新法算书 (四库全书本)/卷011

新法算书　卷十一

　　钦定四库全书
　　新法筭书卷十一　　　　　　明　徐光启等　撰测天约说卷上
　　首篇
　　度数之学凡有七种共相连缀初为二本曰数曰度数者论物几何众其用之则筭法也度者论物几何大其用之则测法量法也〈测法与量法不异但近小之物寻尺可度者谓之量法远而山岳又远而天象非寻尺可度以仪象测知之谓之测法其量法如筭家之专术其测法如算家之缀术也〉既有二本因生三干一曰视人目所见一曰听人耳所闻一曰轻重人手所揣耳所闻者因生乐器乐音手所揣者因生举运之器举运之法惟目视一𠏉又生二枝一曰测天一曰测地七者在西土庠士俱有专书今翻译未广仅有几何原本一种或多未见未习然欲略举测天之理与法而不言此理此法即说者无所措其辞听者无所施其悟矣七者之中音乐与轻重别为二家故兹所陈特举其四曰数曰测量曰视曰测地四学之中又每举其一二为卷中所必需其馀未及缕悉者俟他日续成之也为他篇所共赖故列于篇次之外曰首篇欲知他篇须知此篇故又名须知篇
　　数学一题
　　比例者以两数相比论其几何
　　比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二数相等以此较彼无馀分名曰等比例也若二数不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四与二相比四之中凡为二者二是为以大即命曰二倍大之比例也如以二与四相比倍其身乃得为四是为以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也
　　测量学十八题
　　第一题至十四题论测量之理
　　第十五题至第十八题论测量之法
　　几何原本书中论线论面论体今第一至第五论线也第六至十四论体也此书中不及面故不论面几何原本中多言直线圜线其理易明今不及论论其稍异者五题前二题言独线后三题言两线
　　第一题〈独线一〉
　　长圆形者一线作圏而首至尾之径大于腰间径亦名曰瘦圈界亦名撱圏
　　如甲乙丙丁圏形甲丙与乙丁两径等即成圏今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径是名长圆或问此形何从生荅曰如一长圆柱横断之其㫁处为两面皆圆形若㫁处稍斜其两面必稍长愈斜愈长或
　　称卵形亦近似然卵两
　　端大小不等非其类也
　　〈指其面曰平长圆若成体曰立长圆〉
　　第二题〈独线三〉
　　蛇蟠线者于平面上作一线自内至外恒平行恒为圏线而不遇不尽如上图自甲至乙者是
　　旋风线者于平圆柱上作一线亦如蛇蟠但蜿蜓腾凌而
　　上如旋风也
　　如上图自甲至乙者是
　　螺旋线者于球上从腰至顶作一线如蛇蟠而渐高如旋
　　风而渐小
　　如上图自甲至乙者是
　　此书独用螺旋线欲解其形势故备言之
　　第三题〈下三题言二线者或直或不直或相遇或相离〉
　　二线相遇者有三但相遇而止名曰至线因至线在所至线之上故又曰在上其割截而过者名曰交线亦曰割线亦曰截线其至而不过又不止者名曰切线其至线而有所分截者亦称割线或曰截线或曰分线
　　如上图甲乙线与丙乙丁线丙乙丁
　　圈相遇至乙而止则甲乙为至线又
　　曰丙乙丁上线
　　如上图甲乙线截丙丁于戊己庚
　　线截辛壬癸圏于辛子丑寅圏截
　　丑卯寅圏于丑于寅皆名交线
　　又如上图甲乙线遇丙丁圏于
