欽定古今圖書集成/曆象彙編/曆法典/第127卷

曆象彙編 曆法典 第一百二十六卷 欽定古今圖書集成
曆象彙編 第一百二十七卷
曆象彙編 曆法典 第一百二十八卷


欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

 第一百二十七卷目錄

 算法部彙考十九

  幾何要法

曆法典第一百二十七卷

算法部彙考十九编辑

《幾何要法》
明鄭洪猷著
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序目

「世之執牛耳盟者,幽言理至度數之學,則以為迂而 無當於道,而芻狗置之。夫度數而斤斤術藝也者,則 芻狗置也。可度數之中大,而授時定曆,正律審音,算 量分秒不爽,水泉灌溉有資。與夫力小任重,營建機 巧畢具,而兵家制勝,列營陣,揣形勢,策攻守,所須乎 此者尤亟。用之如斯其廣且切也,此而可芻狗視之」, 將羲畫虞璿,亦枯而不靈之器,而禹奏平成;可舍句 股勿用,而姬公測驗,必周髀是問何為也?始信理脫 數而藏《易》借以覆短數傳理而見則有物有事,假作 不得,假說亦不得也。善哉幾何原本之帙,譯自西國, 裁自徐太史先生之手。其中比分櫛解,義數詳明,可 以佐隸首商高之不逮,可以補十經九執之遺亡。而 梓、甘、翟、襄不擅長焉者,神而明之,引類而伸之,先王 制器前用之法備見矣。特初學望洋而嘆,不無驚其 繁。余因晤西先生,得受幾何要法,其意約而達,簡而 易從,如攻堅木,先其易者,後其節目。久也相說以解, 先河而後海,昔有言之矣。「不操縵而能安絃」,有是學 乎?爰是訂而副諸梓人,「僭數語」弁其端,有笑而詫猷 以俗吏而迂譚度數之理也,猷烏知

《論線》:計界說十六 ,章數十七 ,要法三十。《總論》:

《幾何家》者,脫物體而空窮度數,數其截者,度其完者。 度有三:曰線,曰面,曰體。線以度長短,面以度廣狹,體 以度厚薄。線自點始,點引為線,線展為面,面運為體。 點者無長,線者無廣,面者無厚。點為線之界,線為面 之界,面為體之界,體不可為界點,線、面、體幾何之論 起焉。

《界說章》第一。凡十六則:

界者,一物之始終。《解篇》中所用名目,作界說。

第一界

幾何者,度與數之府也。

第二界

點者無分,無長短、廣狹、厚薄,故「無分。」如左《圖》甲點。 真圓真平,相遇處止一點,畢世積點不能結線也。

凡圖十干為「識干」 ,盡用十二支等字。

第三界

圖

線止有長無廣厚,如一平面光,照之有光無光之間,不容一物,是線也。如上甲乙圖,畢世積線不能結面。

第四界

面者,有長、有廣、無厚。一體所見為面,凡體之影極似。

圖

於面,無厚之極也。如上甲乙丙丁圖,《畢世》積面不能結體。

第五界

體有長、有廣、有厚,如上《甲乙丙丁戊己庚圖》。

第六界

分者,幾何之幾何也。小能度大而盡之,無贏不足者,以小為大之分。若小不能盡度大,當稱幾分幾何之幾?如

上甲乙四與丙丁八、戊己十二等數皆能盡分者,則 甲乙四為丙丁八、戊己十二之分。若庚辛四與壬癸 六,一即贏,二即不足,不能盡度者,不得正名為分,則 稱之為「三分六之二。」他數倣此

第七界

點者非幾何,故不能為線及諸幾何之分。

第八界

線非廣狹之幾何,故不能為面之分。

第九界

面非厚薄之幾何,故不能為體之分。

第十界

圖

線有曲直,線之一點能遮兩界,是直線。如上圖甲乙。不遮則不直。如下圖丙丁。

第十一界

圖

面之中間線,能遮兩界,不礙不空是平面。如上圖甲乙丙丁,不遮則不平。如下圖戊己庚

圖

第十二界

「直線垂於橫線之上,為橫線之垂線。」 如上圖丁乙為甲丙之垂線。

圖

第十三界

兩直線於同面行至無窮,不相離亦不相遠,終不得相遇者,為平行線。如上甲乙丙丁兩線。

第十四界

兩幾何,以幾何相比之理為比例,「兩幾何」者,或兩數, 或兩線,或兩面,或兩體,各以同類大小相比,謂之比 例。若線與面,或數與線,此異類不為比例。若同類相 比,而不以幾何,亦不為比例也。如白線與黑線,或有 窮之線與無窮之線,雖則同類,實無比例。有窮之線, 畢世倍之,不能及無窮之線故也。

凡比例有三種:有「數」之比例,有《量法》之比例,有《樂律》 之比例,本卷《論量法》之比例。

第十五界

比例相續不斷,為「連比例」,其中率與前後兩率遞相

圖

為比例,而中率既為前率之後,又為後率之前。如上圖甲二與乙四比,乙四又與丙八比是也。

圖

第十六界

《中率》一取不再用,為斷比。例如上圖「甲四自與乙八比,丙六自與丁十二比」 是也。

備器章第二

幾何?在曆家則多用圖。畫圖必先備。器器有三:曰尺, 曰規,曰矩。尺以畫線而貴直,規以畫圜而貴調,矩以 畫方而貴準。器準矣,不識用法,則茫無措手。今以《用 法》著於篇。

