測圓海鏡分類釋術 (四庫全書本)/卷03

測圓海鏡分類釋術　卷三

　　欽定四庫全書
　　測圓海鏡分類釋術卷三
　　元　李　冶　撰
　　明　顧應祥　釋術
　　通勾與別股測望一〈凡三條〉
　　圓城不知周徑乙從城外西南坤隅南行三百六十步而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑
　　釋曰乙從坤南行大差股也甲從乾東行通勾也此以通勾大差股測望通勾為城北大勾大差股為城西南之虛股
　　術曰二行相乘得一十一萬五千二百為實　倍乙行得七百二十為從作減從開平方法除之得全徑減從開平方法見二卷
　　又曰二行相併得六百八十為通以通勾求容圓法求之即得
　　南門外一百三十五步有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑
　　釋曰此以通勾明股立法樹距南門明股也甲之東行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南餘股術曰東行自之又以樹距南門步乘之得一千三百八十二萬四千為立實　倍樹距南門步以乘東行步得八萬六千四百為從方二為隅算作帶從負隅開立方法除之得半徑
　　帶從負隅開立方曰布實於左從尾數至首常超二位又以從方約之定首位得一百　置一於左上為法　置一自之隅因得二萬為隅法併從方得一十○萬六千四百為下法與上法相乘除實一千○六十四萬餘實三百一十八萬四千　三因隅法得六萬為方法　三因初商得三百又以隅筭因之得六百為廉法　約次商得二十　置一於左次為上法　置一乘廉法得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方法從方廉隅共一十五萬九千二百為下法與上法相乘除實盡
　　後凡言帶從負隅開立方法者俱倣此
　　乙出東門南行三十步甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅直問城徑
　　釋曰此以通勾□股測望甲東行通勾也乙出東門南行三十步□股也
　　術曰二行相乘得九千六百為實　以東行三百二十為從方二為隅算作減從負隅翻法開平方除之得半徑
　　減從負隅翻法開平方曰初商一百　置一於左上為法　置一隅因得二百為隅法以減從方餘一百二十為下法與上法相乘除實一萬二千實不滿法反減實九千六百餘二千四百為負積倍餘法得四百為廉法次商二十　置一於左次為上法　置一隅因得四十為隅法併廉隅共四百四十減從不足反減從方三百二十餘一百二十為下法與上次法相乘除實盡
　　後凡言帶從負隅翻法開平方者俱倣此
　　底勾與別股測望二
　　城西門南四百八十步有樹出北門東行二百步見之問城徑
　　釋曰此底勾邊股立法測望西門南四百八十步邊股也出北門東行二百步底勾也底勾居城北勾之半邊股居城西股之半
　　術曰二行相乘得九萬六千為實　相併得六百八十為從二為隅筭　作負隅減從開平方法除之得半徑
　　負隅減從開平方法見二卷〈通勾□勾條〉
　　圓城出北門北行一十五步折而東行二百○八步有樹出西門西行八步折而南行四百九十五步見之問城徑
　　釋曰此以底勾過步帶短股邊股過步帶短勾立法測望出北門北行為短股折而東為長勾過於底勾出西門西行為短勾折而南為長股過於邊股術曰西行為短勾東行為長勾北行為短股南行為長股短勾併長勾以長股乘之得一十○萬六千九百二十　短股併長股以短勾乘之得四千○八十相減餘一十○萬二千八百四十為勾股維乘差
　　又自之得一百○五億七千六百○六萬五千六百為三乘方實　長股內減二短勾餘與長勾相減餘二百七十一為股減勾差　長勾內減二短股餘與長股相減餘三百一十七為勾減股差　股減勾差與勾減股差復相減餘四十六以乘勾股維乘差得四百七十三萬○六百四十為從方　股減勾差與勾減股相乘得八萬五千九百○七　長短勾併與長短股併相乘又倍之得二十二萬○三百二十倍勾股維乘差得二十○萬五千八百六十　三數相併得五十一萬一千九百○七為從一廉長短勾併得二百一十六又四之得八百六十四　倍股減勾差得五百四十二　二數相併得一千四百　六為從二廉作帶從方廉開三乘方法除之得半徑帶從方廉開三乘方曰置所得三乘方積為實以從方廉約之初商得一百　置一於左上為法置一乘從一廉得五千一百一十九萬○七百置一自之以乘從二廉得一千四百○六萬置一自乘再乘得一百萬為隅法　併從方廉
　　隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四千餘積三十四億七千七百九十三萬一千六百為次商之實
