九章算術 (四部叢刊本)/卷第八

九章算術　卷第八

魏 劉徽 注 唐 李淳風 等奉敕注釋 宋 李籍 撰音義 景上海涵芬樓藏微波榭刊本

九章算術卷八　　　　　　　　　　〈算經十書之二〉

　　　　　　　　　　　魏　劉　徽　注

　　　唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋

方程〈以御錯糅正負〉

今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十九

斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉實三十四斗

上禾一秉中禾二秉下禾三秉實二十六斗問

上中下禾實一秉各幾何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉九斗四分斗之一

　　　　中禾一秉四斗四分斗之一

　　　　下禾一秉二斗四分斗之三

　　方程〈程課程也羣物總雜各列有數總言其實令每行爲率二物者再程三物〉

　　〈者三程皆如物數程之並列爲行故謂之方程行之左右無所同存且爲有所據而〉

　　〈言耳此都術也以空言難曉故特繫之禾以決之又列中行如右行也〉

　　術曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉實

　　三十九斗於右方中左禾列如右方以右

　　行上禾徧乘中行而以除〈爲術之意令少行減多行〉

　　〈反覆相減則頭位必先盡上無一位則此行亦闕一物矣然而舉率以相減不害餘〉

　　〈數之課也若消去頭位則下去一物之實如是叠令左右行相減審其正負則可得〉

　　〈而知先令右行上禾乘中行爲齊同之意爲齊同者謂中行上禾亦乘右行也從簡〉

　　〈易雖不言齊同以齊同之意觀之其義然矣〉又乘其次亦以

　　除〈復去左行首〉然以中行中禾不盡者〈徧乘左行〉而

　　以除〈亦令兩行相乘去行之中禾也〉左方下禾不盡者

　　上爲法下爲實實卽下禾之實〈上中禾皆去故餘數〉

　　〈是下禾實非但一秉欲約衆秉之實當以禾秉數爲法列此下禾之秉實乘兩行以〉

　　〈除則下禾之位自決矣各以其餘一位之秉除其下實卽斗數矣用算繁而不省〉

　　〈所以别爲法約也然猶不如自用其舊廣異法也〉求中禾以法乘

　　中行下實而除下禾之實〈此謂中下兩禾實下禾一秉實〉

　　〈數先見將中秉求中禾其列實以減下實而左方下禾不唯一秉下禾實旣以法爲〉

　　〈母則中行下實不以法爲母於率不通故先以法乘其實而同之俱令法爲母而除〉

　　〈下禾實以下禾先見之實令乘下禾秉數卽得下禾一位之列實減於下實則其數〉

　　〈是中禾之實也〉餘如中禾秉數而一卽中禾之實

　　〈餘中禾一位之實也故以一位秉數約之乃得一秉之實也〉求上禾亦

　　以法乘右行下實而除下禾中禾之實〈此右〉

　　〈行三禾共實合三位之實故以二位秉數約之乃得上禾一秉之實此右行三禾共〉

　　〈實合中下禾之實其數並見以中下禾先見之實令乘右行中下禾秉數以減之故〉

　　〈亦如前各求列實以減下實也〉餘如上禾秉數而一卽上

　　禾之實實皆如法各得一斗〈三實同用不滿法者以法〉

　　〈命之母實皆當除之〉

今有上禾七秉損實一斗益之下禾二秉而實

十斗下禾八秉益實一斗與上禾二秉而實十

斗問上下禾實一秉各幾何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉實一斗五十二分斗之十