審尺章第三

畫圖首畫線,線貴直,線界於尺,故先求尺直。

如甲乙為尺面,丙丁為尺側一稜,先以丙丁畫一戊。

圖

己線丙合戊,丁合己,次轉丙丁稜,畫一己戊線,丙合己,丁合戊,不出不入,則尺直矣。不直再當琢削。

畫線章第四

尺既直矣,線可無曲。然畫時又有法,須以鐵或銅鑄 筆,上長其柄,令可把手,下截闊出,復漸窄而下其正。

圖

面削極平背令稍圓去末寸許作一小窩窩下漸細至末用時以墨汁入小窩

以平面緊倚尺作線,則墨汁自就下。或恐墨汙其地, 將尺削去丙丁側一稜,則墨線瑩細如絲。即作於規 末亦得。

審平面章第五

平面者,諸方皆作直線。

圖

《法》曰:「如甲乙丙丁為面,欲審其平,即用直尺施於甲角,繞面運轉,不礙不空,全合直尺,是平面也。」

引線章第六

圖

有一短直線,求平引長之。

法曰:如有甲乙線,欲平引長之。先以甲為心,以乙為界。畫小半圜,以乙為

心任取一度,於小半圜上下各作規界線,為丙為丁。 次以丙丁為心,任取一度,向前作短界線,相交為戊 末,引甲乙線至戊,則得所求。若欲更引長,仍依此法。

《平分直線章》第七:法有二。

有有界之線,求兩平分之。

第一法

圖

如有甲乙線,求兩平分,先以甲為心,任用一度,但須長於甲乙線之半,愈長愈準,向上向下各作一短界線,次

用元度以乙為心,亦如之。兩界線交處,即丙丁末。用 尺作丙丁直線,即甲乙有界之線,兩平分于戊矣。

第二法

若所分之線,下面無地,可作短界線,即於甲乙線上。

圖

先畫兩短界線於丙次,或開或收,規度仍前,從甲從乙向上,又作兩短界線於丁,規度愈相遠,畫線愈準。末以丙丁二交用尺如前畫線,則得所求。

作《垂線章》第八:法有四。

有一直線,任於一點上求作垂線。

第一法

甲乙直線,任指一點,於丙求丙上作垂線,先於丙點 左右任用一度,愈遠愈準,各截一界,為丁為戊。次以

圖

丁為心,任用一度,但須長於丙丁線,向丙上方作短界線。次用元度,以戊為心,亦如之。兩界線交處為己,從己至丙以尺畫線,則得所求。

第二法

圖

於丙左右如上法截取丁與戊,即任用一度,以丁為心,于丙上下方各作短界線。次用元度,以戊為心,亦如之。則上交為己,下交為庚,末作己庚直線,視直線交於丙點,即得所求。若丙

點在甲乙端上,則當暗引長甲乙線後如前作亦得。

第三法

若直線甲端上求立垂線,又甲點外無地可暗引線, 則先以甲乙原線上方任取一點為丙,以丙為心甲。

圖

為界作大半圜。圜界與甲乙線相遇,為丁。次自丁至丙依前法作直線,引長之,至戊,為戊丁線。戊丁與圜界相遇,為己末。自己至甲作直線,即所求。

第四法

圖

若甲乙線所欲立垂線之點,乃在線末甲界上,甲外無餘線可截,則於甲乙線上任取一點為丙。如前一二法,於丙上立丁丙垂線。次以甲丙丁角。

兩平分之。分法在後三卷第四章為己丙線。次以甲丙為度,於 丁丙垂線上,截戊丙線,又用元度,以戊為心,向己作 短界線為庚末,自庚至甲作直線,得所求。

《立垂線章》第九:法有四。

有無界直線,線外有一點,求自彼點,作垂線,至直線 上。

第一法

如有甲乙無界直線,直線外有丙點。求自丙點作垂 線至甲乙線,先以丙為心,向直線兩處各作小半圜。

圖

或兩短界線,為甲為乙。次仍用一度,以甲為心,向丙點相望處作短界線,又以乙為心亦如之。兩線相交處為丁末。自丙至丁作直線,截甲乙線於戊,則丙戊為垂線。

圖

第二法

於甲乙線上,近甲或乙,任取一點為心,以丙為界,作一圜界,於丙點及相望處,各稍引長之。次於甲乙線上視

圖

前心或相望如前圖,或進或退如後圖。任移一點為心,以丙為界,作一圜界,與前圜交處得丁末,自丙至丁作直線,得丙戊垂線。

圖

第三法

若丙點垂於甲乙線之界,不能於丙點左石畫圜如前二圖,又或不能暗引長甲乙線,則當以甲為心,於丙點及相望處各作短界線,於丙於丁。又

進以乙為心,以丙為界,仍相望,作兩短界線末,從丙 丁二交處作直線,則得所求。

第四法

若「《甲乙》線」在面之邊,且下無地可措,規如前四圖則。

當用前章第三法,或以丙為心,任指甲乙線上兩點,為丁為戊。次任取一度,以丁為心,向丙上作短界線。次用元度,以戊為心,仍向丙上作短界線,交於己末。自己至丙作直線引長之。

至庚得所求。又有便法,在後平行線中。

《作平行線章》第十。《法》有三。

一點求作直線,與原設直線平行。

第一法

於甲點求作直線,與乙丙線平行。先任作甲丁線,與乙丙斜交。次以丁為心,任作戊己圜界。次用元度,以甲為心,作庚辛圜界,稍長於戊己。次取戊己圜線為度,於庚辛圜界截取庚辛。

末自甲至辛作直線,即所求。

第二法

先以甲點為心,於乙丙線近乙處,任指一點作短。界 線為丁。次任用一度,以丁為心,向丙截取一分作短。

界線為戊。又用丁戊元度,以甲為心,對甲平行,作短界線為己。次用甲丁元度,以戊為心,對甲平行,作短界線於己末。自甲至己作直線,即所求。

《註》曰:「凡有不等度,須一度用一規。」

始元度不爽,如一規而數易其度,則元度永不復矣。此丁先生《祕法 》。以上二法,以甲點定遠近,若無甲點,任指所欲遠近為界,可當甲點。

第三法

此法比前法更簡易,即西本《幾何》亦未載,乃敝師伯先生所授。如有甲乙線,任遠近求作平行線,近甲取心向上,以所求遠近為度,作小半圜。次用元度近乙取心向上,復作小半圜末。

以尺「依半圜」 為界,作直線,即所求。

註曰:以上平行數法可推,用作沿邊直線之垂線。如有甲乙線,求乙線,界上作一垂線,先以乙

為心向甲,任取一點為丙。又用元度,以丙為心,向甲指一點為丁。又以乙為心,任取一度。向上方作一短界線,愈遠愈準。又以丁為心,用元度,仍向上方作一短界線,與前界線相交於戊次自戊至丙,作垂線末,以前作平行線法。隨用一法,以丙乙為度,作平行線,正垂在乙點上,即得所求。

