勾股引蒙 (四库全书本)/卷03

勾股引蒙　卷三

　　钦定四库全书
　　句股引𫎇卷三
　　海宁　陈𬣙　撰
　　句股法
　　句股名义
　　直者为股
　　横者为句
　　斜者为
　　句股并减名义
　　句股和〈句与股相并〉　　句和〈句与相并〉
　　股和〈股与相并〉
　　句股较〈句与股相较〉　　句较〈句与相较〉
　　股较〈股与相较〉
　　和和〈与句股和相并〉　　较和〈与句股较相并〉和较〈与句股和相减〉　　较较〈与句股较相减〉右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然
　　句股准数
　　句三股四五
　　句股无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四五而变化由此起焉后俱依此立法
　　句股求
　　句自乘股自乘两积实相并开方得
　　句股各自乘之实必合自乘之实故并积开方得
　　〈按句股开方俱平方后同〉
　　如句〈三〉自乘得九股〈四〉自乘得一十六并之共二十五平方开之得五即〈五〉
　　句求股
　　句自乘自乘两积实相减开方得股
　　股求句
　　股自乘自乘两积实相减开方得句
　　自乘之积实必合一句一股自乘之积实故于积内减句积开方得股于积内减股积开方得句
　　如〈五〉自乘得二十五为积内减句积九馀一十六为股〈四〉之积若积减股积一十六馀九为句〈三〉之积俱用开方得所求
　　较求股
　　句自乘股较自乘两积实相减倍较为法除之得股股又加较得
　　句积中除股较之积则所馀必倍于股之长故以倍较为法除馀积得股之长
　　如句〈三〉自乘得九减长于股之较一〈积亦一〉则馀积八必倍于股长故倍较〈一〉为二除之得四即得股四
　　若不倍较为法但以较除相减之馀积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减馀之积去较折半亦得股长
　　如句馀积八以较一除之仍是八必倍于股〈四〉故去较又折半亦得股〈四〉
　　以上二法于股之长加较即得于股之长减较即得句故不再立求句法
　　股和求股
　　句自乘以股和为法除之得数以减股和折半得股股和内减股即得
　　股和除句则所得数必长于股之较数故于股中去长于股之较则股等长而折半得股
　　如股〈四〉五共九除句积〈九〉得一即股〈四〉〈五〉之较〈一〉去较〈一〉存〈八〉则与股齐故折半得股〈四〉
　　句和求句
　　股自乘句和自乘两积实相减折半以句和为法除之得句〈句和内减句即得〉
　　句和自乘之积必倍于句与句和相乘之积而尚多一股积故于和积内减股积则所馀者为句乘句和之倍积故折半使止存一句乘句和之积而以句股和为法除之得句如股〈四〉自乘得一十六句和自乘得六十四内减十六馀四十八折半馀二十四以句〈三〉〈五〉为法除之得三为句句既得即于句和除句得五
　　句和求
　　股自乘以句和为法除股积得数加句和折半得于之长减句较亦即得句
　　句和除股积则所得之数即长于句之较数句较既得则加句之长使句长与长等故折半得
　　如股四自乘得十六以句和八为法除之得二加句和之八为一十折半即五
　　句股和求句股
　　自乘句股和自乘两积实相减再以馀积减积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于积止少一句股之较积故以句股和积与积相减再以减馀之积减积则所存者为长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句〈三〉股〈四〉得和七自乘得四十九以自乘得二十五减之存二十四再以二十四减积之二十五存一为长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股〈四〉股得亦可依法得句〈按此所得之较乃句股较作股较者误〉
　　句股较求句股
　　句较乘股较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得
　　如句较〈二〉乘股较〈一〉仍得二倍之得四开方得二加股较〈一〉得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得五
　　句股和求句股
　　句和乘股和得积实倍之开方减股和得句减句和得股减句股和得
　　如句〈三〉〈五〉为句和八乘股〈四〉〈五〉之股和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股之长于一边矣故于十二减句和八得股〈四〉于十二减股〈四〉〈五〉之股和九得句〈三〉于十二减句〈三〉股〈四〉之句股和七得〈五〉
　　句股求容方
　　句股相乘以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径〈按若勾股较二句有误〉
　　容方外馀句馀股相乘平方开之亦得容方径
　　以容方径自乘得实以馀句为法除之得馀股以馀股为法除之得馀句
　　句股相乘之实为容方者四斜内为容方者两故容方之实必等于馀句馀股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也
　　句股求容圆