　　　　八

　　　　下禾一秉實五十二分斗之四十一

　　術曰如方程損之曰益益之曰損〈問者之辭雖以〉

　　〈損益爲說今按實云上禾七秉下禾二秉實十一斗上禾二秉下禾八秉實九斗也〉

　　〈損之日益言損一斗餘當十斗今欲全其實當加所損也益之曰損言益實一斗乃〉

　　〈滿十斗今欲加本實當減所加卽得也〉損實一斗者其實過

　　十斗也益實一斗者其實不滿十斗也〈重諭〉

　　〈損益數者各以損益之數損益之也〉

今有上禾二秉中禾三秉下禾四秉實皆不滿

斗上取中中取下下取上各一秉而實滿斗問

上中下禾實一秉各幾何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉實二十五分斗之九

　　　　中禾一秉實二十五分斗之七

　　　　下禾一秉實二十五分斗之四

　　術曰如方程各置所取〈置上禾二秉爲右行之上中禾三秉〉

　　〈爲中行之中下禾四秉爲左行之下所取一秉及實一斗各從其位諸行相借取之〉

　　〈物皆依此例〉以正負術入之

　　正負術曰〈今兩算得失相反要令正負以名之正算赤負算黑否則以邪〉

　　〈正爲異方程自有赤黑相取左右數相推求之術而其并減之勢不得交通故使赤〉

　　〈黑相消奪之於算或減或益同行異位殊爲二品各有并減之差見於下焉著此二〉

　　〈條特繫之禾以成此二條之意故赤黑相雜足以定上下之程減益雖殊足以通左〉

　　〈右之數差實雖分足以應同異之率然則其正無入負之負無入正之其率不妄也〉

　　同名相除〈此爲以赤除赤以黑除黑行求相減者爲法頭位也然則頭位〉

　　〈同名者當用此條頭位異名者當用下條〉異名相益〈益行減行當各以其〉

　　〈類矣其異名者非其類也非其類者猶無對也非所得減也故赤用黑對則除黑無〉

　　〈對則除赤赤黑并於本數此爲相益之皆所以爲消奪消奪之與減益成一實也術〉

　　〈本取要必除行首至於他位不嫌多少故或令相減或令相并理無同異一也〉正

　　無入負之負無入正之〈無入爲無對也無所得減則使消奪〉

　　〈者居位也其當以列實或減下實而中行正負雜者亦用此條此條者同名減實異〉

　　〈名益實正無入負之負無入正之也〉其異名相除同名相益

　　正無入正之負無入負之〈此條異名相除爲例故亦與上〉

　　〈條互取凡正負所以記其同異使二品互相取而已矣言負者未必負於少言正者〉

　　〈未必正於多故毎一行之中雖復赤黑異算無傷然則可得使頭位常相與異名此〉

　　〈條之實兼通矣遂以二條反覆一率觀其毎與上下互相取位則隨算而言耳猶一〉

　　〈術也又本設諸行欲因減數以相去耳故其多少無限令上下相命而已若以正負〉

　　〈相減如數有舊増法者每行可均之不但數物左右之也〉

今有上禾五秉損實一斗一升當下禾七秉上

禾七秉損實二斗五升當下禾五秉問上下禾

實一秉各幾何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉五升

　　　　下禾一秉二升

　　術曰如方程置上禾五秉正下禾七秉負

　　損實一斗一升正〈言上禾五秉之實多減其一斗一升餘是與下〉

　　〈禾七秉相當數也故互其算令相折除以一斗一升爲差爲差者上禾之餘實也〉

　　次置上禾七秉正下禾五秉負損實二斗

　　五升正以正負術八之〈按正負之術本設列行物程之數不〉

　　〈限多少必令與實上下相次而以每行各自爲率然而或減或益同行異位殊爲二〉

　　〈品并減之差見於下也〉

今有上禾六秉損實一斗八升當下禾十秉下

