數度衍 (四庫全書本)/卷10

數度衍　卷十

　　欽定四庫全書
　　數度衍卷十
　　桐城　方中通　撰
　　較容〈少廣之三〉
　　同周異容
　　通曰周不可以論容故方田不以周歩為率同周者形必異形異容故異耳
　　式一同周多邊形容積大於少邊形容積何也少邊如甲乙丙三角形甲乙甲丙兩腰各五乙丙底六共周十六多邊如己庚戊辛四角形己戊庚辛與三角之腰等
　　皆五己庚戊辛與三角之半底
　　等各三共周亦十六以三角用
　　甲丁線折半得甲丁乙甲丁
　　丙兩小三角形以四角形己戊庚辛與甲丁較去己壬庚癸存壬戊癸半皆與甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊與甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等邊容積大於不等邊容積何也等邊如甲乙丙丁四直角形毎邊六共周二十四不等邊如戊己庚辛四直角形兩邊五兩邊七共周亦二十四以等邊之六自乘得積三十六以不等邊之五七相
　　乘得積三十五是不等邊之積
　　少一矣又如兩邊四兩邊八共
　　周亦二十四而積三十二又少
　　矣兩邊三兩邊九共周亦二十四而積二十七又少矣兩邊二兩邊十共周亦二十四而積二十又少矣邊愈不等積愈少也
　　通曰又如四邊皆三周得十二積九兩邊二兩邊四周亦十二積八是九之中一藏而無周八無中可藏故少一也右式等邊形中有離邊積十六不等邊形中止有離邊積十五可見少一積者非少近邊之積乃少離邊之中積也
　　式三同周等邊四角形直角容積大於斜角容積何也直角如甲乙丙丁四角形毎邊五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎邊五共周二十以斜角截戊庚丁三角形補己辛
　　丙三角形適足是庚辛丙丁形與戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚餘甲乙庚辛形乃多於斜角者也
　　式四同周有法形多邊容積大於少邊容積何也多邊如甲乙丙有法形〈邊邊相等角角相等曰有法也〉不拘邊數今為六邊
　　毎邊四共周二十四少
　　邊如丁戊己有法形今
　　為四邊毎邊六共周亦
　　二十四試於兩形外各
　　作一圜而從圜心望一邊作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙於壬戊己於癸其甲乙丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而徧以戊己求周四其戊己而徧則乙丙邊固小於戊己邊而乙壬半線亦小於戊癸半線矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即勻分各邊俱等而全形邊所倍於戊己一邊數與全圜切分所倍於戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邊所倍於乙丙一邊與其全圜切分所倍於乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角則以平理推之移戊己邊於甲乙丙全邊亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例則戊辛癸與乙庚壬之比例大於癸辛戊與癸辛子之比例而癸辛子角大於壬庚乙角其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小於庚乙壬角令移壬乙庚角於癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等於丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等於子癸邊則丑癸線亦等於庚壬線而庚壬實贏於辛癸令取庚壬線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内直角形也然則多邊直線形之所容豈不大於等周少邊直線形之所容乎
　　式五同周等底三角形等邊容積大於不等邊容積何
　　也等邊如甲丁丙三角形丁甲甲丙
　　丙丁各六共周十八不等邊如乙甲
　　丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
　　乙丙五共周亦十八試引甲丁至戊
　　令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊兩線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大於丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線連之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也因顯甲己丙大於甲乙丙而甲丁丙等邊三角形必大於乙甲丙不等邊三角形矣通曰以丁庚甲三角形與乙庚丙三角形相較知乙庚丙之小於丁庚甲即知乙甲丙之小於甲丁丙也式六同周多邊形等邊容積大於不等邊容積何也等邊如甲庚丙丁戊巳多邊形毎邊六共周三十六不等邊如甲乙丙丁戊巳多邊形甲乙邊四乙丙邊八他邊皆六共周亦三十六作甲丙線視甲庚丙大於甲乙丙則知甲庚丙丁戊巳大於甲乙丙丁戊巳也
　　通曰甲乙辛與辛庚丙兩形較知甲乙辛小於辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小於甲庚丙丁戊巳也
　　式七同周多邊等邊形等角容積大於不等角容積何
　　也通曰等角如子丑寅
　　卯辰午多邊等邊形毎
　　邊十共周六十不等角
