割圜密率捷法/序

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割圜密率捷法 序

► 卷一

割圜密率捷法序

欽天監監正明靜奄先生自童年親受數學於
聖祖仁皇帝至老不倦，病革時以遺稿一帙，囑其季子景臻命際新續而成之，曰：此《割圜密率捷法》也。內圜徑求周弧背、求弦、求矢三法，本泰西杜氏德美所著，實古今所未有也。亟欲公諸同志，惜僅有其法而未詳其義，恐人有金針不度之疑，予積解有年，未能卒業，汝與同學者務續而成之，則予志也。　先生沒，際新尋緒推究，質以平日所聞面授之言，遇有疑義，則與　先生之季子景臻及門人張良亭相與討論，而良亭、景臻亦時同推步、校錄，越數年，甲午始克成書。嗚呼！　先生往矣，弟子所斷續者，既以未得正於　先生為歉，而又以　先生未得親見是書之成為痛也，　先生之為是解也。殆發其自得之義，不期而與作者相遇。耳非因其法而得其義者，所可比也。故即謂為 先生之遺法也可然。　先生之心，惟期千古之疑，釋於天下，後世而已矣。至於法之立於人、立於已，皆所弗計也。乾隆甲午孟夏受業陳際新謹序。

割圜密率捷法序

昔元家藏鈔本《割圜捷法》一帙，不知為何人之書，故《疇人傳》未載。今致仕歸揚州，讀天長岑氏紹周所校刻《割圜密率捷法》四卷及甘泉羅氏茗香跋，始知是書為滿洲明靜庵先生撰于乾隆之時。蓋自八綫表成，推算有成數而未發其理，墨守者誰復推其所以然？此書則以己意悟明其法，任求何邊之數，不過幾次乘除，一二時即可得之，真步天捷法也。羅氏又欲補撰《疇人傳》，敘述宋元以來，精心求大圜而實事求是之人，於秦、李、朱、趙、及
本朝明、陳諸公接補為傳，使四元諸法學者得而習之，不其偉歟！夫大西洋人來於明末，乘諸古法失傳之時，所认有功於天學。迨及末流，多習天主邪教，惑誘為害，所以
命其囘國。若使今之人益明古法，不但有所接續，且使西法不得擅為秘術，庶幾中土之書明明布列，步天之士藹藹周行，是所望也。

道光二十年正月節性齋老人阮元序。

(岑建功識)

割圜，古法也。圜不割則無由知圜之周。自魏劉徽注《九章算術》以勾股術用圜內六邊形起算，從其六觚之環，即為徑一周三之古率，由是而弧矢之術生焉。元趙友欽《革象新書》用圜內四邊形起算，由是而西人之六宗、三要、二簡法生焉。元郭邢臺授時草立天元一求弧矢，猶仍古率徑一周三，不知周三者，舉成數約而言之也。《九章·少廣》注載漢張衡率，圜周冪五方周幂八，此與宋秦九韶《數學九章》環田三積術謂「以徑冪進位為實，開方為圜周」率同。又《九章·方田》注載劉歆率徑一千二百五十，周三千九百二十七〈注載王莽銅斛云云，未詳誰氏之率，茲據《隋志》定此為歆率〉。劉徽率徑五十，周一百五十七。吳王蕃率徑四十五，周一百四十二。迨劉宋南徐州從事祖沖之更開密率，以圜徑一億為一丈，圜周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈、朒之間，於是定徑一百一十三，周三百五十五為密率；又定徑，七周二十二為約率，後世因之，斯為最密。外此如明陳藎謨太極率徑一，周三一五二五；邢雲路率徑一，周三一二六；又三才奇率徑一，周三一二一三二〇三四〈邢氏二率、前率見《疇人傳》，後三才奇率見《古今律秝考》〉；方以智《通雅》載徑十七，周五十二；康熙朝袁士龍智術與顧長發率同為徑一，周三一二五。或失之少，或失之多，皆不逮祖氏率。厥後西士亞奇黙德作《圜書》三題，其第二題定周三倍徑又七十之七則朒，周三倍徑又七十一之十則盈。以數考之，朒率即祖氏之約率。約率本大於密率，而盈率更小於密率八千二十三分之六。唯利瑪竇等，用內容外切諸術，屢求勾股，割之又割，內外相課，定為徑一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四，以之立表求八線，理密數繁，然入算必資乎表。曩讀梅文穆公《赤水遺珍》載，杜氏德美有不須開方，秪立乘除之數，求周徑密率及正弦、正矢之捷法，特未詳立法之根，學者恒苦，莫抉其旨。監正明靜庵先生既其弟子陳舜五先生，因杜氏圜徑求周及弧弦、矢三術，推廣引伸，更補成弦矢求弧六術，使環轉相生，術無賸義，詳加圖解，著為是書。聞為某氏所秘，未經刊布。汪孝嬰廣文初甚詆斥杜術為巧合，繼見是書，始翻然改悔，見《衡齋算學》第三冊洎第六冊中。陽湖董孝廉亦因未見是書，用垜積釋連比例，為《割圜圖解》，載在《方立遺書》。建功竊以為方今算學昌明，凡天元、四元以及大衍求一諸術，皆次第復彰於世，何可使是書復湮？閒與吾友羅子茗香述及此事，茗香以舊鈔本見示。據云，係從載大寇簡恪公家藏原本影鈔，因亟假錄其副，算校付梓，以公同好。伏思是書，于割圜之理推闡無遺，尤可舍表徑求八線。朱小梁觀察曾據術求得四十位周徑率，為徑一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四〈小餘七一五一九〉，與割圜本法所求者合。葢推其原，先設十、百、千、萬諸分弧，如本法乘除之，以求合於弦之二十四分、八十分、百六十八分，矢之十二分、三十分、五十六分，諸數俾弧矢奇耦率可互通。向之莫抉其旨者，一旦豁然，是誠術之至精且捷者也。其謄寫魯魚，算式舛錯，悉為校正。閒有隱晦，難於布算，亦各加案詳釋。刻既竣，為述其緣起，如此時。道光己亥孟秋，既望天長岑建功紹周氏識。