钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第109卷

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考证
钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第一百九卷目录

 算法部汇考一

  礼记内则

  周礼订义地官

  周髀算经卷上一

历法典第一百九卷

算法部汇考一

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《礼记》

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内则

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六年教之数与方名。九年,教之数日。十年,出就外 傅居宿于外学《书计》。

数谓一十百千万,方名东西南北也。九年教之数,日知朔望与六甲也。书谓六书,计谓九数。

《周礼订义》

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地官

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《保氏》:“掌谏王恶,而养国子以道,乃教之六艺:一曰五 礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九 数。”

郑司农曰:“九数,方田、粟米差分少广、商功、均输、方程,赢不足旁要,今有重差、夕桀句股。”贾氏曰:“皆依《九章算术》而言。云今有重差夕桀句股者,此汉法增之。”

《周髀算经》
汉赵君卿注

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卷上一

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昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也?”唐寅曰经文也

《周公》姓姬名旦,武王之弟。商高,周时贤大夫,善算者也。周公位居冢宰,德则至高,尚自卑己以自牧,下学而上达,况其凡乎?唐寅曰:此《赵注》也。

请问古者包牺立周天历度?

包牺三皇之一,始画八卦,以商高善数,能通乎微妙,达乎无方,无大不综,无幽不显。闻包牺立周天历度运章蔀之法,《易》曰:“古者包牺氏之王天下也,仰则观象于天,俯则观法于地。” 此之谓也。

夫天不可阶而升,地不可《将尺寸》而度。

邈乎悬广,无阶可升。荡乎遐远,无度可量。

请问“数从安出?”

心昧其机请问其目

商高曰:“数之法出于圆方。”

圆径一而周三,方径一而匝四,伸圆之周而为句,展方之匝而为股,共结一角邪适弦五政圆方邪径相通之率。故曰:“数之法出于圆方。” 圆方者,天地之形,阴阳之数,然则周公之所问天地也,是以商高陈圆方之形以见其象,因奇耦之数以制其法,所谓言约旨远,微妙幽通矣。

圆出于方,方出于矩。

“圆规之数,理之以方” ,方,周匝也。“方正之物,出之以矩” ,矩,广长也。

矩出于“九九八十一。”

“推圆方之率,通广长之数,当须乘除以计之” ,九九者,乘除之原也。

故折矩。

“故” 者,申事之辞也。将为句股之率,故曰《折矩》也。

“以”“为”句,广三。

广圆之周横者,谓之广。句亦广。广,短也。

《股修》四。

“应方之匝从” 者,谓之修股,亦修,修长也。

径隅五。

自然相应之率,径直隅角也,亦谓之“弦。”

《既方》之外,半其一矩。

句股之法:先知二数,然后推一,见句、股,然后求弦。先各自乘,成其实。实成势化,外乃变通,故曰“既方其外。” 或并句、股之实,以求弦实之中,乃求句、股之分,并实不正等,更相取与,互有所得,故曰“半其一矩。” 其术:句股各自乘,三三,如九四四一十六,并,为弦自乘之,实二十五;减句于弦,为股之实一十六;减股于弦,为句之实九。

环而共盘,得成三四五。

盘,读如“盘桓” 之“盘” ,言取而并减之,积环屈而共盘之,谓。开方除之其一面,故曰“得成三四五” 也。

两矩共长二十有五,是谓《积矩》。

“两矩” 者,句股各自乘之实。“共长” 者,并实之数。将以施于万事,而此先陈其率也。

故禹之所以治天下者,此数之所生也。

禹治洪水,决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫之厄,使东注于海而无浸溺,乃句股之所由生也。

