欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第059卷

曆象彙編 曆法典 第五十八卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第五十九卷
曆象彙編 曆法典 第六十卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第五十九卷目錄

 曆法總部彙考五十九

  新法曆書九交食曆指

曆法典第五十九卷

曆法總部彙考五十九编辑

新法曆書九编辑

交食曆指一编辑

或問:日月薄蝕,是災變乎﹖非災變乎﹖若言是者,則躔 度有常,上下百千萬年如視掌耳,豈人世之吉凶亦 可以籌算窮也。若言否者,則古聖賢戒懼修省,又復 何說。曰:災與變不同,災與災變與變又各不同。如水 旱蟲蝗之屬,傷害民物者,災也。日月薄蝕,無患害可 指,然以理揆之,日為萬光之原,是生暄燠。月為夜光 之首,是生濕潤。大圜之中,惟是二曜相資相濟以生 萬有,若能施之體,受其蔽虧,即所施之物成其闕陷 矣,況一朔一朢,兩光盛長受損之勢將愈甚焉。是謂 無形之災,不可謂非災也。夫暈珥彗孛之屬,非凡所 有者,異也。交食雖躔度有常,推步可致,然光明下濟 忽焉。掩抑如月食入景深者,乃至倍於月體,日食既 者,乃至晝晦星見。嘻。其甚矣。是則常中之變,不可謂 非變也。既屬災變,即宜視為譴告,側身修省,是以有 修德正事之訓,有無敢馳驅之戒。兢業日慎猶懼不 塈矣。曰:既稱災變,凡厥事應可豫占乎。可豫備乎。曰: 從古曆家不言事應,言事應者,天文也。天文之學,牽 合傅會,儻過信其說,非惟無益,害乃滋大。欲辨真偽, 總之能言其所以然者近是。如日月薄蝕,宜論其時, 論其地,論時則正照者災深。論地則食少者災減。然 月食天下皆同,宜專計時。日食九服各異,宜并記地 矣。迨於五緯恆星,其與二曜各有順逆乖違之性,亢 害承制之理,方隅衝合之勢,為其術者一一持之有 故。然以為必然不爽,終不可得也。惟豫備一法,則所 謂災害者,不過水旱、蟲蝗、疾癘、兵戎數事而已,誠以 欽若昭事之衷,修勤恤顧畏之實,過求夙戒,時至而 救之者裕如,則所謂天不能使之災,又何必徵休咎 於梓裨。問:祲祥於京翼乎﹖然則星曆之家,概求精密, 尤勤於交食者,何也。曰:太陰去人最近,饒有視差。凡 人目所見,人器所測,則視度而已。其實行度分,非人 可見,非器可測,必以食甚時知。為定望與日正相對, 從是知其實度,從是知其本行,自餘行度,漸可推算 也。又因月食知地景為角體之形,月體過之,其距地 同而入景之淺深不同,可推日在其本天行與地為 不同心也。又因日食,推月距地時時不等,知其有本 輪有次輪也。又兼以日月食推日月體之大小,及日 月距地之遠近也。別有度地之學,因月食可推地在 天之最中,其四周皆以天為上,人則環居地面也。又 因月食知地景為圓體,而居東者漸遠漸後見食,即 非月食。以地為先後,特因各所見之時刻為先後也。 因以推地為圓體,而水附於地,合為一球也。又以月 食與子午線相距遠近,知諸方之地經度也。若泯薄 蝕於二曜,即造曆者,雖神明默成,無所措其意矣。是 則交食者,密術之所繇生,故作者述者咸於此盡心 焉。今譔曆指,有合論,有分論月食,術稍簡以附合論 之末,日食頗繁,釐為別卷,諸立成表,以類從焉。

界說

凡物體能隔他物之象,使不至目,則為暗體。若以體 之一面受光,而光復透射出於彼面,則為徹體。如玻璃水 晶是也

目所司存惟光惟色,而色又隨光發見,故解徹體必 以通光,解暗體必以其能隔他象。如月掩日,而日全 食,晝為之晦,恆星皆見,爾時太陽在外,體質明顯,又 堅密無比,光力甚厚,乃為月體所隔,不能映見微光, 可證月乃全非徹體,而全為暗體。其徹體有二:通明 之極全無隔礙者,為甚徹。雖則透光而微雜昏蒙者, 為次徹。

光在本體為原光,其出而顯他物之象,為照光。日有 原光,地與月皆借之為光者,照光也。謂顯他物之象 者,因他物之勢隨施隨受,有原先後,無時先後也。非 如寒熱燥濕之類,漸及於物,力盡而止。

原光以直徑發照為最光,因而旁及者,為次光。日光 正照以直線至於物體,則為最光,有物隔之旁周,映 射則生次光。如雲之上,日體所照,最光也。雲之下,不 復見日,而猶有光,是次光也。

滿光者,原光之全體所發。少光者,原光之半體所發 也。日未全出地平上,所生光為少光,全昇在上,則生 滿光。日未全食時,則存少光,既以復圓,即得滿光。景之四周有最光遶之,即景為次光。以景為明者,誤 也。以影為暗者,亦誤也。稱景為明暗之中,庶幾近之。 GJfont全無光乃為暗,今至夜子初,人在地景至深之中, 去最光極遠,而近日之物尚能別識,即見景中猶存 微光,不失為次光也。

最光所不及為初景,次光所不及則為次景,景與光 并行,光漸微,景漸厚,故次景與最光相反,若初景即 次光也。

最光全不及之處則為滿景,若受正照之微光,即為

圖

缺景。景與光正相反,無景之極則為滿光,無光之極則為滿景。假如甲乙為施光之物,丙為暗球,從甲出正照之光過丙球左右,其切丙之界者,得甲戊及甲己。從乙出光又得乙戊及乙丁。其庚戊辛為最光,全不及之處則滿景也。若庚

戊、辛戊以外,則甲乙光體之多分漸照之至乙丁甲 己,乃全光之界。即自戊至丁至己,丙球之景漸薄,以 趨於盡矣。

太陽光照月及地第一凡五章

日、月、地三球體,大小不等,地為靜體,日月則有諸種 行度,則有高庳內外。其去地去人遠近不等,法當以 大小之比例,及其相遠相近之比例,推其施光受光 之體勢,乃得景之體勢,因而得交食之體勢。GJfont交食 者,生於景,景生於光。不尋其本而求其末,無法可得, 其說五章。

一曰:有兩球於此,一為暗體,一為明體,而小大等,即明者以半面施光,暗者以半面受光。

如左圖,甲為明球,乙為暗球,小大等,即其徑丙丁及 戊己各與甲乙線為直角,而丙丁與戊己等,即甲丙 甲丁乙戊乙己與甲庚乙辛皆以半徑相等,而丙庚 丁半球與戊辛己半球亦相等。今於明球之旁,從丙 從丁出兩切線至暗球之旁,戊巳、戊己與丙丁為平 行線,即丙戊與丁己亦平行線也。見幾何一卷三十三題又因

圖

丙戊乙及丁己乙俱為直角,即戊丙甲及己丁甲亦俱直角,見幾何一卷二十九題即丙戊丁己線不能割兩球而止切兩周於丙於戊於丁於己,其所抱為丙庚丁,為戊辛己,是甲乙兩球之各半也。若日、月、地三球相等,而月與地皆以半面受太

陽之光,如上所說,則定朔日食,半地面宜皆見之,安 得復有南北不等食分,朢日太陰全食時,纔食既,即 生光,安得復有食甚時刻及既內分,今皆不然,可見 三球無相等之球。

二曰:明體大,暗體小,則施光以小半,受光以大半。

如左圖,甲為明球,乙為暗球,作兩切線為丙己為戊 庚,從四切點作橫線為丙戊為己庚。甲既大球,即己 丙戊為銳角,丙己庚角為鈍角。如曰不然,或皆為直

圖

角,即庚戊丙戊庚己亦皆直角,兩切線必平行,而乙球與甲球等,見幾何一卷二十八題必不然也。或己丙戊反為鈍角,而丙己庚反為銳角,即兩切線不能相交於癸,又不然也。今以兩切線相交於癸,明己丙戊為銳角,丙己庚為鈍角,即於丙丁