《求分一直線任為若干平分》章第十一法有四。

凡造曆象數,欲分直線為不等分,不諳其法,大費手 力,抑且不準,宜熟後法以便用。

第一法

如甲乙線求五平分,先從甲任作甲丙線,為丙甲乙角,次從甲向丙任作五平度,為甲丁丁戊戊己己庚庚辛。次作辛乙直線,末用平行線法,作丁壬戊癸、己子庚丑四線,皆與辛乙平行,即壬癸子丑與甲乙為五平分。

第二法

如甲乙線求五平分,即從乙任作乙丙線,為丙乙甲角。次於乙丙任取一點為丁,作丁戊線與甲乙平行。次從丁向戊任作五平分,為丁己己庚庚辛辛壬壬癸,而丁癸線令小於甲乙。次從甲過癸,作甲子線,遇乙丙於子。

末從子作子壬子辛子庚子己四線各引長之,而分 甲乙於丑、於寅、於卯、於辰,為五平分。

第三法

如甲乙線求五平分,即從甲從乙,作甲丁乙丙兩平行線,次從乙任作戊己庚辛四平分,次用元度從甲作壬癸子丑四平分,末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聯,即分甲乙於己於辰於卯於寅,為五平分。

第四法

圖

右圖之法極簡極神,可分百千不等之線與百千不 等之分,先作一器,如丙丁戊己為平行線,任平分為 若干格,器愈大,格愈密,其用愈廣,格每分作平行線 相聯。今欲分甲乙為五平分,即規取甲乙之度,以一 規髀任抵戊丙線上,一規髀抵第五庚辛線上,如不 在庚辛者,即漸移之至線界而止。既至壬,即戊壬之 分,為甲乙之分。

圖

又如右圖有甲乙線求十七平分。先以規取甲乙之 度,以一規髀抵戊丙線一處,以一規髀抵此器庚辛 第十七格為壬次,從戊至壬畫一直線,次取所過兩 格相距之度,以此為準,分甲乙直線,則得十七分矣。 或圖小而所分者大,欲廣其用,則遞倍之。如圖一尺, 欲分一丈為十九分,須取一丈十分之一為一尺,用 前法為十九分,後以尺遞十倍之,則一丈已分為一 百九十分矣。每十分作識,如所求。餘以此推之。

「一、直線求截所取之分」章第十二法有二。

第一法

如有甲乙直線求截,取三分之一。先從甲任作一甲丙線,為丙甲乙角。次從甲向丙任作所命三分之平度,如甲丁丁戊戊己為三分也。次作乙己直線,末作丁庚線,與己乙為平行線,即甲庚為甲乙三分之一也。

第二法

如甲乙直線求截,取七分之三,先以

前章之法,分甲乙線為七分,後取其三於庚,則得所求也。如欲截取十分之七,十四分之九,等不均之數,亦如之。

「有一直線,求截各分,如所設之分」章第十三。一法:

法曰:甲乙線求截各分,如所設甲丙任分之。丁戊者,謂甲乙所分各分之比例,若甲丁丁戊戊丙也。先以甲乙甲丙兩線相聯於甲任,作丙甲乙角。

次作丙乙線相聯,末從丁從戊作丁己。戊庚兩線,皆 與丙乙平行。即分甲乙線於己於庚,若甲丙分於丁 戊焉。

《有直線求兩分之而兩分之比例,若所設兩線之比例章》第十四。一法:

法曰:如甲乙線求兩分之而兩分之比例,若所設丙與丁,先從甲,仍作甲戊線,為戊甲乙角,次截取甲己與丙等,己庚與丁等,次作庚乙線聯之末。

作己辛線,與庚乙平行,即分甲乙於辛,而甲辛與辛 乙之比例,若丙與丁。

有兩直線求,別作一線,相與為《連。比例章》第十五法有二。

第一法

圖

有甲乙甲丙兩線,求別作一線相與為連比例者,任合兩甲乙,甲丙為甲角,而甲乙與甲丙之比例,若甲丙與所求他線也,先於甲乙引長之,為乙。

丁與甲丙等次作乙丙線相聯,次從丁作丁戊線,與 丙乙平行,末於甲丙引長之,遇於戊,即丙戊為所求 線。若以甲丙為前率倣此

第二法

圖

以甲乙乙丙兩線,聯作甲乙丙直角,次以甲丙線聯之,而甲乙引長之末,從丙作丙丁,為甲丙之垂線,遇引長線於丁,即乙丁為所求線。

《三直線求別作一線相與為斷。比例章》第十六

法曰:甲乙乙丙甲丁三直線求別作一線相與為斷比例者,謂甲丁與他線之比例,若甲乙與乙丙也。先以甲乙乙丙作直線為甲丙,次以甲丁線合甲丙,任作甲角,次作丁乙線相聯,次從丙作丙戊線,與丁乙平行,末自甲丁引長之,遇丙戊於戊,即丁戊為所求線。

兩直線求別作一線為《連比例之「中率」 章》第十七。

法曰:甲乙乙丙兩直線,求別作一線為中率者,謂甲。

乙與他線之比例若他線與乙丙也,先以兩線作一直線為甲、丙,次以甲丙兩平分於戊,次以戊為心,甲丙為界,作甲丁丙半圜末,從乙至圜界作。

「乙丁垂線」即乙丁,為甲乙、乙丙之中率。以上原本卷之一

論《圜》,計界說十二 ,章數二十九 ,要法三十二。總說:

「圜成於線。」線有二種:為曲為直。直線或單或眾,前卷 已詳之。眾線或三而成三角形,或四而成方形,或多 而成諸不等形。曲線或半或全,半線有不等之用。全 線或成圜形,或成卵形。等角形及方形、卵形,詳見後 卷,今先論圜形。

《界說章》第一。凡十二則:

第一界

圓形於平地,居一界之間為「圜。」

第二界

外圓線為圜之界;

