欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第023卷

曆象彙編 曆法典 第二十二卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第二十三卷
曆象彙編 曆法典 第二十四卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第二十三卷目錄

 曆法總部彙考二十三

  宋五仁宗慶曆一則 英宗治平一則 明天曆法 神宗熙寧一則

曆法典第二十三卷

曆法總部彙考二十三编辑

宋五编辑

仁宗慶曆元年冬十二月,司天監上《崇天萬年曆》。编辑

按《宋史·仁宗本紀》云云。

英宗治平二年春三月,頒《明天曆》。编辑

按《宋史·英宗本紀》云云。 按《律曆志》:崇天曆行之至 於嘉祐之末。英宗即位,命殿中丞、判司天監周琮及 司天冬官正王炳、丞王棟、主簿周應祥、周安世、馬傑、 靈臺郎楊得言作新曆,三年而成。琮言:舊曆氣節加 時,後天半日;五星之行差半次;日食之候差十刻。既 而司天中官正舒易簡與監生石道、李遘更陳家學。 於是詔翰林學士范鎮、諸王府侍講孫思恭、國子監 直講劉分賱考定是非,上推《尚書》辰弗集於房與春秋 之日食,參今曆之所候,而易簡、道、遘等所學疏闊,不 可用,新書為密。遂賜名《明天曆》。詔翰林學士王珪序 之,而琮亦為義略冠其首。今紀其曆法於後:

明天曆法编辑

調日法朔餘、周天分、斗分、歲差、日度母附

造曆之法,必先立元,元正然後定日法,法定然後度 周天,以定分、至,三者有程,則曆可成矣。日者,積餘成 之;度者,積分成之。GJfont日月始離,初行生分,積分成日。 自四分曆洎古之六曆,皆以九百四十為日法。率由 日行一度,經三百六十五日四分之一,是為周天;月 行十三度十九分之七,經二十九日有餘,與日相會, 是為朔策。史官當會集日月之行,以求合朔。自漢太 初至于今,冬至差十日,如劉歆三統復強于古,故先 儒謂之最疏。後漢劉洪考驗四分,于天不合,乃減朔 餘,苟合時用。自是已降,率意加減,以造日法。宋世何 承天更以四十九分之二十六為強率,十七分之九 為弱率,於強弱之際以求日法。承天日法七百五十 二,得一十五強一弱。自後治曆者,莫不因承天法、累 強弱之數,皆不悟日月有自然合會之數。今稍悟其 失,定新曆以三萬九千為日法,六百二十四萬為度 母,九千五百為斗分,二萬六百九十三為朔餘,可以 上稽于古,下驗于今,反覆推求,若應繩準。又以二百 三十萬一千為月行之餘月行十三度之餘。以一百六十萬 四百四十七為日行之餘日行周天之餘。乃會日月之行,以 盈不足平之,並盈不足,是為一朔之法日法也,名元法。今乃 以大月乘不足之數,以小月乘盈行之分,平而並之, 是為一朔之實周天分也。以法約實,得日月相會之數,皆 以等數約之,悉得今有之數盈為朔虛,不足為朔餘。又二法相 乘為本母,各母互乘,以減周天,餘則歲差生焉,亦以 等數約之,即得歲差、度母、周天實用之數。此之一法, 理極幽眇,所謂反覆相求,潛遁相通,數有冥符,法有 偶會,古曆家皆所未達。

以等數約之,得三萬九千為元法,九千五百為斗分,二萬六百九十三為朔餘,六百二十四萬為日度母,二十二億七千九百二十萬四百四十七為周天分,八萬四百四十七為歲差。

歲餘:九千五百古曆日斗分

古者以周天三百六十五度四分度之一,是為斗分。 夫舉正于中,上稽往古,下驗當時,反覆參求,合符應 準,然後施行于百代,為不易之術。自後治曆者,測今 冬至日晷,用校古法,過盈,以萬為母,課諸氣分,率二 千五百以下、二千四百二十八已上為中平之率。新 曆斗分九千五百,以萬平之,得二千四百二十五半 盈,得中平之數也。而三萬九千年冬至小餘成九千 五百日,滿朔實一百一十五萬一千六百九十三,年 齊于日分,而氣朔相會。

歲周:一千四百二十四萬四千五百。以元法乘三百 六十五度,內斗分九千五百,得之,即為一歲之日分, 故曰歲周。

若以二十四均之,得一十五日、餘八千五百二十、秒一十五,為一氣之策也。

朔實:一百一十五萬一千六百九十三。本會日月之 行,以盈不足平而得二萬六百九十三,是為朔餘備在 調日法術中。是則四象全策之餘也。今以元法乘四象全 策二十九,總而並之,是為一朔之實也。古曆以一百 萬平朔餘之分,得五十三萬六百以下、五百七十以 上,是為中平之率。新曆以一百萬平之,得五十三萬五百八十九,得中平之數也。

若以四象均之,得七日,餘一萬四千九百二十三、秒,是為弦策也。

中盈、朔虛分閏餘附。日月以會朔為正,氣序以斗建為 中,是故氣進而盈分存焉。置中節兩氣之策,以一月 之全策三十減之,每至中氣,即一萬七千四十、秒十 二,是為中盈分。朔退而虛分列焉,置一月之全策三 十,以朔策及餘減之,餘一萬八千三百七,是為朔虛 分。綜中盈、朔虛分,而閏餘章焉閏餘三萬五千三百四十五、秒一十三。 從消息而自致,以盈虛名焉。

紀法:六十。易乾象之爻九,坤象之爻六,震、坎、艮象之 爻皆七,巽、離、兌象之爻皆八。綜八卦之數凡六十,又 六旬之數也。紀者,終也,數終八卦,故以紀名焉。 天正冬至:大餘五十七,小餘一萬七千。先測立冬晷 景,次取測立春晷景,取近者通計,半之,為距至泛日; 乃以晷數相減,餘者以法乘之,滿其日晷差而一,為 差刻;乃以差刻

求冬至,視其前晷多則為減,少則為加,求夏至者反之。

加減距至汎日,為定日;仍加半日之刻,命從前距日 辰,筭外,即二至加時日辰及刻分所在。如此推求,則 加時與日晷相協。今須積歲四百一年治平元年甲辰歲,氣積年 也。則冬至大、小餘與今適會。

天正經朔:大餘三十四,小餘三萬一千。閏餘八十八 萬三千九百九十。此乃檢括日月交食加時早晚而 定之,損益在夜半後,得戊戌之日,以方程約而齊之。 今須積歲七十一萬一千七百六十一治平元年甲辰歲,朔積年 也。則經朔大、小餘與今有之數,偕閏餘而相會。 日度歲差:八萬四百四十七。書舉正南之星以正四 方,蓋先王以明時授人,奉天育物。然先儒所述,互有 同異。虞喜云:堯時冬至日短星昴,今二千七百餘年, 乃東壁中,則知每歲漸差之所至。又何承天云:《堯典》 日永星火,以正仲夏;宵中星虛,以正仲秋。今以中星 校之,所差二十七八度,即堯時冬至,日在須女十度。 故祖沖之修《大明曆》,始立歲差,率四十五年九月卻 一度。虞鄺、劉孝孫等因之,各有增損,以創新法。若從 虞喜之驗,昴中則五十餘年日退一度;若依承天之 驗,火中又不及百年日退一度。後皇極綜兩曆之率而 要取其中,故七十五年而退一度,此乃通其意未盡其 微。今則別調新率,改立歲差,大率七十七年七月,日退 一度,上元命于虛九,可以上覆往古,下逮于今。自帝 堯以來,循環考驗,新曆歲差,皆得其中,最為親近。 周天分:二十二億七千九百二十萬四百四十七。本 齊日月之行,會合朔而得之在調日法。使上考仲康房、宿 之交,下驗姜岌月食之衝,三十年間,若應準繩,則新 曆周天,有自然冥符之數,最為密近。

日躔盈縮定差:張胄玄名損益率曰盈縮數,劉孝孫 以盈縮數為胐朒積,皇極有陟降率、遲疾數,麟德曰 先後、盈縮數,大衍曰損益、朏朒積,崇天曰損益、盈縮 積。所謂古曆平朔之日,而月或朝覿東方,夕見西方, 則史官謂之胐朒。今以日行之所盈縮、月行之所遲疾,皆 損益之,或進退其日,以為定朔,則舒亟之度,乃勢數 使然,非失政之致也。新曆以七千一為盈縮之極,其 數與月離相錯,而損益、盈縮為名,則文約而義見。 升降分:皇極躔衰有陟降率,麟德以日景差、陟降率、 日晷景消息為之,義通軌漏。夫南至之後,日行漸升, 去極近,故晷短而萬物皆盛;北至之後,日行漸降,去 極遠,故晷長而萬物寖衰。自大衍以下,皆從麟德。今 曆消息日行之升降,積而為盈縮焉。

