑等而乙丑乙寅等線恆與戊丁平行〉餘悉同此〈酉巳弧行倍於丙乙〉次依丁戊線從丁取十萬分之二千九百為未未為心已為界作圏過各己㸃是為均行之圏兩法至即相近依前法推加減表則用丁丑乙一三角形求丁角新法用午己丑及丑己丁兩形求丑丁巳角兩得數之差自行十五度為四分三十三秒自行三十度為八分○九秒自行四十五度為九分五十六秒自行六十度為九分三十二秒自行七十五度為七分○三秒自行九十度為三分○六秒前法以自行九十五度為大差之限則四度五十六分一十九秒新法以自行九十一度為大差之限則四度五十八分二十七秒兩得數之差隨在皆乙丁巳角而最髙左右均數新法比前法為大最髙衝左右新法比舊法為小
　　凡月離諸表今皆依新法推算
　　推太隂之實經度第十三
　　前論因本輪之自行度加減立第一均數以得定朔定望朔周轉周又因兩之自行差與朔望異用次輪之自行加減立第二均數於理為盡從是可得太隂之視行實經度今論次如左
　　查平行表簡得太隂太陽之相距度分及月距本輪最髙度分用平面三角形法可得其實經度〈用古法解之〉
　　第一法西古史依巴谷在羅徳島〈地中海島北極出地三十六度〉於總積之四千五百八十七年為漢武帝元朔二年甲寅三月〈建寅之月〉初七日子正後八十四刻一十四分〈順天府時刻〉用渾儀測得月距太陽為四十八度○六分於時日視行躔鶉首一十○度四十○分即月視行度必在鶉火二十八度三十七分此時此地為午正後一十二刻依正升斜升表算得月凖在黃平象限無東西差
　　今用月離表試之依表是時太陽之平行為鶉首一十二度○三分均數為一度二十三分當時太陽最髙在實沈宮初以減四十八度○六分得四十六度四十三分為太隂距太陽之平行度〈此於實距內減均數而得平行葢太陽在最髙後平大視小用減法若在最髙衝平小視大用加法〉查表於時太隂自行為三百三十三度又平行距太陽為四十五度○五分視平兩行之較為一度三十八分更用兩小輪圖試之
　　從自行之最
　　髙甲左旋過
　　己至乙得三
　　百三十三度
　　乙為心作次輪圏作乙丙聨兩心線割次輪於壬從壬至戊為日月相距之倍數九十○度一十分次作乙戊戊丁戊丙三線成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角〈壬戊弧九十○度一十分〉求丙戊邊及戊丙乙角〈乙為鈍角宜引長丙乙邊作戊子垂線成戊乙子直角形有乙戊邊二三一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙過九十之餘也先求戊子得二五七弱
　　次求乙子得○○一以並
　　丙乙得一一○四戊子子
　　丙各自之並而開方得一〉
　　〈一二五不盡為戊丙又子丙與全數若戊子與丙角之切線得一十二度一十○分為乙辛弧〉次以甲巳乙弧並乙辛得三百四十五度一十一分其餘弧一十四度四十九分為甲辛或甲丙辛角
　　次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角〈戊丙甲角之餘〉一百六十五度一十一分丙丁為全數求戊丁丙角〈引長丁丙邊從
　　戊作戊子垂線戊子丙直角形有角有邊求戊子為二八七子丙為一○八五
　　子戊丁直角形有兩邊求第三丁戊得一○一八五為月距地心次求丁角為〉
　　〈子丁邊數與全若戊子邊數與丁角之切線二八四查表〉得一度三十八分如上所測數為確合
　　第二法太陽經二百六十九度○四分太隂經二百五十七度四十三分太隂自行為一百二十二度四十九分日月相距為一十一度二十一分倍之為二十四度四十二分如圖甲乙為太隂自行度壬戊為倍數丙乙戊
　　形有丙乙乙
　　戊兩邊有乙
　　角壬戊弧之
