数度衍 (四库全书本)/卷14

数度衍　卷十四

　　钦定四库全书
　　数度衍卷十四
　　桐城　方中通撰
　　开三乘方〈少广之十一〉
　　开三乘方法
　　式积二千○一十五万一千一百二十一问三乘方一面几何曰六十七术列实从末位作点隔三位一点每一点为一商也初商六十自乘得三千六百再乘得二十一万六千为隅法乘初商得一千二百九十六万减实馀实七百一十九万一千一百二十一以四乘隅法得八十六万四千为方法另以初商自乘得三千六百以六乘之得二万一千六百为上廉又将初商以四乘之得二百四十为下廉次商七自乘得四十九以七乘之
　　得三百四十三为隅法另以次商乘上廉得十五万一千二百以七乘下廉得一千六百八十再以七乘之得一万一千七百六十乃并八十六万四千〈方法〉一十五万一千二百〈丄廉乘数〉一万一千七百六十〈下廉乘数〉三百四十三〈隅法〉共一百○二万七千三百○三为下法乘次商得七百一十九万一千一百二十一减实尽得方六十七又术列实平方开之四位商得一面四千四百八十九又以此数为实平方开之得一面六十七亦合
　　通曰式内所云以七乘之非次商七也与以四乘以六乘同为应用之率次商七盖偶合耳
　　通曰三乘方形虽系长立方然亦大平方也今以小平方边甲乙自乘得甲丁小平方形再乘得丙戊长方形此形内容甲丁
　　形者十也三乘得丙己大平方形此形内容甲丁形者百也丙申边与甲丁形幂等故甲乙自乘得小平方丙甲自乘得大平方
　　三乘方带纵诸变
　　一带纵方廉开三乘法
　　式积一百○五亿七千六百○六万五千六百纵方四百七十三万○六百四十纵一廉五十一万一千九百○七纵二廉一千四百○六问方几何曰一百二十术列实初商一百以乘纵一廉得五千一百一十九万○
　　七百初商自乘得一万以乘纵二
　　廉得一千四百○六万初商自乘
　　再乘得一百万为隅法乃并纵一
　　廉乘数纵二廉乘数隅法及纵方
　　共七千○九十八万一千三百四
　　十为下法乘初商得七十亿○九
　　千八百一十三万四千减实馀实
　　三十四亿七千七百九十三万一千六百以二乘纵一廉乘数得一亿○二百三十八万一千四百以三乘纵二廉乘数得四千二百一十八万以四乘隅法得四百万并三数共得一亿四千八百五十六万一千四百为方法以初商自乘得一万以六乘之得六万又以初商三之得三百乘纵二廉得四十二万一千八百并六万及纵一廉得九十九万三千七百○七为上廉初商四之得四百并纵二廉得一千八百○六为下廉次商二十以乘上廉得一千九百八十七万四千一百四十以次商自乘得四百乘下廉得七十二万二千四百又以次商自乘再乘得八千为隅法乃并方法上廉乘数下廉乘数隅法及纵方共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法乘次商得三十四亿七千七百九十三万一千六百减实尽得方一百二十
　　二带纵廉益积开三乘方法
　　式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十益廉八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百以乘益廉得八十六万四千并纵方得一百五十一万六千三百二十为益积之法乘初商得一亿五千一百六十三万二千为益实加入原积共一
　　亿五千六百二十九万七千六百
　　为通实乃以初商自乘再乘得一
　　百万为隅法乘初商得一亿减实
　　馀五千六百二十九万七千六百
　　为次商之实以二乘益廉乘数得
　　一百七十二万八千以四乘隅法
　　得四百万为方法以初商自乘得一万再以六乘之得六万为上廉以初商四之得四百为下廉次商二十以乘益廉得十七万二千八百加入倍廉〈即二乘益廉数〉共一百九十万○八百又并纵方共二百二十五万三千一百二十为益积之法乘次商得五千一百○六万二千四百为益实加入次实共一亿○七百三十六万为通实乃以次商乘上廉得一百二十万又以次商自乘得四百以乘下廉得十六万又以次商自乘再乘得八千为隅法乃并方法上廉乘数下廉乘数隅法共五百三十六万八千为下法乘次商得一亿○七百三十六万减实尽得方一百二十