圖

戊弧內作負圈角,必鈍角矣。於己壬庚內作負圈角,必銳角矣。見幾何三卷三十一三十二題故丙丁戊施光者,不及半圈;己壬庚受光者,又不止半圈也。因此推知太陽照地及太陰,必各照其大半,而暗體所隔之日光漸遠,又漸斂漸進,以趨於一處,

即景居暗球之背,不得不為角體之形矣。又因此推 求朢日先後,人目所見太陰受日之光不長不消者, 久之而後生魄,此為何故。GJfont亦因月體以大半受光, 以小半入於人目,光不輒轉,而魄未遽見。故未朢時 已見全光,已朢後猶未失全光矣。

三曰:明體小,暗體大,則施光以大半,受光以小半。

如前圖,反論之,可明太陰何以照地而地何反隔日 之光也。

四曰:大施小受,愈相近,則施者之小半愈小,受者之大半愈大。

如左圖,丙為小暗球,甲與乙皆大明球。作庚未直線 過三球心以交於左右切線,其乙球之兩切線交於 午甲球之兩切線交於未,即庚未長於乙午,而庚丁 未與乙辛午兩角,庚丁與乙辛兩線,皆相等。則庚未 線與庚丁線之比例大於乙午與乙辛,而丁庚未角 大於辛乙午角也。見幾何五卷八題又庚未線過三球之心, 必截丁己、辛癸兩線為兩平分,而庚甲丁、乙子辛兩

圖

形內之甲與子皆為直角,則其餘庚丁兩角并乙辛兩角并皆等,一直角即兩并率等。幾何一卷三十二題兩并率之甲庚丁角大於子乙辛角,各減之所存庚丁甲角,必小於乙辛子角矣。次以庚丁甲及乙辛子不等之兩角各減庚丁未及乙辛

午相等之兩直角,所存甲丁未角更大於子辛午角。 又丁戊己弧內作負圈角,必等於甲丁未角。辛壬癸 弧內作負圈角,必等於子辛午角。辛壬癸弧之負圈 角,既小於丁戊己弧之負圈角,則辛壬癸弧必大於 丁戊己弧。幾何三卷三十一三十二題夫辰寅己與辛壬癸,相似 之弧也。丑寅卯與丁戊己,亦相似之弧也。

大小圈左右各有切線,其切點過分圈之線,其所分大小圈分各相似,其大小兩弧亦相似。

即辰寅己弧亦大於丑寅卯弧,可見明球在近比在 遠者,尤能照小暗球之多分也。因推知日全食而視 為大者,日體去月體遠故也。日全食而視為小者,日 體去月體近故也。何以分遠近。日與月俱有自行圈, 與地不同心。其行於自行圈之上下,為最高最庳,則 為距地之遠近,因而生景之大小也。日既全食矣,又 何以分大小。月掩日至既,有時晝晦,恆星皆見,蟲飛 鳥棲,此為全食。而大月在日內從中掩蔽,雖至食既 而其四周日光皆見,曆家謂之金環,此為全食而小 矣。若然者,日與月與地相去,或遠或近之所繇生也。

五曰:小施大受,愈相遠則施者之大半加小,受者之小半漸大。

如左圖,甲乙皆為小明球,丙為大暗球,乙去丙遠於 甲,作各切線過三球心之直線,皆如前。次從暗球心 丙至各切點作丙丁、丙己、丙庚、丙辛各半徑,得丙丁 為丁壬之垂線,丙庚為庚癸之垂線,而丁與庚皆為 直角,丙丁與丙庚兩線又等,則丙癸線與丙庚半徑 之比例大於丙壬與丙丁,而丙庚癸角又大於丙丁 壬角也。幾何五卷八題依顯丙辛癸角亦大於丙己壬角,以

圖

并前率,為庚丙辛合角,亦大於丁丙己合角,而其弧庚戊辛必大於丁戍己,可見小明球照大暗球,愈遠愈照其多分也。今依本圖,設丙為地外切線,癸辛也以內為地景,日光過丙大球所出景甲乙兩小球為月體,其兩小球之小大既等,則同以外

切線為外光之界,或為內景之界。惟因月體循本輪 行,時居上周,如乙,則去地遠。時居下周,如甲,則去地 近。以是月食之分數有多有寡,月居影厚處,如甲,左 右,則食多。月居影薄處,如乙,左右,則食寡。故曰:月食 有多寡者,亦相距或遠或近之所繇生也。

景之處所第二凡二章

凡光以直線照物體,其無光之處則有景之處也。欲 於交食時求影所在,理不異此。GJfont月與地能出景者, 不在其受光之面,或其左右必於受光反對之面,日

圖

光不照之地,在日食則為月景之處,在月食則為地景之處矣,說二章。

一曰:景與光所居正相反。

暗體得光於此面,射景於彼面,是景之中心與原光之心、暗體之心,參相對如一直線。則暗體隔光於景,

圖

使原光之心恒居一線之末界。其正相反之,彼界其景之心在焉。如曰:不然,設原光在甲,其照及乙,乙為暗體,隔光生景。據云景不射丙,丙者與甲正相對之處為甲乙丙直線而斜射丁,則乙甲丁者,角也。有角則有幾何,凡幾何皆分之無窮,能出

直線至於無數,而皆至乙丁邊。夫甲既為原光之體,

其所照必以直線出之。試諸儀器足以為證即乙丁皆在受光 之地,何自能為乙暗體之景乎。因此明景與光正在 相反之兩界。論暗體者,其受光之面必向光所出之 原界,其生景之面必向景所射之彼界,亦正相反也。 論日與月獨至兩交之處而有食,亦依此理。

二曰:明暗兩體任一運動,景隨之移。

試以暗體移動其所借之光,隨處不一,即所生之景 亦隨處不一。GJfont景與光既如一直線,即暗體所居定

圖

為景之末界。如直線之首,首移而線尚不移,則是曲線,非直線也。又試以明體移動,設甲為明體,乙為暗體,乙丙為影,則甲乙丙如一直線,如曰明體甲移至丁,丁仍照乙,而乙尚射景至丙,則丁乙丙猶直線也,有是理乎。

問:太陽照室,僅通隙光,光照牆壁,奕奕顫動。太陽既 自順行,牆隙仍無變遷,則此顫動為從何來。或者光 與景未必定為直線,而能微作曲勢乎。曰:西古博物 者亞利斯多言空中嘗有浮埃,輕而不墜,微而不顯, 莊周氏謂之野馬,或亦稱為白駒。幽室之內,原光既 微,次光反厚,即顯此物在於光中紛入沓出,能亂光 景之界。使目視景絪縕浮動,而實非景動,乃景之界 線為浮埃所亂,致使其然也。更以氣為證,今觀太陽 出地,地面以上多生蒙氣,氣在日體與人目之間,即 見日之光界亦如,顫動非獨日也。日中晴朗,切視地 面,光耀閃爍,如波浪然。熾炭在爐,炭之四周火光煜 煜,亦如顫動。凡若此者,一皆繇氣而生,在日在地在 炭固無顫動之理,是以景必繫於暗體,如輪必繫於 樞軸。光上景即下,光東景即西,必相對也,無相就也。 故太陽照地,其光繞地一周,則景在其相衝之界,亦 繞天一周。GJfont日光從其本天直射至於地面,而景在 地之彼面,亦直射至於月天。第日體常依黃道中線, 則地景亦常依黃道中線。而月行常出入黃道中線 之內外,是以月體與地景不得恒相遇合,大都不合 時多,合時少,故日月不食時多,食時少,以此。

景之形勢第三凡二章

求食分之幾何,必先求景之幾何,景幾何者,以日月 地之大得景之形勢,以日月地相距之遠近分數,得 景之變易大小分數也。此所論則景之形勢,後考其 變易之勢,得景分以定食分焉。凡二章。