第三界

圜之中處為圜心。

第四界

圖

自圜之界,作一直線,過中心至他界為圜徑。如上圖。甲丁乙戊為圜界,丙為心,甲乙為徑。

第五界

凡直線切圜,界過之而不與界交者,為切線。如上圖。

甲乙丙線是也。若先切圜界而引之入圜內,則謂之「交線」 ,如丁戊是也。

第六界

圖

凡兩圜相切而不相交者為「切圜」 ;相切而相入者為「交圜。」 如上圖。

第七界

圖

凡直線形居他直線形內,而此形之各角,切他形之各邊,為形內切形。如上圖丁戊己為甲乙丙形內切形。

第八界

凡直線形居他直線形外,而此形之各邊,切他形之 各角,為形外切形。如前圖甲乙丙為丁戊己形外切 形。其餘各形倣此二例。

第九界

圖

直線形之各角切圜之界為圜內之切形。如上圖甲乙丙形之三角各切圜界,於甲、於乙、於丙三者是也,圜之。

界切直線形之各角為形,外切圜同上圖。

第十界

圖

直線形之各邊切圜之界,為圜外切形,如上甲乙丙形之三邊切圜,於丁於己於戊是也。

第十一界

一,圜之界切,直線形之各邊為形。內切圜如前圖。

第十二界

圖

一,直線之兩界各抵圜界,為「合圜線。」 如上圖之甲乙線。

《造規章》第二:法有四。

圜形以至圓為準,至圓必出於規,規必欲極準極順, 其用甚活,乃堪造曆。凡造規之法有四,《詳列於後》。

第一法

先以銅或鐵範成二股,上闊下窄,至末而銳,近頭小 半截作凹凸狀,令可相合。次以釘釘其圓頭,貴寬緊 得宜,任意可開。收規下半截為規髀一規,髀作墨池, 如首卷第三章,法以適用。凡欲造《曆象》,必須備規,其 造式見後。

規圖

規圖

第二法

凡規有三用:一畫虛線,則須鉛條,當先以銅葉為管, 虛其中,橫開小路,上套小銅圜,可上下鬆緊,以出入 鉛條末略奓出,以留小圜。如下甲圖一畫墨線,則當 作墨路。如前章法。如下乙圖。一畫銅板線,須以純鋼 為末。如下丙圖。右三髀俱另作不相連本規。其本規 如前法造,但截去一髀,臨截處長半寸許,作一小箱 狀,虛其中,亦令方可受規髀柄。如下圖丁處箱而作 旋螺,用時任入一規髀,以銅消息如旋螺者貫定之。 如下《戊圖》,則任意可畫線,而一規可具三用矣。此為 第二法如下圖。

圖

第三法

造曆恆用規,依比例法分線分圜,或以大形移變小 形,或以小度移變大度,其分法稍難。今作一四髀規, 或銅或鐵,略如剪形,上下作四規髀,上短下長,令上 準下度,或半或三之一,或十之一,及種種不等。則作 線圜時,或欲以大變小,先以下髀取度,次以上髀移 度;或欲以小變大,先以上髀取度,次以下髀移度,則 「得所求。」其或半或三之一,或十之一,俱從《髀》之長短 而分。下愈長則度愈大,上愈短則度愈促。

圖

第四法

前三種規,長不踰尺,止堪小用。如欲造璣衡大器,則 當更變其式如下圖。其規以銅範為極,方條上下如 一,任作幾尺。於條左末作錐,垂下二三寸,以純鋼為 之。更造一錐,與前錐等,上方寸許,仍鑿方孔令透,可 受方條,任遠近可推移。方孔旁更鑿圓孔。仍前法作 旋螺,貫定方條,使兩錐堅定,不爽分毫。可畫大圜如 下圖。

圖

《有圜求兩平分之章》第三:一法:

圖

如有甲乙丙圜,求兩平分,用尺任以圜一處為界,正過心畫一直線,則圜體兩平分矣。

《有圜之分求兩平分之章》第四:一法:

圖

如有甲乙丙圜分,求兩平分之,先於圜分兩界作甲乙線,次兩平分之於丁從丁作丙丁為甲乙之垂線。

一卷第八章

即丙丁分、甲乙圜分,為兩平分。若有圜,不露其心,又 求兩平分之,亦如此法。

《有圜求四平分之章》第五:一法:

圖

凡立天象,多用四分圜,為周天四象限,故造法不可不準。如有甲乙丙圜,求四平分,先以前法作甲乙線,過戊心兩平分之,次依作垂線法於戊心。

上自丙至丁,作垂線,得所求。

《有圜求六平分之章》第六:一法:

圖

凡曆家分周天度,多用六數,或十二,或二十四。今詳其法,如有一圜求作六分,不用他法,惟以畫圜之元規周圜界六步,則自然分為甲乙丙丁戊己六平分矣。

《有圜求十二平分之章》第七:一法:

圖

先以本卷五章法,四平分於甲乙丙丁。次以畫圜元規,從甲從乙,上下各指一點,又從丙從丁左右各指一點。

則得所求。若欲二十四分,每分為兩,則得所求矣。

《有圜求三百六十平分之章》第八:一法:

凡曆家所用細分周天度,以三百六十為率,今詳其 法:

如有甲乙丙圜,先依前法四平分之,為四象限。次以 規元度,依前法十二平分為十二宮。就以所分十二 宮各三分之,各包十度。次每十兩平分之,各包五;次 每宮又五平分之,各包六。今用六度之規,至終不改。 從子宮初一度步起,完一周。又次從初五度初十度。

圖

十五度、二十度、二十五度各步完一周,則平分三百 六十分矣。

《有圜之分任截幾度章》第九。一法:

圖

如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必須先求圜分之心依後十一章之法成圜後均分為三百六十乃取三百六十之三十五分其法頗繁今有

圖

簡玅之法先備一銅板分一子丑寅象限為九十分合極準設有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先從甲至圜心作甲丙半徑線如與子丑寅象限

半徑相合,則移彼度子卯至甲乙線上,至庚,即得所 求矣。如大小不合,則以規取子丑寅半徑,以丙為心, 或甲乙內,或甲乙外,作一圜分。若丁戊圜在外,則當引長甲丙線至丁,取子丑寅限三十五度,以丁為始, 移於丁戊圜上至己,從丙心過己,作一直線,截甲乙 於庚,則甲庚為甲乙圜上三百六十分之三十五也。 若所範銅板,欲其用廣,當從寅心重重作圜,與子丑 平行。又自子丑外圜逐度引直線至寅心後所欲取 圜分之度,若其半徑與子寅不等,或同於他子丑內 圜之半徑,則可徑移其度於所分圜上。不爾,仍用前 法。