　　三带纵方廉减隅翻法开三乘方法
　　式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十纵廉八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵廉得八十六万四千初商自乘再乘得一百万为隅法并纵廉乘数纵方共一百五十一万六千三百二十以减隅法而
　　隅法止一百万不足减反减并数一百万馀五十一万六千三百二十为负积乘初商得五千一百六十三万二千加入原积共五千六百二十九万七千六百为次商之实倍纵廉乘数得一百七十二万八千以四乘隅法得四百万为方法以初商自乘得一万再以六乘之得六万为上廉以初商四之得四百为下廉次商二十以乘纵廉得十七万二千八百并入倍廉共一百九十万○八百以次商乘上廉得一百二十万又以次商自乘得四百乘下廉得十六万又以次商自乘再乘得八千为隅法乃并方法上廉乘数下廉乘数隅法共五百三十六万八千为通隅以纵廉共数一百九十万○八百并纵方得二百五十五万三千一百二十以减通隅馀二百八十一万四千八百八十为下法乘次商得五千六百二十九万七千六百减实尽得方一百二十通曰减法而后益实益实而后减法其馀实一也但开方诸法惟此初商益实次商减实耳
　　四廉隅减纵开三乘方法
　　式实八十五亿五千二百五十五万○四百纵方五千三百四十五万三千四百四十纵一廉十八万四千九百六十纵二廉五百七十八隅算二问方几何曰一百三十六术列实初商一百乘纵一廉得一千八百四十
　　九万六千为益纵初商自乘
　　得一万乘纵二廉得五百七
　　十八万为益隅初商自乘再
　　乘以隅算二乘之得二百万
　　加益隅共七百七十八万为
　　减纵以减纵方馀四千五百
　　六十七万三千四百四十加
　　益纵共六千四百一十六万九千四百四十为下法乘初商得六十四亿一千六百九十四万四千减实馀二十一亿三千五百六十万○六千四百为次商之实以二乘益纵得三千六百九十九万二千为益纵方以三乘益隅得一千七百三十四万为益隅之方以三乘初商得三百再乘纵二廉得十七万三千四百为益隅之廉以四乘隅法二百万得八百万为方法以初商自乘得一万再以六乘之得六万又以隅算二乘之得十二万为上廉以初商四之得四百又以隅算二乘之得八百为下廉次商三十以乘纵一廉得五百五十四万八千八百并入益纵方共四千二百五十四万○八百为益纵之廉以次商乘益隅之廉得五百二十万○二千又以次商自乘得九百乘纵二廉得五十二万○二百为益隅之隅乃并益隅之方益隅之廉乘数益隅之隅共二千三百○六万二千二百为次商益隅以次商乘上廉得三百六十万以次商自乘得九百乘下廉得七十二万以次商自乘再乘得二万七千再以隅算二乘之得五万四千为正隅乃并方法上廉乘数下廉乘数正隅共一千二百三十七万四千为次商隅法加次商益隅共三千五百四十三万六千二百为减纵以减纵方馀一千八百○一万七千二百四十加益纵之廉共六千○五十五万八千○四十为下法乘次商得十八亿一千六百七十四万一千二百减实馀三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实以二乘五百五十四万八千八百〈次商乘纵一廉之数〉得一千一百○九万七千六百并入益纵方共四千八百○八万九千六百为再益纵方以二乘益隅之廉乘数得一千○四十万○四千以三乘益隅之隅得一百五十六万○六百并此二乘数得一千一百九十六万四千六百再并前益隅之方共二千九百三十万○四千六百为再益隅之方并初次两商得一百三十以三乘之得三百九十以乘纵二廉得二十二万五千四百二十为再益隅之廉以二乘上廉乘数得七百二十万以三乘下廉乘数得二百一十六万以四乘正隅得二十一万六千并此三乘