九章算术 (四部丛刊本)/卷第八

九章算术　卷第八

魏 刘徽 注 唐 李淳风 等奉敕注释 宋 李籍 撰音义 景上海涵芬楼藏微波榭刊本

九章算术卷八　　　　　　　　　　〈算经十书之二〉

　　　　　　　　　　　魏　刘　徽　注

　　　唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释

方程〈以御错糅正负〉

今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九

斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉实三十四斗

上禾一秉中禾二秉下禾三秉实二十六斗问

上中下禾实一秉各几何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉九斗四分斗之一

　　　　中禾一秉四斗四分斗之一

　　　　下禾一秉二斗四分斗之三

　　方程〈程课程也群物总杂各列有数总言其实令每行为率二物者再程三物〉

　　〈者三程皆如物数程之并列为行故谓之方程行之左右无所同存且为有所据而〉

　　〈言耳此都术也以空言难晓故特系之禾以决之又列中行如右行也〉

　　术曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉实

　　三十九斗于右方中左禾列如右方以右

　　行上禾遍乘中行而以除〈为术之意令少行减多行〉

　　〈反复相减则头位必先尽上无一位则此行亦阙一物矣然而举率以相减不害馀〉

　　〈数之课也若消去头位则下去一物之实如是叠令左右行相减审其正负则可得〉

　　〈而知先令右行上禾乘中行为齐同之意为齐同者谓中行上禾亦乘右行也从简〉

　　〈易虽不言齐同以齐同之意观之其义然矣〉又乘其次亦以

　　除〈复去左行首〉然以中行中禾不尽者〈遍乘左行〉而

　　以除〈亦令两行相乘去行之中禾也〉左方下禾不尽者

　　上为法下为实实即下禾之实〈上中禾皆去故馀数〉

　　〈是下禾实非但一秉欲约众秉之实当以禾秉数为法列此下禾之秉实乘两行以〉

　　〈除则下禾之位自决矣各以其馀一位之秉除其下实即斗数矣用算繁而不省〉

　　〈所以别为法约也然犹不如自用其旧广异法也〉求中禾以法乘

　　中行下实而除下禾之实〈此谓中下两禾实下禾一秉实〉

　　〈数先见将中秉求中禾其列实以减下实而左方下禾不唯一秉下禾实既以法为〉

　　〈母则中行下实不以法为母于率不通故先以法乘其实而同之俱令法为母而除〉

　　〈下禾实以下禾先见之实令乘下禾秉数即得下禾一位之列实减于下实则其数〉

　　〈是中禾之实也〉馀如中禾秉数而一即中禾之实

　　〈馀中禾一位之实也故以一位秉数约之乃得一秉之实也〉求上禾亦

　　以法乘右行下实而除下禾中禾之实〈此右〉

　　〈行三禾共实合三位之实故以二位秉数约之乃得上禾一秉之实此右行三禾共〉

　　〈实合中下禾之实其数并见以中下禾先见之实令乘右行中下禾秉数以减之故〉

　　〈亦如前各求列实以减下实也〉馀如上禾秉数而一即上

　　禾之实实皆如法各得一斗〈三实同用不满法者以法〉

　　〈命之母实皆当除之〉

今有上禾七秉损实一斗益之下禾二秉而实

十斗下禾八秉益实一斗与上禾二秉而实十

斗问上下禾实一秉各几何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉实一斗五十二分斗之十