禾十五秉損實五升當上禾五秉問上下禾實

一秉各幾何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉實八升

　　　　下禾一秉實三升

　　術曰如方程置上禾六秉正下禾十秉負

　　損實一斗八升正次置上禾五秉負下禾

　　十五秉正損實五升正以正負術入之〈言上〉

　　〈禾六秉之實多減損其一斗八升餘是與下禾十秉相當之數故亦互其算而以一〉

　　〈斗八升爲差實差實者下禾之餘實〉

今有上禾三秉益實六斗當下禾十秉下禾五

秉益實一斗當上禾二秉問上下禾實一秉各

幾何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉實八斗

　　　　下禾一秉實三斗

　　術曰如方程置上禾三秉正下禾十秉負

　　益實六斗正次置上禾二秉負下禾五秉

　　正益實一斗正以正負術入之〈言上禾三秉之實少〉

　〈益其六斗然後於下禾十秉相當也故亦互其算而以六斗爲差實差實者下禾之〉

　　〈餘實〉

今有牛五羊二金十兩牛二羊五金八兩

問牛羊各金幾何

　　　　荅曰

　　　　牛一金一兩二十一分兩之十三

　　　　羊一金二十一分兩之二十

　　術曰如方程〈假令爲同齊頭位爲牛左右行相乘定更置牛十羊四〉

　　〈金二十兩左行牛十羊二十五金四十兩牛數等同金多二十兩者羊差二十一〉

　　〈使之然也以少行減多行則牛數盡惟羊與金之數見可得而知也以小推大雖〉

　　〈四五行不異也〉

今有賣牛二羊五以買十三豕有餘錢一千賣

牛三豕三以買九羊錢適足賣羊六豕八以買

五牛錢不足六百問牛羊豕價各幾何

　　　　荅曰

　　　　牛價一千二百

　　　　羊價五百

　　　　豕價三百

　　術曰如方程置牛二羊五正豕十三負餘

　　錢數正次置牛三正羊九負豕三正次置

　　牛五負羊六正豕八正不足錢負以正負

　　術入之〈此中行買賣相折錢適足但互買賣算而已故下無錢也設欲以〉

　　〈此行如方程法先令牛二徧乘左行而以右行除之是終於下實虚缺矣故注日〉

　　〈正無實負負無實正方爲類也方將以别實加不足之數與實物作實盈不足章黃〉

　　〈金白銀與此相當假令黃金九白銀十一稱之重適等交易其一金輕十三兩問金〉

　　〈銀一枚各重幾何與此同〉

今有五雀六燕集稱之衡雀俱重燕俱輕一雀

一燕交而處衡適平并燕雀重一斤問燕雀一

枚各重幾何

　　　　荅曰

　　　　雀重一兩十九分兩之十三

　　　　燕重一兩十九分兩之五

　　術曰如方程交易質之各重八兩〈此四雀一燕與〉

　　〈一雀五燕衡適平并重一斤故各八兩列兩行程數左行頭位其數是一可省乘令〉

　　〈右行徧乘左行而取其法實於左左行數多以右行取其數左頭位減盡中法下實〉

　　〈卽每枚當重宜可知也按此四雀一燕與一雀五燕其重等是三雀四燕重相當雀〉

　　〈率重四燕率重三也諸再程之率皆可異術求之卽其數也〉

今有甲乙二人持錢不知其數甲得乙半而錢

五十乙得甲太半而亦錢五十問甲乙持錢各

幾何

　　　　荅曰

　　　　甲持三十七錢半

　　　　乙持二十五錢

　　術曰如方程損妓之〈此問者言一甲半乙而五十太半甲一乙〉

　　〈亦五十也各以分母乘其全内子行定二甲一乙而錢一百二甲三乙而錢一百五〉

　　〈十於是乃如方程諸物有分者倣此〉

今有二馬一牛價過一萬如半馬之價一馬二

牛價不滿一萬如半牛之價問牛馬價各幾何

　　　　荅曰

　　　　馬價五千四百五十四錢十一分錢

　　　　之六

