欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第109卷

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曆象彙編 第一百九卷
曆象彙編 曆法典 第一百十卷


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欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百九卷目錄

 算法部彙考一

  禮記內則

  周禮訂義地官

  周髀算經卷上一

曆法典第一百九卷

算法部彙考一编辑

《禮記》
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內則编辑

六年教之數與方名。九年,教之數日。十年,出就外 傅居宿於外學《書計》。

數謂一十百千萬,方名東西南北也。九年教之數,日知朔朢與六甲也。書謂六書,計謂九數。

《周禮訂義》
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地官编辑

《保氏》:「掌諫王惡,而養國子以道,乃教之六藝:一曰五 禮,二曰六樂,三曰五射,四曰五馭,五曰六書,六曰九 數。」

鄭司農曰:「九數,方田、粟米差分少廣、商功、均輸、方程,贏不足旁要,今有重差、夕桀句股。」賈氏曰:「皆依《九章算術》而言。云今有重差夕桀句股者,此漢法增之。」

《周髀算經》
漢趙君卿注
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卷上一编辑

昔者周公問於商高曰:「竊聞乎大夫善數也?」唐寅曰經文也

《周公》姓姬名旦,武王之弟。商高,周時賢大夫,善算者也。周公位居冢宰,德則至高,尚自卑己以自牧,下學而上達,況其凡乎?唐寅曰:此《趙注》也。

請問古者包犧立周天曆度?

包犧三皇之一,始畫八卦,以商高善數,能通乎微妙,達乎無方,無大不綜,無幽不顯。聞包犧立周天曆度運章蔀之法,《易》曰:「古者包犧氏之王天下也,仰則觀象於天,俯則觀法於地。」 此之謂也。

夫天不可階而升,地不可《將尺寸》而度。

邈乎懸廣,無階可升。蕩乎遐遠,無度可量。

請問「數從安出?」

心昧其機請問其目

商高曰:「數之法出於圓方。」

圓徑一而周三,方徑一而匝四,伸圓之周而為句,展方之匝而為股,共結一角邪適弦五政圓方邪徑相通之率。故曰:「數之法出於圓方。」 圓方者,天地之形,陰陽之數,然則周公之所問天地也,是以商高陳圓方之形以見其象,因奇耦之數以制其法,所謂言約旨遠,微妙幽通矣。

圓出於方,方出於矩。

「圓規之數,理之以方」 ,方,周匝也。「方正之物,出之以矩」 ,矩,廣長也。

矩出於「九九八十一。」

「推圓方之率,通廣長之數,當須乘除以計之」 ,九九者,乘除之原也。

故折矩。

「故」 者,申事之辭也。將為句股之率,故曰《折矩》也。

「以」「為」句,廣三。

廣圓之周橫者,謂之廣。句亦廣。廣,短也。

《股修》四。

「應方之匝從」 者,謂之修股,亦修,修長也。

徑隅五。

自然相應之率,徑直隅角也,亦謂之「弦。」

《既方》之外,半其一矩。

句股之法:先知二數,然後推一,見句、股,然後求弦。先各自乘,成其實。實成勢化,外乃變通,故曰「既方其外。」 或並句、股之實,以求弦實之中,乃求句、股之分,並實不正等,更相取與,互有所得,故曰「半其一矩。」 其術:句股各自乘,三三,如九四四一十六,并,為弦自乘之,實二十五;減句於弦,為股之實一十六;減股於弦,為句之實九。