　　　　八

　　　　下禾一秉实五十二分斗之四十一

　　术曰如方程损之曰益益之曰损〈问者之辞虽以〉

　　〈损益为说今按实云上禾七秉下禾二秉实十一斗上禾二秉下禾八秉实九斗也〉

　　〈损之日益言损一斗馀当十斗今欲全其实当加所损也益之曰损言益实一斗乃〉

　　〈满十斗今欲加本实当减所加即得也〉损实一斗者其实过

　　十斗也益实一斗者其实不满十斗也〈重谕〉

　　〈损益数者各以损益之数损益之也〉

今有上禾二秉中禾三秉下禾四秉实皆不满

斗上取中中取下下取上各一秉而实满斗问

上中下禾实一秉各几何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉实二十五分斗之九

　　　　中禾一秉实二十五分斗之七

　　　　下禾一秉实二十五分斗之四

　　术曰如方程各置所取〈置上禾二秉为右行之上中禾三秉〉

　　〈为中行之中下禾四秉为左行之下所取一秉及实一斗各从其位诸行相借取之〉

　　〈物皆依此例〉以正负术入之

　　正负术曰〈今两算得失相反要令正负以名之正算赤负算黑否则以邪〉

　　〈正为异方程自有赤黑相取左右数相推求之术而其并减之势不得交通故使赤〉

　　〈黑相消夺之于算或减或益同行异位殊为二品各有并减之差见于下焉著此二〉

　　〈条特系之禾以成此二条之意故赤黑相杂足以定上下之程减益虽殊足以通左〉

　　〈右之数差实虽分足以应同异之率然则其正无入负之负无入正之其率不妄也〉

　　同名相除〈此为以赤除赤以黑除黑行求相减者为法头位也然则头位〉

　　〈同名者当用此条头位异名者当用下条〉异名相益〈益行减行当各以其〉

　　〈类矣其异名者非其类也非其类者犹无对也非所得减也故赤用黑对则除黑无〉

　　〈对则除赤赤黑并于本数此为相益之皆所以为消夺消夺之与减益成一实也术〉

　　〈本取要必除行首至于他位不嫌多少故或令相减或令相并理无同异一也〉正

　　无入负之负无入正之〈无入为无对也无所得减则使消夺〉

　　〈者居位也其当以列实或减下实而中行正负杂者亦用此条此条者同名减实异〉

　　〈名益实正无入负之负无入正之也〉其异名相除同名相益

　　正无入正之负无入负之〈此条异名相除为例故亦与上〉

　　〈条互取凡正负所以记其同异使二品互相取而已矣言负者未必负于少言正者〉

　　〈未必正于多故毎一行之中虽复赤黑异算无伤然则可得使头位常相与异名此〉

　　〈条之实兼通矣遂以二条反复一率观其毎与上下互相取位则随算而言耳犹一〉

　　〈术也又本设诸行欲因减数以相去耳故其多少无限令上下相命而已若以正负〉

　　〈相减如数有旧増法者每行可均之不但数物左右之也〉

今有上禾五秉损实一斗一升当下禾七秉上

禾七秉损实二斗五升当下禾五秉问上下禾

实一秉各几何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉五升

　　　　下禾一秉二升

　　术曰如方程置上禾五秉正下禾七秉负

　　损实一斗一升正〈言上禾五秉之实多减其一斗一升馀是与下〉

　　〈禾七秉相当数也故互其算令相折除以一斗一升为差为差者上禾之馀实也〉

　　次置上禾七秉正下禾五秉负损实二斗

　　五升正以正负术八之〈按正负之术本设列行物程之数不〉

　　〈限多少必令与实上下相次而以每行各自为率然而或减或益同行异位殊为二〉

　　〈品并减之差见于下也〉

今有上禾六秉损实一斗八升当下禾十秉下