左图

左图

弦图

弦图

右图

右图

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句股方圆图注

赵君卿曰:“句股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦也。案《弦图》又可以句股相乘,为朱实。二倍之,为朱实。四。以句股之差自相乘,为中黄实。加差实,亦成弦实。以差实减弦实,半其馀,以差为从法。开方除之,复得句矣。加差于句,即股。凡并句股之实即成弦实。或矩于内,或方于外,形诡而量均,体殊而数齐。句实之矩” 以股弦差为广,股弦并为袤,而股实方其里,减矩句之实,于弦实开其馀,即股倍股在两边,为从法。开矩句之角,即股弦差。加股为弦,以差除句实,得股弦并。以并除句实,亦得股弦差。令并自乘,与句实为实。倍并为法,所得亦弦句实。减并自乘,如法为股股实之矩。以句股差为广,句弦并为袤,而句实方其里。减矩股之实,于弦实开其馀,即句倍句在两边。为从法。开矩股之角,即句弦差。加句为弦,以差除股实,得句弦并。以并除股实,得句弦差。令并自乘,与股实为实。倍并为法,所得,亦弦股实。减并自乘,如法为句。两差相乘,倍而开之,所得,以股弦差增之,为句。以句弦差增之,为股。两差增之,为弦。倍弦实,列句股差实。见弦实者,以图考之,倍弦实满外大方而多黄实,黄实之多,即句股差实。以差实减之,开其馀,得外大方。大方之面,即句股并也。令并自乘倍弦实,乃减之,开其馀,得中黄方。黄方之面,即句股差。以差减并而半之,为句;加差于并而半之,为股。其倍弦为广袤。合令句股见者自乘,为其实,四实以减之,开其馀,所得,为差;以差减合半,其馀,为广;减广于弦,即所求也。观其迭相规矩,其为反复,互与通分,各有所得。然则统叙群伦,弘纪众理,贯幽入微,钩深致远。故曰:“其裁制万物,唯所为之也。”

释圆方句股注

按:君卿注曰:“句股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。”

臣鸾曰:假令句三自乘得九,股四自乘得十六,并之得二十五,开方除之得五,为弦也。寅曰:“五五二十五,弦实四面之一也。”

注云:“按《弦图》,又可以句股相乘,为朱实。二倍之,为朱实。四以句股之差,自相乘,为中黄实。”寅曰:“句股相乘,其数一十二也。”

臣鸾曰:以句弦差二倍之,为四,自乘,得一十六,为左图“中黄实”也。寅曰:甄氏止注以句股十二字之义。臣淳风等谨按注云:“以句股之差自乘,为中黄实。”鸾云:“倍句弦差自乘者,苟求异端,虽合其数,于率不通。”寅曰句股之差其数一也自乘得一一如一注云:“加差实,亦成弦实。”

臣鸾曰:加差实一,并外矩青八得九,并中黄十六得二十五,亦成弦实也。

臣淳风等谨按注云:“加差实一,亦成弦实。”鸾曰:“加差实并外矩及中黄者,虽合其数,于率不通。”寅曰:加差实之一于前文所言朱实四之上,朱实之四为二十四,加一为弦实二十五也。注云:“以差实减弦实,半其馀,以差为从法。”开方除之,复得句矣。

臣鸾曰:以差实九,减弦实二十五,馀十六,半之,得八,以差一加之,得九,开之得句三也。

考证

臣淳风等谨按《注宜》云:“以差实一减弦实二十五,馀二十四,半之为十二。”以差一从开方除之,得句三。鸾云“以差实九减弦实者,虽合其数,于率不通。”顾应祥曰:以差实一,减弦实二十五。

《注》云:“加差于句,即股。”

臣鸾曰:加差一于句三,得股四也。

《注》云:“凡并句股之实,即成弦实。”

臣鸾曰:句实九,股实十六,并之得二十五也。注云:“或矩于内,或方于外,形诡而量均,体殊而数齐。句实之矩,以股弦差为广,股弦并为袤。”

臣鸾曰:以股弦差一为广,股四并弦五得九为袤,《左图》《外青》也。

《注》云:“而股实,方其里。”

臣鸾曰:“为《左图》中黄十六。”

注云:“减矩句之实,于弦实开其馀,即股。”

臣鸾曰:减矩句之实九,于弦实二十五,馀一十六,开之得四股也。

注云:“倍股在两边,为从法,开矩句之角,即股弦差。” 臣鸾曰:“倍股四得八,在圆两边,以为从法,开矩句之角,九得一也。”

注云加股为弦

《臣鸾》曰:加差一于股四则弦五也。

注云:“以差除句实,得股、弦并。”

臣鸾曰:以差一除句实九得九,即股四弦五,并为九也。

注云:“出并除句实,亦得股、弦差。”

臣鸾曰:以九除句实九,得股弦差一。

注云:“令并自乘,与句实为实。”

臣鸾曰:令并股弦得九,自乘,为八十一,又与句实九,加之,得九十,为实。

《注》云:“倍并为法。”

