欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第109卷

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曆象彙編 第一百九卷
曆象彙編 曆法典 第一百十卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百九卷目錄

 算法部彙考一

  禮記內則

  周禮訂義地官

  周髀算經卷上一

曆法典第一百九卷

算法部彙考一编辑

《禮記》
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內則编辑

六年,教之數與方名。九年,教之數日。十年,出就外 傅,居宿於外,學書計。

數謂一十百千萬,方名東西南北也。九年,教之數日。知朔朢與六甲也。書謂六書,計謂九數。

《周禮訂義》
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地官编辑

保氏,掌諫王惡,而養國子以道。乃教之六藝:一曰五 禮,二曰六樂,三曰五射,四曰五馭,五曰六書,六曰九 數。

鄭司農曰:九數,方田粟米,差分少,廣商功,均輸方程,贏不足旁。要今有重差、夕桀、句股。賈氏曰:皆依九章算術而言。云今有重差、夕桀、句股者,此漢法增之。

《周髀算經》
漢趙君卿注
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卷上一编辑

昔者,周公問於商高曰:竊聞乎大夫善數也。唐寅曰經文也

周公姓姬,名旦,武王之弟。商高,周時賢大夫,善算者也。周公位居冢宰,德則至高,尚自卑己以自牧,下學而上達。況其凡乎。唐寅曰此趙注也

請問:古者包犧立周天曆度。

包犧,三皇之一,始畫八卦,以商高善數,能通乎微妙,達乎無方,無大不綜,無幽不顯。聞包犧立周天曆度,運章蔀之法。《易》曰:古者,包犧氏之王天下也,仰則觀象於天,俯則觀法於地。此之謂也。

夫天不可階而升,地不可將尺寸而度。

邈乎懸廣,無階可升,蕩乎遐遠,無度可量。

請問:數從安出。

心昧其機,請問其目。

商高曰:數之法,出於圓方。

圓徑一而周三,方徑一而匝四。伸圓之周而為句,展方之匝而為股,共結一角,邪適弦五。政圓方邪徑相通之率。故曰數之法,出於圓方。圓方者,天地之形,陰陽之數。然則周公之所問天地也,是以商高陳圓方之形以見其象,因奇耦之數以制其法,所謂言約旨遠,微妙幽通矣。

圓出於方,方出於矩。

圓規之數,理之以方,方周匝也。方正之物,出之以矩,矩廣長也。

矩出於九九八十一。

推圓方之率,通廣長之數,當須乘除以計之。九九者,乘除之原也。

故折矩。

故者,申事之辭也。將為句股之率,故曰折矩也。

以為句廣三。

廣圓之周橫者,謂之廣句,亦廣。廣,短也。

股修四。

應方之匝從者,謂之修股,亦修。修,長也。

徑隅五。

自然相應之率,徑直隅角也,亦謂之弦。

既方之外,半其一矩。

句股之法:先知二數,然後推一見句股,然後求弦。先各自乘成其實,實成勢化,外乃變通。故曰:既方其外,或並句股之實,以求弦,實之中乃求句股之分。並實不正等,更相取與,互有所得,故曰半其一矩。其術:句股各自乘三三如九,四四一十六,并為弦,自乘之實二十五,減句於弦為股之實一十六,減股於弦,為句之實九。

環而共盤,得成三四五。

盤,讀如盤桓之盤言取而並,減之積環屈而共盤之謂開方,除之其一面,故曰得成三四五也。

兩矩共長二十有五,是謂積矩。

兩矩者,句股各自乘之實。共長者,並實之數。將以施於萬事,而此先陳其率也。

故禹之所以治天下者,此數之所生也。

禹治洪水,決流江河,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災,釋昏墊之厄。使東注於海而無浸溺,乃句股之所由生也。