赤道宿:漢百二年議造曆,乃定東西,立晷儀,下漏刻, 以追二十八宿相距于四方,赤道宿度,則其法也。其 赤道,斗二十六度及分,牛八度,女十二度,虛十度,危 十七度,室十六度,壁九度,奎十六度,婁十二度,胃十 四度,昴十一度,畢十六度,觜二度,參九度,井三十三 度,鬼四度,柳十五度,星七度,張十八度,翼十八度,軫 十七度,角十二度,亢九度,氐十五度,房五度,心五度, 尾十八度,箕十一度,自後相承用之。至唐初,李淳風 造渾儀,亦無所改。開元中,浮屠一行作大衍曆,詔梁 令瓚作黃道游儀,測知畢、觜、參及輿鬼四宿赤道宿 度,與舊不同畢十七度,觜一度,參十度,鬼三度。自一行之後,因相沿 襲,下更五代,無所增損。至仁宗皇祐初,始有詔造黃 道渾儀,鑄銅為之。自後測驗赤道宿度,又一十四宿 與一行所測不同。

斗二十五度,牛七度,女十一度,危十六度,室十七度,胃十五度,畢十八度,井三十四度,鬼二度,柳十四度,氐十六度,心六度,尾十九度,箕十度。

蓋古今之人,以八尺圓器,欲以盡天體,決知其難矣。 又況圖本所指距星,傳習有差,故今赤道宿度與古 不同。自漢太初後至唐開元治曆之初,凡八百年間, 悉無更易。今雖測驗與舊不同,亦歲月未久。新曆兩 備其數,如淳風從舊之意。

月度轉分:洪範傳曰:晦而月見西方謂之朏。月未合朔,在日後;今在日前,太疾也。朏者,人君舒緩、臣下驕 盈專權之象。朔而月見東方謂之側匿。合朔則月與 日合,今在日後,太遲也。側匿者,人君嚴急、臣下危殆 恐懼之象。盈則進,縮則退,躔離九道,周合三旬,考其 變行,自有常數。傳稱,人君有疾舒之變,未達月有遲 速之常也。後漢劉洪粗通其旨。爾後治曆者多循舊 法,皆考遲疾之分,增損平會之朔,得月後定追及日 之際而生定朔焉。至于加時早晚,或速或遲,皆由轉 分強弱所致。舊曆課轉分,以九分之五為強率,一百 一分之五十六為弱率,乃於強弱之際而求秒焉。新 曆轉分二百九十八億八千二百二十四萬二千二 百五十一,以一百萬平之,得二十七日五十五萬四 千六百二十六,最得中平之數。舊曆置日餘而求胐 朒之數,衰次不倫。今從其度而遲疾有漸,月之課驗, 稍符天度。

轉度母轉法、會周附。本以朔分並周天,是為會周一朔之月常度 也各用本母。去其朔差為轉終朔差乃終外之數也。各以等數約之, 即得實用之數。乃以等數約本母為轉度母齊數也。又 以等數約月分為轉法亦名轉日法也。以轉法約轉終,得轉 日及餘。本曆創立此數,皆古曆所未有。

約得八千一百一十二萬為轉度母,二百九十八億八千二百二十四萬二千二百五十一為轉終分,三百二十億二千五百一十二萬九千二百五十一為會周,一十億八千四百四十七萬三千為轉法,二十一億四千二百八十八萬七千為朔差。

月離遲疾定差:皇極有加減限、朏朒積,麟德曰增減 率、遲疾積,大衍曰損益率、朏朒積,崇天亦曰損益率、 朏朒積。所謂日不及平行則損之,過平行則益之,從 陽之義也;月不及平行則益之,過平行則損之,御陰 之道也。陰陽相錯而以損益、遲疾為名。新曆以一萬 四千八百一十九為遲疾之極,而得五度八分,其數 與躔相錯,可以知合食加時之早晚也。

進朔:進朔之法,興于麟德。自後諸曆,因而立法,互有 不同。假令仲夏月朔月行極疾之時,合朔當于亥正, 若不進朔,則晨而月見東方;若從大衍,當戌初進朔, 則朔日之夕,月生于西方。新曆察朔日之餘,驗月行 徐疾,變立法率,參驗加時,常視定朔小餘:秋分後四 分法之三已上者,進一日;春分後定朔晨分差如春 分之日者,三約之,以減四分之二;定朔小餘如此數 已上者,亦進,以來日為朔。俾循環合度,月不見于朔 晨;交會無差,明必藏于朔夕。加時在于午中,則晦日 之晨同二日之夕,皆合月見;加時在于酉中,則晦日 之晨尚見,二日之夕未生;加時在于子中,則晦日之 晨不見,二日之夕以生。定晦朔,乃月見之晨夕可知; 課小餘,則加時之早晏無失。使坦然不惑,觸類而明 之。

消息數:因漏刻立名,義通晷景。麟德曆差曰屈伸率。 天晝夜者,易進退之象也。冬至一陽爻生而晷道漸 升,夜漏益減,象君子之道長,故曰息;夏至一陰爻生, 而晷道漸降,夜漏益增,象君子之道消,故曰消。表景 與陽為衝,從晦者也,故與夜漏長短。今以屈伸象太 陰之行,而刻差曰消息數。黃道去極,日行有南北,故 晷漏有長短。然景差徐疾不同者,句股使之然也。景 直晷中則差遲,與句股數齊則差急,隨北極高下,所 遇不同。其黃道去極度數與日景、漏刻、昏晚中星反 覆相求,消息用率,步日景而稽黃道,因黃道而生漏 刻,而正中星,四術旋相為中,以合九服之變,約而易 知,簡而易從。

六十四卦:十二月卦出于孟氏,七十二候原于《周書》。 後宋景業因《劉洪傳卦》,李淳風據《舊曆元圖》,皆未睹 陰陽之賾。至開元中,浮屠一行考揚子雲太玄經,錯 綜其數,索隱周公三統,紀正時訓,參其變通,著在爻 象,非深達易象,孰能造于此乎。今之所修,循一行舊 義,至于周策分率,隨數遷變。夫六十卦直常度全次 之交者,諸侯卦也;竟六日三千四百八、十六秒而大 夫受之;次九卿受之;次三公受之;次天子受之。五六 相錯,復協常月之次。凡九三應上九,則天微然以靜; 六三應上六,則地鬱然而定。九三應上六即溫,六三 應上九即寒。上爻陽者風,陰者雨。各視所直之爻,察 不刊之象,而知五等與君辟之得失、過與不及焉。七 十二候,李業興以來迄于麟德,凡七家曆,皆以雞始 乳為立春初候,東風解凍為次候,其餘以次承之。與 周書相校,二十餘日,舛訛益甚。而一行改從古義,今 亦以周書為正。

岳臺日晷:岳臺者,今京師岳臺坊,地曰浚儀,近古候 景之所。《尚書·洛誥》稱東土是也。《禮·玉人職》:土圭長尺 有五寸以致日。此即日有嘗數也。司徒職以圭正日 晷,日至之景,尺有五寸,謂之地中。此即是地土中致 日景與土圭等。然表長八尺,見于《周髀》。夫天有常運, 地有常中,曆有正象,表有定數。言日至者,明其日至 此也。景尺有五寸與圭等者,是其景晷之真效。然夏至之日尺有五寸之景,不因八尺之表將何以得。故 經見夏至日景者,明表有定數也。新曆周歲中晷長 短,皆以八尺之表測候,所得名中晷常數。交會日月, 成象于天,以辯尊卑之序。日,君道也;月,臣道也。謫食 之變,皆與人事相應。若人君修德以禳之,則或當食 而不食。故太陰有變行以避日,則不食;五星潛在日 下,為太陰禦侮而扶救,則不食;涉交數淺,或在陽曆, 日光著盛,陰氣衰微,則不食;德之休明而有小眚焉, 天為之隱,是以光微蔽之,雖交而不見食。此四者,皆 德感之所繇致也。按《大衍曆議》:開元十二年七月戊 午朔,當食。時自交阯至朔方,同日度景測候之際,晶 明無雲而不食。以曆推之,其日入交七百八十四分, 當食八分半。十三年,天正南至,東封禮畢,還次梁、宋, 史官言:十二月庚戌朔,當食。帝曰:予方修先后之職, 謫見于天,是朕之不敏,無以對揚上帝之休也。于是 徹膳素服以俟之,而卒不食。在位之臣莫不稱慶,以 謂德之動天,不俟終日。以曆推之,是月入交二度弱, 當食十五分之十三,而陽光自若,無纖毫之變,雖算 術乖舛,不宜若是。凡治曆之道,定分最微,故損益毫 釐,未得其正,則上考春秋以來日月交食之載,必有 所差。假令治曆者因開元二食變交限以從之,則所 協甚少,而差失過多。由此明之,《詩》云:此日而微,乃非 天之常數也。舊曆直求月行入交,今則先課交初所 在,然後與月行更相表裡,務通精數。

四正食差:正交如累壁,漸減則有差。在內食分多,在 外食分少;交淺則間遙,交深則相薄;所觀之地又偏, 所食之時亦別。苟非地中,皆隨所在而漸異。縱交分 正等同在南方,冬食則多,夏食乃少。假均冬夏,早晚 又殊,處南北則高,居東西則下。視有斜正,理不可均。 月在陽曆,校驗古今交食,所虧不過其半。合置四正 食差,則斜正于卯酉之間,損益于子午之位,務從親 密,以考精微。

五星立率:五星之行,亦因日而立率,以示尊卑之義。 日周四時,無所不照,君道也;星分行列宿,臣道也。陰 陽進退,于此取儀刑焉。是以當陽而進,當陰而退,皆 得其常,故加減之。古之推步,悉皆順行,至秦方有金、 火逆數。大衍曰:

木星之行與諸星稍異:商、周之際,率一百二十年而 超一次;至戰國之時,其行寖急;逮中平之後,八十四 年而超一次,自此之後,以為常率。其行也,初與日合, 一十八日行四度,乃晨見東方。而順行一百八日,計 行二十二度強,而留二十七日。乃退行四十六日半, 退行五度強,與日相朢。旋日而退,又四十六日半,退 五度強,復留二十七日。而順行一百八日,行十八度 強,乃夕伏西方。又十八日行四度,復與日合。

火星之行:初與日合,七十日行五十二度,乃晨見東 方。而順行二百八十日,計行二百一十六度半弱,而 留十一日。乃退行二十九日,退九度,與日相朢。旋日 而退,又二十九日,退九度,復留十一日。而順行二百 八十日,行一百六十四度半弱,而夕伏西方。又七十 日,行五十二度,復與日合。

土星之行:初與日合,二十一日行二度半,乃晨見東 方。順行八十四日,計行九度半強,而留三十五日。乃 退行四十九日,退三度半,與日相朢。乃旋日而退,又 四十九日,退三度少,復留三十五日。又順行八十四 日,行七度強,而夕伏西方。又二十一日,行二度半,復 與日合。

金星之行:初與日合,五十八日半行四十九度太,而 夕見西方。乃順行二百三十一日,計行二百五十一 度半,而留七日。乃退行九日,退四度半,而夕伏西方。 又六日半,退四度太,與日再合。又六日半,退四度太, 而晨見東方。又退九日,逆行四度半,而復留七日。而 復順行二百三十一日,行二百五十一度半,乃晨伏 東方。又三十八日半,行四十九度太,復與日會。 水星之行:初與日合,十五日行三十三度,乃夕見西 方。而順行三十日,計行六十六度,而留二日,乃夕伏 西方。而退十日,退八度,與日再合。又退十日,退八度, 乃晨見東方,而復留二日。又順行三十三日,行三十 三度,而晨伏東方。又十五日,行三十三度,與日復會。 一行云:五星伏見,留逆之效,表裡盈縮之行,皆係之 于時,驗之于政。小失則小變,大失則大變;事微而象 微,事章而象章。蓋皇天降譴以警悟人主。又或算者 昧于象,占者迷于數,睹五星失行,悉謂之曆舛,以數 象相參,兩喪其實。大凡校驗之道,必稽古今注記,使 上下相距,反覆相求,苟獨異常,則失行可知矣。 星行盈縮:五星差行,惟火尤甚。乃有南侵狼坐,北入 匏瓜,變化超越,獨異于常,是以日行之分,自有盈縮。 此乃天度廣狹不等,氣序升降有差,攷今升降之分, 積為盈縮之數。凡五星入氣加減,興于張子信,以後 方士各自增損,以求親密。而開元曆別為四象六爻, 均以進退,今則別立盈縮,與舊異。五星見伏:五星見伏,皆以日度為規。日度之運,既進 退不常;星行之差,亦隨而增損。是以五星見伏,先考 日度之行,今則審日行盈縮,究星躔進退,五星見伏, 率皆密近。

《舊說》:水星晨應見不見在雨水後、穀雨前,夕應見不見在處暑後、霜降前。又云,五星在卯酉南則見遲、伏早,在卯酉北則見早、伏遲,蓋天勢使之然也。

步氣朔術

演紀上元甲子歲,距治平元年甲辰,歲積七十一萬 一千七百六十,算外上驗往古,每年減一算;下算將來,每年加一算。 元法:三萬九千。

歲周:一千四百二十四萬四千五百。

朔實:一百一十五萬一千六百九十三。

歲周:三百六十五日、餘九千五百。

朔策:二十九、餘二萬六百九十三。

朢策:一十四、餘二萬九千八百四十六半。

弦策:七、餘一萬四千九百二十三、秒四半。

氣策:一十五、餘八千五百二十、秒一十五。

中盈分:一萬七千四十一、秒一十二。

朔虛分:一萬八千三百七。

閏限:一百一十一萬六千三百四十四、秒六。

歲閏:四十二萬四千一百八十四。

月閏:三萬五千三百四十八、秒一十二。

沒限:三萬四百七十九、秒三。

紀法:六十。秒母:一十八。

求天正冬至:置所求積年,以歲周乘之,為天正冬至 氣積分;滿元法除之為積日,不滿為小餘。日盈紀法 去之,不盡,命甲子,算外,即得所求年前天正冬至日 辰及餘。

求次氣:置天正冬至大、小餘,以氣策加之,即得次氣 大、小餘。

若秒盈秒母從小餘,小餘滿元法從大餘,大餘滿紀法即去之。

命大餘甲子,算外,即次氣日辰及餘餘氣累而求之。 求天正經朔:置天正冬至氣積分,滿朔實去之為積 月,不盡為閏餘;盈元法為日,不盈為餘;以減天正冬 至大、小餘,為天正經朔大、小餘。

大餘不足減,加紀法;小餘不足減,退大餘,加元法以減之。

命大餘甲子,算外,即得所求年前天正經朔日辰及 餘。

求弦朢及次朔經日:置天正經朔大、小餘,以弦策累 加之,命如前,即得弦、朢及次朔經日日辰及餘。 求沒日:置有沒之氣小餘,

二十四氣小餘在沒限已上者,為有沒之氣。

以秒母乘之其秒從之。用減七十一萬二千二百二十五, 餘以一萬二百二十五除之為沒日,不滿為餘。以沒 日加其氣大餘,命甲子,算外,即其氣沒日日辰。 求減日,置有減經朔小餘,

經朔小餘不滿朔虛分者,為有減之朔。

以三十乘之,滿朔虛分為減日,不滿為餘。以減日加 經朔大餘,命甲子,算外,即其月減日日辰。

步發斂術

候策:五、餘二千八百四十、秒五。

卦策:六、餘三千四百八、秒六。

土王策:三、餘一千七百四、秒三。

辰法:三千二百五十。

刻法:三百九十。

半辰法:一千六百二十五。

秒母:一十八。

求七十二候:各置中節大、小餘命之,為初候;以候策 加之,為次候;又加之,為末候。各命甲子,算外,即得其 候日辰。

求六十四卦:各因中氣大、小餘命之,為公卦用事日; 以卦策加之,即次卦用事日;以土王策加諸侯之卦, 得十有二節之初外卦用事日。

求五行用事日:各因四立之節大、小餘命之,即春木、 夏火、秋金、冬水首用事日;以土王策減四季中氣大、 小餘,命甲子,算外,即其月土始用事日也。

求發斂加時:各置小餘,滿辰法除之為辰數,不滿者, 刻法而一為刻,又不滿為分。命辰數從子正,算外,即 得所求加時辰時。

若以半辰之數加而命之,即得辰初後所入刻數。

求發斂去經朔:置天正經朔閏餘,以月閏累加之,即 每月閏餘;滿元法除之為閏日,不盡為小餘,即得其 月中氣去經朔日及餘秒。

其閏餘滿閏限,即為置閏,以月內無中氣為定。

求卦候去經朔:各以卦、候策及餘秒累加減之中氣前,減; 中氣後,加。即各得卦、候去經朔日及餘秒。

步日躔術

日度母:六百二十四萬。周天分:二十二億七千九百二十萬四百四十七。 周天:三百六十五度。

餘一百六十四萬四百四十七,約分二千五百六十四、秒八十二。

歲差:八萬四百四十七。

二至限:一百八十二度。

餘二萬四千二百五十,約分六千二百一十八。

一象度:九十一。

餘一萬二千一百二十五,約分三千一百九。

求朔弦朢入盈縮度:置二至限度及餘,以天正閏日 及餘減之,餘為天正經朔入縮度及餘;以弦策累加 之,滿二至限度及餘去之則盈入縮,縮入盈而互得之。即得弦、朢 及次經朔日所入盈縮度及餘。

其餘以一萬乘之,元法除之,即得約分。

求朔弦朢盈縮差及定差:各置朔、弦、朢所入盈縮度 及約分,如在象度分以下者為在初;以上者,覆減二 至限,餘為在末。置初、末度分于上,列二至于下,以上 減下,餘以下乘上,為積數;滿四千一百三十五除之 為度,不滿,退除為分,命曰盈縮差度及分。若以四百 乘積數,滿五百六十七除之,為盈縮定差。

若用立成者,以其度損益率乘度除,滿元法而一,所得,以損益其度下盈縮積,為定差度;其損益初、末分為二日者,各隨其初、末以乘除。其後皆如此例。

求定氣日:冬、夏二至,盈縮之端,以常為定。餘者以其 氣所得盈縮差度及分盈減縮加常氣日及約分,即 為其氣定日及分。

赤道宿度

斗:二十六 牛:八  女:十二 虛:十及分

危:十七  室:十六 壁:九

北方七宿九十八度餘一百六十萬四百四十七,約分二千五百六十四

奎:十六  婁:十二 胃:十四 昴:十一

畢:十七  觜:一  參:十

西方七宿八十一度。

井:三十三 鬼:三  柳:十五 星:七

張:十八  翼:十八 軫:十七

南方七宿一百一十一度。

角:十二  亢:九  氐:十五 房:五

心:五   尾:十八 箕:十一

東方七宿七十五度。

前皆赤道度,自大衍以下,以儀測定,用為常數。赤道 者,常道也,紘于天半,以格黃道。

求天正冬至赤道日度:以歲差乘所求積年,滿周天 分去之,不盡,用減周天分,餘以度母除之,一度為度, 不滿為餘。

餘以一萬乘之,度母退除為約分。

命起赤道虛宿六度去之,至不滿宿,即所求年天正 冬至加時赤道日躔所在宿度及分。

求夏至赤道加時日度:置天正冬至加時赤道日度, 以二至限度及分加之,滿赤道宿度去之,即得夏至 加時赤道日度。

若求二至昏後夜半赤道日度者,各以二至之日約餘減一萬分,餘以加二至加時赤道日度,即為二至初日昏後夜半赤道日度,每日加一度,滿赤道宿度去之,即得每日昏後夜半赤道日度。

