律吕精义/内篇卷四

内篇卷四

○新旧法参校第六

古人算律有四种法：其一以黄锺为十寸，每寸十分，共计百分；其二以黄锺为九寸，每寸十分，共计九十分；其三以黄锺为八寸一分，不作九寸；其四以黄锺为九寸，每寸九分，共计八十一分。

其一出太史公《律书》《生锺分》。

谨按：生锺分者，三分损益之旧法也。一切算术，皆取法于河图洛书。河图十位，天地之体数也；洛书九位，天地之用数也。是故算律之术，或有约十而为九者，著其用也；或有约九而为十者，存其体也。下文约十为九，此章约九为十。先儒盖未达，误以九解之，恐非古人立法初意。若以十解之，尤简易妙绝。

子一分【分字去声。每条大经分字皆同。】

子，即黄锺也。一分者，总为一段也，即是夏尺之一尺也。命黄锺为一尺，故曰一分。《前汉书》《叙传》曰：“元元本本，数始于一。产气黄锺，造计秒忽。”《律历志》曰：“太极元气，函三为一，行于十二辰，始动于子。”又曰：“算法用竹，径一分，象黄锺之一。”此皆古人命黄锺为一尺之明证也。

丑三分二

丑指林锺，其长乃一尺中三分之二。算法：置一尺为实，以二乘之，以三除之，得林锺正律，长六寸六分六厘六毫六丝六忽六微六纤。寅九分八

寅即太蔟，其长乃一尺中九分之八。算法：置一尺为实，以八乘之，以九除之，得太蔟正律，长八寸八分八厘八毫八丝八忽八微八纤。下文仿此，故不细解。

卯二十七分一十六

卯指南吕，依法乘除，得南吕正律，长五寸九分二厘五毫九丝二忽五微九纤。辰八十一分六十四

辰即姑洗，依法乘除，得姑洗正律，长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纤。巳二百四十三分一百二十八

巳指应锺，依法乘除，得应锺正律，长五寸二分六厘七毫四丝八忽九微七纤。午七百二十九分五百一十二

午即蕤宾，依法乘除，得蕤宾正律，长七寸○二厘三毫三丝一忽九微六纤。未二千一百八十七分一千○二十四

未指大吕，依法乘除，得大吕半律，长四寸六分八厘二毫二丝一忽三微○。求正律则倍之。申六千五百六十一分四千○九十六

申即夷则，依法乘除，得夷则正律，长六寸二分四厘二毫九丝五忽○七纤。酉一万九千六百八十三分八千一百九十二

酉指夹锺，依法乘除，得夹锺半律，长四寸一分六厘一毫九丝六忽七微一纤。求正律则倍之。戌五万九千○四十九分三万二千七百六十八

戌即无射，依法乘除，得无射正律，长五寸五分四厘九毫二丝八忽九微五纤。亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六

