欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第061卷

曆象彙編 曆法典 第六十卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第六十一卷
曆象彙編 曆法典 第六十二卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第六十一卷目錄

 曆法總部彙考六十一

  新法曆書十一交食曆指三

曆法典第六十一卷

曆法總部彙考六十一编辑

新法曆書十一

交食曆指三编辑

食限第一凡六章

食限者,日月行兩道,各推其經度,距交若干為有食 之始也。而日與月不同,月食則太陰與地景相遇,兩 周相切,以其兩視半徑較白道距黃道度,又以距度 推交周度定食限。若日食則太陽與太陰相遇,雖兩 周相切,其兩視半徑未可定,兩道之距度為有視差, 必以之相加,而得距度,故特論半徑則日食之二徑 狹,月食之二徑廣。論日食之限反大於月食之限,以 視差也。

太陰食限

表中地景半徑最大者先定四十七分,太陰半徑最 大者一十七分二十○秒,并得一度○四分二十○ 秒。日月兩道之距在此數以內可有月食,可食者可不食也 以此距度推其相值之交常,得一十二度二十八分 為月食限。推法最大距度四度五十八分半與象限九十度 若距度與交常之弧也,其最小者地半景定四十三 分,月半徑一十五分一十五秒,并得五十八分一十 五秒,若距度與之等者,依前法推交常度得一十一 度一十六分,此限以內月過景必有食也。必食者無不食也 抑此兩者皆論實望時之食限耳,若論平望其限尤 寬。

如圖甲乙為黃道,甲丙當白道,乙為地景心,丙為太 陰心,月切景在丁,其最大兩半徑為乙丙,得一度○

圖

四分二十○秒,則相值之甲丙得一十二度二十八分,為定望食限。設平望尚在前為戊,則戊平望距丙定望最遠者二度三十八分有奇為丙戊弧,以加甲丙弧,得甲戊一十五度○六分有奇為太陰切景之時,以其心距兩交之度西。

古史多祿某定實望之食限一十二度一十二分,中 望之食限一十五度一十二分,其所定視半徑最小 之食限一十○度五十○分。

何謂平望。距定望最遠得二度三十八分,曰太陽均 度最大者二度○三分一十五秒,太陰均度最大者 四度五十八分二十七秒,并得七度○一分四十二 秒為兩交時。日月以實度相距極遠之弧也,從此太 陰逐及於日行,訖七度○二分,此時間太陽又自行 三十二分二十八秒,太陰又須逐及更行三十二分,

圖

此時間太陽又行三分弱,共為三十五分,以加太陽均度得二度三十八分為日月之實會望距。其中望也,如上圖甲乙為地心所出過本輪心直線,至黃道乙指中會,太陰實行在丙,太陽實行在丁,總丙丁弧七度○二分,太陰行至丁,

太陽已過丁,而前又逐及之終合於己,故丁己弧三 十五分加乙丁共得乙己中實兩會相距二度三十 八分。

太陽食限

表中太陽之最大半徑一十五分三十○秒,太陰之 最大半徑一十七分二十○秒,并得三十二分五十 ○秒,所謂二徑折半也,以此推相值之交常為六度 四十○分,是太陽不論視差,不分南北,正居實會之 食限也。第日食不在天頂,即有高庳視差,太陰每偏 而在下,交會時以此差,故或就近於太陽,或移遠隨 地,隨時各各不同,安得以實度遽定日食之限乎。測 太陰交食時最大高庳差得一度○四分,

因距遠五十四地半徑故。

減太陽之最大高庳差三分,餘一度○一分,

此為太陰偏南之極多者,凡日食時必有一方能見其然,是為大地公共之最大差,

以加二徑折半,得總視距度一度三十三分五十○ 秒,外此即無日食,在其內則可食。依前法求食限,得兩交前後各一十八度五十○分,為兩大視徑折半 之限也,若以小半徑求食限,與前差度并得一度三 十一分有奇,推相值之交周度一十七度四十八分 為小視徑折半之日食限,若日月會入此限內者,日 必食。但非總大地能見,必有地能見耳。若以中會論 食限,又須加入實會距中會之度,其最大弧三度,則 中會有食之限二十餘度。如圖甲乙為黃道,甲戊為 白道,太陰以實度在己,以視度在丙。太陽乙與太陰 丙視相切於丁,則己丙為高庳差,己戊為東西差,而

圖

丙戊為南北差,南北差之最大者一度○一分,以加乙丙為總距度乙戊,若乙丙為大折半,二徑折半省曰折半推得甲戊食限一十八度五十○分,或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分,設中會更在前為辛,得食限甲辛更多於

甲戊。

求北中界日食限

北中界者,地居赤道之北,南不至赤道,北不至北極 也。今依南方極出地十八度,北方極出地四十二度, 定日食之限,則最廣者太陰距南其交常度七度三 十一分,太陰距北其交常度一十七度三十五分為 可食之限。最狹者太陰距南交常七度,距北交常一 十六度五十三分為必食之限。其所繇廣狹者,因二 徑折半有大有小,即相會時所當距度不同,故所限 交周度亦異也。太陰分南北而定最大日食之限有 二義,其一論地總本界中有一方焉,距北之最大者 以十七度為限,又有一方焉,距南之最大者以七度 為限。非謂一方所見距北可得十七,距南又可得七 也。其一論黃道度為本界中有地,有時太陰或南或 北,距天頂最遠則其視距度最大。以加於太陰實距 度,得其最大限在北可至十七度,在南可得七度,亦 非謂諸宮交會皆可得七度十七度之限也。今試於 本界中論地,先論其極高四十度者,又於本地論時, 先論其不甚遠於天頂者,如日月交會在夏至鶉首 宮初度,設當時不會於正午,其高庳差變為南北差 者必少,而所增視距度亦少,即所得者不為其最大 限。必設實會正午,月距黃道北得其高弧七十三度 二十八分,以推高庳差一十八分○八秒,全變為太 陰南北差。依法加於二徑折半得五十○分五十八 秒為黃白兩道之視距度,則所值交周度得一十○ 度,為順天府北極同高地黃道本度。月距北,日食之 最大限,可食也。設月距南,則二徑折半共三十二分 五十○秒,反減太陰南北差一十八分○八秒,得兩 道視距一十四分四十二秒,所值交周止二度五十 ○分,為本地本度。月距南,日食之大限,可食也。次論 其甚遠於天頂者,設日月在冬至星紀宮初度,會亦 正午,其高弧二十六度三十○分,推得高庳差即南 北差五十六分二十四秒,加二徑折半,得黃白兩道 總距一度二十九分一十四秒。為月實距南所推最 大日可食之限一十七度二十四分,所以然者人目 所見日月以兩心合會,必在太陰所離視道交黃道