左圖

左圖

弦圖

弦圖

右圖

右圖

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句股方圓圖注

趙君卿曰:句股各自乘併之為弦實,開方除之即弦也。案弦圖,又可以句股相乘為朱實,二倍之為朱實四。以句股之差自相乘為中黃實,加差實亦成弦實。以差實減弦實,半其餘,以差為從法開方除之,復得句矣。加差於句即股,凡并句股之實即成弦實。或矩於內,或方於外,形詭而量均,體殊而數齊。句實之矩,以股弦差為廣,股弦并為袤而股實方其裏。減矩句之實於弦實,開其餘即股倍。股在兩邊為從法開矩句之角,即股弦差,加股為弦,以差除句實得股弦并,以并除句實亦得股弦差。令并自乘與句實,為實倍并,為法所得亦弦句實。減并自乘,如法為股。股實之矩,以句股差為廣。句弦并為袤,而句實方其裏。減矩股之實於弦實,開其餘即句倍。句在兩邊為從法開矩股之角即句弦差,加句為弦,以差除股實得句弦并。以并除股實得句弦差。令并自乘,與股實為實倍并為法,所得亦弦股實。減并自乘,如法為句。兩差相乘倍而開之,所得以股弦差增之,為句。以句弦差增之為股,兩差增之為弦倍。弦實列句股差實見弦實者,以圖考之,倍弦實滿外大方,而多黃實。黃實之多即句股差實。以差實減之,開其餘得外大方。大方之面即句股并也。令并自乘,倍弦實乃減之,開其餘得中黃方。黃方之面,即句股差。以差減并而半之為句,加差於并而半之為股,其倍弦為廣袤合。令句股見者,自乘為其實,四實以減之,開其餘所得為差,以差減合半其餘為廣,減廣於弦即所求也。觀其迭相規矩,其為反覆,互與通分,各有所得。然則統敘群倫,弘紀眾理,貫幽入微,鉤深致遠。故曰其裁制萬物,唯所為之也。

釋圓方句股注

按君卿注曰:句股各自乘并之為弦,實開方除之即弦。

臣鸞曰:假令句三自乘得九,股四自乘得十六,并之得二十五,開方除之,得五,為弦也。寅曰:五五二十五弦實四面之一也

注云:按弦圖,又可以句股相乘為朱實,二倍之為朱實四。以句股之差自相乘為中黃實。寅曰:句股相乘其數一十二也

臣鸞曰:以句弦差二倍之為四,自乘得一十六,為左圖中黃實也。寅曰:甄氏止注以句股十二字之義臣淳風等謹按注云:以句股之差自乘為中黃實,鸞云:倍句弦差自乘者,苟求異端。雖合其數,於率不通。寅曰:句股之差,其數一也。自乘得一一如一注云:加差實亦成弦實。

臣鸞曰:加差實一,并外矩青八,得九;并中黃十六,得二十五,亦成弦實也。

臣淳風等謹按注云:加差實一亦成弦實。鸞曰:加差實并外矩及中黃者,雖合其數,於率不通。寅曰:加差實之,一於前文所言,朱實四之,上朱實之四為二十四,加一為弦實二十五也注云:以差實減弦實,半其餘以差為從法,開方除之復得句矣。

臣鸞曰:以差實九減弦實二十五,餘十六。半之得八,以差一加之得九,開之,得句三也。

臣淳風等謹按注宜云:以差實一減弦實二十五,餘二十四。半之為十二。以差一從開方除之得句三。鸞云:以差實九減弦實者,雖合其數,於率不通。顧應祥曰:以差實一減弦實二十五