　　句股相乘倍积实并句股为法除之得容圆径句股相乘并句股减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股之长恒两倍于容圆之周故于句股相乘之稍或倍之而并句股为法或不倍之而以句股折半为法俱得容圆径而容圆径即和较也〈按勾股之长两倍于容圆周语误〉
　　句股论〈李之藻〉
　　句股三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股之差曰股较句之差曰句较并句股与较其差曰和较句股之差与相减其差曰较较股相并曰股和句相倂曰句和句股之差并曰较和句股并曰和和句股各自乘并之为实故开之得句自乘减馀为股实故开之得股股各自乘减馀为句实故开之得句句股和自乘倍实相减开其馀即句股较也句股较自乘以减倍实开其馀即句股和也并句以除股实得句较若以句较除股实即得句和矣并股以除句实得股较若以股较除句实即得股和矣句股和自乘减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎句股较自乘减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎句乘股为实并句股为法除得容方径句乘股倍之并句股除之得容圆径而容圆之径即和较也又错综论之句为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加句较即较和以减句较即和较若加较较又即句和也句股较为主以加股较即句较若减股和亦即句和也句股和为主以加股较复得句和若减股和亦得句较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取句股较以加句股和半之得股以减句股和半之得句若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取句较者以加句和半之得以减句和半之得句取和较者以加和和半之得和以减和和半之得勾股取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乘除圆变不滞神而明之存乎其人远近高深方圆弧矢准此而推亦在乎熟之而已
　　觧注〈以句三股四五为准〉
　　句股和自乘倍实相减开其馀即句股较
　　如句〈三〉股〈四〉和七自乘四十九如〈五〉实二十五倍之五十以四十九减五十馀一即句三股四之较一
　　句股较自乘以减倍实开其馀即句股和
　　如句股较一以减倍实之五十馀四十九开方得七即句三股四之和七
　　并句以除股实得句较
　　如句〈三〉〈五〉并之得八以除股〈四〉之实一六得二为句〈三〉〈五〉之较二
　　句较除股实即得句和
　　如句〈三〉〈五〉之较二以股〈四〉之实一六除之得八为句〈三〉〈五〉之和八
　　并股以除句实得股较
　　如股〈四〉〈五〉并得九以句三之实九除之得一为股〈四〉〈五〉之较一
　　以股较除句实即得股和
　　如股〈四〉〈五〉之较一以句三之实九除之为股〈四〉〈五〉之和九
　　句股和自乘减实除以较较得较和
　　如句〈三〉股〈四〉之和七自乘得四十九减〈五〉之实二十五馀二十四以句股差〈一〉与〈五〉相减之较较四除之得六为句股之差〈一〉与〈五〉并之较和六
　　除以较和即得较较
　　如二十四以较和之六除之得四为句股之差一减五之较较四
　　句股较自乘减实除以和和则得和较
　　如句〈三〉股〈四〉之较一自乘仍得一减〈五〉之实二十五为二十四以句三股四五之和和除之得二为并句〈三〉股〈四〉与〈五〉较之和较
　　除以和较即和和
　　如二十四除以和较之二得一十二为句三股四五相并之和和
　　句股测望论〈唐荆川先生〉
　　句股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山谿之高深广远凡目力所及无不可知盖不能逃乎数也句股之法横为句纵为股斜为句股求句股自乘相并为实平方开之得句求股句自乘相减为实平方开之得股股求句同法盖一实藏一句一股之实一句一股之实并得一实也数非两不行因句股而得因股而得句因句而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此句股法之可通者也至如远近可知而高下不可知如卑则塔影高则日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔高低之数不可知则是有句而无股三者缺其二数不可起而句股之法穷矣于是有立表之法盖以小句股求大句股也小句股每一寸之句为股长几何则大句股每一尺之句其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相值而知之也人目至表小也人目至所望之高大也又法表为小股其高几何与至塔下之数相乘以小句除之则得塔高盖横之则小股至塔之积纵之则为小句至塔顶之积纵横之数恰同是变句以为股因横而得纵者也句股三者有一可知则立表之法可得而用若其高与远之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则句股三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法盖两表相去几何为影差者几何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表句股也无二法也





