新法算書 (四庫全書本)/卷093

新法算書　卷九十三

　　欽定四庫全書
　　新法算書卷九十三　　明　徐光啟等　撰測量全義卷七　　球面曲線形
　　圏内線相當之理
　　每弧毎角有八種線曰正曰正切線曰正割線曰正矢曰餘曰餘切線曰餘割線曰餘矢幷全數為九種諸線内各有相當之理皆依三邊形等角比例法〈㡬何六卷四題〉
　　如上圖丙丁為正弧甲丁為正
　　丙辛為正切線乙辛為正割線甲
　　丙為正矢戊丁為餘己壬為餘
　　切線乙壬為餘割線戊己為餘矢乙己乙丁乙丙皆全數也即辛丙乙壬己乙兩形相似何者己丙兩直角己乙辛丙為平行線辛乙直線割兩平行即其相對兩内角必等既丙辛乙壬乙己兩角等即其對邊相似
　　一全數為正餘割線兩率之中率
　　如丙丁弧之正為甲丁全數為
　　丁乙餘割線為乙壬則甲丁與丁
　　乙若乙己與乙壬矣丁乙乙己皆
　　全數必等則甲丁與丁乙若丁乙與乙壬也
　　又全數為餘正割線之中率如戊丁與丁乙若丁乙〈與乙丙等故〉與乙辛
　　一系凡四率全數為中率〈或二或三〉若第一率
　　為正即棄正而變餘割線為中率全
　　數為第一省而一　若第一率為餘則
　　變正割線為中率　若第一率為正割線則變餘若第一率為餘割線則變正　凡所變者皆以易全數而使為第一率
　　論曰凡有連比例之三率一率與二〈如二與六〉若二率與三〈如六與十八〉别有二數其比例若連理之一率與二〈如八與二十四〉即可代用或連理之一率與二〈如二與六〉若他數與别數〈八與二十四〉可也或連理之二率與三〈六與十八〉若他數與别數〈八與二十四〉亦可也為其比例等故也〈皆三之一〉今連理之一率為甲〈正〉二率為乙〈全數〉三率為丙〈餘割線〉次有斷理之第三率丁第四率戊即可代用謂一甲〈正〉與二乙〈全數〉若三丁與四戊可也謂二乙〈全數〉與三丙〈餘割線〉若三丁與四戊亦可也是于連理之三率二比中棄前比而用後比初以全數為第二餘割為三今以全數為一餘割為二也如三十八度一十七分之正六一九五五與全數若三十度之正與某數常法二三率相乘以一率為法而一得第四今法用三十八度一十七分之餘割線一六一四○七為二率以易全數而為第一以二三率相乘即得第四何者正全數餘割線為連比例故也二系凡四率中無全數若第一率為正則變餘割線為第一率若第一率為餘則變正割線為第一率法用一二率相乘得數以全為法去後五位所存若干位與全數等而一又以乘第三率得數如前而一得四率〈名為而一者再皆以全數為法止减末位不難也常法一乘一除此用兩乗猶是㨗法〉
　　假如一十八度四十○分之正三二○○六與二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切線二○○八六二與某數其常法二三率相乘第一率而一今用㨗法取一十八度四十分之餘割線三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○為實以全數為法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全為法而一得一六七九二二為四率
　　二三○七三五　六十四度十九分之正割線
　　又假設三率如一二二三四一
　　二三四三二
　　第一率變取六十四度十九分之餘四三三四○以乗第二率得數减後五位以所存乘第三率得數又减
　　後五位所存即第四率
　　二全數為正餘兩切線之中率
　　如上圗辛丙與丙乙若乙己與己壬
　　何者丙乙乙己皆全數則辛丙丙乙〈或乙己〉己壬為三率連比例
　　系凡四率斷比例全數為中率若第一為正切線變餘切線為中率以易全為第一若第一為餘切線變正切線為中率以易全為第一
　　三正與餘若全數與餘切線餘與正若全數與正切線
　　如前圗甲丁與丁戊〈即甲乙故〉若乙己與己壬戊丁〈即甲乙故〉與甲丁若乙丙與丙辛
　　系四率斷比例若一二率為正與餘變為全數與餘切線若為餘與正變為全數與正切線
　　四凡兩弧之正割線與其餘為互相視之線兩弧之餘割線與其正為互相視之線
　　如上圗丙癸丙丁兩弧丙癸弧之正
　　割線為乙寅丙丁弧之正割線為乙
　　辛丙癸弧之餘為庚癸丙丁弧之
　　餘為戊丁則乙寅與乙辛若戊丁
　　與癸庚
　　論曰全數在正弧〈丙癸〉為其正割線〈乙寅〉及其餘〈癸庚〉之中率在他弧〈丙丁〉亦為其正割線〈乙辛〉及其餘〈丁戊〉之中率兩理之各前後矩内形各與全數上方形等〈各為其中率故〉即兩矩内形自相等其邊互相視〈㡬何六卷十四〉
　　五凡兩弧之正切線與其餘切線為互相視之線同上論卷中諸圏皆以曲線當圎球之大圏相交相截人目視球曲面或近或逺或上或下或左或右所見不同有時視曲線而為直線即同是曲線而形象不一葢平面圖球不能盡球之理宜從論説中領其意義乃得耳
　　圓球原本内借論題　　古徳阿多西阿撰
　　一大圏皆與球同心　系大圏皆相等若從大圏分球過心必為兩平分〈一卷六〉
　　二兩大圏於球上相交各為兩平分
　　三反之兩圏於球上相分為兩平分必兩皆大圏〈一卷十一十二如赤道黄道等〉