　　　　牛價一千八百一十八錢十一分錢

　　　　之二

　　術曰如方程損益之〈此一馬半與一牛價一萬也二牛半與〉

　　〈一馬亦一萬也一馬半與一牛通分内子右行爲三馬二牛錢二萬二牛半於〉

　　〈一馬通分内子左行爲二馬五牛錢二萬也〉

今有武馬一匹中馬二匹下馬三匹皆載四十

石至阪皆不能上武馬借中馬一匹中馬借下

馬一匹下馬借武馬一匹乃皆上問武中下馬

一匹各力引幾何

　　　　荅曰

　　　　武馬一匹力引二十二石七分石之

　　　　六

　　　　中馬一匹力引十七石七分石之一

　　　　下馬一匹力引五石七分石之五

　　術曰如方程各置所借以正負術入之

今有五家共井甲二綆不足如乙一綆乙三綆

不足如丙一綆丙四綆不足如丁一綆丁五綆

不足如戊一綆戊六綆不足如甲一綆各得所

不足一綆皆逮問井深綆長各幾何

　　　　荅曰井深七丈二尺一寸

　　　　甲綆長二丈六尺五寸

　　　　乙綆長一丈九尺一寸

　　　　丙綆長一丈四尺八寸

　　　　丁綆長一丈二尺九寸

　　　　戊綆長七尺六寸

　　術曰如方程以正負術入之〈此率初如方程爲之名各〉

　　〈一逮井其後法得七百二十一實七十六是爲七百二十一綆而七十六逮井而戊〉

　　〈一綆逮之數定逮七百二十一分之七十六是故七百二十一爲井深七十六爲戊〉

　　〈綆之長舉率以言之〉

今有白禾二步靑禾三步黃禾四步黑禾五步

實各不滿斗白取靑黃靑取黃黑黃取黑白黑

取白靑各一步而實滿斗問白靑黃黑禾實一

步各幾何

　　　　荅曰

　　　　白禾一步實一百一十一分斗之三

　　　　十三

　　　　靑禾一步實一百一十一分斗之二

　　　　十八

　　　　黃禾一步實一百一十一分斗之十

　　　　七

　　　　黑禾一步實一百一十一分斗之十

　　術曰如方程各置所取以正負術入之

今有甲禾二秉乙禾三秉丙禾四秉重皆過於

石甲二重如乙一乙三重如丙一丙四重如甲

一問甲乙丙禾一秉各重幾何

　　　　荅曰

　　　　甲禾一秉重二十三分石之十七

　　　　乙禾一秉重二十三分石之十一

　　　　丙禾一秉重二十三分石之十

　　術曰如方程置重過於石之物爲負〈此問者言〉

　　〈甲禾二秉之重過於一石也其過者幾何如乙一秉重矣互其算令相折除以石爲〉

　　〈之差實差實者如甲禾餘實故置算相與同也〉以正負術入之〈此入〉

　　〈頭位異名相除者正無入正之負無入負之也〉

今有令一人吏五人從者十人食雞十令十人

吏一人從者五人食雞八令五人吏十人從者

一人食雞六問令吏從者食雞各幾何

　　　　荅曰

　　　　令一人食一百二十二分雞之四十

　　　　五

　　　　吏一人食一百二十二分雞之四十

　　　　一

　　　　從者一人食一百二十二分雞之九

　　　　十七

　　術曰如方程以正負術入之

今有五羊四犬三雞二錢一千四百九十

六四羊二犬六雞三錢一千一百七十五

三羊一犬七雞五錢九百五十八二羊三

犬五雞一錢八百六十一問羊犬雞價

各幾何

　　　　荅曰

　　　　羊價一百七十七

　　　　犬價一百二十一

　　　　雞價二十三

　　　　價二十九

　　術曰如方程以正負術入之

今有麻九斗麥七斗菽三斗荅二斗𮮐五斗

錢一百四十麻七斗麥六斗菽四斗荅五斗𮮐

三斗錢一百二十八麻三斗麥五斗菽七斗

荅六斗𮮐四斗錢一百一十六麻二斗麥五

斗菽三斗答九斗𮮐四斗錢一百一十二麻

一斗麥三斗菽二斗荅八斗𮮐五斗錢九十

五問一斗幾何

　　　　荅曰

　　　　麻一斗七錢

　　　　麥一斗四錢