求赤道宿積度:置冬至加時赤道宿全度,以冬至赤 道加時日度減之,餘為距後度及分;以赤道宿度累 加之,即各得赤道其宿積度及分。

求赤道宿積度入初末限,各置赤道宿積度及分,滿 九十一度三十一分去之,餘在四十五度六十五分 半以下分以日為母。為在初限;以上者,用減九十一度三 十一分,餘為入末限度及分。

求二十八宿黃道度:各置赤道宿入初、末限度及分, 用減一百一十一度三十七分,餘以乘初、末限度及 分,進一位,以一萬約之,所得,命曰黃赤道差度及分; 在至後、分前減,在分後、至前加,皆加減赤道宿積度 及分,為其宿黃道積度及分;以前宿黃道積度減其 宿黃道積度,為其宿黃道及分其分就近為太、半、少

黃道宿度

斗:二十三牛:七  女:十一 虛:十少、秒六十四 危:十七 室:十七 壁:九

北方七宿九十七度半秒六十四

奎:十七 婁:十二 胃:十四 昴:十 畢:十六    觜:一     參:九

西方七宿八十一度。

井:三十    鬼:二  柳:十四 星:七 張:十八 翼:十九 軫:十八

南方七宿一百一十一度。

角:十三    亢:九  氐:十五 房:五 心:四     尾:十七    箕:十

東方七宿七十四度

七曜循此黃道宿度,準今曆變定。若上考往古,下驗將來,當據歲差,每移一度,乃依法變從當時宿度,然 後可步日、月、五星,知其守犯。

求天正冬至加時黃道日度:以冬至加時赤道日度 及分,減一百一十一度三十七分,餘以冬至加時赤 道日度及分乘之,進一位,滿一萬約之為度;不滿為 分,命曰赤道差;用減冬至赤道日度及分,即為所求 年天正冬至,加時黃道日度及分。

求冬至之日晨前夜半日度:置一萬分,以其日升分 加之,以乘冬至約餘,以一萬約之,所得,以減冬至加 時黃道日度,即為冬至之日晨前夜半黃道日度及 分。

求逐月定朔之日晨前夜半黃道日度:置其朔距冬 至日數,以其度下盈縮積度盈加縮減之,餘以加天 正冬至夜半日度,命之,即其月定朔之日晨前夜半 日躔所在宿次。

求每日夜半黃道日度:各置其定朔之日晨前夜半 黃道日度,每日加一度,以其日升降分升加降減之, 滿黃道宿度去之,即各得每日晨前夜半黃道日躔 所在宿度及分。

若次年冬至小餘滿法者,以升分極數加之。

步晷漏術

二至限:一百八十一日六十二分。

一象度:九十一度三十一分。

消息法:一萬六百八十九。

辰法:三千二百五十。

刻法:三百九十。

半辰法:一千六百二十五。

昏明刻分:九百七十五。

昏明:二刻一百九十五分。

冬至岳臺晷景常數:一丈二尺八寸五分。

夏至岳臺晷景常數:一尺五寸七分。

冬至後初限、夏至後末限:四十五日六十二分。 夏至後初限、冬至後末限:一百三十七日。

求岳臺晷景入二至後日數:計入二至後來日數,以 二至約餘減之,仍加半日之分,即為入二至後來日 午中積數及分。

求岳臺晷景午中定數:置所求午中積數,加初限以 下者為在初;以上者,覆減二至限,餘為在末。其在冬 至後初限、夏至後末限者,以入限日減一千九百三 十七半,為汎差;仍以入限日分乘其日盈縮積盈縮積在 日度術中。五因百約之,用減汎差,為定差;乃以入限日分 自相乘,以乘定差,滿一百萬為尺,不滿為寸、為分及 小分,以減冬至常晷,餘為其日午中晷景定數。若所 求入冬至後末限、夏至後初限者,乃三約入限日分, 以減四百八十五少,餘為汎差;仍以盈縮差減極數, 餘者若在春分後、秋分前者,直以四約之,以加汎差, 為定差;若春分前、秋分後者,以去二分日數及分乘 之,滿六百而一,以減汎差,餘為定差;乃以入限日分 自相乘,以乘定差,滿一百萬為尺,不滿為寸、為分及 小分,以加夏至常晷,即為其日午中晷景定數。 求每日消息定數:置所求日中日度分,如在二至限 以下者為在息;以上者去之,餘為在消。又視入消息 度加一象以下者為在初;以上者,覆減二至限,餘為 在末。其初、末度自相乘,以一萬乘而再折之,滿消息 法除之,為常數。乃副之,用減一千九百五十,餘以乘 其副,滿八千六百五十除之,所得以加常數,為所求 消息定數。

求每日黃道去極度及赤道內外度:置其日消息定 數,以四因之,滿三百二十五除之為度,不滿,退除為 分,所得,在春分後加六十七度三十一分,在秋分後 減一百一十五度三十一分,即為所求日黃道去極 度及分。以黃道去極度與一象度相減,餘為赤道內、 外度。若去極度少,為日在赤道內;若去極度多,為日 在赤道外。

求每日晨昏分及日出入分:以其日消息定數,春分 後加六千八百二十五,秋分後減一萬七百二十五, 餘為所求日晨分;用減元法,餘為昏分。以昏明分加 晨分,為日出分;減昏分,為日入分。

求每日距中距子度及每更差度:置其日晨分,以七 百乘之,滿七萬四千七百四十二除為度,不滿,退除 為分,命曰距子度;用減半周天,餘為距中度。

若倍距子度,五除之,即為每更差度及分。若依司晨星漏曆,則倍距子度,減去待旦三十六度五十二分半,餘以五約之,即每更差度。

求每日夜半定漏:置其日晨分,以刻法除之為刻,不 滿為分,即所求日夜半定漏。

求每日晝夜刻及日出入晨刻:倍夜半定漏,加五刻, 為定刻。用減一百刻,餘為晝刻。以昏明刻加夜半定 漏,滿辰法除之為辰數,不滿,刻法除之為刻,又不滿, 為刻分。命辰數從子正,算外,即日出辰刻;以晝刻加 之,命如前,即日入辰刻。

若以半辰刻加之,即命從辰初也。

求更點辰刻:倍夜半定漏,二十五而一,為點差刻;五 因之,為更差刻。以昏明刻加日入辰刻,即甲夜辰刻; 以更點差刻累加之,滿辰刻及分去之,各得更點所 入辰刻及分。

若同司辰星漏曆者,倍夜半定漏,減去待旦一十刻,餘依術求之,即同內中更點。

求昏曉及五更中星:置距中度,以其日昏後夜半赤 道日度加而命之,即其日昏中星所格宿次,其昏中 星便為初更中星;以每更差度加而命之,即乙夜所 格中星;累加之,得逐更中星所格宿次。又倍距子度, 加昏中星命之,即曉中星所格宿次。

若同司辰星漏曆中星,則倍距子度,減去待旦十刻之度三十六度五十二分半,餘約之為五更,即同內中更點中星。

求九服距差日:各于所在立表候之,若地在岳臺北, 測冬至後與岳臺冬至晷景同者,累冬至後至其日, 為距差日;若地在岳臺南,測夏至後與岳臺晷景同 者,累夏至後至其日,為距差日。

求九服晷景:若地在岳臺北冬至前後者,以冬至前 後日數減距差日,為餘日;以餘日減一千九百三十 七半,為汎差;依前術求之,以加岳臺冬至晷景常數, 為其地其日中晷常數。若冬至前後日多以距差日, 乃減去距差日,餘依前術求之,即得其地其日中晷 常數。若地在岳臺南夏至前後者,以夏至前後日數 減距差日,為餘日;乃三約之,以減四百八十五少,為 汎差;依前術求之,以減岳臺夏至晷景常數,即其地 其日中晷常數。如夏至前後日數多于距差日,乃減 岳臺夏至常晷,餘即晷在表南也。若夏至前後日多 于距差日,即減去距差日,餘依前術求之,各得其地 其日中晷常數。

若求定數,依立成以求午中晷景定數。

求九服所在晝夜漏刻:冬、夏二至各于所在下水漏, 以定其地二至夜刻,乃相減,餘為冬、夏至差刻。置岳 臺其日消息定數,以其地二至差刻乘之,如岳臺二 至差刻二十而一,所得,為其地其日消息定數。乃倍 消息定數,滿刻法約之為刻,不滿為分,乃加減其地 二至夜刻,

