数学九章 (四库全书本)/卷2下

数学九章　卷二下

　　钦定四库全书
　　数学九章卷二下　　　　宋　秦九韶　撰天时
　　揆日究微
　　问历代测景惟唐大衍历最密本朝崇天历阳城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七分七十杪九系与大衍历同今开禧历临安府冬至景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求临安府夏至后差㡬日而景与阳城夏至日等较以大衍历晷景所差尺寸各㡬何
　　答曰大暑后五日午中景长一尺四寸八分八十
　　五杪
　　按旧本答数后有二图舛错潦草传写者失其真也细考图内所载之数皆与今法颇合知此悉当时实测所定非同臆说也因取其数改正于后
<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二下>
　　置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五杪以夏至景九寸一分减之馀九尺九寸一分二十五杪为景差以为实


　　置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪五十小分命度为寸得一百二寸五十六百七十一分五十杪为法以除前差实得空寸九十六百六十四分四十杪不尽弃之自乘得节泛数九千三百四十分不尽弃之






　　先以小暑节乘率二十五乘节率九千三百四十分得二十三寸三千五百分于上


　　次以临安夏至九寸一分自乘得八十二寸八千一百分为夏至幂


　　乃以夏至幂加上得一百六寸一千六百分为小暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三分为临安小暑节景不尽七百分即寸下七毫弃之


　　按各节气影长皆当时实测所定本不待求今所设求法乃故为溟涬使人不可觧也细查其数首以象限加十一度馀为法以除影差得数自乘为节率四每节下又有乘率以乘率节率相乘与夏至影幂相加即为本节影幂是知节率乃强取之数盖以此数先除各节影幂与夏至影幂之较名为乘率故以此与节率相乘加夏至影幂即各节影幂也数家设术误人往往如此
　　又以大暑乘率一百九乘节率九千三百四十分得一百一寸八千六十分于头位




　　仍以夏至幂八十二寸八千一百分加头位一百一寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑不尽弃之






　　又置立秋乘率二百八十九乘节率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分于上


　　仍置夏至幂八十一寸八千一百分加于上二百六十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三百六十八为立秋幂



　　置立秋幂为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一杪为立秋景不尽弃之



　　乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑后立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪并立秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景　又以九日景并大暑景得二尺九寸七分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日景




　　乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景


　　又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪为大暑后四日景




　　今验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪为入临安府大暑后四日景一尺四寸五分六十杪太强乃以四日减五日景馀三分二十四杪太弱为景差以十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法




　　乃置阳城夏至景一尺四寸七分七十九抄减临安大暑后四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪馀二分一十八杪一十二小分五十小杪为实后以法二十七杪五小分二十小杪除之实如法而一得商数八有馀命大暑四日午后数八辰得大暑五日寅时景与阳城夏至之日午景等





