数度衍 (四库全书本)/卷10

数度衍　卷十

　　钦定四库全书
　　数度衍卷十
　　桐城　方中通　撰
　　较容〈少广之三〉
　　同周异容
　　通曰周不可以论容故方田不以周步为率同周者形必异形异容故异耳
　　式一同周多边形容积大于少边形容积何也少边如甲乙丙三角形甲乙甲丙两腰各五乙丙底六共周十六多边如己庚戊辛四角形己戊庚辛与三角之腰等
　　皆五己庚戊辛与三角之半底
　　等各三共周亦十六以三角用
　　甲丁线折半得甲丁乙甲丁
　　丙两小三角形以四角形己戊庚辛与甲丁较去己壬庚癸存壬戊癸半皆与甲丁等是壬癸戊辛小四角形内可容甲乙丙三角形也癸辛戊癸壬戊与甲丁乙甲丁丙皆等耳四角形是多一己壬癸小四角形矣式二同周四直角形等边容积大于不等边容积何也等边如甲乙丙丁四直角形毎边六共周二十四不等边如戊己庚辛四直角形两边五两边七共周亦二十四以等边之六自乘得积三十六以不等边之五七相
　　乘得积三十五是不等边之积
　　少一矣又如两边四两边八共
　　周亦二十四而积三十二又少
　　矣两边三两边九共周亦二十四而积二十七又少矣两边二两边十共周亦二十四而积二十又少矣边愈不等积愈少也
　　通曰又如四边皆三周得十二积九两边二两边四周亦十二积八是九之中一藏而无周八无中可藏故少一也右式等边形中有离边积十六不等边形中止有离边积十五可见少一积者非少近边之积乃少离边之中积也
　　式三同周等边四角形直角容积大于斜角容积何也直角如甲乙丙丁四角形毎边五共周二十斜角如戊己丙丁四角形毎边五共周二十以斜角截戊庚丁三角形补己辛
　　丙三角形适足是庚辛丙丁形与戊己丙丁形之容等矣以直角截庚辛丙丁外尚馀甲乙庚辛形乃多于斜角者也
　　式四同周有法形多边容积大于少边容积何也多边如甲乙丙有法形〈边边相等角角相等曰有法也〉不拘边数今为六边
　　毎边四共周二十四少
　　边如丁戊己有法形今
　　为四边毎边六共周亦
　　二十四试于两形外各
　　作一圜而从圜心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬戊己于癸其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六其乙丙而遍以戊己求周四其戊己而遍则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例而癸辛子角大于壬庚乙角其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也然则多边直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎
　　式五同周等底三角形等边容积大于不等边容积何
　　也等边如甲丁丙三角形丁甲甲丙
　　丙丁各六共周十八不等边如乙甲
　　丙等甲丙底三角形甲丙六乙甲七
　　乙丙五共周亦十八试引甲丁至戊
　　令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊两线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线连之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙等边三角形必大于乙甲丙不等边三角形矣通曰以丁庚甲三角形与乙庚丙三角形相较知乙庚丙之小于丁庚甲即知乙甲丙之小于甲丁丙也式六同周多边形等边容积大于不等边容积何也等边如甲庚丙丁戊巳多边形毎边六共周三十六不等边如甲乙丙丁戊巳多边形甲乙边四乙丙边八他边皆六共周亦三十六作甲丙线视甲庚丙大于甲乙丙则知甲庚丙丁戊巳大于甲乙丙丁戊巳也
　　通曰甲乙辛与辛庚丙两形较知甲乙辛小于辛庚丙即知甲乙丙丁戊巳小于甲庚丙丁戊巳也
　　式七同周多边等边形等角容积大于不等角容积何
　　也通曰等角如子丑寅
　　卯辰午多边等边形毎
　　边十共周六十不等角
　　如甲乙丙丁戊巳多边等边形毎边亦十共周亦六十作丑午线得十八作丑卯线亦得十八丑午既与丑卯等则子申必与寅未等是午子丑与丑寅卯之子角寅角等也又作乙巳线少于十八作乙丁线多于十八乙丁既大于乙巳则甲庚必大于丙辛是巳甲乙与乙丙丁之甲角丙角不等也今以两形叠而较之今巳戊与午辰同线又令子遇甲乙线于子卯遇丙丁线于卯乃视并甲子巳与卯丁戊两小三角形不及子丑寅卯丙乙一曲
　　角形则知甲乙丙丁戊巳形小于子丑寅卯辰午形矣式八同周圆形容积大于有法形容积何也圆形如甲乙丙形周五十四有法如丁戊巳形毎边九共周亦五十四庚为甲乙丙之心辛为丁戊巳之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊巳相似〈同为有法之六角形〉而从壬
　　癸切圆于甲者作半径线于
　　庚则庚甲为壬癸线而分
　　壬癸之半又从辛作子丑
　　线则辛丁亦分子丑之半两
　　形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等然乙壬癸丙之周大于圆周而圆周与丁戊巳形同则是乙壬癸丙周原大于丁戊巳周矣夫两形相似而壬癸边大于子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛是故取甲庚线与半圆周线以作矩内直角形其与圆地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也推此则是圆形大于等
　　周之多边形也
　　通曰圆周五十四圆外六角周六十是多六矣虽与丁戊己六角相似而周不同也
　　今以同周之甲乙丙丁戊己两形相较圆形外有六小三角形圆内有六小弧矢形知小三角之不及小弧矢即知丁戊己之小于甲乙丙也
　　式九同周浑圆形容积大于长圆形容积何也通曰浑圆如甲乙丙丁戊己形周三十六长圆如庚丙癸戊辛己壬乙形周亦三十六今以两形相较长圆加浑圆之上必透