秋分後、春分前,減冬至夜刻;春分後、秋分前,加夏至夜刻。

為其地其日夜刻;用減一百刻,餘為晝刻。

其日出入辰刻及距中度五更中星,並依前術求之。

步月離術

轉度母:八千一百一十二萬。

轉終分:二百九十八億八千二百二十四萬二千二 百五十一。

朔差:二十一億四千二百八十八萬七千。

朔差:二十六度餘三千三百七十六萬七千,約餘四千一百六十二半。 轉法:一十億八千四百四十七萬三千。

會周:三百二十億二千五百一十二萬九千二百五 十一。

轉終:三百六十八度餘三十八萬二千二百五十一,約餘二千七百八。 轉終:二十七日餘六億一百四十七萬一千二百五十一,約餘五千五百四十六。 中度:一百八十四度餘一千五百四萬一千一百一十五半,約餘一千八百五十四。 象度:九十二度餘七百五十二萬五百六十二太,約分九百二十七。 月平行:十三度餘二千九百九十一萬三千,約分三千六百八十七半。 朢差:一百九十七度餘三千一百九十二萬四千百二十五半,約分三千九百 十四

弦差:九十八度餘五千六百五十二萬二千三百一十二太,約分六千九百六十七。 日衰:一十八、小分九。

求月行入轉度:以朔差乘所求積月,滿轉中分去之, 不盡為轉餘。滿轉度母除為度,不滿為餘,

其餘若以一萬乘之,滿轉度母除之,即得約分;若以轉法除轉餘,即為入轉日及餘。

即得所求月加時入轉度及餘。

若以弦度及餘累加之,即得上弦、朢、下弦及後朔加時入轉度及分;其度若滿轉終度及餘去之。

其入轉度如在中度以下為月行在疾曆;如在中度 以上者,乃減去中度及餘,為月入遲曆。

求月行遲疾差度及定差:置所求月行入遲速度,如 在象度以下為在初。以上,覆減中度,餘為在末其度餘用 約分百為母。置初、末度于上,列二百一度九分于下,以上 減下,餘以下乘上,為積數;滿一千九百七十六除為 度,不滿,退除為分,命曰遲疾差度在疾為減,在遲為加。以一萬 乘積數,滿六千七百七十三半除之,為遲疾定差。

疾加、遲減,若用立成者,以其度下損益率乘度餘,滿轉度母而一,所得,隨其損益,即得遲疾及定差。其遲疾、初末損益分為二日者,各加其初、末以乘除。

求朔弦朢所直度下月行定分:置遲疾所入初、末度 分,進一位,滿七百三十九除之,用減一百二十七,餘為衰差。以衰差疾初遲末減、遲初疾末加,皆加減平 行度分,為其度所直月行定分其度以百命為分。 求朔弦朢定日:各以日躔盈縮、月行遲疾定差加減 經朔、弦、朢小餘,滿若不足,進退大餘,命甲子,算外,各 得定日日辰及餘。若定朔干名與後朔干名同者月 大,不同月小,月內無中氣者為閏月。

凡注曆,觀定朔小餘,秋分後四分之三已上者,進一日;若春分後,其定朔晨分差如春分之日者,三約之,以減四分之三;如定朔小餘及此數已上者,進一日;朔或當交有食,初虧在日入已前者,其朔不進。弦、朢定小餘不滿日出分者,退一日;其朢或當交有食,初虧在日出已前,其定朢小餘雖滿日出分者,亦退之。又月行九道遲疾,曆有三大二小;日行盈縮累增損之,則有四大三小,理數然也。若循其常,則當察加時早晚,隨其所近而進退之,使月之大小不過連三。舊說,正月朔有交,必須消息前後一兩月,移食在晦、二之日。且日食當朔,月食當朢,蓋自然之理。夫日之食,蓋天之垂誡,警悟時政,若道化得中,則變咎為祥。國家務以至公理天下,不可私移晦朔,宜順天誡。故春秋傳書日食,乃糾正其朔,不可專移食于晦、二。其正月朔有交,一從近典,不可移避。

求朔定弦朢加時日度:置朔、弦、朢中日及約分,以日 躔盈縮度及分盈加縮減之,又以元法退除遲疾定 差,疾加遲減之,餘為其朔、弦、朢加時定日。以天正冬 至加時黃道日度加而命之,即所求朔、弦、朢加時定 日所在宿次朔、朢有交,則依後術

求月行九道:凡合朔所交,冬在陰曆,夏在陽曆,月行 青道。

冬至、夏至後,青道半交在春分之宿,當黃道東。立夏、立冬後,青道半交在立春之宿,當黃道東南;至所衝之宿亦如之。

冬在陽曆,夏在陰曆,月行白道。

冬至、夏至後,白道半交在秋分之宿,當黃道西;立冬、立夏後,白道半交在立秋之宿,當黃道西北;至所衝之宿亦如之。

春在陽曆,秋在陰曆,月行朱道。

春分、秋分後,朱道半交在夏至之宿,當黃道南;立春、立秋後,朱道半交在立夏之宿,當黃道西南:至所衝之宿亦如之。

春在陰曆,秋在陽曆,月行黑道。

春分、秋分後,黑道半交冬至之宿,當黃道正北。立春、立秋後,黑道半交在立冬之宿,當黃道東北;至所衝之宿亦如之。

四序離為八節,至陰陽之所交,皆與黃道相會,故月 行九道。各視月所入正交積度視正交九道宿度所入節候,即其道、其節 所起。滿象度及分去之餘入交積度及象度並在交會術中。若在半 象以下為在初限。以上,覆減象度及分,為在末限。用減 一百一十一度三十七分,餘以所入初、末限度及分 乘之,退位,半之,滿百為度,不滿為分,所得為月行與 黃道差數。距半交後、正交前,以差數減;距正交後、半 交前,以差數加。

此加減出入六度,單與黃道相較之數,若較之赤道,隨數遷變不常。

計去二至以來度數,乘黃道所差,九十而一,為月行 與黃道差數。凡日以赤道內為陰,外為陽;月以黃道 內為陰,外為陽。故月行宿度,入春分交後行陰曆,秋 分交後行陽曆,皆為同名;若入春分交後行陽曆,秋 分交後行陰曆,皆為異名。其在同名,以差數加者加 之,減者減之;其在異名,以差數加者減之,減者加之。 皆加減黃道宿積度,為九道宿積度;以前宿九道宿 積度減其宿九道宿積度,餘為其宿九道宿度及分 其分就近約為太、半、少三數

求月行九道入交度:置其朔加時定日度,以其朔交 初度及分減之,餘為其朔加時月行入交度及餘其餘 以一萬乘之,以元法退除之,即為約餘。以天正冬至加時黃道日度加 而命之,即正交月離所在黃道宿度。

求正交加時月離九道宿度:以正交度及分減一百 一十一度三十七分,餘以正交度及分乘之,退一等, 半之,滿百為度,不滿為分,所得,命曰定差。以定差加 黃道宿度,計去冬、夏至以來度數,乘定差,九十而一, 所得,依同異名加減之,滿若不足,進退其度,命如前, 即正交加時月離九道宿度及分。

求定朔弦朢加時月離所在宿度:各置其日加時日 躔所在,變從九道,循次相加。凡合朔加時,月行潛在 日下,與太陽同度,是為加時月離宿次。

先置朔、弦、朢加時黃道宿度,以正交加時黃道宿度減之,餘以加其正交加時九道宿度,命起正交宿次,算外,即朔、弦、朢加時所當九道宿度。其合朔加時若非正近,則日在黃道、月在九道各入宿度,雖多少不同,考其去極,若應繩準。故云月行潛在

日下,與太陽同度。

各以弦、朢度及分如其所當九道宿度,滿宿次去之, 各得加時九道月離宿次。

求定朔夜半入轉:以所求經朔小餘減其朔加時入 轉日餘其經朔小餘,以二萬七千八百七乘之,即母轉法。為其經朔夜半入 轉。若定朔大餘有進退者,亦進退轉日,無進退則因 經為定其餘以轉法退收之,即為約分

求次月定朔夜半入轉:因定朔夜半入轉,大月加二 日,小月加一日,餘、分皆加四千四百五十四,滿轉終 日及約分去之,即次月定朔夜半入轉;累加一日,去 命如前,各得逐日夜半入轉日及分。

求定朔弦朢夜半月度:各置加時小餘若非朔、朢有交者:有用定 朔、弦、朢小餘。以其日月行度分乘之,滿元法而一為度,不 滿,退除為分,命曰加時度。以減其日加時月度,即各 得所求夜半月度。

求晨昏月:以晨昏乘其日月行定分,元法而一,為晨 度;用減月行定分,餘為昏度。各以晨昏度加夜半月 度,即所求晨昏月所在宿度。

求朔弦朢晨昏定程:各以其朔昏定月減上弦昏定 月,餘為朔後昏定程;以上弦昏定月減朢昏定月,餘 為上弦後昏定程;以朢晨定月減下弦晨定月,餘為 朢後晨定程;以下弦晨定月減次朔晨定月,餘為下 弦後晨定程。