　　丙戊己庚圏遇戊辛壬圈于戊
　　皆名切线
　　如上图甲丙线分甲乙丙圈者曰分圈线亦曰割圏线亦曰截圏
　　第四题
　　两线不相遇而相离之度恒等名曰距等线〈或称平行线侣线俱通用〉
　　如上三图甲至己乙至戊丙至丁
　　其相离之度俱等
　　第五题
　　两线相遇即作角
　　本是一面为两线所限限以内即成角也
　　如上图甲乙与乙丙两线相遇于乙即包一甲乙丙角〈第二字即所指角〉
　　其球上两圏线相交亦作角如上图甲丙乙丁两线交而相分于戊即成甲戊丁丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也
　　第六题
　　自此至第十四题皆论体诸体中球为第一此书所用独有球体故未他及〈凡物之圆者皆名球诸题中名义凡立圆物皆有之非独天也〉第六至第八言球内之理第九至十四言球外之理
　　球之内有心心者从此引出线至球面俱相等
　　如上图甲乙丙球丁为心从丁引出线至甲至乙至丙各等即作百千万线皆等

　　第七题〈球内〉
　　径者一直线过球心两端各至面半径者从心至面如上图甲乙球丙为心一直线过丙两端至甲至乙即甲乙为径线其丙乙丙甲皆为半径线
　　第八题〈球内〉
　　球不离于本所而能旋转则其一径之不动者名为轴轴之两端名为两极也凡一球止有一心凡球之转止有
　　一轴其径甚多无数可尽
　　如上图甲乙丙丁球戊为心乙丁过心此球从甲向丙丙又向甲旋转而不离其处
　　则乙戊丁直线为不动之处是名轴也乙与丁则为两极球心若离于戊点如己则从心所出两半径线如庚己己辛必不等故曰止有此心凡轴皆利转若有二轴二俱转即相碍一不转即非轴故曰止有一轴从心出直线茍至面皆径也故曰无数
　　第九题〈球外〉
　　球之面可作多圏圏有大有小大圏者其心即球心若从圏剖球为二则其圏之径过球心也各大圏从圏面作垂线各有其本圏之轴与其两极
　　如图甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圏其垂线乙丁即乙丁为本圈之轴乙丁两点即其两极故大圏在两极间离两极俱等
　　第十题〈球外〉
　　小圏者不分球为两平分不与球同心其去两极一近一远愈近所向极愈小愈近心愈大
　　如上图甲乙为大圏丙丁戊己庚皆小圈也故一大圏之上之下可作无数小圏众小圈之间止可作一大圏
　　第十一题〈球外〉
　　圏不论大小其分之有三等
　　三等者一曰大分一曰小分一曰细分如两平分之为半圏四平分之为象限此大分也每象限分为九十度此小分也每度又析为百分每分为百秒递析为百至纎而止西历则每度析为六十分每分为六十秒递析为六十至十位而止此细分也
　　第十二题〈球外〉
　　两大圈交而相分为角欲测其角之大从交数两弧各九十度而遇过极之圏两弧所容过极圏之弧度分即命为本角之度分
　　如上图戊丁乙为过极圏有甲乙丙甲丁丙两大圏交而相分于甲于丙问丁甲乙角为几何度分之角法从甲交数各九十
　　度而遇过极之戊丁乙圈为甲丁甲乙此两弧间所容过极圏之分为丁乙弧如丁乙六十度即命丁甲乙角为六十度角
　　第十三题〈球外〉
　　凡大圏俱相等两大圏交而相分其所分之圏分两俱相等
　　凡大圈必于本球之腰腰者最大之线也凡最大之线止有一不得有二故辰转作无数大圈俱相等圈既相等则以大圏分大圏其两交线必在球之腰此交至彼交必居球之半故无数大圏各相分所分之两圏分各相等有不等者即小圏也
　　第十四题〈球外〉