注云:加差於句,即股。

臣鸞曰:加差一於句三,得股四也。

注云:凡并句股之實,即成弦實。

臣鸞曰:句實九股實十六並之,得二十五也。注云:或矩於內,或方於外,形詭而量均,體殊而數齊。句實之矩,以股弦差為廣,股弦並為袤。

臣鸞曰:以股弦差一為廣,股四並弦五得九為袤。左圖外青也。

注云:而股實方其裏。

臣鸞曰:為左圖中黃十六。

注云:減矩句之實於弦實,開其餘即股。

臣鸞曰:減矩句之實九,於弦實二十五,餘一十六。開之得四,股也。

注云:倍股在兩邊為從,法開矩句之角,即股弦差。臣鸞曰:倍股四得八,在圓兩邊。以為從法,開矩句之角九得一也。

注云:加股為弦。

臣鸞曰:加差一於股四,則弦五也。

注云:以差除句實,得股弦並。

臣鸞曰:以差一除句實九得九,即股四弦五並為九也。

注云:出並除句實,亦得股弦差。

臣鸞曰:以九除句實九,得股弦差一。

注云:令并自乘,與句實為實。

臣鸞曰:令並股弦得九,自乘為八十一。又與句實九加之,得九十為實。

注云:倍並為法。

臣鸞曰:倍股弦並九得十八者,為法。

注云:所得亦弦。

臣鸞曰:除之得五為弦。寅曰:以法十八除實九十注云:句實減並自乘,如法為股。

臣鸞曰:以句實九減並自乘八十一,餘七十二。以法十八除之,得四,為股也。

注云:股實之矩以句弦,差為廣。句弦並為袤。臣鸞曰:股實之矩以句弦差二為廣,句弦並八為袤。

注云:而句實方其裹,減矩股之實於弦實,開其餘即句。

臣鸞曰:句實有九,方在右圖裏。以減矩股之實十六,於弦實二十五,餘九,開之,得三,句也。

注云:倍句在兩邊。

臣鸞曰:各三也。寅曰:倍之得六

注云:為從法開矩股之角,即句股差,加句為弦。臣鸞曰:加差二於句三,則弦五也。

注云:以差除股實得句弦並。

臣鸞曰:以差二除股實十六得八,句三弦五並為八也。

注云:以並除股實,亦得句弦差。

臣鸞曰:以並除股實十六,得句弦差二。

注云:令並自乘與股實為實。

臣鸞曰:令並八自乘得六十四,與股實十六加之,得八十為實。

注云:倍並為法。

臣鸞曰:倍句弦並八,得十六為法。

注云:所得亦弦。

臣鸞曰:除之得弦五也。

注云:股實減並自乘,如法為句。

臣鸞曰:以股實十六減並自乘六十四,餘四十八。以法十六除之,得三,為句也。

注云:兩差相乘,倍而開之,所得增股弦差為句。臣鸞曰:以股弦差一乘句弦差二得二,倍之為四,開之得二。以股弦差一增之,得三,句也。

注云:以句弦差增之為股。

臣鸞曰:以弦差二增之,得四,股也。

注云:兩差增之為弦。

臣鸞曰:以股弦差一,句弦差二,增之,得五,弦也。注云:倍弦實,列句股差實。見弦實者,以圖考之,倍弦實滿外大方。而多黃實。黃實之多即句股差實。臣鸞曰:倍弦實二十五得五十,滿外大方七七四十九,而多黃實。黃實之多,即句股差實也。

注云:以差實減之,開其餘得外大方。大方之面即句股並。

臣鸞曰:以差實一減五十,餘四十九,開之即大方之面,七也,亦是句股並也。

注云:令並自乘,倍弦實乃減之,開其餘得中黃方。黃方之面,即句股差。

臣鸞曰:並七自乘得四十九,倍弦實二十五得五

十。以減之餘即中黃方,差實一也。故開之即句股差一也。

注云:以差減並而半之為句。

臣鸞曰:以差一減並七餘六,半之得三,句也。注云:加差於並而半之為股。

臣鸞曰:以差一加并七得八,而半之得四,股也。注云:其倍弦,為廣袤合。

臣鸞曰:倍弦二十五為五十,為廣袤合。

臣淳風等謹按:列廣袤術,宜云倍弦五,得十為廣袤合。今鸞云:倍弦二十五者,錯也。寅曰:句廣一袤九,股廣二袤八注云:而令句股見者,自乘為其實四,實以減之開其餘,所得為差。

臣鸞曰:令自乘者,以七七自乘得四十九。四實大方,句股之中有四方,一方之中有方十二。四實有四十八,減上四十九餘一也,開之得一即句股差一。

臣淳風等謹按注:意令自乘者十,自乘得一百四實者,大方廣袤之中有四方。若GJfont句實而言,一方之中有實九。四實有三十六,減上一百餘六十四,開之得八,即廣袤差。此是股弦差減股弦並餘數。若據股實而言之,一方之中有實十六。四實有六十四,減上一百,餘三十六,開之得六,即廣袤差。此是句股差減句弦,并餘數也。鸞云:令自乘者,以七七自乘得四十九,四實者,大方。句股之中有四方,一方之中有方十二四實者,四十八減上四十九餘一也,開之得一,即句股差一者,錯也。寅曰:大方之中有四弦實,故四其句,實得三十六,減之,餘六十四,開其餘,得八,為句之廣袤差。四其股,實得六十四,減之餘三十六,開得六,為股之廣袤差。所謂廣袤差者,句廣一而袤九,股廣二而袤八,廣袤相減之餘也注云:以差減合,半其餘,為廣。