　　角求丙角得五度五十二分為辛乙弧求丙戊邊得五十六分以乙辛減乙甲〈自行不過半周故應減〉餘一百一十六度五十三分為甲辛弧其餘六十三度○七分即辛丙丁角次丙戊丁形有丙戊丙丁兩邊有丙角求丁角得四度四十二分為白道上之庚癸弧因在自行前半周以減平行得二百五十三度五十七分是太隂本時之實經度〈從春分起算〉
　　篇中屢言黃平象限者是黃道在地平以上之九十度限也兩道在地平上下皆半周赤道恆定不易其半周上之九十度限恆在午正線黃道斜迤時時不一其九十度限時東時西又隨地多寡若極出地四十度則差多者至距午二十五度惟南北二至乃與午線同度分耳其法其表詳載交食厯今略舉如左　法欲求本地本時之黃平象限於本月日時簡本地本宮之黃平限表其第一直行本日之月離宮度也第二第三四行為其時分秒第五第六為其月離象限度分先約得月離經度若干極四十度表有時之秒他極減之而少一行查表取其橫相對時分〈子正起算〉得某時月在黃平象限更以本時簡月表求月離經度得某宮某度分又對取其時分為月在象限之正時　假如崇禎四年八月十四日求本日何時月在黃平象限先約月在娵訾宮六度本表求時得二十一時○一分五十三秒以此時查月表求月經度得本宮七度一十分查時得二十一時三分五十三秒為月在黃平限之時可測其髙欲宻合更以此時求經度更求時
　　系凡月生明或生魄作直線聨兩角此線若過天頂為地平上之垂線即太隂必在黃平限上而此直線亦與白道為直角引長之必過黃道之極〈黃白二道在太隂厯中每作一道論其差甚㣲故〉
　　此線直過天頂及黃道極必分地平上之黃道弧為兩平分〈此兩圏相交有細解其本論見球圏原本〉
　　月望時無從得角從月駁定月體之南北兩極如前直線用之知其過黃道極及在黃平象限之上






　　二十八宿距度第十四
　　中西古今厯法理同數異大同小異理大同者共戴一天

　　同資七政也數小異者如周天有平度日度度法有用六用十之類會而通之罔或弗合亦無害其大同也獨恆星宮次中厯依赤道為二十八宿北為三垣南方無垣則附見於諸宿西厯依黃道為十二象通計南北為五十二象此即大不相侔矣以故回回厯翻譯並存今恆星厯各註黃赤經緯度分星名位次皆按中厯更定免致凌雜而間考西古太隂厯則亦有二十八舍譯謂月所宿留之處即又與宿次同義且二十八距星亦皆脗合其不合者獨觜宿距星不用觜用天闗耳竟不知其何繇而同若疑上古相通則此法之外又何以畢無一合亦一竒也其諸法義圖表俱見恆星厯指今欲推太隂宮宿度仍用本表先定黃道所離經度依表求得本時刻太隂所離某宿某度法曰表中求月所離之宮度數內減去近小宿數所餘者為本宿之度分假如月離鶉火二十八度三十七分本宮近小數為星宿二十二度○九分相減之得六度二十八分乃月在星宿六度有竒
　　宿距星在宮次　度　分　　宿　宮次　度　分

















　　擇月食以定交周第十五如上論定朔望轉周實經度訖次當定交周度分其法亦用兩月食兩食者須太陽之距最髙等須太隂自行度等須食分等須食在陽厯或在隂厯亦等乃可推月行交道滿若干周而復還於故處第舊史不載食分亦不載隂陽厯無憑推步即西古多祿某〈漢順帝時〉亦未覺太陽之最髙隨天運行〈順七政右旋每百年約行一度〉故所擇兩月食見黃道上之經度等即謂太陽之距最髙亦等而實則不等兵法亦不可用至近世歌白泥〈正徳間〉擇用兩食於法為合但所用兩食一在陽厯一在隂厯雖內外不等而度分之對待相等如日月之在朔望皆名交會不害為可用也
　　第一食總積之四千五百四十年為漢文帝六年日躔大梁宮六度四分五月〈酉月也實建申之月〉初二日子正後三十一刻〈順天府時刻不見食甚〉月食十二分之七在陽厯中交即月在
　　南初虧東北於時月自行為一百六十
　　三度三十三分〈多祿某歌白泥兩算同〉均數為一
　　度二十三分〈未滿半周一百八十度故用減法〉