　　大圈俱相等故所分之度分秒各所容皆相等小圏各不相等故度分秒之名数等其所容各不等
　　如上图甲乙己为大圈丙丁戊为小圈大圈既相等即多作大圈皆与甲乙己圈等而各圏之甲至乙其度皆等若丙丁戊小
　　圏既与甲乙己大圏不等则甲至乙与丙至丁同名为若干度而所容之广狭不等
　　第十五题〈以下四题言测量之法〉
　　长方面其中任设一点欲定其所在为何度分作经纬度求之法曰先平分其长为若干度分名经线次平分其广为若干度分名纬线经与纬每度分之小大俱等次视经纬之线其过点各若干度分即命为点所在之度分
　　如上图甲乙丙丁长方形欲知戊点所在先从乙向丙作距等经线次从乙向甲作距等纬线次视戊点在经纬线之交为是
　　何度即命曰在经度之四纬度之八也〈乙至丙丙点得命为第六乙点不得命为第一而命为初历家言算外者俱准此〉
　　第十六题
　　其在球也亦如之球之中任设一点欲定其所在为何度分亦先作球之经度
　　法曰先于两极之间作一大圈为腰圏平分腰圏为三百六十度从各度各作一过极大圏即半圈平分为一百八十度是为腰圏上之经度
　　如上图甲乙丙丁球乙丁为两极于其
　　间作甲戊丙己腰圈从戊向丙丙向己
　　各作过极大圏即乙庚丁乙辛丁等线
　　皆腰圏上之经度
　　第十七题
　　次作球之纬度即定所设点在何度分
　　腰圏之两旁有两极从腰圏向极分为九十度每度各作一距等小圏渐远腰渐小至极而为一点即第九十小圏也次视经纬两线之交命所设点在何度分如图甲乙丙丁球上依前题既作甲庚丙甲辛丙各经线次于乙戊丁腰圏上向甲极分为九十度每度各作一距等小圏如壬子癸丑之𩔗皆纬圈也次视经纬各遇点之交从腰
　　圈线考其经度从过极线考其纬度即命所设己点在从戊向丁之第四经圏从戊向甲之第三纬圏凡言度者各有二义其一一度之广能包一度之地是其容也其一自此度至彼度各以一点为界是其限也腰圏度之容以各过极度之线限之过极度之容以各距等线限之
　　凡圏互相为经亦互相为纬如以过极为经则距等为纬若以距等为经则过极为纬如几何原本之论线互相为直线互相为垂线也
　　第十八题
　　论纬圏以大圏为宗
　　过极经圏皆大圏也皆等距等线限之诸度分之容亦等距等纬圏皆小圏也各不等过极圏限之诸度分之容愈近极愈狭至极而尽矣故纬度之容等于经度者独有腰圏一线独有初度初分初秒之一率过此以上无不狭也故当以大圏为宗大圏左右诸纬圏之上凡言经度之容者皆从此推减之圏愈小度愈狭即差愈多也
　　视学一题
　　凡物必有影影有等大小有尽不尽


　　不透光之物体前对光体后必有影焉若光体大于物体其影渐远渐杀锐极而尽若光体小于物体其影渐远渐大以至无穷若光物相等其影亦相等亦无穷
　　测地学四题
　　第一题
　　地为圆体与海合为一球
　　何以征之凡人任于一处向北行二日半则北方之星在子午线上者必高一度次后二日半复高一度恒如是为相等之差向南行亦如之知从南至北为圆体也
　　如上图甲为北星
　　丁为南星乙辛丙
　　圏为地球人在乙
　　则见甲正在其顶

　　至戊则少一度矣从戊至己与乙至戊道里等又少一度矣迨至辛则不见甲至壬则反见丁安得非圆体乎若云地为平体则见星当如癸从丑向寅至辰宜常见不隐又丑至寅寅至卯若见子之高下所差等则道里宜不等〈别有算数〉安得有时不见又恒为相等之差也若人东行渐远则诸星出地者渐先见西行渐远渐后见故东西人见日月食迟速先后各异是知东西必圆体也
　　第二题
　　地在大圜天之最中
　　何以征之人任于所在见天星半恒在上半恒在下故知地在最中也
