御制历象考成 (四库全书本)/上编卷05

御制历象考成　上编卷五

　　钦定四库全书
　　御制历象考成上编卷五
　　月离历理
　　太阴各种行度
　　太阴平行度
　　太阴本轮迟疾四限
　　三月食推本轮半径及最高
　　晦朔望
　　太阴四轮总论
　　求初均数
　　求二三均数
　　两月食定交周
　　黄白大距度及交均
　　视差
　　隐见迟疾



　　太阴各种行度
　　太阴行度共有九种而随天西转之行不与焉一曰平行盖太阴之本天带一本轮本轮心循本天自西而东每日平行一十三度有奇二十七日有馀而行天一周即白道经度也二曰自行盖本轮心循白道行自西而东〈即平行经度〉太阴复依本轮周行自东而西每日亦行一十三度有奇微不及本轮心行而与本轮心之行顺逆参错人目视之遂生迟疾故名自行以别之授时历名为转周满一周为转终其所生之迟疾差名为初均数也三曰均轮行西人第谷言用一本轮以齐太阴之行往往与实测未合因将本轮半径三分之存其二分为均轮半径用其一分为均轮半径均轮循本轮用行自东而西〈即自行转周度〉太阴复依均轮周行自西而东每日行二十六度有奇为轮心行之倍度〈均轮心行一度月行均轮周二度也〉其所生之迟疾差即今所用之初均数也四曰次轮行盖用本轮均轮推得迟疾之最大差为四度有奇于朔望时测之其数恰合而于上下时测之则不合其大差至七度有奇故历家又于均轮之周复设一轮循均轮周行命为次轮次轮心自西而东太阴复依次轮周亦自西而东每日行二十四度有奇为本轮心距太阳行之倍度〈本轮心距太阳行一度月行次轮周二度也〉名为倍离倍离所生之迟疾差名为次均数也五曰次均轮行盖有初均次均以步朔望以定两则既合矣而于两前后测之又多不合故新法历书复有二三均数表之加减也细考其表中所列诚皆实测之数但总合二三均数加减之而为一表耳爰思次轮之上必更有一轮以消息乎次均之数今命之曰次均轮其心循次轮周自西而东行倍离之度而太阴则循此轮之周自东而西亦行倍离之度用其所生之差以加减次均数即与太阴两前后所行恰合也六曰交行盖太阴行白道出入于黄道之内外大距五度有奇其自黄道南过黄道北之点名曰正交〈即如春分自赤道南过赤道北〉自黄道北过黄道南之点名曰中交〈即如秋分自赤道北过赤道南〉每交之终不能复依原次而不及一度有馀逐日计之退行三分有馀命为两交左旋之度〈自东而西也〉亦名罗计行度也〈正交曰罗㬋中交曰计都〉七曰最高行最高者本轮之上半最远地心之处而最高行者平行与自行相较之分也均轮心从最高左旋微不及于平行每日六分有奇即命为最高左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行于每日平行度内减去太阳之行为每日太阴距太阳行二十九日有奇而复与日会是为朔䇿九曰距交行以每日平行度与每日交行相加得每日太阴距交度二十七日有奇而行交一周名为交周也要之太阴之去地甚近其行最著诸小轮之设虽无象可见而实有数可稽盖藉以推步度数期与实测相符而已至于大象寥廓其或然或不然则非智计之所能及也








　　太阴平行度
　　测太阴平行之法须用两月食计其前后相距若干日时及月行天若干周用其度分为实中积日时为法除之即得每日平行之率盖月之视差甚大惟月食为月入暗虚无地心地面之殊又食甚时正与太阳冲故将太阳之经度加半周即太阴之经度其得数为真也然所用两月食亦须详审盖暗虚与月体有小大之分而行度有迟疾之异必须择各率均齐之两月食方可用也其择之之法第一取两食时之太阳距地等斯暗虚之大小相等〈太阳距地远则影粗而长太阳距地近则影细而短详交食〉第二取两食时之太阴距地等斯月体之大小等而入影之粗细亦等〈暗虚为尖圆体近地粗渐远地渐细以至于无故太阴距地近则当暗虚之粗处太阴距地远则当暗虚之细处详交食〉第三取两食时之自行度等斯入转之迟疾等而过影之时刻必等考之史志所书月食并无时刻分秒及躔离度数即西人交食考亦不载月转迟疾无凭取用今依新法历书载西人依巴谷法定为三百四十五平年〈平年者三百六十五日无馀分〉又八十二日四刻〈每日九十六刻〉或一十二万六千零七日四刻为两月食各率齐同之距于时会望转终皆复其始计其中积凡为会望者四千二百六十七为转终者四千五百七十三置中积一十二万六千零七日四刻为实会望数四千二百六十七为法除之得会望策〈即朔䇿〉二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒〈即二十九日零十分日之五分三○五九三授时历同〉乃以周天三百六十度为实会望策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒为法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒〈即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授时历作一十二度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十二度一十一分二十七秋二十七微〉为每日太阴平行距太阳之度加太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒〈即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授时历作一十三度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十三度一十分三十五秒二十四微〉为每日太阴平行经度〈即白道经度〉又置中积一十二万六千零七日四刻为实以转终数四千五百七十三为法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十微三十纤四十三忽一十二芒〈即二十七日零十分日之五分五四五六八授时历作二十七日五五四六〉为转终分乃以天周三百六十度为实以转终分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纤四十三忽一十二芒为法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒〈即一十三度零百分度之六分四九八四三六一二一〉为每日太阴自行度又以每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒与每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒相减馀六分四十一秒零四微三十八纤五十四忽五十七芒〈即十分度之一分一一四一○四一○一七〉为每日月孛之平行既得以上各种行度每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表〈毎日二十四时每时六十分〉