禾十五秉损实五升当上禾五秉问上下禾实

一秉各几何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉实八升

　　　　下禾一秉实三升

　　术曰如方程置上禾六秉正下禾十秉负

　　损实一斗八升正次置上禾五秉负下禾

　　十五秉正损实五升正以正负术入之〈言上〉

　　〈禾六秉之实多减损其一斗八升馀是与下禾十秉相当之数故亦互其算而以一〉

　　〈斗八升为差实差实者下禾之馀实〉

今有上禾三秉益实六斗当下禾十秉下禾五

秉益实一斗当上禾二秉问上下禾实一秉各

几何

　　　　荅曰

　　　　上禾一秉实八斗

　　　　下禾一秉实三斗

　　术曰如方程置上禾三秉正下禾十秉负

　　益实六斗正次置上禾二秉负下禾五秉

　　正益实一斗正以正负术入之〈言上禾三秉之实少〉

　〈益其六斗然后于下禾十秉相当也故亦互其算而以六斗为差实差实者下禾之〉

　　〈馀实〉

今有牛五羊二金十两牛二羊五金八两

问牛羊各金几何

　　　　荅曰

　　　　牛一金一两二十一分两之十三

　　　　羊一金二十一分两之二十

　　术曰如方程〈假令为同齐头位为牛左右行相乘定更置牛十羊四〉

　　〈金二十两左行牛十羊二十五金四十两牛数等同金多二十两者羊差二十一〉

　　〈使之然也以少行减多行则牛数尽惟羊与金之数见可得而知也以小推大虽〉

　　〈四五行不异也〉

今有卖牛二羊五以买十三豕有馀钱一千卖

牛三豕三以买九羊钱适足卖羊六豕八以买

五牛钱不足六百问牛羊豕价各几何

　　　　荅曰

　　　　牛价一千二百

　　　　羊价五百

　　　　豕价三百

　　术曰如方程置牛二羊五正豕十三负馀

　　钱数正次置牛三正羊九负豕三正次置

　　牛五负羊六正豕八正不足钱负以正负

　　术入之〈此中行买卖相折钱适足但互买卖算而已故下无钱也设欲以〉

　　〈此行如方程法先令牛二遍乘左行而以右行除之是终于下实虚缺矣故注日〉

　　〈正无实负负无实正方为类也方将以别实加不足之数与实物作实盈不足章黄〉

　　〈金白银与此相当假令黄金九白银十一称之重适等交易其一金轻十三两问金〉

　　〈银一枚各重几何与此同〉

今有五雀六燕集称之衡雀俱重燕俱轻一雀

一燕交而处衡适平并燕雀重一斤问燕雀一

枚各重几何

　　　　荅曰

　　　　雀重一两十九分两之十三

　　　　燕重一两十九分两之五

　　术曰如方程交易质之各重八两〈此四雀一燕与〉

　　〈一雀五燕衡适平并重一斤故各八两列两行程数左行头位其数是一可省乘令〉

　　〈右行遍乘左行而取其法实于左左行数多以右行取其数左头位减尽中法下实〉

　　〈即每枚当重宜可知也按此四雀一燕与一雀五燕其重等是三雀四燕重相当雀〉

　　〈率重四燕率重三也诸再程之率皆可异术求之即其数也〉

今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱

五十乙得甲太半而亦钱五十问甲乙持钱各

几何

　　　　荅曰

　　　　甲持三十七钱半

　　　　乙持二十五钱

　　术曰如方程损妓之〈此问者言一甲半乙而五十太半甲一乙〉

　　〈亦五十也各以分母乘其全内子行定二甲一乙而钱一百二甲三乙而钱一百五〉

　　〈十于是乃如方程诸物有分者仿此〉

今有二马一牛价过一万如半马之价一马二

牛价不满一万如半牛之价问牛马价各几何

　　　　荅曰

　　　　马价五千四百五十四钱十一分钱

　　　　之六