亥指仲吕，依法乘除，得仲吕半律，长三寸六分九厘九毫五丝二忽六微三纤。求正律则倍之。

阳律即本位，故曰即某；阴吕指其冲，故曰指某未、酉、亥三位，所得加一倍。是皆旧说，而学者须知也。

臣按：此法，历代律家盖多错解，先臣何瑭始发明之。古人四法中，宜以此为首，“元元本本，数始于一”故也。

其一，上文已见，兹不复载。但载乘除所得之数，谓之旧法，与新法并载之，参校同异云耳。旧法黄锺长十寸【整一百分】

林锺长六寸六分六厘六毫【有奇】太蔟长八寸八分八厘八毫【有奇】南吕长五寸九分二厘五毫【有奇】姑洗长七寸九分○一毫【有奇】

应锺长五寸二分六厘七毫【有奇】蕤宾长七寸○二厘三毫【有奇】大吕长九寸三分六厘四毫【有奇】夷则长六寸二分四厘二毫【有奇】

夹锺长八寸三分二厘三毫【有奇】无射长五寸五分四厘九毫【有奇】仲吕长七寸三分九厘九毫【有奇】其二出京房律准及《后汉志》。

新法十寸【整一百分】六寸六分七厘四毫【有奇】八寸九分○八毫【有奇】

五寸九分四厘六毫【有奇】七寸九分三厘七毫【有奇】五寸二分九厘七毫【有奇】七寸○七厘一毫【有奇】

九寸四分三厘八毫【有奇】六寸二分九厘九毫【有奇】八寸四分○八毫【有奇】五寸六分一厘二毫【有奇】

七寸四分九厘一毫【有奇】旧法黄锺长九寸【每寸十分，馀律仿此。】林锺长六寸

太蔟长八寸南吕长五寸三分小分三强姑洗长七寸一分小分一微强应锺长四寸七分小分四微强

蕤宾长六寸三分小分二微强大吕长八寸四分小分三弱夷则长五寸六分小分二弱夹锺长七寸四分小分九微强

无射长四寸九分小分九强新法九寸【每寸十分，整九十分。】六寸○○六毫【有奇】

八寸○一厘八毫【有奇】五寸三分五厘一毫【有奇】七寸一分四厘三毫【有奇】四寸七分六厘七毫【有奇】

六寸三分六厘三毫【有奇】八寸四分九厘四毫【有奇】五寸六分六厘九毫【有奇】七寸五分六厘八毫【有奇】

五寸○五厘一毫【有奇】仲吕长六寸六分小分六弱其三出《淮南子》及《晋书》《宋书》。旧法

黄锺之数八十一【或云八寸十分一】林锺之数五十四【或云五寸十分四】太蔟之数七十二【或云七寸十分二】南吕之数四十八【或云四寸十分八】

姑洗之数六十四【或云六寸十分四】应锺之数四十三【《晋书》作一，误。《宋书》作三，是。】蕤宾之数五十七【《晋》《宋》皆作七。蔡氏作六，误。】

大吕之数七十六夷则之数五十一【《晋书》“一”字。《宋书》脱“一”字。】六寸七分四厘二毫【有奇】新法

八寸一分【整八十一分】五寸四分○六毫【有奇】七寸二分一厘六毫【有奇】四寸八分一厘六毫【有奇】

六寸四分二厘八毫【有奇】四寸二分九厘○【有奇】五寸七分二厘七毫【有奇】七寸六分四厘五毫【有奇】

五寸一分○二毫【有奇】夹锺之数六十八【《晋书》作八，是。《宋书》作七，误。】无射之数四十五仲吕之数六十

六寸八分一厘一毫【有奇】四寸五分四厘五毫【有奇】六寸○六厘八毫【有奇】

上层十二律，皆古人旧率，所谓三分损益者也；下层十二律，则新造密率，不用三分损益者也。凡算法归除有不尽之数，然人目力所察至毫而止，丝忽虽有数，非目所及也。是故此条得毫而止，毫下细数但曰有奇，其详则载诸第一卷中矣。

论曰：累黍造尺，不过三法，皆自古有之矣。曰横黍者，一黍之广为一分也。曰纵黍者，一黍之长为一分也。曰斜黍者，非纵非横，而首尾相衔也。黄锺之律，其长以横黍言之，则为一百分，太史公所谓子一分【去声】是也。以纵黍言之，则为八十一分【平声】，《淮南子》所谓其数八十一是也。以斜黍言之，则为九十分，前、后《汉志》所谓九寸是也。今人宗九寸不宗馀法者，惑于《汉志》之偏见也。苟能变通而不惑于一偏，则纵横斜黍皆合黄锺矣。

△三黍四律古今同异考

古法下生者，三分减一。三分减一，则为二也，故用二因三归。上生者，三分添一。三分添一，则为四也，故用四因三归。

别法下生者，五十乘之，七十五除之。上生者，一百乘之，七十五除之。所得与古同，而算术不同。横黍百分律依售法算黄锺长十寸

旧法置黄锺为实，下生者二因三归，得林锺。别法以五十乘之，七十五除之，亦得林锺。林锺长六寸六分六厘六毫六丝六忽六微六纤有奇旧法置林锺为实，上生者四因三归，得太蔟。

别法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。太蔟长八寸八分八厘八毫八丝八忽八微八纤有奇旧法置太蔟为实，下生者二因三归，得南吕。别法以五十乘之，七十五除之，亦得南吕。

南吕长五寸九分二厘五毫九丝二忽五微九纤有奇旧法置南吕为实，上生者四因三归，得姑洗。别法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。姑洗长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纤有奇

旧法置姑洗为实，下生者二因三归，得应锺。别法以五十乘之，七十五除之，亦得应锺。应锺长五寸二分六厘七毫四丝八忽九微七纤有奇旧法置应锺为实，上生者四因三归，得蕤宾。

别法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤宾。蕤宾长七寸○二厘三毫三丝一忽九微六纤有奇旧法置蕤宾为实，上生者四因三归，得大吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得大吕。