　　第二食〈歌白泥所記〉六千二百二十二年為正徳四年己巳日躔實沈宮二十一度六月〈實建酉之月〉初二日子正後二十四刻一分〈順天府時刻不見食甚〉月食十二分之八在隂厯正交即月在北初虧東南於時月自行為一百五十九度五十五分
　　兩食時月自行差止三度半可勿論其日躔前後相距不等然多祿某所測太陽最髙為實沈六度所用食時日躔在最髙前三十度弱歌白泥時最髙在鶉首五度所用食時日躔在最髙前十四度兩距之較雖十六度以最髙旁近度距地心之數為差㣲即地景大小無二亦可勿論
　　今論兩食時之月自行畧等太隂距地心之度分畧等則所差者在食分也為十二分之一
　　計兩食之中積為平年〈三百六十五日〉一千六百八十三年八十八日九十刻○五分或六十一萬四千三百八十三日九十刻○五分得交會〈即朔望〉二萬○八百○五會交終則二萬二千五百七十二周外餘一百七十九度二十四分〈後食大於前食為十二分之一月體之徑於天度畧為三十分則食差為二分三十秒交前後之緯距二分三十秒其經度為三十分次食既大於前食即近交其較半度則未滿豐周之較為三十分查表求兩食之兩均數一加一減其較二十一分以減三十分得九分為不及半周之數實餘一百七十九度五十一分〉
　　上文推定〈依巴谷及多祿某先後推定見本篇第四〉月交會五千四百五十八則交終五千九百二十三依此用三率法以交會率〈二十九日有竒〉為法中積日為實而一得二萬○八百○五會再用三率法以交終為法而一得二萬二千五百七十七交半
　　置交數〈二二五七七半〉以三百六十乘之以會數〈二○八○五〉而一得一會時〈二十九日有竒〉交行之度分
　　又以會數〈五四五八〉為一率交數〈五丸二三〉為二率一日之太隂平行〈一十二度一十一分二十七秒〉為三率求得一十三度一十三分四十六秒為一日交行之度以日求月求年凖此法論交行第十六
　　交行有二一順經度行一逆經度行順行者月平行一日一十三度一十三分四十六秒是為月行距交之度則以交為界又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五㣲是為月行距宮次或節氣之度則以宮次或節氣為界兩數之較得三分一十一秒是則兩交一日逆行之數所謂羅計行度也順行者如七政右旋自西而東逆行者如宗動左旋自東而西右旋者先降婁次大梁左旋者先𤣥枵次星紀故月行兩界一為定界一為不定界定者宮次如娵訾等節氣如冬至等不定者謂正中二交也兩界則兩數其較則為不定界之行分不定界之數大於定界之數故累積其較則與月行相背矣
　　交有平行又有自行與日月相似自行有遲有疾黃白二道之相距亦時多時少古來未覺有此第谷累年宻測得交行惟朔望時無加減〈與日在最髙最髙衝同理〉恆得五度弱過此漸加至兩而極而此自行恆半月滿一周〈與太隂次輪行度同理〉
　　如圖甲為月天球上之黃道
　　一極人目在他極外斜看黃
　　道面戊庚己為黃道圏去甲
　　五度○八分得乙乙為心作
　　戊癸己球上大圏為平白道
　　兩圏相遇各平分於己於戊為兩交庚癸相距之限五度○八分是為兩交相距之中數〈兩相距之小數為四度五十八分三十秒大數為五度一十七分三十秒相減得較半之以並小數得五度○八分相距之中數也〉而己戊為兩交平行之處
　　次乙為心作丁丙小圏其徑為大小兩數之較一十九分小圏之周恆負正白道之心〈如黃極遶赤極作一圏名極圏又白極遶黃極作一圏名白極圏此小圏與之同理正白道之心如丙丑丁寅皆是也〉半月〈十四日有竒半朔策也〉行一周
　　若正白道之心在丑〈最近黃道極惟朔望則然〉以丑為心作球上大圏如辰辛子辛為正白道〈若球上作大圏過白黃兩極宜為乙丑庚弧今依視法作直線〉其距黃道為辛庚〈本大圏之一弧〉辛癸為中白道正白道之差而正白道兩交黃道於辰於子則辰子為兩道〈朔望時〉之正交是交食所用之兩交也