　　四大圏過他圏之兩極必相交為直角〈一卷十五題如子午圏過赤道極則兩圏交處皆為直角〉
　　五大圏與本極距一象限九十度
　　六大圏交兩大圏若作直角則元圏之極在兩圏之交如赤道與極至交圏極分交圏為直角則兩圏之交在赤道極
　　七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去離大圏一分其小圏之各分必小於大圏之各分
　　八兩大圏相交其交角必等或上或下兩角幷必等兩直角與直線相交同理
　　九球上大圏不能相偕為平行弧一心止一圏故也若同心而能為多圏則是距等小圏非大圏矣
　　分球上三角形之各類
　　球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形為大測之本〈若有小圏之一弧即未能定圏大小之數安能定其弧數明大測不用小圏之弧也〉
　　球上角形或三邊等其角必等邊之度若四之一〈九十度〉則角為直角過四之一則鈍角不及則鋭角〈如正球之赤道地平子午圏皆相交為直角則各邊俱九十度〉
　　或二邊等其對角亦等若邊過象限為鈍角不及為鋭角或各邊不等各角亦不等
　　球上角形或三直角其邊皆四之一或兩為直角其兩對邊皆四之一此二類自明勿論所論者一為直角餘或鈍或鋭各有本法如左
　　一圗外大圏内兩大圏分皆相交為直角則各圏之極在他兩圏之交〈用號作十者指直角作○者指鈍角作丨者指鋭角邊云多者謂過四之一云少者謂不及四之一〉
　　二圗兩直角形第三角或鋭或鈍〈己上二圗俱不論〉
　　三圗甲乙丙形甲為直角餘皆鋭其邊少甲丙戊形甲直角丙鈍戊鋭鈍角之對邊大即甲已戊弧鋭角之對邊小即甲丙弧或一直角兩鈍角如乙丙丁形乙丙兩鈍角其對邊過四之一即乙壬丁弧
　　凡兩角或鋭或鈍若同𩔖其間所容弧不及四之一直線三角形與球上曲線三角形異理
　　一直線形之三角幷與兩直角等曲線形之三角幷其數不定但不能及四直角〈四直角者三百六十度也〉
　　二直線形得兩角即得其三曲線形否
　　三直線直角形有兩邊以句股開方法求其三曲線形否四直線形有三角不能求三邊若干但得其比例耳曲形設三角可推三邊若干
　　五直線形各邊能當全數曲線之各邊否
　　六兩直線形等角即兩形之邊有比例曲線等角形之邊必等
　　七直線形但有一易法以垂線分元形是也曲形有六易法
　　八直線形不過二種一直角二或鈍或鋭角其邊雖有長短不變其𩔖曲形邊有大小其法不同
　　球上斜三角形因各角各邊不等分為九種〈或恒用或否俱見下文〉第一三角皆鋭其邊皆小於四之一〈如第一圖甲形〉
　　第二三角皆鈍其一邊適足四之一其二邊大於四之一〈後凡四之一皆言足小於四之一者皆言少大於四之一者皆言多如第二圗乙形〉
　　第三三角皆鈍其兩邊多一邊少〈如三圖丙形〉第四三角皆鈍其三邊皆多〈如四圖丁形〉第五一角鈍兩鋭其三邊皆少〈如三圗戊形〉第六一角鈍兩鋭其兩鋭間之一邊多鈍角之兩旁少〈如四圖己形〉
　　第七一角鈍兩鋭一鋭角之對邊少餘皆
　　多〈如三圖庚形〉
　　第八一角鈍兩鋭鈍角之對邊足餘皆少〈如二圖壬形〉第九一角鈍兩鋭其邊皆不等一多一少一足〈如二圖辛形〉



　　球上三角形相易其法有五
　　第一甲乙丙直角形甲為直角於乙甲乙丙各引長之滿象限為乙丁乙戊又甲丙邊引長之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限〈乙丁乙戊俱象限則丁戊己弧心為乙又丙甲乙為直角乙丁戊亦直角則甲己丁己遇于己而己為乙丁弧之心〉得丙戊己直角形若甲乙丙形設甲乙乙丙兩邊若干
　　即有甲丁丙戊兩餘弧次丙戊己形有戊直角有丙戊邊即有己角〈其弧甲丁〉
　　若元形有直角之對邊及直角旁一邊即次形有直角旁一邊及其對角〈一圖〉若元形有二角即次形有一角一邊〈二圖〉
　　若元形有一角及直角之對邊即次形有直角旁兩邊
　　〈三圖〉
　　第二甲乙丙直角形於甲乙引長作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆滿象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作
　　庚辛癸弧成辛己癸形此形與元形甲乙丙相當何者元形有乙丙兩角即次形有兩邊〈有乙角之弧戊丁即有其餘弧戊己有戊己弧卽有己癸邊與乙角之數等有丙角即辛庚丙形之丙角弧為庚辛其餘弧為辛癸〉
　　元形之乙丙易為癸角〈乙丙邊餘為丙戊丙戊之餘為戊庚是癸角之度〉元形之甲乙邊易為辛己癸角〈甲乙弧之餘為甲丁其對角為丁己甲或辛己癸皆甲乙之餘弧角〉
　　元形之丙甲邊易為辛己邊〈甲丙弧之餘為己丙己丙弧之餘為辛己則辛己與甲丙等〉
　　第三斜角形〈兩腰等角或鋭或鈍〉兩腰引長至半周必相遇成他形與元形相當如圖甲乙甲丙兩腰引至丁成丁乙丙他形從乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此兩他形者皆與元形相當何者有甲乙邊自有其半周内之餘乙丁亦有其半
