新法算书 (四库全书本)/卷093

新法算书　卷九十三

　　钦定四库全书
　　新法算书卷九十三　　明　徐光启等　撰测量全义卷七　　球面曲线形
　　圏内线相当之理
　　每弧毎角有八种线曰正曰正切线曰正割线曰正矢曰馀曰馀切线曰馀割线曰馀矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法〈㡬何六卷四题〉
　　如上图丙丁为正弧甲丁为正
　　丙辛为正切线乙辛为正割线甲
　　丙为正矢戊丁为馀己壬为馀
　　切线乙壬为馀割线戊己为馀矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似
　　一全数为正馀割线两率之中率
　　如丙丁弧之正为甲丁全数为
　　丁乙馀割线为乙壬则甲丁与丁
　　乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆
　　全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也
　　又全数为馀正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙〈与乙丙等故〉与乙辛
　　一系凡四率全数为中率〈或二或三〉若第一率
　　为正即弃正而变馀割线为中率全
　　数为第一省而一　若第一率为馀则
　　变正割线为中率　若第一率为正割线则变馀若第一率为馀割线则变正　凡所变者皆以易全数而使为第一率
　　论曰凡有连比例之三率一率与二〈如二与六〉若二率与三〈如六与十八〉别有二数其比例若连理之一率与二〈如八与二十四〉即可代用或连理之一率与二〈如二与六〉若他数与别数〈八与二十四〉可也或连理之二率与三〈六与十八〉若他数与别数〈八与二十四〉亦可也为其比例等故也〈皆三之一〉今连理之一率为甲〈正〉二率为乙〈全数〉三率为丙〈馀割线〉次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲〈正〉与二乙〈全数〉若三丁与四戊可也谓二乙〈全数〉与三丙〈馀割线〉若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二馀割为三今以全数为一馀割为二也如三十八度一十七分之正六一九五五与全数若三十度之正与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之馀割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正全数馀割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正则变馀割线为第一率若第一率为馀则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率〈名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乘犹是捷法〉
　　假如一十八度四十○分之正三二○○六与二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用捷法取一十八度四十分之馀割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率
　　二三○七三五　六十四度十九分之正割线
　　又假设三率如一二二三四一
　　二三四三二
　　第一率变取六十四度十九分之馀四三三四○以乘第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减
　　后五位所存即第四率
　　二全数为正馀两切线之中率
　　如上图辛丙与丙乙若乙己与己壬
　　何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙〈或乙己〉己壬为三率连比例
　　系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变馀切线为中率以易全为第一若第一为馀切线变正切线为中率以易全为第一
　　三正与馀若全数与馀切线馀与正若全数与正切线
　　如前图甲丁与丁戊〈即甲乙故〉若乙己与己壬戊丁〈即甲乙故〉与甲丁若乙丙与丙辛
　　系四率断比例若一二率为正与馀变为全数与馀切线若为馀与正变为全数与正切线
　　四凡两弧之正割线与其馀为互相视之线两弧之馀割线与其正为互相视之线
　　如上图丙癸丙丁两弧丙癸弧之正
　　割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙
　　辛丙癸弧之馀为庚癸丙丁弧之
　　馀为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁
　　与癸庚
　　论曰全数在正弧〈丙癸〉为其正割线〈乙寅〉及其馀〈癸庚〉之中率在他弧〈丙丁〉亦为其正割线〈乙辛〉及其馀〈丁戊〉之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等〈各为其中率故〉即两矩内形自相等其边互相视〈㡬何六卷十四〉
　　五凡两弧之正切线与其馀切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或远或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一盖平面图球不能尽球之理宜从论说中领其意义乃得耳
　　圆球原本内借论题　　古徳阿多西阿撰