　　　　牛价一千八百一十八钱十一分钱

　　　　之二

　　术曰如方程损益之〈此一马半与一牛价一万也二牛半与〉

　　〈一马亦一万也一马半与一牛通分内子右行为三马二牛钱二万二牛半于〉

　　〈一马通分内子左行为二马五牛钱二万也〉

今有武马一匹中马二匹下马三匹皆载四十

石至阪皆不能上武马借中马一匹中马借下

马一匹下马借武马一匹乃皆上问武中下马

一匹各力引几何

　　　　荅曰

　　　　武马一匹力引二十二石七分石之

　　　　六

　　　　中马一匹力引十七石七分石之一

　　　　下马一匹力引五石七分石之五

　　术曰如方程各置所借以正负术入之

今有五家共井甲二绠不足如乙一绠乙三绠

不足如丙一绠丙四绠不足如丁一绠丁五绠

不足如戊一绠戊六绠不足如甲一绠各得所

不足一绠皆逮问井深绠长各几何

　　　　荅曰井深七丈二尺一寸

　　　　甲绠长二丈六尺五寸

　　　　乙绠长一丈九尺一寸

　　　　丙绠长一丈四尺八寸

　　　　丁绠长一丈二尺九寸

　　　　戊绠长七尺六寸

　　术曰如方程以正负术入之〈此率初如方程为之名各〉

　　〈一逮井其后法得七百二十一实七十六是为七百二十一绠而七十六逮井而戊〉

　　〈一绠逮之数定逮七百二十一分之七十六是故七百二十一为井深七十六为戊〉

　　〈绠之长举率以言之〉

今有白禾二步青禾三步黄禾四步黑禾五步

实各不满斗白取青黄青取黄黑黄取黑白黑

取白青各一步而实满斗问白青黄黑禾实一

步各几何

　　　　荅曰

　　　　白禾一步实一百一十一分斗之三

　　　　十三

　　　　青禾一步实一百一十一分斗之二

　　　　十八

　　　　黄禾一步实一百一十一分斗之十

　　　　七

　　　　黑禾一步实一百一十一分斗之十

　　术曰如方程各置所取以正负术入之

今有甲禾二秉乙禾三秉丙禾四秉重皆过于

石甲二重如乙一乙三重如丙一丙四重如甲

一问甲乙丙禾一秉各重几何

　　　　荅曰

　　　　甲禾一秉重二十三分石之十七

　　　　乙禾一秉重二十三分石之十一

　　　　丙禾一秉重二十三分石之十

　　术曰如方程置重过于石之物为负〈此问者言〉

　　〈甲禾二秉之重过于一石也其过者几何如乙一秉重矣互其算令相折除以石为〉

　　〈之差实差实者如甲禾馀实故置算相与同也〉以正负术入之〈此入〉

　　〈头位异名相除者正无入正之负无入负之也〉

今有令一人吏五人从者十人食鸡十令十人

吏一人从者五人食鸡八令五人吏十人从者

一人食鸡六问令吏从者食鸡各几何

　　　　荅曰

　　　　令一人食一百二十二分鸡之四十

　　　　五

　　　　吏一人食一百二十二分鸡之四十

　　　　一

　　　　从者一人食一百二十二分鸡之九

　　　　十七

　　术曰如方程以正负术入之

今有五羊四犬三鸡二钱一千四百九十

六四羊二犬六鸡三钱一千一百七十五

三羊一犬七鸡五钱九百五十八二羊三

犬五鸡一钱八百六十一问羊犬鸡价

各几何

　　　　荅曰

　　　　羊价一百七十七

　　　　犬价一百二十一

　　　　鸡价二十三

　　　　价二十九

　　术曰如方程以正负术入之

今有麻九斗麦七斗菽三斗荅二斗𮮐五斗

钱一百四十麻七斗麦六斗菽四斗荅五斗𮮐

三斗钱一百二十八麻三斗麦五斗菽七斗

荅六斗𮮐四斗钱一百一十六麻二斗麦五

斗菽三斗答九斗𮮐四斗钱一百一十二麻

一斗麦三斗菽二斗荅八斗𮮐五斗钱九十

五问一斗几何

　　　　荅曰

　　　　麻一斗七钱

　　　　麦一斗四钱