　　周内之餘甲已即乙丙與戊己等〈丙乙戊乙戊己皆半周故〉又丁角與甲角等〈凡兩大圏相交為兩角必等如黄赤二道相交于春秋分是也〉丁乙丙為甲乙丙之餘角乙丙丁為甲丙乙之餘角甲戊己為乙丙甲之餘角甲己戊為丙乙甲之餘角則元形變易而生兩形各相似相當　問本用曰元形邊大〈多于象限〉角鈍易為次形邊小角鋭三角形六問中所用也〈六問詳見後篇〉第四甲乙丙三不等形從乙甲弧作甲辰戊全圏次甲
　　角為心作丁壬辰大圏分乙角為
　　心作戊癸寅大圏分丙角為心作
　　己丑夘大圏分三圏分必相交成
　　癸寅丑形此形與元形相當而元
　　形之邊易為角角易為邊何者甲
　　壬弧滿一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬與丙
　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其
　　餘角為癸丑寅又甲丁乙戊皆象
　　弧减同用之乙丁即甲乙與丁戊
　　等丁戊為寅癸丑交角之度又乙
　　辛丙子皆象弧减同用之丙辛即
　　辛子與乙丙等辛子弧即辛寅子角之度則元形甲乙邊易為次形之癸角甲丙邊易為癸丑寅餘角乙丙邊易為寅角元形之三邊易為次形之三角〈邊易為角〉又元形乙角之餘易為癸寅邊甲角易為癸丑邊丙角易為寅丑邊〈角易為邊〉
　　第五凡斜角形設一角二邊法從他角作垂弧至其對弧為直角如一圖〈若不能則引長其對弧令受垂弧如二圖〉若設二角一邊法從他邊之對角作垂弧如圖乙丁丙形有丙角丙乙丙丁兩邊即作乙甲垂弧分為兩直角形其甲丙乙形有一角一邊可求其餘甲丁乙直角形先得甲乙甲丁兩邊可求其餘
　　凡底邊兩旁角為同類垂弧在形内若異類垂弧在形
　　外
　　凡曲線三角形如得實球即指畫易明直角形直角之對邊名底斜角形大角之
　　對邊名底
　　凡言直角其邊小於象限則用之大於象限則依前法變為小而用之



　　球上直角形各邊角正等線之比例
　　第一題
　　直角形人數數〈即直角之本數〉與某角之正若底弧之正與某角對邊之正
　　欲明此論宜以渾體解之今權設渾象以堅厚楮作一圓形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如極分交圏之半周也又作一半周形合於全形之直角兩徑相切共為半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下㳺移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之兩弧上合下分一置三半周之中如極至交圏為定弧一以下端㳺移平弧上恒與平弧為直角上割中弧而遇定弧於極㸃之上謂之㳺弧㳺弧之上容中平二弧之距度而此一定一㳺兩弧者皆如過極之經圏也恒偕平弧為三弧兩邊等直角形
　　今於平面作圖擬彼圓象用意推測聊足可明其諸名義亦借渾天以便識别也如上圖乙丁寅圏為赤道乙丙癸為黄道乙寅為春秋分癸為夏至午辰為南北極午癸丁辰為極至交圏午丙甲為過極經圏以限黄道
　　之經度容赤黄二道之距度
　　平置乙丁寅赤道圏從黄癸
　　下垂線為極至圏上癸丁相
　　距弧之正從赤丁上立垂
　　線遇夘癸半徑之引長線於
　　戊得戊丁與癸己平行為癸
　　丁弧之切線夘戊其割線也己夘則癸丁弧之餘也又從黄道若干度之㸃如丙作兩線一丙辛垂線為過極經圏上丙甲斜弧之正辛壬〈乙寅徑之垂線〉其餘一丙壬為寅乙極線之垂線即丙乙黄弧之正次從赤道過極兩圏之交甲立甲子直線又於寅乙〈黄赤交之對截線〉上作甲丑垂線次于乙丙癸圏黄平面上從丑作丑子為乙寅之垂線過甲子于子子甲者過極圏上丙甲弧之切線也而甲丑為甲乙赤弧之正丑夘其餘則圖中有直線直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似
　　題言癸夘〈全數〉與癸己〈癸乙丁角之正〉若丙壬〈丙乙底弧之正〉與丙辛〈丙甲為乙角之對邊丙辛其正〉
　　如上圖甲乙丙形〈凡稱甲者恒為直角〉全數〈一率〉與乙角之正〈二率〉若丙乙邊之正〈三率〉與丙甲邊之正〈四率〉此比例用㡬何五卷之六理
　　云更之則一與三若二與四又反之二與一若四與三又反而更之三與一若四與二
　　系若以大圏割本形作戊丁直角弧則丁戊與甲丙若乙戊與乙丙〈俱用正〉
　　第二題
　　全數與某邊〈如甲丙〉之餘〈即丙戊弧之正〉若他邊〈甲乙〉之餘〈即戊角之正〉與底〈直角之對弧如丙乙〉之餘〈即丁丙弧之正〉
　　若直角形内有一鈍角或二鈍角其理同本題

　　第三題
　　直角形全數與某角〈丙〉之正〈即丁丙戊角之正〉若設角〈丙〉旁邊〈甲丙〉之餘〈即戊丙底之正〉與其邊對角〈乙〉之餘〈即丁戊邊之正〉此題之丁丙戊形與一題之甲乙丙皆有底有一角其
　　理同也