求轉積度:計四七日月行定分,以日衰加減之,為逐 日月行定程;乃自所入日計求定之,為其程轉積度 分。

其四七日月行定分者,初日益遲一千二百一十,七日漸疾一千三百四十一,十四日損疾一千四百六十一,二十一日漸遲一千三百二十八,乃觀其遲疾之極差而損益之,以百為分母。

求每日晨昏月:以轉積度與晨昏定程相減,餘以距 後程日數除之,為日差定程多為加,定程少為減。以加減每日月 行定分,為每日轉定度及分。以每日轉定度及分加 朔、弦、朢晨昏月,滿九道宿次去之,即為每日晨、昏月 離所在宿度及分凡注曆,朔後注昏,朢後注晨。已前月度,並依九 道所推,以究算術之精微。若注曆求其速要者,即依 後術以推黃道月度。

求天正十一月定朔夜半平行月:以天正經朔小餘乘 平行度分,元法而一為度,不滿,退除為分秒,所得,為 經朔加時度。用減其朔中日,即經朔晨前夜半平行 月積度若定朔有進退,以平行度分加減之。即為天正十一月定朔之 日晨前夜半平行月積度及分。

求次月定朔之日夜半平行月:置天正定朔之日夜 半平行月,大月加三十五度八十分六十一秒,小月 加二十二度四十三分七十三秒半,滿周天度分即 去之,即每月定朔之晨前夜半平行月積度及分秒。 求定弦朢夜半平行月、計弦、朢距定朔日數,以乘平 行度及分秒,以加其定朔夜半平行月積度及分秒, 即定弦、朢之日夜半平行月積度及分秒亦可直求朔朢,不復 求度,從簡易也

求天正定朔夜半入轉度:置天正經朔小餘,以平行 月度及分乘之,滿元法除為度,不滿,退除為分秒,命 為加時度;以減天正十一月經朔加時入轉度及約 分,餘為天正十一月經朔夜半入轉度及分。若定朔 大餘有進退者,亦進退平行度分,即為天正十一月 定朔之日晨前夜半入轉度及分秒。

求次月定朔及弦朢夜半入轉度:因天正十一月定 朔夜半入轉度分,大月加三十二度六十九分一十 七秒,小月加十九度三十二分二十九秒半,即各得 次月定朔夜半入轉度及分。各以朔、弦、朢相距日數 乘平行度分以加之,滿轉終度及秒即去之,如在中 度以下者為在疾;以上者去之,餘為入遲曆,即各得 次朔、弦、朢定日晨前夜半入轉度及分。

若以平行月度及分收之,即為定朔、弦、朢入轉日。

求定朔弦朢夜半定月:以定朔、弦、朢夜半入轉度分 乘其度損益衰,以一萬約之為分,百約之為秒,損益 其度下遲疾度,為遲疾定度。乃以遲加疾減夜半平 行月,為朔、弦、朢夜半定月積度。以冬至加時黃道日 度加而命之,即定朔、弦、朢夜半月離所在宿次。

若有求晨昏月,以其日晨昏分乘其日月行定分,元法而一,所得為晨昏度;以加其夜半定月,即得朔、弦、朢晨昏月度。

求朔弦朢定程:各以朔、弦、朢定月相減,餘為定程。

若求晨昏定程,則用晨昏定月相減,朔後用昏,朢後用晨。

求朔弦朢轉積度分:計四七日月行定分,以日衰加 減之,為逐日月行定分;乃自所入日計之,為其程轉 積度分。

其四七日月行定分者,初日益遲一千二百一十,七日漸疾一千三百四十一,十四日損疾一千四百六十一,二十一日漸遲一千三百二十八,乃視

其遲疾之極差而損益之,分以百為母。

求每日月離宿次:各以其朔、弦、朢定程與轉積度相 減,餘為程差。以距後程日數除之,為日差定程多為益差,定程 少為損差。以日差加減月行定分。為每日月行定分;以每 日月行定分累加定朔、弦、朢夜半月在宿次,命之,即 每日晨前夜半月離宿次如晨昏宿次,即得每日晨昏月度

步交會術

交度母:六百二十四萬。

周天分:二十二億七千九百二十萬四百四十七。 朔差:九百九十萬一千一百五十九。

朔差:一度、餘三百六十六萬一千一百五十九。 朢差:空度、餘四百九十五萬五百七十九半。

半周天:一百八十二度餘三百九十二萬二百二十三半,約分六千二百八十二。 日食限:一千四百六十四。

月食限:一千三百三十八。

盈初限縮末限:六十度八十七分半。

縮初限盈末限:一百二十一度七十五分。

求交初度:置所求積月,以朔差乘之,滿周天分去之, 不盡,覆減周天分,滿交度母除之為度,不滿為餘,即 得所求月交初度及餘;以半周天加之,滿周天去之, 餘為交中度及餘。

若以朢差減之,即得其月朢交初度及餘;以朔差減之,即得次月交初度及餘;以交度母退除,即得餘分。若以天正黃道日度加而命之,即各得交初、中所在宿度及分。

求日月食甚小餘及加時辰刻:以其朔、朢月行遲疾 定差疾加遲減經朔朢小餘,

若不足減者,退大餘一,加元法以減之;若加之滿法者,但積其數。

以一千三百三十七乘之,滿其度所直月行定分除 之,為月行差數;乃以日躔盈定差盈加縮減之,餘為 其朔、朢食甚小餘。

凡加減滿者不足,進退其日,此朔朢加時以究月行遲疾之數,若非有交會,直以經定小餘為定。

置之,如前發斂加時術入之,即各得日、月食甚所在 晨刻。

視食甚小餘,如半法以下者,覆減半法,餘為午前分;半法已上者,減去半法,餘為午後分。

求朔朢加時日月度:以其朔、朢加時小餘與經朔朢 小餘相減,餘以元法退收之,以加減其朔、朢中日及 約分經朔朢少,加;經朔朢多,減。為其朔、朢加時中日。乃以所入日 昇降分乘所入日約分,以一萬約之,所得,隨以損益 其日下盈縮積,為盈縮定度;以盈加縮減加時中日, 為其朔、朢加時定日;朢則更加半周天,為加時定月; 以天正冬至加時黃道日度加而命之,即得所求朔、 朢加時日月所在宿度及分。

求朔朢日月加時去交度分:置朔朢日月加時定度 與交初、交中度相減,餘為去交度分就近者相減之,其度以百通之 為分。加時度多為後,少為前,即得其朔朢去交前、後分。

交初後、交中前,為月行外道陽曆;交中後、交初前,為月行內道陰曆。

求日食四正食差定數:置其朔加時定日,如半周天 以下者為在盈。以上者去之,餘為在縮。視之,如在初 限以下者為在初。以上者,覆減二至限,餘為在末。置 初、末限度及分盈初限、縮末限者倍之。置于上位,列二百四十 三度半于下,以上減下,餘以下乘上,以一百六乘之, 滿三千九十三除之,為東西食差汎數。凡減五百八, 餘為南北食差汎數。其求南北食差定數者,乃視午 前、後分,如四分法之一以下者覆減之,餘以乘汎數。 若以上者即去之,餘以乘汎數,皆滿九千七百五十 除之,為南北食差定數。盈初縮末限者,

食甚在卯酉以南,內減外加;食甚在卯酉以北,內加外減。

縮初盈末限者,

食甚在卯酉以南,內加外減;食甚在卯酉以北,內減外加。

其求東西食差定數者,乃視午前、後分,如四分法之 一以下者以乘汎數;以上者,覆減半法,餘乘汎數,皆 滿九千七百五十除之,為東西食差定數。盈初末限 者,

食甚在子午以東,內減外加;食甚在子午以西,內加外減。

縮初末限者,

食甚在子午以東,內加外減;食甚在子午以西,內減外加。

即得其朔四正食差加減定數。

求日月食去交定分:視其朔四正食差,加減定數,同 名相從,異名相消,餘為食差加減總數;以加減去交 分,餘為日食去交定分。

其去交定分不足減、乃覆減食差總數、若陽曆覆減入陰曆,為入食限;若陰曆覆減入陽曆,為不入

食限。凡加之滿食限已上者,亦不入食限。

其朢食者,以其朢去交分便為其朢月食去交定分。 求日月食分:日食者,視去交定分,如食限三之一以 下者倍之,類同陽曆食分。以上者,覆減食限,餘為陰 曆食分。皆進一位,滿九百七十六除為大分,不滿,退 除為小分,命十為限,即日食之大、小分。月食者,視去 交定分,如食限三之一以下者,食既;以上者,覆減食 限。餘進一位,滿八百九十二除之為大分,不滿,退除 為小分,命十為限,即月食之大、小分。

其食不滿大分者,雖交而數淺,或不見食也。

求日食汎用刻分:置陰、陽曆食分于上,列一千九百 五十二于下,以上減下,餘以乘上,滿二百七十一除 之,為日食汎用刻、分。

求月食汎用刻分:置去交定分,自相乘,交初以四百 五十九除,交中以五百四十除之,所得,交初以減三 千九百,交中以減三千三百一十五,餘為月食汎用 刻、分。

求日月食定用刻分:置日月食汎用刻、分以一千三 百三十七乘之,以所直度下月行定分除之,所得為 日月食定用刻、分。

求日月食虧初復滿時刻:以定用刻分減食甚小餘, 為虧初小餘;加食甚,為復滿小餘;各滿辰法為辰數, 不盡,滿刻法除之為刻數,不滿為分。命辰數從子正, 算外,即得虧初、復末辰、刻及分若以辛辰數加之,即命從時初也。 求日月食初虧復滿方位:其日食在陽曆者,初食西 南,甚于正南,復于東南;日在陰曆者,初食西北,甚于 正北,復于東北。其食過八分者,皆初食正西,復于正 東。其月食者,月在陰曆,初食東南,甚于正南,復于西 南;月在陽曆,初食東北,甚于正北,復于西北。其食八 分已上者,皆初食正東,復于正西。