　　　　菽一斗三钱

　　　　荅一斗五钱

　　　　𮮐一斗六钱

　　术曰如方程以正负术入之〈此麻麦与均输少广章之〉

　　〈重衰积分皆为大事其拙于精理徒按本术者或用算而布毡方好烦而喜误曾不〉

　　〈知其非反欲以多为贵故其算也莫不暗于设通而专于一端至于此类苟务其成〉

　　〈然或失之不可谓要约更有异术者庖丁解牛游刅理间故能历久其刅如新夫数〉

　　〈犹刅也易简用之则动中庖丁之理故能和神爱刅速而寡尤凡九章为大事按法〉

　　〈皆不尽一百算也虽布算不多然足以算多世人多以方程为难或尽布算之象在〉

　　〈缀正负而已未暇以论其设动无方斯胶柱调瑟之类聊复恢演为作新术著之于〉

　　〈此将亦启导疑意网罗道精岂传之空言记其施用之例著䇿之数每举一隅焉〉

　　〈方程新术曰以正负术入之令左右相减先去下实又转去物位求其一行二物正〉

　　〈负相借者易其相当之率又令二物与他行互相去取转其二物相借之数即皆相〉

　　〈当之率也各据二物相当之率对易其数即各当之率也更置减行及其下实各以〉

　　〈其物本率今有之求其所同并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名〉

　　〈相消馀以为法以下实为实实如法即合所问也一物各以本率今有之即皆合所〉

　　〈问也率不通者齐之　其一术曰置群物通率为列衰更置减行群物之数各以其〉

　　〈率乘之并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消馀为法以减行〉

　　〈下实乘列衰各自为实实如法而一即得以旧术为之凡应置五行今欲要约先置〉

　　〈第三行以减第四行及减第三行次置第二行以第二行减第三行去其头位次置〉

　　〈右行去其头位次以第四行减左行头位次以左行去第四行及第二行头位次以〉

　　〈第五行减第二行头位馀可半次以第二行去第四行头位馀约之为法实如法而〉

　　〈一得空即有𮮐价以法减第二行得荅价左行得麦价第三行麻价右行得菽价如〉

　　〈此凡用七十七算以新术为此先以第四行减第三行次以第三行去右行及第二〉

　　〈行第四行下位又以减右行下位不足减乃止次以左行减第三行下位次以第三〉

　　〈行去左行下位讫废去第三行次以第四行去左行下位右行当左行下位次以右〉

　　〈行去第二行及第四行下位次以第二行减第四行及左行愿位次以第四行减右〉

　　〈行菽位不足减乃止次以左行减第二行头位馀可再半次以第四行去右行及第〉

　　〈二行头位次以第二行去右行头位馀约之上得五下得三是菽五当荅三次以左〉

　　〈行去第三行菽位又以减第四行及右行菽位不足减乃止次以右行减第二行头〉

　　〈位不足减乃止次以第三行去左行头位次以左行去右行头位馀上得六下得五〉

　　〈是为荅六当𮮐五次以右行去左行荅位馀约之上为二下为三次以左行去第二〉

　　〈行下位以第二行去第四行下位又以减左行下位次右行去第二行下位馀上得〉

　　〈三下得四是为麦三当菽四次以第二行减第四行下位次以第四行去第二行下〉

　　〈位馀上得四下得七是为麻四当麦七是为相当之率举矣据麻四当麦七即为麻〉

　　〈价率七而麦价率四又麦三当菽四即为麦价率四而菽价率三又荅六当𮮐五即〉

　　〈为荅价率五而𮮐价率六而率通矣更置第三行以第四行减之馀有麻一斗菽四〉

　　〈斗荅三斗负下实四正求其同为麻之数以菽率三荅率五各乘菽荅斗数如麻率〉

　　〈七而一菽得一斗七分斗之五正荅得二斗七分斗之一负则菽荅化为麻以并之〉