　　一系依相當第四法及此第一題顯全數與乙角〈乙丙角互用〉之正若角對邊〈甲丙〉之餘
　　割線與底弧〈乙丙〉之餘割線〈三四率各有正可用其餘割線當之〉二系依相當第四法及第一題顯全數與底〈乙丙〉之正若某邊〈甲丙〉之餘割線與對角〈乙〉之餘割線〈三四率有正互易為餘割線〉
　　三系依相當第一法及此第一題顯全數與某角〈乙〉之餘割線若對邊〈甲丙〉之正與
　　底〈乙丙〉之正〈第一題之比例為角之正與全若角對邊之正與底之正相當法則以正當餘割線也〉
　　四系依相當第一法及此第一題顯全數與底〈乙丙〉之餘割線若邊〈甲丙〉之正與對角〈乙〉之正〈一題内底之正與全若邊之正與角之正今易底之正為餘割而居第二以全為第一〉
　　五系依相當法第四及第二題顯全數與某邊〈甲丙〉之餘若底〈乙丙〉之割線與他邊之割線〈二題云全與邊之餘若他邊之餘與底之餘此云底之割線與邊之割線葢以割線當餘而為三四率也〉
　　六系依相當第一法及第二題顯全與某邊〈甲乙〉之割線若底〈乙丙〉之餘與他邊〈甲丙〉之餘〈第二題之四率反用之為二與一若四與三則第一率為餘第二率為全數也今依相當一法易之為全與割線〉
　　七系依第四相當法及三題顯全數與角〈乙〉之正若他角〈丙〉之割線與他角對邊〈甲乙〉之割線〈三題言全與角之正若設角旁邊之餘與他角之餘今用相當第四法反四率為三三率為四易餘為割線葢兩弧之餘與其正割線為互相視之線〉
　　八系依三題第四相當法顯全與邊〈甲丙〉之餘若邊對角〈乙〉之割線與他角〈丙〉之餘割線〈三題三四率邊旁角之正與他角之餘今互變邊對角之割線與他角之餘割線〉
　　九系依相當第一法及第三題之四率前後易之顯全數與角之餘割線若他角之餘與其對邊之餘十系三題之四率前後相易用第一相當法顯全與邊之割線若邊對角之餘與他角之正
　　十一系因一系反理及相當一法顯全與角之割線若底之餘割線與角對邊之餘割線
　　十二系因上五系反用其率及相當一法顯全與邊〈甲丙〉之割線若他邊之割線與底之割線
　　十三系因九系反用其率及相當一法顯全與角之餘
　　割線若邊之割線與其對角之割線

　　第四題
　　曲線直角形其全數與角〈乙〉之切線若角旁邊〈甲乙〉之正與角對邊〈甲丙〉之切線〈如前圗〉
　　解用一題平面全圖之甲乙丙
　　形甲為直角戊丁為甲乙丙角
　　之切線甲丑為甲乙邊之正
　　子甲為丙甲邊之切線可見夘
　　丁與乙角之切線丁戊若乙角旁邊甲乙之正甲丑與乙角對邊甲丙之切線甲子〈三角形皆相似故見一題〉
　　系用相易第一法則全與邊〈甲乙〉之餘切線〈或丁甲弧之正切線或戊己丙角之正切線〉若邊旁角乙之餘〈即戊己弧之正〉與底之餘切線〈即丙戊之正切線〉　按本題第二率為乙角之切線系易為丁戊之餘弧或己戊邊三率為角旁邊〈甲乙〉之正系易為邊〈戊己〉旁角〈己〉
　　或丁甲弧之餘〈即甲乙正〉四率為角對邊〈甲丙〉之切線系易為底之餘切線或甲丙弧之正切線
　　二系全與底之餘〈或甲丙邊之正〉若角〈丙〉之切線〈兩形為交角〉與他角〈已〉之餘切線〈即甲乙邊之正切線〉
　　三系依相當五法餘切線能當正切線〈二三率可互易〉為全數與邊之正若他邊之餘切線與其對角之餘切線四系若一二三四率反用為二與一若四與三即變第一率切線為餘切線則為全數與角之餘切線若角對邊之切線與他邊之正
　　向下諸系皆用相當法及反理省文不解
　　五全數與邊之餘切線若他邊之切線與其對角之切線
　　六全與角之餘若底之切線與角旁邊之切線七全與邊之切線若底之餘切線與角旁邊之餘八全與角之割線若底之餘切線與角旁邊之餘切線九全與底之割線若角之餘割線與他角之切線十全與角之餘切線若他角之餘切線與底之正十一全與邊之餘割線若邊旁角之餘切線與他邊之餘切線
　　十二全與邊之餘切線若邊對角之切線與他邊之餘割線
　　十三全與角之割線若角旁邊之切線與底之切線十四全與底之切線若邊之餘切線與邊旁角之割線十五全與角之切線若他角之切線與底之割線因上四題即每一設形有十二算法　今設甲乙丙一形有乙丙底〈三十度〉及甲丙邊〈十一度三十一分〉求乙角一為乙丙邊之正〈五○○○○〉與全〈十萬分〉若甲丙之正〈一九九六五〉與乙角之正〈三九九一〉
　　〈三〉查得二十三度三十一分三十○抄
　　二為全〈十萬〉與丙乙之正〈五○○○○〉若甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉
　　三為甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與全〈十萬〉若丙乙之餘割線〈二○○○○○〉與乙角之正〈三九九一三〉
　　四為全〈十萬〉與甲丙之正〈一九九六五〉若乙丙之餘割線〈二○○○○○〉與乙角之正〈三九九一三〉
　　五為乙丙之餘割線〈二○○○○○〉與全〈十萬〉若甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與乙角之餘割線〈三二○六一七〉