数得九百五十七万六千再并前方法共一千七百五十七万六千为再方法并初次两商得一百三十自乘得一万六千九百以六乘之得十万○一千四百以隅算二乘之得二十万○二千八百为再上廉以初次两商四之得五百二十以隅算二乘之得一千○四十为再下廉三商六以乘纵一廉得一百一十万○九千七百六十并入再益纵方共四千九百一十九万九千三百六十为再益纵之廉以三商乘再益隅之廉得一百三十五万二千五百二十以三商自乘得三十六以乘纵二廉得二万○八百○八为再益隅之隅乃并再益隅之方再益隅之廉乘数再益隅之隅共三千○六十七万七千九百二十八为三商益隅以三商乘再上廉得一百二十一万六千八百以三商自乘得三十六乘再下廉得三万七千四百四十以三商自乘再乘得二百一十六再以隅算二乘之得四百三十二为再正隅乃并再方法再上廉乘数再下廉乘数再正隅共一千八百八十三万○六百七十二为三商隅法加三商益隅共四千九百五十万○八千六百为减纵以减纵方馀三百九十四万四千八百四十加再益纵之廉共五千三百一十四万四千二百为下法乘三商得三亿一千八百八十六万五千二百减实尽得方一百二十
　　五带纵负隅以二廉隅益积开三乘方法
　　式实三百亿○六千七百五十六万纵方一亿○二十二万五千二百纵一廉三十四万六千八百纵二廉五
　　百七十八隅算二问方几
　　何曰二百五十五术列实
　　初商二百乘纵一廉得六
　　千九百三十六万为益纵
　　初商自乘得四万以乘纵
　　二廉得二千三百一十二
　　万为益隅初商自乘再乘
　　得八百万以隅算二乘之得一千六百万为正隅并入益隅共三千九百一十二万又以初商乘之得七十八亿二千四百万为益实加入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以益纵加入纵方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法乘初商得三百三十九亿一千七百○四万减实馀三十九亿七千四百五十二万为次商之实以二乘益纵得一亿三千八百七十二万为益纵方以三乘益隅得六千九百三十六万为益隅之方以三乘初商得六百乘纵二廉得三十四万六千八百为益隅之廉以四乘正隅得六千四百万为方法以初商自乘得四万又以六乘之得二十四万又以隅算二乘之得四十八万为上廉以初商四之得八百以隅算二乘之得一千六百为下廉次商五十以乘纵一廉得一千七百三十四万为益纵廉并入益纵方共一亿五千六百○六万为益纵以次商乘益隅之廉得一千七百三十四万以次商自乘得二千五百乘纵二廉得一百四十四万五千为益隅之隅乃并益隅之方益隅之廉乘数益隅之隅共八千八百一十四万五千为益隅以次商乘上廉得二千四百万以次商自乘得二千五百乘下廉得四百万以次商自乘再乘得十二万五千以隅算二乘之得二十五万为隅法乃并方法上下廉各乘数隅法共九千二百二十五万为正隅加益隅共一亿八千○三十九万五千以次商乘之得九十亿○一千九百七十五万为益实加入馀实共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以益纵方一亿五千六百○六万并纵方得二亿五千六百二十八万五千二百为下法乘次商得一百二十八亿一千四百二十六万减实馀一亿八千○一万为三商之实以二乘益纵廉得三千四百六十八万并入益纵方得一亿七千三百四十万为再益纵方以二乘益隅之廉乘数得三千四百六十八万以三乘益隅之隅得四百三十三万五千以前益隅之方合此二数共一亿○八百三十七万五千为再益隅方并初次两商得二百五十而三之得七百五十乘纵二廉得四十三万三千五百为再益隅之廉以二乘上廉乘数得四千八百万以三乘下廉乘数得一千二百万以四乘隅法得一百万并此三数及前方法共一亿二千五百万为方法并初次两商自乘得六万二千五百而六之得三十七万五千又以隅算二乘之得七十五万为上廉并初次两商而四之得一千以隅算二乘之得二千为下廉三商五以