臣鸞曰:以差一減合七,餘六,半之得三,廣也。臣淳風等謹按注:意以差八六各減合十,餘二四。半之得一二。一即股弦差,二即句弦差。以差減弦即各袤廣也。鸞云:以差一減合七,餘六,半之得三,廣者,錯也。寅曰:以句之廣袤差八,減廣袤合十,餘二,半之為句之廣。以股袤差六,減廣袤合十,餘四,半之為股之廣。二注皆未瑩

注云:減廣於弦,即所求也。

臣鸞曰:以廣三減弦五,即所求差二也。

臣淳風等謹按:注意,以廣一二各減弦五,即所求股四,句三也。鸞云:以廣三減弦五,即所求差二者,此錯也。寅曰:甄鸞述說終此

周公曰:大哉。言數。唐寅曰:此經文也

心達數術之意,故發大哉之歎。唐寅曰:此趙注也

請問:用矩之道。

謂用表之宜,測望之法。

商高曰:平矩以正繩。

以求繩之正,定平懸之體。將欲慎毫釐之差,防千里之失。

偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠。

言施用無方,曲從其事。術在九章。

環矩以為圓,合矩以為方。

既以追尋情理,又可造製圓方。言矩之於物,無所不至。

方屬地,圓屬天,天圓地方。

物有圓方,數有奇耦。天動為圓,其數奇。地靜為方,其數耦。此配陰陽之義,非實天地之體也。天不可窮而見,地不可盡而觀,豈能定其圓方乎。又曰:北極之下高,人所居六萬里。滂GJfont四隤而下,天之中央亦高,四旁六萬里,是為形狀。同歸而不殊塗,隆高齊耽而易以陳。故曰天似蓋笠,地法覆槃。

方數為典,以方出圓。

夫體方則度影正,形圓則審實難。蓋方者有常,而圓者多變。故當制法而理之。理之法者,半周半徑相乘,則得方矣。又可周徑相乘四而一,又可徑自乘三之四而一,又可周自乘十二而一。故圓出於方。典實也