圖

之處,距其兩道實交尚一十一度。又本南北差減二徑折半得距度二十三分三十四秒,相當者得四度三十二分,為太陰尚不及實交,未過黃道南而以視差,故人目所見則已過交出日食限之外矣。如圖:丙為太陰,丁為太陽,甲為黃

圖

白兩道之實交。論實距度,則日月至甲宜相掩而食,今冬至南北差甚大,太陰之視行循丙乙,視道尚在己,距甲遠,即己切太陽周入日食之限,後太陽丁行黃道至乙,與太陰視道相遇,是為視交,即二曜以兩心合會能全食。若更前至

辛,日月亦未及,實交甲,太陰實未過黃道,南而視行 則已過太陽之南即丙,不能掩日,亦不能切日,不食 矣。可見太陰實距北在己,為順天府同緯地最大食 限得一十七度有奇。至辛遂出食限之外,況過甲而 後實距南,其視度距太陽甚遠,安得尚有食乎。再於 木界中論地,論其極高一十八度者,先設日月在冬 至星紀宮初度,實會在正午,得高弧四十八度三十 ○分,高庳差全變為南北差四十一分五十八秒,加 二徑折半總得兩道相距一度一十四分四十八秒,外此無日食。在其內可食,相值之食限一十四度三 十二分,其食甚。亦未至實交也,若行至實交,則太陰 以視度過交而南四十一分五十八秒矣,以較二徑 折半,則視距為大,不已出兩食限之外乎。安得有食。 設日月會於夏至鶉首宮初度,此在天頂北五度三 十○分,得高弧八十四度三十○分,推南北差得六 分○八秒,以加二徑折半得三十八分五十八秒,為 太陰入陽曆,兩道相距度,二曜至此,即以周相切推 得日食限七度三十一分,若月距北,則兩半徑減南

圖

北差餘二十六分五十二秒,僅得五度一十○分,為日食限也,如圖:地居夏至之南,目視丙,月則偏北,故太陰之實度在黃道南,為本道上之乙,與太陽之實度丁甚相遠,卻以南北視差移而就近,及以甲乙為食限,二曜相掩,必未至甲

也。若其過實交甲,至己在黃道北,則因南北差見月 更在北,與太陽相距更遠,不復能相掩矣。

太陽太陰越六月皆能再食

越六月者,如寅月食申月,得再食也。如左圖:甲、丙、乙、 丁為太陰離道交黃道於甲、於乙,甲丙乙為其距北 半圈,餘乙丁甲為距南半圈,己庚戊辛皆為食限。依 多祿某隨迤北諸方所定中會時,甲己及乙戊入陰 曆為日食限二十○度四十一分,地愈向北,食限愈大故也甲庚 及乙辛入陽曆得一十一度二十二分,則限外弧己

圖

丙戊得一百三十九度,庚丁辛得一百五十七度一十六分,越六月之中積交周一百八十四度有奇,先去全周則大於己丙戊及庚丁辛兩弧,故初月在食限內與正交相近者。六月後則近中交亦在食限內,而日能再食。若月食不論陰陽

曆,其限皆一十五度一十二分,則己丙戊弧、庚丁辛 弧皆一百四十九度三十六分,皆小於中積交周度, 故初月交周度入己甲庚食限內,後六月又在戊乙 辛食限內而月能再食。

太陰越五月能再食越七月不再食

以距月之中積交周度與初月食限外之弧相比,若 度贏者,則此食限內能起,彼食限內能止,即兩皆有 食。若度縮者,則一起一止,或在兩食限之外不再食 矣。如五平月交周得一百五十三度二十一分,去全周己 月食於高庳中處其實限一十一度三十○分,南北 同得限外無食之弧一百五十七度,亦南北同是,皆 大於交周弧,則五平月中不可得兩食矣。亦有可兩 食者,則大月也,太陽躔赤道南,在其最庳左右必速 行,同時太陰去全周,在其最高遲行,必得定朔策少。 月大,交周弧亦大,夫五月之平朔策去太陰全周得 一百四十五度三十二分,中分之左右并得太陽均 度四度三十八分,又太陰五月自行一百二十九度 ○五分,中分之以最大加減得其并均度八度四十

圖

○分,太陽均度應加,

實度距最庳左右比平度遠故。

太陰均度應減。

設月逐日,實未追及,故

得日月以實行相距總弧一十三度一十八分。為月逐日未及之弧。如圖:太陽從秋向春行本天小半周,

以當黃道正半周必速行,以甲乙直線中分其平行, 左右各得丙丁均度。太陰在本輪自戊過最高辛,至 己遲行,以甲辛平分其遲行弧,左右得壬辛及庚辛 均度,日月兩均度不同類,一加一減并之得一十三 度一十八分,為太陽以實行在前,太陰以實行在後 之弧,而太陰逐太陽行一十三度,此時間太陽更行 一度○六分,以并於太陽均度,總得五度四十四分, 為五大月過五平月之度,亦為實交周過平交周之 度,以加平交周一百五十三度二十一分,得一百五