乘纵一廉得一百七十三万四千为再益纵廉并再益纵方得一亿七千五百一十三万四千为益纵方以三商乘再益隅之廉得二百一十六万七千五百以三商自乘得二十五乘纵二廉得一万四千四百五十为再益隅之隅乃并再益隅方再益隅廉乘数再益隅之隅共一亿一千○五十五万六千九百五十为益隅以三商乘上廉得三百七十五万以三商自乘得二十五乘下廉得五万以三商自乘再乘得一百二十五以隅算二乘之得二百五十为隅法乃并本叚方法上下廉乘数隅法共一亿二千八百八十万○二百五十为正隅加本叚益隅共二亿三千九百三十五万七千二百以三商乘之得十一亿九千六百七十八万六千为益实加入馀实得十三亿七千六百七十九万六千为通实以本叚益纵方并纵方得二亿七千五百三十五万九千二百为下法乘三商得十三亿七千六百七十九万六千减实尽得方二百五十五
　　通曰此以纵一廉益纵纵二廉益隅也
　　六带纵负隅以二廉减纵开三乘方法
　　式实五十亿○一千三百五十万○四千纵方四千七百万○一千六百纵一廉四千四百八十纵二廉六百四十隅算二问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵一廉得四十四万八千为益纵之法初商自乘得一万乘纵二廉得六百四十万为减纵之法初商自乘再乘得一百万乘隅算得二百万为隅法以减纵之法减纵方馀四千○六十万○一千六百加益纵之法得四千一百○四万九千六百并隅法共四千三百○四万九千六百为下法乘初商得四十三亿○四百九十六万减实馀七亿○八百五十四万四千为次商之实以二乘益纵之法得八十九万六千为益纵之廉以三乘减纵之法得一千九百二十万为减纵之方
　　以三乘初商得三百乘纵二廉得十九万二千为减纵之廉以四乘隅法得八百万为方法以初商自乘得一万而六之得六万又乘隅算得十二万为上廉以初商四之得四百乘隅算得八百为下廉次商二十以乘纵一廉得八万九千六百并益纵之廉得九十八万五千六百为益纵之法以次商乘减纵之廉得三百八十四万以次商自乘得四百乘纵二廉得二十五万六千以并减纵之方减纵之廉乘数共二千三百二十九万六千为减纵之法以次商乘上廉得二百四十万以次商自乘得四百乘下廉得三十二万以次商自乘再乘得八千乘隅算得一万六千并方法上下廉乘数共一千○七十三万六千为隅法以本叚减纵之法减纵方馀二千三百七十万○五千六百加本叚益纵之法得二千四百六十九万一千二百并本叚隅法共三千五百四十二万七千二百为下法乘次商得七亿○八百五十四万四千减实尽得方一百二十
　　通曰如以减纵之法减纵方而纵方数少不足减则以益纵之法并纵方然后减之以其馀数并隅法不更加益纵之法矣
　　七带纵方廉以二廉减纵开三乘方法
　　式实一十九亿五千五百一十一万九千六百八十纵方二千二百四十七万二千六百四十纵一廉一十万○六千九百二十九纵二廉六百五十四问方几何曰七十二术列实初商七十乘纵一廉得七百四十八万五千○三十为益纵之实初商自乘得四千九百乘纵二廉得三百二十万○四千六百为减纵初商
　　自乘再乘得三十四万三千为隅法以减纵减纵方馀一千九百二十六万八千○四十加益纵之实得二千六百七十五万三千○七十并隅法共二千七百○九万六千○七十为下法乘初商得一十八亿九千六百七十二万四千九百减实馀五千八百三十九万四千七百八十为次商之实以二乘益纵之实得一千四百九十七万○六十为益纵之廉以三乘减纵得九百六十一万三千八百为减纵之方以三乘初商得二百一十乘纵二廉得十三万七千三百四十为起下减廉以四乘隅法得一百三十七万二千为方法以初商自乘得四千九百而六之得二万九千四百为上廉以初商四之得二百八十为下廉次商二以乘纵一廉得二十一万三千八百五十八并益纵之廉得一千五百一十八万三千九百一十八为益纵之实以次商乘起下减廉得二十七万四千六百八十为减纵之廉以次商自乘得四乘纵二廉得二千六百一十六以并减纵之方减纵之廉共九百八十九万一千○九十六为减纵之实以次商乘上廉得五万八千八百以次商自乘得四乘下廉得一千一百二十以次商自乘再乘得八为正隅以并方法上下廉乘数共一百四十三万一千九百二十八为隅法以本叚减纵之实减纵方馀一千二百五十八万一千五百四十四加本叚益纵之实共二千七百七十六万五千四百六十二并本叚隅法共二千九百一十九万七千三百九十为下法乘次商得五千八百三十九万四千七百八十减实尽得方七十二广诸乘方〈少广之十二〉