　　太阴本轮迟疾四限
　　太阴之轮有四而本轮乃
　　迟疾四限之所由生其馀
　　皆所以消息迟疾之数故
　　本轮为步月离之主如图
　　甲为地心即本天心乙丙
　　丁戊为白道即太阴之本
　　天己庚辛壬为本轮其心
　　循白道右旋每日行一十
　　三度一十分百奇自乙而
　　丙而丁而戊而复至乙是
　　为平行径度太阴循本轮
　　左旋每日行一十三度零
　　三分有奇自己而庚而辛
　　而壬而复至己是为自行
　　度〈一名转周一名引数〉太阴在本轮
　　之己为最高〈即月孛〉在本轮
　　之辛为最卑最高最卑之
　　点皆对本轮心与地心成
　　一直线故平行实行同度
　　为迟疾起算之端如太阴
　　由己向庚为迟初限以其
　　背轮心行能损右旋之度
　　故较平行度为迟至半象
　　限后所损渐少迨行满一
　　象限至庚则无所损然而
　　积迟之多正在于庚盖平
　　行在乙而太阴在庚从地
　　心甲计之太阴当本天之
　　癸癸乙弧以本轮半径庚
　　乙为正切为迟差之极大
　　也从庚向辛为迟末限太
　　阴行本轮之下半周顺轮
　　心行其实行渐疾然因有
　　积迟之度方以次相补其
　　实行仍在平行后迨行满
　　一象限至辛为极疾而积
　　迟之度始补足无缺实行
　　与平行乃合为一线故自
　　最高至最卑半周为迟历
　　也如太阴由辛向壬为疾
　　初限以其顺轮心行能益
　　右旋之度故较平行度为
　　疾至半象限后所益渐少
　　迨行满一象限至壬则无
　　所益然而积疾之多正在
　　于壬盖平行在乙而太阴
　　在壬从地心甲计之太阴
　　当本天之子子乙弧以本
　　轮半径壬乙为正切为疾
　　差之极大也从壬向己为
　　疾末限太阴行本轮之上
　　半周背轮心行其实行渐
　　迟然因有积疾之度方以
　　次相消其实行仍在平行
　　前迨行满一象限至己为
　　极迟而积疾之度始消尽
　　无馀实行与平行复合为
　　一线故自最卑至最高半
　　周为疾历也












　　三月食推本轮半径及最高
　　太阴初均数生于本轮半径本轮半径不定则实行不可得而定新法历书载西人多录某用汉阳嘉永和间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千七百零六月过最高三百一十四度一十七分〈阳嘉二年三月望〉西人歌白泥用明正徳嘉靖间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千六百零四月过最高一百八十三度五十一分〈正徳六年九月望〉迨后西人第谷定本轮半径为本天半径十万分之八千七百月离表定崇祯戊辰年天正冬至次日子正月过最高二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇祯戊辰年首朔〈即年前十二月朔〉月过最高三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六时二十六分四十六秒以交日表所定首朔月过最高之度推其年天正冬至次日子正月过最高之度应得二百零五度四十二分四十九秒比月离表所定多一十分三十三秒又察其正交行度两表差至二十馀分今以交食表推步月食其时刻之早晚食分之浅深俱与天行颇合故月过最高之度宜以交食表为凖但用目下三月食推本轮半径或微大或微小皆不能合八千七百之数盖用本轮以推实望惟自行当三宫九宫初度之一点方合而目下所测月食其自行皆不正当三宫九宫初度之数用本轮半径以推实望既与实测不合则用实测之实望以推本轮半径亦必与原数不合因假设三月食以明其法如左

　　设如第一食日躔鹑首宫七度三十五分四十七秒五十三微月离星纪宫七度三十五分四十七秒五十三微月行迟末限之初在本轮右半周之中如甲第二食日躔夀星宫初度月离降娄宫初度月行迟初限将半在本轮右半周之上如乙第三食日躔星纪宫二度五十四分零二秒四十九微月离鹑首宫二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本轮左半周之中如丙
　　第一食距第二食一千一
　　百八十日二十二时一十
　　四分零四秒实行相距八
　　十二度二十四分一十二
　　秒零七微〈即星纪宫丁点距降娄宫戊点
　　之度于第二次月离度内减去第一次月离度即得〉平行相距八十度二十一
　　分一十秒〈即星纪宫已点距降娄宫庚点
　　之度以每日平行与距日相乘减去全周即得〉平
　　行小于实行二度零三分
　　零二秒零七微自行相距
　　三百零八度四十七分零
　　七秒二十七微〈以每日自行与距日
　　相乘减去全周即得〉第二食距第三
　　食一千九百一十八日二
　　十三时零五分五十七秒
　　实行相距九十二度五十
　　四分零二秒四十九微〈即降
　　娄宫戊点距鹑首宫辛点之度〉平行相距
　　八十五度零二十五秒〈即降
　　娄宫庚点距实沈宫壬点之度〉平行小于
　　实行七度五十三分三十
　　七秒四十九微自行相距
　　二百三十一度一十二分
　　五十二秒三十三微乃以
　　三月食自行相距度列于
　　一本轮之上立法算之
　　如图癸为地心即本天心丁戊己辛为本天之一弧己为本轮心从丁向戊右旋为平行度月体从本轮最高子向乙左旋为自行度第一食月在甲本天平


　　行度在己实行度在丁从甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己实行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行实行之差从乙行二百三十一度一十二分五十二秒


　　三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己实行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行实行之差乙癸线割本轮于丑从丑点作丑甲丑丙二线又作甲丙线即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形


　　乃用此三三角形求本天半径与本轮半径之比例先用丑丙癸三角形求丑丙边此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微〈以乙丑丙弧二百三十一度一十二分五十二秒三十三微折半即得盖乙子丙弧为丑界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以乙丑丙弧折半得数亦同故乙丑丙弧亦即丑角之倍度〉有癸角七度五十三分三十

　　七秒四十九微〈即戊辛弧之度〉即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑丙边一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲边此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微〈以甲丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七微折半即得盖乙甲弧为丑〉

　　〈界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以甲丑丙乙弧折半得数亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度〉有癸角二度零三分零二秒零七微〈即丁戊弧之度〉即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑甲边八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度〈以癸丑丙角与〉


　　〈癸丑甲角相加得二百七十度与三百六十度相减即得〉有丑丙边一六四六九八六有丑甲边八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒为甲丑弧以甲丑弧与乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒


　　三十三微为乙丑弧于是以本轮半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通则乙丑弧之通为一六二○八二三六丑丙弧之通为一七五七一五三○乃用比例法变先设之丑癸边为同比例数以先得之丑丙边一六四六九八六与先设之丑癸边一○


　　○○○○○○之比即同于今所察之丑丙通一七五七一五三○与今所求之丑癸边之比而得丑癸边一○六六八九○○六又以乙丑通一六二○八二三六折半得八一○四一一八为寅丑与丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四为寅癸


　　又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其馀五八五八六○六为寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求法求得巳癸一一四九四二五二七为本天半径即得本天半径与本轮半径之比例为一一四九四二