此皆審其食甚所向,據午正而論之,其食餘方審其斜正,則初虧、復滿乃可知矣。

求月食更點定法:倍其朢晨分,五而一,為更法;又五 而一,為點法。

若依司晨星注曆,同內中更點,則倍晨分,減去待旦十刻之分,餘,五而一,為更法;又五而一,為點法。

求月食入更點:各置初虧、食甚、復滿小餘,如在晨分 以下者加晨分,如在昏分以上者減去昏分,餘以更 法除之為更數,不滿,以點法除之為點數。其更數命 初更,算外,即各得所入更、點。

求月食既內外刻分:置月食去交分,覆減食限三之 一不及減者為食不既。餘列于上位;乃列三之二于下,以上減 下,餘以下乘上,以一百七十除之,所得,以定用刻分 乘之,滿汎用刻分除之,為月食既內刻分;用減定用 刻分,餘為既外刻、分。

求日月帶食出入所見分數:視食甚小餘在日出分 以下者,為月見食甚、日不見食甚;以日出分減復滿 小餘,若食甚小餘在日出分已上者,為日見食甚、月 不見食甚;以初虧小餘減日出分,各為帶食差;

若月食既者,以既內刻分減帶食差,餘乘所食分,既外刻分而一,不及減者,即帶食既出入也。

以乘所食之分,滿定用刻分而一,即各為日帶食出、 月帶食入所見之分。

凡虧初小餘多如日出分為在晝,復滿小餘多如日出分為在夜,不帶食出入也。

若食甚小餘在日入分以下者,為日見食甚、月不見 食甚;以日入分減復滿小餘,若食甚小餘在日入分 已上者,為月見食甚、日不見食甚;以初虧小餘減日 入分,各為帶食差;

若月食既者,以既內刻分減帶食差,餘乘所差分,既外刻分而一,不及減者,既帶食既出入也。

以乘所食之分,滿定用刻分而一,即各為日帶食入、 月帶食出所見之分。

凡虧初小餘多如日入分為在夜,復滿小餘少如日入分為在晝,並不帶食出入也。

步五星術

木星

終率:一千五百五十五萬六千五百四。

終日:三百九十八日餘三萬四千五百四,約分八千八百四十七。 曆差:六萬一千七百五十。

見伏常度:一十四度。

變段變日        變度      曆度 前二十八日       四度      二度九十二 前二三十六日      七度四十七 五度四十六 前三三十六日      六度四十  四度六十八 前四三十六日      四度二十七 三度一十二 前留二十七日

前退四十六日四十四 五度二十二 空度六十四 後退四十六日四十四 五度三十二 空度六十四 後留二十七日

後四三十六日      四度二十七 三度一十二後三三十六日      六度四十  四度六十八 後二三十六日      七度四十七 五度四十六 後二十八日       四度      二度九十二

初行率

前二二十一六十四

前二二十一六十四

前三一十九五十五

前四一十五四十二

前留

前退

後退一十四八十九

後留

後四

後三一十五九十九

後二一十九八十六

後二二十一八十

火星

終率:三千四十一萬七千五百三十六。

終日:七百七十九日餘三萬六千五百三十六,約分九千三百六十八。 曆差:六萬一千二百四十。

見伏常度:一十八度。

變段變日        變度

前一七十日       五十二度三十三 前二七十日       五十度三十三 前三七十日       四十六度九十七 前四七十日       四十度二十六 前五七十日       二十六度八十四 前留一十一日

前退二十八日九十七 九度

後退二十八日九十七 九度

後留一十一日

後五七十日       二十六度八十四 後四七十日       四十度二十六 後三七十日       四十六度九十七 後二七十日       五十度三十三 後一七十日       五十二度

曆度        初行率

前一四十九度二十九 七十五

前二四十七度七十  七十三三十三

前三四十四度五十二 六十九九十八

前四三十八度一十六 六十三六十六

前五一十五度四十四 四十七二十二

前留

前退二度二十四

後退二度二十四   四十六十四

後留

後五二十五度四十四

後四三十八度一十六 五十一度三十六

後三四十四度五十二 六十四二十二

後二四十七度七十  七十四十六

後一四十九度二十九 七十三五十六

土星

終率:一千四百七十四萬五千四百四十六。

終日:三百七十八餘三千四百四十六,約分八百八十三。 曆差:六萬一千三百五十。

見伏常度:一十八度半。

變段變日        變度      曆度 前一二十一日      二度五十  一度五十四 前二四十二日      四度二十九 二度六十四 前三四十二日      二度八十六 一度七十六 前留三十五日

前退四十九日   三度二十三 空度四十八 後退四十九日   三度二十三 空度四十八 後留三十五日

後三四十二日      二度八十六 一度七十六 後二四十二日      四度二十九 二度六十四 後一二十一日      二度五十  一度五十四

初行率

前一一十四四十一

前二一十一二十三

前三八八十五

前留

前退

後退八五十七

後留

後三

後二九一十八

後一一十一三十九

金星

終率:二千二百七十七萬二千一百九十六。

終日:五百八十三日餘三萬五千一百九十六,約分九千二十四見伏常度:一十一度少。

變段變日       變度

前一三十八日五十 四十九度七十五

前二三十八日五十 四十九度三十七

前三三十八日五十 四十八度五十九

前四三十八日五十 四十七度

前五三十八日五十 四十三度九十九

前六三十八日五十 四十七度六十二

前七三十八日五十 三十五度

夕留七日

夕退八日九十五  四度六十二

夕伏退六日五十  四度七十五

晨伏退六日五十  四度七十五

晨退八日九十五  四度六十二

晨留七日

後七三十八日五十 三十五度

後六三十八日五十 三十七度六十二

後五三十八日五十 四十三度八十九

後四三十八日五十 四十七度

後三三十八日五十 四十八度五十九

後二三十八日五十 四十九度三十七

後一三十八日五十 四十九度七十五

初行率

前一一百二十九五十二

前二一百二十八八十三

前三一百二十六四十三

前四一百二十四五十七

前五一百一十八八十八

前六一百七四十八

前七八十四六十八

夕留

夕退

夕伏退六十二二十

晨伏退八十三九十四

晨退六十二二十

晨留

後七

後六八十七九十四

後五一百九一十二

後四一百一十九九十九

後三一百二十四九十九

後二一百二十七六十三

後一一百二十八九十二

水星

終率:四百五十一萬九千一百八十四改九千一百九十四。 終日:一百一十五日餘三萬四千一百八十四,約分八千七百六十五。 見伏常度:一十八度。

變段變日       變度    初行率 前二十五日      三十三度  二百四十七五十 前二三十日      三十三度  一百七十六 前留三日

夕伏退九日九十四 八度

晨伏退九日九十四 八度 一百三十六七十二 後留三日

後二三十日      三十三度

後一一十五日     三十三度  一百九十二五十 求五星天正冬至後諸段中積中星:置氣積分,各以 其星終率去之,不盡,覆減終率,餘滿元法為日,不滿, 退除為分,即天正冬至後其星平合中積。重列之為 中星,因命為前一段之初,以諸段變日、變度累加減 之,即為諸段中星變日加減中積,變度加減中星。 求木火土三星入曆:以其星曆差乘積年,滿周天分 去之,不盡,以度母除之為度,不滿,退除為分,命曰差 度;以減其星平合中星,即為平合入曆度分;以其星其 段曆度加之,滿周天度分即去之,各得其星其段入 曆度分。

金、水附日而行,更不求曆差。其木、火、土三星前變為晨,後變為夕。金、水二星前變為夕,後變為晨。

求木火土三星諸段盈縮定差:木、土二星,置其星其 段入曆度分,如半周天以下者為在盈。以上者,減去 半周天,餘為在縮。置盈縮度分,如在一象以下者為 在初限。以上者,覆減半周天,餘為在末限。置初、末限 度及分于上,列半周天于下,以上減下,以下乘上木進 一位,土九因之。皆滿百為分,分滿百為度,命曰盈縮定差。其 火星,置盈縮度分,如在初限以下者為在初。以上者, 覆減半周天,餘為在末。

以四十五度六十五分半為盈初、縮末限度,以一百三十六度九十六分半為縮初、盈末限度分。

置初、末限度于上盈初、縮末三因之。列二百七十三度九十 三分于下,以上減下,餘以下乘上,以一十二乘之,滿 百為度,不滿,百約為分,命曰盈縮定差。

若用立成法,以其度下損益率乘度下約分,滿百者,以損益其度下盈縮差度為盈縮定差,若在留退段者,即在盈縮汎差。

求木火土三星留退差:置後退、後留盈縮汎差,各列 其星盈縮極度于下,

木極度,八度三十三分;火極度,二十二度五十一分;土極度,七度五十分。

以上減下,餘以下乘上水、土三因之,火倍之。皆滿百為度,命曰 留退差後退初半之,後留全用。其留退差,在盈益減損加、在縮 損減益加其段盈縮汎差,為後退、後留定差。

因為後遲初段定差,各須類會前留定差,觀其盈縮,察其降差也。

求五星諸段定積:各置其星其段中積,以其段盈縮 定差盈加縮減之,即其星其段定積及分;以天正冬 至大餘及約分加之,滿紀法去之,不盡,命甲子,算外, 即得日辰。

其五星合見、伏,即為推算段定日;後求見、伏合定日,即曆注其日。

求五星諸段所在月日:各置諸段定積,以天正閏日 及約分加之,滿朔策及分去之,為月數;不滿,為入月 以來日數及分。其月數命從天正十一月,算外,即其 星其段入其月經朔日數及分。