　　一大圏皆与球同心　系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分〈一卷六〉
　　二两大圏于球上相交各为两平分
　　三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏〈一卷十一十二如赤道黄道等〉
　　四大圏过他圏之两极必相交为直角〈一卷十五题如子午圏过赤道极则两圏交处皆为直角〉
　　五大圏与本极距一象限九十度
　　六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为直角则两圏之交在赤道极
　　七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分
　　八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理
　　九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣
　　分球上三角形之各类
　　球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本〈若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也〉
　　球上角形或三边等其角必等边之度若四之一〈九十度〉则角为直角过四之一则钝角不及则锐角〈如正球之赤道地平子午圏皆相交为直角则各边俱九十度〉
　　或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为锐角或各边不等各角亦不等
　　球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角馀或钝或锐各有本法如左
　　一图外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交〈用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指锐角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一〉
　　二图两直角形第三角或锐或钝〈己上二图俱不论〉
　　三图甲乙丙形甲为直角馀皆锐其边少甲丙戊形甲直角丙钝戊锐钝角之对边大即甲已戊弧锐角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一即乙壬丁弧
　　凡两角或锐或钝若同类其间所容弧不及四之一直线三角形与球上曲线三角形异理
　　一直线形之三角幷与两直角等曲线形之三角幷其数不定但不能及四直角〈四直角者三百六十度也〉
　　二直线形得两角即得其三曲线形否
　　三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形设三角可推三边若干
　　五直线形各边能当全数曲线之各边否
　　六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边必等
　　七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易法
　　八直线形不过二种一直角二或钝或锐角其边虽有长短不变其类曲形边有大小其法不同
　　球上斜三角形因各角各边不等分为九种〈或恒用或否俱见下文〉第一三角皆锐其边皆小于四之一〈如第一图甲形〉
　　第二三角皆钝其一边适足四之一其二边大于四之一〈后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四之一者皆言多如第二图乙形〉
　　第三三角皆钝其两边多一边少〈如三图丙形〉第四三角皆钝其三边皆多〈如四图丁形〉第五一角钝两锐其三边皆少〈如三图戊形〉第六一角钝两锐其两锐间之一边多钝角之两旁少〈如四图己形〉
　　第七一角钝两锐一锐角之对边少馀皆
　　多〈如三图庚形〉
　　第八一角钝两锐钝角之对边足馀皆少〈如二图壬形〉第九一角钝两锐其边皆不等一多一少一足〈如二图辛形〉



　　球上三角形相易其法有五
　　第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙边引长之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限〈乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心〉得丙戊己直角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干
　　即有甲丁丙戊两馀弧次丙戊己形有戊直角有丙戊边即有己角〈其弧甲丁〉
　　若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直角旁一边及其对角〈一图〉若元形有二角即次形有一角一边〈二图〉
　　若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边
　　〈三图〉
　　第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作
　　庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者元形有乙丙两角即次形有两边〈有乙角之弧戊丁即有其馀弧戊己有戊己弧即有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛其馀弧为辛癸〉