環而共盤,得成三四五。

盤,讀如「盤桓」 之「盤」 ,言取而並減之,積環屈而共盤之,謂。開方除之其一面,故曰「得成三四五」 也。

兩矩共長二十有五,是謂《積矩》。

「兩矩」 者,句股各自乘之實。「共長」 者,並實之數。將以施於萬事,而此先陳其率也。

故禹之所以治天下者,此數之所生也。

禹治洪水,決流江河,望山川之形,定高下之勢,除滔天之災,釋昏墊之厄,使東注於海而無浸溺,乃句股之所由生也。

左圖

左圖

弦圖

弦圖

右圖

右圖

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句股方圓圖注

趙君卿曰:「句股各自乘,併之,為弦實。開方除之,即弦也。案《弦圖》又可以句股相乘,為朱實。二倍之,為朱實。四。以句股之差自相乘,為中黃實。加差實,亦成弦實。以差實減弦實,半其餘,以差為從法。開方除之,復得句矣。加差於句,即股。凡并句股之實即成弦實。或矩於內,或方於外,形詭而量均,體殊而數齊。句實之矩」 以股弦差為廣,股弦并為袤,而股實方其裏,減矩句之實,於弦實開其餘,即股倍股在兩邊,為從法。開矩句之角,即股弦差。加股為弦,以差除句實,得股弦并。以并除句實,亦得股弦差。令并自乘,與句實為實。倍并為法,所得亦弦句實。減并自乘,如法為股股實之矩。以句股差為廣,句弦并為袤,而句實方其裏。減矩股之實,於弦實開其餘,即句倍句在兩邊。為從法。開矩股之角,即句弦差。加句為弦,以差除股實,得句弦并。以并除股實,得句弦差。令并自乘,與股實為實。倍并為法,所得,亦弦股實。減并自乘,如法為句。兩差相乘,倍而開之,所得,以股弦差增之,為句。以句弦差增之,為股。兩差增之,為弦。倍弦實,列句股差實。見弦實者,以圖考之,倍弦實滿外大方而多黃實,黃實之多,即句股差實。以差實減之,開其餘,得外大方。大方之面,即句股并也。令并自乘倍弦實,乃減之,開其餘,得中黃方。黃方之面,即句股差。以差減并而半之,為句;加差於并而半之,為股。其倍弦為廣袤。合令句股見者自乘,為其實,四實以減之,開其餘,所得,為差;以差減合半,其餘,為廣;減廣於弦,即所求也。觀其迭相規矩,其為反覆,互與通分,各有所得。然則統敘群倫,弘紀眾理,貫幽入微,鉤深致遠。故曰:「其裁制萬物,唯所為之也。」

釋圓方句股注

按:君卿注曰:「句股各自乘,并之,為弦實。開方除之,即弦。」

臣鸞曰:假令句三自乘得九,股四自乘得十六,并之得二十五,開方除之得五,為弦也。寅曰:「五五二十五,弦實四面之一也。」

注云:「按《弦圖》,又可以句股相乘,為朱實。二倍之,為朱實。四以句股之差,自相乘,為中黃實。」寅曰:「句股相乘,其數一十二也。」

臣鸞曰:以句弦差二倍之,為四,自乘,得一十六,為左圖「中黃實」也。寅曰:甄氏止注以句股十二字之義。臣淳風等謹按注云:「以句股之差自乘,為中黃實。」鸞云:「倍句弦差自乘者,苟求異端,雖合其數,於率不通。」寅曰句股之差其數一也自乘得一一如一注云:「加差實,亦成弦實。」

臣鸞曰:加差實一,并外矩青八得九,并中黃十六得二十五,亦成弦實也。

臣淳風等謹按注云:「加差實一,亦成弦實。」鸞曰:「加差實并外矩及中黃者,雖合其數,於率不通。」寅曰:加差實之一於前文所言朱實四之上,朱實之四為二十四,加一為弦實二十五也。注云:「以差實減弦實,半其餘,以差為從法。」開方除之,復得句矣。

臣鸞曰:以差實九,減弦實二十五,餘十六,半之,得八,以差一加之,得九,開之得句三也。

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臣淳風等謹按《注宜》云:「以差實一減弦實二十五,餘二十四,半之為十二。」以差一從開方除之,得句三。鸞云「以差實九減弦實者,雖合其數,於率不通。」顧應祥曰:以差實一,減弦實二十五。