　　开诸乘方说
　　凡积数若千以平面开之适得自乘之数者为开平方其立方乃开平再乘积也三乘方长立方也〈如以二自乘起者得两立方以三自乘起者得三立方之类但以平方一边之数为凖〉四乘方平靣立方也〈如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方〉五乘方大立方也〈如系二自乘起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乘起者有二十五立方则进并一百二十五立方之类〉自此推之六乘方视三乘形七乘方视四乘形八乘方视五乘形馀乘仿此可至无穷今立捷法由平面至诸乘总一条理先以诸乘原委布图乘母为原乘出之子为开
　　初商寻原图
　　凡开方列位以点分叚者平方每二位点作一叚再乘方每三位一叚三乘方每四位一叚仿此推之至九乘则十位一叚
　　矣皆自尾小数起而先以最大数
　　之首叚捡上图以寻其原即以原
　　数开之
　　如平方开者首数系四十九平
　　行横查知七是原数用七自乘可
　　开若首叚数系六十四者即知八
　　是原数用八自乘可开若系六十
　　三者不及六十四一数仍以七开
　　之如再乘方开者首系二十七查知其原系三即以三自乘再乘开之若首叚系六十四者即知四是原数用四自乘再乘开之若系六十三仍以三开之如三乘方者首系八十一即知三是原数用三自乘再乘三乘开之
　　通曰商还原而如其积积还原而如其商也



　　如四乘方者首叚系一千○二十四即知四是原数如五乘方者首系一万五千六百二十五即知五是原数




　　如六乘方者首叚系二十七万九千九百三十六即知六是原数如七乘方者首叚系五百七十六万四千八百○一即知七是原数虽千万乘方其原皆可得也原数即初商也
　　次商用通率图
　　右图已得首位方法馀实倍方为廉平方者一倍再乘方者再倍三乘方者三倍四乘以上皆以本乘之数仿此倍之别立通率凡平方只一率为二○立方有二率为三○○为三○三乘方有三率为四○○○为六○○为四○〈一○为十両○为百〉自此以上诸乘仿此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乘之以乘出之数较馀实约得几何母之几何而即以其母为廉法也以首行所列之二为平方三为立方四为三乘方至十七则十
　　六乘方也他乘
　　仿此
　　首行之数自一
　　顺列二行之数
　　承首行上格二
　　数积之如首行
　　三格是三二行
　　三格亦是三相
　　并得六故二行
　　之四格为六也
　　又如首行四格
　　是四二行四格
　　是六相并得一
　　十故二行之五
　　格为一○也三
　　行以至九行皆
　　然

　　三乘之四系
　　回用
　　四乘之五五
　　乘之六与一
　　五皆回用
　　六乘回用二
　　位七乘回用
　　三位

　　如前平方一乘者用一率曰二乃加一○为二○与方法相乘立方再乘者用两率曰三曰三乃以右小数加一○为三○左大数加两○为三○○而以三百乘方法其三乘方者用三率曰四曰六止两数则又回用右方之四为一率以补之曰四六四先以末位四加一○为四○次以六加两○为六○○再以首位四加三○为四○○○乃以四千乘方法四乘方者回用首行之五补足四率曰五曰一十曰一十曰五然后加○如右图五乘方者回用首行之六及二行之一十五补足五率也
　　通曰凡补一位者止回用首行之数补二位者则兼用二行之数补三位者则兼用三行之数也其加○之法每一位加一○毋论其数之原有○无○与夫原数之为零为几十几也