笠以寫天。

笠亦如GJfont,其形正圓,戴之所以象天,寫猶象也。言笠之體,象天之形。《詩》云:何蓑何笠,此之義也。

天青黑,地黃赤。天數之為笠也。青黑為表,丹黃為裏, 以象天地之位。

既象其形,又法其位,言相方類,不亦似乎。

是故知地者智,知天者聖。

言天之高大,地之廣遠,自非聖智。其孰能與於此乎。

智出於句。

句,亦影也。察句之損益,加物之高遠,故曰智出於句。

句出於矩。

矩謂之表,表不移亦為句。為句將正。故曰:句出於矩焉。

夫矩之於數,其裁制萬物,唯所為耳。

言包含幾微,轉通旋環也。

周公曰:善哉。

善哉,言明曉之意,所謂問一事而萬事達。

昔者,榮方問於陳子。

榮方、陳子是周公之後人。非《周髀》之本文。然此二人共相解釋。後之學者,謂之章句。因從其類,列於事。下又欲尊而遠之。故云:昔者。時世官號未之前聞。

曰:今者,竊聞夫子之道。

榮方問陳子能述商高之旨,明周公之道。

知日之高大。

日去地與圓徑之術。

光之所照,

日旁照之所及也。

一日所行,

日行天之度也。

遠近之數。

冬至夏至,去人之遠近也。

人所望見,

人目之所極也。

四極之窮,

日光之所遠也。

列星之宿,

二十八宿之度也。

天地之廣袤。

袤長也,東西南北謂之廣長。

夫子之道,皆能知之,其信有之乎。

能明察之,故不昧不疑。

陳子曰:然。

言可知也。

榮方曰:方雖不省,願夫子幸而說之。

欲以不省之情,而觀大雅之法。

今若方者,可教此道邪。

不能自料,訪之賢者。

陳子曰:然。

言可教也。

此皆算術之所及。

言《周髀》之法,出於算術之妙也。

子之於算,足以知此矣。若誠累思之。

累,重也。言若誠能重累思之,則達至微之理。

於是榮方歸而思之,數日不能得。

雖潛心馳思,而才單智竭。

復見陳子曰:方思之不能得,敢請問之。陳子曰:思之 未熟。

熟猶善也。

此亦望遠起高之術,而子不能得,則子之於數,未能 通類。

定高遠者,立兩表望懸邈者,施累矩言未能通類。求句股之意。

是智有所不及,而神有所窮。

言不能通類,是情智有所不及,而神思有所窮滯。

夫道術言約而用博者,智類之明。

夫道術,聖人之所以極深而研。幾唯深也,故能通天下之志。唯幾也,故能成天下之務。是以其言約其旨遠,故曰智類之明也。

問一類而萬事達者,謂之知道。

引而伸之,觸類而長之,天下之能事畢矣,故謂之知道也。

今子所學,

欲知天地之數

算數之術,是用智矣。而尚有所難,是子之智類單。

算術所包,尚以為難,是子智類單盡。

夫道術所以難通者,既學矣,患其不博。

不能廣博,

既博矣,患其不習。

不能究習,

既習矣,患其不能知。

不能知類

故同術相學,

術教同者,則當學通類之意。

同事相觀。

事類同者,觀其旨趣之類。

此列士之愚智,

列,猶別也。言視其術,GJfont其學,則愚智者別矣。

賢不肖之所分。

賢者,達於事物之理。不肖者,闇於照察之情。至於役神馳思,聰明殊別矣。

是故能類以合類。此賢者業精習智之質也。

學其倫類,觀其指歸。唯賢智精習者能之也。

夫學同業而不能入神者,此不肖。無智而業不能精 習。

俱學道術明,不察不能以類。合類而長之,此心遊目蕩,義不入神也。

是故算不能精習,吾豈以道隱子哉。固復熟思之。

凡教之道,不憤不啟,不悱不發。憤而悱之,然後啟發。既不精思,又不學習,故言吾無隱也。爾固復熟思之,舉一隅,使反之以三也。

榮方復歸思之,數日不能得。復見陳子曰:方思之以 精熟矣。智有所不及,而神有所窮。知不能得,願終請 說之。

自知不敏,避席而請說之。

陳子曰:復坐,吾語汝。於是榮方復坐,而請陳子說之。 曰:夏至南萬六千里,冬至南十三萬五千里,日中立 竿測影。

臣鸞曰:南戴日,下立八尺表。表影千里而差一寸。是則天上一寸,地下千里。今夏至影有一尺六寸,故其萬六千里。冬至影一丈三尺五寸,則知其十三萬五千里。

此一者,天道之數。

言天道數,一悉以如此。

周髀長八尺,夏至之日晷一尺六寸。

晷,影也。此數望之從周城之南千里也。而周官測影尺有六寸,蓋出周城南千里也。記云:神州之土方五千里,雖差一寸,不出畿地之分。先王知之,是故建王國。

髀者,股也。正晷者,句也。

以髀為股,以影為句,股定。然後可以度日之高遠。正晷者,日中之時節也。

正南千里,句一尺五寸。正北千里,句一尺七寸。

候其影,使表相去二千里,影差二寸。將求日之高遠,故先見其表影之率。

日益表南晷,日益長候句六尺。

候其影,使長六尺者,欲令句股相應,句三股四弦五,句六股八弦十。

即取竹空徑一寸,長八尺,捕影而視之,空正掩日。

以徑寸之空視日之影,髀長則大,矩短則小,正滿八尺也。捕,猶索也。掩,猶覆也。

而日應空之孔。

掩若重規更言八尺者,舉其定也。又曰近則大遠則小以影六尺為正。

由此觀之,率八十寸而得徑一寸。

以此為日髀之率。

故以句為首,以髀為股。

首,猶始也。股,猶末也。句能制物之率,股能制句之正。欲以為總見之數,立精理之,本明可以周萬事。智可以達無方,所謂智出於句,句出於矩也。

從髀至日下六萬里,而髀無影。從此以上至日,則八 萬里。

圖

臣鸞曰:求從髀至日下六萬里者,先置南表晷六尺上十之為六十寸,以兩表相去二千里乘得十二萬里為實,以影差二寸。為法除之得日底地去表六萬里,求從髀至日八萬里者,先置表高八尺,上十之為八十寸,以兩表相去二千里乘之得十六萬為實,以影差二寸,為法除之得從表端上至日八萬里也。