　　〈令同名相从异名相消馀为定麻七分斗之四以为法置下实四为实以分母乘之〉

　　〈实得二十八而分子化为法矣以法除得七即麻一斗之价置麦率四菽率三荅率〉

　　〈五𮮐率六皆以其斗数乘之各自为实以麻率七为法所得即同为麻之数亦可使〉

　　〈置本行实与物同通之各以本率今有之求其本率所得并以为法如此则无正负〉

　　〈之异矣择异同而已又可以一术为之置五行通率为麻七麦四菽三荅五𮮐六以〉

　　〈为列衰减行麻一斗菽四斗正荅三斗负各以其率乘之讫令同名相从异名相消〉

　　〈馀为法又置下实乘列衰所得各为实此可以实约法则不复乘列衰各以列衰如〉

　　　〈所约知其价如此则凡用一百二十四算也〉

九章算术卷八订讹

　　　　　　　休宁　载　震　东原

术曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十

九斗于右方中左禾列如右方以右行上禾遍

乘中行而以除〈古字值通用除犹言对减也以右行上禾遍乘中行〉

〈复以中行上禾遍乘右行然后可相对减古人文省故但举一以该之〉

又乘其次亦以除〈此谓右行上禾遍乘左行复以左行上禾遍乘右行〉

〈亦相对减古人文多省略〉

然以中行中禾不尽者〈古人单用然字不曰然后者然犹乃也〉遍

乘左行〈此以中行左行所减之馀如前遍乘文亦从省〉

用算繁而不省所以别为法约也然犹不如自

用其旧广异法也〈用法繁而不省以下讹舛衍文〉

益行减行当各以其类矣其异名者非其类也

非其类者犹无对也非所得减也故赤用黑对

则除黑无对则除赤赤黑并于本数此为相益

之皆所以为消夺消夺之与减益成一实也〈此注〉

〈多讹舛据方程术无论物有几品递减至一物乃止又以赤黑别正负首位赤减赤黑减黑者〉

〈同名伯除也次位以下遇赤用黑对则相益此条是也首位赤减黑黑减赤者异名相除也次〉

〈位以下遇皆赤皆黑则相益后条是也由此言之注之谬显然盖传写失真后人复妄加改窜〉

〈遂不可通〉

正无入负之〈入字原本讹作人下文及注并同据注云无入为无对也无对之说〉

〈亦未分晓释方程者专为遇空位起例而左右两行相对减或正宜变为负或负宜变为正往〉

〈往不得其义例今考同名相除异名相益者如下实左右俱正所减之馀属左行则去右行属〉

〈右行则去左行其物品以正减正馀在所去之行为正无入以负减负馀在所去之行为负无〉

〈入以正从负为正无入以负从正为负无入负对空位而负数在所去之行与以负减负同例〉

〈正对空位而正数在所去之行与以正从负同例此皆所谓正无入负之负无入正之也异名〉

〈相除同名相益者如下实左右俱正并为一数则无分于左右其物品以负减正馀或左或右〉

〈为正无入以正减负馀或左或右为负无入以正从正为正无入以负从负为负无入正对空〉

〈位与以负减正同例负对空位与以负从负同例此皆所谓正无入正之负无入负之也由是〉

〈言之在所去之行则其数无入而或左或右以与无分于左右合为一行因亦谓之无入人字〉

〈乃传写之误明矣今悉改正〉

无入为无对也无所得减则使消夺者居位也

其当以列实或减下实〈此句讹舛据后注内方程新术以列衰乘下实〉

〈又以列衰乘群物之数并为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消似即此所举〉

此条异名相除为例故亦与上条互取凡正负

所以记其同异使二品互相取而已矣言负者

未必负于少言正者未必正于多故每一行之

中虽复赤黑异算无伤然则可得使头位常相

与异名此条之实兼通矣遂以二条反复一率