　　五二七与一○○○○○○○若设本天半径为一○○○○○○○则得本轮半径为八七○○○○
　　求大阴距最高之度则用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十


　　六微与半周相减馀三十八度四十七分零七秒一十四微为子乙弧即第二次月食月距最高之度也
　　晦朔望
　　太阴之晦朔望虽无关于自行之迟疾而自行之迟疾实由于朔望两而得知其二十七日有奇而一周者太阴之自行也其二十九日半强而与太阳相会者朔策也其间犹有望与上下两之分焉盖太阴之体赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦而其行则甚速于太阳当其与太阳相会之时人在地上正见其背故谓之朔朔后渐远太阳人可渐见其面其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见其半面太阳在后太阴在前其光向西其魄向东故名上上以后距太阳愈远其光渐满至一百八十度正与太阳相望人居其间正见其面故谓之望自望以后又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生至距望七日有奇其距太阳亦九十度则又止见其半面太阳在前太阴在后其光向东其魄向西故名下下以后距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其光全晦复为朔矣

　　如图甲为地面乙为太阳
　　丙丁戊己皆为太阴如太
　　阴在丙与太阳正会为朔
　　其光向乙从甲视之止见
　　其背故全晦也离太阳而
　　前距九十度至丁为上
　　从甲视之见其半面故半
　　明半晦也至距太阳一百
　　八十度至戊正与太阳相
　　望从甲视之正见其面故
　　全明也及离太阳而后距
　　九十度至己为下从甲
　　视之又止见其半面故亦
　　半明半晦也及至于丙而
　　与太阳复会则又全晦而
　　为朔矣


　　太阴四轮总论
　　太阴行度用四轮推之而四轮之法皆系实测而得非意设也西人第谷以前步月离惟用本轮次轮盖因朔望之行有迟疾故知其有本轮而两之行不同于朔望故知其有次轮其法次轮与本轮两周相切太阴行于次轮之上朔望时太阴正当两周相切之点故云朔望时太阴循本轮周行而两时太阴则从两周相切之点行次轮半周距本轮心最远故次轮全径为两时大于朔望时平行实行之极大差第谷遵其法用之因不能密合太阴之行故于本轮上复加一均轮且因两前后之行又不同于两故又加一次均轮盖用本轮推朔望时平行实行之极大差为本轮半径得四度五十八分有馀而徴之实测惟自行三宫九宫初度之一点为合在最高前后两象限则失之小在最卑前后两象限则失之大故第谷将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取其一分为均轮半径用求平行实行之差为初均数乃密合于天至于两时平行实行之极大差七度二十五分有馀虽为新本轮半径并均轮半径仍加次轮全径之数然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也其次均轮行于次轮即如初均轮之行于本轮但所行之度不同耳〈初均轮行为引数之度次均轮行为倍离之度〉第谷以次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行初均轮则循本轮周行夫用不同心天与用小轮理本相通但两法合讲殊觉纷纭不如専用一法观之为便至于两前后有二三均数之加减而不言其由次均轮而生今并悉其根源増一负均轮圈移初均轮心使行于此则次轮心即行于初均轮而次均轮心亦得行于次轮盖负均轮圏半径乃新本轮半径加一次轮半径之分朔望时太阴在次轮之最近点又在次均轮之下点而次均轮心又必常在次轮周故朔望时止用初均轮不用次轮及次均轮也两时太阴在次轮之最远点又在次均轮之上点而次均轮心亦必在次轮之最远点故两时止用次轮不用次均轮也至于朔望前后及两前后太阴在次轮之远近二点之间又在次均轮之上下二点之间而次均轮心亦不在次轮之远近二点故有次轮与次均轮之相差而或加或减也要之本轮者推本天之高卑均轮者所以消息本轮之行度次轮者定朔望两之远近次均轮者又所以分别朔望两前后之加减故本轮行度合初均轮之倍引而生初均数分高卑左右而为朔望之加减差也次轮行度合次均轮之倍离而生二三均数分远近上下而为两及两前后之加减差也是故非验诸实测无以知四轮之妙而明于四轮之用则于太阴迟疾之故思过半矣
　　西人第谷以前所用本轮次轮法如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为本轮戊为最高庚为最卑辛为次轮心辛壬为负次轮之圈己为次轮最近癸为次轮最远如次轮周

　　在本轮最高后六十度相切于己朔望时太阴在己从地心甲作己甲实行线割本天于子子丙弧为平行实行之差

　　故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧为本轮所生初均数也上下时太阴则从次轮之巳点历丑至癸从地心甲作癸甲实行线割本天于寅寅丙弧


　　为平行实行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧为本轮所生初均及次轮所生次均之共数也〈子丙弧为初均寅子弧为次均〉第谷用此法求得均数征之实测在最高前后两象限其数失之小在最卑前后两象限其数失之大故将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取


　　其一分为均轮半径将次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行均轮心循本轮周行如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮辛丙半径为戊丙半径三分之二戊子丑为均轮戊辛半径为


　　戊丙半径三分之一本轮心循本天右旋均轮心循本轮左旋甲寅卯辰为次轮本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔望时本天心与地心同在甲两时本天心在卯离地心极远总之朔望以外本天心俱离甲点本天皆为不同心之天矣


　　又第谷添设初均轮新法所推均数与本轮旧法所生均数最大之差有九分五十馀秒在最高前后两象限为大最卑前后两象限为小如旧法太阴距最高戊后六十度在已则丙甲巳角为初均数若新法则均轮心距最高辛后六十度在壬太阴则距均轮之近点丑行


　　一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲巳角大一已甲子角其在最高前之均数亦如之又如旧法太阴距最卑庚后六十度在已则丙甲已角为初均数若新法则均轮心距最卑癸后六十度在壬太阴则距均


　　轮之近点丑行一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均

　　数亦如之然第谷所増均轮法极有理而所设不同心天与小轮合用则不便于观今将次轮置于均轮之周其心循均轮周右旋又将次轮半径与新本轮半径相加为半径作负均轮之圈均轮心则循负均轮圈左旋又増一次均轮以明二三均数之根用此法求各均数皆与第谷之法无异
　　依第谷所添初均轮并新増次均轮合本轮次轮共为一图如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮巳子丑为原均轮寅卯为新増负均轮之圈其半