　　六為甲丙之正〈一九九六五〉與全〈十萬〉若乙丙之正〈五○○○〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉
　　七為乙丙之餘〈八六六○三〉與乙丙之餘切線〈一七三二○五〉若甲丙之正〈一九九六五〉與乙角
　　之正〈三九九一三〉
　　八為乙丙之餘切線〈一七三二○五〉與乙丙之餘〈八六六○三〉若甲丙之餘割線〈五○○八六九〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉九為乙丙之正〈五○○○○〉與甲丙之切線〈二○三七六〉若甲丙之餘〈九七九八七〉與乙角之正〈三九九一三〉
　　十為甲丙之切線〈二○三七六〉與乙丙之正〈五○○○○〉若甲丙之正割線〈一○二○五五〉與乙角之餘割線〈二二○六一七〉十一為甲丙之割線〈一○二○五五〉與乙丙之餘割線〈二○○○○○〉若甲丙之切線〈二○三七六〉與乙角之正〈三九九一三〉十二為甲丙之正〈一九九六五〉與乙丙之切線〈五七七三五〉若乙丙之餘〈八六六○三〉與乙角之餘割線〈二五○六一七〉以上十二法俱可得乙角因除法為繁故約用乘法如下方


　　球上直角形相求約法
　　球上直角三邊形有三角三邊此六者有三可推其餘交互為三十求各以乘法得之
　　第一設乙丙兩角〈凡甲皆直角乙丙或鋭或鈍〉一求甲乙邊為全數與乙角之正若丙角之割線與甲乙邊之割線或全與乙角之餘割線若丙角之
　　餘與甲乙邊之餘　丙角定數
　　解曰同類者或皆過九十度或皆不及若丙角過九十度則所求之邊亦過九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下倣此
　　二求甲丙〈甲丙甲乙兩邊互用乙丙兩角亦互用〉為全數與丙角之正若乙角之割線與甲丙邊之割線　或全與丙角之餘割線若乙角之餘與甲丙邊之餘　乙角定類三求丙乙〈對直角之底〉為全與乙角之切線若丙角之切線與乙丙邊之割線　或全與
　　乙角之餘切線若丙角之餘切線與乙丙邊之餘或乙或丙兩角定類
　　凡定類有二號者若二號為同類所得為不足九十度若兩號為異類所得為過九十度
　　第二設乙角及乙甲邊　四求丙角為全與乙角之餘割線若乙甲邊之割線與丙角之割線　或全與乙甲邊之餘若乙角之正與丙角之餘〈直線直角形設一得二取其較也此與異者曲直兩線為異類故也〉　甲乙弧定類
　　五求甲丙邊為全與甲乙之正若乙角之切線與甲丙邊之切線　或全與乙甲邊之餘割線若乙角之餘切線與甲丙邊之餘切線
　　乙角定類
　　六求乙丙邊為全數與乙角之割線若甲乙邊之切線與乙丙邊之切線　或全數與乙角之餘若甲乙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線　乙角或甲乙邊定類第三設乙角及甲丙邊　七求丙角為全數與甲丙邊之割線若乙角之餘弦與丙角之正或全數與甲丙邊之餘若乙角之割線
　　與丙角之餘割線　乙角或甲乙邊定類
　　八求甲乙為全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正　或全數與甲丙邊之餘切線若乙角之切線與甲乙邊之餘割線　乙角或甲丙邊定類九求丙乙為全數與乙角之餘割線若丙甲邊之正與丙乙邊之正　或全數與乙角之正若丙甲邊之餘割線與丙乙邊之餘割線　乙角定類
　　第四設乙角及乙丙邊　十求丙角為全數與乙丙之割線若乙角之餘切線與丙角之切線　或全數與乙丙邊之餘若乙角之切線與丙角之餘切線　乙角及乙丙定類
　　十一求甲乙為全數與乙角之餘若丙乙邊之切線與甲乙邊之切線　或全數與乙角之割線若乙丙邊之餘切線與甲乙邊之餘切線　乙角及乙丙定類十二求甲丙為全數與丙乙邊之正若乙角之正與甲丙邊之正　或全數與丙乙邊之餘割線若乙角之餘割線與甲丙邊之餘割線　乙角定類第五設丙角及甲乙邊　十三求乙角為全數與甲乙邊之割線若丙角之餘與乙角之正　或全數與甲乙邊之餘若丙角之割線與乙角之餘割線　丙角定類
　　十四求甲丙邊為全數與甲乙邊之切線若丙角之餘切線與甲丙邊之正　或全數與甲乙邊之餘切線若丙角之切線與甲丙邊之餘割線　甲乙邊定類十五求乙丙為全數與丙角之餘割線若甲乙之正與乙丙邊之正　或全數與丙角之正若甲乙邊之餘割線與乙丙邊之餘割線　丙角定類
　　第六設丙角及甲丙邊　十六求乙角為全數與丙角之餘割線若甲丙邊之割線與乙角之割線　或全數與甲丙邊之餘若丙角之正與乙角之餘　甲
　　丙邊定類
　　十七求甲乙邊為全數與甲丙邊之正
　　若丙角之切線與甲乙邊之切線　或全數與甲丙邊之餘割線若丙角之餘切線與甲乙邊之餘切線　丙角定類
　　十八求乙丙邊為全數與丙角之割線若甲丙邊之切線與乙丙邊之切線　或全數與丙角之餘若甲丙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線　丙角及甲丙邊定類