　　元形之乙丙易为癸角〈乙丙边馀为丙戊丙戊之馀为戊庚是癸角之度〉元形之甲乙边易为辛己癸角〈甲乙弧之馀为甲丁其对角为丁己甲或辛己癸皆甲乙之馀弧角〉
　　元形之丙甲边易为辛己边〈甲丙弧之馀为己丙己丙弧之馀为辛己则辛己与甲丙等〉
　　第三斜角形〈两腰等角或锐或钝〉两腰引长至半周必相遇成他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆与元形相当何者有甲乙边自有其半周内之馀乙丁亦有其半
　　周内之馀甲已即乙丙与戊己等〈丙乙戊乙戊己皆半周故〉又丁角与甲角等〈凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也〉丁乙丙为甲乙丙之馀角乙丙丁为甲丙乙之馀角甲戊己为乙丙甲之馀角甲己戊为丙乙甲之馀角则元形变易而生两形各相似相当　问本用曰元形边大〈多于象限〉角钝易为次形边小角锐三角形六问中所用也〈六问详见后篇〉第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲
　　角为心作丁壬辰大圏分乙角为
　　心作戊癸寅大圏分丙角为心作
　　己丑卯大圏分三圏分必相交成
　　癸寅丑形此形与元形相当而元
　　形之边易为角角易为边何者甲
　　壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙
　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其
　　馀角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象
　　弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊
　　等丁戊为寅癸丑交角之度又乙
　　辛丙子皆象弧减同用之丙辛即
　　辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅馀角乙丙边易为寅角元形之三边易为次形之三角〈边易为角〉又元形乙角之馀易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角易为寅丑边〈角易为边〉
　　第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对弧为直角如一图〈若不能则引长其对弧令受垂弧如二图〉若设二角一边法从他边之对角作垂弧如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一边可求其馀甲丁乙直角形先得甲乙甲丁两边可求其馀
　　凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形
　　外
　　凡曲线三角形如得实球即指画易明直角形直角之对边名底斜角形大角之
　　对边名底
　　凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法变为小而用之



　　球上直角形各边角正等线之比例
　　第一题
　　直角形人数数〈即直角之本数〉与某角之正若底弧之正与某角对边之正
　　欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如极分交圏之半周也又作一半周形合于全形之直角两径相切共为半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下㳺移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圏为定弧一以下端㳺移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于极点之上谓之㳺弧㳺弧之上容中平二弧之距度而此一定一㳺两弧者皆如过极之经圏也恒偕平弧为三弧两边等直角形
　　今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圏为赤道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极午癸丁辰为极至交圏午丙甲为过极经圏以限黄道
　　之经度容赤黄二道之距度
　　平置乙丁寅赤道圏从黄癸
　　下垂线为极至圏上癸丁相
　　距弧之正从赤丁上立垂
　　线遇卯癸半径之引长线于
　　戊得戊丁与癸己平行为癸
　　丁弧之切线卯戊其割线也己卯则癸丁弧之馀也又从黄道若干度之点如丙作两线一丙辛垂线为过极经圏上丙甲斜弧之正辛壬〈乙寅径之垂线〉其馀一丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正次从赤道过极两圏之交甲立甲子直线又于寅乙〈黄赤交之对截线〉上作甲丑垂线次于乙丙癸圏黄平面上从丑作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圏上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正丑卯其馀则图中有直线直角形四一癸己卯二戊丁卯三丙辛壬四子甲丑因卯壬丑三角等故三形俱相似
　　题言癸卯〈全数〉与癸己〈癸乙丁角之正〉若丙壬〈丙乙底弧之正〉与丙辛〈丙甲为乙角之对边丙辛其正〉
　　如上图甲乙丙形〈凡称甲者恒为直角〉全数〈一率〉与乙角之正〈二率〉若丙乙边之正〈三率〉与丙甲边之正〈四率〉此比例用㡬何五卷之六理