　　如甲乙丙丁戊巳多邊等邊形毎邊亦十共周亦六十作丑午線得十八作丑卯線亦得十八丑午既與丑卯等則子申必與寅未等是午子丑與丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳線少於十八作乙丁線多於十八乙丁既大於乙巳則甲庚必大於丙辛是巳甲乙與乙丙丁之甲角丙角不等也今以兩形叠而較之今巳戊與午辰同線又令子遇甲乙線於子卯遇丙丁線於卯乃視并甲子巳與卯丁戊兩小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
　　角形則知甲乙丙丁戊巳形小於子丑寅卯辰午形矣式八同周圓形容積大於有法形容積何也圓形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎邊九共周亦五十四庚為甲乙丙之心辛為丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊巳相似〈同為有法之六角形〉而從壬
　　癸切圓於甲者作半徑線於
　　庚則庚甲為壬癸線而分
　　壬癸之半又從辛作子丑
　　線則辛丁亦分子丑之半兩
　　形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大於圓周而圓周與丁戊巳形同則是乙壬癸丙周原大於丁戊巳周矣夫兩形相似而壬癸邊大於子丑邊則半之而壬甲亦大於子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例而壬甲大於子丁則甲庚亦大於丁辛是故取甲庚線與半圓周線以作矩内直角形其與圓地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也推此則是圓形大於等
　　周之多邊形也
　　通曰圓周五十四圓外六角周六十是多六矣雖與丁戊己六角相似而周不同也
　　今以同周之甲乙丙丁戊己兩形相較圓形外有六小三角形圓内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小於甲乙丙也
　　式九同周渾圓形容積大於長圓形容積何也通曰渾圓如甲乙丙丁戊己形周三十六長圓如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以兩形相較長圓加渾圓之上必透
　　乙庚丙己辛戊兩半圓形必虚丙丁戊癸乙甲己壬兩半圓形以乙庚丙半圓形與丙丁戊癸半圓形相較則乙庚丙形必小以乙甲己壬半圓形與己辛戊半圓形相較則乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大於庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
　　通曰邊莫少於三角莫多於渾圓渾圓似乎無角而其角之多不可指説也同周之容其角漸多其容漸大故以渾圓為最大以三角為最小葢大者因角而大也角向外生内必益地雖中距之徑少不敵角増之地多也方者不以角論長方與正方同為四角直方與斜方同亦四角一增於中藏之無邊一減於斜周之無積故以長方斜方為小以正方直方為大也其不成形者不可㮣舉矣
　　同容異周
　　通曰有積於此可方可圓可斜可直周之不一其積實同周既不可以論容容亦不可以論周也
　　式同容少邊形周大於多邊形周何也少邊如甲乙丙形多邊如甲巳丙丁形以甲乙丙形分為二得甲丁丙甲丁乙兩形以甲巳丙丁形
　　分為二得甲巳丙甲丁丙兩形相較皆等容而甲丙長於已丙甲乙長於甲丁是以少邊者為大也
　　通曰此與同周異容相反同周以少邊為小言容之小也同容以少邊為大言周之大也舉一可以類推
　　倍大
　　通曰其所容多一倍也
　　同底倍大容積式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁線甲丁乙形與甲戊乙形等甲丁丙形與甲巳丙形等故也
　　通曰下同乙丙底上切甲㸃作與乙丙
　　平行線得長方形始可
　　不同底倍大容積式通曰以丙乙同底而言則戊巳丙乙形倍於甲乙丙形以丙乙與丙丁不同底而言則甲巳丙丁形兩倍於甲乙丙形葢甲戊丙乙形與戊巳丙乙形等則甲丙線分甲戊丙乙為甲乙丙甲丙戊兩形是甲乙
　　丙形為戊巳丙乙形之半即為甲巳丙丁形四之一也
　　變形同容
　　通曰此形容積亦可以他形容之葢不變容而變形也六角變四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲變為四角形視六角之心於庚自庚至甲乙作直角線為庚
　　辛另作壬癸線與庚辛等作癸
　　子與甲乙丙丁線等則壬癸子
　　丑四角形與甲乙丙丁戊巳六
　　角形之所容等也
　　論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與有法全形等葢此半邊三其三角形照甲乙庚形作分中線其矩線内直角形俱倍本三角形故也
　　通曰半徑線作横線半周線作直線兩形之容相等則以六角形之全徑全周作四角形其容四倍矣然六角之徑必須兩角中分之辛寅相對為徑非角對角之甲丁為徑也
　　六角變三角式六角如甲乙丙有法形欲變為三角形視六角之心於丁從丁望甲乙作線為丁戊線另作丁戊線相等作戊己線與甲乙丙全周線等則丁戊庚己四角形倍於甲乙丙六角形今以丁戊庚己分為二得丁己戊三角形與甲乙丙六角形之所容等也
　　論曰以丁戊己庚直角形兩平分於壬辛作直線與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等何者戊辛線得甲乙丙
　　之半周而又在丁戊矩内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁戊壬辛直角形等則丁戊己三角形與甲乙丙全形自等矣