《注》云:「加差於句,即股。」

臣鸞曰:加差一於句三,得股四也。

《注》云:「凡并句股之實,即成弦實。」

臣鸞曰:句實九,股實十六,並之得二十五也。注云:「或矩於內,或方於外,形詭而量均,體殊而數齊。句實之矩,以股弦差為廣,股弦並為袤。」

臣鸞曰:以股弦差一為廣,股四並弦五得九為袤,《左圖》《外青》也。

《注》云:「而股實,方其裏。」

臣鸞曰:「為《左圖》中黃十六。」

注云:「減矩句之實,於弦實開其餘,即股。」

臣鸞曰:減矩句之實九,於弦實二十五,餘一十六,開之得四股也。

注云:「倍股在兩邊,為從法,開矩句之角,即股弦差。」 臣鸞曰:「倍股四得八,在圓兩邊,以為從法,開矩句之角,九得一也。」

注云加股為弦

《臣鸞》曰:加差一於股四則弦五也。

注云:「以差除句實,得股、弦並。」

臣鸞曰:以差一除句實九得九,即股四弦五,並為九也。

注云:「出並除句實,亦得股、弦差。」

臣鸞曰:以九除句實九,得股弦差一。

注云:「令并自乘,與句實為實。」

臣鸞曰:令並股弦得九,自乘,為八十一,又與句實九,加之,得九十,為實。

《注》云:「倍並為法。」

臣鸞曰:倍股弦,並九得十八者為法。

注云所得亦弦

臣鸞曰:除之得五,為「弦。」寅曰:以法十八,除實九十。注云:「句實減並自乘,如法,為股。」

臣鸞曰:以句實九減並,自乘,八十一,餘七十二,以法十八除之,得四,為股也。

注云:「股實之矩,以句弦差為廣,句弦並為袤。」 臣鸞曰:「股實之矩,以句弦差二為廣,句弦並八為袤。」

《注》云:「而句實方其裹,減矩股之實,於弦實開其餘,即句。」

臣鸞曰:句實有九方,在右圖裏。以減矩股之實十六,於弦實二十五,餘九,開之得三句也。

注云:「倍句在兩邊。」

《臣鸞》曰:「各三也。」寅曰:「倍之,得六。」

注云:「為從法,開矩股之角,即句股差。」 加句為弦。臣鸞曰:「加差二於句三,則弦五也。」

注云:「以差除股實,得句、弦並。」

臣鸞曰:以差二除股實十六,得八,句三弦五,並為八也。

注云:「以並除股實,亦得句、弦差。」

臣鸞曰:以並除股實十六,得句弦差二。

注云:「令並自乘,與股實,為實。」

臣鸞曰:令並八自乘,得六十四,與股實十六加之,得八十,為實。

《注》云:「倍並為法。」

臣鸞曰:倍句弦並八得十六為法。

注云所得亦弦

《臣鸞》曰:除之得弦五也。

注云:「股實減並自乘,如法為句。」

臣鸞曰:以股實十六,減並,自乘,六十四,餘四十八,以法十六除之,得三,為句也。

注云:「兩差相乘,倍而開之,所得,增股弦差為句。」 臣鸞曰:以股弦差一乘句弦差二,得二,倍之,為四,開之,得二,以股弦差一增之,得三句也。

注云:「以句弦差,增之為股。」

《臣鸞》曰:以弦差二增之,得四股也。

注云:「兩差,增之為弦。」

臣鸞曰:以股弦差一、句弦差二,增之得五弦也。注云:「倍弦實列句股差實見弦實者,以圖考之,倍弦實滿外大方而多黃實,黃實之多,即句股差實。」 臣鸞曰:「倍弦實二十五得五十,滿外大方七七四十九而多黃實,黃實之多,即句股差實也。」

注云:「以差實減之,開其餘,得外大方。」 大方之面,即句、股並。

臣鸞曰:以差實一減五十,餘四十九開之,即大方之面七也,亦是句股並也。

注云:令並自乘,倍弦實,乃減之,開其餘,得中黃方。黃方之面,即句股差。

臣鸞曰:並七自乘,得四十九,倍弦實二十五得五。

「十以減之,餘即《中黃方差》。」 實一也,故開之,即句股差一也。

注云:「以差減並而半之為句。」

臣鸞曰:以差一,減並七,餘六,半之,得三句也。注云:「加差於並而半之,為股。」

臣鸞曰:以差一,加并七得八而半之,得四股也。注云:「其倍弦為廣袤合。」

《臣鸞》曰:「倍弦二十五為五十,為廣袤合。」

臣淳風等謹按列《廣袤術》,宜云「倍弦五得十」,為廣袤合。今鸞云「倍弦二十五」者,錯也。《寅》曰:「句廣一,袤九;股廣二,袤八。」 注云:「而令句股見」者,自乘,為其實,四實以減之,開其餘,所得,為差。

臣鸞曰:令自乘者,以七七自乘,得四十九,四實大方。句股之中有四方,一方之中有方十二,四實,有四十八,減上四十九,餘一也。開之得一,即句股差一。

臣淳風等謹按注意,「令自乘者十,自乘得一百四。實者,大方。廣袤之中有四方。若㨿句實而言,一方之中有實九,四實有三十六,減上一百,餘六十四,開之得八,即廣袤差。此是股弦差減股弦並餘數。若據股實而言之,一方之中有實十六,四實有六十四,減上一百,餘三十六,開之得六,即廣袤差。此是句股差減句」弦并餘數也。鸞云:「令自乘者,以七七自乘,得四十九,四實」者,大方句股之中有四方,一方之中有方十二。四實者,四十八,減上四十九,餘一也。開之得一,即句股差。一者,錯也。寅曰:「大方之中有四弦實」 ,故四其句實,得三十六,減之,餘六十四;開其餘,得八,為句之廣袤差。四其股實,得六十四,減之,餘三十六,開得六,為股之廣袤差。所謂廣袤差者,句廣一而袤九,股廣二而袤八,廣袤相減之餘也。《注》云:「以差減合半,其餘為廣。」