圖

十九度○五分,較食限外之弧贏二度○五分。則月食於甲乙限內,為壬距乙甚近,而限外交周度壬庚越五月復可食於庚。然食之分數少矣。又證太陰越七月不能復食者,則小月也,月大或平,即交周弧大於食限外之弧,不可得食。

圖

今太陽在其最高,左右遲行,太陰在其本輪最庳,左右速行,因而成小月。夫七月之平朔策得二百○三度四十五分,同時太陰自行一百八十○度四十三分。如圖:甲乙分日月平行,甲辛分太陰自行,太陽左右各得最大均度丙丁,并

為四度四十二分,應減,

實度距最高左右比平度近故。

太陰均度壬辛及庚辛并為九度五十八分,應加。設月 以實行過太陽故一加一減并兩均度得一十四度四十○ 分為太陰過太陽之弧,此時間太陽亦行一度一十 分,以加其均度得五度五十五分,是為七小月間實 行不及其平行之度。又為七月間交周平行之弧所 減,以成七小月實行之度。今以平行二百一十四度 四十二分,去減五度五十五分得二百○八度四十

圖

七分,以加於食限外之弧,

此第論太陰在其高庳中處。甲丙左右四食限

為戊乙壬或己庚丁,僅得二百○三度,小於七小月之實交周二百○八度有奇,則月初食在戊丁限內,後七月不能於己壬限內再食也。

圖

太陽越五月或七月,皆能再食

此越五月能再食者必大月也,其間交周實行可得一百五十九度○五分,設日月在高庳中處得二徑折半三十二分二十○秒,設太陰距度亦正得三十二分二十○秒,則以前法

求得距交六度一十二分,當在乙或在丁,而乙丙丁 弧乃得一百六十七度三十六分,若太陰絕無視差 者,即食限外之弧乙丙丁大於實交周弧八度三十 一分,日月合會,先在甲乙弧內有食,越五大月復會, 必不能及丁戊為再食矣。然太陰既有南北視差,則 以交周度不及食限內之弧八度三十一分,平分之 兩加於食限,得甲己及戊辛各一十○度二十八分, 而太陰在己或在辛皆距黃道五十四分三十○秒, 減二徑折半餘視差二十二分三十○秒,倍之,得己 及辛兩視差共四十五分,則諸方能得南北差及此 分者,所見太陰必偏南下掩太陽得有食也。今所論 五大月,太陽速行先於太陰一十三度一十八分,又 於太陰逐及時間行一度○六分,總得一十四度二 十四分,太陰行盡此度乃及日,須一日○九刻,是為 五大月過五平月時刻,則五大月得一百四十八日 一十八小時,故先定朔在酉正,後必在午正,若先在 午,則後在卯,又太陽五大月行一百五十一度以最 庳,平分左右得先定朔在壽星宮二十一度,次定朔

圖

在娵訾宮二十一度,諸方地面得極高二十餘度,見太陰離是二壤,值是二時。南北視差并得四十五分,則越五月得再食。此外極出地愈高,南北差愈大,食限愈寬。凡交周在黃道北,入甲己食限,越五大月必入辛戊食限,人居赤道北

圖

者,可見兩食或;交周在黃道南,入戊壬食限,越五大月必入庚甲食限,人居赤道南者,可見兩食。

謂太陽越七月而再食,則小月也,否則交周度大於正交及中交之總食限,而先在內後必在外,不食矣。若七小月間交周行依前,

得二百○八度四十七分,而設無南北差者,則以日 月兩半徑為食限,得甲乙及戊丁各六度一十二分, 而總乙己丁弧一百九十二度二十四分,小於交周 一十六度二十三分,即太陽先食於丁戊限內。越七 月後必己出甲乙限外,亦不食也。既常有南北視差, 則以較餘交周弧一十六度二十三分,平分之以加 於甲乙及戊丁,得甲壬及戊癸二限各一十四度二 十三分,而壬己癸與交周弧相等,又甲壬及戊癸一 十四度二十三分,得相值之距度一度一十三分三十八秒,減二徑折半得四十一分一十八秒,為各視 差倍之得一度二十三分,則諸方有此視差者得有 食也。今所論七小月,太陽遲行後於太陰共一十四 度四十○分,為太陰一日五小時所行之弧,是一日 五小時者,七小月不及七平月之時刻也。總七小月 得二百○五日一十二小時,故越七月得再會。先會 在卯,後會必在酉。又太陽行七小月,實得一百九十 八度。前已證從最高平分之得,先會太陰在娵訾宮二 十七度,後會在壽星宮一十五度,則凡離是二壤值, 是二時所見。太陰南北視差并得一度二十三分者, 必越七月得再見日食也。此為極出地三十四度以 上,蓋距赤道愈遠,視差愈大,所見食分愈多矣。

食分第二凡四章

欲知此月內有無交食,則以食限求之。見上文欲知此 食食分幾何,則以距度求之。距度者,在月食為太陰 心實距地景之心,兩心愈相近,月食分愈多;在日食 為日月兩心以視度相距,其近其遠皆以目視為準, 不依實推,蓋定朔為實交,會天下所同。而人見日食, 東西南北各異,所以然者,皆視度所為也。日食詳說 見後篇,此先解月食分,則論定朢實,會人所見者,東 西九服各異,南北天下不殊也。如左。

太陰食甚分數

太陰在食限內過地景,其兩心最相近時為食甚,而 食分必多,欲知食甚之處,用距度求之。蓋距度與地 半景及月半徑相減得月入景之分。

此言分者,天周度數之分,非平分月徑之分也。稱分有二類,見下二文。

如兩半徑得一度,距度四十○分,相減餘二十分為 所求月入景之分也。但距度與半景或等或不等,若 過不及之分小於月半徑,則月不全入景而止,食其 半或太半或少半而已。若距度小於半景者,為太陰 之正半徑,則雖全食,隨復生光,其食分即太陰之全 徑。以月自行推之,若絕無距度,即太陰遇景正在兩 交,則并其兩半徑可推月食之分也。