若求邪至日者,以日下為句,日高為股。句股各自乘 並而開方除之得邪至日。從髀所旁至日所十萬里,

旁此古邪宇,求其數之術曰:以表南至日下六萬里為句,以日高八萬里為股,為之求弦句股各自乘並而開方除之,即邪至日之所也。

臣鸞曰:求從髀邪至日所法:先置南至日底六萬里為句,重張自乘得三十六億為句實,更置日高八萬里為股重張,自乘得六十四億為股實。并句股實得一百億為弦實,開方除之得從王城至日十萬里。今有十萬里,問徑幾何。曰:一千二百五十里八十寸而得徑一寸。以一寸乘十萬里為實,八

十寸為法即得。

以率率之八十里,得徑一里十萬里得徑千二百五 十里。

法當以空徑為句率,竹長為股率,日去人為大股。大股之句即日徑也。其術以句率乘大股股率,而一此以八十里為法,十萬里為實。實如法而一,即得日徑。

故曰日晷徑千二百五十里。

臣鸞曰:求以率八十里得徑一里十萬里,得徑千二百五十里法:先置竹孔徑一寸為十里為句,更置邪去日十萬里為股,以句十里乘股十萬里得一億為實。更置日去地八萬里為法,除實得日晷徑千二百五十里,故云日晷徑也。

臣淳風等謹按:夏至王城望日立兩表,相去二十里。表高八尺,影去前表一尺五寸,去後表一尺七寸。舊術以前後影差二寸為法,以前影寸數乘表間為實。實如法得萬五千里為日下去南表里。又以表高八十寸乘表間為實,實如法得八萬里,為表上去日里。仍以表寸為日高,影寸為日下。待日漸高,候日影六尺用之為句,以表為股,為之求弦得十萬里為邪表數目。取管圓孔徑一寸長八尺,望日滿筒以為率,長八十寸為一邪。去日十萬里日徑即千二百五十里,以理推之,法云:天之處心高於外衡六萬里者,此乃語與術違。句六尺、股八尺、弦十尺,角隅正方,自然之數蓋。依繩水之定,施之於表矩。然則天無別,體用日以為高下。術既隨手而遷高下,從何而出。語術相違,是為大失。又按二表下地,依水平法定。其高下若北表。地高則以為勾,以間為弦,置其高數其影乘之其表,除之所得益股為定間。若北表下者,亦置所下以法乘除,所得以減股為定間。又以高下之數與間相約,為地高遠之率。求遠者,影乘定間差法而一,所得加表日之高也。求邪去地者,弦乘定間差法而一,所得加弦日邪,去地此三等至。皆以日為正,求日下地。高下者,置戴日之遠近,地高下率。乘之如間率而一,所得為日下地。高下形勢,隆殺與表間同,可依此率。若形勢不等,非代所知率日徑,求日大小者,徑率乘間如法而一,得日徑。此徑當即得。不待影長六尺。凡度日者,先須定二矩。水平者,影南北立勾齊高四尺,相去一丈。以二弦候牽於勾,上並率。二則擬為候影。勾上立表,弦下望日。前一則上畔,後一則下畔。引則就影,合與表日參直二至前後三四日間影不移處,即是當以候表並望。人取一影亦可日徑影端表頭為則。然地有高下,表望不同,後六術乃窮其實。

第一後高前下術:高為句,表間為弦,後復影為所求率表。為有所率以句為所有數所得益,股為定間。

第二後下術:以其所下為句,表間為弦,置其所下。以影乘表,除所得,減股餘為定間。

第三邪下術:依其北高之率,高其句影,令與地勢隆殺相似,餘同平法。假令髀邪下,而南其邪亦同。不須別望,但弦短與句股,不得相應。其南里數亦隨地勢,不得校乎。平則促,若用此術,但得南望。若北望者,即用句。照南下之術,當北高之地。