大吕长九寸三分六厘四毫四丝二忽六微一纤有奇旧法置大吕为实，下生者二因三归，得夷则。别法以五十乘之，七十五除之，亦得夷则。夷则长六寸二分四厘二毫九丝五忽○七纤有奇

旧法置夷则为实，上生者四因三归，得夹锺。别法以一百乘之，七十五除之，亦得夹锺。夹锺长八寸三分二厘三毫九丝三忽四微三纤有奇旧法置夹锺为实，下生者二因三归，得无射。

别法以五十乘之，七十五除之，亦得无射。无射长五寸五分四厘九毫二丝八忽九微五纤有奇旧法置无射为实，上生者四因三归，得仲吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得仲吕。

仲吕长七寸三分九厘九毫○五忽二微七纤有奇旧法置仲吕为实，上生者四因三归，得黄锺。别法以一百乘之，七十五除之，亦得黄锺。黄锺长九寸八分六厘五毫四丝○三微六纤有奇

比黄锺正律少一分三厘四毫五丝九忽六微三纤有奇。斜黍九十分律依旧法算黄锺长九寸旧法置黄锺为实，下生者二因三归，得林锺。

别法以五十乘之，七十五除之，亦得林锺。林锺长六寸旧法置林锺为实，上生者四因三归，得太蔟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。

太蔟长八寸旧法置太蔟为实，下生者二因三归，得南吕。别法以五十乘之，七十五除之，亦得南吕。南吕长五十三分三厘三毫三丝三忽三微三纤有奇

旧法置南吕为实，上生者四因三归，得姑洗。别法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。姑洗长七寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纤有奇旧法置姑洗为实，下生者二因三归，得应锺。

别法以五十乘之，七十五除之，亦得应锺。应锺长四寸七分四厘○七丝四忽○七纤有奇旧法置应锺为实，上生者四因三归，得蕤宾。别法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤宾。

蕤宾长六寸三分二厘○九丝八忽七微六纤有奇旧法置蕤宾为实，上生者四因三归，得大吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得大吕。大吕长八寸四分二厘七毫九丝八忽三微五纤有奇

旧法置大吕为实，下生者二因三归，得夷则。别法以五十乘之，七十五除之，亦得夷则。夷则长五寸六分一厘八毫六丝五忽五微六纤有奇旧法置夷则为实，上生者四因三归，得夹锺。

别法以一百乘之，七十五除之，亦得夹锺。夹锺长七寸四分九厘一毫五丝四忽○九纤有奇旧法置夹锺为实，下生者二因三归，得无射。别法以五十乘之，七十五除之，亦得无射。

无射长四寸九分九厘四毫三丝六忽○六纤有奇旧法置无射为实，上生者四因三归，得仲吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得仲吕。仲吕长六寸六分五厘九毫一丝四忽七微四纤有奇

旧法置仲吕为实，上生者四因三归，得黄锺。别法以一百乘之，七十五除之，亦得黄锺。黄锺长八寸八分七厘八毫八丝六忽三微三纤有奇比黄锺正律少一分二厘一毫一丝三忽六微六纤有奇。

纵黍八十一分律依旧法算【不作九寸】

此法有二：出《史记》《律书》者，是三分损益法；出《淮南子》书者，非三分损益法，故律数颇不同，今并载之。其一出《史记》《律书》

原文误字，朱熹蔡元定皆辨之已详。兹不复载。但载乘除所得之数。黄锺长八寸一分旧法置黄锺为实，下生者二因三归，得林锺。别法以五十乘之，七十五除之，亦得林锺。

林锺长五寸四分旧法置林锺为实，上生者四因三归，得太蔟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。太蔟长七寸二分

旧法置太蔟为实，下生者二因三归，得南吕。别法以五十乘之，七十五除之，亦得南吕。南吕长四寸八分旧法置南吕为实，上生者四因三归，得姑洗。

别法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。姑洗长六寸四分旧法置姑洗为实，下生者二因三归，得应锺。别法以五十乘之，七十五除之，亦得应锺。