　　句股容方圆论
　　凡奇零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五七有奇此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两廉则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一廉得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句积股积者从容方径与句股相乘之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与并为法盖容圆之径多于容方方有四角与相碍故其数少圆宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半和较相乘之数和较者句股并与相较之数也假令句五股五相乘亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一是以一代一句股倂也以一代一句股并恰少一和较加一和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一得七恰少和较三是取容圆之径其所以少一和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为廉而除去半和较亦得或约得圆径之后与半和较相乘添积而以句股并为廉不除亦得或用句股倍积用两句股相并为廉而以全和较与约得圆径相乘添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于和较间也至于句股积与积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得幂盖两句股积而成积也至于句短股长相乘之积则成一长方倍之而侧不当中径亦不成幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得积盖句股之差愈远则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为高句为横为远以或句或股为法除之即得所求之或高或远故望高测远即变化于句股求容方之一法也
　　测量法
　　句股之术可御高深广远法本周髀中法用表测西法用矩测
　　立表测高
　　设甲点为高自丙至乙远二丈求甲乙高几何
　　法依地平线立一丈之表为丁丙〈远乙二丈〉与地平为直角〈凡立表以线下试之三靣附表即与地平为直角〉依地平线退行〈八尺〉为辛巳〈巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可〉视己丁甲三点