第四邪上術:依其後下之率,下其句影,此謂迴望北極。以為高遠者,望去取差亦同。南望此術,弦長亦與句股不得相應。唯得北望不得南望。若南望者,即用句影北高之術。

第五平術,不論高下。周髀度日,用此平術,故東西南北四望皆通。遠近一差,不須別術。

第六術者,是外衡。其徑云四十七萬六千里,半之得二十三萬八千里者,是外衡去天心之處。心高於外衡六萬里為率,南行二十三萬八千里。下校六萬里約之,得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步差下三十步。三十步大強差下十步,以此為準,則不合有平地。地既平而用術尤乖理驗且自古論晷影差變每有不同今略其梗概,取其推步之要。尚書攷靈曜云:日永影尺五寸,日短一十三尺,日正南千里而減一寸。張衡靈憲云:懸天之晷,薄地之儀,皆移千里而差一寸。鄭元註《周禮》云:凡日影於地千里而差一寸。王蕃姜岌因此為說。按前諸說,是數並同。其言更出書非直有此以事,考量恐非實矣。謹按宋元嘉十九年歲在壬午,遣使往交州度日影。夏至之日影在表南三寸二分。太康地理志交趾去洛陽一萬一千里,陽城去洛陽一百八十里。交趾西南望陽城,洛陽在其東南。較而言之,令陽城去交趾近於洛陽去交趾一百八十里。則交趾去陽城一萬八百二十里,而影差尺有八寸二分,是六百里而影差一寸也。況復人路迂迴,羊腸曲折。方於鳥道所較彌多。

以事驗之,又未盈五百里。而差一寸明矣。千里之言,固非實也。何承天又云:詔以土圭測影,考校二至三日有餘。從來積歲及交州所上,驗其增減,亦相符合,此則影差之驗也。《周禮》:大司徒職曰:夏至之影尺有五寸。馬融以為洛陽,鄭元以為陽城。《尚書·攷靈曜》:日永影一尺五寸,鄭元以為陽城。日短十三尺,易緯通卦驗,夏至影尺有四寸八分,冬至一丈三尺。劉向《洪範傳》夏至影一尺五寸八分,是時漢都長安而向不言測影處所。若在長安,則非晷影之正也。夏至影長一尺五寸八分,冬至一丈三尺一寸四分。向又云:春秋分長七尺三寸六分,此即總是虛妄。《後漢曆志》:夏至影一尺五寸。後漢洛陽冬至一丈三尺,自梁天監已前,並同此數。魏景初夏至影一尺五寸。魏初都許昌與潁川相近,後都洛陽又在地中之數。但《易緯》因漢曆舊影似不別。影之冬至一丈三尺。晉姜岌影一尺五寸。宋都建康在江表,驗影之數,遙取陽城冬至一丈三尺。宋大明祖沖之曆夏至影一尺五寸。宋都秣陵遙取影同前,冬至一丈三尺。後魏信都芳注《周髀四術》云:按永平元年戊子,是梁天監之七年也。見洛陽測影,又見公孫崇集。諸朝士共觀,祕書影同。是夏至之日,以八尺之表測日中影,皆長一尺五寸八分。雖無六尺近六寸。梁武帝大同十年,太史令虞鄺以九尺表於江左。建康測夏至日中影長一尺三寸二分,以八尺表測之影長一尺一寸七分強。冬至一丈三尺七分,八尺表影長一丈一尺六寸二分弱。隋開皇元年,冬至影長一丈二尺七寸二分。開皇二年夏至影一尺四寸八分,冬至長安測夏至,洛陽測及王邵。隋靈感志冬至一丈二尺七寸二分,長安測也。開皇四年,夏至一尺四寸八分,洛陽測也。冬至一丈二尺八寸八分,洛陽測也。大唐貞觀二年,己丑五月二十三日癸亥,夏至中影一尺四寸六分,長安測也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分,長安測也。按漢魏及隋所記夏至中影,或長短齊其盈縮之中,則夏至之影尺有五寸為近定實矣。以周官推之,洛陽為所交會,則冬至一丈二尺五寸,亦為近矣。按梁武帝都金陵,云洛陽南北大較千里以尺表令其有九尺影則大同十年,江左八尺表夏至中影長一尺一寸七分,若是為夏至。八尺表千里而差一寸弱矣。由此推驗,即是夏至影差降升不同,南北遠近數亦有異。若以一等,永定恐皆乖理之實。

日高圖

日高圖

日高圖注

趙君卿曰:黃甲與黃乙,其實正等,以表高乘兩表相去為黃甲之實,以影差為黃甲之廣而一,所得則變。得黃甲之袤上,與日齊。按圖當加表高。今言八萬里者,從表以上復加之青丙與青己,其實亦等。黃甲與青丙相連,黃乙與青己相連,其實亦等。皆以影差為廣。