定朔有進退者,亦進退其日,以日辰為定。若以氣策及約分去定積,命從冬至,算外,即得其段入氣日及分。

求五星諸段加時定星:各置其星其段中星,以其段 盈縮定差盈加縮減之,即五星諸段定星。若以天正 冬至加時黃道日度加而命之,即其段加時定星所 在宿次五星皆以前留為前退初定星,後留為後順初定星。 求五星諸段初日晨前夜半定星:木、火、土三星,以其 星其段盈縮定差與次度下盈縮定差相減,餘為其 度損益差;以乘其段初行率,一百約之,所得,以加減 其段初行率在盈,益加損減;在縮,益減損加。以一百乘之,為初行積 分;又置一百分,亦依其數加減之,以除初行積分,為 初日定行分。以乘其段初日約分,以一百約之,順減 退加其段定星,為其段初日晨前夜半定星;以天正 冬至加時黃道日度加而命之,即得所求金、水二星,直以初行 率便為初日定行分

求太陽盈縮度:各置其段定積,如二至限以下為在 盈;以上者去之,餘為在縮。又視入盈縮度,如一象以 下者為在初;以上者,覆減二至限,餘為在末。置初、末 限度及分,如前日度術求之,即得所求。

若用立成者,直以其度下損益分乘度餘,百約之,所得,損益其度下盈縮差,亦得所求。

求諸段日度率:以一段日辰相距為日率,又以二段 夜半定星相減,餘為其段度率及分。

求諸段平行分:各置其段度率及分,以其段日率除 之,為其段平行分。

求諸段汎差:各以其段平行分與後段平行分相減, 餘為汎差;併前段汎差,四因之,退一等,為其段總差。

五星前留前、後留後一段,皆以六因平行分,退一等,為其段總差,水星為半總差。其在退行者,木、火、土以十二乘其段平行分,退一等,為其段總差。金星退行者,以其段汎差為總差,後變則及用初、末。水星退行者,以其段平行分為總差,若在前後順第一段者,乃半次段總差,為其段總差。

求諸段初末日行分:各半其段總差,加減其段平行 分,為其段初、末日行分。

前變加為初,減為末;後變減為初,加為末。在退段者,前則減為初,加為末;後則加為初,減為末。若前後段行分多少不倫者,乃平注之;或總差不備大分者,亦平注之:皆類會前後初、末,不可失其衰殺。

求諸段日差:減其段日率一,以除其段總差,為其段 日差後行分少為損,後行分多為益

求每日晨前夜半星行宿次:置其段初日行分,以日 差累損益之,為每日行分。以每日行分累加減其段 初日晨前夜半宿次,命之,即每日星行宿次。

徑求其日宿次:置所求日,減一,以乘日差,以加減初 日行分後少,減之;後多,加之。為所求日行分;乃加初日行分而 半之,以所求日數乘之,為徑求積度;以加減其段初 日宿次,命之,即徑求其日星宿次。

求五星定合定日:木、火、土三星,以其段初日行分減 一百分,餘以除其日太陽盈縮分為日,不滿,退除為 分,命曰距合差日及分。以差日及分減太陽盈縮分, 餘為距合差度。以差日、差度盈減縮加。金、水二星平合 者,以百分減初日行分,餘以除其日太陽盈縮分為 日,不滿,退除為分,命曰距合差日及分。以減太陽盈 縮分,餘為距合差度。以差日、差度盈加縮減。金、水星 再合者,以初日行分加一百分,以除其日太陰盈縮 分為日,不滿,退除為分,命曰再合差日;以減太陽盈 縮分,餘為再合差度。以差日、差度盈加縮減{{Annotation|差度則反其加減}}。皆以加減定積,為再合定日。以天正冬至大餘及 約分加而命之,即得定合日辰。

求五星定見伏:木、火、土三星,各以其段初日行分減 一百分,餘以除其日太陽盈縮分為日,不滿,退除為 分,以盈減縮加。金、水二星夕見、晨伏者,以一百分減 初日行分,餘以除其日太陽盈縮分為日,不滿,退除 為分,以盈加縮減。其在晨見、夕伏者,以一百分加其 段初日行分,以除其日太陽盈縮分為日,不滿,退除 為分,以盈減縮加。皆加減其段定積,為見、伏定日。以 加冬至大餘及約分,滿紀法去之,命從甲子,算外,即 得五星見、伏定日日辰。

琮又論曆曰:古今之曆,必有術過于前人,而可以為 萬世之法者,乃為勝也。若一行為大衍曆,議及略例, 校正歷世,以來曆法強弱,為曆家體要,得中平之數。 劉焯悟日行有盈縮之差。

舊曆推日行平行一度,至此方悟日行有盈縮,冬至前後定日八十八日八十九分,夏至前後定日九十三日七十四分,冬至前後日行一度有餘,夏至前後日行不及一度。

李淳風悟定朔之法,並氣朔、閏餘,皆同一術。

舊曆定朔平注一大一小,至此以日行盈縮、月行遲疾加減朔餘,餘為定朔、朢加時,以定大小,不過三數。自此後日食在朔,月食在朢,更無晦、二之差。舊曆皆須用章歲、章月之數,使閏餘有差,淳風造麟德曆,以氣朔、閏餘同歸一母。

張子信悟月行有交道表裡,五星有入氣加減。

北齊學士張子信因葛榮亂,隱居海島三十餘年,專以圓儀揆測天道,始悟月行有交這表裡,在表為外道陽曆,在裡為內道陰曆。月行在內道,則日有食之,月行在外道則無食。若月外之人北戶向日之地,則反觀有食。又舊曆五星率無盈縮,至是始悟五星皆有盈縮、加減之數。

宋何承天始悟測景以定氣序。

景極長,冬至;景極短,夏至。始立八尺之表,連測十餘年,即知舊景初曆冬至常遲天三日。乃造元嘉曆,冬至加時比舊退減三日。

晉姜岌始悟以月食所衝之宿,為日所在之度。

日所在不知宿度,至此以月食之宿所衝,為日所在宿度。

後漢劉洪作乾象曆,始悟月行有遲疾數。

舊曆,月平行十三度十九分度之七,至是始悟月行有遲疾之差,極遲則日行十二度強,極疾則日行十四度太,其遲疾極差五度有餘。

宋祖沖之始悟歲差。

《書·堯典》曰:日短星昴,以正仲冬;宵中星虛,以殷仲秋。至今三千餘年,中星所差三十餘度,則知每歲有漸差之數,造大明曆率四十五年九月而退差一度。

唐徐昇作宣明曆,悟日食有氣、刻差數。

舊曆推日食皆平求食分,多不允合,至是推日食,以氣刻差數增損之,測日食分數,稍近天驗。

明天曆悟日月會合為朔,所立日法,積年有自然之 數,及立法推求晷景,知氣節加時所在。

自元嘉曆後所立日法,以四十九分之二十六為強率、以十七分之九為弱率,併強弱之數為日法、朔餘,自後諸曆效之。殊不知日月會合為朔,併朔餘虛分為日法,蓋自然之理。其氣節加時,晉、漢以來約而要取,有差半日,今立法推求,得盡其數。

後之造曆者,莫不遵用焉。其疏謬之甚者,即苗守信 之乾元曆、馬重績之調元曆、郭紹之五紀曆也。大概 無出于此矣。然造曆者,皆須會日月之行,以為晦朔 之數,驗春秋日食,以明強弱。其于氣序,則取驗于傳 之南至。其日行盈縮、月行遲疾、五星加減、二曜食差、 日宿月離、中星晷景、立數立法,悉本之于前語。然後 較驗,上自夏仲康五年九月辰弗集于房,以至于今, 其星辰氣朔、日月交食等,使三千年間若應準繩。而 有前有後、有親有疏者,即為中平之數,乃可施于後 世。其較驗則依一行、孫思恭,取數多而不以少,得為 親密。較日月交食,若一分二刻以下為親,二分四刻 以下為近,三分五刻以上為遠。以曆注有食而天驗 無食,或天驗有食而曆注無食者為失。其較星度,則 以差天二度以下為親,三度以下為近,四度以上為 遠;其較晷景尺寸,以二分以下為親,三分以下為近, 四分以上為遠。若較古而得數多,又近于今,兼立法、 立數,得其理而通于本者為最也。琮自謂善曆,嘗曰: 世之知曆者甚少,近世獨孫思恭為妙。而思恭又嘗 推劉羲叟為知曆焉。

神宗熙寧八年夏閏四月壬寅,沈括上《奉元曆》。编辑

按《宋史·神宗本紀》云云。


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