假如甲乙為地景,

定朢時月入此則失光,亦名闇虛

圖

之半徑。乙丙為太陰半徑,總得甲丙為月食限限者,乙點為二周相切之處,食從乙點起漸入漸大,若兩周相分於乙點,則不食也。食有三等:一曰不全食、二曰全食、三曰正食。不全食者,如一圖:甲丁為黃道,丁辛當白道,月心在辛,即入

圖

景者半,是為半食;或月心在庚,則如二圖,入景者大半,是為大半食;或在戊,則入景者少半,為少半食,皆不全食也。求食分法,以距度減二徑折半,如圖:甲己與甲丙等,為二徑折半,甲戊為距度,以甲戊減甲己,餘戊己,戊己與辛庚恆相

圖

等,故於二半徑減距度即得其入景,辛庚為此食之分也。全食者,如三圖:月心在戊,距度甲戊兩道如前,而距度入於半景者為太陰之半徑戊己。則己庚入景之分為全徑,但全入以後,太陰或向交行欲至丁,或離交行欲至辛,其周旋出景外,則無既內分矣。

圖

以上二者皆有距度,則皆不食於交點,皆偏食也。若第四圖:太陰食甚時絕無距度,則月心與景心皆會於甲,甲乙為半景徑,甲戊為半月徑,兩半徑并為甲丙,設甲乙丙為黃道,甲丁為白道,太陰從丁行,以戊

邊至甲己,全入於丁甲半景之內矣。又行至邊及戊 乃食甚,故更得甲戊為既內分,總得丁戊兩半徑并 為此食之分,此月食之最大食於交點者也,正食也。

食分二類

求食分之大幾何有二類。其一為天周度數之分,如 上文所論者皆是也。月食之最大者,可得一度○四 分有奇。其一為太陰本徑之分,則惟曆家所命。如命 月體之全徑為十二平分,則最大食得二十二分五 十四秒也。如命為十平分,則最大食得一十九分○五秒也。又此二類者,皆係太陰及地景之視徑,雖距 度同分,而大小多寡,猶多變易,設距度恆為二十五 分,因太陰自行在最高,得月食度數之分為三十三 分一十五秒,太陰在最庳,得食度數分為三十九分 二十○秒,其自行在一宮或在一十一宮,俱近最高得三 十三分三十八秒;在二或十宮,得三十四分三十六 秒;在三或九宮,得三十六分;在四或八宮,得三十七 分三十○秒;在五或七宮,俱近最庳得三十八分四十五 秒。如前法,以太陰半徑半景并每去減二十五分即 得此食分之數。他距度依此推之,其所繇漸漸有差 者,則因太陰距其最高愈遠,即視徑愈大故也。又平 分本徑亦有多寡、有大小,蓋太陰在最庳,其全體之 天度分為三十四分四十○秒,得平徑一十○分。設 食甚正在交點無距度,則二徑折半得天度一度○ 四分二十○秒,推總食之平徑分,得一十八分三十 四秒,而一平徑分當天度三分二十八秒。又設太陰 在高庳之中食甚,距度如前,其平徑亦一十○分,以 兩半徑推總食得一十八分四十四秒,而一平徑分 當天度三分一十五秒,與前不同,則以視徑故,更設 太陰在最高,其視徑更小,僅得天度三十○分三十 ○秒。食甚在交,皆如前,亦得平徑一十○分,而所推 總食分更多於前,為一十九分○五秒,則一平徑分 當天度三分○三秒,可見距度同平分,徑同而食分 不同者,月自行有高庳,其去地之遠近異,視徑亦異 故也。

求月食徑分

太陰入景,以本徑分明暗之限,為人目所見之分。若

圖

全食,更加入景之餘分,即既內分推得總食分,則距度能翕張,其二徑為食分多寡之緣也。今或依第三卷所定太陰及地景視徑表,用引數求之,并而去減其距度,則太陰視徑與十平分;若其二半徑減距度之餘分與食分;或依第二卷前

圖

所設求太陰均度之圖,用甲乙丁三角形求之,蓋乙甲丁太陰均度角之正弦與乙丁直線,若甲乙丁總自行餘弧角之正弦與甲丁直線,既得甲丁為太陰,距地遠次求太陰視徑,則其距地遠,甲丙與太陰實徑之正弦,丁乙若全數與

丁丙乙角之切線,次以太陰半徑與地半景大小之 比例,為一五○與四○三,推地景視半徑蓋一五○ 與四○三,若太陰視半徑之正弦與景視半徑之正 弦也。既得視半徑用三率法。如前推算,食分欲用表 則於引數查視半徑,而以月視徑及兩半徑減距度 之餘數,查食分然表中列數。從引數出其理一也。

求月食面積分

前論月食分皆目可見,器可測之,視徑分也。若求其 不全食之面,入景之分則有別法。設甲為地景之心,

圖

乙為太陰之心,以距度得其兩心相距為甲乙直線。又先得甲丙為地景視半徑,得乙丙為太陰視半徑。則甲乙丙三角形內有其三直線,可求三角。又甲乙丁三角形與甲乙丙三角形等,則以丙甲丁總角得丙戊丁弧。亦以丙乙丁總

圖

角得丙己丁弧。今欲以徑與圈之比例,推丙戊丁及丙己丁兩弧,與其本圈半徑同類之分若干。

弧曲線與直線異類,以周徑法變曲線分為直線分,故曰同類。

其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁兩半徑弧形。

兩半徑弧形者,兩半徑為兩腰,弧為底,求得其容積也。說見《測量全義》第三卷

亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁兩半徑弧形,又丙 丁直線為等腰,兩三角形之公底線求其半,得丙辛 以乘甲辛,得甲丙丁三角形之積,以乘乙辛得乙丙 丁三角形之積,次以兩三角形之積各減其兩半徑 弧形之積,所餘丙,戊丁己長圓形,為太陰入景之面。 可得其餘,不入景之面也。