臣鸞曰:以差一減合七、餘六,半之,得三廣也。臣淳風等謹按注意以差八、六各減合十、餘二四,半之得一二,一即股弦差,二即句弦差,以差減弦,即各袤廣也。鸞云「以差一減合七、餘六,半之得三廣」者,錯也。寅曰:「以句之廣袤差八,減廣袤,合十,餘二半之,為句之廣。以股袤差六,減廣袤,合十,餘四半之,為股之廣。」 二《注》皆未瑩。

注云:「減廣於弦,即所求也。」

《臣鸞》曰:「以廣三減弦五,即所求差二」 也。

臣淳風等謹按注意:以廣一二各減弦五,即所求股四、句三也。鸞云:「以廣三減弦五,即所求差二」者,此錯也。寅曰:「《甄鸞述說》終此。」

周公曰:「大哉言數!」唐寅曰此經文也

心達數術之意,故發「大哉」之歎。唐寅曰:此《趙注》也。

請問用矩之道?

謂「用表之宜,測望之法。」

《商高》曰:「平矩以正繩。」

以求繩之正,定平懸之體,將欲慎毫釐之差,防千里之失。

偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠。

言「施用無方,曲從其事,術在《九章》。」

環矩以為圓,合矩以為方。

既以追尋情理,又可造製圓方,言「矩之於物,無所不至。」

「方屬地,圓屬天」,天圓地方。

物有圓方,數有奇耦。天動為圓,其數奇;地靜為方,其數耦。此配陰陽之義,非實天地之體也。天不可窮而見,地不可盡而觀,豈能定其圓方乎?又曰:北極之下,高人所居六萬里,滂沲四隤而下,天之中央亦高四旁六萬里,是為形狀同歸而不殊塗,隆高齊耽而易以陳。故曰:「天似蓋笠,地法覆槃。」

方數為典,以方出圓。

夫體方則度影正,形圓則審實難。蓋方者有常而圓者多變,故當制法而理之。理之法者,半周、半徑相乘,則得方矣。又可周徑相乘四而一,又可徑自乘三之四而一,又可周自乘十二而一,「故圓出於方。」典,實也。

《笠》以寫天,

笠亦如葢,其形正圓,戴之所以象天。寫,猶象也。言笠之體象天之形。《詩》云:「何蓑何笠。」 此之義也。

「天青黑,地黃赤」,天數之為笠也。青黑為表,丹黃為裏, 以象天地之位。

既象其形,又法其位。言相方類,不亦似乎!

是故「知地者智,知天者聖」,

言天之高大,地之廣遠,自非聖智,其孰能與於此乎。

智出於句。

句亦影也,察句之損益,加物之高遠,故曰「智出於句。」

句出於矩。

矩謂之表,表不移亦為句。為句將正,故曰「句出於矩」 焉。

夫《矩》之於數,其裁制萬物,唯所為耳
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言「包含幾微,轉通旋環」 也。

周公曰:「善哉!」

《善哉》言明曉之意,所謂問一事而萬事達。

昔者榮方問於陳子。

榮方、陳子是周公之後人,非周髀之本文。然此二人共相解釋,後之學者謂之《章句》,因從其類,列於事下。又欲尊而遠之,故云「昔者時世官號,未之前聞。」

曰:「今者竊聞夫子之道。」

《榮方問:陳》子能述商高之旨,明周公之道。

知日之高大。

日去地與圓徑之術

光之所照,

日旁照之所及也

一日所行

日行天之度也

遠近之數,

《冬至》、夏至,去人之遠近也。

人所望見。

人目之所極也

《四極之窮》。

日光之所遠也

列星之宿。

二十八宿之度也

《天地之廣袤》,

袤,長也。東西南北謂之《廣長》。

夫子之道,皆能知之,其信有之乎?

能明察之,故不昧不疑。

陳子曰:「然。」

言可知也

《榮方》曰:「方雖不省,願夫子幸而說之。」

欲以不省之情,而觀《大雅》之法。

今若《方》者,可教此道邪?