应锺长四寸二分六厘六毫六丝六忽六微六纤有奇旧法置应锺为实，上生者四因三归，得蕤宾。别法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤宾。蕤宾长五寸六分八厘八毫八丝八忽八微八纤有奇

旧法置蕤宾为实，上生者四因三归，得大吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得大吕。大吕长七寸五分八厘五毫一丝八忽五微一纤有奇旧法置大吕为实，下生者二因三归，得夷则。

别法以五十乘之，七十五除之，亦得夷则。夷则长五寸○五厘六毫七丝九忽○一纤有奇旧法置夷则为实，上生者四因三归，得夹锺。别法以一百乘之，七十五除之，亦得夹锺。

夹锺长六寸七分四厘二毫三丝八忽六微八纤有奇旧法置夹锺为实，下生者二因三归，得无射。别法以五十乘之，七十五除之，亦得无射。无射长四寸四分九厘四毫九丝二忽四微五纤有奇

旧法置无射为实，上生者四因三归，得仲吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得仲吕。仲吕长五寸九分九厘三毫二丝三忽二微七纤有奇旧法置仲吕为实，上生者四因三归，得黄锺。

别法以一百乘之，七十五除之，亦得黄锺。黄锺长七寸九分九厘○九丝七忽六微九纤有奇比黄锺正律少一分○九毫○二忽三微○有奇。其二出《淮南子》书

《晋》《宋》二《志》及蔡元定所引，互有误字，上文已辨之，兹不载。黄锺位子，其数八十一，主十一月，下生林锺。

旧法置八十一分为实，下生者以五百乘之，得四万○五百分，以七百四十九为法除之，得五十四分，为林锺。馀数在半分以下，弃之不用。林锺之数五十四，主六月，上生太蔟。

旧法置五十四分为实，上生者以一千乘之，得五万四千分，以七百四十九为法除之，得七十二分，为太蔟。馀数在半分以下，弃之不用。太蔟之数七十二，主正月，下生南吕。

旧法置七十二分为实，下生者以五百乘之，得三万六千分，以七百四十九为法除之，得四十八分，为南吕。馀数在半分以下，弃之不用。南吕之数四十八，主八月，上生姑洗。

旧法置四十八分为实，上生者以一千乘之，得四万八千分，以七百四十九为法除之，得六十四分，为姑洗。馀数在半分以下，弃之不用。姑洗之数六十四，主三月，下生应锺。

旧法置六十四分为实，下生者以五百乘之，得三万二千分，以七百四十九为法除之，得四十二分，馀数在半分以上，收之作四十三分，为应锺。应锺之数四十三，主十月，上生蕤宾。

旧法置四十三分为实，上生者以一千乘之，得四万三千分，以七百四十九为法除之，得五十七分，为蕤宾。馀数在半分以下，弃之不用。蕤宾之数五十七，主五月，上生大吕。

旧法置五十七分为实，上生者以一千乘之，得五万七千分，以七百四十九为法除之，得七十六分，为大吕。馀数在半分以下，弃之不用。大吕之数七十六，主十二月，下生夷则。

旧法置七十六分为实，下生者以五百乘之，得三万八千分，以七百四十九为法除之，得五十分，馀数在半分以上，收之作五十一分，为夷则。夷则之数五十一，主七月，上生夹锺。

旧法置五十一分为实，上生者以一千乘之，得五万一千分，以七百四十九为法除之，得六十八分，为夹锺。馀数在半分以下，弃之不用。夹锺之数六十八，主二月，下生无射。

旧法置六十八分为实，下生者以五百乘之，得三万四千分，以七百四十九为法除之，得四十五分，为无射。馀数在半分以下，弃之不用。无射之数四十五，主九月，上生仲吕。

旧法置四十五分为实，上生者以一千乘之，得四万五千分，以七百四十九为法除之，得六十分，为仲吕。馀数在半分以下，弃之不用。仲吕之数六十，主四月，极不生。

旧法以为极不生者，言不复上生黄锺也。

论曰：三分损益，往而不返，其弊盖由七五为法，法太过而实不及也。《史》《记》《汉书》所载律，皆三分损益；惟《淮南子》及《晋》、《宋书》所载此法，独非三分损益，盖与新法颇同。其所不同者，仲吕不复生黄锺耳。是知新法非自古所未有，疑古有之，失其传也。若夫半以上收之，半以下弃之，此理律历家所共晓，故不论焉。