　　云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三又反而更之三与一若四与二
　　系若以大圏割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙若乙戊与乙丙〈俱用正〉
　　第二题
　　全数与某边〈如甲丙〉之馀〈即丙戊弧之正〉若他边〈甲乙〉之馀〈即戊角之正〉与底〈直角之对弧如丙乙〉之馀〈即丁丙弧之正〉
　　若直角形内有一钝角或二钝角其理同本题

　　第三题
　　直角形全数与某角〈丙〉之正〈即丁丙戊角之正〉若设角〈丙〉旁边〈甲丙〉之馀〈即戊丙底之正〉与其边对角〈乙〉之馀〈即丁戊边之正〉此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其
　　理同也
　　一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角〈乙丙角互用〉之正若角对边〈甲丙〉之馀
　　割线与底弧〈乙丙〉之馀割线〈三四率各有正可用其馀割线当之〉二系依相当第四法及第一题显全数与底〈乙丙〉之正若某边〈甲丙〉之馀割线与对角〈乙〉之馀割线〈三四率有正互易为馀割线〉
　　三系依相当第一法及此第一题显全数与某角〈乙〉之馀割线若对边〈甲丙〉之正与
　　底〈乙丙〉之正〈第一题之比例为角之正与全若角对边之正与底之正相当法则以正当馀割线也〉
　　四系依相当第一法及此第一题显全数与底〈乙丙〉之馀割线若边〈甲丙〉之正与对角〈乙〉之正〈一题内底之正与全若边之正与角之正今易底之正为馀割而居第二以全为第一〉
　　五系依相当法第四及第二题显全数与某边〈甲丙〉之馀若底〈乙丙〉之割线与他边之割线〈二题云全与边之馀若他边之馀与底之馀此云底之割线与边之割线盖以割线当馀而为三四率也〉
　　六系依相当第一法及第二题显全与某边〈甲乙〉之割线若底〈乙丙〉之馀与他边〈甲丙〉之馀〈第二题之四率反用之为二与一若四与三则第一率为馀第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线〉
　　七系依第四相当法及三题显全数与角〈乙〉之正若他角〈丙〉之割线与他角对边〈甲乙〉之割线〈三题言全与角之正若设角旁边之馀与他角之馀今用相当第四法反四率为三三率为四易馀为割线盖两弧之馀与其正割线为互相视之线〉
　　八系依三题第四相当法显全与边〈甲丙〉之馀若边对角〈乙〉之割线与他角〈丙〉之馀割线〈三题三四率边旁角之正与他角之馀今互变边对角之割线与他角之馀割线〉
　　九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全数与角之馀割线若他角之馀与其对边之馀十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边之割线若边对角之馀与他角之正
　　十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若底之馀割线与角对边之馀割线
　　十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边〈甲丙〉之割线若他边之割线与底之割线
　　十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之馀
　　割线若边之割线与其对角之割线

　　第四题
　　曲线直角形其全数与角〈乙〉之切线若角旁边〈甲乙〉之正与角对边〈甲丙〉之切线〈如前图〉
　　解用一题平面全图之甲乙丙
　　形甲为直角戊丁为甲乙丙角
　　之切线甲丑为甲乙边之正
　　子甲为丙甲边之切线可见卯
　　丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正甲丑与乙角对边甲丙之切线甲子〈三角形皆相似故见一题〉
　　系用相易第一法则全与边〈甲乙〉之馀切线〈或丁甲弧之正切线或戊己丙角之正切线〉若边旁角乙之馀〈即戊己弧之正〉与底之馀切线〈即丙戊之正切线〉　按本题第二率为乙角之切线系易为丁戊之馀弧或己戊边三率为角旁边〈甲乙〉之正系易为边〈戊己〉旁角〈己〉
　　或丁甲弧之馀〈即甲乙正〉四率为角对边〈甲丙〉之切线系易为底之馀切线或甲丙弧之正切线
　　二系全与底之馀〈或甲丙边之正〉若角〈丙〉之切线〈两形为交角〉与他角〈已〉之馀切线〈即甲乙边之正切线〉
　　三系依相当五法馀切线能当正切线〈二三率可互易〉为全数与边之正若他边之馀切线与其对角之馀切线四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变第一率切线为馀切线则为全数与角之馀切线若角对边之切线与他边之正
　　向下诸系皆用相当法及反理省文不解
　　五全数与边之馀切线若他边之切线与其对角之切线
　　六全与角之馀若底之切线与角旁边之切线七全与边之切线若底之馀切线与角旁边之馀八全与角之割线若底之馀切线与角旁边之馀切线九全与底之割线若角之馀割线与他角之切线十全与角之馀切线若他角之馀切线与底之正十一全与边之馀割线若边旁角之馀切线与他边之馀切线
　　十二全与边之馀切线若边对角之切线与他边之馀割线
　　十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线十四全与底之切线若边之馀切线与边旁角之割线十五全与角之切线若他角之切线与底之割线因上四题即每一设形有十二算法　今设甲乙丙一形有乙丙底〈三十度〉及甲丙边〈十一度三十一分〉求乙角一为乙丙边之正〈五○○○○〉与全〈十万分〉若甲丙之正〈一九九六五〉与乙角之正〈三九九一〉