　　若正白道之心在寅〈兩時〉以寅為心作夘壬未大圏定
　　癸壬為中白道正白道之差
　　而庚壬得五度一十七分三
　　十○秒是為黃白二道相距
　　之極逺〈寅心距甲心為極逺故〉則夘未
　　為兩逺交距戊巳兩平交為
　　戊夘未巳距夘未兩近交為夘辰未子〈逺近者兩之交近交者朔望之交平交者半策之交〉
　　凡正白道心在寅之上〈兩前後〉丑之下〈朔望前後〉若干度分則中正兩白道之大距〈相距之最逺〉在壬之上辛之下亦若干度分而兩交在夘未之上辰子之下亦若干度分若正白道心或在丙或在丁則正中兩道之大距相合於癸弧之上而丁甲癸或丙甲癸為兩象限兩交則在辰夘子未之間戊巳之左右
　　本厯表中有正交之加減有正白道與黃道相距之度分其原葢出於此如圖正白道為辰辛子即有辛辰庚角可推正白道之各度分距黃道若干〈與黃赤二道距度同法〉若在癸在壬俱倣此
　　若正白道在辛癸壬之外〈在辛壬限內而不在三㸃之上〉則先求丁之上下距甲若干以得癸之上下距若干葢丁甲癸為一象限甲癸庚亦一象限甲丁大癸庚亦大若小亦小其加減率及用法見本厯表
　　定交行之厯元第十七
　　上文言擇兩月食以定交周因其經時若干而滿周以知交終及歳月日時交行之數然止用兩食相對較勘多寡不知其距交幾何度分今欲審某時距交若干以定交應亦須兩月食其距太陽之逺近等兩食分等兩食之在隂厯陽厯正交中交等既諸率各等則距交必等因而析取中數則得本時正交所躔度分〈此歌白泥法〉
　　第一食〈多祿某所記即前第六章定本輪所用第二食〉總積之四千八百四十七年為漢順帝陽嘉三年甲戌十月〈建戌之月〉二十四日子正後一十七刻〈順天府時刻〉一十分月食十二分之十在黃道南初虧東北於時太陽躔夀星宮二十五度一十分月自行為六十四度三十○分用減法得均數為四度二十○分
　　第二食〈歌白泥所測〉總期之六千二百一十三年為𢎞治十三年庚申十一月某日子正後三十一刻正〈順天府時刻〉月食十二分之十在黃道南初虧東北日躔大火宮二十三度一十一分〈兩食之中積時為一千三百六十六年其間太陽行最髙一十六度有竒以減日躔兩度差二十八度得一十二度為前後日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚㣲地景無二與無差同〉月自行為二百九十一度三十五分用加法得均數為四度二十八分
　　兩食時月本輪最髙前後等距〈前過最髙六十四度後未至最髙六十九度其較五度距地之差甚㣲與無差同〉食分大小等初虧方位等則兩食之月距交等度〈中積為一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分〉此時自行滿交周外其距交為一百五十九度五十五分
　　如圖甲乙丙丁為白道乙丁為正中二交甲為北為內為上為隂厯丙為南為外為下為陽厯乙戊己丁為距交等之兩弧是
　　兩食時月體一過交一不及交之度戊在乙交之前已在丁交之後前食用減法得均數四度二十○分〈減者月在自行之前半周依表平交行為甲乙庚減庚戊得甲乙戊戊為月所至之實處〉取戊庚後食用加法得均數四度二十八分〈加者月在自行之後半周依表平交行為甲丙辛加辛巳得甲丙己巳為月所至之實處〉取己辛庚辛為兩食中積月距交之平行一百五十九度並戊庚辛巳得戊丙巳兩距之實行一百六十八
　　度四十三分其餘一十一度一十七分為乙戊丁巳兩弧並半之得五度三十九分為兩食時月距交之度乙庚得九度五十九分若半交甲為界則甲乙庚得九十九度五十九分是第一食時之交行根所謂交應也若他時他處求交應依此加減之
　　今擬崇禎元年戊辰天正冬至為厯元順天府為厯元本所如日躔表推算本曜恆年表〈如後卷〉
　　交行兩界任用但月體行度多端差數繁曲既成加減均齊則或用定界從宮次節氣起算或用不定界從羅計起算所得正等