　　如上图丙为地东见甲西见乙甲乙以上恒为天星之半知丙在中也若云非中当在丁则东望戊西望己当见天之小半而
　　不见者大半
　　第三题
　　地之体恒不动
　　一不去本所二亦不旋转云不去本所者去即不在天之最中也云在本所又不旋转者若旋转人当觉之且不转则已转须一日一周其行至速一切云行鸟飞顺行则迟逆行则速人或从地掷物空中复归于地不宜在其初所今皆不然足明地之不转
　　第四题
　　地球在天中止于一点
　　何以徴之人在地面不论所在仰视填星岁星荧惑彼此所见恒是同度故知地体较于天体则为极小若地大者两人相去绝远其视三星彼此所见不宜同躔如上图丙己戊乙为天甲为地丁为星地体若大能为天分数者则人在庚宜见丁在己度人在辛宜见丁在戊度今不然者
　　是地与天其小大无分数可论也




　　名义篇第一
　　测天本义　一条
　　问测天者何事所论者何义也曰此度数之学度数学有七支此为第六也所论者一言三曜〈日月星〉形像大小之比例一言其各去离地心地面各几何一言其运动自相去离几何一言其躔离逆顺晦明朓朒一言其五相视五相视者一曰会聚〈会聚或同一宿或同一宫或相掩或凌犯〉二曰六合照〈每隔一宫〉三曰隅照〈三方相望〉四曰方照〈四方相望〉五曰对照〈即衘〉一因其行度次舍以定岁月日时此为大端也
　　大圜名数历十条
　　大圜者上天下地之总名也〈亦称宇宙亦称天下亦称六合之内下文通用〉天实浑圆其中毫无空隙譬如葱本重重包裹其分数几何则自下数之〈地居天中为最下亦曰最内〉第一为地水补其阙〈地有卑洼水则就之若据地面则水土相半跖实论之水之视地仅当千分之一〉共为一球地外为气气之外为七政之天七政之外为𢘆星〈亦曰经星下文通用〉之天𢘆星之外为宗动之天宗动之外为常静之天问地水与气相次之序其理易明今何以知七政在下𢘆星在上曰有二验焉其一六曜有时能掩恒星〈六曜者日五星也不言日者日大光星不可见也唐肃宗上元元年五月癸丑月掩昴代宗大历三年正月壬子月掩毕八月己未月复掩毕是月掩𢘆星也唐高宗永徽三年正月丁亥岁星掩太微上将五月戊子荧惑掩右执法元武宗至大元年十二月戊寅太白掩建星是五纬掩𢘆星也〉掩之者在下所掩者在上也其二七政循黄道行皆速𢘆星最迟也
　　问七政中复有上下远近否曰有之月最近也何以知之亦有二验其一能掩日五星也〈月掩日而日为食不待论也唐文宗泰和五年二月甲甲月掩荧惑六年四月辛未月掩填星于端门九年六月庚寅月掩岁星于太微武宗会昌二年正月壬戌月掩太白于羽林是月掩五星也〉其二循黄道行二十七日有竒而周天馀皆一年以上是七政中为最速也
　　问行度迟速以别远近是则然矣太白辰星与日同一岁而周为无远近乎曰旧说或云日内月外相去𨖚绝不应空然无物则当在日天之下或云在日天之上二说皆疑了无确据若以相掩正之则大光中无复可见论其行度则三曜运旋终古若一两说既穷故知从前所论皆为臆说也独西方之国近岁有度数名家造为望远之镜以测太白则有时晦有时光满有时为上下计太白附日而行远时仅得象限之半与月异理因悟时在日上故光满而体微〈若地日星𠫵直则不可见稍远而犹在上则若几望之月也〉时在日下则晦〈三参直故晦稍远而犹在下若复苏之月体微而光燿煜然〉在旁故为上下也辰星体小去日更近难见其晦明因其运行不异太白度亦与之同理
　　问荧惑岁星填星孰远近乎曰荧惑在岁填星之内在日之外何者一为其行黄道速于二星迟于日也岁星在其次外其行黄道速于填星迟于荧惑也填星在于最外其行黄道最迟也又恒星皆无视差七政皆有之以此明其远近又最确之证无可疑者