　　求较以大衍历晷景所差乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半为次暑后九日午中景



　　置九日景复并大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五日景





　　今验开禧历所推临安府大暑后五日午中景一尺四寸八分八十五杪半与阳城大暑后五日午中景尺一寸一十四杪太课之


　　乃以临安府五日景减阳城五日景差六寸一分二十九杪少


　　按此法不过以临安前后两节气影长比例一影长之日数时刻复以所得节气日数时刻比例一阳城影长与之相较耳题内引大行崇天开禧诸法名目又称其较同异差数皆故为张皇之语且影差逐日不同皆以平派求之法亦未密也
　　草曰置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五抄以夏至景九寸一分减之馀九尺九寸一分二十五抄为景差以为实置象度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度为寸得一百二寸五千六百七十一分半为法除实得空寸九千六百六十四分四十杪以自乘之得空寸九千三百四十分为节率先以小暑乘率二十五乘之得二十三寸三千五百分于上次以临安夏至景九寸一分自乘得八十二寸八千一百分为夏至景幂以加上得一百六寸一千六百分为小暑景幂开平方以一寸为隅开之得一尺三分为小暑景又以大暑乘率一百九乘节率九千三百四十分得一百一寸八千六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂以为实一寸寸为隅开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑景又置立秋乘率二百八十九乘节率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分共得三百五十二寸七千三百六十为立秋幂以为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一抄为立秋景乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑后立秋前乃并大暑立秋二景半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景又并大暑景半之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日午中景又并大暑景得数半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景又并五日景一尺四寸八分八十五杪半得数半之得一尺四寸五分六十杪强为大暑后四日景验得阳城夏至景入临安大暑后四日乃以四日景减五日景馀三分二十四杪太弱为差以十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法复除阳城景与本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪得八命外为在初五日寅时景等求较以大衍历晷景所差乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半为大暑后九日午中景复并暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五日暑以较今开禧历当日景一尺四寸八分八十五杪半差少六寸一分二十九杪少合问
　　接集中皆术在前草次之图在后此条之例不同
　　天池测雨
　　问今州郡多有天池盆以测雨水但知以盆中之水为得雨之数不知器形不同则受雨多少亦异未可以所测便为平地得雨之数假今盆口径二尺八寸底径一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨䧏㡬何
　　答曰平地雨䧏三寸
　　术曰盆深乘底径为底率二径差乘水深并底率为靣率以盆深为法除靣率得面径以二率相乘又各自乘三位并之乘水深为实盆深乘口径以自之又三因为法除之得平地水深
　　草曰以盆深及径皆通为寸盆深得一十八寸底径得一十二寸相乘得二百一十六寸为底率置口径二十八寸减底径一十二寸馀一十六寸为差以乘水深九寸得一百四十四寸并底率二百一十六寸得三百六十寸为靣率以盆深一十八寸为法除靣率得二十寸展为二尺为水靣径以底率二百一十六寸乘靣率三百六十寸得七万七千七百六十寸于上以底率二百一十六寸自乘得四万六千六百五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乘得一十二万九千六百并上共得二十五万四千一十六以乘水深九寸得二百二十八万六千一百四十四寸为实以盆深一十八寸乘口径二十八寸得五百四寸自乘得二十五万四千一十六寸又三因得七十六万二千四十八寸为法除实得三寸为平地雨深合问
　　竹器验雪
　　问以圆竹箩验雪箩口径一尺六寸深一尺七寸底径一尺二寸雪䧏其中高一尺箩体通风受雪多则平地少欲知平地雪高㡬何
　　按箩体通风一语与算术不相涉或箩口所降之雪归于箩底与前天池测雨题相同然依上步算平地雪深只七寸馀今其数又不合殆故为是语以误人也
　　答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百
　　六十四
　　术曰口径减底径馀乘雪深半之自乘为隅以箩深幂乘雪深幂并隅又乘雪深幂为实隅实可约约之开连枝三乘方得平地雪厚
　　草曰列问数各通为寸置口径一十六寸减底径一十二寸馀四寸乘雪深一十寸得四十寸以半之得二十寸自乘得四百寸为隅以箩深一十七寸自乘得二百八十九寸为箩深幂次置雪深一十寸自乘得一百寸为雪深幂以乘箩深幂数加隅又乘深幂得二百九十三万寸为实隅实求等得四百俱约之得七千三百二十五为实得一为隅开三乘方步法不可超乃约实置商九寸与隅一相生得九为下廉又与商相生八十一寸为上廉又与商相生得七百二十九为从方乃命上商除实不尽七百六十四已而复以商生隅入二廉至方陆续又生毕以方廉隅共并之得三千四百三十九分寸之七百六十四为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合问
　　按此法之意不可见然以数考之非通法也设原题雪深为一寸以口径底径较四寸乘雪深一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸为隅以箩深一十七寸自之得二百八十九寸为箩深幂雪深一寸自之仍得一寸为雪深幂二深幂相乘仍得二百八十九寸并隅得二百九十三寸再以雪深幂乘之仍得二百九十三寸为实隅实相约得七十四寸二十五百分为实一为隅开三乘方得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五是平地雪反深于箩内矣
　　列问数各通为十口径得一十六寸深一十七寸底径一十二寸箩中雪高一十寸