　　诸式
　　一乘方式〈即平方〉术实六百七十六万五千二百○一初商二为方法以求廉法立二○为通率列中位列方法于左位以相乘得四十以较馀实之首二七约得六之一〈二二七六作二百七十六是二百七十内有六回四十也〉乃立六为廉法列于右位自乘得三十六为隅法附列乃以廉法六乘四十得二百四十并隅法三十六共二百七十六尽第二叚馀实五二○一并廉入方为二
　　十六列左乘通率二十得五百二十以较馀实得一又以一为廉法列右自乘仍是一为隅法共五二一而实不足减乃作五千二百○一尽第四叚商得二六○一也
　　又式　术若已得廉法而以乘通率反浮馀实或廉法相合而隅法又浮馀实者皆减其廉法以乘之如实二百八十九初商一除实馀实一百八十九次商以方法乘通率得二○以较馀实可用九除实一百八十而隅法八十一则浮原积是九不可用矣减一数用八仍不足除乃用七为廉法乘得一四除实一百四十尚馀四十九足除隅法故商得一十七也
　　再乘方式〈即立方〉术实二十三万八千三百二十八寻原母六自乘再乘得二一六除实馀二万二千三百二十
　　八以六为方法求廉法用二率曰三
　　十曰三百自下而上叠位以方六对
　　三○以方六自乘得三六对三○○
　　各列于左初乘以三六乘三○○得
　　一万○八百以视馀实约得二之一乃立二为廉以对三○○复以廉二自乘得四又以二四相乘得八为隅皆列右以廉二乘一万○八百得二万一千六百再乘以六乘三○得一百八十又以四乘之得七百二十并初乘数及隅八共二万二千三百二十八减实尽商得六十二也
　　又式　术若初商方法只系一数者通率无乘须并诸率除之如实一千三百三十一初商以一为方法除浄首实一千次并中位两通率一除可净即以一为廉法对通率三百廉
　　自乘仍得一对通率三十再乘仍得一为隅附列共并得三百三十一〈两率一隅〉除实尽商得一十一也
　　通曰凡以一为方法者皆可以诸位通率并之以求也三乘方式　术实一千四百七十七万六千三百三十
　　六寻原母六自乘再乘三乘得一
　　二九六除实馀一百八十一万六
　　千三百三十六以六为方法求廉
　　用通率三位曰四十曰六百曰四
　　千方六自乘得三六再乘得二一
　　六自下而上对列初乘以二百一十六乘四千得八十六万四千较馀实约二之一以二为廉自乘得四再乘得八三乘得十六自上而下对列乃以二乘八十六万四千得一百七十二万八千再乘以三十六乘六百得二万一千六百以四乘得八万六千四百三乘以六乘四十得二百四十以八乘得一千九百二十乃并三数及隅十六共合馀实商得六十二
　　四乘方式　术实九亿一千六百一十三万二千八百三十二寻原母六自乘至四乘得七七七六除实馀一亿三千八百五十三万二千八百三十二求廉用四位通率曰五十曰一千曰一万曰五万以方法六自乘得三十六再乘得二百一十六三乘得一千二百九十六自下而上对列初乘以一千二百九十六乘五万得六
　　千四百八十万以较馀实约得
　　二之一以二为廉自乘得四再
　　乘得八三乘得十六自上而下
　　对列又四乘得三十二为隅乃
　　以二乘六千四百八十万得一
　　亿二千九百六十万次乘二百
　　一十六乘一万得二百一十六万以四乘得八百六十四万三乘三十六乘一千得三万六千以八乘得二十八万八千四乘六乘五十得三百以十六乘得四千八百乃并四次乘数及隅共合馀实商六十二
　　五乘方式　术实五百六十八亿○二十三万五千五
　　百八十四寻原母六以其五
　　乘数除实馀一百○一亿四
　　千四百二十三万五千五百
　　八十四求廉用五位通率曰
　　六十曰一千五百曰二万曰
　　一十五万曰六十万以方六
　　自乘再乘三乘四乘自下而