　　倍從一廉得一億○二百三十八萬一千四百三因從二廉得四千二百一十八萬　四因隅法得四百萬　初商自之　六因得六萬　初商三之以乘下廉得四十二萬一千八百相併加入從一廉得九十九萬三千七百○七為上廉　初商四之帶從二廉得一千八百○六為下廉次商二十　置一為法　置一乘上廉得一千九百八十七萬四千一百四十　置一自之以乘下廉得七十二萬二千四百併方廉隅共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實盡
　　或作初商一百　置一為法　置一乘從一廉置一自之以乘從二廉　置一自乘再乘為隅法併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四
　　十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四千餘實三十四億七千七百九十三萬一千六百為次實　四因隅法得四百萬為方法　初商自之　六因得六萬為上廉　　初商四之得四百為下廉　次商二十　置一於左次為上法　倍初商加次商得二百二十以乘從一廉得一億一千二百六十一萬九千五百四十初商三之併初次商因之得三萬六千　次商自之得四百共三萬六千四百以乘從二廉得五千一百一十七萬八千四百　以兩從廉併入從方共一億六千八百五十二萬八千五百八十為從置一乘上廉得一百二十萬　置一自之以乘
　　下廉得一十六萬　置一自乘再乘得八千為隅法併方廉隅共五百三十六萬八千帶從共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實盡
　　此法分別從方從廉明白故重録附之
　　出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正居城之半問城徑
　　釋曰此以不及底勾與不及邊股測望南行二百二十五步與高股同即半徑為勾之股東行六十四步與平勾同即半徑為股之勾也當以平勾高股立法為是但其望塔當城之半故附底勾邊股條下術曰二行相乘即半徑筭
　　乙從城外西南坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百步見之問城徑
　　釋曰此以底勾大差股立法測望乙從坤隅南行大差股也甲東行底勾也底勾為城北東半勾大差股為城西南虛股
　　術曰二行相乘得七萬二千倍之得一十四萬四千為實以南行三百六十為從方作帶從開平方法除之得全徑
　　帶從開平方法見一卷
　　乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步見之問城徑
　　釋曰此底勾明股立法測望乙出南門直行明股也甲出北門東行底勾也底勾為城北半勾明股為城南餘股
　　術曰東行自之以南行乘之得五百四十萬又四之得二千一百六十萬為立方實　以南門餘股一百三十五為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑帶從廉開立方曰置所得立積為實　以從廉約之初商二百　置一於左上為法　置一乘從廉得二萬七千置一自之得四萬為隅法　併從廉共六萬七千為下法與上法相乘除實一千三百四十萬餘實八百二十萬　倍從廉得五萬四千三因隅法得一十二萬相併得一十七萬四千為方法　三因初商帶從廉得七百三十五為廉法約次商得四十　置一於左次為上法置一乘
　　廉法得二萬九千四百置一自之得一千六百為隅法　併方廉隅共二十　萬五千為下法與上法相乘除實盡
　　後凡言帶從廉開立方法者俱倣此
　　乙出南門南行一百三十五步而立甲出北門北行一十五步折而東行二百○八步見之問城徑
　　釋曰此底勾帶短股與明股立法測望乙出南門南行明股也甲出北門北行北門外短股也折而東行類底勾而過之
　　術曰以東行乗南行得二萬八千○八十自之得七億八千八百四十八萬六千四百為三乘方實　東行自之得四萬三千二百六十四以乘南行得五百八十四萬○六百四十倍之得一千一百六十八萬一千二百八十為從方　北行自之於上　併南北二行以減東行餘自之減上位餘數減上寄位　併南北二行　以東行乘之倍之以減寄位　餘五萬六千九百八十八為從一廉　四之東行得八百三十二於上　併南北二行減東行餘五十八四之得二百三十二以減上位餘六百為從二廉　四為虛隅作帶從二廉減從翻法開三乘方開之得半徑帶一廉以從二廉益從減從為法翻法開三乘方曰列所得三乘方實從一廉從二廉隅法約之初商一百　置一於左上為法　置一乘從一廉得五百六十九萬八千八百為益隅之廉　置一自之以乘從二廉得六百萬為益從之廉併入從方共一千七百六十八萬一千二百八十為通法置一自乘再乘以隅因之得四百萬為隅法併