　　乃以底径减口径馀四寸乘雪深一十寸得四十寸以中得数二十寸自乘得四百寸为隅


　　以箩深一十七寸自乘得二百八十九寸为箩深幂

　　次置雪深一十寸自乘得一百寸为雪深幂

　　以雪深幂一百寸乘箩深幂二百八十九寸得二万八千九百寸并隅四百寸得二万九千三百寸为上



　　置头位数二万九千三百寸又乘雪深幂一百寸得二百九十三万寸为实开三乘方



　　以隅实求等得四百俱为约之得七千三百二十五为实一为隅开之


　　步法不可超乃约实置商九寸与隅相生得九为下廉


　　下廉九又与商九相生得八十一为上廉


　　上廉又与商相生得七百二十九为从方


　　乃以从方七百二十九命上商九除实七千三百二十五讫实馀七百六十四既而后以商生隅入下廉


　　下廉得一十八又与啇九相生入上廉

　　上廉得二百四十三又与商相生入方得二千九百一十六


　　又以商九生隅一入下廉一十八内得二十七



　　又以商九生下廉二十七入上廉二百四十三内得四百八十六又以商生隅入下廉二十七内得三十六为求图乃以末圆方廉隅四者并之得三千四百三十九为母以实馀七百六十四为子


　　命为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合问
　　圆罂测雨
　　问以圆罂接雨口径一尺五寸腹径二尺四寸底径八寸深一尺六寸并里明接得雨水深一尺二寸圆法用密率问平地雨水深㡬何
　　按此题问平地雨深无关圆法密率句赘若求罂中雨积数则当加此语
　　答曰平地雨深一尺八寸七万四千八十八分寸
　　之六万四千四百八十三
　　按答数误改正见后
　　术曰底径与腹径相乘又各自乘并之乘半罂深以一十一乘之为下率以四十二为下法除得下积以半罂深并雨深减元罂深馀为上深以口径减腹径馀乘上深为次以半罂深乘口径加次为靣率以半深除靣率得水靣径以半深乘腹径为腹率置靣率与腹率相乘又各自乘并之以一十一乘之为上率以半深自乘为幂以乘下法为上法上法除上率得上积半深幂乘下率并上率为总实口径幂乘上法为总法除实得平地雨高
　　草曰置底径八寸与腹径二十四寸相乘得一百九十二寸于上又底径八寸自乘得六十四寸加上又腹径二十四寸自乘得五百七十六寸并上共得八百三十二寸以乘半罂深八寸得六千六百五十六寸又以一十一乘之得七万三千二百一十六寸为下率〈按此下法不合皆为题中图法句所误〉置密率法一十四以所并三因之得四十二为下法以半深八寸并雨深一十二寸得二十寸以减元深一十六寸馀四寸为上深以口径一十寸五分减腹径二十四寸馀一十三寸五分以乘上深四寸得五十四寸为次以半罂深八寸乘口径一十寸五分得八十四寸加次共得一百三十八寸为靣率以半深八寸乘腹径二十四寸得一百九十二寸为腹率置靣率一百三十八寸与腹率一百九十二寸相乘得二万六千四百九十六寸于上又以靣率一百三十八寸自乘得一万九十四十四加上又以腹率一百九十二寸自乘得三万六千八百六十四并上共得八万二千四百四寸〈按此条内落以上高四寸乘之一层〉以一十一乘之得九十万六千四百四十四寸为上率以半深八寸自乘得六十四寸为半深幂以乘下法四十二得二千六百八十八为上法以半深幂六十四寸乘下率七万三千二百一十六寸得四百六十八万五千八百二十四寸并上率九十万六千四百四十四共得五百五十九万二千二百六十八寸为总实以口径一十寸五分自乘得一百一十寸二分五厘以乘上法二千六百八十八寸得二十九万六千三百五十二寸为总法除实得一尺八寸不尽二十五万七千九百三十二与法求等得四俱约之为一尺八寸七万四千八十八分寸之六万四千四百八十三为平地雨深合问
　　按此法有二误法实皆当用圆幂或皆用方幂今以圆幂率乘实方幂率乘法法实不同类一误也罂内雨自腹径截之为雨圆䑓体下高八寸上高四寸于下体并三幂以高乘之于上体只并三幂未以高乘之二误也有此二误故得平地雨深少三十五分之十七今依本法改正于后
　　法以腹径底径相乘又各自乘并三积以半罂深八寸乘之得六千六百五十六寸为三倍方罂内腹下雨积又以口径腹径相减馀一十三寸五分以雨深减罂深馀四寸相乘以半罂深除之得六寸七分五厘与口径相加得一十七寸二分五厘为雨靣径与腹径相乘又各自乘并三积以雨上深四寸乘之得五千一百五十寸二五为方罂内三倍腹上雨积并二雨积得一万一千八百零六寸二五为方罂内三倍共雨积为实口径自乘三因得三百三十寸七五为法除实得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十为平地雨深若不先用除则以口径腹径较与罂深雨深较相乘之五十四寸为雨靣径口径较加一半罂乘之数〈应以半罂除之得雨径较今不除即如雨径较以半罂乘之〉即为雨靣径口径较此数既加一半罂乘则诸数皆以半罂乘之得口径八十四寸腹径一百九十二寸以口径与雨靣径口径较相加得雨靣径一百三十八寸与腹径相乘又各自乘并三幂以腹上雨深四寸乘之得三十二万九千六百一十六寸为三倍上雨积又以半罂深幂乘前三倍下雨积得四十二万五千九百八十四寸为三倍下雨积并二积得七十五万五千六百寸为三倍共雨积为实以半罂深幂乘三因口径幂得二万一千一百六十八寸为法除之得数亦同
　　峻积验雪
　　问验雪占年墙高一丈二尺倚木去址五尺梢与墙齐木身积雪厚四寸峻积薄平积厚欲知平地雪厚㡬何
　　答曰平地雪厚一尺四分
　　术曰以少广求之连枝入之以去址自乘为隅以墙高自乘并隅于上以雪厚自之乘上为实〈可约者约而开之〉开连枝平方得地雪厚
　　草曰以问数皆通为寸置去址五十寸自乘得二千五百为隅以墙高一百二十寸自乘得一万四千四百寸并隅得一万六千九百寸于上以雪厚四寸自之得一十六乘上得二十七万四百寸为实开连枝平方今隅实可求等得一百俱约之得二千七百四为实得二十五为隅开平方得一十寸四分展为一尺四分为平地雪厚合问
　　按此术理法皆确然实用勾股不曰勾股而曰少广曰连枝者犹有所闭匿而不肯尽发也试以图明之甲乙为墙上雪厚即平地雪厚乙丙为木上雪厚甲乙丙勾股形与木倚墙所成勾股形同式墙高为大股木为大弦木去址为大
　　勾甲乙为小弦甲丙为小
　　股乙丙为小勾以墙高大
　　股自乘木去址大勾自乘
　　并之为大弦幂为实以木
　　上雪厚乙丙小勾幂乘之以木去址大勾幂除之得甲乙小弦幂开平方即为平地雪厚也









　　数学九章卷二下