不能自料訪之賢者

陳子曰:「然。」

言可教也

此皆算術之所及。

言《周髀》之法,出於算術之妙也。

子之於算,足以知此矣。若誠累思之。

累,重也。言若誠能重累思之,則達至微之理。

於是榮方歸而思之,數日不能得。

雖潛心馳思,而才單智竭。

復見《陳子》曰:「方思之不能得,敢請問之。」《陳子》曰:「思之 未熟。」

熟猶善也

此亦望遠起高之術,而子不能得,則子之於數,未能 通類。

「定高遠者,立兩表;望懸邈者施累矩。」 言未能通類,求句股之意。

是「智有所不及,而神有所窮。」

言不能通類,是情智有所不及,而神思有所窮滯。

夫「《道術》言約而用博」者,「智類之明。」

夫道術,聖人之所以極深而研幾。唯深也,故能通天下之志;唯幾也,故能成天下之務。是以其言約,其旨遠,故曰:「智類之明也。」

問、「一類而萬事達者,謂之知道。」

引而伸之,觸類而長之,天下之能事畢矣,故謂之「知道」 也。

今子所學。

欲知天地之數

「算數之術,是用智矣,而尚有所難」,是子之智類單。

「算術所包,尚以為難」 ,是子智類單盡。

夫道術所以難通者,既學矣,患其不博。

不能廣博

《既博》矣,患其不習。

不能究習

《既習矣》,患其不能知。

不能知類

故「同術相學。」

《術教》同者,則當學「通類」 之意。

《同事相觀》。

《事類同》者,觀其旨趣之類。

此《列士》之愚智。

列,猶別也。言視其術,鍳其學,則愚智者別矣。

「賢不肖」之所分。

「賢者達於事物之理,不肖者闇於照察之情,至於役神馳思,聰明殊別」 矣。

「是故能類以合類」,此賢者業精習智之質也。

「學其倫類,觀其指歸」 ,唯賢智精習者能之也。

夫「學同業而不能入神」者,此不肖無智,而業不能精 習

俱學道術,明不察,不能以類合類而長之,此心遊目蕩,義不入神也。

是故算不能精習,吾豈以道隱子哉。固復熟思之。

凡教之道,不憤不啟,不悱不發,憤而悱之,然後啟發,既不精思,又不學習,故言「吾無隱也。」 爾。固復熟思之,舉一隅,使反之以三也。

榮方復歸,思之數日,不能得。復見《陳子》曰:「方思之以 精熟矣,智有所不及而神有所窮,知不能得,願終請 說之。」

自知不敏,避席而請說之。

陳子曰:「復坐吾語汝。」於是榮方復坐而請陳子說之 曰:「夏至南萬六千里,冬至南十三萬五千里,日中立 竿測影。」

臣鸞曰:「南戴日下立八尺表,表影千里而差一寸,是則天上一寸,地下千里。」 今夏至影有一尺六寸,故其萬六千里;冬至影一丈三尺五寸,則知其十三萬五千里。

此一者,天道之數。

言「天道數一」 ,悉以如此。

《周髀》長八尺,夏至之日晷一尺六寸。

晷,影也。此數望之,從周城之南千里也。而《周官》測影,尺有六寸,蓋出周城南千里也。《記》云:「神州之土,方五千里,雖差一寸,不出畿地之分。先王知之,是故建王國。」

髀者,股也;《正晷》者,句也。

以髀為股,以影為句,股定然後可以度日之高遠。「正晷」 者,日中之時節也。

《正南千里》句,一尺五寸。《正北千里》句,一尺七寸。

候其影使表相去二千里,影差二寸,將求日之高遠,故先見其表影之率。

日益表,南晷日益長,候句,六尺。

「候其影使長六尺」 者,欲令句股相應,句三,股四,弦五,句六,股八,弦十。

即取竹空徑一寸,長八尺,捕影而視之,空正掩日。

以徑寸之空視日之影,髀長則大,矩短則小,正滿八尺也。捕猶「索」 也,「掩」 猶覆也。

而日「應空」之孔。

「掩若重規」 ,更言八尺者,舉其定也。又曰:「近則大,遠則小,以影六尺為正。」

由此觀之,率八十寸而得徑一寸。

以此為「《日髀》之率。」

故以「句」為首,以「髀」為股。

首猶始也,股猶末也。句能制物之率,股能制句之正,欲以為總見之數,立精理之本,明可以周萬事,智可以達無方,所謂「智出於句,句出於矩」 也。

從「髀至日下」六萬里,而「髀無影。」從此以上至日,則八 萬里。

圖

臣鸞曰:「求從髀至日下六萬里者,先置南表,晷六尺上,十之為六十寸,以兩表相去二千里乘,得十二萬里為實,以影差二寸為法除之,得日底地去表六萬里。求從髀至日八萬里者,先置表高八尺上,十之為八十寸,以兩表相去二千里乘之,得十六萬為實,以影差二寸為法除之,得從表端上至日八萬里也。」