　　測黃道白道相距度分第十八
　　西史多祿某〈漢光武時〉其地為北極髙三十○度五十八分用三直儀〈測髙儀皆可用〉測得月軌極北距天頂二度○七分以減北極出地度得二十八度五十一分為月距赤道度分於時黃赤距度為二十三度五十一分〈黃赤距古逺今近説見日躔厯指〉以減太隂距赤度餘五度正為黃白相距之度此測因月近天頂地半徑差極㣲可以勿論又軌度最髙在清蒙限外亦無差分若在近濁測月軌髙不先定地半徑差清𫎇差以為加減即所得者非實度分
　　西古史多言黃白距五度正上古則雲四度五十八分回囘厯則五度○二分皆不逺近世第谷〈萬厯間〉宻測詳推功倍古人其言曰朔望時古測僅少一分半若上下兩則五度一十七分本書有測法有算數今略舉如左
　　總積四千八百○○年為漢章帝章和元年丁亥八月〈建未之月〉十八日〈本地〉午正後二十九刻一十分月在正午時為上依本表算得距交八十六度一十七分於時測得月距黃道〈地半徑蒙氣二差俱加減訖外〉為五度一十三分　〈右二則所言度分通為日度則五度一分半者當為五度九分八十二秒五度一十七分者當為五度三十六分五度一十三分者當為五度二十九分〉
　　大統以前諸厯黃白相距俱六度正通為平度則是五度五十五分距度恆大於西術以推算月食往往小於天驗殆縁於此
　　西術定黃白距度求月軌極髙得距赤度分去減黃赤距度餘為黃白距度此古今通法但多祿某當漢光武時去今一千四百餘年於時黃赤距為二十三度五十一分所減大所餘必小今時則二十三度三十一分半所減小所餘必大故今之黃白距較古為大〈是黃赤漸近而黃白不移其所以然難可窺度〉
　　又恆星厯言近至之恆星古今緯度不一在冬至則南緯度小北緯度大在夏至反是亦黃赤漸近之徴也
　　今推黃白距度列表略同黃赤距度法〈見日躔厯指及測量八卷〉其用法見月離表
　　論月視差第十九
　　日躔厯指論地球半徑與月天半徑為比例若本天視地為逺為髙則比例為小若為近為庳則比例為大〈兩數相近其比例名謂大相逺名為小〉
　　凡視差有三〈清蒙不與〉一曰地平緯差二曰黃道經差三曰去極緯差其根則一地球之半徑是也葢推算之地平緯恆與地心為對人目所見之地平緯恆與地面為對故因地之半徑而生視差若日月星在天頂即實行與視行為一線即測騐與推算為一率自此而外七政皆有視差但以去地逺近出地髙庳分別大小耳今所論者地平緯差也〈餘二差詳見交食厯指〉前史謂之南北差因曜實在北所見在南故立此名今通稱之
　　求月視差法依表算得月在極南〈即冬至但此論經度非時也故稱南至以別之〉近冬至十度以內又在兩交之中〈正半交中半交黃白相距極逺之際〉又在黃平象限之上測其地平以上之髙是為視髙次用赤道出地度南至距赤緯度太隂距黃緯度推得月在地平以上之髙是為實髙次以視髙減實髙其較為地半徑之視差　若不用南至任以恆日依表推月過子午線或黃平象限上求其黃道上經度及其距交經度距黃緯度得地平以上之實髙亦測其視髙兩數之較為地半徑之視差此法古今累測所得數無異略舉如左
　　總積四千八百四十八年為漢順帝陽嘉四年乙亥十月〈建酉之月〉初三日西史多祿某在本地極髙三十○度五十八分太陽躔夀星宮五度二十八分月在子午線亦為黃平象限〈凡兩至在黃平象限與子午線同度〉推其經度為星紀宮三度○九分月距交為七十四度四十○分其距黃緯度為四度五十九分計本地赤道髙五十九度○二分星紀三度九分之距赤緯於時為二十三度四十八分以減
　　赤道髙得緯度髙為三十五度一
　　十四分〈黃道某度地平上髙〉加月距黃緯度
　　〈在黃道北故加〉得四十○度一十三分為
　　太隂之實髙次測得三十九度○
　　五分為視髙一推一測其較一度八分為地半徑視差