假如崇禎五年壬申九月十四日夜,朢月食四分四

圖

十二秒食,甚太陰距度四十四分其視半徑一十六分二十五秒,地半景四十三分二十三秒,設甲乙為距度,乙丙為月半徑,甲丙為景半徑,則最大線甲乙與餘兩腰線甲丙丙乙,若兩腰線相減之餘,線甲丁與大線之分也。即算得大

圖

線之分甲戊,以其餘平分之為戊辛辛乙,次從丙作丙辛,必為甲乙之垂線矣。既得各線如圖皆通為秒。以求甲角及乙角,則甲辛與全數十萬若,甲丙與丙甲辛角之割線,算得甲角二十一度四十○分倍之,得四十三度二十○分為

丙戊丁地景之弧。又辛乙與全數若乙丙與辛乙丙 角之割線,算得乙角七十七度○六分。倍之得一百。 五十四度一十二分,為丁己丙太陰周之弧。次求其 各與本圈半徑同類之分,則月徑及地景徑各與其 本周若七分與二十二分也,推得地景周一六三六 一月,周六一九一,因此用丙戊丁及丙己丁兩弧各 求其本圈徑,同類之分,則全周一六三六一與所截 丙戊丁弧之分,若全周三百六十度與本截弧四十 三度二十○分,算得一九六九為丙戊丁弧,其半九

圖

八四為丙戊半弧也。又太陰全周之分六一九一與丙己丁弧之分,亦若三百六十度與本截弧一百五十四度一十二分,算得二六五一為丁己丙弧,半之,得一三二五為丙己半弧也。次以甲戊乘丙戊,得丙甲丁地景兩半徑弧形之

圖

積二五六一三五二。以乙己乘丙巳得丙乙丁太陰兩半徑弧形之積。又丙甲辛角之切線。乙丙也與丙辛若全數。甲丙也與甲辛得丙辛九六○,則彼此求兩等邊起線三角形之積,與求兩半徑弧形之積通為一法。得甲丙丁三角形之積

二三二二二四○。乙丙丁三角形之積二一一二○ ○。各減其兩半徑弧形之積,得丙辛丁戊分圈形之 積二三九一一二。丙己丁辛一○九三九二五并之, 得總數一三三三○三七。即丙己丁戊全形之積也。 又以太陰半徑九八五乘其半周三○九,得三○四 八五七五,與總數比,得太陰入景之面,與其未食之 面,若一十三分與三十○分也。

食甚前後時刻第三凡三章

食甚前,初虧也。食甚後,復圓也。兩限間之,時刻多寡, 其緣有三:一在太陰本時距度。因距度或多、或寡,每 食不同,即太陰入景淺深不同,淺則時刻必少,深則 時刻必多;其二在月及景兩視半徑。半徑小,太陰過 之所須時刻少,半徑大太陰過之所須時刻多;其三 在太陰自行。自行有時速,有時遲雖則距度同、視徑 同,而自行遲疾不同,即所須時刻不同矣。推距度及 視徑皆依前所設法,此專求太陰實行以定食時刻 分。

月食起復行度

圖

太陰入景,自初虧至食甚之弧,與其出景自食甚至復圓之弧,兩者略相等。故求其一,倍之,得在景之總弧。如圖甲為景心躔,甲乙黃道,乙丙為白道。太陰心至丁為初虧,在丙為食甚。復圓在戊丁。戊者,天周之弧也。而所截弧極小,故作

圖

直線用之,又甲乙丙三角形也,而乙角極小,乙丙與乙甲略等,故作平行線用之。因而甲丙可為垂線,因而丁丙與丙戊亦可為等。今自甲出兩直線為甲丁、為甲戊。皆當太陰地景之兩半徑,而甲丙為太陰距度,故甲丁戌三角形以甲

丁方減甲丙方,得甲丁方其根為太陰初虧至食甚

行過太陽之弧。若不用開方,則有別法以角求對邊 線。如甲丁線與丙直角,若甲丙線與甲丁丙角既得, 丁角餘為丁甲丙角,則丙直角與甲丁線,若甲角與 月行景之半線,丙丁也。雖食分不同,或半月入景,或 全體在景,求初虧至食甚之弧恒倣此。次求食既至 食甚亦倣此,倍之,得太陰全入景至生光及復圓之 總弧。如左圖,甲乙為黃道,乙丙為白道,太陰心行至 丁則全入景,既至戊即生光,得丙丁及丙戊略相等,

圖

故先得丙丁,倍之,即丁戊也。此則以甲丙為距度,甲丁為地,半景減月半徑之餘於甲丙丁三角形,用此兩線及甲丙丁直角,推丙丁線,與前同法。若欲精求之,不聽甲乙、乙丙為平行,仍作兩線斜交於乙,太陰初虧在丁,食甚在丙,復圓

圖

在戊,丙丁是太陰在景之半。為距交一十二分之一。即作丁庚線與甲乙平行,取丙庚亦丙甲距度一十二分之一,以減甲丙得甲庚,是太陰初虧之距度。以加甲丙得甲己,是太陰復圓之距度。次以甲丁、甲庚兩線及庚直角求得庚丁

線,以庚丁、庚丙兩線及庚直角求得丙丁線,為初虧 至食甚行度。後以甲己甲戊兩線及己直角求得戊 己線,以戊己、己丙兩線及己直角求得丙戊線,為食 甚至復圓行度也。

食甚距度線與白道當為垂線

求食時刻。設太陰食甚前行度與食甚後行度等。即 距度線必當為白道之垂線。不然者,必行度前後不 等,而時刻亦不等。如左圖,甲乙為白道,甲丙為黃道, 太陰在丁,自庚黃極出線,過丁月為庚丁弧,至戊黃