　　第七設丙角及丙乙邊　十九求乙角為全數與丙乙邊之割線若丙角之餘切線與乙角之切線　或全數與丙乙邊之餘若丙角之切線與乙角之餘切線　丙角及丙乙邊定類
　　二十求甲乙邊為全數與丙乙邊之正若丙角之正與甲乙邊之正　或全數與乙丙邊之餘割線若丙角之餘割線與甲乙邊之餘割線　丙角定類二十一求甲丙邊為全數與丙角之餘若丙乙邊之切線與甲丙邊之切線　或全數與丙角之割線若丙乙邊之餘切線與甲丙邊之餘切線　丙角及丙乙邊定類
　　第八設甲乙甲丙兩邊　二十二求乙角為全數與甲乙邊之餘割線若甲丙邊之切線與乙角之切線　或全數與甲乙邊之正若甲
　　丙邊之餘切線與乙角之餘切線　甲丙邊定類二十三求丙角為全數與甲丙邊之餘割線若甲乙邊之切線與丙角之切線　或全數與甲丙邊之正若甲乙邊之餘切線與丙角之餘切線　甲乙邊定類二十四求乙丙邊為全數與甲乙邊之割線若甲丙邊之割線與乙丙邊之割線　或全數與甲乙之餘若甲丙之餘與乙丙之餘　甲乙甲丙定類第九設甲乙乙丙兩邊　二十五求乙角為全數與丙乙邊之切線若甲乙邊之餘切線與乙角之割線　或全數與乙丙邊之餘切線若
　　甲乙邊之切線與乙角之餘　甲乙及乙丙定類二十六求丙角為全數與乙丙邊之餘割線若甲乙邊之正與丙角之正　或全數與丙乙邊之正若甲乙邊之餘割線與丙角之餘割線　乙角定類二十七求甲丙邊為全數與甲乙邊之餘若乙丙邊之割線與甲丙邊之割線　或全數與甲乙之割線若乙丙之餘與甲丙之餘　甲乙及乙丙定類第十設甲丙乙丙兩邊　二十八求乙角為全數與丙乙邊之餘割線若甲丙邊之正與乙角之正　或全數與乙丙邊之正若甲丙邊之餘割線與乙角之餘割線　甲丙邊定類
　　二十九求丙角為全數與乙丙邊之切線若甲丙邊之餘切線與丙角之割線　或全數與乙丙邊之餘切線若甲丙邊之切線與丙角之
　　餘　甲丙及丙乙定類
　　三十求甲乙邊為全數與甲丙邊之餘若乙丙邊之割線與甲乙邊之割線　或全數與甲丙邊之割線若丙乙邊之餘與甲乙邊之餘　甲丙及丙乙定類












　　球上斜角形各邊角正等線之比例
　　第一題
　　各角之正與其對邊之正皆為同比例
　　若形是直角則借彼第一題為全數〈甲〉與某角〈乙〉之正若底弧〈乙丙〉之正與某角
　　〈乙〉對邊〈甲丙〉之正則用更理為甲角全數與其對邊乙丙若乙角與甲丙或若丙角與甲乙用反理亦然〈凡不言某線者皆正也下倣此〉
　　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形從乙從丁從丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其對邊為直角因前論甲乙丙角與甲丙邊甲乙丁角
　　與甲丁邊為同比例合之丙乙丁角之正與丙丁邊之正若乙丁丙角之正與乙丙邊之正〈若戊為直角則戊丁丙角與戊丙邊若戊乙丁角與戊乙邊合之乙丁丙角與丙乙邊若某角與某邊或用壬直角其理不異〉若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁兩角對乙甲乙丁兩邊乙丁甲乙甲丙兩角對甲乙乙丙兩邊各减共用之甲直角即丙
　　對甲乙乙丁兩邊丁對甲乙乙丙兩邊又各减共用之甲乙則丁角之正與乙丙邊之正若丙角之正與乙丁邊之正乙角與丁丙邊同理
　　第二題
　　四率斷比例若第一率為全數則全數上方與二三率之矩内形若第一率與第四率
　　解曰甲乙全數線上方〈數與線兩類相當互解〉丙丁丙戊為二三率之矩内方己方形之容與丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四線為斷比例題言甲乙上方與丁戊矩方若甲
　　乙線〈一率〉與壬線〈四率〉
　　論曰因㡬何〈六卷十〉甲乙壬兩率矩内形與丁戊兩中率矩内形等或與已方形等即甲乙己壬三線為連比例第一率上方與第二率上方若第一率與三率等〈六卷十七〉則全數〈甲乙〉上方與二三率之矩内方〈丁丙丙戊矩丙形或已形〉若甲乙線〈一率〉與壬線〈四率〉
　　系若二三率為切線或割線或正即相乘以全數除之得第四率
　　第三題
　　球上斜角形全數上方形與兩腰之正矩内形若兩腰間角之矢與兩矢之較兩矢者其一為底弧〈即角對邊〉之之矢其一為兩腰較弧之矢
　　圗説乙丙丁斜角形於乙丙乙丁引長之各滿半周遇於戊其極線為戊己乙己為心戊丙乙己為平面上半
　　圈戊丁乙為斜面半
　　圈兩半圈各平分于
　　辛于寅作己辛己寅
　　已丙皆半徑又作寅
　　辛弧即乙角之弧也其正為寅庚其矢為庚辛又取乙壬弧與乙丁腰等作丁壬小圏之弧次從丁作丁甲從壬作壬甲各為戊乙之垂線則小圏之半徑亦為乙丁腰之正〈即丁戊弧之正〉次從丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢為酉壬又取丙癸弧與底弧丁丙等又從乙從壬從癸向丙己半徑作乙辰壬夘癸午各垂線末從酉向壬夘作酉子垂線