臣鸾曰:倍股弦,并九得十八者为法。

注云所得亦弦

臣鸾曰:除之得五,为“弦。”寅曰:以法十八,除实九十。注云:“句实减并自乘,如法,为股。”

臣鸾曰:以句实九减并,自乘,八十一,馀七十二,以法十八除之,得四,为股也。

注云:“股实之矩,以句弦差为广,句弦并为袤。” 臣鸾曰:“股实之矩,以句弦差二为广,句弦并八为袤。”

《注》云:“而句实方其裹,减矩股之实,于弦实开其馀,即句。”

臣鸾曰:句实有九方,在右图里。以减矩股之实十六,于弦实二十五,馀九,开之得三句也。

注云:“倍句在两边。”

《臣鸾》曰:“各三也。”寅曰:“倍之,得六。”

注云:“为从法,开矩股之角,即句股差。” 加句为弦。臣鸾曰:“加差二于句三,则弦五也。”

注云:“以差除股实,得句、弦并。”

臣鸾曰:以差二除股实十六,得八,句三弦五,并为八也。

注云:“以并除股实,亦得句、弦差。”

臣鸾曰:以并除股实十六,得句弦差二。

注云:“令并自乘,与股实,为实。”

臣鸾曰:令并八自乘,得六十四,与股实十六加之,得八十,为实。

《注》云:“倍并为法。”

臣鸾曰:倍句弦并八得十六为法。

注云所得亦弦

《臣鸾》曰:除之得弦五也。

注云:“股实减并自乘,如法为句。”

臣鸾曰:以股实十六,减并,自乘,六十四,馀四十八,以法十六除之,得三,为句也。

注云:“两差相乘,倍而开之,所得,增股弦差为句。” 臣鸾曰:以股弦差一乘句弦差二,得二,倍之,为四,开之,得二,以股弦差一增之,得三句也。

注云:“以句弦差,增之为股。”

《臣鸾》曰:以弦差二增之,得四股也。

注云:“两差,增之为弦。”

臣鸾曰:以股弦差一、句弦差二,增之得五弦也。注云:“倍弦实列句股差实见弦实者,以图考之,倍弦实满外大方而多黄实,黄实之多,即句股差实。” 臣鸾曰:“倍弦实二十五得五十,满外大方七七四十九而多黄实,黄实之多,即句股差实也。”

注云:“以差实减之,开其馀,得外大方。” 大方之面,即句、股并。

臣鸾曰:以差实一减五十,馀四十九开之,即大方之面七也,亦是句股并也。

注云:令并自乘,倍弦实,乃减之,开其馀,得中黄方。黄方之面,即句股差。

臣鸾曰:并七自乘,得四十九,倍弦实二十五得五。

“十以减之,馀即《中黄方差》。” 实一也,故开之,即句股差一也。

注云:“以差减并而半之为句。”

臣鸾曰:以差一,减并七,馀六,半之,得三句也。注云:“加差于并而半之,为股。”

臣鸾曰:以差一,加并七得八而半之,得四股也。注云:“其倍弦为广袤合。”

《臣鸾》曰:“倍弦二十五为五十,为广袤合。”

臣淳风等谨按列《广袤术》,宜云“倍弦五得十”,为广袤合。今鸾云“倍弦二十五”者,错也。《寅》曰:“句广一,袤九;股广二,袤八。” 注云:“而令句股见”者,自乘,为其实,四实以减之,开其馀,所得,为差。

臣鸾曰:令自乘者,以七七自乘,得四十九,四实大方。句股之中有四方,一方之中有方十二,四实,有四十八,减上四十九,馀一也。开之得一,即句股差一。

臣淳风等谨按注意,“令自乘者十,自乘得一百四。实者,大方。广袤之中有四方。若据句实而言,一方之中有实九,四实有三十六,减上一百,馀六十四,开之得八,即广袤差。此是股弦差减股弦并馀数。若据股实而言之,一方之中有实十六,四实有六十四,减上一百,馀三十六,开之得六,即广袤差。此是句股差减句”弦并馀数也。鸾云:“令自乘者,以七七自乘,得四十九,四实”者,大方句股之中有四方,一方之中有方十二。四实者,四十八,减上四十九,馀一也。开之得一,即句股差。一者,错也。寅曰:“大方之中有四弦实” ,故四其句实,得三十六,减之,馀六十四;开其馀,得八,为句之广袤差。四其股实,得六十四,减之,馀三十六,开得六,为股之广袤差。所谓广袤差者,句广一而袤九,股广二而袤八,广袤相减之馀也。《注》云:“以差减合半,其馀为广。”