其四出《后汉志》《注》引《礼运》古《注》

《后汉志》《注》引《礼》《运》古《注》曰：“宫数八十一，黄锺长九寸，九九八十一也。三分宫去一生征，征数五十四，林锺长六寸，六九五十四也。三分征益一生商，商数七十二，太蔟长八寸，八九七十二也。三分商去一生羽，羽数四十八，南吕长五寸三分寸之一，五九四十五又三分寸之一，为四十八也。三分羽益一生角，角数六十四，姑洗长七寸九分寸之一，七九六十三又九分寸之一，为六十四也。三分角去一生变宫。三分变宫益一生变征。自此以后则随月而变，所谓‘还相为宫’。”臣按：右一节乃九分为寸之旧法也，语简义精，为律学之切要。然今本《十三》《经》《礼记》《注》《疏》中无此文，不可考也。朱熹蔡元定皆宗九分为寸之法，而不引此为证，盖未之详考耳。

纵黍八十一分律依旧法算【命作九寸】

此法有二：出《周礼》《注》《疏》者，系汉郑氏算法；出《性理大全》者，系宋蔡氏算法。二家律实同，而算法不同。其一出《周》《礼》《注》《疏》

鄞康成宗刘歆班固之说，以六阳律配干六爻，以六阴吕配坤六爻。故谓黄锺为初九，林锺为初六，太蔟为九二，南吕为六二之类。同位象夫妻，指初九之与初六也；异位象母子，指初六之与九二也。此系穿凿，今皆不取，只取其算法云。

黄锺长九寸【每寸九分，馀律仿此。】

旧法置黄锺长九寸为实，下生者二因得十八寸，三归得六寸，为林锺。林锺长六寸

旧法置林锺长六寸为实，上生者四因得二十四寸，三归得八寸，为太蔟。太蔟长八寸

旧法置太蔟长八寸为实，下生者二因得十六寸，三归得五寸而馀一，命作三分寸之一，为南吕。南吕长五寸三分寸之一

旧法置南吕长五寸，以分母三通之，得十五寸，纳分子之一，共得十六寸，上生者四因得六十四寸为实，三因分母三得九为法，除之得七寸而馀一，命作九分寸之一，为姑洗。

姑洗长七寸九分寸之一

旧法置姑洗长七寸，以分母九通之，得六十三寸，纳分子之一，共得六十四寸，下生者二因得一百二十八寸为实，三因分母九得二十七为法，除之得四寸而馀二十，命作二十七分寸之二十，为应锺。

应锺长四寸二十七分寸之二十

旧法置应锺长四寸，以分母二十七通之，得一百○八寸，纳分子之二十，共得一百二十八寸，上生者四因得五百一十二寸为实，三因分母二十七得八十一为法，除之得六寸而馀二十六，命作八十一分寸之二十六，为蕤宾。

蕤宾长六寸八十一分寸之二十六

旧法置蕤宾长六寸，以分母八十一通之，得四百八十六寸，纳分子之二十六，共得五百一十二寸，上生者四因得二千○四十八寸为实，三因分母八十一得二百四十三为法，除之得八寸而馀一百○四，命作二百四十三分寸之一百○四，为大吕。

大吕长八寸二百四十三分寸之一百○四

旧法置大吕长八寸，以分母二百四十三通之，得一千九百四十四寸，纳分子之一百○四，共得二千○四十八寸，下生者二因得四千○九十六寸为实，三因分母二百四十三得七百二十九为法，除之得五寸而馀四百五十一，命作七百二十九分寸之四百五十一，为夷则。

夷则长五寸七百二十九分寸之四百五十一

旧法置夷则长五寸，以分母七百二十九通之，得三千六百四十五寸，纳分子之四百五十一，共得四千○九十六寸，上生者四因得一万六千三百八十四寸为实，三因分母七百二十九得二千一百八十七为法，除之得七寸而馀一千○七十五，命作二千一百八十七分寸之一千○七十五，为夹锺。

夹锺长七寸二千一百八十七分寸之一千○七十五

旧法置夹锺长七寸，以分母二千一百八十七通之，得一万五千三百○九寸，纳分子之一千○七十五，共得一万六千三百八十四寸，下生者二因得三万二千七百六十八寸为实，三因分母二千一百八十七得六千五百六十一为法，除之得四寸而馀六千五百二十四，命作六千五百六十一分寸之六千五百二十四，为无射。