　　圓形變四角三角式圓形如甲乙丙形先變為四角形視圓心於丁得半徑丁乙線另作丁乙線相等作乙戊線與甲乙丙半周線等則丁乙戊己四角形與甲乙丙圓形之所容等也次變為三角形倍乙戊線為乙庚線與
　　甲乙丙全周等又作丁庚線則丁乙庚三角與甲乙丙圓形之所容等也
　　通曰截丁己辛形為辛戊庚形則丁乙戊己形内虚丁己辛地與丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等則等圓形之四角變為三角等四角之三角自等於圓形也鋭觚形變直角立方形式觚形不拘幾面如甲乙丙丁
　　戊底其頂巳今變為寅庚
　　直角立方形其底庚辛壬
　　癸得甲乙丙丁戊底三之
　　一其高庚子與觚等則寅
　　庚直角立方形與甲乙丙丁戊己鋭觚形之所容等也論曰從立形底諸用與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此形與庚寅形同底同髙又同己甲鋭觚之髙己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三〈兩觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍〉則寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方與己甲觚自等也
　　斜角能含圓形變直角立方形式平面不拘幾邊其全體可容渾圓切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜於戊試從戊壬割圜之半作戊
　　己庚辛圜從壬心望各切圜之
　　㸃作壬戊為甲乙線壬己為
　　乙丙線壬庚為丙丁線壬
　　辛為甲丁線今變為直角立
　　方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁體三之一而其髙丑子與圓半徑等則午子直角立方形與甲乙丙丁全形之所容等也
　　論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚鋭頂此各觚皆以其三分底之一及至鋭高之數為直角立方形皆與觚所容等又并為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圓之半徑也
　　渾圓變直角六方形式渾圓如甲乙丙形其心為丁作
　　甲丁半徑線今變為直角立方戊形
　　在甲丁徑及甲乙丙渾圓三之一矩
　　内則戊形與甲乙丙全形之所容等
　　也
　　論曰若言不等謂戊大於渾圓形其較有巳者合以丁為心外作庚辛壬渾圓大於甲乙丙而勿令大於戊第令或等或小以驗之而於庚辛壬内試作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形邊各作線則線必長於
　　甲丁又自丁心至形各角作
　　直線以分此形為幾觚其庚
　　辛壬法形諸直線為觚底而
　　線至丁心為觚鋭頂試取
　　各觚底三之一及丁線之高以作直角立形與觚等則并為大直角立形亦與庚辛壬内之法形等如云以甲丁為髙而以各觚底三之一為直角立形并為大形則必小於前形因顯庚辛壬三之一大於甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體若謂庚辛壬不大於戊形則向庚辛壬内之法形亦大於戊形也而况庚辛壬形乎則戊體不大於甲乙丙可知矣
　　又論曰戊形小於甲乙丙渾圓體者其較為己試從丁
　　心再作癸子丑圜小於甲乙
　　丙而勿令小於戊或大或等
　　者以騐之於甲乙丙圜内作
　　有法形不令切癸子丑而從丁至甲乙丙各面為線此線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形之各面為觚底丁心為觚鋭頂而取觚底三之一及底至丁之線以作直角立形與觚等若使以甲丁為高而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必高於前形既甲乙丙圜之面大於其内形之面則圜面三之一大於内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大於甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大於甲乙丙圜而分大於全乎則戊體不小於甲乙丙又可知矣
　　相似
　　通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
　　并線并形求與并線形同容式有甲乙丙及丁戊己三
　　角形二兩形相似因并甲丙
　　丁巳為丁辛一直線於上作
　　直角方形又并甲乙丁戊為
　　丁庚乙丙戊巳為庚辛乃并此二線上所作兩方形與丁辛線上方形之所容等也
　　論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度從庚作線與戊己平行又引丁巳長之令相遇於辛從己作己壬線與戊庚平行則巳壬辛之角形與丁戊巳相似而丁戊巳與甲乙丙相似矣何者巳壬辛角與庚角等庚角與丁戊巳角等巳角又與乙角等而辛角與丁巳戊角及兩角俱等壬巳辛角與甲角亦等又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱相等故丁辛線兼丁巳甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度庚辛線兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直方形并自相等矣通曰此與勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内應有勾股二羃也
