割圜密率捷法/序

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割圜密率捷法 序

► 卷一

割圜密率捷法序

钦天监监正明静奄先生自童年亲受数学于
圣祖仁皇帝至老不倦，病革时以遗稿一帙，嘱其季子景臻命际新续而成之，曰：此《割圜密率捷法》也。内圜径求周弧背、求弦、求矢三法，本泰西杜氏德美所著，实古今所未有也。亟欲公诸同志，惜仅有其法而未详其义，恐人有金针不度之疑，予积解有年，未能卒业，汝与同学者务续而成之，则予志也。　先生没，际新寻绪推究，质以平日所闻面授之言，遇有疑义，则与　先生之季子景臻及门人张良亭相与讨论，而良亭、景臻亦时同推步、校录，越数年，甲午始克成书。呜呼！　先生往矣，弟子所断续者，既以未得正于　先生为歉，而又以　先生未得亲见是书之成为痛也，　先生之为是解也。殆发其自得之义，不期而与作者相遇。耳非因其法而得其义者，所可比也。故即谓为 先生之遗法也可然。　先生之心，惟期千古之疑，释于天下，后世而已矣。至于法之立于人、立于已，皆所弗计也。乾隆甲午孟夏受业陈际新谨序。

割圜密率捷法序

昔元家藏钞本《割圜捷法》一帙，不知为何人之书，故《畴人传》未载。今致仕归扬州，读天长岑氏绍周所校刻《割圜密率捷法》四卷及甘泉罗氏茗香跋，始知是书为满洲明静庵先生撰于乾隆之时。盖自八线表成，推算有成数而未发其理，墨守者谁复推其所以然？此书则以己意悟明其法，任求何边之数，不过几次乘除，一二时即可得之，真步天捷法也。罗氏又欲补撰《畴人传》，叙述宋元以来，精心求大圜而实事求是之人，于秦、李、朱、赵、及
本朝明、陈诸公接补为传，使四元诸法学者得而习之，不其伟欤！夫大西洋人来于明末，乘诸古法失传之时，所认有功于天学。迨及末流，多习天主邪教，惑诱为害，所以
命其囘国。若使今之人益明古法，不但有所接续，且使西法不得擅为秘术，庶几中土之书明明布列，步天之士蔼蔼周行，是所望也。

道光二十年正月节性斋老人阮元序。

(岑建功识)

割圜，古法也。圜不割则无由知圜之周。自魏刘徽注《九章算术》以勾股术用圜内六边形起算，从其六觚之环，即为径一周三之古率，由是而弧矢之术生焉。元赵友钦《革象新书》用圜内四边形起算，由是而西人之六宗、三要、二简法生焉。元郭邢台授时草立天元一求弧矢，犹仍古率径一周三，不知周三者，举成数约而言之也。《九章·少广》注载汉张衡率，圜周幂五方周幂八，此与宋秦九韶《数学九章》环田三积术谓“以径幂进位为实，开方为圜周”率同。又《九章·方田》注载刘歆率径一千二百五十，周三千九百二十七〈注载王莽铜斛云云，未详谁氏之率，兹据《隋志》定此为歆率〉。刘徽率径五十，周一百五十七。吴王蕃率径四十五，周一百四十二。迨刘宋南徐州从事祖冲之更开密率，以圜径一亿为一丈，圜周盈数三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正数在盈、朒之间，于是定径一百一十三，周三百五十五为密率；又定径，七周二十二为约率，后世因之，斯为最密。外此如明陈荩谟太极率径一，周三一五二五；邢云路率径一，周三一二六；又三才奇率径一，周三一二一三二〇三四〈邢氏二率、前率见《畴人传》，后三才奇率见《古今律秝考》〉；方以智《通雅》载径十七，周五十二；康熙朝袁士龙智术与顾长发率同为径一，周三一二五。或失之少，或失之多，皆不逮祖氏率。厥后西士亚奇默德作《圜书》三题，其第二题定周三倍径又七十之七则朒，周三倍径又七十一之十则盈。以数考之，朒率即祖氏之约率。约率本大于密率，而盈率更小于密率八千二十三分之六。唯利玛窦等，用内容外切诸术，屡求勾股，割之又割，内外相课，定为径一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四，以之立表求八线，理密数繁，然入算必资乎表。曩读梅文穆公《赤水遗珍》载，杜氏德美有不须开方，秪立乘除之数，求周径密率及正弦、正矢之捷法，特未详立法之根，学者恒苦，莫抉其旨。监正明静庵先生既其弟子陈舜五先生，因杜氏圜径求周及弧弦、矢三术，推广引伸，更补成弦矢求弧六术，使环转相生，术无賸义，详加图解，著为是书。闻为某氏所秘，未经刊布。汪孝婴广文初甚诋斥杜术为巧合，继见是书，始翻然改悔，见《衡斋算学》第三册洎第六册中。阳湖董孝廉亦因未见是书，用垛积释连比例，为《割圜图解》，载在《方立遗书》。建功窃以为方今算学昌明，凡天元、四元以及大衍求一诸术，皆次第复彰于世，何可使是书复湮？闲与吾友罗子茗香述及此事，茗香以旧钞本见示。据云，系从载大寇简恪公家藏原本影钞，因亟假录其副，算校付梓，以公同好。伏思是书，于割圜之理推阐无遗，尤可舍表径求八线。朱小梁观察曾据术求得四十位周径率，为径一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四〈小馀七一五一九〉，与割圜本法所求者合。盖推其原，先设十、百、千、万诸分弧，如本法乘除之，以求合于弦之二十四分、八十分、百六十八分，矢之十二分、三十分、五十六分，诸数俾弧矢奇耦率可互通。向之莫抉其旨者，一旦豁然，是诚术之至精且捷者也。其誊写鲁鱼，算式舛错，悉为校正。闲有隐晦，难于布算，亦各加案详释。刻既竣，为述其缘起，如此时。道光己亥孟秋，既望天长岑建功绍周氏识。