无射长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四

旧法置无射长四寸，以分母六千五百六十一通之，得二万六千二百四十四寸，纳分子之六千五百二十四，共得三万二千七百六十八寸，上生者四因得十三万一千○七十二寸为实，三因分母六千五百六十一得一万九千六百八十三为法，除之得六寸而馀一万二千九百七十四，命作一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四，为仲吕。

仲吕长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四

旧法置仲吕长六寸，以分母一万九千六百八十三通之，得十一万八千○九十八寸，纳分子之一万二千九百七十四，共得十三万一千○七十二寸，上生者四因得五十二万四千二百八十八寸为实，三因分母一万九千六百八十三得五万九千○四十九寸为法，除之得八寸而馀五万一千八百九十六，命作五万九千○四十九分寸之五万一千八百九十六，为黄锺。

黄锺长八寸五万九千○四十九分寸之五万一千八百九十六，比黄锺正律少五万九千○四十九分寸之七千一百五十三。以上诸律出于《周礼》《注》《疏》，汉郑康成之算术也。

其二出《性理大全》

古法与蔡元定算法不同，是故名为别法。法虽不同，而算出之数则同焉。今并列之，以便参考。黄锺长九寸

旧法置黄锺之率十七万七千一百四十七为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得九寸。别法置黄锺长一尺为实，九因一遍退位，命作九寸。林锺长六寸

旧法置林锺之率十一万八千○九十八为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得六寸。别法置林锺长六寸六分六厘六毫六丝六忽六微六纤为实，九因一遍，命作六寸。

太蔟长八寸

旧法置太蔟之率十五万七千四百六十四为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得八寸。

别法置太蔟长八寸八分八厘八毫八丝八忽八微八纤为实，九因一遍，命作八寸。南吕长五寸三分

旧法置南吕之率十万○四千九百七十六为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得五寸；馀六千五百六十一为实，以分法二千一百八十七除之，得三分；共得五寸三分。别法置南吕长五寸九分二厘五毫九丝二忽五微九纤为实，九因一遍至寸位住，得五寸；又九因一遍至分位住，得三分；共得五寸三分。

姑洗长七寸一分

旧法置姑洗之率十三万九千九百六十八为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得七寸；馀二千一百八十七为实，以分法二千一百八十七除之，得一分；共得七寸一分。别法置姑洗长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纤为实，九因一遍至寸位住，得七寸；又九因一遍至分位住，得一分；共得七寸一分。

应锺长四寸六分六厘

旧法置应锺之率九万三千三百一十二为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得四寸；馀一万四千五百八十为实，以分法二千一百八十七除之，得六分；馀一千四百五十八为实，以厘法二百四十三除之，得六厘；共得四寸六分六厘。

别法置应锺长五寸二分六厘七毫四丝八忽九微七纤为实，九因一遍至寸位住，得四寸；又九因一遍至分位住，得六分；又九因一遍至厘位住，得六厘；共得四寸六分六厘。

蕤宾长六寸二分八厘

旧法置蕤宾之率十二万四千四百一十六为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得六寸；馀六千三百一十八为实，以分法二千一百八十七除之，得二分；馀一千九百四十四为实，以厘法二百四十三除之，得八厘；共得六寸二分八厘。

别法置蕤宾长七寸○二厘三毫三丝一忽九微六纤为实，九因一遍至寸位住，得六寸；又九因一遍至分位住，得二分；又九因一遍至厘位住，得八厘；共得六寸二分八厘。

大吕长八寸三分七厘六毫

旧法置大吕之率十六万五千八百八十八为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得八寸；馀八千四百二十四为实，以分法二千一百八十七除之，得三分；馀一千八百六十三为实，以厘法二百四十三除之，得七厘；馀一百六十二为实，以毫法二十七除之，得六毫；共得八寸三分七厘六毫。

别法置大吕长九寸三分六厘四毫四丝二忽六微一纤为实，九因一遍至寸位住，得八寸；又九因一遍至分位住，得三分；又九因一遍至厘位住，得七厘；又九因一遍至毫位住，得六毫；共得八寸三分七厘六毫。

夷则长五寸五分五厘一毫

旧法置夷则之率十一万○五百九十二为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得五寸；馀一万二千一百七十七为实，以分法二千一百八十七除之，得五分；馀一千二百四十二为实，以厘法二百四十三除之，得五厘；馀二十七为实，以毫法二十七除之，得一毫；共得五寸五分五厘一毫。