臣鸾曰:以差一减合七、馀六,半之,得三广也。臣淳风等谨按注意以差八、六各减合十、馀二四,半之得一二,一即股弦差,二即句弦差,以差减弦,即各袤广也。鸾云“以差一减合七、馀六,半之得三广”者,错也。寅曰:“以句之广袤差八,减广袤,合十,馀二半之,为句之广。以股袤差六,减广袤,合十,馀四半之,为股之广。” 二《注》皆未莹。

注云:“减广于弦,即所求也。”

《臣鸾》曰:“以广三减弦五,即所求差二” 也。

臣淳风等谨按注意:以广一二各减弦五,即所求股四、句三也。鸾云:“以广三减弦五,即所求差二”者,此错也。寅曰:“《甄鸾述说》终此。”

周公曰:“大哉言数!”唐寅曰此经文也

心达数术之意,故发“大哉”之叹。唐寅曰:此《赵注》也。

请问用矩之道?

谓“用表之宜,测望之法。”

《商高》曰:“平矩以正绳。”

以求绳之正,定平悬之体,将欲慎毫厘之差,防千里之失。

偃矩以望高,覆矩以测深,卧矩以知远。

言“施用无方,曲从其事,术在《九章》。”

环矩以为圆,合矩以为方。

既以追寻情理,又可造制圆方,言“矩之于物,无所不至。”

“方属地,圆属天”,天圆地方。

物有圆方,数有奇耦。天动为圆,其数奇;地静为方,其数耦。此配阴阳之义,非实天地之体也。天不可穷而见,地不可尽而观,岂能定其圆方乎?又曰:北极之下,高人所居六万里,滂沲四𬯎而下,天之中央亦高四旁六万里,是为形状同归而不殊涂,隆高齐耽而易以陈。故曰:“天似盖笠,地法覆槃。”

方数为典,以方出圆。

夫体方则度影正,形圆则审实难。盖方者有常而圆者多变,故当制法而理之。理之法者,半周、半径相乘,则得方矣。又可周径相乘四而一,又可径自乘三之四而一,又可周自乘十二而一,“故圆出于方。”典,实也。

《笠》以写天,

笠亦如盖,其形正圆,戴之所以象天。写,犹象也。言笠之体象天之形。《诗》云:“何蓑何笠。” 此之义也。

“天青黑,地黄赤”,天数之为笠也。青黑为表,丹黄为里, 以象天地之位。

既象其形,又法其位。言相方类,不亦似乎!

是故“知地者智,知天者圣”,

言天之高大,地之广远,自非圣智,其孰能与于此乎。

智出于句。

句亦影也,察句之损益,加物之高远,故曰“智出于句。”

句出于矩。

矩谓之表,表不移亦为句。为句将正,故曰“句出于矩” 焉。

夫《矩》之于数,其裁制万物,唯所为耳
考证

言“包含几微,转通旋环” 也。

周公曰:“善哉!”

《善哉》言明晓之意,所谓问一事而万事达。

昔者荣方问于陈子。

荣方、陈子是周公之后人,非周髀之本文。然此二人共相解释,后之学者谓之《章句》,因从其类,列于事下。又欲尊而远之,故云“昔者时世官号,未之前闻。”

曰:“今者窃闻夫子之道。”

《荣方问:陈》子能述商高之旨,明周公之道。

知日之高大。

日去地与圆径之术

光之所照,

日旁照之所及也

一日所行

日行天之度也

远近之数,

《冬至》、夏至,去人之远近也。

人所望见。

人目之所极也

《四极之穷》。

日光之所远也

列星之宿。

二十八宿之度也

《天地之广袤》,

袤,长也。东西南北谓之《广长》。

夫子之道,皆能知之,其信有之乎?

能明察之,故不昧不疑。

陈子曰:“然。”

言可知也

《荣方》曰:“方虽不省,愿夫子幸而说之。”

欲以不省之情,而观《大雅》之法。

今若《方》者,可教此道邪?