《有圜求尋其心章》第十一法:

圖

如有甲乙丙丁圜,欲求其心,先於圜之兩界任作一戊己直線,次以平分線法作丙丁垂線,兩平分之於庚,則庚為圜心。

《有圜之分求成圜章》第十一一法:

圖

如有甲乙丙圜分,求成圜。先於圜分任取三點,於甲、於乙、於丙從甲至丙,丙至乙,各作一直線,各兩平分,於丁於戊,次於丁戊上各作垂線相交處。

「為己末」,以己為心,以圜為界,旋轉即得所求。

任設三點,不在一直線,求作一過《三點之圜章》第十二法有二。

第一法

如有甲、乙、丙三點,求作一圜貫之,先以甲為心,任取。

圖

一度向乙,上下各作小圜分,又以乙為心向甲,仍用元度,上下各作小圜分,相交處為丁為戊。次又以甲為心向丙,上下作小圜分如前。次以丙為

心亦如之。相交處為己為庚,次從丁至戊,從己至庚, 各作直線,相交處為辛末,以辛為心,任取一點為界。 旋規成圜,即得所求。

第二法

圖

先以三點作三直線,相聯成甲乙丙三角形。次平分兩線,於丁於戊,次於丁戊上各作垂線,令相遇於己末,以己為心,甲為界,作圜即得所求。

有圜求作合圜線與所設線等,此設線不大於圜之《徑線》章第十三一法:

圖

如有甲乙丙圜,求作合線,與所設丁線等,其丁線不大於圜之徑線,徑為圜內之最大線,更大不可合。先作甲乙圜,徑為乙丙,若乙丙與丁等者,即

是合線。若丁小於徑者,即於乙丙上截取乙戊與丁 等。次以乙為心,戊為界,作甲戊圜,交甲乙,丙圜於甲 末,作甲乙合線,即與丁等。何者?甲乙與乙戊等,則與 丁等。

《三角形求作形外切圜章》第十四一法:

圖

甲乙丙角形求作形,外切圜。先平分兩邊,於丁、於戊,次於丁戊上各作垂線,為己丁、己戊而相遇於己末,以己為心,甲為界。作圜,必切甲乙丙,而為三角形之形,外切圜。

《三角形求作形內切圜章》第十五一法:

甲乙丙角形求作形內切圜,先以甲乙丙角、甲丙乙 角各兩平分之,作乙丁丙丁兩直線,相遇於丁。次自

圖

丁至角形之三邊各作垂線,為丁己丁庚丁戊末以丁為心,戊為界,作圜即過庚己為戊。庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邊,于戊于己于庚,此為形內切圜。

有圜求作圜內三角切形,與所設三角形等。」 「《角章》第十六

甲乙丙圜求作圜內三角切形。其三角與所設丁戊、 己形之三角各等。先作庚辛線,切圜于甲,次作庚《甲》

圖

乙角與設形之己角等。次作辛甲丙角,與設形之戊角等。末作乙丙線,即圜內三角切形,與所設丁戊己形等角。

有圜求作圜外三角切形,與所設三角形等。」 「《角章》第十七

甲乙丙圜求作《圜外三角切形》。其三角與所設丁戊 己形之三角各等。先于戊己邊各引長之為庚辛,次 于圜界抵心作甲壬線,次作甲壬乙角,與丁戊庚等。

圖

次作乙壬丙角,與丁己辛等末,於甲乙丙上,作癸子子丑丑癸三垂線。此三線各切圜於甲於乙於丙,而相遇於子於丑於癸。

若作甲、丙線,即癸甲、丙癸,丙甲兩角小於兩直角,而子癸、丑癸兩線必相遇,餘倣此。

此癸、子、丑三角,與所設丁、戊、己三角各等。

《有圜求作內切圜直角方形》章第十八

圖

有甲乙丙丁圜,求作內切圜直角方形。先作甲丙乙丁兩徑線,以直角相交於戊,次作甲乙乙丙丙丁丁甲等四線,即甲乙丙丁為內切圜直角方形也。

「《有圜求作外切》圜直角方形」章第十九法有二。第一法:

甲乙丙丁圜其心,戊求外切圜直角方形,先作甲丙。

圖

乙丁兩徑線以直角相交於戊,次於甲乙丙丁,作庚己己辛辛壬壬庚四線,為兩徑末界之垂線,而相遇於己於辛於壬於庚,即己庚壬辛為外形。

第二法

以戊甲為度,依平行線法,作己庚辛壬上下兩線,與 乙丁平行。次用元度,作己辛庚壬左右兩線,與甲丙 平行,即得。所求同前圖。

有直角方形求作《形內切圜章》第二十。

圖

甲乙丙丁直角方形。求作形內切圜,先以四邊各兩平分,於戊、於己、於庚、於辛,而作辛己戊庚兩線,相交於壬末,以壬為心,戊為界,作圜必過戊己。

庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邊是為形內切圜。

有直角方形求作《形外切圜章》第二十一

圖

甲、乙、丙丁直角方形,求作外切圜。先作對角兩線,為甲、丙、乙、丁,而交於戊末,以戊為心,甲為界,作圜必過乙、丙。

丁甲「而為」形外切圜。

「有圜求作《圜內五邊切形其形等邊等角》」 章第二十二

圖

如有甲乙丙丁戊圜,求作五邊內切圜形等邊等角。先作己庚辛兩邊等角形,而庚辛兩角各倍大於己角。次於圜內作甲丙丁角形,與己庚辛角形各等角。次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分,作丙戊丁乙兩線。末作甲

乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯,即甲乙丙丁戊為 五邊內切圜形,而五邊五角俱自相等。