若求「邪至日」者,以日下為句,日高為股,句股各自乘, 並而《開方》除之,得邪至日從髀所旁至日所十萬里。

旁此古邪宇求其數之術。曰:「以表南至日下六萬里為句,以日高八萬里為股,為之求弦。句股各自乘並,而開方除之,即邪至日之所也。」

臣鸞曰:求從髀邪至日。所法:先置南至日底六萬里為句,重張自乘得三十六億為句實;更置日高八萬里為股,重張自乘得六十四億為股實;并句股實得一百億為弦實,開方除之,得從王城至日十萬里。今有十萬里,問徑幾何?曰:「一千二百五十里八十寸而得徑一寸。以一寸乘十萬里為實八。」

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十寸為法即得

以率率之,八十里得徑一里,十萬里得徑千二百五 十里。

法當以空徑為句率,竹長為股率,日去人為大股,大股之句即日徑也。其術以句率乘大股、股率而一。此以八十里為法,十萬里為實。實如法而一,即得日徑。

故曰「日晷徑千二百五十里。」

臣鸞曰:求以率八十里得徑一里,十萬里得徑千二百五十里。法:先置竹孔徑一寸為十里,為句,更置邪去日十萬里為股,以句十里乘股十萬里得一億為實。更置日去地八萬里為法,除實,得日晷徑千二百五十里,故云「日晷徑」 也。

臣淳風等謹按夏至王城望日,立兩表,相去二十里,表高八尺,影去前表一尺五寸,去後表一尺七寸。舊術以前後影差二寸為法,以前影寸數乘表間為實,實如法得萬五千里,為日下去南表里。又以表高八十寸乘表間為實,實如法得八萬里,為表上去日里。仍以表寸為日高,影寸為日下。待日漸高,候日影六尺,用之為句,以表為股,為之求弦,得十萬里為邪表數目。取管圓孔徑一寸,長八尺,望日滿筒以為率,長八十寸為一邪,去日十萬里,日徑即千二百五十里。以理推之,法云「天之處心,高於外衡六萬里」 者,此乃語與術違,句六尺,股八尺,弦十尺,角隅正方,自然之數。蓋依繩水之定,施之於表矩。然則天無別體,用日以為高下。術既隨手而遷,高下從何而出?語術相違,是為大失。又按二表下地,依水平法定其高下。若北表地高則以為勾,以間為弦,置其高數,其影乘之,其表除之,所得益股,為定間。若北表下者,亦置所下,以法乘除,所得以減股,為定間。又以高下之數與間相約,為地高遠之率。求遠者,影乘定間,差法而一,所得加表日之高也。求邪去地者,弦乘定間,差法而一,所得加弦日邪去地。此三等至皆以日為正。求日下地高下者,置戴日之遠近,地高下率乘之,如間率而一,所得為日下地高下,形勢隆殺與表間同,可依此率。若形勢不等,非代所知,率日徑求日大小者,徑率乘間,如法而一,得日徑。此徑當,即得不待,影長六尺。凡度日者,先須定二矩,水平者影南北立勾齊高四尺,相去一丈,以二弦候牽於勾上,《並率》二則擬為候影。勾上立表,弦下望日,前一則上畔,後一則下畔,引則就影,合與表日參直。二至前後三四日間,影不移處即是。當以候表並望人取一影亦可。日徑影端,表頭為則。然地有高下,表望不同。後六術乃窮其實。

第一《後高前下術》:「高為句,表,間為弦,後復影為所求率,表為有所率,以句為所有數,所得益股為定間。」

第二《後下術》:以其所下為句,表間為弦,置其所下,以影乘表,除所得減股,餘為定間。

第三,邪下術:依其北高之率,高其句影,令與地勢隆殺相似。餘同平法。假令髀邪下而南,其邪亦同,不須別望,但弦短與句股不得相應,其南里數,亦隨地勢,不得校乎平則促。若用此術,但得南望。若北望者,即用句照南下之術,當北高之地。