不能自料访之贤者

陈子曰:“然。”

言可教也

此皆算术之所及。

言《周髀》之法,出于算术之妙也。

子之于算,足以知此矣。若诚累思之。

累,重也。言若诚能重累思之,则达至微之理。

于是荣方归而思之,数日不能得。

虽潜心驰思,而才单智竭。

复见《陈子》曰:“方思之不能得,敢请问之。”《陈子》曰:“思之 未熟。”

熟犹善也

此亦望远起高之术,而子不能得,则子之于数,未能 通类。

“定高远者,立两表;望悬邈者施累矩。” 言未能通类,求句股之意。

是“智有所不及,而神有所穷。”

言不能通类,是情智有所不及,而神思有所穷滞。

夫“《道术》言约而用博”者,“智类之明。”

夫道术,圣人之所以极深而研几。唯深也,故能通天下之志;唯几也,故能成天下之务。是以其言约,其旨远,故曰:“智类之明也。”

问、“一类而万事达者,谓之知道。”

引而伸之,触类而长之,天下之能事毕矣,故谓之“知道” 也。

今子所学。

欲知天地之数

“算数之术,是用智矣,而尚有所难”,是子之智类单。

“算术所包,尚以为难” ,是子智类单尽。

夫道术所以难通者,既学矣,患其不博。

不能广博

《既博》矣,患其不习。

不能究习

《既习矣》,患其不能知。

不能知类

故“同术相学。”

《术教》同者,则当学“通类” 之意。

《同事相观》。

《事类同》者,观其旨趣之类。

此《列士》之愚智。

列,犹别也。言视其术,鉴其学,则愚智者别矣。

“贤不肖”之所分。

“贤者达于事物之理,不肖者暗于照察之情,至于役神驰思,聪明殊别” 矣。

“是故能类以合类”,此贤者业精习智之质也。

“学其伦类,观其指归” ,唯贤智精习者能之也。

夫“学同业而不能入神”者,此不肖无智,而业不能精 习

俱学道术,明不察,不能以类合类而长之,此心游目荡,义不入神也。

是故算不能精习,吾岂以道隐子哉。固复熟思之。

凡教之道,不愤不启,不悱不发,愤而悱之,然后启发,既不精思,又不学习,故言“吾无隐也。” 尔。固复熟思之,举一隅,使反之以三也。

荣方复归,思之数日,不能得。复见《陈子》曰:“方思之以 精熟矣,智有所不及而神有所穷,知不能得,愿终请 说之。”

自知不敏,避席而请说之。

陈子曰:“复坐吾语汝。”于是荣方复坐而请陈子说之 曰:“夏至南万六千里,冬至南十三万五千里,日中立 竿测影。”

臣鸾曰:“南戴日下立八尺表,表影千里而差一寸,是则天上一寸,地下千里。” 今夏至影有一尺六寸,故其万六千里;冬至影一丈三尺五寸,则知其十三万五千里。

此一者,天道之数。

言“天道数一” ,悉以如此。

《周髀》长八尺,夏至之日晷一尺六寸。

晷,影也。此数望之,从周城之南千里也。而《周官》测影,尺有六寸,盖出周城南千里也。《记》云:“神州之土,方五千里,虽差一寸,不出畿地之分。先王知之,是故建王国。”

髀者,股也;《正晷》者,句也。

以髀为股,以影为句,股定然后可以度日之高远。“正晷” 者,日中之时节也。

《正南千里》句,一尺五寸。《正北千里》句,一尺七寸。

候其影使表相去二千里,影差二寸,将求日之高远,故先见其表影之率。

日益表,南晷日益长,候句,六尺。

“候其影使长六尺” 者,欲令句股相应,句三,股四,弦五,句六,股八,弦十。

即取竹空径一寸,长八尺,捕影而视之,空正掩日。

以径寸之空视日之影,髀长则大,矩短则小,正满八尺也。捕犹“索” 也,“掩” 犹覆也。

而日“应空”之孔。

“掩若重规” ,更言八尺者,举其定也。又曰:“近则大,远则小,以影六尺为正。”

由此观之,率八十寸而得径一寸。

以此为“《日髀》之率。”

故以“句”为首,以“髀”为股。

首犹始也,股犹末也。句能制物之率,股能制句之正,欲以为总见之数,立精理之本,明可以周万事,智可以达无方,所谓“智出于句,句出于矩” 也。

从“髀至日下”六万里,而“髀无影。”从此以上至日,则八 万里。

图

臣鸾曰:“求从髀至日下六万里者,先置南表,晷六尺上,十之为六十寸,以两表相去二千里乘,得十二万里为实,以影差二寸为法除之,得日底地去表六万里。求从髀至日八万里者,先置表高八尺上,十之为八十寸,以两表相去二千里乘之,得十六万为实,以影差二寸为法除之,得从表端上至日八万里也。”