　　益隅之廉共九百六十九萬八千八百為減實以減通法餘七百九十八萬二千四百八十為下法與上法相乘除實七億九千八百二十四萬八千實不滿法翻減實七億八千八百四十八萬六千四百餘九百七十六萬一千六百為負積二因乘出從一廉得一千一百三十九萬七千
　　六百為益隅之廉　三因乘出從二廉得一千八百萬為益從之廉　又三之初商乘從二廉得一十八萬為益從次廉　四因隅法得一千六百萬為方法　初商自之六因又以隅因得二十四萬為上廉　初商四之隅因得一千六百為下廉次商二十　置一於左上為法　置一乘從一廉得一百一十三萬九千七百六十併益隅之廉共一千二百五十三萬七千三百六十共為益隅置一乘益從次廉得三百六十萬　置一自之以乘從二廉得二十四萬併二數加入益從之廉共二千一百八十四萬為益從　併入從方共三千三百五十二萬一千二百八十為通法　置一乘上廉得四百八十萬　置一自之以乘下廉得六十四萬　置一自乘再乘隅因得三萬六千為隅法　併方法上下廉隅法得二千一百四十七萬二千　併益隅共三千四百○○萬九千三百六十為減實　以減通法不及減反減通法三千三百五十二萬一千二百八十餘四十八萬八千○八十為負法與上法相乘除負積盡
　　後凡言帶一廉以二廉益從減從翻法開三乘方法者俱倣此
　　甲乙二人同出北門行至東北隅艮地分路乙往南行一百五十步而立甲又東行連前共二百步望乙與城相叅直問城徑
　　釋曰此底勾小差股立法測望甲前後共東行底勾也乙往南行小差股也
　　術曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十萬為實二行相減以乘乙南行得七千五百二行相乘得三萬　二數相併得三萬七千五百為法實如法而一得半徑
　　又曰二行相乘得三萬為實　倍底勾減小差股餘二百五十為法
　　乙出東門南行三十步而立甲出北門東行二百步望乙與城相叅直問城徑
　　釋曰此底勾□股立法測望乙出東門南行□股也甲出北門東行底勾也
　　術曰二行相乘得六千為平實　相減得一百七十為從方作減從翻法開平方法除之得半徑
　　減從翻法開平方法見二卷
　　又曰乙南行自之得九百為□股筭以乘東行得一十八萬為立實　□股筭為從方　東行內減二之乙南行餘一百四十為益廉作帶從減益廉翻法開立方法除之得半徑
　　帶從減益廉翻法開立方曰置所得積一十八萬以從方廉約之　初商一百　置一於左上為法置一乘從廉得一萬四千置一自之得一萬為
　　隅法帶從方共一萬　九百以減益廉餘三千一百為下法與上法相乘除實二十一萬實不滿法反減實一十八萬餘一十三萬為負積　倍益廉得二萬八千三因隅法得三萬為方法　三因初商得三百為廉法　約次商得二十　置一於左次為上法　置一乘益廉得二千八百併入倍益廉得三萬○八百　置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方從方廉隅共三萬七千三百反減益廉三萬○八百餘六千五百為下法與上法相乘除實盡
　　後凡言帶從減廉翻法開立方法者倣此
　　大差勾與別股測望三
　　甲乙二人俱在城西門南行至西南坤隅分路乙往東行一百九十二步而立甲復南行計前後共四百八十步望乙與城相叅直問城徑
　　釋曰此大差勾與邊股立法測望乙自坤隅東行大差勾也甲自西門往南共行邊股也
　　術曰二行相乘得九萬二千一百六十　又以乙東行乘之得一千七百六十九萬四千七百二十為實二行相減餘二百八十八亦以東行乘之得五萬
　　五千二百九十六　加二行相乘之數共一十四萬七千四百五十六為法實如法而一得半徑
　　又曰二行相乘為實　倍甲南行減乙東行餘為法
　　甲從城外西南坤隅東行一百九十二步乙從東北艮隅南行一百五十步望甲與城相叅直問城徑釋曰此大差勾與小差股立法測望甲東行大差勾也乙南行小差股也〈與小差勾大差股同〉
　　術曰二行相乘倍之即全徑筭
　　小差勾與別股立法測望四
　　乙從城外東北艮隅東行八十步甲從城外西北乾隅南行六百步見之問城徑
　　釋曰此小差勾與通股立法測望乙從艮隅東行小差勾也甲從乾隅南行通股也〈與通勾大差股同法〉
　　術曰二行相乘倍之得九萬六千為實　二之東行得一百六十為從　作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷
　　乙從城外東北艮隅往東行八十步甲出西門南行四百八十步見之問城徑
　　釋曰此小差勾與邊股立法測望乙東行小差勾也甲南行邊股也
　　術曰二行相乘倍之得七萬六千八百為實以乙東行為從作帶從開平方法除之得全徑
　　帶從開平方法見一卷
　　乙從艮隅東行八十步而立甲從城外西南坤隅南行三百六十步見之問城徑
　　釋曰此以小差勾大差股立法測望乙東行小差勾也甲南行大差股也
　　術曰二行相乘倍之即圓徑筭
　　明勾與別股測望五
　　乙出南門東行七十二步而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙與城相叅直問城徑
　　釋曰此明勾通股立法測望乙出南門東行明勾也甲從乾隅南行為通股
　　術曰二行相乘得四萬三千二百為實　以甲南行六百為從方　二為隅法作負隅減從開平方法除之得半徑
　　負隅減從開平方法見二卷
　　乙出南門東行七十二步而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直問城徑
　　釋曰此明勾邊股立法測望乙東行明勾也甲南行邊股也
　　術曰乙東行自之得五千一百八十四為明勾筭以南行乘之得二百四十八萬八千三百二十為立方實　明勾筭為從　南行內減二東行餘三百三十六為益廉　作帶從減廉開立方法除之得半徑帶從減廉開立方曰置所得立方實以從方從廉約之　初商一百　置一於左上為法　置一乘益廉得三萬三千六百　置一自之得一萬為隅法帶從方共一萬五千一百八十四　以減益廉餘一萬八千四百一十六為下法與上法相乘
　　除實一百八十四萬一千六百餘實六十四萬六千七百二十為次商之實　倍益廉得六萬七千二百　三因隅法得三萬為方法　三因初商得三百為廉法　約次商得二十　置一於左上為法　置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉共七萬三千九百二十　置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方法從方廉隅共四萬一千五百八十四以減益廉餘三萬二千三百三十六為下法與上法相乘除實盡
　　後凡言帶從減廉開立方法者俱倣此
　　又曰明勾邊股相乘得三萬四千五百六十為實明勾邊股相減餘四百○八為從方　一虛法作減從開平方除之尤捷
　　甲出南門東行七十二步而立乙出東門南行三十步望乙與城相叅直問城徑
　　釋曰此明勾□股立法測望甲出南門東行明勾也乙出東門南行□股也
　　術曰二行相乘得二千一百六十為實　相併得一百○二為從　作以從減法開平方除之得半徑以從減法翻法開平方曰置實於左從於右　約初商得一百　置一於左上為法　置一為隅法以從減隅隅不及減從內翻減隅一百餘二為負從以負從為下法與上法相乘得二百　反増入實內共二千三百六十四為次商之實　倍隅法得二百為廉法　約次商得二十　置一於左次為上法　置一為隅法併廉隅共二百二十　以從減之餘一百一十八為下法與上法相乘除實盡
　　後凡如此類者俱倣此通變隨宜
　　又術二行相併得一百○二為太虛相減餘四十二即太虛勾股較　倍筭減較筭餘一萬九千○四十四平方開之得一百三十八為太虛勾股和　加較半之為股減較半之為勾　以太虛勾股求圓徑又曰二行相乘倍為實　相減餘為從　作帶從開平方法除之得虛勾二行相併即虛以勾求股以得圓徑
　　□勾與別股立法測望四
　　乙出東門直行一十六步甲從城外西北乾隅南行六百步見之問城徑
　　釋曰此以□勾通股立法測望乙出東門直行□勾也甲從乾隅南行通股也
　　術曰甲南行自之又以乙東行一十六乘之得五百七十六萬為立方實　倍東行以乘南行得一萬九千二百為從方　二為隅作帶從負隅開立方法除之得半徑
　　帶從負隅開立方法見前通勾明股
　　乙出東門直行一十六步甲出西門南行四百八十步見之問城徑
　　釋曰此□勾邊股立法測望乙出東門直行□勾也甲出西門南行邊股也
　　術曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十四萬五千六百為立方實　以東行一十六步為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑
　　帶從廉開立方法見前底勾明股條
　　圓城不知周徑南門外一百三十五步有樹出東門直行一十六步見之問城徑
　　釋曰此□勾明股立法測望出東門外一十六步為□勾城東之餘勾也樹在城南一百三十五步為明股城南之餘股也以餘勾餘股測城徑