　　〈三〉查得二十三度三十一分三十○抄
　　二为全〈十万〉与丙乙之正〈五○○○○〉若甲丙之馀割线〈五○○八六九〉与乙角之馀割线〈二二○六一七〉
　　三为甲丙之馀割线〈五○○八六九〉与全〈十万〉若丙乙之馀割线〈二○○○○○〉与乙角之正〈三九九一三〉
　　四为全〈十万〉与甲丙之正〈一九九六五〉若乙丙之馀割线〈二○○○○○〉与乙角之正〈三九九一三〉
　　五为乙丙之馀割线〈二○○○○○〉与全〈十万〉若甲丙之馀割线〈五○○八六九〉与乙角之馀割线〈三二○六一七〉
　　六为甲丙之正〈一九九六五〉与全〈十万〉若乙丙之正〈五○○○〉与乙角之馀割线〈二二○六一七〉
　　七为乙丙之馀〈八六六○三〉与乙丙之馀切线〈一七三二○五〉若甲丙之正〈一九九六五〉与乙角
　　之正〈三九九一三〉
　　八为乙丙之馀切线〈一七三二○五〉与乙丙之馀〈八六六○三〉若甲丙之馀割线〈五○○八六九〉与乙角之馀割线〈二二○六一七〉九为乙丙之正〈五○○○○〉与甲丙之切线〈二○三七六〉若甲丙之馀〈九七九八七〉与乙角之正〈三九九一三〉
　　十为甲丙之切线〈二○三七六〉与乙丙之正〈五○○○○〉若甲丙之正割线〈一○二○五五〉与乙角之馀割线〈二二○六一七〉十一为甲丙之割线〈一○二○五五〉与乙丙之馀割线〈二○○○○○〉若甲丙之切线〈二○三七六〉与乙角之正〈三九九一三〉十二为甲丙之正〈一九九六五〉与乙丙之切线〈五七七三五〉若乙丙之馀〈八六六○三〉与乙角之馀割线〈二五○六一七〉以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法如下方


　　球上直角形相求约法
　　球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其馀交互为三十求各以乘法得之
　　第一设乙丙两角〈凡甲皆直角乙丙或锐或钝〉一求甲乙边为全数与乙角之正若丙角之割线与甲乙边之割线或全与乙角之馀割线若丙角之
　　馀与甲乙边之馀　丙角定数
　　解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九十度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下仿此
　　二求甲丙〈甲丙甲乙两边互用乙丙两角亦互用〉为全数与丙角之正若乙角之割线与甲丙边之割线　或全与丙角之馀割线若乙角之馀与甲丙边之馀　乙角定类三求丙乙〈对直角之底〉为全与乙角之切线若丙角之切线与乙丙边之割线　或全与
　　乙角之馀切线若丙角之馀切线与乙丙边之馀或乙或丙两角定类
　　凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十度若两号为异类所得为过九十度
　　第二设乙角及乙甲边　四求丙角为全与乙角之馀割线若乙甲边之割线与丙角之割线　或全与乙甲边之馀若乙角之正与丙角之馀〈直线直角形设一得二取其较也此与异者曲直两线为异类故也〉　甲乙弧定类
　　五求甲丙边为全与甲乙之正若乙角之切线与甲丙边之切线　或全与乙甲边之馀割线若乙角之馀切线与甲丙边之馀切线
　　乙角定类
　　六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切线与乙丙边之切线　或全数与乙角之馀若甲乙边之馀切线与乙丙边之馀切线　乙角或甲乙边定类第三设乙角及甲丙边　七求丙角为全数与甲丙边之割线若乙角之馀弦与丙角之正或全数与甲丙边之馀若乙角之割线
　　与丙角之馀割线　乙角或甲乙边定类
　　八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之馀切线与甲乙边之正　或全数与甲丙边之馀切线若乙角之切线与甲乙边之馀割线　乙角或甲丙边定类九求丙乙为全数与乙角之馀割线若丙甲边之正与丙乙边之正　或全数与乙角之正若丙甲边之馀割线与丙乙边之馀割线　乙角定类
　　第四设乙角及乙丙边　十求丙角为全数与乙丙之割线若乙角之馀切线与丙角之切线　或全数与乙丙边之馀若乙角之切线与丙角之馀切线　乙角及乙丙定类
　　十一求甲乙为全数与乙角之馀若丙乙边之切线与甲乙边之切线　或全数与乙角之割线若乙丙边之馀切线与甲乙边之馀切线　乙角及乙丙定类十二求甲丙为全数与丙乙边之正若乙角之正与甲丙边之正　或全数与丙乙边之馀割线若乙角之馀割线与甲丙边之馀割线　乙角定类第五设丙角及甲乙边　十三求乙角为全数与甲乙边之割线若丙角之馀与乙角之正　或全数与甲乙边之馀若丙角之割线与乙角之馀割线　丙角定类
　　十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之馀切线与甲丙边之正　或全数与甲乙边之馀切线若丙角之切线与甲丙边之馀割线　甲乙边定类十五求乙丙为全数与丙角之馀割线若甲乙之正与乙丙边之正　或全数与丙角之正若甲乙边之馀割线与乙丙边之馀割线　丙角定类
　　第六设丙角及甲丙边　十六求乙角为全数与丙角之馀割线若甲丙边之割线与乙角之割线　或全数与甲丙边之馀若丙角之正与乙角之馀　甲
　　丙边定类
　　十七求甲乙边为全数与甲丙边之正
　　若丙角之切线与甲乙边之切线　或全数与甲丙边之馀割线若丙角之馀切线与甲乙边之馀切线　丙角定类
　　十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之切线与乙丙边之切线　或全数与丙角之馀若甲丙边之馀切线与乙丙边之馀切线　丙角及甲丙边定类