　　　　菽一斗三錢

　　　　荅一斗五錢

　　　　𮮐一斗六錢

　　術曰如方程以正負術入之〈此麻麥與均輸少廣章之〉

　　〈重衰積分皆爲大事其拙於精理徒按本術者或用算而布氊方好煩而喜誤曾不〉

　　〈知其非反欲以多爲貴故其算也莫不闇於設通而專於一端至於此類苟務其成〉

　　〈然或失之不可謂要約更有異術者庖丁解牛游刅理間故能歷久其刅如新夫數〉

　　〈猶刅也易簡用之則動中庖丁之理故能和神愛刅速而寡尤凡九章爲大事按法〉

　　〈皆不盡一百算也雖布算不多然足以算多世人多以方程爲難或盡布算之象在〉

　　〈綴正負而已未暇以論其設動無方斯膠柱調瑟之類聊復恢演爲作新術著之於〉

　　〈此將亦啓導疑意網羅道精豈傳之空言記其施用之例著䇿之數每舉一隅焉〉

　　〈方程新術曰以正負術入之令左右相減先去下實又轉去物位求其一行二物正〉

　　〈負相借者易其相當之率又令二物與他行互相去取轉其二物相借之數卽皆相〉

　　〈當之率也各據二物相當之率對易其數卽各當之率也更置減行及其下實各以〉

　　〈其物本率今有之求其所同并以爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名〉

　　〈相消餘以爲法以下實爲實實如法卽合所問也一物各以本率今有之卽皆合所〉

　　〈問也率不通者齊之　其一術曰置羣物通率爲列衰更置減行羣物之數各以其〉

　　〈率乘之并以爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消餘爲法以減行〉

　　〈下實乘列衰各自爲實實如法而一卽得以舊術爲之凡應置五行今欲要約先置〉

　　〈第三行以減第四行及減第三行次置第二行以第二行減第三行去其頭位次置〉

　　〈右行去其頭位次以第四行減左行頭位次以左行去第四行及第二行頭位次以〉

　　〈第五行減第二行頭位餘可半次以第二行去第四行頭位餘約之爲法實如法而〉

　　〈一得空卽有𮮐價以法減第二行得荅價左行得麥價第三行麻價右行得菽價如〉

　　〈此凡用七十七算以新術爲此先以第四行減第三行次以第三行去右行及第二〉

　　〈行第四行下位又以減右行下位不足減乃止次以左行減第三行下位次以第三〉

　　〈行去左行下位訖廢去第三行次以第四行去左行下位右行當左行下位次以右〉

　　〈行去第二行及第四行下位次以第二行減第四行及左行願位次以第四行減右〉

　　〈行菽位不足減乃止次以左行減第二行頭位餘可再半次以第四行去右行及第〉

　　〈二行頭位次以第二行去右行頭位餘約之上得五下得三是菽五當荅三次以左〉

　　〈行去第三行菽位又以減第四行及右行菽位不足減乃止次以右行減第二行頭〉

　　〈位不足減乃止次以第三行去左行頭位次以左行去右行頭位餘上得六下得五〉

　　〈是爲荅六當𮮐五次以右行去左行荅位餘約之上爲二下爲三次以左行去第二〉

　　〈行下位以第二行去第四行下位又以減左行下位次右行去第二行下位餘上得〉

　　〈三下得四是爲麥三當菽四次以第二行減第四行下位次以第四行去第二行下〉

　　〈位餘上得四下得七是爲麻四當麥七是爲相當之率舉矣據麻四當麥七卽爲麻〉

　　〈價率七而麥價率四又麥三當菽四卽爲麥價率四而菽價率三又荅六當𮮐五卽〉

　　〈爲荅價率五而𮮐價率六而率通矣更置第三行以第四行減之餘有麻一斗菽四〉

　　〈斗荅三斗負下實四正求其同爲麻之數以菽率三荅率五各乘菽荅斗數如麻率〉

　　〈七而一菽得一斗七分斗之五正荅得二斗七分斗之一負則菽荅化爲麻以并之〉