　　问何为视差曰如一人在极西一人在极东同一时仰观七政则其躔度各不同也七政愈近人者差愈大愈远者差愈小月最大日次之荧惑次之岁星又次之填星最小几于无有故知月最近填星最远也
　　如上图丙为地甲为东目乙为
　　西目甲望戊月在己度乙则在
　　庚度甲望丁星在辛度乙则在
　　壬度己庚差大则月去人近辛壬差小则星去人远也问东西相去既是极远何以得同在一时仰观七政曰此在一时一地亦可测之特縁算数所得难可遽明故以东西权说若月食则亦东西同时两地并测亦足谂知也
　　问何以知七政之上复有恒星之天曰恒星布列终古常然而一体东行行度最迟殆如不动既与七政异行知其不得共居一天也故当别有一恒星之天众星皆丽其上矣
　　问恒星天之上何以知有宗动无星之天曰七政恒星其运行皆有两种其一自西而东各有本行如月二十七日而周日则一岁此类是也其一自东而西一日一周者是也非有二天何能作此二动故知七政恒星之上复有宗动一天牵掣诸天一日一周而诸天更在其中各行其本行也又七政恒星既随宗动西行一日而周其为戚速殆非思议所及而诸天又欲各遂其本行一东一西势相违悖故近于宗动东行极难远于宗动东行最易此又七政恒星迟速所因矣
　　问宗动天之上又有常静大天何以知之曰今所论者度数也姑以度数之理明之凡测量动物皆以一不动之物为凖譬如舟行水中迟速远近若干道里何从知之以离地知之地本不动故也若以此舟度彼舟何从可得诸天自宗动以下随时展转八极不同二行各异若以动论动杂糅无纪将何凭藉用资考算故当有不动之天其上有不动之道不动之极然后诸天运行依此立算凡所云某曜若干时行天若干度分若干时一周天之类所言天者皆此天也历家谓之天元道天元极天元分至此皆系于静天终古不动矣











　　常静篇第三
　　总论一条　常静天者有三理一为此下各动天之一切诸点〈七政恒星彗孛及诸道诸圏之交之分但须测算者总名为点不言星者交与分非星也日月大矣亦言点凡测皆测其心心则点也〉借此天以测知其所在也二为测各动天运行之时之度与夫各点之出入隐见以定岁月日时也三为测诸动天之各点相去离㡬何也凡常静天上诸名皆系之天元因其不动以验他动也其最尊者有三圏一曰天元赤道圏〈或称中圏或称腰圏下文通用〉以定诸点二曰天元地平圏〈或称四方圏或称八风圏或称分光圏下文通用〉以验运行三曰天元距圏〈或称去离圏下文通用〉以辨去离
　　论三圏共七章
　　论天元赤道圏一条　天元赤道者系于宗动之天平分天体者也〈各圏各有心天元赤道之心即大寰之心也即地心也各圏各有极各有轴天元赤道之极之轴即大寰之极之轴也即地之极之轴也〉天元赤道之左右各有距等圏以度论则九十为天元纬圏其前后各有过极圏以度论则一百八十为天元经圏过极圏者所以定经度容纬度也
　　如上图甲乙为中圏其上五经圏为甲丙有两过极圏以限之丁甲戊限其首丁丙戊限其尾甲丙在其中是大圏上所容之六经度也又如丙己为过极圏上四纬圏则首尾两点
　　有两距等圏以限之甲丙乙限其首庚己辛限其尾丙己在其中是过极圏上所容之五纬度也
　　论天元地平圏三条　常静天下诸所测候欲知各点所在与各点之道各道之交之分则一中圏足矣为地在中心不能透明明为地隔人在各所所见止有半天其分明分暗处有一大圏即地平圏也地球之大人居各所明暗所分处处各异故随在有一地平圏