圖

道,指太陰實度在戊,因太陰在丁,得交常分甲丁,而庚丁與庚乙,若甲丁與甲戊,皆用正弦算若得甲丁四十五度,與甲戊最差之限得六分。

甲戊少於甲丁,在圖為己丁。

若甲丁在食限內其與甲

戊差又不及三分矣,因兩道之最大距不過五度,故 也設甲丁弧得二十○度,而以甲乙與乙丙之比例, 推甲丁與丁戊,得丁戊距度一度四十二分。今作戊 己與甲乙為垂線,又以甲丙與丙乙之比例,推甲戊 與戊己亦得戊己相距一度四十二分。可見丁與己 見有差。戊己與戊丁有微差不足見也。今不用戊丁 開方而用戊己,又以戊己平分,太陰入景與出景之 弧,其不得有差甚明矣。

太陰食在景時刻

前第二卷論月食以食甚時為主,於食甚前之初虧 至食甚後之復圓,總推定時刻分秒,其法以太陰在 景中行度變為時刻。如先得食甚前行度,求所當初 虧至食甚時刻,倍之,得其餘行度。亦變時刻,皆依先 所定行度,用比例法推筭也。如崇禎五年壬申三月 朢太陰初虧至食甚行四十○分一十六秒。欲變時 用三率法,太陰行三十三分一十一秒得一小時今 四十○分一十六秒,應得一時一十二分四十三秒。 但太陰自行恒異,平行食時間恆,不居本輪之一處。 故所用一小時之行分,以定食間行之時,不得用平 行必須考將食之實行,查太陰實行時表法,恒以自 行宮度得一小時之實行,每度所值,各各不同,如太 陰平行一時得三十○分二十九秒,以本時自行求 均度,或加、或減,於平行得實行,若加減度表對,自行 初宮三十二分四十○秒,得均度二分四十六秒,以 減三十○分二十九秒,得二十七分四十三秒,為表 中相當引數,初宮初度之率也。加減度表對自行一 宮三十二分四十○秒,得均度二分二十五秒。以減 一小時之平行,餘二十八分○四秒。為相當引數,一 宮及一十一宮之率也。其餘皆倣此第,自行在本輪 最高,左右必減,均度得一時之實,行在最庳,左右必 加,均度得一時之實行耳。

既以實行推定總時刻,則以食既至食甚之時減先 定食甚時刻分秒,得食既時刻分秒,以相加得生光 時刻分秒,又以減食甚前總時,得初虧,以相加得復 圓。又以初虧減復圓,得總食之時刻分秒。若初虧在 子時前,復圓在子時後,則即以丑初為十三時,{{Annotation|午正起算 用小時丑正為十四時,如是接續減之。

交食圖義第四凡三章

求日月失光之面向何方位,則有兩緣:其一從太陰 距黃道度作大圈,令過太陰、太陽兩心。此日食也或太陰 與地景兩心,此月食也下至地平周遭,移指交食所向之 方也;其二黃道斜交於地平,日月隨之行,遇食必有 時向東、南、西、北,有時向東、北、西、南也。欲繪交食圖,必 先察日月所向、起復方位,第舊法祗以陰陽二曆分 別南北殊粗率,今法必可得其度,分頗為繁細耳。

圖

距度變日月食所向方位

太陰食起復之間,以本行屢遷其度分,即作過兩心。月心地景心也大圈至地平時刻各異,所向方位亦時刻各異,欲盡推之其多無數,故當求其初虧、食既、食甚、生光、復圓五向而止。如圖,甲

圖

為地景心,甲乙為黃道,戊丙為白道,兩道之大距不遠,故作平行線論初虧,太陰在丙,食既在丁,食甚在戊,即甲丙、甲丁、甲戊皆過月地景兩心之弧,因太陰漸近於地景心,甲其距度遠近,漸次不同,而乙甲丙角、乙甲丁角、乙甲戊角之

小大亦不同,則太陰所向地平之方位度分亦不同。 故恆以本距度推本角,如甲丙初虧之距為半景月 半徑并之,甲丁食既之距為半景減半月徑之,甲戊 食甚則為太陰之正距度也。甲戊丁角可當直角,不 論其甲戊線與甲丙戊對角,若甲丙線與丁戊甲直 角,得甲丙戊角與乙甲丙角相等。乙甲丙為所求又甲丁戊 三角形,依此法推甲丁戊角與乙甲丁角此為所求相等。 而食甚乙甲戊為直角,故在甲諸角,其線不等。即所 向方位不等,論日食則甲丙為日月兩半徑,甲戊為

圖

太陰距太陽食甚之視度,以求甲丙戊角向下,皆同前法,今更作圖,甲為景心,乙丙為黃道,若太陰初虧在乙,其入景之面必正向東,若復圓在丙。

初虧在乙,復圓必不在丙,故曰若指他食也。

其出景之面必正向西,皆

無距度,故若其距北在丁,或在戊,即入景之面向東 南、或西南,若其距南或在己、或在庚,即入景之面向 東北、或西北也。論日食設甲為太陽心,其理同此,但 出入之面所向與月食所向正相反,此為異耳。

黃道出沒變日月食所向方位

黃赤兩道之兩交切地平,若一在正卯,一在正酉,不 偏南北,即諸方俱無闊度矣。外此或黃道距南、或距 北,其距漸多,其出沒之闊度去離卯酉亦漸多。又南 北極愈高,其相離更遠,如北極出地三十六度,黃道 度去離春秋分、或南、或北一宮,其闊度左右各一十 四度一十五分。若去離二宮,則更遠,其闊度各二十 五度一十三分,最遠者得二十九度二十九分。若北 極出地四十度,即一宮得闊度一十五度○四分,二 宮得二十六度四十五分,最遠則三十一度一十九 分也。太陰既隨黃道行其食也。亦必依其闊度,則起 復之所向方位,太陰亦必依闊度之左右也。今欲定 其多寡,如左圖,南、西、北、東為地平圈,丁甲戊為黃道, 食時得闊度戊距正東,若干太陰心在丙,景心在甲,