一曰:二體相等,其景平行而無窮,明小暗大,其景漸展而無窮。

圖

論相等者,證以平行之切線也。如圖,甲乙兩球等,丙己、丁戊為兩球之切線,與兩球之徑丙丁、己戊遇於切點,皆為直角,則互為平行線。又球等,即徑之長短亦等。以遇丙己及丁戊,無不為平行線也。幾何一卷三十三題若兩球之周遭切線無數,

圖

皆同此論。則引之至庚辛以迨無窮,終平行,終不能相遇。而其形為長圓柱之無窮體。

論明球小於暗球,則推以三角形相似之比例也。如圖,乙丙為小明球,丁戊為大暗球。兩球之切線丁乙及戊丙引長之,過小球必

圖

相遇於甲,成甲丁戊三角形,又從丁戊底作己庚平行線在大球之外,成庚甲己三角形,與甲丁戊相似,則甲己庚角與甲丁戊角相等,其各邊各角皆相似,而甲丁與丁戊若甲己與己庚也。反而更之己庚與丁戊,若甲己與甲丁也。甲

己長與甲丁,則己庚亦長與丁戊,愈遠愈長,可見大 球之景漸遠漸拓矣。幾何六卷四題更論丁戊線之內外角, 則在內者為銳角,在外者為鈍角。故引切線向內過 小球,必相遇,引之向外,愈遠愈拓,終不相遇而其形 為無限長,無限廣之角體。又因兩球所居遠近不同, 景之張翕隨而變易,故兩球相近即乙丙底線為小, 其景愈狹,而乙甲丙角形愈短。兩球相遠即底線為 大,其景愈拓,而角形愈長也。

今驗諸日食,有食分同而所歷時刻不同者,月景之在地面廣狹不同也。月與日會,月在日與地之間,或 月近地而日在遠,則目之見界過月周至日體,其界 廣,日過遲,其見食時刻多。或月遠地而日反近,則目 之見界過月周至日體,其界狹,日過速,其見食時刻 少也。姑以前圖明之,目在甲,乙丙為月體,丁戊為日 體,切線甲丁及甲戊為目所見之界,若日在近,為丁 戊,即從丁過戊道,近行速,其食時寡。若在遠,為己庚, 從己過庚道,遠行遲,其食時多。皆太陽有不同心圈, 而太陰又有小輪所繇生也。

二曰:日、月、地三體大小不同。

凡暗體出角景者,施光之體必大於暗體,否者,其光 不能照暗體之大半,而使其景漸小以趨於盡也。試 觀月食時,月體近地,則入大景,遠地則入小景,愈遠 愈小,必至於盡,安得不信日體大於地體乎。設謂日 體與地體或等,則景宜亦等。或小則宜漸大,又當皆 為無窮之景,遇朢時月體必不能出大景之外,不應 有不食之朢矣。有不食者,是地景之益遠益銳也。月 食於地景之中,又有全而且久者,是月徑更小於景 而,景小於地也。地景之遠而益銳者,是日大於地也。 此以景理推論三體之小大,略可明矣。若又以日體 之大推月地之景,則更有法可考其大小之比例也。 昔人因太陽照地所生之景及其遠近,其視徑時時 不同,又以較於他體得其實體之大,說見月離曆指 中。此獨用視徑定食時刻分之數,其論實體為景與 食之原,略舉一二如左。

幾何原本論三角形,於一邊之兩界,出兩線復作一 三角形在其內,則內形兩腰并之,必小於相對兩腰,

圖

而後兩線所作角必大於相對角,如圖,甲乙為太陽之徑,丙為目從遠視之,丁亦為目從近視之。此所謂內外兩三角形也。今先以線論,因內形之甲丁乙丁兩腰小於相對之甲丙乙丙兩腰,則所作丁角比相對之丙角亦近於共用之。

甲乙底近則見大,故丁目視甲乙日徑必見大於丙 目所視之甲乙徑也。次以角論,因內兩線所作丁角 大於相對丙角,則此內角所對線亦似大於外角所 對線,而丁目所見之甲乙大於丙目所見之甲乙也。 此太陽視徑不同之緣也。

求太陽實體之大,GJfont谷設最高最庳之中處得其距 地一千一百五十地半徑,全數十萬,其半徑一十五 分三十秒,得正弦四百五十一,以三率算法推其全 徑,得地之全徑五又七十五之一十四,如三百八十 九與七十五也。又以其徑與其周之比例,得太陽體 之立方五千八百八十六萬三千八百六十九,地球 之立方四十二萬一千八百七十五,其終數得一百 四十弱,為太陽大於地之倍數也。此其照月照地生 角體銳景之原也。

景之作用第四凡三章

月與地若各以其景相酬報,然如月朢,則地景隔日 光,令月不受照,有時失滿光,有時全失光也。至月朔 則月體隔日光,令地不受照,有處射滿景,有處留少 光而已,說三章。

一曰:月食於地景。

月食在朢,緣日月相對,其理明矣。獨謂闇虛為地景 者,或致疑焉。今解之,月對日受光,藉非日月之間有 不通光之實體為其映蔽,則何繇阻日光之直照。若 天體及空中之火、空中之氣皆通明透徹,不能作障, 使月失光也。即金、水二星亦是實體,有時居日月之 間,然其景俱不及地,況能過地及月乎。則知能掩月 者,惟有地體,一面受光,一面射景,而月體為借光之 物,入此景中,無能不食,半進而半食矣,全進而全食 矣。

二曰:日食者,月掩之。

恆言月在內,去人近。日在外,去人遠。故定朔時月體 能掩日光是已。第金、水二星,亦皆時在日內又皆不 通光之實體,水星雖小,金星則大於月也。何獨月能 食日乎。曰:二星雖有時在日內,則去人甚遠,遠則視 徑見小,不能掩日百分之一二,而日光甚盛,所虧百 之一二,非目力所及。且二星比月去日更近,所出銳 角之景更短,不能及地面也。若月體之大,雖不及太 白而去地甚近,去日甚遠,一指足蔽泰山,又何疑乎。 由此言之,求一實不通光之體全掩日體者,惟月為 能,又自西而東,不及三十日而周,其行度較於諸天 最為疾速,故每朢定朔,皆同經度,皆能有食,其不食 者繇距度不及交耳。

三曰:因景之徑生多變易。

月以距度廣狹為食分多寡,一因去交有遠有近,去 黃道中線有正有偏。一因入地景有淺有深故也。今論其全食者,而大小遲疾猶多變易,曾非一定。GJfont日 在自行本天,月在小輪,相距遠近往往不等。日距月 近較距遠時,更照月體之多分。從月體出景更短,其 景至地更小,則日雖全食月體,見小歷時亦速也。日 與地亦然,以兩體相距之遠近為地景之大小,使月 食時入於地景,在其近末之銳分,則闇虛之體見小, 食分少,歷時速,皆因三體之相距遠近以生大小遲 疾。地景月景皆無一定之徑,致令隨時變易如此。 若月景、地景二徑之小大又自不等,故日食盡於食 既,而月則食既以後尚有既內餘分,GJfont地景大於月 景,故兩食皆全其虧復遲疾,無能不異矣。又月食天 下皆同,日食則否,日食則此地速彼地遲,此地見多, 彼地見少,此地見偏南,彼地見偏北,無不異也。月食 則凡居地面者,目所共見。其食分大小同,虧復遲疾 同,經歷時刻同,唯所居不同子午線者,則見食之時 刻先後不同耳。GJfont月一入景,失去借光,更無處可見 其光也。又概論天下日食應多於月食,為二徑折半, 其近交時加以南北視差,易相逮及,故論一方則日 食應少於月食,為月食共見日食,因地故。見後卷詳之

月在景之光色第五凡三章

月既暗體,當全食時一入地景,遂應失其借光,非復 人目可見也。GJfont可見之物悉無原光,必借外光以顯 其象,無外光即無從見有此物,安從更顯物色乎。今 月居厚景,尚有微光可見,更發色象,或赤色,或青黑 色,或雜色,此何從生。今略解之凡三章。