　　解曰乙辰為乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚為乙角〈亦寅辛弧〉之正其矢庚辛午夘為兩腰較弧〈壬丙〉之正其
　　矢夘丙癸午為底〈丁丙亦丙
　　癸之正〉其矢午丙午
　　夘〈酉子同〉為兩腰較弧〈壬丙〉之矢〈夘丙〉與底弧〈丁丙或丙癸〉
　　之矢〈午丙〉之較矢丁甲〈壬甲同〉為乙丁大腰之正題合全數〈乙己丙己之類〉上方形與乙辰偕壬甲兩正矩内形若辛庚〈乙角之矢〉與兩矢之較午夘
　　論曰丁甲酉寅己庚兩形相似〈酉與庚皆直角甲己兩角之腰平行又同在兩靣内即等〉則寅己全數〈辛己同〉與庚己若乙丁弧之正丁甲〈壬甲同〉與酉甲或辛己〈寅己同〉與庚己若壬甲〈丁甲同〉與酉甲依㡬何〈五卷十九〉之論辛己與辛庚若壬甲與壬酉〈全與全兩所截取之分比例等則兩截取之餘分必等〉或辛己〈全數〉與壬甲〈乙丁大腰之正〉若辛庚〈乙角之矢亦寅辛弧之矢〉與壬酉〈丁壬弧之矢〉
　　又乙己辰壬子酉兩直角形相似〈壬夘乙辰兩線平行即壬甲乙三角幷為一形之角而甲壬夘為辰乙己角之餘又辰己乙角為乙角之餘則與夘壬甲角必等〉則乙己〈全數〉與乙辰〈乙丙小腰之正〉若壬酉〈丁壬弧之矢〉與子酉〈兩矢之較也午夘同〉同乘理之法兩理〈前兩比例〉之第一率〈一辛巳一乙己〉相乘得全數上方形兩理之第二率〈一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰〉相乘得兩弧之正矩内形依合理〈㡬何五卷〉為若乙角之矢辛庚〈一理之第三率〉與兩矢之較子酉〈二理之第四率〉
　　系斜角形全數與所得之第四率〈第四率者如上題全數為一率兩腰之正為二三率用三率法乗除所得則第四率也〉若兩腰間角之矢與某矢〈某矢者兩矢之較兩矢者一為底弧之矢一為兩腰較弧之矢〉
　　二系斜角形全數上方形與兩角之兩正矩内形〈或全數與第四率〉若兩角内邊之矢與某矢〈某矢者兩矢之較兩矢者一為邊對角之矢一為兩角較角之矢〉
　　解用第四相易法設角易為邊即兩弧之
　　正矩内形與兩角之正矩内形必等或兩腰内角之矢與兩角内邊之矢必等
　　第四題
　　全數上方形為兩腰〈或兩角〉兩正矩内形及兩腰兩餘割線矩内形之中率
　　解曰乙〈正〉與丙〈全數〉若丙與丁〈餘割線〉如有兩正兩全數兩餘割線各以類相乗其形依合理為比例等反之或用餘矩内形
　　及正割線矩内形亦同
　　系若兩正兩餘割線各以類相乘〈或用餘及正割線〉以全數除之所得兩數亦全數為中率
　　假如乙丙丁形〈乙丁邊五十四度五十分丁丙邊五十八度〉求其正其餘割線相乘以全數除之從尾截去若干位所存如全數之位則〈五十四度五十分之正八一七四八五〉
　　〈十八度之正八四八○五〉相乘得六九三二六三九一四○〈五十四度五十分之餘割線一二二三二七五十八度之餘割線一一七九一八〉相乘得一四四二四五五五一八六全數為兩數之中率試之一全數上方積為實所得第一率為法除之或用减九數法亦可二系兩弧之正餘割線互乘所得兩數亦全數上方形為中率〈或用餘正割線理同〉
　　如前系一弧之正全數與其餘割線作三率連比例為第一理一弧之餘割線全數與其正作三率連比例為第二理用合理以兩理之第一率相乘得數二三亦如之所得三數之比例與前同理則一弧之正他弧之餘割線矩内形全數上方形一弧之餘割線他弧之正矩内形為三率連比例形〈如前法試之〉若三率形皆以全數除之比例如前則一弧之正他弧之餘割線相乘以全除之所得為一率全數為二率一弧之餘割線他弧之正相乘以全除之所得為三率
　　三系兩弧之正切線矩内形兩弧之兩餘切線矩内形亦全數上方形為中率〈如圖戊正切與己全若丙全與丁餘切用合理如前〉若三率形皆以全數除之所得三數之比例如前系
　　四系若一弧之正切線乘他弧之餘切線或一弧之餘切線乘他弧之正切線亦全數上方形為中率若三率形皆以全數除之比例亦然
　　五系一弧之正切線他弧之正矩内形又一弧之餘切線他弧之餘割線矩内形亦全數上方形為中率〈如上系戊正切全數丁餘切為連比例反之則丁與丙丙與戊用合理如前〉若三率形以全數除之比例亦然
　　六系一弧之餘切線他弧之正矩内形一弧之正切線他弧之餘割線矩内形亦全數上方為中率七系一弧之正切線他弧之餘矩内形一弧之餘切線他弧之正割線矩内形亦全數上方為中率八系一弧之餘切線他弧之餘矩内形一弧之正切線他弧之正割線矩内形亦全數上方為中率若各三率形各以全數除之比例皆同
　　第五題
　　無直角形從一角向其對邊為垂弧分元形為二直角形各直角對邊之餘若底弧〈受垂弧者為底〉兩分之餘解乙丙丁形從丙作丙甲垂弧甲為直角則丙丁弧之餘與丙乙弧之餘若丁甲之餘與甲乙弧之餘又兩邊之割
　　線若兩分之割線