　　又總積六千二百三十五年為嘉靖元年壬午九月〈建申之月〉二十七日午正後二十二刻一十分西史歌白泥測得月軌視髙七度一十分於時日躔夀星一十三度二十九分月自行得三百五十八度為本輪之最髙推黃道經為在星紀一十二度三十二分距交七十二度五十二分距黃緯為四度四十七分因推得月距赤道二十七度四十一分本地赤道髙三十五度三十八分減去月距赤道度餘七度五十七分為月在地平上之實髙一測一推之較為四十四分即月在最髙地半徑視差
　　右兩術所推太隂之地半徑差各依本法論定太隂出入地平時若在本輪之最髙則多祿某為○度五十三分歌白泥為五十分若在最髙衝則多祿某為一度一十九分歌白泥為六十六分異同若此將何適從所以然者縁兩史測月時未悟月近地平有清蒙一差故也〈説見日躔厯指〉清蒙映物能升卑為髙凡測月之地平髙所得數乃所見之視髙〈與人目平行〉非月行之實髙〈與地心平行〉以地半徑差減實髙則為視髙又以清蒙差加視髙則為真視髙近世第谷依此法推得太隂出入地平時在最髙為五十六分二十一秒在最庳為六十六分○六秒其各逺近之差在多祿某為二十六分歌白泥為一十六分第谷為一十分三家皆有地半徑差表今以第谷〈新術為正〉以地半徑大差求月距地心第二十
　　如圖甲為地心乙丙為視地平乙甲為地半徑丙角為視差〈用第谷之大數〉六十六分○六秒乙為直角乙甲半徑為度〈為度者恆呼為一以上累加之〉求月距地心之甲丙法為全數〈內〉與乙甲〈外〉若丙角之餘割線〈內〉與甲丙得五十二又十萬之二萬一千○二十五是月極近地為五十二
　　地半徑有竒若用小數五十六分二十一秒推得六十一又十萬之二千七百八十二
　　系既定甲乙乙丙之比例若有月距天頂之戊丁弧或稱戊乙丁角或稱丁乙甲之餘角任髙任下皆用甲乙丁形有乙甲甲丁有丁乙甲角求乙丁甲角恆為地半徑之角
　　如前論月本天本輪次輪各半徑之比例為十萬為一一○二為二二一併之得地心至太隂極逺〈最髙〉之線一一三三三次用變率法一一三三三得六十一地半徑又十萬之二千七百八十二則本輪之半徑一一○二得若干次輪之半徑二三一得若干依此推之
　　系如圖得丁
　　戊〈月距地心十萬分之
　　幾若干數亦〉
　　可得月距地
　　心若干地半徑數有表〈圖説見前〉
　　二系地半徑差月距地心恆互推
　　三系若定地半徑若干里亦可得月近逺若干里〈有本解〉論太隂清蒙氣第二十一
　　日躔厯指有論有法以測清蒙差度分因之列表凡測太隂得其視髙則求地半徑差加之得數又以清蒙氣差減之為其實髙凡推太隂得其實髙則以地半徑差減之得數又以清𫎇氣差加之為其視髙但清蒙之差因地因時所在各異今表其折𮕵通用之率也必求本地本時之確數宜隨處所積歳月累測以定之
　　測月徑地景徑第二十二
　　測日月徑度西古史有本用儀器今以月食立法則厯家之正術也
　　總積四千○九十三年為周襄王三十一年子月日子正後〈順天府時刻下同〉四十一刻○五分月食十二分之三約為四之一於時日躔降婁宮二十七度○五分月離夀星二十七度○五分月自行為三百四十○度○五分月距交九度二十分距黃道北四十八分半〈依表算〉
　　又總積四千一百九十一年為周景王二十二年戊寅月日子正後一十四刻○五分月食十二分之六約為半徑於時日躔星紀一十八度一十二分月離鶉首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分〈前食月距本輪最髙二十度弱兩食之較八度有竒俱在本輪上弧不能變逺近之數〉月距交七度四十八分距黃道南四十分四十秒
　　如圖日光照地面即地背生景形如角體漸小以趨盡月
　　過交入地景〈一名
　　闇虛有髙庳食分〉
　　為之大小今兩
　　食時同在最髙之左右其距地等食分一為半徑一為四之一其較為四之一距黃道一為四十分四十秒一為四十八分三十秒其較七分五十秒依法算月徑四之一得七分五十秒依法四之得三十一分二十秒是月距最髙二十度之似徑也