　　令成斜以丁丙表〈一丈〉减己戊人目以下之六尺馀丁辛〈四尺〉与等戊乙之巳庚〈二丈八尺〉乘之得〈一十一丈八尺〉为实以等戊丙之巳辛〈八尺〉为法除之得甲庚〈一丈四尺〉加等己戊人目以下之庚乙〈六尺〉得甲乙高二丈按此以丁辛与已庚相乘得实以巳辛为法除之得甲庚之高即已以上之高若以丁辛乘壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之高即丁以上之高
　　附西法三率算术〈西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先附其略〉
　　三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乘得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测高以己辛〈小句〉比丁辛〈小股〉若己庚〈大句〉与庚〈甲大股〉
　　一率　　己辛八尺　　为法
　　二率　　丁辛四尺　　与三率相乘得实三率　　己庚二丈八尺
　　四率　　庚甲一丈四尺〈加庚乙人目以下得甲乙高〉
　　按右法以己庚为三率故得己以上之高即甲庚之高若以丁壬为三率则得丁以上之高即甲壬之高变而通之若以之测远以小股〈辛丁〉比小句〈己辛〉若大股〈或甲庚或甲壬〉与大句〈大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁〉总之同类比例以二率三率相乘得实以一率为法除之即得所求之四率也馀详本法〈后省文依西法以比若与不更列三率〉
　　立表测深测远
　　设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深㡬何
　　法依甲丙线于地立〈六尺〉之表为戊丁距丙〈五尺〉人目从表端〈戊〉窥〈乙〉使戊丙乙三
　　点成斜直线以丁戊〈六尺〉与甲丙〈二丈七尺〉相乘〈得一十六丈二尺〉为实以丁丙〈五尺〉为法除之得甲乙深〈三丈二尺四寸〉是为以丙丁〈小句〉比丁戊〈小股〉若丙甲〈大句〉与甲乙〈大股〉
　　设井一口其径甲乙五尺欲测深㡬何
　　法立表于井口为戊甲高〈五尺〉从戊视
　　丙截甲乙径于己〈得四寸〉减井径〈五尺〉馀
　　己乙〈四尺六寸〉以乘戊甲〈五尺〉得〈二千三百寸〉为实以甲己〈四寸〉为法除之得乙丙井深〈五丈七尺五寸〉是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙　又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊
　　设地平有甲点不知其远人目在乙高丙地六尺求丙甲远几何
　　法依地平立丁表于戊高〈四尺五寸〉距丙〈九尺〉人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙〈六尺〉减丁戊表〈四尺五寸〉馀乙己〈一尺五寸〉乃以乙丙〈六尺〉乘等丙戊之己丁〈九尺〉得〈五十四尺〉为实以乙巳〈一尺五寸〉为法除之得丙甲远〈三丈六尺〉是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲
　　重表测高测远测深
　　设不知高之远不知远之高各得几何
　　欲测甲乙之高而不知远欲测丙乙之远而不知高用重表法先求甲乙之高于丙地立丁丙表高〈十尺〉退
　　后〈五尺〉立竿于戊高四尺人目在
　　巳视表末令己丁甲成斜直
　　线次从丁丙前表退后〈十五尺〉立
　　癸壬表亦高〈十尺〉退后〈八尺〉立竿于
　　子亦高〈四尺〉人目在丑视表末令
　　丑癸甲成斜直线以癸壬表
　　减人目丑子〈四尺〉馀癸辛〈四尺〉与两表相距〈旧名表间〉等丙壬之丁癸〈十五尺〉乘之得〈九十尺〉为高实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑〈八尺〉馀卯丑较〈三尺〉为法〈旧名影差〉除高实得甲辰高〈三十尺〉是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之〈十尺〉得甲乙总高〈四十尺〉
　　次求丙乙之远以等寅巳之辛卯〈五尺〉与表间相距之丁癸〈十五尺〉乘之得〈七十五尺〉为远实亦以寅巳与辛丑之较卯丑〈三尺〉为法除之得等丙乙之丁辰〈二十五尺〉是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰
　　右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系说已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏著九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左
　　毛扆再氏曰测量之理知远而不知高以远测高知高而不知远以高测远若高远两不知所谓无远之高无高之远必用重表测之也既有等高之二表〈皆十尺〉又有等高之二人目竿〈皆四尺〉则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳〈皆句〉及甲辰与丁寅〈皆股〉俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乘癸丁为高实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也〈寅丁与辛癸等〉又置卯辛乘癸丁为远实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也〈巳寅与卯辛等〉辰甲为表外之高丁辰亦表外之远
　　设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙点退行〈四尺〉至戊地立人目表为巳戊高〈二尺七寸〉依乙岸窥谷底丙点令巳乙丙成斜直
　　线次于谷旁立表为壬乙高〈五尺〉复
　　依巳戊线立人目表为辛戊高〈八尺
　　二寸〉人目依壬表末望丙令辛壬丙
　　成斜直线以辛戊〈八尺二寸〉减壬乙
　　表〈五尺〉馀辛庚〈三尺二寸〉再与巳戊〈二尺七寸〉
　　相减馀辛癸较〈五尺〉乃以等巳戊之癸庚〈二尺七寸〉与壬表〈五尺〉乘之得〈一百三十五寸〉为深实以辛癸较〈五寸〉为法除之得乙甲深〈二丈七尺〉是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬〈四尺〉与壬乙表〈五尺〉相乘〈得二十尺〉为广实亦以辛癸较〈五寸〉为法除之得甲丙广〈四丈〉是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙
　　设甲乙不知远以矩尺〈即木工曲尺〉测之
　　欲知甲乙之远先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向远视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲
　　巳相距之远为法除之得甲乙之远是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙盖皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙
　　西法矩度测量
　　矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之
　　造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度〈陈䃤庵止用一十度省一乘法〉或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等






　　变景法
　　景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变为直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乘〈如矩度十二自乘得一百四十四为矩幂〉以景度〈即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之〉为法除之〈其变景之理详句股述〉
　　直景必高多远少如一象限人望四十五度〈半象限九十度〉以上权线必切直景