第四邪上術,依其後下之率,下其句影,此謂迴望北極以為高遠者。望去取差,亦同南望。此術弦長亦與句股不得相應,唯得北望,不得南望。若南望者,即用句影北高之術。

第五平術,不論高下,周髀度日,用此平術,故東西南北四望皆通,遠近一差,不須別術。

第六術者,是外衡。其徑云「四十七萬六千里」,半之得二十三萬八千里者,是外衡去天心之處,心高於外衡六萬里。為率。南行二十三萬八千里,下校六萬里,約之,得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步,差下三十步。闕。「三十步,大強差下十步。以此為準,則不合有平地。地既平,而用術尤乖理驗。且自古論晷影差變,每有不同,今略其梗概,取其推步之要。《尚書攷靈曜》云:『日永影尺五寸,日短一十三尺,日正南千里而減一寸』。」張衡《靈憲》云:「懸天之晷,薄地之儀,皆移千里而差一寸。」鄭元註《周禮》云:「凡日影於地千里而差一寸。」王蕃、姜岌因此為說。按前諸說,是數並同,其言更出,書非直有此,以事考量,恐非實矣。謹按宋元嘉十九年,歲在壬午,遣使往交州度日影。夏至之日,影在表南三寸二分。《太康地理志》,交趾去洛陽一萬一千里,陽城去洛陽一百八十里。交趾西南望陽城,洛陽在其東南。較而言之,令陽城去交趾近於洛陽,去《交趾》一百八十里,則《交趾》去陽城一萬八百二十里,而影差尺有八寸二分,是六百里而影差一寸也。況復「人路迂迴,羊腸曲折,方於鳥道,所較彌多

以事驗之,又未盈五百里而差一寸明矣。千里之言,固非實也。何承天又云:「詔以土圭測影,考校二至。」闕。三日有餘。從來積歲及交州所上,驗其增減,亦相符合。此則影差之驗也。《周禮·大司徒職》曰:「夏至之影,尺有五寸。」馬融以為洛陽,鄭元以為陽城。《尚書攷靈曜》,日永影一尺五寸。鄭元以為陽城,日短十三尺。《易緯通卦》驗夏至影尺有四寸八分,冬至一丈三尺。劉向《洪範傳》:夏至影一尺五寸八分。是時漢都長安,而向不言測影處所,若在長安,則非晷影之正也。夏至影長一尺五寸八分,冬至一丈三尺一寸四分。向又云:「春秋分長七尺三寸六分。」此即總是虛妄。《後漢曆志》,夏至影一尺五寸。後漢洛陽,冬至一丈三尺。自梁天監已前,並同此數。魏景初,夏至影一尺五寸,魏初都許昌,與潁川相近,後都洛陽,又在地中之數。但《易緯》因漢曆舊影,似不別影之冬至一丈三尺;晉姜岌影一尺五寸;宋都建康,在江表驗影之數,遙取陽城,冬至一丈三尺;宋大明祖沖之曆,夏至影一尺五寸;宋都秣陵,遙取影同前冬至一丈三尺。後魏信都芳注周髀《四術》云:「按永平元年戊子,是梁天監之七年也。」見《洛陽測影》,又見《公孫崇集》諸朝士共觀祕書影,同是夏至之日。以八尺之表測日中影,皆長一尺五寸八分,雖無六尺,近六寸。梁武帝大同十年,太史令虞鄺以九尺表於江左建康測夏至日中影長一尺三寸二分,以八尺表測之,影長一尺一寸七分強。冬至一丈三尺七分,八尺表影長一丈一尺六寸二分弱。隋開「皇元年冬至,影長一丈二尺七寸二分。『開皇二年夏至,影一尺四寸八分。冬至,長安測;夏至,洛陽測』。」及王邵《隋靈感志》,「冬至一丈二尺七寸二分」,長安測也。「開皇四年夏至一尺四寸八分,洛陽測也。冬至一丈二尺八寸八分」,洛陽測也。「大唐貞觀二年己丑五月二十三日癸亥夏至,中影一尺四寸六」分,長安測也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分,長安測也。按漢魏及隋所記夏至中影,或長短齊其盈縮之中,則夏至之影尺有五寸,為近定實矣。以《周官》推之,洛陽為所交會,則冬至一丈二尺五寸,亦為近矣。按梁武帝都金陵云:「洛陽南北大較千里,以尺表令其有九尺影」,則大《同十年》,江左八尺表,夏至中影長一尺一寸七分。若是為夏至八尺表千里而差一寸弱矣。由此推驗,即是夏至影差,降升不同,南北遠近,數亦有異。若以一等永定,恐皆乖理之實。

日高圖

日高圖

日高圖注

趙君卿曰:「黃甲與黃乙,其實正等。以表高乘兩表相去,為黃甲之實;以影差為黃甲之廣,而一所得,則變得黃甲之袤,上與日齊。按圖當加表高。今言八萬里者,從表以上復加之。青丙與青己,其實亦等,黃甲與青丙相連,黃乙與青己相連,其實亦等,皆以影差為廣。」