　　径为次轮半径与新本轮半径相加之数乃移均轮心于负均轮圈卯作辰巳午均轮与巳子丑原均轮等辰为远点午为近点用均轮心行负均轮圈寅卯弧之倍度〈即本轮周辛壬弧之倍度〉从均轮近点午数至巳以巳为心作未申子次轮其未子全径与均轮辰午全径平行未为远


　　点子为近点又以次轮周近点子为心作酉戌亥次均轮酉为上点戌为下点如均轮心循负均轮圈从最高寅历卯左旋则次轮心循均轮周从最近午历巳右旋行均轮心距最高之倍度次均轮心又循次轮周从最近子历申右旋行太阴距太阳之倍度太阴则循次均


　　轮周从最下戌历亥左旋亦行距太阳之倍度朔望时太阴必在次均轮之最下戌次均轮心必在次轮周之最近子〈即次轮周与巳子丑原均轮周相切之点〉从地心甲作子甲实行线即成丙甲子三角形其甲角为初均数盖朔望时太阴虽在次均轮之周然必在下点而次均轮心又必在次


　　轮周与均轮周相切之点故求朔望时之初均数止用均轮不用次轮也〈太阴在次均轮之戌点虽在子点之下然俱在实行线上其经度无异也〉两时次均轮心从次轮周之最近子行至最远未太阴从次均轮周之最下戌行至最上酉从地心甲作酉甲实行线成子甲未三角形其甲角为二均数盖两


　　时太阴必在次均轮周之上点而次均轮心又必在次轮周之远点故两时止用次轮求二均数不用次均轮也〈太阴在次均轮周之酉点虽高于未点然俱在实行线上其经度无异也〉如在朔望之后两之前次均轮心从次轮周之最近子行至申太阴从次均轮周之最下戌行至亥从地心甲至次均轮


　　之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太阴所在亥作亥甲实行线则成子甲申与亥甲申两三角形其子甲申角为二均数亥甲申角为三均数两角相减馀子甲亥角为二三均数也如在朔望之前两之后次均轮心从次轮周之最近子历最远未行至申


　　太阴从次均轮周之最下戌历最上酉行至亥从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太阴所在亥作亥甲实行线则成子甲申与申甲亥两三角形其子甲申角为二均数申甲亥角为三均数两角相加得子甲亥角为二三均数也求初均


　　数及二三均数法俱见后











　　求初均数
　　太阴之行因迟疾而生加减差朔望用之者名为初均数自最高至最卑六宫为迟历为减差自最卑至最高六宫为疾历为加差盖因最高前三宫与后三宫相当最卑前三宫与后三宫相当其差数皆相等故求得最高后六宫之差数而最卑后六宫之差数视此但加减不同耳〈如最高前三十度与最高后三十度其差数必等但在最高前者为加差最高后者为减差也〉授时历名为迟疾差其最大者为五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分约之得五度二十一分零五秒朔望两同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒〈即四度零十分度之九分七四二〉惟朔望为然名之初均数者所以别于朔望以外之二三均数也
　　如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为五十八万戊为最

　　高庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十九万辛为最远〈去本轮心远也〉癸为最近〈去本轮心近也〉本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三

　　分五十四秒即自行引数太阴则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒为倍引数也如均轮心在本轮之最高戊为初宫初度则太阴在均轮之最近癸从地心甲计之成一直线无平行实行之差故自

　　行初宫初度无均数也
　　如均轮心从本轮最高戊向己行一百八十度至最卑庚为六宫初度则太阴

　　从均轮最近癸历壬辛行一周复至癸从地心甲计之亦成一直线无平行实行之差故自行六宫初度亦无均数也如均轮心从本轮最高戊行三十度至子为一宫初度则太阴从均轮最近癸行六十度至丑〈丑癸弧为戊子弧之倍度〉从地心甲

　　计之太阴当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙本轮半径之半二十九万〈于子丙半径五十八万内减去子癸半径二十九万即得〉求得癸卯边一十四万五千卯丙边二十五万一千一百四十七以卯丙边与丙甲半径一千万相加

　　得一千零二十五万一千一百四十七为卯甲边以癸卯边三因之得四十三万五千为丑卯边〈辛丑癸三角形与丙卯癸三角形为同式形盖癸为交角丑角立于圜界之一半为直角与卯角等则辛角必与丙角等是三角俱等也辛癸为均轮全径为癸丙之二倍则丑癸亦必为癸卯之二倍故三因癸卯即得丑卯也〉于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧为太阴自行一宫初度之初

　　均数是为减差以减于平行而得实行也〈凡求得初均角即求得丑甲边为太阴距地心数存之为后求二均之用馀仿此〉若均轮心从最高戊向己历庚行三百三十度至辰为十一宫初度则太阴从均轮最近癸行一周复自最近癸历辛行三百度至己〈癸巳弧为戊辰弧之倍度〉从地心甲计之太阴当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均


　　数与一宫初度等但为实行过于平行之数是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最高后三宫之减差〈初宫初度至二宫末度〉即得最高前三宫之加差〈九宫初度至十一宫末度〉
　　如均轮心从本轮最高戊行九十二度至未为三宫二度则太阴从均轮最近


　　癸历辛行一百八十四度至申从地心甲计之太阴当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角八十八度则癸角必二度癸丙边为二十九万求得癸戌边二十八万九千八百二十三丙戌边一万零一百


　　二十一以丙戌边与丙甲边相减馀九百九十八万九千八百七十九为戌甲边以癸戌边三因之得八十六万九千四百六十九为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧为太阴自行三宫


　　二度之初均数是为极大之减差以减于平行而得实行也若均轮心从最高戊历庚行二百六十八度至亥为八宫二十八度则太阴从均轮最近癸行一周复自癸历壬行一百七十六度至子从地心甲计之太阴当本天之丑丑丙


　　弧与酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均数与三宫二度等但为实行过于平行之数是为极大之加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差〈三宫初度至五宫末度〉即得最卑后三宫之加差〈六宫初度至八宫末度〉