　　上对列初乘左首位乘中首位得四十六亿六千五百六十万以较馀实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘自上而下对列又五乘得六十四为隅乃以右首位乘所得较数得九十三亿三千一百二十万次乘左次位乘中次位又以右次位乘之得七亿七千七百六十万三乘左三位乘中三位又以右三位乘之得三千四百五十六万四乘左四位乘中四位又以右四位乘之得八十六万四千五乘左末位乘中末位又以右末位乘之得一万一千五百二十并五次乘数及隅共合馀实商得六十二
　　六乘方式　术实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八寻原母六以其六乘数除实馀七千二百二十二亿五千四百六十万○六千二百○八求廉用六位通率曰七十曰二千一百曰三万五千曰三十五万曰二百一十万曰七百万以方六自乘再乘三乘四乘五乘自下而上对列初乘左首位乘中首位得三千二百六十五亿九千二百万以较馀实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘五乘自上而下对列又
　　六乘得一百二十八为隅
　　乃以右首位乘所得较数
　　得六千五百三十一亿八
　　千四百万次乘左次位乘
　　中次位又乘右次位得六
　　百五十三亿一千八百四
　　十万三乘左三位乘中三
　　位又乘右三位得三十六
　　亿二千八百八十万四乘左四位乘中四位又乘右四位得一亿二千○九十六万五乘左五位乘中五位又乘右五位得二百四十一万九千二百六乘左六位乘中六位又乘右六位得二十六万八千八百并六次乘数及隅共合馀实商得六十二
　　七乘方式　术实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一寻原母一除实一兆馀实求廉用七位通率曰八十曰二千八百曰五万六千曰七十万曰五百六十万曰二千八百万曰八千万方法一数无乘当并通率诸位以较馀
　　实而惟首次两数同为
　　大数其馀小数不足为
　　多寡且从省只并首次
　　两率开之并得一亿○
　　八百万以较馀实约可
　　用三然自乘之九乘中
　　次位其数浮当减用二
　　为廉自乘再乘三乘四
　　乘五乘六乘自上而下
　　对列又七乘得二百五十六为隅初乘右首位乘中首位得一亿六千万次乘右二位乘中二位得一亿一千二百万三乘右三位乘中三位得四千四百八十万四乘右四位乘中四位得一千一百二十万五乘右五位乘中五位得一百七十九万二千六乘右六位乘中六位得一十七万九千二百七乘右七位乘中末位得一万○三百六十八乃并七次乘数及隅共三亿二千九百九十八万一千六百九十六以除馀实尚馀实二千九百五十一万五千六百○二亿六千三百五十七万
　　二千一百六十一〈乘得三亿从三兆除
　　起〉再商自首至尾以一叚开
　　之乃并廉入方共一十二自
　　乘再乘三乘四乘五乘六乘
　　自下而上对列于左初乘左
　　首位乘中首位得二千八百
　　六十六万五千四百四十六
　　亿四千万以较馀实只可用
　　一以一为廉无乘隅亦是一
　　次乘左次位乘中次位得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乘左三位乘中三位得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乘左四位乘中四位得一百四十五亿一千五百二十万五乘左五位乘中五位得九千六百七十六万八千六乘左六位乘中六位得四十万○三千二百七乘左末位乘中末位得九百六十乃并七次乘数及隅共合馀实商得一百二十一寻原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乘之原若三乘方者以平方开之得数又平方开之即得原矣五乘方者以平方开之得数又立方开之或先开立而后开平即得原矣六乘方者作四乘方开二次即得其原七乘方者作平方开三次即得其原八乘方者作立方开二次即得其原九乘方者先开平而后开四乘或先开四乘而后开平即得其原若十乘方者作四乘方开三次即得其原矣