一曰:月不獨食於地景。

論通光者,有二體。一謂物象遇甚澈之體,易於通射, 比於發象元處更加透明,則形若開而散焉。一謂物 象遇次澈之體,難於通射,比於發象元處少雜昏暗, 則形若斂而聚焉。其遇甚澈者,如舟用篙艣,半在水 中發象,上出出於水面,所遇空明氣之光,甚澈之體 也,則其象散而斜射,視之若曲焉。其遇次澈者,如太 陽入地平下,其光照地旁,本宜直上,乃所遇清蒙之 氣,次澈之體也,則其象合聚而射於地面,凡地平以 上皆得其次光,為朦朧焉。即昧爽黃昏亦曰晨昏此兩者,皆以 一物經繇兩體,其勢曲折,皆謂之折照。

圖

若一物在一體之中,以一直線入目,謂之直照。

夫同是,日光也。在地面之上能折入於地景之根際, 則自地面而上,何獨不能折入於景之中際,至月體 經行之處乎。如圖,甲為太陽,乙為地球,藉非清蒙氣 能迎太陽之光而成折照,則宜從子出光至丙,從丑 出光至丁,切地面徑,過而復合於庚,為地景銳角也。 今不其然,因清蒙氣周遶地球,日光至丙至丁,遇其 次澈之體難於透射,則曲而內聚,止於戊己地面矣。 而大圜中大氣無不受日之照光,光在壬癸者,遇於

圖

蒙氣即內斂,至於卯辰,此為初折。從卯辰切地而過, 若遂以直線引之,即復合於辛,成卯辰辛雜線三角 形,為地之滿景。自此以外,全景之中皆得太陽折照 之光,與朦朧次光相類,而實為初景,能食朢月之滿 光也。欲求滿景之長,姑先依初折之光,引直線復出 於蒙氣之外。

姑先云者,不宜遽引直線也。GJfont初折之光至於卯辰,既抵地面,又復內斂,謂之次折,則兩線之交尚在辛點之內,今云然者,姑先明初折之理,約定乙

圖

辛之數。如太陰之言交,泛言平朔,言本輪也。其次折之理,次二章詳言之,求辛點以內之定距率矣。

而借GJfont谷所測清蒙差,與多祿某所定地景角之大, 得辛辰庚角三十四分,近地平之氣差大率如此得卯庚辰全角 二十五分三十六秒,半之為辛庚辰角一十二分四 十八秒。其相對之外角乙辛辰為四十六分四十八 秒,辛庚辰辛辰庚相對之兩內角并次乙辛辰三角形,其乙辛辰角 既得四十六分四十八秒,乙辰辛為切線與垂線所 作角,必直角,此直角與乙辛邊如乙辛辰角與乙辰 地半徑,即得乙辛短線長於地半徑七十三倍。若論 地之全景,乙庚線尚長三四倍也。夫月食於地景,必 依其景之體勢,顯其食之貌象。今全景之中既以地 景兼蒙氣之景,則并有初景,有滿景。月入於中,隨其 所至變易光色,無足異矣。或曰:從古論食月者,全屬 地景。今云不止地景,而更加之氣景,此為全景,方之 地景不亦愈長愈廣乎。則從上古以來,以地徑度月 體過景之數,以地徑定日月之視徑,以地徑較日月 之兩高,以地徑求日月之去地遠近,悉皆乖舛,而當 更定新率然乎。抑否乎。曰:不然。所論蒙氣之景,謂太 陽之光,因於此氣,能令全景之中分別厚薄,變易景 中之色象,非謂地之徑因景而加大也。譬如眼鏡,本 無厚之體,徒以變易物象顯其用耳。且氣景之於地 景,亦何能加長加大乎。計清蒙出地之高,不能過極 高之山,極高之山測其垂線,不能過千四百步,大地 之徑則三萬里,以高山之步數化為里數,而較地徑 則五千分之一耳。此氣之厚,何能加於地徑。而云設 此論者,有妨於地徑測量之法乎。

二曰:月體當食而成赤色,是氣景所生。

月全食時,其光色往往更迭變易,其初食既與水生 光,當此二際,則成赤色。夫月入地景,果必失光,宜為 純黑,不應復顯他色。今赤色者,得無是其本光乎。曰: 次光之物,惟無光之處能顯其光。一遇大光之體,則 次者之光泯矣。今以地景言之,月居其甚厚之際,即 甚遠於大光,果有自體之光於此,尤宜顯著。乃今測 之,則在淺見,盛在深見,微可證食時所見非月體自 有之光也。故應論定月能食於氣景,如上所說矣。然 食時亦能變易諸色,何以獨言赤色。試觀太陽下照, 地面受之,論其本然皜明無色,日地之間,或發昏蒙 之氣,即地面所見時轉為黃,時轉為赤,皆因所遇之 氣,如玻璃映目,色青見青,色綠見綠也。今日照地旁, 照光所過清蒙之氣,因於斜穿而成厚體,月體所顯 光色尤深,成為赤色矣。試論其所以。

視學家有公論,凡象斜射次澈之體,以垂線為主,曲 折通之。初入則聚折而向於垂線,既出則散折而離 於垂線也。何謂垂線,GJfont於澈體之面,過受形之點,作

圖

線下垂,則是折照所向所離之線。如圖,圓體甲戊乙,方體甲丁戊,皆次澈也。當其面有斜照之光在丙,至甲點而入至乙點,而出則甲丁與丁乙皆為垂線,照光至甲點,而入必聚而折向於甲丁垂線,至乙點而出必又散而折離於乙丁

圖

或乙壬垂線。若言光至乙點出,或不照庚而更照己,則是反照之光,非折照之光也。依此申言上章所推地球滿景之長。如圖,太陽之光遇於蒙氣,從壬癸折入作壬卯癸辰線,為初折。又從卯辰折出,作卯午辰未線,為次折。以復合於己,

別生午己未雜線角形,乃因乙己未角生己未辛,及 己辛未為外,兩角并之得,乙己未內角一度二十○ 分四十八秒,今設從滿景之角己出切線至地球辰, 得乙己辰直三角形,則因乙己辰角一度二十○分,

乙己辰角比乙己未角差數甚微,略得四十八秒,故以算景之長,不論為數。

如前比例,得地滿景之心長於地半徑四十三倍,比 月最庳之入景處近地一十一地半徑也。

月最庳入景五十四,最高入景五十八。

今圖月在景之形勢,地球為甲乙內圈,其四周有氣, 為丙乙圈,氣外切邊之光復合於卯,是為全景透氣 之光。自丙至戊,因戊以上所照必聚而止於地面,無 從透達也。則光至丙為太陽之外邊,所照光至戊,乃 其近中體所照,以丙較戊更斜,從庚而來入氣處,更 曲從辛來之光,已透氣而復出更直,故令丙丁線割 戊己線於壬為丁己壬角形,是為次光。又為初景,其 角形周遭為環體,抱滿景而居全景之中也。丁己壬 角形既盡於壬,而又展開至癸,左右相交至丑寅,愈

圖

遠愈拓,復出乎景矣。則丁己壬以內,壬丑寅以內,皆 初景之所居也。因此設月體為子,入景正初景展拓 之處,月食既正在其中,將復光,亦如之。是故兩時皆 顯赤色,食甚離於次景入於滿景,乃變青黑矣。