　　求二三均数
　　太阴之加减差朔望以外用者名为二均三均数其二均数之生于次轮全径与三均数之生于次均轮半径亦犹初均数之生于本轮及均轮半径也故欲求二均三均之数必先定次轮及次均轮之径而欲定次轮及次均轮之径又须先测二均及三均之数也历家于上下当自行三宫或九宫时累测之〈惟此时太阴距本轮心甚远平行视行之差极大〉其极大之均数得七度二十五分四十六秒查其切线得一百三十万四千内减去本轮均轮两半径之共数八十七万馀四十三万四千半之得二十一万七千即次轮之半径也于两及朔望之间〈约太阴距太阳四十五度时〉当自行三宫或九宫时累测之其均数常与推算不合差至四十一分零二秒是即次均轮所生之三均数也依法求其半径得一十一万七千五百既定次轮与次均轮之半径乃逐度求其二均三均之数复用三均数以加减乎二均数是为二三均数用以推步月离乃与测验吻合矣
　　如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径戊丙己为本轮全径戊为最高己为最卑庚丙辛为负均轮圈全径〈省曰负圈〉庚为最高辛为最卑壬庚癸为均轮全径壬为最远癸

　　为最近子癸丑为次轮全径子为最远丑为最近寅丑卯为次均轮全径寅为最上卯为最下本轮心从本天冬至度右旋〈本天上与黄道冬至相对之度也〉为经度均轮心从负圈最高左旋〈即同本轮最高〉为引数〈即自行度〉次轮心从均轮最近右旋为倍引数次均轮心从次轮最近右旋行倍离之度〈即太阴距太阳之倍度〉太阴从次均轮最下左旋

　　亦行倍离之度如均轮心在负圈最高庚为自行初宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当朔望时则次均轮心在次轮之最近丑太阴在次均轮之最下卯从地心甲计之同在一直线即平行实行合而为一故无均数之加减也如均轮心在负圈最卑辛为自行六宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当

　　朔望时则次均轮心在次轮之最近丑太阴在次均轮之最下卯从地心甲计之亦同在一直线即平行实行合而为一故亦无均数之加减也
　　如均轮心从最高庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心则从均轮最近癸行一百八十度至最远壬朔望时次均轮心常在次轮周之最近丑太阴常

　　在次均轮周之最下卯从地心甲计之仍见太阴在丑〈太阴虽在丑点之下因在一直线故视之如在一处也〉其实行不及平行之度为丙甲丑

　　角四度五十八分二十秒即初均数其切线丑丙八十七万即本轮均轮两半径之共数也两时次均轮心常在次轮周之最远子太阴常在次均轮周之


　　最上寅从地心甲计之仍见太阴在子〈太阴虽在子点之上因在一直线故视之如在一处也〉其实行不及平行之度为丙甲子角七度二十五分四十五秒内减初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒馀二度二十七分二十五秒即丑甲子角命为二均数丙甲子角之切线子丙得一百三十万四


　　千内减丑丙本轮均轮两半径八十七万馀丑子线四十三万四千是为次轮之全径也此初均数为减差二均数亦为减差盖朔望之实行丑点在平行丙点之后〈本轮心丙循本天右旋故以左为前右为后凡言前后者皆仿此〉而两时之实行子点仍在丑点之后故于平行内减去初均数丙甲丑角


　　即得朔望时之实行复减去二均数丑甲子角始得两时之实行也若均轮心从最高行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心则从均轮最近癸行一周复行一百八十度至最远壬而当两之时则初均数丙甲丑角与二均



　　数丑甲子角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差以

　　加于平行而得实行也
　　如均轮心从最高庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心从均轮之最近癸行一百八十度至最远壬时当朔与


　　上之间或望与下之间次均轮心从次轮最近丑行九十度至巳太阴则从次均轮最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒为初均数丑甲边一千零三万七千七百七十四为次轮最近点距地心之数〈求丑甲边法见前求初均数篇〉乃用丑甲己三角形求二均数


　　此形有丑甲边一千零三万七千七百七十四有丑己边三十万六千八百八十四〈即次轮九十度之通以半径一千万为一率九十度之通一千四百一十四万二千一百三十六为二率次轮半径二十一万七千为三率求得四率三十万六千八百八十四即次轮九十度之通〉有丑角四十九度五十八分二十秒〈丙甲丑直角形以丙直角与甲角相加得九十四度五十八分二十秒为壬丑甲角内减去壬丑己角四〉

　　〈十五度馀四十九度五十八分二十秒为巳丑甲角〉求得丑甲巳角一度二十二分零五秒与初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒为实行不及平行之度然太阴不在巳而在午于时测得实行不及平行之度为五度三十九分二十三秒相差四十一分


　　零二秒即丙甲巳角大于丙甲午角之午甲巳角命为三均数乃用午甲巳直角三角形求次均轮之半径此形有巳

　　甲边九百八十四万二千六百二十二〈用丑巳甲三角形求之而得〉有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午边一十一万七千五百是为次均轮之半径也此初均


　　数为减差二均数亦为减差而三均数转为加差故于二均数内减去三均数馀四十一分零三秒即丑甲午角为二三均数仍为减差〈凡二均与三均加减异者相减为二三均数仍从大数如二均大于三均则从二均三均大于二均则从三均〉盖次轮之最近丑点在平行丙点之后次均轮心巳点又在最近丑点之后而太阴


　　午点却在次均轮心巳点之前故以二均与三均相减馀丑甲午角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲午角始得本时之实行也若均轮心从最高庚行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心从



　　均轮最近癸行一周复行一百八十度至最远壬而当上与望之间或下与朔之间则初均数丙甲丑角及二三均数丑甲午角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差



　　以加于平行而得实行也
　　如均轮心从最高庚行一百二十度至未为自行四宫初宫次轮心从均轮最近癸行二百四十度至申此时若太阴距太阳一百一十度为上后一日馀则次均轮心从次轮最近丑行二百二


　　十度至酉太阴亦从次均轮最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒为初均数丑甲边九百八十八万三千七百六十为次轮最近点距地心之数乃用丑甲酉三角形求二均数此形有丑甲边九百八十八万三千七百六十有丑酉边四十万七


　　千八百二十七〈次轮丑酉弧一百四十度之通〉有丑角八十四度二十二分一十九秒〈丙甲亥三角形以甲丙两角相并与亥外角等丑申子次轮全径原与癸未壬均轮全径平行则申丑亥角与丑亥丙角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲亥角四度二十二分一十九秒与甲丙亥角六十度相加得六十四度二十二分一十九秒即为申丑亥角又酉丑子为界角对酉子弧四十度则酉丑子角必二十度与申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即为酉丑甲〉

　　〈角〉求得丑甲酉角二度二十一分四十秒为二均数又求得酉甲边九百八十五万一千五百九十五复用酉甲戌三角形求三均数此形有酉甲边九百八十五万一千五百九十五有酉戌边一十一万七千五百〈次均轮半径〉有酉角一百四十度〈即次均轮戌卯弧〉求得酉甲戌角二十