　　〈令同名相從異名相消餘爲定麻七分斗之四以爲法置下實四爲實以分母乘之〉

　　〈實得二十八而分子化爲法矣以法除得七卽麻一斗之價置麥率四菽率三荅率〉

　　〈五𮮐率六皆以其斗數乘之各自爲實以麻率七爲法所得卽同爲麻之數亦可使〉

　　〈置本行實與物同通之各以本率今有之求其本率所得并以爲法如此則無正負〉

　　〈之異矣擇異同而已又可以一術爲之置五行通率爲麻七麥四菽三荅五𮮐六以〉

　　〈爲列衰減行麻一斗菽四斗正荅三斗負各以其率乘之訖令同名相從異名相消〉

　　〈餘爲法又置下實乘列衰所得各爲實此可以實約法則不復乘列衰各以列衰如〉

　　　〈所約知其價如此則凡用一百二十四算也〉

九章算術卷八訂訛

　　　　　　　休寧　載　震　東原

術曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十

九斗於右方中左禾列如右方以右行上禾徧

乘中行而以除〈古字値通用除猶言對減也以右行上禾徧乘中行〉

〈復以中行上禾徧乘右行然後可相對減古人文省故但舉一以該之〉

又乘其次亦以除〈此謂右行上禾徧乘左行復以左行上禾徧乘右行〉

〈亦相對減古人文多省畧〉

然以中行中禾不盡者〈古人單用然字不曰然後者然猶乃也〉徧

乘左行〈此以中行左行所減之餘如前徧乘文亦從省〉

用算繁而不省所以别爲法約也然猶不如自

用其舊廣異法也〈用法繁而不省以下訛舛衍文〉

益行減行當各以其類矣其異名者非其類也

非其類者猶無對也非所得減也故赤用黑對

則除黑無對則除赤赤黑并於本數此爲相益

之皆所以爲消奪消奪之與減益成一實也〈此注〉

〈多訛舛據方程術無論物有幾品遞減至一物乃止又以赤黑别正負首位赤減赤黑減黑者〉

〈同名伯除也次位以下遇赤用黑對則相益此條是也首位赤減黑黑減赤者異名相除也次〉

〈位以下遇皆赤皆黑則相益後條是也由此言之注之謬顯然葢傳寫失真後人復妄加改竄〉

〈遂不可通〉

正無入負之〈入字原本訛作人下文及注並同據注云無入爲無對也無對之說〉

〈亦未分曉釋方程者專爲遇空位起例而左右兩行相對減或正宜變爲負或負宜變爲正往〉

〈往不得其義例今考同名相除異名相益者如下實左右俱正所減之餘屬左行則去右行屬〉

〈右行則去左行其物品以正減正餘在所去之行爲正無入以負減負餘在所去之行爲負無〉

〈入以正從負爲正無入以負從正爲負無入負對空位而負數在所去之行與以負減負同例〉

〈正對空位而正數在所去之行與以正從負同例此皆所謂正無入負之負無入正之也異名〉

〈相除同名相益者如下實左右俱正并爲一數則無分於左右其物品以負減正餘或左或右〉

〈爲正無入以正減負餘或左或右爲負無入以正從正爲正無入以負從負爲負無入正對空〉

〈位與以負減正同例負對空位與以負從負同例此皆所謂正無入正之負無入負之也由是〉

〈言之在所去之行則其數無入而或左或右以與無分於左右合爲一行因亦謂之無入人字〉

〈乃傳寫之誤明矣今悉改正〉

無入爲無對也無所得減則使消奪者居位也

其當以列實或減下實〈此句訛舛據後注内方程新術以列衰乘下實〉

〈又以列衰乘羣物之數并爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消似卽此所舉〉

此條異名相除爲例故亦與上條互取凡正負

所以記其同異使二品互相取而已矣言負者

未必負於少言正者未必正於多故每一行之

中雖復赤黑異算無傷然則可得使頭位常相

與異名此條之實兼通矣遂以二條反覆一率