《有一圜求作內切圜五邊及十邊形章》第二十三

如有甲、乙、丙圜心,為丁,先作甲、丙過心線,次作乙、丁。

圖

垂線次平分丁丙線,於戊作乙戊線,次取戊乙度移於徑線為戊己。次作乙己直線,蓋乙己為甲乙丙圜五分之一,以此為度,可作內切圜五邊形。

丁己度可作內切圜十邊形。

「有圜求作《圜外五邊切形其形等邊等角》」 章第二十四

甲乙丙丁戊圜求作五邊外切圜形等邊等角,先依。

圖

前章法作圜內甲乙丙丁戊五邊、等邊等角切形,次乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線,次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂線,相遇於庚於辛、於壬、於癸、於子五垂。

線既切圜,即成外切圜五邊形,而等邊等角。

《五邊等邊等角形求作形內切圜章》第二十五

甲乙丙丁戊五邊等邊等角形。求作內切圜,先分乙 甲戊甲乙丙兩角,各兩平分,其線為己甲己乙而相

圖

遇於己目:己作己丙、己丁己戊三線,次從己向各邊,作己庚、己辛、己壬、己癸、己子五垂線末作圜,以己為心,庚為界,必過辛壬癸子庚而為甲乙丙丁戊五邊形之內切圜。

《五邊等邊等角形求作形外切圜章》第二十六。

甲乙丙丁戊五邊等邊等角形,求作外切圜,先分乙。

圖

甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙,而相遇於己。次從己作己丙、己丁、己戊三線,與己甲己乙俱等末,以己為心,甲為界,作圜必過乙丙丁戊甲,即得所求。

《求作圜內六邊切形其形等邊等角》章第二十七。

圖

如有甲乙丙丁戊己圜,其心庚求作六邊,內切圜形、等邊等角。先作甲丁徑線,次以丁為心,庚為界,作圜,兩圜相交於丙於戊,次從庚心作丙庚戊庚兩線,各引長之,為丙己戊乙末作。

甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聯,即得所求。

《求作圜內十五邊切形其形等邊等角》章第二十八。

如有甲乙丙圜,求作十五邊內切圜形等邊等角先

圖

作甲、乙、丙內切圜平邊三角形,即各邊當圜十五分之五。次從《甲》作甲、戊、己、庚、辛內切圜五邊形等角,各邊當圜十五分之三,而戊乙得十五分之二。次以戊乙圜分取乙己度兩平行。

於壬,則壬乙得十五分之一。次作壬乙線,依壬乙共 作十五合圜線,即得所求。

以此為例,推用遞分,可作無量數形。

圜內有同心圜,求作一多邊形,切大圜不至小圜,其多邊為偶《數而等章》第二十九

如有甲乙丙丁戊兩圜,同以己為心,求於甲乙丙大 圜內,作多邊切形,不至丁戊小圜,其多邊為偶數而 等。先從己心作甲丙徑線,截丁戊圜於戊也。次從戊。

作庚辛為甲戊之垂線,即庚辛線切丁戊圜於戊也。次以甲丙兩平分於乙,乙丙兩平分於壬,以壬丙兩平分於癸,則丙癸圜分必小於丙庚。而作丙癸合圜線,即丙癸為所求切圜形。

之一邊也。次以癸丙為度,遞分一圜,各作合圜線,得 所求形。以上原本卷之二

《論線》:計界說十 ,《章數》十四 ,《要法》十四。《界說章》第一。凡十則

第一界

圖

角者,兩線縱橫相遇,所作線有曲直,兩直相遇為直線角,兩曲相遇為曲線角,一直一曲相遇為雜線角。曲、雜兩線角,更有別論,今先明直線角。

第二界

圖

凡直線正垂於橫直線之上,必成兩直角相等。如上圖甲乙為垂線,丙丁為橫線,而乙之左右兩角相等為兩直角,若反以甲乙為橫線,則丙丁為甲乙垂線也。

如今用矩尺,一縱一橫,互相為直線,互相為垂線。

第三界

垂線斜交於橫直線之上,必成兩不等角、兩不等角:

圖

一大於直角,一小於直角,大為鈍角,小為銳角,如上圖戊己庚為鈍角,戊己辛為銳角,故直角惟一,而銳鈍兩角,其大小不等,乃至無數。

第四界

凡二直線不能為有界之形,故直線之形,有界者,至少有三角。有三直線為邊,名曰「三邊形」 ,亦曰「三角形。」 如上圖三邊形止有三種:

第五界

圖

「三邊線相等,為等邊三角形,亦為平邊三角形。」 如上甲、乙丙圖。

第六界

兩邊線相等,為一不等三角形,如上《丁戊己圖》。

第七界

圖

「三邊線俱不等,為不等邊三角形」 如上《庚辛壬圖》。

第八界

圖

「三邊形」 :有一直角,為三邊直角形;有一鈍角,為三邊鈍角形;有三銳角,為三邊各銳角形。如上三圖。

第九界

凡三邊形,恆以在下者為底,在上邊為腰。如上圖,甲乙甲丙為腰,乙丙為底。

第十界

圖

凡言「角」 者,俱用「三」 字為識。其第二字即所指角也。如甲乙、丙角,其「乙」 字指角。

三髀規章第二

規以二髀為常法,或倍之於兩端,為四髀,前卷已詳 之矣。茲有三髀規,新式造法,兩髀如常,如前二卷中 所設是也。旁一髀即附於二髀之樞,稍引長之出頭, 其頭端上有眼銜旁一髀,令其圓活,可上下左右如 下圖,用法見後

圖

《於有界直線上求立等邊三角形》章第三。

如甲乙直線上求立等邊三角形,先以甲為心,乙為

圖

界:或上或下,作短界線,次以乙為心,甲為界,作短界線,兩線交處為丙末,自甲至丙,丙至乙,各作直線,即所求。

「於有界直線卜求,立《一不等三角形》」 章第四。

圖

如甲乙直線,以甲為心,任取一度,或長或短,於甲乙線上用前法作一短界線,次以乙為心,用前度亦如之。《兩》

短界線交處為丙,從丙至甲至乙各作直線,即所求。

《於有界直線上求立三不等角形》章第五。

如甲乙直線,以甲為心,或長或短,用一度,如前作「短。」

圖

界線次以乙為心,甲度長,今用短度,甲度短今用長度。於甲乙不等作短界線,交處為丙。從丙至甲至乙作兩直線,即所求。

《有直線角求兩平分之章》第六。

如乙甲丙角求兩平分之先,於甲乙線任截一分,為

圖

甲丁次於甲丙線截甲戊與甲丁等次,或用元度,或任取一度,以丁為心,向乙丙間作一短界線,次以戊為心,亦如之。兩線交處為己,從甲至己作直線,即所求。若向乙丙無地可作短。