　　六分零七秒为三均数也此二均三均并为减差故以二均与三均相加得二度四十七分四十七秒为二三均数仍为减差〈凡二均与三均加减同者相加为二三均数馀仿此〉盖次轮之最近丑点与次均轮心酉点俱在平行丙点之后而太阴戌点又在次均轮心酉点之后故以二均与三均相加


　　得丑甲戌角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲戌角始得本时之实行也若均轮心从最高庚行二百四十度至未为自行八宫初度次轮心从均轮最近癸行一周复行一百二十度至申而太阴距



　　太阳七十度为上前一日馀则次均轮心从次轮最近丑行一百四十度至

　　酉太阴亦从次均轮最下卯行一百四十度至戌其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲戌角皆与四宫初度之数相



　　等但实行俱在平行之前故俱为加差以加于平行而得实行也
　　如均轮心合朔时在本轮之辰距最卑辛十五度馀则次轮心在均轮之己距均轮最近癸三十一度馀次均轮心则



　　在次轮最近丑太阴在次均轮最下卯迨朔后一日馀本轮心从本天合朔后行十六度至丙则均轮心亦从本轮辰行十五度馀至最卑辛为自行六宫初度次轮心亦从均轮己行三十一度馀



　　至最近癸次均轮心从次轮最近丑行三十二度至午太阴亦从次均轮最下卯行三十二度至未则无初均数乃用癸甲午三角形求二均数此形有癸甲边九百四十九万三千〈于丙甲半径一千万内减去负圈半径丙辛七十九万七千馀辛甲九百二十万三千最加均轮半径癸辛二〉

　　〈十九万即得〉有癸午边二十一万七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒为二均数又求得午甲边九百六十七万七千五百零七复用午

　　甲未三角形求三均数此形有午甲边九百六十七万七千五百零七有午未边一十一万七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒

　　为三均数也此二均三均并为加差以二均与三均相加得一度零三分一十二秒为二三均数仍为加差盖次轮之最近丑点与平行内点在一直线上平行即实行故无初均数而次均轮心午点在平行丙点之前太阴未点又在午点之前故以二均与三均相加得丙甲未角为二三均数以加于平行即得本

　　时之实行也若均轮心在最卑辛而太阴距太阳三百四十四度为朔前一日馀则二三均数丙甲未角与朔后一日馀之数相等但实行在平行后故为减差以减于平行而得实行也
　　如均轮心过最卑辛行五十度至午为自行七宫二十度则次轮心从均轮最近癸行一百度至未而太阴距太阳一


　　百三十五度为望前三日馀则次均轮心从次轮最近丑行二百七十度至申太阴亦从次均轮最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒为初均数丑甲边九百八十三万六千一百九十五为次轮最近点距地心之数乃用丑甲申三角形求二均数


　　此形有丑甲边九百八十三万六千一百九十五有丑申边三十万六千八百八十四〈次轮丑申弧九十度之通〉有丑角八度五十三分零六秒〈丙甲戌三角形以丙甲两角相并与戌外角等丑未子次轮全径原与癸午壬均轮全径平行则丙戌丑角与戌丑未角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒与甲丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒为戌丑未角内减去未丑〉

　　〈申角四十五度馀八度五十三分零六秒为申丑甲角也〉求得丑甲申角一十七分零六秒为二均数又求得申甲边九百五十二万八千九百二十复用申甲酉三角形求三均数此形有申甲边九百五十二万八千九百二十有申酉边一十一万七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二


　　十三秒为三均数也此初均数为加差二均数亦为加差而三均数转为减差故于三均数内减去二均数馀二十五

　　分一十七秒为二三均数转为减差〈三均大于二均故从三均〉盖次轮之最近丑点与次均轮心申点俱在平行丙点之前而太阴酉点却在次轮最近丑点之后故以二


　　均与三均相减馀丑甲酉角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲酉角始得本时之实行也若均轮心未至最卑辛五十度在午为自行四宫十度而太阴距太阳二百二十五度为望后三日馀其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲酉角皆与


　　七宫二十度之数相等但初均数为减差二三均数为加差以初均数减于平行复以二三均数加之而得实行也如均轮心从最卑辛行一百二十度至辰为自行十宫初度则次轮心从均轮最近癸行二百四十度至己而太阴距太阳三百二十度为下后四日则次


　　均轮心从次轮最近丑行一周复行二百八十度至午太阴亦从次均轮最下卯行一周复行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒为初均数丑甲边一千零一十七万二千九百四十一为次轮最近点距地心之数乃用丑甲午三角形求二均数此形有


　　丑甲边一千零一十七万二千九百四十一有丑午边二十七万八千九百七十〈次轮丑午弧八十度之通〉有丑角七十四度一十四分五十一秒〈丙申甲三角形以丙甲两角相并与申外角等丑巳子次轮全径原与癸辰壬均轮全径平行则己丑甲角与壬申丑角为平行线之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度与丙甲申角四度一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即为己丑甲〉

　　〈角内减去己丑午角五十度馀七十四度一十四分五十一秒为午丑甲角也〉求得丑甲午角一度三十一分二十三秒为二均数又求得午甲边一千零一十万一千六百一十七复用午甲未三角形求三均数此形有午甲边一千零一十万一千六百一十七有午未边一十一万七千五百有午角八十度求得


　　午甲未角三十九分二十七秒为三均数也此初均数二均数俱为加差而三均数为减差故于二均数内减去三均

　　数馀五十一分五十六秒为二三均数仍为加差盖次轮之最近丑点与次均轮心午点俱在平行丙点之前而太阴未点却在次均轮心午点之后故以二

　　均与三均相减馀丑甲未角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复加二三均数丑甲未角即得本时之实行也若均轮心在最高庚后六十度为自行二宫初度而太阴距太阳二百二十度为下前四日其初均数丙甲丑角