　　測月徑度法詳見三圜比例説
　　系凡食分為月之半徑即月距黃道為景之半徑因上數當食時地影半徑為四十分四十秒
　　二系若食時能測定食分又推算得躔離自行距交距黃等諸率可得月徑及景徑不必用古兩食法



　　日月距地率日月實徑率地景長率總論第二十三
　　如圖乙甲丙為日已丁戊為地日光照地以兩光線從乙過己從丙過戊而遇於丑是生已戊丑角體之景次從



　　乙從丙至地心作乙丁丙丁二線又作甲丁丑線過日地兩心次從地心丁上下取月距地心之數〈地半徑為度如上文所定〉為丁庚為丁寅兩距等作庚辛壬巳戊寅子線皆平行其太陽似徑之度為三十一分二十○秒〈欲解其義先定太陽之似徑此在三圜説有各種法今用者古多祿某所定也又太陽行最髙最庳不等似徑亦不等本章所用者日在最髙之似徑也論月亦在小輪之最髙如下文〉
　　庚辛丁直角形有庚丁〈月距地〉六十四又六之一有丁角〈甲丙庚〉一十五分四十○秒求庚辛法為全〈內〉與丁庚六十四又六之一〈外〉若丁角之切線四五五〈內〉與某數〈外〉得地半徑十萬分之二萬九千一百九十六次求寅子〈壬丑三角形內有庚壬丁戊寅子三線相距等用遞加法三率之第一第三井為第二率之倍數〉庚辛為月最髙半徑度依多祿某説約與日半徑度等又寅子為地景之半徑四十分四十秒即兩數之比例〈庚辛十五分四十秒寅子四十分四十秒〉為若五與十三先得庚辛二九一九六用三率法得寅子為地半徑十萬分之七萬五千九百○九以並辛得一十○萬五千一百○五以滿丁戊之倍數二十萬為不足地半徑十萬分之九萬四千八百九十五為辛壬〈丁戊倍之為二十萬與壬寅子並等於倍數內減辛寅子井所餘為辛壬〉



　　次丙戊戊丁兩線所作戊角擬為直角〈實非直角其差極㣲非算所及〉丙戊甲丁兩線亦擬為平行〈實非平行以差㣲故〉用幾何法〈第六卷第二題〉為戊丙與壬丙若丁丙與辛丙又丁甲與庚甲若戊丁〈地半徑十萬〉與壬辛〈九四八九五〉既丁甲與庚甲若戊丁與壬辛則甲丁為十萬〈若戊丁〉庚甲為九四八九五〈若壬辛〉所餘之庚丁必為○○五千一百○五先定丁為六十四地半徑又六之一依變率法求甲丁得一二一○是日距地心如地之半徑者一千二百一十也
　　以上係古法後世累代宻推有亞巴徳於總積五千六百○四年為唐昭宗大順二年辛亥推得一千一百四十六倍歌白泥於正徳間推得一千一百七十九倍第谷於萬厯間推得一千一百八十二倍此差列數至微推算極難或日徑月徑加減以分計則其差以數百倍計故名厯家於此殫思竭慮焉今時所用大都歌白泥之率也
　　一系依上論丁戊地半徑為一萬分庚辛月半徑為一萬分之二千九百二十六是為地月之兩實徑用此比例可推兩體之比例
　　二系甲丙丁庚辛丁兩形相似則庚丁與庚辛若丁甲與甲丙推得日實徑與月實徑之比例
　　三系可得甲丙與丁戊日地兩實徑之比例　以上三系詳見三圜説
　　四系置日距地度及日與地之比例又距月行本輪距地度〈於上圖為丁寅〉可得月所過地景之徑列表其引數為月本輪自行之數然圖説所設者日在最髙若去最髙即復異此故表有本行名地景差其引數為太陽之引數以所得之分與引數相減即得〈無加法〉葢日在髙景大在庳景小故也
　　月距地視差視徑三家異率第二十四
　　漢章帝時西史多祿某術
　　月距諸率為地半徑　　　地半徑視差　月視徑十單又十分〈六十為半徑〉度十分〈天度〉　十分十秒






　　正徳間西史歌白泥術







　　萬厯間西史第谷術





　　〈刻爾白改之法今所用又測太陽視徑〉
　　〈為冬至三十一分半夏至〉
　　〈三十分新法算書卷二十〉














　　第谷及其門人
<子部,天文算法類,推步之屬,新法算書>