别法置夷则长六寸二分四厘二毫九丝五忽○七纤为实，九因一遍至寸位住，得五寸；又九因一遍至分位住，得五分；又九因一遍至厘位住，得五厘；又九因一遍至毫位住，得一毫；共得五寸五分五厘一毫。

夹锺长七寸四分三厘七毫三丝

旧法置夹锺之率十四万七千四百五十六为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得七寸；馀九千六百七十五为实，以分法二千一百八十七除之，得四分；馀九百二十七为实，以厘法二百四十三除之，得三厘；馀一百九十八为实，以毫法二十七除之，得七毫；馀九为实，以丝法三除之，得三丝；共得七寸四分三厘七毫三丝。

别法置夹锺长八寸三分二厘三毫九丝三忽四微三纤为实，九因一遍至寸位住，得七寸；又九因一遍至分位住，得四分；又九因一遍至厘位住，得三厘；又九因一遍至毫位住，得七毫；又九因一遍至丝位住，得三丝；共得七寸四分三厘七毫三丝。

无射长四寸八分八厘四毫八丝

旧法置无射之率九万八千三百○四为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得四寸；馀一万九千五百七十二为实，以分法二千一百八十七除之，得八分；馀二千○七十六为实，以厘法二百四十三除之，得八厘；馀一百三十二为实，以毫法二十七除之，得四毫；馀二十四为实，以丝法三除之，得八丝；共得四寸八分八厘四毫八丝。

别法置无射长五寸五分四厘九毫二丝八忽九微五纤为实，九因一遍至寸位住，得四寸；又九因一遍至分位住，得八分；又九因一遍至厘位住，得八厘；又九因一遍至毫位住，得四毫；又九因一遍至丝位住，得八丝；共得四寸八分八厘四毫八丝。

仲吕长六寸五分八厘三毫四丝六忽

旧法置仲吕之率十三万一千○七十二为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得六寸；馀一万二千九百七十四为实，以分法二千一百八十七除之，得五分；馀二千○三十九为实，以厘法二百四十三除之，得八厘；馀九十五为实，以毫法二十七除之，得三毫；馀十四为实，以丝法三除之，得四丝，馀二不尽；共得六寸五分八厘三毫四丝，馀二不尽。

别法置仲吕长七寸三分九厘九毫○五忽二微七纤为实，九因一遍至寸位住，得六寸；又九因一遍至分位住，得五分；又九因一遍至厘位住，得八厘；又九因一遍至毫位住，得三毫；又九因一遍至丝位住，得四丝；又九因一遍至忽位住，得六忽；共得六寸五分八厘三毫四丝六忽。

以上诸律出于《性理大全》，宋蔡元定之算法也。

论曰：古人算律之妙，二种而已。一以纵黍之长为分，九分为寸，九寸为黄锺，凡八十一分，取象洛书之九自相乘之数焉，此《淮南子》之所载也。一以横黍之广为分，十分为寸，十寸为黄锺，凡一百分，取象河图之十自相乘之数焉，此太史公之所记也。二术虽异，其律则同，盖纵黍之八十一分适当横黍之一百分耳，本无九十分为黄锺者也。至于刘歆班固乃以九十分为黄锺，推原其误，盖自京房始也。房时去古未远，明知古法九分为寸，以其布筭颇烦，初学难晓，乃变九而为十；恐人不晓其意，故云：“不盈寸者十之，所得为分。”此创始之辞也。至歆则又以九分乘九十分，得八百一十分，命为黄锺积实，欲牵合于黄锺一龠之数。夫古历法以二十九日，九百四十分之四百九十九为朔馀算法，除之得五十三刻有奇。落下闳以八十一分之四十三为朔馀算法，除之亦得五十三刻有奇。若以八百一十为法除之，止得五刻有奇，不满朔馀之数。是闳历以八十一分为法，取象黄锺一龠之长，非谓积实也。则黄锺决无长九十分、积八百一十分之理矣。淮南子、太史公、落下闳此三人，前汉律历之学无出其右者，皆谓黄锺九寸即是八十一分，世儒不信何也？朱熹、蔡元定始能表章九分为寸之法，有功律学亦多，但未勘破王莽刘歆班固之谬，是犹有遣憾焉。