观其每与上下互相取位则随算而言耳犹一

术也又本设诸行欲因减数以相去耳故其多

少无限令上下相命而已若以正负相减如数

有旧增法者每行可均之不但数物左右之也

〈此注皆不分晓当由传写失真后人又妄加改遂不可通〉

此中行买卖相折钱适足但互买卖算而已故

下无钱也设欲以此行如方程法先令牛二

遍乘左行而以右行除之是终于下实虚缺

矣故注曰正无实负负无实正方为类也方将

以别实加不足之数与实物作实〈此注讹脱不分晓据术意〉

〈应列三行先令右行牛二遍乘中行复令中行牛三遍乘右行而以除得羊三十三正豕四〉

〈十五负馀钱三千正此同名相除异名相益正无入负之负无入正之也次令右行牛二遍乘〉

〈左行复令左行牛五遍乘右行而以除得羊三十七正豕四十九负馀钱三千八百正此异〉

〈名相除同名相益正无入正之负无入负之也重列为左右两行先令右行羊三十三遍乘左〉

〈行复令左行羊三十七遍乘右行而以除得豕四十八正以为法钱一万四千四百正为实〉

〈实如法而一得豕价三百转减而上得羊价五百牛价一千二百此亦同名相除异名相益正〉

〈无入负之负无入正之也中行下实虚缺本无庸论盖注文传写失真后人又妄加改窜遂不〉

〈可通〉

此四雀一燕与一雀五燕衡适平并重一斤故

各八两列两行程数左行头位其数是一可省

乘令右行遍乘左行而取其法实于左左行数

多以右行取其数左头位减尽中法下实即每

枚当重宜可知也按此四雀一燕与一雀五燕

其重等是三雀四燕重相当雀率重四燕率重

三也诸再程之率皆可异术求之即其数也

〈此即末条所言新术以下实俱重八两遍乘上雀燕以左雀八减右雀三十二馀二十四以右〉

〈燕八减左燕四十馀三十二是为二物正负相借因而约之雀得三燕得四乃三雀当四燕也〉

〈对易其数即雀率重四而燕率重三注于此突入异术几不解其所谓〉

今有五家共井甲二绠不足如乙一绠乙三绠

不足如丙一绠丙四绠不足如丁一绠丁五绠

不足如戊一绠戊六绠不足如甲一绠各得所

不足一绠皆逮问井深绠长各几何荅曰井深

七丈二尺一寸甲绠长二丈六尺五寸乙绠长

一丈九尺一寸丙绠长一丈四尺八寸丁绠长

一丈二尺九寸戊绠长七尺六寸〈此问不言丈尺无由知井〉

〈深绠长于丈尺几何使井深半之为三丈六尺有半寸则甲绠一丈三尺二寸半乙绠九尺五〉

〈寸半丙绠七尺四寸丁绠六尺四寸半戊绠三尺八寸使井深倍之为十四丈四尺二寸则甲〉

〈绠五丈三尺乙绠三丈八尺二寸丙绠二丈九尺六寸丁绠二丈五尺八寸戊绠一丈五尺二〉

〈寸皆合所问由是言之问既不定以丈尺依术推求先得七百二十一无以定百为丈十为尺〉

〈也问井深绠长之率各几何荅以井深之率七百二十一甲绠长率二百六十五乙绠长率一〉

〈百九十一丙绠长率一百四十八丁绠长率一百二十九戊绠长率七十六于义乃通〉

此率初如方程为之名各一逮井其后法得七

百二十一实七十六〈此上讹舛不可通据术先得七百二十一为所列五〉

〈行之通率即井深率也以此率列各行下为各行之下实重求之法得七百二十一实得五万〉

〈四千七百九十六以法除实得用逮之数七十六〉

此麻麦与均输少广章之重衰积分皆为大事

其拙于精理徒按本术者或用算而布毡方好

烦而喜误曾不知其非反欲以多为贵故其算

也莫不暗于设通而专于一端至于此类苟务

其成然或失之不可谓要约更有异术者庖丁

解牛游刃理闲故能历久其刃如新夫数犹刃

也易简用之则动中庖丁之理故能和神爱刃

速而寡尤凡九章为大事按法皆不尽一百算

也虽布算不多然足以算多世人多以方程为

难或尽布算之象在缀正负而已未暇以论其