　　第七设丙角及丙乙边　十九求乙角为全数与丙乙边之割线若丙角之馀切线与乙角之切线　或全数与丙乙边之馀若丙角之切线与乙角之馀切线　丙角及丙乙边定类
　　二十求甲乙边为全数与丙乙边之正若丙角之正与甲乙边之正　或全数与乙丙边之馀割线若丙角之馀割线与甲乙边之馀割线　丙角定类二十一求甲丙边为全数与丙角之馀若丙乙边之切线与甲丙边之切线　或全数与丙角之割线若丙乙边之馀切线与甲丙边之馀切线　丙角及丙乙边定类
　　第八设甲乙甲丙两边　二十二求乙角为全数与甲乙边之馀割线若甲丙边之切线与乙角之切线　或全数与甲乙边之正若甲
　　丙边之馀切线与乙角之馀切线　甲丙边定类二十三求丙角为全数与甲丙边之馀割线若甲乙边之切线与丙角之切线　或全数与甲丙边之正若甲乙边之馀切线与丙角之馀切线　甲乙边定类二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙边之割线与乙丙边之割线　或全数与甲乙之馀若甲丙之馀与乙丙之馀　甲乙甲丙定类第九设甲乙乙丙两边　二十五求乙角为全数与丙乙边之切线若甲乙边之馀切线与乙角之割线　或全数与乙丙边之馀切线若
　　甲乙边之切线与乙角之馀　甲乙及乙丙定类二十六求丙角为全数与乙丙边之馀割线若甲乙边之正与丙角之正　或全数与丙乙边之正若甲乙边之馀割线与丙角之馀割线　乙角定类二十七求甲丙边为全数与甲乙边之馀若乙丙边之割线与甲丙边之割线　或全数与甲乙之割线若乙丙之馀与甲丙之馀　甲乙及乙丙定类第十设甲丙乙丙两边　二十八求乙角为全数与丙乙边之馀割线若甲丙边之正与乙角之正　或全数与乙丙边之正若甲丙边之馀割线与乙角之馀割线　甲丙边定类
　　二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边之馀切线与丙角之割线　或全数与乙丙边之馀切线若甲丙边之切线与丙角之
　　馀　甲丙及丙乙定类
　　三十求甲乙边为全数与甲丙边之馀若乙丙边之割线与甲乙边之割线　或全数与甲丙边之割线若丙乙边之馀与甲乙边之馀　甲丙及丙乙定类












　　球上斜角形各边角正等线之比例
　　第一题
　　各角之正与其对边之正皆为同比例
　　若形是直角则借彼第一题为全数〈甲〉与某角〈乙〉之正若底弧〈乙丙〉之正与某角
　　〈乙〉对边〈甲丙〉之正则用更理为甲角全数与其对边乙丙若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然〈凡不言某线者皆正也下仿此〉
　　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直角因前论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角
　　与甲丁边为同比例合之丙乙丁角之正与丙丁边之正若乙丁丙角之正与乙丙边之正〈若戊为直角则戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异〉若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙
　　对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之甲乙则丁角之正与乙丙边之正若丙角之正与乙丁边之正乙角与丁丙边同理
　　第二题
　　四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之矩内形若第一率与第四率
　　解曰甲乙全数线上方〈数与线两类相当互解〉丙丁丙戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲
　　乙线〈一率〉与壬线〈四率〉
　　论曰因㡬何〈六卷十〉甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率等〈六卷十七〉则全数〈甲乙〉上方与二三率之矩内方〈丁丙丙戊矩丙形或已形〉若甲乙线〈一率〉与壬线〈四率〉
　　系若二三率为切线或割线或正即相乘以全数除之得第四率
　　第三题
　　球上斜角形全数上方形与两腰之正矩内形若两腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧〈即角对边〉之之矢其一为两腰较弧之矢
　　图说乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半
　　圈戊丁乙为斜面半
　　圈两半圈各平分于
　　辛于寅作己辛己寅
　　已丙皆半径又作寅
　　辛弧即乙角之弧也其正为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圏之弧次从丁作丁甲从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圏之半径亦为乙丁腰之正〈即丁戊弧之正〉次从丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬卯癸午各垂线末从酉向壬卯作酉子垂线
　　解曰乙辰为乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚为乙角〈亦寅辛弧〉之正其矢庚辛午卯为两腰较弧〈壬丙〉之正其
　　矢卯丙癸午为底〈丁丙亦丙
　　癸之正〉其矢午丙午
　　卯〈酉子同〉为两腰较弧〈壬丙〉之矢〈卯丙〉与底弧〈丁丙或丙癸〉
　　之矢〈午丙〉之较矢丁甲〈壬甲同〉为乙丁大腰之正题合全数〈乙己丙己之类〉上方形与乙辰偕壬甲两正矩内形若辛庚〈乙角之矢〉与两矢之较午卯