　　及二三均数丑甲未角加与十宫初度之数相等但实行在平行之后故俱为减差以减于平行而得实行也
　　两月食定交周
　　白道与黄道斜交月行天一周必两次过交而交无定处每一交之中退天一度有馀故每日太阴距交行度常多于每日平行经度其较即为每日交行度测法亦择用两月食其两食必须太阳之距最高等太阴之自行度等食分等食在阳历或在阴历亦等〈黄道南为阳历黄道北为阴历〉乃可推月行若干交周而复于故处西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒为朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太阴每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒〈即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三〉与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒相减馀三分一十秒三十八微二十四纤〈即百分度之五分二九五五五五五五一授时历作百分度之五分二三六以周天三百六十度约之得百分度之五分一六○七〉为两交每日左旋之度也今择用两月食以明其法如左
　　第一食顺治十三年丙申十一月庚申望子正后一十八时四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在阳历日躔星纪宫一十度三十九分在最卑后三度四十九分于时月自行为三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午望子正后三时二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在阳历日躔星纪宫二十一度五十二分在最卑后一十四度二十一分于时月自行为三宫二十五度二十四分〈两次月食太阳距最高差一十度馀然地景之大小无异月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿论〉以上两次月食相距中积二百二十三月乃用朔策定数五千四百五十八为一率交终定数五千九百二十三为二率〈此二数依巴谷所定〉二百二十三月为三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二〈差千分之一可以不论〉为两次月食相距之交终数又以两次月食相距中积六千五百八十五日零八时三十九分一十秒与每日太阴平行经度相乘以交终数二百四十二除之得一百二十九万零八百一十二秒小馀八七九五九八为每一交行度与周天一百二十九万六千秒相减馀五千一百八十七秒小馀一二○四○二为每一交退行度又以交终数除两次月食相距中积日分得二十七日二一二二三三为交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微为两交每日退行度与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微为太阴每日距交行度比旧数止少一微今仍用旧数各以日数乘之得十日百日之行度以时分除之得每时每分之行度以立表










　　黄白大距度及交均
　　白道与黄道相距之纬曰大距度而交均者乃两交平行与自行之差是二者常相因也盖相距之度时少时多而自行之度有迟有疾故必测得距度极多极少之数而后交行之迟疾可推测大距之法推得月离黄道鹑首宫初度又在黄道北〈月在黄道北则近天顶而地半径差最微可以勿论〉而距交适足九十度时俟至子午线上测之得地平高度乃于高度内减去赤道高及黄赤距纬度其馀即为黄白大距度也历家用此法测得朔望时之大距为四度五十八分三十秒〈即四度零十分度之九分七五〉上下时之大距为五度一十七分三十秒〈即五度零十分度之二分九一六授时历无分朔望两皆六度以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒〉既得二数乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表
　　如图甲为黄极乙丙丁戊
　　为黄道用朔望与上下
　　两距度相加折半得五度
　　零八分为黄白大距之中
　　数取中数为半径如己甲
　　作己庚辛壬圈为白极绕
　　黄极本轮又取两距度之
　　较数一十九分折半得九
　　分三十秒为半径如己癸
　　作癸子丑寅圈为负白极
　　均轮其心循己庚辛壬本
　　轮左旋〈从己向庚〉每日行三分
　　一十秒有馀白极则循癸
　　子丑寅均轮左旋〈从癸向子〉行
　　倍离之度半月一周如癸
　　子丑寅均轮心在己朔望
　　时白极在癸白道交黄道
　　于丙于戊其卯乙弧为大
　　距四度五十八分三十秒
　　与癸甲弧等上下时白
　　极在丑白道亦交黄道于
　　丙于戊其辰乙弧为大距
　　五度一十七分三十秒与
　　丑甲弧等如癸子丑寅均
　　轮心从本轮己行至庚朔
　　望时白极在癸白道交黄
　　道于乙于丁其卯丙弧为
　　大距四度五十八分三十
　　秒与癸甲弧等上下时
　　白极在丑白道亦交黄道
　　于乙于丁其辰丙弧为大
　　距五度一十七分三十秒
　　与丑甲弧等惟朔望与上
　　下时白极俱在丑甲线
　　上平行自行相合故无交
　　均数如白极从癸向子交
　　行渐迟至子距癸九十度
　　为朔与上之间或望与
　　下之间其行极迟白道
　　交黄道于巳于午其未申
　　弧为大距与子甲弧等〈子甲
　　为白极距黄极之弧故与未申大距弧等〉于是
　　用子甲己正弧三角形求
　　子甲弧此形有己甲弧五
　　度零八分有己子弧九分
　　三十秒有己直角九十度
　　〈当癸子弧〉求得子甲弧五度零
　　八分零九秒与未申弧等
　　为黄白大距又求得甲角
　　一度四十六分零八秒为
　　交均即自行迟于平行极
　　大之差从子向丑则迟行
　　之度渐减至丑而合于平
　　行矣如白极从丑向寅交
　　行渐疾至寅距丑九十度
　　为上与望之间或下
　　与朔之间其行极疾己甲
　　寅角亦一度四十六分零
　　八秒寅甲两极距弧亦与
　　子甲等从寅向癸则疾行
　　之度渐减至癸而又合于
　　平行矣要之从癸向子至
　　丑为前半周所求之诸甲
　　角俱为减差以减交之平
　　行而得交之实行从丑向
　　寅至癸为后半周诸甲角
　　之度皆以前半周等但俱
　　为加差以加交之平行而
　　得交之实行故用弧三角
　　形法以己庚辛壬圈之半
　　径五度零八分及癸子丑
　　寅圈之半径九分三十秒
　　为常用之两边以极距癸
　　点之逐度为角得弧三角
　　形一百八十求得各对角
　　之弧为两极大距〈如子甲之类〉近黄极之角为交均在前
　　半周为减差后半周为加
　　差而大距及交均之表全
　　矣至于有大距之数而求
　　逐度之小距度与日躔求
　　黄赤距纬之法同