若求“邪至日”者,以日下为句,日高为股,句股各自乘, 并而《开方》除之,得邪至日从髀所旁至日所十万里。

旁此古邪宇求其数之术。曰:“以表南至日下六万里为句,以日高八万里为股,为之求弦。句股各自乘并,而开方除之,即邪至日之所也。”

臣鸾曰:求从髀邪至日。所法:先置南至日底六万里为句,重张自乘得三十六亿为句实;更置日高八万里为股,重张自乘得六十四亿为股实;并句股实得一百亿为弦实,开方除之,得从王城至日十万里。今有十万里,问径几何?曰:“一千二百五十里八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实八。”

考证

十寸为法即得

以率率之,八十里得径一里,十万里得径千二百五 十里。

法当以空径为句率,竹长为股率,日去人为大股,大股之句即日径也。其术以句率乘大股、股率而一。此以八十里为法,十万里为实。实如法而一,即得日径。

故曰“日晷径千二百五十里。”

臣鸾曰:求以率八十里得径一里,十万里得径千二百五十里。法:先置竹孔径一寸为十里,为句,更置邪去日十万里为股,以句十里乘股十万里得一亿为实。更置日去地八万里为法,除实,得日晷径千二百五十里,故云“日晷径” 也。

臣淳风等谨按夏至王城望日,立两表,相去二十里,表高八尺,影去前表一尺五寸,去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法,以前影寸数乘表间为实,实如法得万五千里,为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实,实如法得八万里,为表上去日里。仍以表寸为日高,影寸为日下。待日渐高,候日影六尺,用之为句,以表为股,为之求弦,得十万里为邪表数目。取管圆孔径一寸,长八尺,望日满筒以为率,长八十寸为一邪,去日十万里,日径即千二百五十里。以理推之,法云“天之处心,高于外衡六万里” 者,此乃语与术违,句六尺,股八尺,弦十尺,角隅正方,自然之数。盖依绳水之定,施之于表矩。然则天无别体,用日以为高下。术既随手而迁,高下从何而出?语术相违,是为大失。又按二表下地,依水平法定其高下。若北表地高则以为勾,以间为弦,置其高数,其影乘之,其表除之,所得益股,为定间。若北表下者,亦置所下,以法乘除,所得以减股,为定间。又以高下之数与间相约,为地高远之率。求远者,影乘定间,差法而一,所得加表日之高也。求邪去地者,弦乘定间,差法而一,所得加弦日邪去地。此三等至皆以日为正。求日下地高下者,置戴日之远近,地高下率乘之,如间率而一,所得为日下地高下,形势隆杀与表间同,可依此率。若形势不等,非代所知,率日径求日大小者,径率乘间,如法而一,得日径。此径当,即得不待,影长六尺。凡度日者,先须定二矩,水平者影南北立勾齐高四尺,相去一丈,以二弦候牵于勾上,《并率》二则拟为候影。勾上立表,弦下望日,前一则上畔,后一则下畔,引则就影,合与表日参直。二至前后三四日间,影不移处即是。当以候表并望人取一影亦可。日径影端,表头为则。然地有高下,表望不同。后六术乃穷其实。

第一《后高前下术》:“高为句,表,间为弦,后复影为所求率,表为有所率,以句为所有数,所得益股为定间。”

第二《后下术》:以其所下为句,表间为弦,置其所下,以影乘表,除所得减股,馀为定间。

第三,邪下术:依其北高之率,高其句影,令与地势隆杀相似。馀同平法。假令髀邪下而南,其邪亦同,不须别望,但弦短与句股不得相应,其南里数,亦随地势,不得校乎平则促。若用此术,但得南望。若北望者,即用句照南下之术,当北高之地。