臣鸞曰:求日高法:先置表高八尺為八萬里為袤。以相兩表,相去二千里為廣,乘袤八萬里得一億。

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六千萬里為黃甲之實。以影差二寸為二千里為法。除之,得黃乙之袤八萬里,即上與日齊。此言王城去天名曰甲,日底地上至日名曰乙,上天名青丙,下地名青戊。㨿影六尺,王城上天南至日六萬里,王城南至日底地亦六萬里,是上下等數日。夏至南萬六千里者,立表八尺於王城,影一尺六寸,影寸千里,故王城去夏至日底地萬六千里也。

法曰:周髀長八尺,句之損益,寸千里。

《句》謂影也,言懸天之影,薄地之儀,皆千里而差一寸。

故曰:「極者,天廣袤也。」

言《極》之遠近有定,則天廣長可知。

今立表高八尺以望極,其句一丈三寸。由此觀之,則 從周北十萬三千里而至極下。

謂冬至日加卯酉之時,若春秋分之夜半,極南兩旁與天中齊,故以為周去天中之數。

《榮方》曰:「周髀者何?」陳子曰:「古時天子治周。」

古時天子謂周成王時以治周,居王城,故曰:「昔先王之經邑,奄觀九隩,靡地不營,土圭測影,不縮不盈。當風雨之所交,然後可以建王城。」 此之謂也。

此數望之從周,故曰《周髀》。

言周都河南,為四方之中,故以為「望主」 也。

「髀」者,表也。

用其行事,故曰「髀。」 由此捕望故曰「表。」 影為句,故曰「句股」 也。

日夏至,南萬六千里;日冬至,南十三萬五千里;日中 無影。以此觀之,從南至夏至之日中,十一萬九千里。

諸言極者,斥天之中極去周十萬三千里,亦謂「極與天中齊,時更加南萬六千里」 是也。

北,至其夜半亦然。

「日極在極北」 ,正等也。

凡徑二十三萬八千里。

并南北之數也

此夏至日道之徑也。

「其徑」 者,圓中之直者也。

其周七十一萬四千里。

「周,匝也。」 謂天戴日,行其數。以三乘徑。

臣鸞曰:「求夏至日道徑法列夏至日去天中心十一萬九千里,夏至夜一日亦去天中心十一萬九千里,并之,得夏至日道徑二十三萬八千里」 ,三乘徑,得周七十一萬四千里也。

從夏至之日中,至冬至之日中,十一萬九千里。

冬至日中去周十三萬五千里,除夏至日中去周一萬六千里是也。

「北至極下亦然」,則從極南至冬至之日中,二十三萬 八千里;從極北至其夜半亦然,凡徑四十七萬六千 里。此冬至日道徑也,其周百四十二萬八千里。從春 秋分之日中,北至極下,十七萬八千五百里。

《春秋》之日影七尺五寸五分,加《望極》之句一丈三寸。

臣鸞曰:求冬至日道徑:法列《夏至》去冬至日中十一萬九千里,從夏至日道北徑亦十一萬九千里,併之,得冬至日中北極下二十三萬八千里,從極至夜半亦二十三萬八千里,並之,得冬至道徑四十七萬六千里。以三乘徑,即冬至日道周一百四十二萬八千里。

「從極下北至其夜半亦然。」凡徑三十五萬七千里,周 一百七萬一千里。故日月之道常緣宿,日道亦與宿 正。

內衡之南,外衡之北,圓而成規,以為黃道,二十八宿列焉。日之行也,一出一入,或表或裏。五月二十三分,月之二十一道一交,謂之合朔交會,及月蝕相去之數,故曰「緣宿」 也。日行黃道,以宿為正,故曰「宿正。」 於中衡之數,與黃道等。

臣鸞曰:「求春秋分日道法:列春秋分日中北至極下十七萬八千五百里,從北極北至其夜半亦然。並之,得春、秋分日道徑三十五萬七千里。以三乘徑,即日道周一百七萬一千里。求黃道徑法:列從北極南至夏至日中一十一萬九千里,以從極北去冬至夜半二十三萬八千里,并之,得黃道三十五萬七千里。從」 極南至冬至日,北至夏至日夜半,亦黃道徑也。以三乘徑周,得一百七萬一千里也。

「南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日 中,北至夏至之夜半」,亦徑三十五萬七千里,周一百 七萬一千里。

此皆「黃道之數,與《中衡》等。」 。


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