　　视差
　　太阴之视差有四一为蒙气差能升卑为高其理与数皆与太阳同一为高下差〈即地半径差〉生于地之半径能变高为下其理亦与太阳同而数则过之盖太阳本天半径与地半径之比例为千馀分之一而太阴本天半径与地半径之此例为五六十分之一故其差角迥别不可同论也又有东西差〈即经度差〉南北差〈即纬度差〉皆由高下差而生算交食用之详载交食本篇兹不具论
　　如图甲为地心乙为地面
　　甲乙为地半径乙丙为地
　　平丁戊己为太阴本天庚
　　辛壬癸为恒星天戊为太
　　阴人从地面乙测之对恒
　　星天于壬其视高为壬乙
　　丙角若从地心甲计之则
　　见太阴于戊者对恒心天
　　于辛其真高为辛甲癸角
　　此两高之差为乙戊甲角
　　即高下差然亦时时不同
　　者一因太阴距地平近则
　　差角大渐高则渐小一因
　　太阴在本天最高则差角
　　小在本天最卑则差角大
　　与日躔之理同今亦约为
　　最高最卑中距三限于望
　　时及两各以所测地面
　　上太阴之高度求太阴距
　　地心之甲戊线〈望时测中距两时
　　测最高及最卑盖月自行在中距望时次均轮心在
　　次轮之最近月在次均轮之最下微小于本天若两
　　时则次均轮心在次轮之最远已在本天之外月
　　又在次均轮之最上未免太过于本天故于望时测
　　中距也又月自行在最高两时月距地心比望时
　　高一次轮全径又高一次均轮全径故于此时测最
　　高月自行在最卑两时月距地心北望时卑一次
　　轮全径又高一次均轮全径犹在望时月体之下故
　　于此时测最卑也〉
　　如畅春园测得太阴高六
　　十二度四十分五十一秒
　　四十三微同时于广东广
　　州府测得太阴高七十九
　　度四十七分二十六秒一
　　十二微〈广东子午线在京师西三度三十三
　　分然高下差甚微可勿论〉于时月自行
　　三宫初度月距日一百八
　　十度〈即望时〉以之立法甲为
　　地心乙为京师地面庚为
　　天顶子为广州府地面丑
　　为天顶戊为太阴寅为赤
　　道寅庚弧三十九度五十
　　九分三十秒为畅春园赤
　　道距天顶之度寅丑弧二
　　十三度一十分为广州府
　　赤道距天顶之度以两处
　　赤道距天顶度相减馀一
　　十六度四十九分三十秒
　　为庚丑弧即庚甲丑角以
　　畅春园高度与一象限相
　　减馀二十七度一十九分
　　零八秒一十七微为庚乙
　　戊角以广州府高度与一
　　象限相减馀一十度一十
　　二分三十三秒四十八微
　　为丑子戊角先用乙甲子
　　三角形此形有甲角一十
　　六度四十九分三十秒又
　　有乙甲及子甲俱地半径
　　命为一千万乃以甲角折
　　半之正倍之得二九二
　　五九七七为乙子边又以
　　甲角与半周相减馀数半
　　之得八十一度三十五分
　　一十五秒为乙角亦即子
　　角次用乙戊子三角形此
　　形有乙子边二九二五九
　　七七有戊乙子角七十一
　　度零五分三十六秒四十
　　三微〈以庚乙戊角与子乙甲角相加得一百零
　　八度五十四分二十三秒一十七微以减半周即得〉有戊子乙角一百零八度
　　三十七分一十八秒四十
　　八微〈于半周内减去乙子甲角八十一度三十
　　五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三
　　十三秒四十八微即得〉即有乙戊子
　　角一十七分零四秒二十
　　九微求得戊乙边五五八
　　二六五二五四末用戊乙
　　甲三角形此形有乙甲地
　　半径一千万有戊乙边五
　　五八二六五二五四有戊
　　乙甲角一百五十二度四
　　十分五十一秒四十三微
　　〈于半周内减去庚乙戊角二十七度一十九分零八
　　秒一十七微即得〉求得乙戊甲角
　　二十七分四十九秒零四
　　微为中距限太阴高六十
　　二度四十分五十一秒四
　　十三微之高下差求得戊
　　甲边五六七一七一三三
　　四为太阴在本天中距时
　　距地心之远以地半径较
　　之其比例为一千万与五
　　亿六千七百一十七万一
　　千三百三十四若命地半
　　径为一则月距地心为五
　　十六又百分之七十二也
　　乃依此法于月自行初宫
　　初度月距日九十度时〈即上
　　下〉测之求得甲乙线与戊
　　甲线之比例为一与六十
　　一又百分之九十八即月
　　在本天最高距地心最远
　　之数又于月自行六宫初
　　度月距日九十度时测之
　　求得甲乙线与戊甲线之
　　比例为一与五十三又百
　　分之七十一即月在本天
　　最卑距地心最近之数于
　　是自最近五十三至最远
　　六十二之十数逐度求其
　　高下差以立表





　　隐见迟疾
　　合朔之后恒以三日月见于西方故尚书注月之三日为哉生明然有朔后二日即见者更有晦日之晨月见东方朔日之夕月见西方者唐历家遂为进朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故盖月之隐见迟疾固有一定之理可按数而推殆因乎天行由于地度无庸转移迁就也至于汉魏历家未明盈缩迟疾之差以平朔著历故有晦而月见西方朔而月见东方者此则推步之疏不可以隐见迟疾论也隐见之迟疾其故有三今并详于后
　　一因黄赤道之升降有斜
　　正也盖春分前后各三宫
　　〈由星纪至实沈六宫〉黄道斜升而正
　　降月离此六宫则朔后疾
　　见秋分前后各三宫〈由鹑首至
　　析木六宫〉黄道正升而斜降月
　　离此六宫则朔后迟见如
　　上二图前图日躔降娄初
　　度月离降娄一十五度为
　　正降日入时月在地平上
　　高一十四度馀即可见盖
　　入地迟而见早也后图日
　　躔夀星初度月离夀星一
　　十五度为斜降日入时月
　　在地平上高六度馀即不
　　可见盖入地疾而见迟也
　　若晦前月离正升六宫则
　　隐迟斜升六宫则隐早其
　　理亦同
　　一因月距黄纬有南北也
　　盖月距黄道北则朔后见
　　早距黄道南则朔后见迟
　　如图日躔降娄初度月离
　　降娄一十五度而月距黄
　　道北则月距地平之度多
　　入地迟而见早月距黄道
　　南则月距地平之度少入
　　地疾而见迟也若晦前距
　　黄道北则隐迟距黄道南
　　则隐早其理亦同
　　一因月视行之度有迟疾
　　也盖月视行为迟历则朔
　　后见迟晦前隐迟视行为
　　疾历则朔后见早晦前隐
　　早也
　　夫月离正降宫度距日一
　　十五度即可见以每日平
　　行一十二度有奇计之则
　　朔后一日有馀即见生明
　　于西是故合朔如在甲日
　　亥子之间月离正升宫度
　　距黄道北而又行迟历则
　　甲日太阳未出亦见东方
　　月离正降宫度距黄道北
　　而又行疾历则乙日太阳
　　已入亦见西方矣















　　御制历象考成上编卷五
<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>