三曰:月體當食而成青黑色,是借光所生。

月居食甚之中時顯雜色,時但青黑皆須因光而見, 若并無光當純黑色也。前已言既入此界,即無太陽 入氣折照之光,則所繇見色者,意或月體自有微光 乎。曰:凡雜色之映見,皆不繇於純光,純光自當無色 也。雜色所從著見者,必因濕氣居其中間,如虹霓是 已。若虹霓是濕雲所映,無從可證。試以玻璃瓶滿貯 清水,別為密室止穿一隙以達日光,瓶水承隙,則光 透牆壁,亦成虹霓,大氣之體本是熱濕,因於地氣時 重時輕,若太陽之光從地旁過而地景在濕氣之中, 則月體所至生種種色,亦此理矣。若青黑色,月在滿 景多見之。則因去光最遠,所得希微之光,不足顯其 本體。故光色近於純黑,果絕無光,又不能顯此色矣。 第所謂希微之光者,實非本光,如前言人在地景最 厚處,天光尚映照之,近日之物略能別識。若月食時 則受光之天去月體最為切近,而諸星環遶四周皆 有借光可照月體,較人在地面尚為景之薄處,豈得 無微光可借聊顯色象乎。何必假此疑為自有之本 光。問:合朔以後,月之下半未受日光,而月體微光亦 顯青黑之色,若無本光,此光又何從而生。曰:生明以 後魄顯微光,然能去離月體,足知其非本光。去離者, 未至上弦,此光漸消漸不可見也。若實為本光,則上 下弦前後深夜視之,比朔後之月尚近太陽者,尤為 窈黑,其本光愈宜顯著。今為不然,深夜即無,初昏即 有,其為此時地面反照之光甚易明矣。

此論月為暗體,絕無本光,與月離曆指四卷第二十六所論者不同,GJfont西土原有此二說,不妨互存之。

日月食有定時第六凡二章

日月交食皆有定時者,在月則因地景,在日則因月 景,景之推移既隨日躔所至,終古不爽。又月行本道, 所距黃道度分亦有一定之法,是以一在定朔,一在 定朢,當食必食,多寡、先後、上下、千百世可知也。說二 章。

一曰:地球在天心。

日食恒在定朔,月食恒在定朢者,何也。地球在天心 故也。驗諸日食,必兩曜同居一線,而月在地與日之 間,正隔日光於地。又驗諸月食,令日月不相朢於一 直線,兩界之末則終古無食也。設地不居天中,或偏 近於黃道之上下左右,則食不在半周,而月食之衝 非太陽所在矣。古法以月食衝簡知太陽所在如圖,甲為地,從甲心

圖

作乙丁丙戊圈,為宗動天之地平,則甲必為天之心也,何者。從乙出直線至丙丁至戊亦如之。乙為東,並為鶉首初度。丙為西,亦為星紀初度。丁為鶉火,戊為元枵,皆初度也。則有視學之公論三:其一曰:月所視物必從直線乃見之,使目

圖

在甲能遍見乙丁丙戊,即甲乙、甲丁、甲丙、甲戊、皆直線也。其二曰:若光從一窺表出,能射黃道正相對之兩點,必為徑線。此乙丙及丁戊能過甲,亦如光過窺表,甲能至黃道鶉首、星紀等宮,正相對之初度,則乙丙及丁戊必為本圈之徑。

更試測日月定朢時,得並在地平,此出彼沒,若距度 同,即日月略居其一徑之兩末,則乙丙及丁戊為圈 徑無疑也。其三曰:凡圈中有多徑線交而相分,其兩 分線必等。此兩徑乙丙及丁戊交而相分於甲,即甲 乙、甲丙、甲丁、甲戊線皆相等。又幾何一卷第十七,三 卷第三界說,皆言圈中一點所出多直線,至其界皆 相等,即此點定為圈之心。今甲點出甲乙甲丙等直 線至乙丁丙戊各界諸線皆相等,即甲必為本圈之 心。因此推之地球在天之心,甚易明矣。

二曰:食之大小疏密,因月距度。

昔人測日月食必在正中二交,月體去交漸遠,則食 分漸少,以至無食。何也。月以本體掩日,而日為之食, 又以本體入於地景而自為食。故恒言日、月、地居一 直線之上則食,偏則否。三球之所以偏者有二:一則 日體恒行黃道中線,地景恒在其正衝度分。一則月 行常出入黃道中線,是故有時不入地景,則食與不 食,皆因月行本道與日與景之距度多寡而已。若其 距度較日月景之二徑折半,或大或等者,必不食也, 小則必食也。愈小則食愈大也。但月與景之二徑折 半大不過一度,日與月之二徑折半止三十餘分耳。 故兩交左右之距度或在陽曆或在陰曆,各有食限。 不入食限者,雖遇朔朢無緣相及,故一歲之中不能 多有食矣。即入於食限而去兩交有遠有近,則其距 度有廣有狹,即食分有寡有多,相因致然,不能齊一 也。

日月食合論第七凡一章

日食與月食不同勢,食日謂之障食,食月謂之藏食。 何謂障食。日為諸光之宗,月與星皆從受光焉。月之 食日,非真食日也。定朔則地與月與日自下而上為 一線,相參直,月本暗體,今在日與地之間,以暗體之 上半受光於日,以下半射景於地,如屏蔽然。特能下 揜人目,而不能上侵日體,日之原光自若也。雖人見 為食,而實非食也。何謂藏食。定朢則日月相對,日光 正照之,月體正受之,人目正視之。若於此際經度相 及,適及兩交,日與地與月,亦為一線,相參直,而地在 日與月之閒,地既暗體,以其半體受光於日,以其半 體射景於月。若月體全入於景中,則純為晦魄,必待 出於景際,然後蘇而生明,如沒而復出者。然是則可 謂真食也。總之,日月兩曜若同行一道之上,則每朔 每朢無不食矣。日、月、地三體若并不居一直線,則永 無食矣。惟各行於一道,時及於兩交,故日與月皆隔 五月而一食,或六月而一食,歲歲大率有之。不食者, 半食於夜,日食則此方所見,他方所不見耳。其食也, 日體恒居一直線之此界,其彼界則月體、地體疊居 焉。月居末界,即月面之日光食於地景矣。地居末界,

圖

即地面之日光食於月景矣。如上圖,甲為地,己為日,卯辰圈為黃道,乙丙為白道,其大距兩距之最遠五度弱二分,丁戊為兩交,即龍頭龍尾亦名羅GJfont計都論月食日照地球,其光自庚辛至地,切兩旁過之,而復合於壬,自甲至壬,角體之形為地景。地景

之心恒隨太陽而行黃道中線,若躔處去兩交遠,二 徑折半小於兩道之距度分,月行本道,從旁相過不 能逮及,則不食矣。若正遇於兩交或交之左右,二徑 折半大於二道之距度分,則兩相涉入,月為之食,其 食分多寡在距度廣狹,距度廣狹在去交遠近也。論 日食則人目所見恆在地面,推得實會,仍須推其視 會。若僅據實會,則是地心之見食,非地面之見食。凡 有無多寡,加時先後,悉皆乖失矣。如圖,丁為月,或正 居於兩交,或在交之左右,日月二徑之各半,合之小 於距度分,則月能掩日,日為之食,不然則不食也。所 謂實會、視會兼推則合者,地面所見,推食於地平以 上,至天頂之正中,則獨推實會,便為視會,自此以外 地面所見先後、大小、遲疾,漸次不同。如圖,人在地面, 癸依丁月之徑適滿太陽之庚辛徑,則見為全食。若 人在地面,子依丁月之徑,乃見兩切線所至為己寅, 則月掩太陽,止於己庚半徑,見為半食矣。大凡日欲 食時,月不能離躔道一度強,自此以上無緣相涉,故 定朔之日有食時少,無食時多也。以上原本曆指卷九交食之一

日月本行圖第一凡二章

日居本圈,月居本輪,行度參差,因而有交食,因而每 食不同。此略圖,二曜本行以明交食之原,月離圖獨 言朔朢者,交食時必在其本輪內圈之周也。

太陽本行圖

甲為地球,在天心,其大小之比例難可計算,略言之, 則地之與天若尺土之與大地也。如圖,外大圈為黃 道,與地同心,內圈為太陽本天,其心在乙,乙之離地 心,依GJfont谷算為全數十萬分之三千五百八十四,約

圖

之為百分之三有半也。其最高今時在鶉首宮六度,為丙,太陽右行從辛過內,一周天而復於辛,為三百六十五日二十三刻三分四十八秒,是謂歲實。任躔某宮某度分皆以地心甲為主,而地心所出直線至戊黃道指,為太陽之實行。