圖

過兩心之庚甲己,大圈指己,因戊黃道度距正東遠,己隨之距正東亦遠,而丙月之初入景所向為己也。今求東己弧。先設辛為天頂出高庳弧,過甲至壬為頂極圈,又作一癸午弧與甲庚為直角,次甲乙丙小三角刑有乙丙距度、有甲

丙兩半徑、有甲乙丙直角,依比例推得甲角,次以食 時及甲景所躔黃道度得戊甲辛角。即得其餘辛甲 乙角,又得辛甲乙所分之辛甲午角。減乙甲丙小角次甲辛 午三角形有甲角,有午直角,又以北極高及黃道,距 赤度得甲辛弧,可推得辛午線,以加辛癸象限,得午 癸總弧,為午己癸角,其餘角為甲己壬也。而己甲壬 為辛甲午之對角,甲壬為辛甲之餘弧,因可推壬己 弧。又戊甲壬三角形有原推之甲戊,有甲壬戊直角, 有乙甲辛相對之壬甲戊角,因可推壬戊弧,去減先得之壬己,餘己戊為所求太陰初入景所向東南維 之地平經度。以加初所得東戊弧,則得東己總弧。

月食圖

西曆恒推日月食所向方位,以其所虧及復圓距度 作圖,求距度。食甚前與食甚後為一法,以太陰自初 虧至食甚之實行加入太陽同時所行分秒,得太陰 初虧至食甚在景之總分。以加前所定食甚交常度, 得復圓交常度,以減得初虧交常度,次求初虧距度, 則全數與其交常度。若黃白之大距度與其距度,求 復圓距度倣此。

假如崇禎五年壬申三月朢太陰初虧至食甚景中 行過太陽四十○分一十六秒,為時四刻一十二分 四十三秒,同時太陽行二分五十七秒,以加前行得 四十三分一十三秒為太陰在景之總行,其食甚交 常度為過中交八度三十五分五十八秒,以加太陰 總行四十三分一十三秒,得復圓交常度一十○度 一十九分一十一秒,其正弦一七九一四,以減得初 虧交常度七度五十二分四十五秒。其正弦一三七

圖

一○,算得太陰初虧距度四十一分,復圓四十九分三十○秒。若用表以時分查太陽本行以交常度,查太陰距度更易得矣。欲依本食作圖,其外大圈之半徑為月半徑、地半景,并得一度○四分三十二秒。

圖

量用比例規或先平分一直線

內取食時,所得地半景,

此為四十六分三十五

秒。

作內圈以當景,次查距度,此食在南,初虧四十一分。復圓四十九分,得太陰初在乙,後在丁,食甚亦依其

距度在丙為食之定,分圖上、下、左、右書四方,其起復 所向方位,必與天合也。以上原本曆指卷十二交食之四

視差以人目為主第一凡四章

前言實會中會視時食限等,皆日月食之公法也。是 皆準於地心。今再論月食生於地景,景生於日,故天 上之實食,即人所見之視食,無二食也。日食不然。有 天上之實食,有人所見之視食,其食分之有無、多寡, 加時之早晚、先後,各各不同。推步日食難於太陰者, 以此其推算視食,則依人目與地面為準。

視會

凡交會者必參相直,不參直不相掩也。日之有實食 也,地心與月與日參居一線之上也。其有視食也,人 目與月與日參居一線之上也。人目居地面之上,與 地心相距之差為大地之半徑,則所見日食與實食 恆偏左、偏右分為兩直線,各至於宗動天其所指不 得同,度分是生視差而人目所參對之線,不得為實 會,而特為視會。

如左圖,甲為地心,乙為地面,丙為天頂,若丁為日,戊

圖

為月,即在甲丙一直線上。則實會,即為視會。因地心與人目無分線,故也若日在辛,必月至壬,方與地面乙作一線為視會矣。若月至己,與地心甲作一線則實會也。今言交食惟以目見為憑,故日食全論視會若所居地面不同,即食分

圖

多寡,加時早晏,亦隨之異也。又視會實會在日月,本天皆無度分可指,而全依宗動天之黃道圈度分,則此實會線所指,謂之實度,視會線所指謂之視度,如圖甲辛線所指為黃道之庚,則庚為太陽之實度,若乙目視辛日至黃道,癸視

己月至黃道,午則癸為太陽之視度,午為太陰之視 度也。

日月目見之度非實度

譬之畫圖者作平圓形,則一舉手一運規即得矣。若 欲為螺旋線,先須依法作識,又依法作線,乃成形焉。 測天之法亦猶是耳。今欲知日月躔離東、西、南、北,亦 轉儀闚表一覽可知,若欲定其本行所在,則非聊一 寓目遽能得之。必先後累測度分展轉較勘乃可定 也。假令目居地之中心,地之心即宗動天之心極目所見,則有恆星以當彼界。兩界中間有日月、五星,是名七曜,七 曜相視,有遠有近,無有同者,即論一曜亦各,時遠時 近,無時同者,是則目所能見也。然因目所見得其視 度於彼界,因以視度測其與某恆星相距若干度分, 因以是度推其實與地相距若干遠近,則可,謂即目 所見,遂得其實,行能分別其去地遠近,則不可,何者 七政。諸本天雖居恒星,天之內乃不見火木土等內 天之星,以本體能掩最外之恒星,則何從辨其內外 遠近乎。又目所見者太陰、太陽二體相若,何從知其 內外之相,距絕遠二體之小大,絕不相等乎。內天之 兩星參對於外天之兩經,星目見之能知外者之兩 相距甚遠,內者之兩相距不甚遠乎。是三者皆目力 難憑之效也。或曰:是則然矣。測量之法皆憑目所見 也。則可廢乎。曰:何可廢也。惟測內天之星得彼界所 指之點,以為即在恆星之天,聊可得之矣。何者凡用 在界之弧以測其輳心之角,無弗真者。目測恆星之 天,其在地面與其在地心也,無以異。