　　乙庚丙己辛戊两半圆形必虚丙丁戊癸乙甲己壬两半圆形以乙庚丙半圆形与丙丁戊癸半圆形相较则乙庚丙形必小以乙甲己壬半圆形与己辛戊半圆形相较则乙甲己壬形必大即知甲乙丙丁戊己形大于庚丙癸戊辛巳壬乙形矣
　　通曰边莫少于三角莫多于浑圆浑圆似乎无角而其角之多不可指说也同周之容其角渐多其容渐大故以浑圆为最大以三角为最小盖大者因角而大也角向外生内必益地虽中距之径少不敌角増之地多也方者不以角论长方与正方同为四角直方与斜方同亦四角一增于中藏之无边一减于斜周之无积故以长方斜方为小以正方直方为大也其不成形者不可㮣举矣
　　同容异周
　　通曰有积于此可方可圆可斜可直周之不一其积实同周既不可以论容容亦不可以论周也
　　式同容少边形周大于多边形周何也少边如甲乙丙形多边如甲巳丙丁形以甲乙丙形分为二得甲丁丙甲丁乙两形以甲巳丙丁形
　　分为二得甲巳丙甲丁丙两形相较皆等容而甲丙长于已丙甲乙长于甲丁是以少边者为大也
　　通曰此与同周异容相反同周以少边为小言容之小也同容以少边为大言周之大也举一可以类推
　　倍大
　　通曰其所容多一倍也
　　同底倍大容积式乙丙底甲乙丙形得戊乙巳丙形之半作甲丁线甲丁乙形与甲戊乙形等甲丁丙形与甲巳丙形等故也
　　通曰下同乙丙底上切甲点作与乙丙
　　平行线得长方形始可
　　不同底倍大容积式通曰以丙乙同底而言则戊巳丙乙形倍于甲乙丙形以丙乙与丙丁不同底而言则甲巳丙丁形两倍于甲乙丙形盖甲戊丙乙形与戊巳丙乙形等则甲丙线分甲戊丙乙为甲乙丙甲丙戊两形是甲乙
　　丙形为戊巳丙乙形之半即为甲巳丙丁形四之一也
　　变形同容
　　通曰此形容积亦可以他形容之盖不变容而变形也六角变四角式六角如甲乙丙丁戊巳有法形欲变为四角形视六角之心于庚自庚至甲乙作直角线为庚
　　辛另作壬癸线与庚辛等作癸
　　子与甲乙丙丁线等则壬癸子
　　丑四角形与甲乙丙丁戊巳六
　　角形之所容等也
　　论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等盖此半边三其三角形照甲乙庚形作分中线其矩线内直角形俱倍本三角形故也
　　通曰半径线作横线半周线作直线两形之容相等则以六角形之全径全周作四角形其容四倍矣然六角之径必须两角中分之辛寅相对为径非角对角之甲丁为径也
　　六角变三角式六角如甲乙丙有法形欲变为三角形视六角之心于丁从丁望甲乙作线为丁戊线另作丁戊线相等作戊己线与甲乙丙全周线等则丁戊庚己四角形倍于甲乙丙六角形今以丁戊庚己分为二得丁己戊三角形与甲乙丙六角形之所容等也
　　论曰以丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等何者戊辛线得甲乙丙
　　之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形自等矣
　　圆形变四角三角式圆形如甲乙丙形先变为四角形视圆心于丁得半径丁乙线另作丁乙线相等作乙戊线与甲乙丙半周线等则丁乙戊己四角形与甲乙丙圆形之所容等也次变为三角形倍乙戊线为乙庚线与
　　甲乙丙全周等又作丁庚线则丁乙庚三角与甲乙丙圆形之所容等也
　　通曰截丁己辛形为辛戊庚形则丁乙戊己形内虚丁己辛地与丁乙戊己形外盈辛戊庚地相等则等圆形之四角变为三角等四角之三角自等于圆形也锐觚形变直角立方形式觚形不拘几面如甲乙丙丁
　　戊底其顶巳今变为寅庚
　　直角立方形其底庚辛壬
　　癸得甲乙丙丁戊底三之
　　一其高庚子与觚等则寅
　　庚直角立方形与甲乙丙丁戊己锐觚形之所容等也论曰从立形底诸用与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与庚寅形同底同高又同己甲锐觚之高己甲形既兼庚辛壬癸子觚之三〈两觚形同高者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍〉则寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三是寅庚全方与己甲觚自等也
　　斜角能含圆形变直角立方形式平面不拘几边其全体可容浑圆切形如甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊试从戊壬割圜之半作戊
　　己庚辛圜从壬心望各切圜之
　　点作壬戊为甲乙线壬己为
　　乙丙线壬庚为丙丁线壬
　　辛为甲丁线今变为直角立
　　方午子形其底子辰卯癸得甲乙丙丁体三之一而其高丑子与圆半径等则午子直角立方形与甲乙丙丁全形之所容等也
　　论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各觚皆以其三分底之一及至锐高之数为直角立方形皆与觚所容等又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其高合圆之半径也
　　浑圆变直角六方形式浑圆如甲乙丙形其心为丁作
　　甲丁半径线今变为直角立方戊形
　　在甲丁径及甲乙丙浑圆三之一矩
　　内则戊形与甲乙丙全形之所容等
　　也
　　论曰若言不等谓戊大于浑圆形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圆大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法形勿令切甲乙丙圜自丁心至形边各作线则线必长于
　　甲丁又自丁心至形各角作
　　直线以分此形为几觚其庚
　　辛壬法形诸直线为觚底而
　　线至丁心为觚锐顶试取