　　论曰丁甲酉寅己庚两形相似〈酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同在两靣内即等〉则寅己全数〈辛己同〉与庚己若乙丁弧之正丁甲〈壬甲同〉与酉甲或辛己〈寅己同〉与庚己若壬甲〈丁甲同〉与酉甲依㡬何〈五卷十九〉之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉〈全与全两所截取之分比例等则两截取之馀分必等〉或辛己〈全数〉与壬甲〈乙丁大腰之正〉若辛庚〈乙角之矢亦寅辛弧之矢〉与壬酉〈丁壬弧之矢〉
　　又乙己辰壬子酉两直角形相似〈壬卯乙辰两线平行即壬甲乙三角幷为一形之角而甲壬卯为辰乙己角之馀又辰己乙角为乙角之馀则与卯壬甲角必等〉则乙己〈全数〉与乙辰〈乙丙小腰之正〉若壬酉〈丁壬弧之矢〉与子酉〈两矢之较也午卯同〉同乘理之法两理〈前两比例〉之第一率〈一辛巳一乙己〉相乘得全数上方形两理之第二率〈一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰〉相乘得两弧之正矩内形依合理〈㡬何五卷〉为若乙角之矢辛庚〈一理之第三率〉与两矢之较子酉〈二理之第四率〉
　　系斜角形全数与所得之第四率〈第四率者如上题全数为一率两腰之正为二三率用三率法乘除所得则第四率也〉若两腰间角之矢与某矢〈某矢者两矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢〉
　　二系斜角形全数上方形与两角之两正矩内形〈或全数与第四率〉若两角内边之矢与某矢〈某矢者两矢之较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢〉
　　解用第四相易法设角易为边即两弧之
　　正矩内形与两角之正矩内形必等或两腰内角之矢与两角内边之矢必等
　　第四题
　　全数上方形为两腰〈或两角〉两正矩内形及两腰两馀割线矩内形之中率
　　解曰乙〈正〉与丙〈全数〉若丙与丁〈馀割线〉如有两正两全数两馀割线各以类相乘其形依合理为比例等反之或用馀矩内形
　　及正割线矩内形亦同
　　系若两正两馀割线各以类相乘〈或用馀及正割线〉以全数除之所得两数亦全数为中率
　　假如乙丙丁形〈乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度〉求其正其馀割线相乘以全数除之从尾截去若干位所存如全数之位则〈五十四度五十分之正八一七四八五〉
　　〈十八度之正八四八○五〉相乘得六九三二六三九一四○〈五十四度五十分之馀割线一二二三二七五十八度之馀割线一一七九一八〉相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正馀割线互乘所得两数亦全数上方形为中率〈或用馀正割线理同〉
　　如前系一弧之正全数与其馀割线作三率连比例为第一理一弧之馀割线全数与其正作三率连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正他弧之馀割线矩内形全数上方形一弧之馀割线他弧之正矩内形为三率连比例形〈如前法试之〉若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正他弧之馀割线相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之馀割线他弧之正相乘以全除之所得为三率
　　三系两弧之正切线矩内形两弧之两馀切线矩内形亦全数上方形为中率〈如图戊正切与己全若丙全与丁馀切用合理如前〉若三率形皆以全数除之所得三数之比例如前系
　　四系若一弧之正切线乘他弧之馀切线或一弧之馀切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率形皆以全数除之比例亦然
　　五系一弧之正切线他弧之正矩内形又一弧之馀切线他弧之馀割线矩内形亦全数上方形为中率〈如上系戊正切全数丁馀切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前〉若三率形以全数除之比例亦然
　　六系一弧之馀切线他弧之正矩内形一弧之正切线他弧之馀割线矩内形亦全数上方为中率七系一弧之正切线他弧之馀矩内形一弧之馀切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率八系一弧之馀切线他弧之馀矩内形一弧之正切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三率形各以全数除之比例皆同
　　第五题
　　无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形各直角对边之馀若底弧〈受垂弧者为底〉两分之馀解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角则丙丁弧之馀与丙乙弧之馀若丁甲之馀与甲乙弧之馀又两边之割
　　线若两分之割线
　　论曰依前直角形第二题为全〈一〉与某边之馀〈二〉若他边之馀〈三〉与底之馀今用更理二率与一若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之馀〈一〉与全〈二〉若丙丁〈直角形之底即直角之对边〉之馀〈三〉与丙甲之馀〈四〉以论甲丙乙形则甲乙〈一〉与全〈二〉若丙乙〈三〉与甲丙〈四〉此二理平之则甲丁与甲乙〈两理之两一率〉若丙丁与丙乙〈两理之第三率〉各弧之馀成