其平行則又以本圜之乙心為主,故人在地所測之

實行,時速時遲,而太陽因最高在北任分本圈,則北 為大半,故北六宮之日數多於南六宮幾八日有奇 也。

依此見求太陽之躔度,必用兩法,一者定其平行,如 隨乙丁己直線窺之,從乙心見黃道上之己點。二者 定其實行,如隨甲丁戊窺之,乃從地心見黃道上之 戊點。先得其平行,又以加減求實行,而平實之差為 戊己弧,以甲丁乙三角形求之,即得也。其自丙過秋 分至庚,兩行之差必減平行而得實行。自庚過辛春 分至丙,則加於平行而得實行。若用表則從丙最高 起算,或從庚最庳起算,至日體之本度為引數,以求 加減之度。

太陰朔朢本行圖

月離之術依歌白泥論有本圜,有本輪,有次輪,本輪 之心依本圈之邊滿一轉,即次輪之心依本輪之邊 得兩轉,故朔朢時月體皆在次輪之最近。最近者,近 於本輪之心也。因是不用次輪但以最近處為界,得

圖

圓圈。月離曆指謂為本輪之內圈,此可名朔朢之小輪也。

假如丙丁戊為太陰朔朢時之本圈,則與地同心。因無差故設為同心本輪為乙丙丁,其心在本圜之邊,甲右距日得每日十二度一十一分,其最高在乙,最庳在己,月

體則又居次之邊左行,自乙至丙而己而丁,謂之引 數。最外有黃道為辛庚,若從地心出直線上至黃道, 而次輪心正居此線之上,則所指者,為太陰之平行 度分也。又從地心出直線上至黃道,而月體正居此 線之上,則所指者為太陰實行度分也。凡月轉或在 高或在庳,正當一宮初度乙也或七宮初度,己也則平行 即是實行過此必有兩行之差則以差數加減於平 行度分,得其實行度分。又月在乙丙己半轉,則以減 得之,若在己丁乙半轉則以加得之。以在朔朢,故平 實行相距之極大差不過四度五十八分二十七秒, 甲丙甲丁是也過此為兩弦之差則更少與交食,無與月離, 曆詳之。若用不同心圈論,則并不用此本輪其加減 平行度分而得實行度分。理則一也,因日月以平實 分本行,故平朔平朢時兩體未必正相合正相對,凡 實會之或先或後,日月各以其平行直線相遇而合 為一直線,則是中會。

實會中會視會第二凡三章

測天約說言日月之行有隅照,相距三之一有方照,相距四之 一有六合照,相距六之一然悉無交食而獨相會、朔也亦名合會 對相,朢也亦名照會則能有食。故本篇所論者,止於相會、相 對也。抑會者,總名也。細言之有實會,有中會,有視會。 三者皆為推步之原,故言交食之術,必先言相會、相 對,言相會、相對之理,必從實會、中會始。

實會中會以地心為主

實會者,以地心所出直線上至黃道者為主,而日月 五星兩居此線之上,則實會也。即南北相距非同一 點,而總在此線正對之過黃極圈,亦為實會。GJfont過黃 極圈者,過黃道之兩極而交會於黃道,分黃道為四 直角者也。則從旁視之雖地心,各出一線南北異緯, 從黃極視之即見地心,所出二線東西同經,是南北 正對如一線也,是故謂之實會。若月與五星各居其 本輪之周,地心所出線上至黃道而兩本輪之心俱 當此線之上,則為月與五星之中會。日無本輪、本行 圈,與地為不同心。兩心所出則有兩線,此兩線者,若 為平行線,而月本輪之心正居地心線上,則是日與 月之中會也。GJfont實會既以地心線射太陰之體為主, 則此地心線過小輪之心,謂之中會矣。若以不同心 圈之平行線論之,因日月各有本圈,即本圈心皆與 地心即黃道心有相距之度分,即日月循各本圈之周右 行,所過黃道經度必時時有差。與地不同心故也其從地心 出直線過日月之體,上至黃道,此所指者為日月之 實行度分也。設從地心更出一平行直線與木圈心 所出直線偕平行而上至黃道,此所指者為日月之 平行度分也。GJfont太陽心線與地心一線平行,太陰心 線亦與地心一線平行,恒時多不相遇,至相遇時兩 地心線合為一線,則是日月之中相會。若太陽實行 之直線與太陰實行之直線合為一線,則是日月之 實相會。合會、朢會皆有中有實,其理不異。

先依小輪法作圖,甲為地心,亦為黃道心,亦為太陰 本圈心。

太陰與地同心者,為用本輪故。GJfont本輪周即太陰圈心繞地心之周,其理一也。

乙為太陽本圈心,與地不同心太陽在丁,太陰在戊,甲戊 丁線直至黃道圈,得辛,指日月實相會之度。如太陽

圖

在丁,太陰亦在甲辛直線上,為庚,而此線至黃道圈得丙,即指日月實相朢之度。若太陰在癸,與太陽不同一線之上,乃過月本輪之心已而至黃道壬,此直線之所指則日月中相會之度也。如月在庚,從地心出平行線甲子與甲壬,太

圖

陽平行為一線而至黃道,子亦指日月中相望之度矣。

次依不同心圈法。如後圖,黃道與太陽之本圈皆同前,獨太陰無本輪而易為本圈,其心與地心不同在甲,乃在丙,此亦以日月並居一直線為實會。如太陽

圖

在丁,太陰在本圈之邊戊,地心所出甲戊丁線至辛,則所指為實會。而正對月體,至黃道寅,則所指為實朢。若中會、中朢則以平行線為主,GJfont甲壬為地心所出直線,既偕太陽本圈心所出過日體之直線乙丁為平行線,又偕太陰本圈

心所出過月體之直線丙庚為平行線,則是兩偕行 之直線合為一甲壬而至黃道,故所指者為日月中 相會之度也。其至相對之黃道上為癸,則所指者為 日月中相望之度。設過此交會之時,太陰在丑,則月 圈心出者為丙丑線,地心出者為甲己線,兩線自偕 為平行,而甲壬與乙丁自偕為平行,甲壬甲己不得 合為一線矣。故地心所出之兩偕行線能合為一甲 壬者,必指中交之度為日月相會之共界也。

實會中會相距無定度

日月本圈各與地不同心,故兩圈心所出直線各與 地心所出直線雖恆為平行線,而又與地心所出直 線,其相距廣狹恒無定數。設日在本圈之最高,月在 本圈之最庳,其實行所至即平行所至,則中會即實 會矣。或太陽在最庳,太陰在最高,或兩最高兩最庳 在黃道上同度,則中會、實會亦皆無距度也。惟日月 去本圈之最高及最庳右行漸遠,則地心所出平行 直線漸相去,至半圈周則甚相遠,而為實中兩會之 相距最大差。

圖

假如甲為太陽之最高,乙為太陰之最庳,若太陽在甲,太陰在乙,即兩本圈心及地心所出直線上至黃道,皆合於甲乙線,則實會無分於中會也。若太陽至丙,太陰至丁,去最高各不甚遠,則地心所出辛平行線,距本圈心所出直線亦

圖

左右稍遠,即中會亦稍遠於實會矣。又使太陽在戊,太陰在己,則三直線相距更遠,而實會、中會相距亦更遠,此則以太陽之引數九宮二度得戊辛弧二度三分一十五秒,應減以太陰之引數八宮二十八度,得辛庚弧四度五十八分

二十七秒,應加依法合之,得戊庚弧七度○一分四 十二秒,為太陽太陰實會相距數。

實會中會互相隨因有變易

實會與中會多不同時,或中會在先,實會在後,或實 會在先,中會在後。惟日月各居其本圈之最高或最 庳,或一居最高,一居最庳,則中會不分於實會。因平行度 乃正是實行度即不用加減度分,若彼此俱加於平行度,或 俱減於平行度,而所加減之度分等,則中會亦不分 於實會也。兩均數相減若俱等無所試故又依黃道右行論之,使中 會之時太陽之實行在前,太陰之實行在後,則實會 在前,中會必隨而在後。月行速過中而得實會若中會時太陰 在前,太陽在後,則實會必後於中會也。實會之後月乃過中若 太陽與太陰或皆在本輪中轉之半周,從最高至最庳則兩 曜所得加減度,其一較狹者,必在前也。或皆在本輪 正轉之半周,從過庳至最高則兩加減度,其一較廣者,必在 前也。若其不同在最高庳之間,而各居一半周,則過 最高者在前,過最庳者反在後矣。