　　倒景必高少远多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景


　　变景者变倒景之少度为直景之多度盖测物愈远则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也

　　矩度测高
　　直景以矩度乘远得积实以景度为法除之
　　设所测不知其高距所远三十尺权线切直景八度法以矩度〈十二〉与远〈三十〉相乘得三百六十为积实以直景八度为法除之〈如筹算检八号筹视某格与积实近少除之〉得四十五尺为矩乙角以上之高即所测之高是为以小句〈景度〉比小股〈矩度〉若大句〈远〉与大股〈高〉
　　倒景以景度乘远得积实以矩度为法除之
　　设远六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度〈七〉通五分之得〈三十六〉分以乘远〈六十〉得积实二千一百六十以矩度〈十二〉通五分之得〈六十〉为法除之得三十六尺为矩乙角以上之高〈此倒景不必变但变其法以景度乘远以矩度为法除之亦同〉是为以小句比大句若小股与大股
　　重矩测高〈测高先不知其远则用重矩如重表测法〉
　　前矩直景后矩直景以矩度乘表间得积实以两景较为法除之〈表间即悬矩之干两矩相距之间〉
　　设前直景〈五度〉后直景〈十度〉两矩相距〈十尺〉法以矩度〈十二〉乘表间〈十尺〉得〈一百十尺〉　为实以两景较〈五度〉为法除之得二十四尺为矩乙角以上之高以小句比小股若大句与大股同前首条
　　前矩直景后矩倒景以矩度乘表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之
　　设前直景〈十一度〉后倒景〈九度〉两矩相距〈二十二尺〉法以矩度〈十二〉乘表间二十得〈二百四十〉为积实又以倒景〈九度〉为法除矩幂〈一百四十四〉得变景十六与前矩直景较馀〈五〉为法除积实得〈四十八〉为矩乙角以上之高是为以小句〈景较〉比小股〈矩度〉若大句〈表间相距〉与大股〈所测之高〉
　　前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乘表间得积以两变景较为法除之得所测之高仝前按测望即容方求馀句馀股法其矩测之倒景必变者盖立表测高人目退望使参相直若所测愈高则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈远表即容方之边而人目退望之处即馀句也今矩之甲角愈高则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之馀句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乘远以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测高所切倒景之法亦以景度乘远矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正
　　测远
　　按测无高之远先用重矩测得高〈巳壬〉次以矩度〈甲〉为一率以后矩所变之
　　景〈乙戊〉为二率以高〈巳壬〉为三率即得四
　　率之远是为以小股〈甲乙〉比小句〈乙戊〉若大股〈巳壬〉与大句〈壬乙〉
　　右高〈巳壬〉得四八变景〈乙戊〉得一六矩度〈甲乙〉十二度依三率法得远六十四盖倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
　　以测高法还原
　　设远〈六十四尺〉倒景〈一六〉矩度〈一二〉以矩度乘远〈六四〉以变景度〈一六〉为法除之得高〈四八〉与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之远西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图
　　测深
　　设井口或径广十二尺求至水面深几何
　　用矩度视深〈辛〉使甲巳辛参相直
　　视权线在直景乙戊〈三度〉以矩度〈十二〉
　　乘等庚巳之辛壬水面〈十二尺〉得〈一百四十四尺〉为实以乙戊〈三度〉为法除之得〈巳壬〉深〈四十八尺〉是为以〈乙戊〉比〈乙甲〉若〈壬辛〉与〈壬巳〉
　　设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何
　　权线切倒景丁戊〈三度〉依法变为直景〈四十八度〉以乘巳壬〈十三尺〉得〈六百二十四尺〉为实以甲乙矩度〈十二〉为法除之得庚巳广〈五十二尺〉是为以甲乙比乙癸若巳壬与等〈壬辛〉之巳庚
　　又倒景不变以矩度乘〈巳壬〉得积以倒景丁戊〈三度〉为法除之亦得巳庚广〈五十二尺〉
　　按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乘深而矩度为法除之若在倒景则矩度乘深而景度为法除之固两不相混也至于测高则必矩度乘取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也
　　附三率算术
　　古名异乘同除西法变为三率
　　原有丁戊股十四尺
　　丙戊句十一尺二寸
　　今截丁乙股十尺
　　求乙甲截句几何




　　西法三率
　　一率　〈以〉原有股十四尺　　　为法
　　二率　〈比〉原有句十一尺二寸　〈相乘为实〉三率　〈若〉今截股十尺
　　四率　〈与〉求得截句八尺　　　法除实所得术以原股比原句若截股与截句
　　凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率
　　二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率
　　按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加密矣



　　勾股引𫎇卷三