圖

《界線》則宜仍以丁以戊為心,向甲上作短界線為己,從己至甲作直線,即所求如上圖。

《有直角求三平分之章》第七

圖

如甲乙丙直角,求三平分之先,任於一邊立平邊角形,為甲乙丁次分對直角一邊,為兩平分,丁戊從此邊對角作垂線至乙,即所求。

《有角任分為若干分章》第八。

圖

如乙甲丙角,欲分為四,為八,為十六等分,則先分兩分,又各兩分之,得四;又各兩分之,得八;又各兩分之,得十六,愈分則愈倍,任欲分為幾分,如《三》。

五七九之類,則先以甲為心,向乙作一圜分,次以規 分圜分任作幾何分,末從所分度至甲作直線,即所 求如上圖。

有三直線求作三角形,其三邊如所設《三直線等章》第九。

圖

如甲、乙、丙三線,每兩線并大於一線,任以一線為底,以底之甲為心,第二第三線為度,向上作短界線,兩界線交處為丙次,向下作丙甲、丙乙兩腰。

即所求。

「設一三角形,求別作一形與之等」 章第十。

圖

以所設三角形之三邊,當甲乙丙三線,以前法作之,即所求。或又用前所備三髀規,以規形所設三角形度移於別處,即所求。

一、直線任於一點上,求作一角,如所設角等章第十一。

如甲乙線上有丙點,求作一角,如所設丁戊己角等。

圖

先於戊丁線任取一點為庚,於戊己線任取一點為辛,自庚至辛作直線。次以前法於甲乙線上,作丙壬癸角形,與戊庚辛角等,即所求。

《有三角形求兩平分之章》第十二

圖

如有甲、乙、丙三角形,求兩平分之,任於一邊,兩平分之,於丁向角作直線,即所求。

凡角形任於一邊,任作一點,《求從點分兩形為兩平分章》第十三

有甲乙丙角形,從丁點求兩平分之,先自丁至相對甲角作甲丁直線,次平分乙丙線於戊,作戊己線,與甲丁平行,末作己丁直線,即分本形為兩平分。

《有三邊直角形,以兩邊求第三邊長短之數》章第十四。

如甲、乙丙三角形,甲邊直角,先得甲、乙、甲、丙兩邊長。

圖

短之數,如甲乙六,甲丙八,求乙丙邊長短之數,其甲乙、甲丙上所作兩直角方形,并既與乙丙上所作直角方形等原本卷四十七。則《甲乙》之冪。自乘之數曰冪得三十六,甲丙之冪得六十四,并之得百,而乙丙之冪亦百。百開方得十,即乙丙數十也。又設先得甲乙乙丙,如甲乙六,乙丙十而求甲丙

之數,其甲乙甲丙上兩直角方形并,既與乙丙上直

角方形等,則甲乙之冪得三十六,乙丙之冪得百,百 減三十六,得甲丙之冪六十四,六十四開方得八,即 甲丙八也。求甲乙倣此。以上原本卷之三

《論方形》,計界說八 ,《章數》十三 ,《要法》十四。《界說章》第一。凡八則

第一界

圖

「方形」 者,四直線兩縱兩橫相遇所成,亦謂之四邊形,如上《甲圖》。

第二界

圖

四邊形之四線等,而四直角者,為直角方形。如上《甲圖》。

第三界

圖

四邊兩兩相等而俱直角者,為「長直方形」 ,如上《乙圖》。

第四界

圖

四邊等,但非直角者,為「斜方形」 ,如上《丙圖》。

第五界

圖

四邊兩兩相等,但非直角者,為長斜方形,如上《丁圖》。

第六界

圖

已上方形四種謂之「有法四邊形。」 四種之外,他方形皆謂之「無法四邊形」 ,如上《戊圖》等,本卷多以直方形為論,為其多有用也。

第七界

圖

凡形每兩邊有平行線,為平行線方形如上《己圖》。

第八界

圖

凡作平行線方形,若於兩對角作一直線,其直線為對角線也。又於兩邊縱橫間各作一平行線,其兩平行線與對角線必交羅相遇,即此形分為四平行線方形。其兩形有對角線者,為角線方形;其兩形無對角線者,為

餘方形如甲乙丙丁方形。於丙乙兩角作一線為對 角線,又依乙丁平行作戊己橫線,依甲乙平行作庚 辛縱線,其對角線與戊己庚辛兩線交羅,相遇於壬, 即作大小四平行線方形矣。則庚壬己丙及戊壬辛 乙謂之角線方形,而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘 方形。

審矩章第二

凡作方形,必欲用矩,故先論審矩法,後論棄矩求方 之法。矩以兩尺縱橫而成,然必成直角方準,若稍出 入,必為銳鈍兩角,而不能成矩。今欲審直角,先審兩 尺之稜,如首卷第一法,後於他堅體上作半圜中畫。

圖

徑線。次以矩角倚半圜之界,視二尺稜,正切徑線與圜相交之處,則矩準而可用矣。若有出入,則當更改。或於堅體上作一直線,更作一垂線,四邊作直角,以一矩準四直角不爽,則至準矣。

一、《直線上求立直角方形》章第三

圖

如甲乙線上求立直角方形,先於甲乙兩界各立垂線,為丁甲,為丙乙,皆與甲乙線等。次作丁丙線相聯,即得所求。

「有直線形,求作直角方形與之等」 章第四。

甲直線無法,四邊形,求作直角方形,與之等。先作乙 丁形,與甲等。本卷第五第六章而直角次任用一邊引長之 如丁丙,引之至己,而丙己與乙丙等,次以丁己兩平 分於庚,其庚點或在丙點或在丙點之外,若在丙即