　　各觚底三之一及丁线之高以作直角立形与觚等则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等如云以甲丁为高而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体若谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬内之法形亦大于戊形也而况庚辛壬形乎则戊体不大于甲乙丙可知矣
　　又论曰戊形小于甲乙丙浑圆体者其较为己试从丁
　　心再作癸子丑圜小于甲乙
　　丙而勿令小于戊或大或等
　　者以验之于甲乙丙圜内作
　　有法形不令切癸子丑而从丁至甲乙丙各面为线此线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底丁心为觚锐顶而取觚底三之一及底至丁之线以作直角立形与觚等若使以甲丁为高而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必高于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁高及甲乙丁面三之一因即戊大于甲乙丙之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全乎则戊体不小于甲乙丙又可知矣
　　相似
　　通曰形相似而大小不同也相似者可比例也不相似者非比例也
　　并线并形求与并线形同容式有甲乙丙及丁戊己三
　　角形二两形相似因并甲丙
　　丁巳为丁辛一直线于上作
　　直角方形又并甲乙丁戊为
　　丁庚乙丙戊巳为庚辛乃并此二线上所作两方形与丁辛线上方形之所容等也
　　论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度从庚作线与戊己平行又引丁巳长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行则巳壬辛之角形与丁戊巳相似而丁戊巳与甲乙丙相似矣何者巳壬辛角与庚角等庚角与丁戊巳角等巳角又与乙角等而辛角与丁巳戊角及两角俱等壬巳辛角与甲角亦等又巳壬边与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙巳辛与甲丙俱相等故丁辛线兼丁巳甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度庚辛线兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直方形并自相等矣通曰此与勾股求相通也丁庚上方形股羃也庚辛上方形勾羃也丁辛上方形羃也羃之内应有勾股二羃也
　　两形互并求同周式甲乙丙丁两底不等上有甲戊乙丙巳丁三角形二其戊甲戊乙腰与巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于巳角而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等也其法作庚辛线与甲戊戊乙丙巳巳丁四线并等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸
　　平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣夫庚辛并既大于甲乙丙丁并则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙可知也甲乙庚癸癸壬三线毎二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲
　　乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周也
　　通曰甲丑乙大丙寅丁小甲
　　戊乙小丙己丁大以大并小
　　以小并大互并而大小隐矣
　　两形互并较容式甲丙丙戊大小两底上设有甲乙丙丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令
　　于两底上依右法别作甲己丙丙
　　庚戊两形相似而前两三角形并
　　与之等周则甲己丙丙庚戊相似
　　之形并其所容大于甲乙丙丙丁
　　戊不相似之形并也
　　论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从己过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等又甲己壬三角形之甲己己壬两边与丙己壬三角形之丙己己壬两边等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就其上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁〈即辛癸〉上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等〈若移置辛癸于乙壬之下移置壬辛为癸线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣〉此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者毎减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙丁戊庚丙形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又毎加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊两三角形并哉其底同其周同四腰俱同则不相似之形并必小于相似之形并也


　　数度衍卷十