臣鸞曰:求日高法,先置表高八尺,為八萬里為袤以相兩表。相去二千里為廣,乘袤八萬里得一億

六千萬里為黃甲之實。以影差二寸為二千里,為法除之,得黃乙之袤八萬里,即上與日齊。此言王城去天名曰甲日底地,上至日名曰乙。上天名青丙,下地名青戊。GJfont影六尺王城上,天南至日六萬里。王城南至日底地亦六萬里,是上下等數。日夏至南萬六千里者,立表八尺於王城,影一尺六寸,影寸千里。故王城去夏至日,底地萬六千里也。

法曰:周髀長八尺,句之損益寸千里。

句,謂影也。言懸天之影,薄地之儀,皆千里而差一寸。

故曰:極者,天廣袤也。

言極之遠近有定則,天廣長可知。

今立表高八尺以望極,其句一丈三寸。由此觀之,則 從周北十萬三千里而至極下。

謂冬至日加卯酉之時,若春秋分之夜半。極南兩旁與天中齊,故以為周去天中之數。

榮方曰:《周髀》者,何陳子曰:古時,天子治周。

古時天子謂周成王。時以治周,居王城,故曰昔先王之經邑奄觀九隩。靡地不營土圭測影,不縮不盈當風雨之所交。然後可以建王城,此之謂也。

此數望之從周,故曰《周髀》。

言周都河南為四方之中,故以為望主也。

髀者,表也。

用其行事,故曰髀。由此捕望,故曰表影為句,故曰句股也。

日夏至南萬六千里,日冬至南十三萬五千里。日中 無影,以此觀之,從南至夏至之日中,十一萬九千里。

諸言極者,斥天之中極去周十萬三千里,亦謂極與天中齊。時更加南萬六千里,是也。

北至其夜半,亦然。

日極在極北,正等也。

凡徑二十三萬八千里,

并南北之數也。

此夏至日道之徑也。

其徑者圓中之直者也。

其周七十一萬四千里,

周,匝也。謂天戴日行,其數以三乘徑。

臣鸞曰:求夏至日道徑法列:夏至日去天中心十一萬九千里,夏至夜一日。亦去天中心十一萬九千里,并之得夏至日道徑二十三萬八千里,三乘徑得周七十一萬四千里也。

從夏至之日中至冬至之日中,十一萬九千里。

冬至日中去周十三萬五千里,除夏至日中去周一萬六千里,是也。

北至極下亦然。則從極南至冬至之日中二十三萬 八千里,從極北至其夜半亦然。凡徑四十七萬六千 里,此冬至日道徑也。其周百四十二萬八千里,從春 秋分之日中北至極下十七萬八千五百里。

春秋之日影七尺五寸五分,加望極之句一丈三寸。

臣鸞曰:求冬至日道徑法列:夏至去冬至日中十一萬九千里,從夏至日道北徑亦十一萬九千里,併之得冬至日中北極下二十三萬八千里。從極至夜半亦二十三萬八千里,並之得冬至道徑四十七萬六千里。以三乘徑即冬至日道周一百四十二萬八千里。

從極下北至其夜半亦然。凡徑三十五萬七千里,周 一百七萬一千里,故日月之道常緣宿,日道亦與宿 正。

內衡之南,外衡之北,圓而成規,以為黃道二十八宿列焉。日之行也,一出一入,或表或裏。五月二十三分月之二十一道,一交謂之合朔交會,及月蝕相去之數,故曰緣宿也。日行黃道以宿為正,故曰宿正於中衡之數,與黃道等。

臣鸞曰:求春秋分日道法列:春秋分日中北至極下十七萬八千五百里,從北極北至其夜半亦然。並之得春秋分日道徑三十五萬七千里,以三乘徑,即日道周一百七萬一千里。求黃道徑法列:從北極南至夏至日中一十一萬九千里,以從極北去冬至夜半二十三萬八千里,并之得黃道三十五萬七千里。從極南至冬至日、北至夏至日夜半,亦黃道徑也。以三乘徑周,得一百七萬一千里也。

南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日 中,北至夏至之夜半,亦徑三十五萬七千里,周一百 七萬一千里。

此皆黃道之數與中衡等。


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