圖

乙丁是直角方形與甲等矣。若庚在丙外,即以庚為心,丁己為界,作丁辛己半圜末從乙丙線引長之,遇圜界於辛,即丙辛上直角,方形與甲等。如上圖丙辛壬癸。

「有三角形,求作平行方形與之等,而方形角又與所設角等」 章第五。

設甲乙丙角形,丁角求作平行方形,與甲乙丙角形 等,而有丁角先分一邊,為兩平分,如乙丙邊平分於

圖

《戊》次作丙戊己角,與丁角等。次自甲作直線,與乙丙平行,而與戊己線遇於己末。自丙作直線,與戊己平行,為丙庚,而與甲己線遇於庚。則得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等,而有丁角。

「有多邊直線形,求作一平行方形與之等,而方形角又與所設角等」 章第六。

設甲乙丙五邊形,丁角,求作平行方形,與五邊形等

圖

而有丁角。先分五邊形,為甲乙丙三三角形。次依前章法,作戊己庚辛平行方形,與甲等而有丁角。次於戊辛己庚兩平行線引長之,作庚辛壬癸平行方形,與乙等而有丁角。末復引

前線作壬癸子丑平行方形,與丙等,而有丁角。即此 三形并為一平行方形,與甲乙丙併形等,而有丁角。 自五邊以上可至無窮,俱倣此法。

「有多直角方形求,并作一直角方形與之」 等章第七。

如五直角方形,以甲、乙、丙、丁、戊為邊,任等不等求作。

圖

一,直角方形,與五形等。先作己庚辛直角,而己庚線與甲等,庚辛線與乙等。次作己辛線,旋作己辛壬直角,而辛壬與丙等。次作己壬線,旋作己壬癸直角,而壬癸與丁等。次作己癸線,旋作己癸子直角,而癸子與戊等。末作己子線,而己子線上所作直角方。

《形》即所求。

「有平行方形,求作三角形」 與之等,而三角形、一角,如所設《角等章》第八。

如有甲乙丙丁平行方形,戊角先作丁,乙己角與戊。

圖

等遇甲丙線於己,次以乙丁線引長之,為庚。取丁庚度與乙丁等,末作己庚直線,乙丙庚三角形,與甲乙丙丁平行方形等,而有戊角,即所求。

「一直線上求作平行方形,與所設三角形等,而方形角又與所設角等」 章第九。

設甲線乙角形,丙角,求於甲線上,作平行方形,與乙

圖

角形等而有丙角,先依本卷第五章法,作丁戊己庚平行方形,與乙角形等,而戊己庚角與丙角等。次於庚己線引長之,作己辛線。次作辛壬線,與戊己平行。次於丁戊引長之,與辛壬線遇於壬次自壬至己,作對角線引。

出之,又自丁庚引長之與對角線,遇於癸。次自癸作 直線,與庚辛平行,又於壬辛引長之與癸線,遇於子 末。於戊己引長之,至癸子線,得丑,即己丑子辛平行 方形,如所求。如欲即於甲線立形,則先依本章法,作 己辛子丑方形。次於甲線一界作寅角,如辛己丑角 等。次取寅卯如己丑等末,成平行方形,即得所求。

設不等兩直角方形,如一以甲為邊,一以乙為邊,求別作兩直角方形,自相等而并之,又與《元設「兩形并等」 章》第十。

先作丙戊線與甲等,次作戊丙丁直角形,而丙丁線

圖

與乙線等次作戊丁線相聯,末於丙丁戊角丙戊丁角各作一角,皆半於直角,己戊己丁兩腰相遇於己而相等,即己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而并之,又與丙戊丙丁上所

作兩直角,方形亦相等。

《兩直線形不等求相等之較幾何章》第十一

圖

甲與乙兩直線形,甲大於乙,以乙減甲。求較幾何?先任作丁丙己戊平行方形與甲等,次於丙丁線上,依丁角作丁丙辛庚平行方形與乙等,即得辛庚戊己為相減之較矣。

《有圜求作一直角方形與之等》章第十二

方圓圓方之法,自古名賢究析而未準。吾師丁先生 《幾何》六卷之末,設此神法,其法之用甚廣,今撮其要, 以推作方圓。圓方之法,先設甲乙丙丁直角方形,次

圖

以乙為心,以甲為界,作甲丁限象任分為若干度,今姑分為九十度,又分甲乙丙丁兩線,如前數為九十次,自乙心至象限,逐度皆作虛線。次從甲乙丙丁兩線對望作平行線,其與限象線交處俱作點次從甲作曲線貫諸點,貫諸點之線則甲戊線為方圓圓方之根線,而乙甲為邊。

圖

乙丁為底,次自甲至戊,作一直線,若乙戊直線與所設欲方之圜半徑等,則甲乙線為所設圜限象之界線。若圜半徑長,則於乙丁線上截乙己與半徑等,引長甲乙線,作己庚與戊甲線平行。庚至乙即長徑圜象限之界線。若圜半徑短,則於乙丁線上截乙辛與半徑等,作辛壬線與

戊甲平行,則壬至乙即短徑圜限象之界線。今有子

丑圜,或大或小,其半徑與乙辛等。先作一寅卯直線, 立一辰己垂線。次從己起,取己午午未各與乙壬等; 次取己申與乙辛等。次兩平分,申未於酉,以酉為心, 以申或未為界,作半圜切垂線於辰末,取己辰作直 角方形之一邊,則此方形與所設圜等。以此可推,不 特一方與一圜,即方之一邊線與圜一限象等,方之 半邊線與「圜半限象等。」

「有直角方形,求作一《圜與之等》」 章第十三

如有甲線為方之邊,先取一圜,依前法求其作方之線,如前度得申己。次作辰申直線,次截戊己,如所設甲線等。次自戊作戊卯線,與辰申平行末以己卯為半徑之度,作一圜即得所求。

推用一法

依兩章方圓,圓方之法,可推任有直線形,可作一圜 與之等。又任設一圜,可作直線形與之等。須先依前 章法,求多邊直線形,作一方形與之等。次依本章法, 作一圜形,與直角方形等,則得一圜與所設直線形 等。若又有圜,求作一三角形。先依本章法,作一方與 所設圜等。次依前法作三角形,如所設方形等,則所 作三角形,如原設《圜》等。以上原本卷之四。


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