觀其每與上下互相取位則隨算而言耳猶一

術也又本設諸行欲因減數以相去耳故其多

少無限令上下相命而已若以正負相減如數

有舊增法者每行可均之不但數物左右之也

〈此注皆不分曉當由傳寫失真後人又妄加改遂不可通〉

此中行買賣相折錢適足但互買賣算而已故

下無錢也設欲以此行如方程法先令牛二

徧乘左行而以右行除之是終於下實虚缺

矣故注曰正無實負負無實正方爲類也方將

以别實加不足之數與實物作實〈此注訛脫不分曉據術意〉

〈應列三行先令右行牛二徧乘中行復令中行牛三徧乘右行而以除得羊三十三正豕四〉

〈十五負餘錢三千正此同名相除異名相益正無入負之負無入正之也次令右行牛二徧乘〉

〈左行復令左行牛五徧乘右行而以除得羊三十七正豕四十九負餘錢三千八百正此異〉

〈名相除同名相益正無入正之負無入負之也重列爲左右兩行先令右行羊三十三徧乘左〉

〈行復令左行羊三十七徧乘右行而以除得豕四十八正以爲法錢一萬四千四百正爲實〉

〈實如法而一得豕價三百轉減而上得羊價五百牛價一千二百此亦同名相除異名相益正〉

〈無入負之負無入正之也中行下實虛缺本無庸論葢注文傳寫失眞後人又妄加改竄遂不〉

〈可通〉

此四雀一燕與一雀五燕衡適平并重一斤故

各八兩列兩行程數左行頭位其數是一可省

乘令右行徧乘左行而取其法實於左左行數

多以右行取其數左頭位減盡中法下實卽每

枚當重宜可知也按此四雀一燕與一雀五燕

其重等是三雀四燕重相當雀率重四燕率重

三也諸再程之率皆可異術求之卽其數也

〈此卽末條所言新術以下實俱重八兩徧乘上雀燕以左雀八減右雀三十二餘二十四以右〉

〈燕八減左燕四十餘三十二是爲二物正負相借因而約之雀得三燕得四乃三雀當四燕也〉

〈對易其數卽雀率重四而燕率重三注於此突入異術幾不解其所謂〉

今有五家共井甲二綆不足如乙一綆乙三綆

不足如丙一綆丙四綆不足如丁一綆丁五綆

不足如戊一綆戊六綆不足如甲一綆各得所

不足一綆皆逮問井深綆長各幾何荅曰井深

七丈二尺一寸甲綆長二丈六尺五寸乙綆長

一丈九尺一寸丙綆長一丈四尺八寸丁綆長

一丈二尺九寸戊綆長七尺六寸〈此問不言丈尺無由知井〉

〈深綆長於丈尺幾何使井深半之爲三丈六尺有半寸則甲綆一丈三尺二寸半乙綆九尺五〉

〈寸半丙綆七尺四寸丁綆六尺四寸半戊綆三尺八寸使井深倍之爲十四丈四尺二寸則甲〉

〈綆五丈三尺乙綆三丈八尺二寸丙綆二丈九尺六寸丁綆二丈五尺八寸戊綆一丈五尺二〉

〈寸皆合所問由是言之問旣不定以丈尺依術推求先得七百二十一無以定百爲丈十爲尺〉

〈也問井深綆長之率各幾何荅以井深之率七百二十一甲綆長率二百六十五乙綆長率一〉

〈百九十一丙綆長率一百四十八丁綆長率一百二十九戊綆長率七十六於義乃通〉

此率初如方程爲之名各一逮井其後法得七

百二十一實七十六〈此上訛舛不可通據術先得七百二十一爲所列五〉

〈行之通率卽井深率也以此率列各行下爲各行之下實重求之法得七百二十一實得五萬〉

〈四千七百九十六以法除實得用逮之數七十六〉

此麻麥與均輸少廣章之重衰積分皆爲大事

其拙於精理徒按本術者或用算而布氊方好

煩而喜誤曾不知其非反欲以多爲貴故其算

也莫不闇於設通而專於一端至於此類苟務

其成然或失之不可謂要約更有異術者庖丁

解牛游刃理閒故能歷久其刃如新夫數猶刃

也易簡用之則動中庖丁之理故能和神愛刃

速而寡尤凡九章爲大事按法皆不盡一百算

也雖布算不多然足以算多世人多以方程爲

難或盡布算之象在綴正負而已未暇以論其