　　奇零诸乘开方法
　　式　术凡开方诸法以寻原为第一义即奇零中有母数子数俱有原可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乘得九以二自乘得四也如再乘立方〈七二〉之八亦以三之二为原以三自乘再乘得二十七以二自乘再乘得八也又如三乘方所得〈一八〉之〈六一〉亦以三之二为原以三自乘再乘三乘得八十一以二自乘再乘三乘得一十六也有二数并列子母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乘法两母乘得三十六两子乘得一十六是为〈六三〉之〈六一〉其平方之原为九之四以四九三十六四四一十六可用四为纽数者也有以全数带奇零而亦有原可寻者如有全数二又〈七二〉之〈○一〉依化法化得〈七二〉之〈四六〉寻其立方之原为三之四以三再乘为二十七四再乘为六十四归整得一又三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开也寻原之术数之多者约之以至于寡如〈五四〉之〈○二〉约之为九之四其开平方之原即是三之二也如〈一八〉之〈四二〉约之为〈七二〉之八其开立方之原即是三之二也他一有原一无原者如九之六九有原六无原又如〈○二〉之〈一二〉则命分数与得分数俱无原皆不可开矣然数穷则变变则通不可开者又立法以开之如无原有数之最相近者可借以为原即以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥密其原亦弥近也弥近之数或稍多于所求或稍约于所求而皆可以为原者也如以五数为开平方是为无原而任借〈○一〉为之原以一十自乘得一百以五乘得　虽〈○一〉不为　之原乃其原之最近者有两数其一为　以〈二二〉为原〈二十二自乘得四百八十四也〉此近而朒者其一为　以〈三二〉为原〈二十三自乘得五百二十九也〉此近而盈者何也试以所借〈○一〉为命分之母以〈二二〉为得分之子以〈○一〉之〈二二〉自乘〈此系整二又带零一十之二〉所得　之内除四百为四整数馀〈四八〉为　之〈四八〉夫以四零　之
　　〈四八〉视二零〈○一〉之二犹五百与二十二之比例也试以所借〈○一〉为母以〈三二〉为子以〈○一〉之〈三二〉自乘〈此系整二又零一十之三〉得之　内除五百为五整数馀〈九二〉为　之〈九二〉夫以五零之〈九二〉视二零〈○一〉之三犹五百与二十三之比例也故五可以借一十也如以九数为开立方亦为无原而任借〈○一〉为　之原以九乘得　虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为　以〈○二〉为原此近而朒者一为以〈一二〉为原此近而盈者何也试以〈○一〉为母〈○一〉之〈○二〉系
　　整二数自乘再乘即得〈○一〉之八试以〈○一〉为母〈○一〉之〈一二〉系整二数零一十之一自乘再乘即得九零　之　也〈母一十自乘再乘得一千子整二化二十并入一为二十一自乘再乘得九千二百六十一以九千归整得整九馀为一千之二百六十一也〉故〈○一〉可以为九借也如以〈○四〉数为四乘方亦为无原任借〈○一〉自乘至四乘得一十万以一十乘之得四百万用前法推衍其原之近者一为〈○二〉一为〈一二〉何也以〈○一〉为〈○二〉之母则〈○一〉之〈○二〉系整二数自乘至四乘为〈○一〉之〈二三〉以视〈○四〉近而朒以〈○一〉为〈一二〉之母则〈○一〉之〈一二〉系整二数零一十之一自乘再乘〈化整数并子法如前母四乘得一十万子自乘再乘得九千二百六十一〉三乘四乘得整四十数零一十万之八万四千二百○一〈二十一以三乘得一十九万四千四百八十一以四乘得四百○八万四千二百○一内以四百万还原得整四十数其零为八四二○一也〉以视〈○四〉近而盈故〈○一〉可以为四十借也









　　数度衍卷十四