如圖,太陽在本圈,太陰在次輪,外圈為黃道,從地心

圖

出直線至黃道而過本輪心,所指者為日月兩平行度之中會。GJfont地心所出日月兩平行線合為一線也。若地心線從中會線之左右過日月兩體而至黃道,所指者為日月之實行度,而兩線相距之廣,即日月相距之度。法應化為時、刻、

圖

分,以加以減於中會,乃得實會也。又日月平行同在甲或在乙,加減度不同類,一實在前一實在後則兩率并之得日月相距之度。若日月同在丙丁戊己,加減度同類,或都在前或都在後則兩率相減之餘為日月相距之度也。依本圖論,日月在甲則以太

陽之加減度加於平行而得實行,在前故也太陰則減之 而得實行。在後故其所差時刻則以加於中會得實會 也。月過中而逐及於日故日月在乙其加減度則太陽用減,在後 太陰用加,在前其時刻則相減以得實會也。既會之後月乃過中 若在丙,太陰之加減度大,太陽小,皆減之。其時刻則 加之,以得實會。月欲及日故若在丁,太陽之加減度大,太 陰小,亦皆減之,其時刻亦減之,而得實會。月已過日故若 在戊,太陰之加減度大,太陽小,皆加之。皆過中故其時刻 則減之得實會。月已過日故若在己,太陰之加減度小,太 陽大,皆加之,其時刻亦加之得實會也。月欲及日故總論 之,行度在中會前即當加,甲日乙月戊己之日月在中侖後即 當減。甲月乙日丙丁之日月時刻月實行在日後則當加,甲丙己是 月實行在日前則當減也。乙丁戊是

推中會實會元法第三凡五章

日月同居黃道經度,分秒不異,是為正相會。正相會 者,實朔也。日月相距正得黃道半周,分秒不異,是為 正相對。正相對者,實朢也。其推步之法因二曜之實 行度不同,其實行之變易又時時不同,故先以平行 求得其中相會、中相對,而後漸得其實相會、實相對 焉。第中會之法以紀首,甲子為紀首以每年每日每時之 平行度分推步易得耳。實會法必用幾何術中三角 形弧弦切割諸線,非是則無從可得,故今交食曆中 所列諸表不過求中求實兩法,而求實甚難,不得不 繁曲,不得不詳密也。

求中會

月行黃道視日行甚速,其在後也,能逐及於日,其既 及也,又超於日前。其在朔也,有時隔日光於在下,其 在朢也;有時失光於地景。求朔朢法先定太陽之平 行度分,以求太陰距日之度分。若同居黃道經無距 度分秒,則為朔。若相距正得半周則為朢。外此則中 會在先,必減其已過之時刻,而得中會。若中會在後, 則加以不及之時刻而得中會。

假如壬申年三月十六日癸丑,日月相望,求太陽平 行。其紀首為天啟四年甲子天正冬至後第一日子 正,時太陽在九宮○度五十一分四十五秒,至本日 癸丑午正時,得中積時為八年一百三十五日六時, 用太陽平行度,每年一十一宮二十九度四十五分 四十一秒,每日五十九分八秒二十微,每小時二分 二十七秒五十一微,并得中積度為三千○一十一 度三十八分四十七秒,加紀首前宮度得總數滿平 周,三百六十度去之餘四十二度三十○分三十一秒,為 本日午正時太陽躔大梁宮之平行度分。

次如前法,求同時太陰中積度分一百二十九度三 十七分二十二秒四十微,每日一十二度一十一分 二十六秒四十一微,為太陰自太陽平行度分。加紀 首前十度一十七分三十六秒五十三微,并得二千 六百九十九度七分二十四秒,滿平周,去之餘五宮 二十九度七分二十四秒,為本日午正時月距太陽 之經度分。以減半平周,為不及者五十二分三十六 秒,未得正望。求其時,用不及度三十分二十八秒三 十七微為一小時,其餘得時四十三分三十三秒,為 正中望,算外得未初二刻一十三分三十三秒。

求引數

凡日月在最高或最庳,其實行與平行者無異外。此 則不同行而兩行相距又無定數,故從最高右行,指 其平行所至黃道之弧,為引數。因之以求太陽太陰 兩處所差加減度,若太陰則從其本輪之最高起筭, 左行為引數之弧也。第須先定日月在中會時之平 行度,如前,太陽正午在大梁宮十二度三十分三十 一秒,一小時又行二分二十七秒五十一微,尚未至 中會,須行四分一十五秒并小時得中會時刻,以加前 得數,其中會平行度在本宮一十二度三十四分四 十六秒。其正相對為太陰平行度分,則在大火宮矣。若太陽平行度正合於最高,則無引數,亦無加減。過 之即相減,不及則於平行度外加一平周三百六十度也而 減最高,餘為引數。假如最高每年行四十五秒,從甲 子至壬申年三月,得六分一十七秒,以加於紀首之 最高得三宮○五度五十六分五十八秒,并得三宮 ○六度○三分一十五秒,為太陽最高行度。因太陽 平行度在二宮,不及,加平周減之,得十宮○六度三 十一分三十一秒,為太陽中會時引數。同時依太陰 每年之本行二宮二十八度四十三分八秒,每日行 一十三度三分五十四秒,其中積得二千四百八十 度五十九分五十三秒,加入紀首前六宮一十七度 四十六分二十三秒,滿平周,去之得五宮八度四十 六分一十六秒,為太陰壬申年三月中會時之引數 也。

求實會

法先求太陽加減度,依前所得最高及平行作圖外 圈,為黃道,從春分向左計其平行度,從地心出直線 指之,次從心又出一直線,至最高度。線上任取一點

圖

為太陽本圈心,從太陽圈心又出直線與平行度之指線為平行線,至黃道。更從黃道心即地心出直線,過太陽體之心,至黃道,指其實行度也。

如圖,外圈為黃道,其心甲出直線至丁,即前所推太陽平行在大梁宮十二度,

又出直線至三宮六度,為當會時之最高行度。內圈 為太陽本圈,其心乙出直線過太陽至己,更作甲丙 直線引至戊,指太陽之實行度,即戊己弧為加減度, 應推丙角,用甲乙丙三角形,如法求之。

如圖,引數之餘弧為丁辛或己辛五十三度二十八 分二十九秒,止論角故異弧同度即丙乙辛外角也。甲乙兩心 之差為全數十萬分之三五八四,今以弦線求加減 度,先依甲乙線作甲乙庚直角三邊形,用句股開方, 求弦線。其比例為甲丙線與甲庚丙角之正弦,若甲

圖

庚線與甲丙庚角之正弦,得一度三十六分五十五秒,為太陽加減度。若用切線則更省,以全數加兩心之差數,得一○三五八四,恆為第一率,又相減得九六四一六,為第二率。引數之角隨時不一,半之而求切線,為第三率。如法求得

第四率,為切線,查其本度分以減半引數,餘為加減 度。若本圖,則引數餘弧之角半之為二十六度四十 四分一十四秒,其切線五○三九○,為三率。如法得 第四率四六九○三,為二十五度九分四十一秒之 切線,以減半,引數得一度三十六分三十三秒,為太 陽加減度也。

次求太陰加減度,按西曆近世名家,先有歌白泥,後 有GJfont谷,從前所論會法,兩家之說略同,至論太陰則 GJfont谷之術更為精密,今先言舊法,次言密法。

圖

舊法曰:如圖,黃道內作同心圈,從太陽平行度越半周而定太陰平行度之一點,從心出直線至此點,必為本圈之過心線,而指本輪之心。次從本輪最高左旋,查其引數,又從黃道心作一直線過太陰體,兩線所至黃道間得一弧,此弧