　　割线其理皆同〈为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之馀又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之馀今用两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线〉第六题
　　垂弧旁两角之正若他两角之馀
　　解甲丙丁甲丙乙两角之正若丁乙两角之馀又丙上两分角之馀割线若丁乙两角之正割线
　　解依直角第三题甲丙丁角之正〈一〉与全〈二〉若丁角之馀〈三〉与丙甲边〈四〉又曰全〈一〉与甲丙乙角之正〈二〉若丙甲边之馀与乙角之馀今以第二理更之为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三则甲丙丁角〈一〉与甲丙乙角〈一〉若丁角〈三〉与乙角〈三〉又用三题十三系可算割线之比例
　　第七题
　　垂弧旁两弧之馀切线若垂弧旁两角之馀
　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之馀切线与甲丙乙角之馀切线若丙丁边之馀与丙乙边之馀
　　用直角第四题依前论试之
　　又两弧之正切线若两角之正割线　亦用四题之系及十三系试之
　　第八题
　　垂弧旁两弧之馀割线若垂弧相对两角之正又两弧之正若两角之馀割线
　　解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角为丁为乙　用直角三题试之
　　第九题
　　垂弧分底为二两分之正若垂弧相对两角之切线又两分之馀割线若两角之正切线又两分之正割线若两对边之正切线又两分之馀切线若两对角之馀切线
　　右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘





　　斜角形相求约法
　　凡所设为异类〈或边与角或角与边〉用第五易分两直角形法见前凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及一象限
　　设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元形之一边有元底之半求其角
　　解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一卷二十一题知两形必等
　　若三边各不等求某角有三法
　　其一以本角旁两腰之正相乘以全除之得数名初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数以次得数与角对边之或相加或相减〈解见下文〉得数以全乘之以初得数除之得某角之馀
　　解凡角之对边大以象限而角之两腰同类〈同类者或皆大于象限或皆小〉则两数相加〈所求之角为钝〉角若异类则两数相减其次得数为实〈大而受减者为实〉则角锐次得数为法〈小而以减者为法〉则角钝　凡角之
　　对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为实即角钝次得数为法即角锐若异类则两数相加角为锐角
　　其二角两腰之〈馀割〉线相乘以全除之得初数又两腰之〈馀〉相乘以全除之得次数以次数与角对边之〈馀〉或加或减如前法以所得数乘第一得数以全除之〈得角之馀〉三法用前斜角三题全图解为全数与一腰之正若他腰之正与初得数又初得数与两矢之较〈两矢者两腰较弧之矢及底弧之矢此名次得数〉若全数与角之矢
　　球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其理〈诸问见本篇八卷〉
　　上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圏测之或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或用宗动天之象限或用规于平面画图以缀术算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本捷法然方之前法则踈而不密故近来历家舍置不用也
　　古法用数以推步七政必湏句股开平立三乘方等术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除简矣此卷中幷除法不用而独用乘法更简也又有加减术幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径捷焉三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求戊角　第一法两腰〈戊丙戊丁〉正〈丙戊为二七五○八戊丁〉
　　〈为二一○四七〉相乘以全除之初得五七八九又馀相乘以全除之〈丙戊为九六一四二丙丁为九七七六○〉次得九三九八八丙丁边馀为九四二六四比次得数为大〈因两腰同类其三为小〉即戊角为锐其较为二七六加五○以初得数除之得四七六七为角之馀查表得八十七度十六分　二法两腰馀割线〈丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三〉相乘以全除之初得一七一七二二九其馀如上法次得九三九八八与第三边馀相减得较以较乘初得数以全除之得如前此法更便可免除法　三法两腰正如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实
　　〈得角之矢为九五二三一其度如上新法算书卷九〉
　　〈十〉
　　〈三〉














　　加五○以初数除之