地居恆星天中止當一點

若測內天諸曜目,雖不在地心,相距亦不甚遠。故測 日月五星於彼界上得點,即與實度相近。

曰:聊可得之。曰:距不甚遠。曰:近其實度,皆因有地半徑視差故。

但恆星有時不見,或與內天諸曜不相值,故曆家以 地平代恆星,更用遠視之器以助目力,得日月五星 之視度分,依法推步,乃正得其實度分矣。

人視差

兩目存不惟相助以為明,相代以備患,亦能彼此 互用,以察物之遠近,蓋各以其心目睛最中之一點為心受外 物之象,其過心之兩直線,至物體則相遇為兩腰,兩 睛心自相距為底,成三角形。因以其比例之大小,別 物距目之遠近,是謂目差。緣此,可推天上之視差以 小喻大,其理一也。若物大,遠於人,目則底線極小,兩 腰極長,是過睛心之兩徑線與平行無異。正如地球 比恒星天之高,特以一點為底,視差無所繇生矣。 如左圖,兩目之心為甲、為乙,目所視之物為丙,若甲 乙線可比於甲丙線,可比者不甚遠則有比例則兩戊己徑線漸

圖

相就如己,而相遇於丙,若物更相近為丁,則兩徑速相就為辛庚。

甲乙丙及甲乙丁兩三角形皆等邊,又同一底線,則丁角大於丙角,而丁甲乙角必小於丙甲乙角。

而兩目之光線皆從己斂

向於庚,自覺所視之物變遠為近矣。若物與目相去 甚遠,則無比例者,因兩徑絕難相就、絕難相遇,故也。 今借此理明視差之公理。如本圖,設丁物之前有橫 堵為壬癸,令甲目獨視丁物,則所見若在壬令,乙目 獨視丁則所見反在癸,而丁前、丁後兩交角形必相 似,即丁物亦不遠於壬,不遠於癸,蓋視之目分兩線 為交角,即能分本物之遠近也。若不能分兩線,即不 能分遠近。

地半徑差

目視星欲辨六曜,月五星也恆星之內勢不能也,則當 借地體之大,補目力之不及。法用地半徑為底,以推 測量所指之界,即可得七政遠近、上下,各居本天之 實處。如左圖,甲乙兩目相距為底則二寸耳,今以兩 地相距數千里或數里,當之以為底,如甲為順天府, 乙為廣州府,丁為太陰。兩人同測之,一在甲,一在乙, 因此大底之遠近比於各距太陰之兩腰,得大小之 比例,則甲丁及乙丁兩直線必覺彼此相就以趨於 丁矣。再使壬、癸為列宿天之兩恆星,

圖

或壬癸為太陽之全體,壬當其南周,癸當其北周。

測者一從甲見太陰,丁若在壬以本體合於一星之體。

或太陰之南周,齊太陽之南周。

一從乙測太陰反在癸,轉

圖

就北以合於他星。或太陽之北周若甲乙兩測之距愈相遠,即所見丁月兩指之極高,亦愈相遠。

一偏南,一偏北,東西亦同。

而人在甲能見太陰掩日,為日食。人在乙即不可得見矣。以此壬癸當宗動天

上之弧,正所謂視差與前言目見之小視差,其理一

也。第兩人相距千里、萬里,同時並測太陰其勢甚難, 故立別法代之。

詳見本書第六卷下文略言之。

假令人正居地心,推其所得太陰距天頂應若干度 分。又同時居地面者,實測太陰距天頂得若干度分, 兩度之差即所謂視差也。如圖,甲乙丙為地球,丁為 天頂,甲戊丁直線所至也。若太陰在此線左,右為己, 從甲地心測月,見之當在庚。自地面乙測之,乃在辛。

圖

則先推定丁甲庚角或所當之丁庚弧,後推丁乙辛角或所當之丁辛弧。

乙距甲與乙距丁無比例,甲乙至小故。

以兩角或兩弧相減,得視差之弧庚辛。

問一星距天頂,測其宗動天上所指度分,在地心測

圖

之則距近,在地面測之則距遠。若論角則地面之乙角大於地心之甲角。何以證之。其故何也。曰:因其一遠一近。如圖,太陰在本天,其距頂之弧為己戊,己戊之距,地心甲與其距地面乙遠近之差,則目所能識也,所能分也。

圖

因地之半徑與月本天之半徑有比例故。

則目之在甲與在乙所受己戊弧之象實不能無大小為己戊弧等,而兩角之大小不等。

目受物象皆以角形,見交食第一卷。

相近者必大,遠者必小也。

角既有大有小,所相當之弧不得不有大小,則辛之 距天頂視庚之距天頂不得不遠矣。又論辛庚視差 實為辛甲庚角,所定何用辛巳庚或甲己乙角乎。曰 甲乙線與甲庚線無比例。小大絕遠故而甲乙與甲己則 有比例,即甲己與甲庚亦無比例也。既甲乙與甲己 同為微末,不以入算,則用辛巳庚角代辛甲庚角無 以異矣。若論角,則丁乙辛角與丁辛弧相當。因甲乙與乙丁 無大小之比例又丁乙巳角與乙甲己及甲己乙兩角并等。 見幾何第一卷十六題則兩角并亦與丁辛弧相當矣。今丁庚 弧既與丁甲庚角相當,則餘弧庚辛必與餘角甲己 乙或辛巳庚相當也。


PD-icon.svg 本作品在全世界都属于公有领域,因为作者逝世已经超过100年,并且于1923年1月1日之前出版。