為太陰之加減度也。加減度即名均數

假如太陰平行度在大火宮正對太陽,其引數自戊 左行至丙未,及半周,月體在丙,兩直線並出甲,甲乙 戊指平行度,甲丙己指實行度,戊己弧為所求加減 度。其求之者,甲乙丙三角形也。若用句股法,則自丙 至丁下垂線開方,求得甲丙弦,則甲丙線與甲丁丙 角若丙丁線與丁甲丙角也。如用切線,則甲乙全數 十萬,本輪之半徑乙丙八六○○,相加得一○八六 ○○,相減得九一四○○,又半引數求其切線如恆 法,即得均度之切線矣。以此推步交食,未免徹差,GJfont 谷新法更為詳密,鮮不合者。今諸列表悉用此術,故 應說其義指如下文。

密求實會GJfont谷法

月離曆指論太陰之本行,故備晦朔弦朢。此說交會, 故圖說止於朔朢也。太陰交會僅用三圈:一為本天, 一為本輪,一為次輪。本天即本圈也,與地同心,負本 輪之心,其半徑當十萬,則本輪之半徑得五千八百, 從最高左旋,負次輪之心。如次輪心從最高丁行至

圖

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己,其自行度即表中所名引數。用以求加減度,加減 度即均數也。若本輪在子或寅,則月體在庚自行在 一宮初度或六宮末度,則無引數可計,亦無均度可 求矣。若本輪在丑,則月體在丙自行,得三宮初度為 交會時之極大差,欲得此數,用甲乙丙三角形求之, 甲乙線為全數,乙己與巳丙相加,得乙丙為八千七 百,甲乙丙角係自行之象限,必為直角。依前法,以切 線求乙甲丙均度角,必得四度五十八分有奇。若自 輪在卯,為十宮,月體在辛,必用兩三角形乃得均度。

圖

其一為甲卯辛形,所求均度為卯甲辛角,形中特有 全數,無從得角。宜先推卯己辛三角形,形有本輪之 半徑卯己,有次輪之半徑己辛,有引數餘弧之倍角 卯己辛,如法推得卯辛線及己卯辛角,以減於引數, 得其餘弧之數,為甲卯辛角。因此可求卯甲辛角,為 均度也。更論次輪之周月體循而右旋,其半徑僅得 本輪半徑之半,以較全數得十萬之二千九百,兩半 徑并得八千七百,為會時所用之數。以推最大均度。 太陰在次輪,從最近庚起算,恆倍本輪行。如丁己為

圖

本輪之一象限,而太陰行小輪,從庚至丙得半周,是自行得半周,太陰行全周。故前言本輪在子在寅,月體至庚,悉無加減數也。今依圖求太陰均度如前,設得其自行五宮八度四十六分一十六秒,距太陽半周。其經度在大火宮一十

二度,則本輪在乙,從地心引直線為甲乙全數,從乙 出直線至自行之限丙,必與中最高線甲戊為平行 線,而定引數為庚丙倍引數,從最近右旋,得太陰在 次輪丁,從乙至丁引乙丁直線,則得乙丙丁三角形, 其乙丙丙丁兩線為兩小輪之半徑,乙丙丁角為倍 引數辛壬丁是之餘角,丁辛弧是即可求丙乙丁角與乙丁直 線也。又甲乙丁三角形,欲求乙甲丁均度之角,以切 線算之,宜先得己乙丁角,以偕全數及乙丁線,乃得 其所包角矣。法見下文。

如圖,求丙乙丁角倍引數,辛壬丁也得三百一十七度三 十二分三十二秒,餘丁辛四十二度二十七分二十八 秒,為乙丙丁角其餘角。乙丁兩角也總而半之,得六十八 度四十六分一十六秒,其切線得二五七四三○,為 三率。兩輪之半徑相加得八七○○,為一率。相減餘 二九○○,為二率。算得第四率切線八五八一○,其 弧四十度三十八分,以減前總餘角之半數,得二十 八度○八分一十六秒,為丙乙丁角也。次求乙丁線, 則丙乙丁角之正弦四七一六○與丙丁,二九○○若乙丙丁

圖

角之正弦六七五○五與乙丁線,算得四一二九,次以甲乙丁大三角形求均度,先得己乙丙角,引數之餘未滿半周以加丙乙丁角,得己乙丁角四十九度二十二分。其餘角甲丁兩角總而半之,得六十五度一十九分,查切線二一七五八二,為三率。以乙

丁線加全數,共一○四一二九,為一率。相減得九五

八七一,為二率。算得第四率切線二○○三二○,其 弧六十三度二十八分一十七秒,以減前六十五度 一十九分,餘一度五十分四十三秒,為所求太陰均 度,與列表合。

今以兩所得均度,求實會時,查圖視均度,或以加於 平行度,或以減於平行度,即見太陰距對處若干,或 過之,或不及,則以其相距之度分化為時刻,依前法 或加或減於中會時刻,必近於實會時刻。

如前,推壬申三月月食,其會時,太陽之平行在實行 後,則以均度加於平行,得實行。太陰之平行在實行 前,則以均度減實行,又以二實行相較,見太陰視正 相對,不及者三度二十七分三十八秒,化為二十七 刻三分四十五秒,以加前中會,算外得實會在戌正 二刻二分一十八秒。

復求實會時

日月之兩實行變動不居,非一圓形能盡其理。幾何 家欲徑測徑推,無法可得。故須先用平行以漸推其 實行,顧又非一推可遽合也。GJfont初用之引數,其所指 者中會之引數,非實會之引數。則其加減度所推實 時,特近於實時,非正實時也。法宜更求中實會之間 日月自行度分,依加減時,法或加或減於前之平自 行,乃得次引數。求其均度,復查二曜實相距度,化為 時刻,或加或減於中會時刻,乃得正實時刻。若三推 之終,所得時刻分秒不異於次得,即合天無疑矣。 假如前得差二十七刻三分四十五秒,其間太陽復 平行一十六分四十七秒,以加初平行得一宮一十 二度五十一分三十三秒,減其最高最高不動即用前數得自 行一十宮六度四十八分一十七秒,餘弧至滿周五十 三度一十一分四十二秒,半之而求切線得五○○ 七○,為三率。以全數加不同心差為一率,相減為二 率,算得四率四六六○五,其弧一度三十六分三十 四秒,為太陽次均度也。

太陰中實會之距時間即前二十七刻有奇復平行三度二十 七分二十八秒,以加前經度,總得經度七宮一十六 度二分二十四秒,為本輪居本圈之處。而本輪此時

圖

間亦向右自行三度四十二分三十一秒,以加前自行,得次自行五宮一十一度二十八分四十七秒,即次引數也,為次輪心居本輪周之處。倍之,得太陰居次輪周之度也。借前圖,則乙丙丁角今為三十五度二分二十六秒,餘角乙丁兩角

總而半之,得七十二度二十八分四十七秒,其切線 三一六七六八,為三率。一二率如前算得一○五五 八八,其弧四十六度三十三分,以減前半弧七十二 度二十八分四十七秒,得二十五度五十五分二十 二秒,為丙乙丁角。次求乙丁線,則此角之正弦四三 七一六,為一率,丙丁半徑為二率,乙丙丁角之正弦 五七四一六,為三率,算得三八○八,為乙丁直線也。 今求均度以自行餘之甲乙丙角,并丙乙丁角,為己 乙丁角四十三度二十六分三十五秒,餘者甲丁兩角

圖

而半之,得六十八度一十六分四十二秒,為三率。第一及二為乙丁線,一加一減於全數,甲乙也算得二三二五九六,求應減之度,而得次均度一度三十二分三十三秒,又以太陰次均度加於太陽次均度,見太陰視正相對不及者三度

○九分○七秒,化為時刻,得二十四刻一十二分一 十七秒,以加於中會,算外得實會在戌初三刻一十 分五十秒。


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。