　　術曰餘勾餘股相乘為勾乘股筭自之得四百六十六萬五千六百為三乘方實　勾乘股筭倍之得四千三百二十又以餘勾餘股併乘之得六十五萬二千三百二十為從方　餘勾餘股相併自之得二萬二千八百○一餘勾餘股相減自之得一萬四千一百六十二數相減餘八千六百四十為益廉　作帶從廉添積開三乘方法除之得半徑
　　帶從益廉添積開三乘方曰置所得三乘方積以從方廉約之初商一百　置一於左上為法　置一乘從益廉得八十六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二十為益積之法與上法相乘得一億五千一百六十三萬二千為益實添入原積共一億五千六百二十九萬七千六百為通實置一自乘再乘得一百萬為隅法與上法相乘
　　除實一億餘五千六百二十九萬七千六百為次實　二因益廉得一百七十二萬八千　四因隅法得四百萬為方法　初商自之　六因得六萬為上廉　初商四之得四百為下廉　約次商得二十置一於左次為上法　置一乘益廉得一十七萬二千八百併前倍廉共一百九十○萬○八百　併從方共二百五十五萬三千一百二十為益積之法與上法相乘得五千一百○六萬二千四百為益實添入次實共一億○七百三十六萬為通實置一乘上廉得一百二十萬　置一自之以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為隅法併方廉隅共五百三十六萬八千為下法與上法相乘除實盡
　　又為帶從方廉減隅翻法開三乘方
　　其法曰初商一百　置一於左上為法　置一自乘再乘得一百萬為隅法　置一乘從廉得八十六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二十以減隅法不及反減隅法一百餘五十一萬六千三百二十為負隅與上法相乘得五千一百六十三萬二千加原實共五千六百二十九萬七千六百為次商之實　四因隅法得四百萬為方法初商自之六因得六萬為上廉　初商四之得
　　四百為下廉　次商二十置一於左次為上法置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉得一十六萬　置一自乘再乘得八千為隅法併方法廉隅共五百三十六萬八千為通隅　倍初商加次商得二百二十以乘從廉得一百九十○萬○八百併從方共二百五十五萬三千一百二十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為下法與上法相乘除實盡
　　後凡言如此類立法者倣此
　　又術曰以樹去南門步自之得一萬八千二百二十五為餘股筭副置二位一以餘股乘之得二百四十六萬○三百七十五為餘股立筭一以餘勾乘之得二十九萬一千六百為勾乘股立筭相乘得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實　餘勾餘股相乘得二千一百六十為勾股相乘筭倍之以乘餘股立筭得一百○六億二千八百八十二萬為從方　餘勾自之得二百五十六為餘勾筭四之以乘餘股得一十三萬八千二百四十　倍勾乘股立筭得五十八萬三千二百　二數相減餘四十四萬四千九百六十為從二減廉　以勾股相乘筭為隅筭　作從廉減從方負隅開三乘方法除之得八十一為明勾較以除明股筭得二百二十五為明勾和　加較半之為減較半之為勾　勾股相乘倍為實　以較除之得通和較通和較即城徑也
　　從㢘減從方負隅開三乘方曰約初商八十置一於左上為法　置一自之以乘從廉得二十八億四千七百七十四萬四千以減從方餘七十七億八千一百○七萬六千　置一自乘再乘得五十一萬二千以隅筭因之得一十一億○五百九十二萬為隅法　併從方共八十八億八千六百九十九萬六千為下法與上法相乘除實七千一百○九億五千九百六十八萬餘實六十四億八千五百六十七萬為次實　四因隅法得四十四億二千三百六十八萬為方法　初商自之六因又以隅因得八千二百九十四萬四千為上廉　初商四之隅因得六十九萬一千二百為下廉　約次商得一　置一於左次為上法　倍初商加次商得一百六十一又併初次商為八十一乘之得一萬三千○四十一以乘從廉得五十八億○二百七十二萬三千三百六十以減餘從餘一十九億七千八百三十五萬二千六百四十為從方　置一乘上廉　置一自之以乘下廉俱如舊　置一自乘再乘仍得一為隅法併方法從方廉隅共六十四億八千五百六十七萬為下法與上法相乘除實盡















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