第四邪上术,依其后下之率,下其句影,此谓回望北极以为高远者。望去取差,亦同南望。此术弦长亦与句股不得相应,唯得北望,不得南望。若南望者,即用句影北高之术。

第五平术,不论高下,周髀度日,用此平术,故东西南北四望皆通,远近一差,不须别术。

第六术者,是外衡。其径云“四十七万六千里”,半之得二十三万八千里者,是外衡去天心之处,心高于外衡六万里。为率。南行二十三万八千里,下校六万里,约之,得南行一百一十九里。下校三十里一百一十九步,差下三十步。阙。“三十步,大强差下十步。以此为准,则不合有平地。地既平,而用术尤乖理验。且自古论晷影差变,每有不同,今略其梗概,取其推步之要。《尚书考灵曜》云:‘日永影尺五寸,日短一十三尺,日正南千里而减一寸’。”张衡《灵宪》云:“悬天之晷,薄地之仪,皆移千里而差一寸。”郑元注《周礼》云:“凡日影于地千里而差一寸。”王蕃、姜岌因此为说。按前诸说,是数并同,其言更出,书非直有此,以事考量,恐非实矣。谨按宋元嘉十九年,岁在壬午,遣使往交州度日影。夏至之日,影在表南三寸二分。《太康地理志》,交趾去洛阳一万一千里,阳城去洛阳一百八十里。交趾西南望阳城,洛阳在其东南。较而言之,令阳城去交趾近于洛阳,去《交趾》一百八十里,则《交趾》去阳城一万八百二十里,而影差尺有八寸二分,是六百里而影差一寸也。况复“人路迂回,羊肠曲折,方于鸟道,所较弥多

以事验之,又未盈五百里而差一寸明矣。千里之言,固非实也。何承天又云:“诏以土圭测影,考校二至。”阙。三日有馀。从来积岁及交州所上,验其增减,亦相符合。此则影差之验也。《周礼·大司徒职》曰:“夏至之影,尺有五寸。”马融以为洛阳,郑元以为阳城。《尚书考灵曜》,日永影一尺五寸。郑元以为阳城,日短十三尺。《易纬通卦》验夏至影尺有四寸八分,冬至一丈三尺。刘向《洪范传》:夏至影一尺五寸八分。是时汉都长安,而向不言测影处所,若在长安,则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分,冬至一丈三尺一寸四分。向又云:“春秋分长七尺三寸六分。”此即总是虚妄。《后汉历志》,夏至影一尺五寸。后汉洛阳,冬至一丈三尺。自梁天监已前,并同此数。魏景初,夏至影一尺五寸,魏初都许昌,与颍川相近,后都洛阳,又在地中之数。但《易纬》因汉历旧影,似不别影之冬至一丈三尺;晋姜岌影一尺五寸;宋都建康,在江表验影之数,遥取阳城,冬至一丈三尺;宋大明祖冲之历,夏至影一尺五寸;宋都秣陵,遥取影同前冬至一丈三尺。后魏信都芳注周髀《四术》云:“按永平元年戊子,是梁天监之七年也。”见《洛阳测影》,又见《公孙崇集》诸朝士共观秘书影,同是夏至之日。以八尺之表测日中影,皆长一尺五寸八分,虽无六尺,近六寸。梁武帝大同十年,太史令虞邝以九尺表于江左建康测夏至日中影长一尺三寸二分,以八尺表测之,影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分,八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开“皇元年冬至,影长一丈二尺七寸二分。‘开皇二年夏至,影一尺四寸八分。冬至,长安测;夏至,洛阳测’。”及王邵《隋灵感志》,“冬至一丈二尺七寸二分”,长安测也。“开皇四年夏至一尺四寸八分,洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分”,洛阳测也。“大唐贞观二年己丑五月二十三日癸亥夏至,中影一尺四寸六”分,长安测也。十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分,长安测也。按汉魏及隋所记夏至中影,或长短齐其盈缩之中,则夏至之影尺有五寸,为近定实矣。以《周官》推之,洛阳为所交会,则冬至一丈二尺五寸,亦为近矣。按梁武帝都金陵云:“洛阳南北大较千里,以尺表令其有九尺影”,则大《同十年》,江左八尺表,夏至中影长一尺一寸七分。若是为夏至八尺表千里而差一寸弱矣。由此推验,即是夏至影差,降升不同,南北远近,数亦有异。若以一等永定,恐皆乖理之实。

日高图

日高图

日高图注

赵君卿曰:“黄甲与黄乙,其实正等。以表高乘两表相去,为黄甲之实;以影差为黄甲之广,而一所得,则变得黄甲之袤,上与日齐。按图当加表高。今言八万里者,从表以上复加之。青丙与青己,其实亦等,黄甲与青丙相连,黄乙与青己相连,其实亦等,皆以影差为广。”