　　兩形互并求同周式甲乙丙丁兩底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大於丙丁者則戊角大於巳角而兩三角形不相似求於兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等也其法作庚辛線與甲戊戊乙丙巳巳丁四線并等而分之於壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁甲乙既大於丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬於癸
　　平分壬辛於子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁并之視丙丁矣夫庚辛并既大於甲乙丙丁并則壬辛大於丙丁而庚壬大於甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三線毎二線必大於一線而丙丁壬子子辛亦然令於甲
　　乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周也
　　通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
　　戊乙小丙己丁大以大并小
　　以小并大互并而大小隠矣
　　兩形互并較容式甲丙丙戊大小兩底上設有甲乙丙丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令
　　於兩底上依右法别作甲己丙丙
　　庚戊兩形相似而前兩三角形并
　　與之等周則甲己丙丙庚戊相似
　　之形并其所容大於甲乙丙丙丁
　　戊不相似之形并也
　　論曰将甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底乃從己過乙作己壬線兩分甲丙於壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊於辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬兩邊與丙己壬三角形之丙己己壬兩邊等則甲己壬角與丙己壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等丁丙辛角既大於庚丙辛角而庚丙辛角相似與己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛總大於己丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬是丑丙壬亦大於己丙壬而引癸丑線當在丙己之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙於子而并乙丙丙癸二線必大於癸乙線則己丙丙庚并亦大於乙癸線何也此四形者兩兩相并為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四線并與甲己己丙丙庚庚戊四線并原相等而減半之乙丙丙丁即乙丙丙癸與己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二線為一直線就其上作直角方形必大於乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形與己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形與乙壬并辛丁〈即辛癸〉上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等〈若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛為癸線則乙壬辛癸為股壬辛為勾乙癸為矣〉此己壬庚辛線并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大於乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此兩率者毎減一壬辛上直角方形則己壬庚辛共線上之直角方形大於乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線并大於乙壬丁辛兩線并矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈不大於丁庚乎壬丙原大於丙辛則己乙與壬丙矩内直角形大於丁庚與辛丙矩内直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令從壬丙作線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍於己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大於丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大於丙丁戊庚丙形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又毎加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形并豈不大於甲乙丙及丙丁戊兩三角形并哉其底同其周同四腰俱同則不相似之形并必小於相似之形并也


　　數度衍卷十