设动无方斯胶柱调瑟之类聊复恢演为作新

术著之于此将亦启导疑意网罗道精岂传之

空言记其施用之例著䇿之数每举一隅焉〈以上〉

〈字句多误又皆属虚辞非有实义可考无从订正姑仍之〉

其一术曰置群物通率为列衰更置减行群物

之数各以其率乘之并以为法其当相并而行

中正负杂者同名相从异名相消馀为法以减

行下实乘列衰各自为实实如法而一即得以

旧术为之凡应置五行今欲要约先置第三行

以减第四行及减第三行次置第二行以第二

行减第三行去其头位次置右行去其头位次

以第四行减左行头位次以左行去第四行及

第二行头位次以第五行减第二行头位馀可

半次以第二行去第四行头位馀约之为法实

如法而一得空即有𮮐价以法减第二行得荅

价左行得麦价第三行麻价右行得菽价如此

凡用七十七算〈以上所言旧术讹舛不可通据方程术凡五物及总价求其各〉

〈物之价者应列五行行五位及价以上一位互乘因遍乘次位以下及价两两相对减去〉

〈其头位所减之馀重列之减至一物一价乃止物为法价为实实如法而一得一物之价转减〉

〈而上以知各价先化五为四次化四为三次化三为二次化二为一凡用十算兼乘减除言之〉

〈则一百四十五算凡上一位互乘其数必同可省乘若遇上一位数同则省遍乘或上一位遇〉

〈一则省其与对行遍乘考问意左行上一位是一先以左行减右行次减第二行次减第三行〉

〈次减第四行所减之馀重列为四行其左行上一位又是一以左行减右行次减第二行次减〉

〈第三行所减之馀重列为三行其上一位数皆同即以本数减之馀列为两行依术得荅价转〉

〈而上求得菽价及麦价麻价凡用九十九算〉以新术为此先以第四

行减第三行次以第三行去右行及第二行第

四行下位又以减右行下位不足减乃止次以

左行减第三行下位次以第三行去左行下位

讫废去第三行次以第四行去左行下位右行

当左行下位次以右行去第二行及第四行下

位次以第二行减第四行及左行头位次以第

四行减右行菽位不足减乃止次以左行减第

二行头位馀可再半次以第四行去右行及第

二行头位次以第二行去右行头位馀约之上

得五下得三是菽五当荅三次以左行去第三

行菽位又以减第四行及右行菽位不足减乃

止次以右行减第二行头位不足减乃止次以

第三行去左行头位次以左行去右行头位馀

上得六下得五是为荅六当𮮐五次以右行去

左行荅位馀约之上为二下为三次以左行去

第二行下位以第二行去第四行下位又以减

左行下位次右行去第二行下位馀上得三下

得四是为麦三当菽四次以第二行减第四行

下位次以第四行去第二行下位馀上得四下

得七是为麻四当麦七是为相当之率举矣〈以上〉

〈所言新术亦讹舛不可通据其术求之先以左行减第三行去其次位次并右行左行亦并第〉

〈三行第四行以减之去其次位次倍左行以第二行减之去其次位所减之馀重列之为三行〉

〈次以第四行减第二行去次位及下位次以重列之中行减右行去其下位次以重列之左行〉

〈减右行去其下位所减之馀又重列之为三行次以此右行减中行去其头位次以此右行减〉

〈左行去其头位所减之馀两行两物减去下实馀约之上得五下得三是菽五当荅三前云令〉

〈左右相减先去下实又转去物位求其一行二物正负相借者易其相当之率谓菽五当荅三〉

〈即菽价率三荅价率五也或先减下实乃减物位或先减物位乃减下实各从省便本无一定〉

〈之先后其先求菽与荅相当之率次求荅与𮮐相当之率次求麦与菽相当之率次求麻与麦〉

〈相当之率亦无一定之先后然非遇正负相借者则二物相当之率不可得往往穷而复推辗〉

〈转滋繁远不若旧术之究归易简也〉

九章算术卷八终