設動無方斯膠柱調瑟之類聊復恢演爲作新

術著之於此將亦啓導疑意網羅道精豈傳之

空言記其施用之例著䇿之數每舉一隅焉〈以上〉

〈字句多誤又皆屬虛辭非有實義可考無從訂正姑仍之〉

其一術曰置羣物通率爲列衰更置減行羣物

之數各以其率乘之并以爲法其當相并而行

中正負雜者同名相從異名相消餘爲法以減

行下實乘列衰各自爲實實如法而一卽得以

舊術爲之凡應置五行今欲要約先置第三行

以減第四行及減第三行次置第二行以第二

行減第三行去其頭位次置右行去其頭位次

以第四行減左行頭位次以左行去第四行及

第二行頭位次以第五行減第二行頭位餘可

半次以第二行去第四行頭位餘約之爲法實

如法而一得空卽有𮮐價以法減第二行得荅

價左行得麥價第三行麻價右行得菽價如此

凡用七十七算〈以上所言舊術訛舛不可通據方程術凡五物及總價求其各〉

〈物之價者應列五行行五位及價以上一位互乘因徧乘次位以下及價兩兩相對減去〉

〈其頭位所減之餘重列之減至一物一價乃止物爲法價爲實實如法而一得一物之價轉減〉

〈而上以知各價先化五爲四次化四爲三次化三爲二次化二爲一凡用十算兼乘減除言之〉

〈則一百四十五算凡上一位互乘其數必同可省乘若遇上一位數同則省徧乘或上一位遇〉

〈一則省其與對行徧乘考問意左行上一位是一先以左行減右行次減第二行次減第三行〉

〈次減第四行所減之餘重列爲四行其左行上一位又是一以左行減右行次減第二行次減〉

〈第三行所減之餘重列爲三行其上一位數皆同卽以本數減之餘列爲兩行依術得荅價轉〉

〈而上求得菽價及麥價麻價凡用九十九算〉以新術爲此先以第四

行減第三行次以第三行去右行及第二行第

四行下位又以減右行下位不足減乃止次以

左行減第三行下位次以第三行去左行下位

訖廢去第三行次以第四行去左行下位右行

當左行下位次以右行去第二行及第四行下

位次以第二行減第四行及左行頭位次以第

四行減右行菽位不足減乃止次以左行減第

二行頭位餘可再半次以第四行去右行及第

二行頭位次以第二行去右行頭位餘約之上

得五下得三是菽五當荅三次以左行去第三

行菽位又以減第四行及右行菽位不足減乃

止次以右行減第二行頭位不足減乃止次以

第三行去左行頭位次以左行去右行頭位餘

上得六下得五是爲荅六當𮮐五次以右行去

左行荅位餘約之上爲二下爲三次以左行去

第二行下位以第二行去第四行下位又以減

左行下位次右行去第二行下位餘上得三下

得四是爲麥三當菽四次以第二行減第四行

下位次以第四行去第二行下位餘上得四下

得七是爲麻四當麥七是爲相當之率舉矣〈以上〉

〈所言新術亦訛舛不可通據其術求之先以左行減第三行去其次位次并右行左行亦并第〉

〈三行第四行以減之去其次位次倍左行以第二行減之去其次位所減之餘重列之爲三行〉

〈次以第四行減第二行去次位及下位次以重列之中行減右行去其下位次以重列之左行〉

〈減右行去其下位所減之餘又重列之爲三行次以此右行減中行去其頭位次以此右行減〉

〈左行去其頭位所減之餘兩行兩物減去下實餘約之上得五下得三是菽五當荅三前云令〉

〈左右相減先去下實又轉去物位求其一行二物正負相借者易其相當之率謂菽五當荅三〉

〈卽菽價率三荅價率五也或先減下實乃減物位或先減物位乃減下實各從省便本無一定〉

〈之先後其先求菽與荅相當之率次求荅與𮮐相當之率次求麥與菽相當之率次求麻與麥〉

〈相當之率亦無一定之先後然非遇正負相借者則二物相當之率不可得往往窮而復推輾〉

〈轉滋繁遠不若舊術之究歸易簡也〉

九章算術卷八終