臣鸾曰:求日高法:先置表高八尺为八万里为袤。以相两表,相去二千里为广,乘袤八万里得一亿。

考证

六千万里为黄甲之实。以影差二寸为二千里为法。除之,得黄乙之袤八万里,即上与日齐。此言王城去天名曰甲,日底地上至日名曰乙,上天名青丙,下地名青戊。据影六尺,王城上天南至日六万里,王城南至日底地亦六万里,是上下等数日。夏至南万六千里者,立表八尺于王城,影一尺六寸,影寸千里,故王城去夏至日底地万六千里也。

法曰:周髀长八尺,句之损益,寸千里。

《句》谓影也,言悬天之影,薄地之仪,皆千里而差一寸。

故曰:“极者,天广袤也。”

言《极》之远近有定,则天广长可知。

今立表高八尺以望极,其句一丈三寸。由此观之,则 从周北十万三千里而至极下。

谓冬至日加卯酉之时,若春秋分之夜半,极南两旁与天中齐,故以为周去天中之数。

《荣方》曰:“周髀者何?”陈子曰:“古时天子治周。”

古时天子谓周成王时以治周,居王城,故曰:“昔先王之经邑,奄观九隩,靡地不营,土圭测影,不缩不盈。当风雨之所交,然后可以建王城。” 此之谓也。

此数望之从周,故曰《周髀》。

言周都河南,为四方之中,故以为“望主” 也。

“髀”者,表也。

用其行事,故曰“髀。” 由此捕望故曰“表。” 影为句,故曰“句股” 也。

日夏至,南万六千里;日冬至,南十三万五千里;日中 无影。以此观之,从南至夏至之日中,十一万九千里。

诸言极者,斥天之中极去周十万三千里,亦谓“极与天中齐,时更加南万六千里” 是也。

北,至其夜半亦然。

“日极在极北” ,正等也。

凡径二十三万八千里。

并南北之数也

此夏至日道之径也。

“其径” 者,圆中之直者也。

其周七十一万四千里。

“周,匝也。” 谓天戴日,行其数。以三乘径。

臣鸾曰:“求夏至日道径法列夏至日去天中心十一万九千里,夏至夜一日亦去天中心十一万九千里,并之,得夏至日道径二十三万八千里” ,三乘径,得周七十一万四千里也。

从夏至之日中,至冬至之日中,十一万九千里。

冬至日中去周十三万五千里,除夏至日中去周一万六千里是也。

“北至极下亦然”,则从极南至冬至之日中,二十三万 八千里;从极北至其夜半亦然,凡径四十七万六千 里。此冬至日道径也,其周百四十二万八千里。从春 秋分之日中,北至极下,十七万八千五百里。

《春秋》之日影七尺五寸五分,加《望极》之句一丈三寸。

臣鸾曰:求冬至日道径:法列《夏至》去冬至日中十一万九千里,从夏至日道北径亦十一万九千里,并之,得冬至日中北极下二十三万八千里,从极至夜半亦二十三万八千里,并之,得冬至道径四十七万六千里。以三乘径,即冬至日道周一百四十二万八千里。

“从极下北至其夜半亦然。”凡径三十五万七千里,周 一百七万一千里。故日月之道常缘宿,日道亦与宿 正。

内衡之南,外衡之北,圆而成规,以为黄道,二十八宿列焉。日之行也,一出一入,或表或里。五月二十三分,月之二十一道一交,谓之合朔交会,及月蚀相去之数,故曰“缘宿” 也。日行黄道,以宿为正,故曰“宿正。” 于中衡之数,与黄道等。

臣鸾曰:“求春秋分日道法:列春秋分日中北至极下十七万八千五百里,从北极北至其夜半亦然。并之,得春、秋分日道径三十五万七千里。以三乘径,即日道周一百七万一千里。求黄道径法:列从北极南至夏至日中一十一万九千里,以从极北去冬至夜半二十三万八千里,并之,得黄道三十五万七千里。从” 极南至冬至日,北至夏至日夜半,亦黄道径也。以三乘径周,得一百七万一千里也。

“南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日 中,北至夏至之夜半”,亦径三十五万七千里,周一百 七万一千里。

此皆“黄道之数,与《中衡》等。” 。

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