　　論曰依前直角形第二題為全〈一〉與某邊之餘〈二〉若他邊之餘〈三〉與底之餘今用更理二率與一若四率與三以論甲丙丁形則甲丁邊之餘〈一〉與全〈二〉若丙丁〈直角形之底即直角之對邊〉之餘〈三〉與丙甲之餘〈四〉以論甲丙乙形則甲乙〈一〉與全〈二〉若丙乙〈三〉與甲丙〈四〉此二理平之則甲丁與甲乙〈兩理之兩一率〉若丙丁與丙乙〈兩理之第三率〉各弧之餘成
　　割線其理皆同〈為丙丁邊之割線與全若甲丁邊之割線與甲丙邊之餘又丙乙割線與全若甲乙割線與甲丙邊之餘今用兩理平之則一丙丁與一丙乙若三甲丁與三甲乙各弧之割線〉第六題
　　垂弧旁兩角之正若他兩角之餘
　　解甲丙丁甲丙乙兩角之正若丁乙兩角之餘又丙上兩分角之餘割線若丁乙兩角之正割線
　　解依直角第三題甲丙丁角之正〈一〉與全〈二〉若丁角之餘〈三〉與丙甲邊〈四〉又曰全〈一〉與甲丙乙角之正〈二〉若丙甲邊之餘與乙角之餘今以第二理更之為二與一若四與三又以二理平之一與一若三與三則甲丙丁角〈一〉與甲丙乙角〈一〉若丁角〈三〉與乙角〈三〉又用三題十三系可算割線之比例
　　第七題
　　垂弧旁兩弧之餘切線若垂弧旁兩角之餘
　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙兩邊於丙即丁丙甲角之餘切線與甲丙乙角之餘切線若丙丁邊之餘與丙乙邊之餘
　　用直角第四題依前論試之
　　又兩弧之正切線若兩角之正割線　亦用四題之系及十三系試之
　　第八題
　　垂弧旁兩弧之餘割線若垂弧相對兩角之正又兩弧之正若兩角之餘割線
　　解丙甲垂弧旁兩弧為丙丁丙乙又丙甲垂弧之對角為丁為乙　用直角三題試之
　　第九題
　　垂弧分底為二兩分之正若垂弧相對兩角之切線又兩分之餘割線若兩角之正切線又兩分之正割線若兩對邊之正切線又兩分之餘切線若兩對角之餘切線
　　右各題之理皆從直角形之理出前解已明今不贅





　　斜角形相求約法
　　凡所設為異類〈或邊與角或角與邊〉用第五易分兩直角形法見前凡形之弧或角過九十度用三四易得相似形其弧不及一象限
　　設三邊若二邊等即用垂弧分為兩直角等形各形有元形之一邊有元底之半求其角
　　解丙乙丙丁兩弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各兩平分依圓球原本第一卷二十一題知兩形必等
　　若三邊各不等求某角有三法
　　其一以本角旁兩腰之正相乘以全除之得數名初得數又以兩腰之正矢相乘以全除之得數名次得數以次得數與角對邊之或相加或相减〈解見下文〉得數以全乘之以初得數除之得某角之餘
　　解凡角之對邊大以象限而角之兩腰同類〈同類者或皆大于象限或皆小〉則兩數相加〈所求之角為鈍〉角若異類則兩數相减其次得數為實〈大而受减者為實〉則角鋭次得數為法〈小而以减者為法〉則角鈍　凡角之
　　對邊小于象限而兩腰同類則兩數相减其次得數為實即角鈍次得數為法即角鋭若異類則兩數相加角為鋭角
　　其二角兩腰之〈餘割〉線相乗以全除之得初數又兩腰之〈餘〉相乗以全除之得次數以次數與角對邊之〈餘〉或加或减如前法以所得數乗第一得數以全除之〈得角之餘〉三法用前斜角三題全圗解為全數與一腰之正若他腰之正與初得數又初得數與兩矢之較〈兩矢者兩腰較弧之矢及底弧之矢此名次得數〉若全數與角之矢
　　球上三角形比類法見宗動天諸問向上諸篇皆先言其理〈諸問見本篇八卷〉
　　上法之外尚多别法或用實球從球面界畫諸圏測之或用平立環渾儀測之或用平渾儀測之或用比例規或用宗動天之象限或用規于平面畫圗以綴術算之或先算成各度分之數而列為立成表俱有本書本論本㨗法然方之前法則踈而不宻故近来厯家舍置不用也
　　古法用數以推步七政必湏句股開平立三乘方等術至繁而易紊用力多而見功少今悉置不用獨用乘除簡矣此卷中幷除法不用而獨用乘法更簡也又有加减術幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然後用加减取徑㨗焉三角形有三邊求角三法假如丙丁邊十九度三十分丙戊邊十五度五十八分戊丁邊十二度九分求戊角　第一法兩腰〈戊丙戊丁〉正〈丙戊為二七五○八戊丁〉
　　〈為二一○四七〉相乘以全除之初得五七八九又餘相乘以全除之〈丙戊為九六一四二丙丁為九七七六○〉次得九三九八八丙丁邊餘為九四二六四比次得數為大〈因兩腰同類其三為小〉即戊角為鋭其較為二七六加五○以初得數除之得四七六七為角之餘查表得八十七度十六分　二法兩腰餘割線〈丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三〉相乗以全除之初得一七一七二二九其餘如上法次得九三九八八與第三邊餘相減得較以較乗初得數以全除之得如前此法更便可免除法　三法兩腰正如上兩矢較如前解求兩腰之較度得三度四十八分其矢為二二一又對邊之矢為五七三六兩數相减得五五一五為實
　　〈得角之矢為九五二三一其度如上新法算書卷九〉
　　〈十〉
　　〈三〉














　　加五○以初數除之