　　地平圏分四象限定天下之东西南北故可曰方道亦可名风道所谓不周广莫八风所来也四象限分为三百六十是地平之经度地平之两端一在人顶为顶极一在人对足之下为底极地平之左右各有距等小圏从大圏至极各九十为地平之纬度〈亦名高度亦名上度下文通用〉其算以大圏为初度次小圏为一度其最高为九十度即顶极下亦如之〈亦名低度亦名下度下文通用〉其最下为九十度即底极也从地平经度每度出一过顶大圏凡一百八十以定方维之分数其最尊而用大者有二一曰地平东西圏一曰地平南北圈如天元赤道上之有极至极分二圏也〈极至极分见后篇〉
　　如上图甲乙为地平丙为顶极丁为底极丙戊丁南北圏也甲丙乙丁东西圏也丙子丁丙丑丁皆经圏庚寅辛壬卯癸皆纬
　　圏算地平之经度或从东西圏起或从南北圏起其纬度或从地平起或从顶极起各任用
　　地为圆体故球之上每一点各有一地平圏从人所居目所四望者即是其多无数
　　如上图戊己为地甲乙丙丁为天人在戊即甲丙是其地平而庚为顶极人在己即乙丁是其地平而辛为顶极
　　赤道地平二圏比论四条　常静天上有天元赤道天元南北极恒定不动就人目所视又有天元地平圏今以二圏合论则六合之内共有三球一为正球二为欹球三为平球正有一平有一离此即欹欹者无数正球者天元赤道之二极在地平则天元赤道与地平为直角而其左右纬圏各半在地平上半在地平下如上图甲戊丙己为天甲乙丙丁为地平甲丙即天元赤道之两极戊乙丁己为地平之东西圏亦即天元赤道庚辛壬癸等
　　则地平之经圏是正球也
　　欹球者天元赤道之二极一在地平上一在地平下赤道与地平为斜角〈斜角者一锐一钝之总名〉而天元赤道与地平之各经纬圏伏见多寡各不等其极出地之度为用甚大测候者所必须也赤道纬圏之中随地各有一纬圏为用甚大名为常见纬圏凡极出地若干度即有一去极若干度之纬圏其底点常切地平者是也
　　如上图甲丙乙丁为地平戊己为赤道极若己乙为极出地四十度则壬癸乙常见纬圏亦去极四十度而纬圏之乙点即地
　　平之乙点
　　平球者一极在顶天元赤道与地平为一线各距等圏皆与地平平行也
　　如图甲乙丙丁为地平即为天元赤道而戊极在顶庚
　　辛等纬圏皆与地平平行


　　论地平南北圏一条　地平大圏上之过顶圏一百八十名顶圏皆地平圏之伴侣故又名侣圏其中大者二曰东西曰南北其又最尊者南北也其两极在地平与东西侣圏之交此圏平分球为东西二方不但过顶极亦过天元赤道极与天元赤道相交为直角亦不动与地平圏等但其游移也人于地面上南北迁此圏止有一不得有二东西迁则随在不同与地平俱无数如上图甲乙丙为南北圏人在戊在己在庚俱南北一线则恒以甲乙丙圏为顶移极不移圏故云有一无二也若从己东西
　　迁丁为其顶即以甲丁丙为南北圏矣
　　地平南北圏与天元赤道比论一条　此圏交于天元赤道即为天元赤道之极高从天元赤道至顶极之度即北极出地之度
　　如图甲己为赤道丙为顶极乙为赤道极戊丁为地平
　　今言甲丙与乙丁等者甲乙弧丙丁弧
　　各相去九十度各减一丙乙弧则甲丙
　　与乙丁等若赤道极高之甲戊弧亦与
　　丙乙弧等其理同也
　　论地平东西圏二条　东西亦地平之侣圏也其两极在地平与南北侣圏之交过此两极者有六大圏亦分天元球为十二舍地平以上常见者六舍最尊者地平与南北圏也其次序从东地平起算为初舍入东一舍为第一入东二舍为第二至南北圏之底起第四西地平上起第七南北之顶起第十此法为用甚大医家农家及行海者所必须也
　　如上图丙丁壬为东西侣圏甲乙为两极甲丁乙为地平圏甲戊乙甲庚乙等皆过极大圏也
　　其用之则以此图甲乙丙丁为地平甲为东地平起一舍己为底极起四丙为西地平起七戊为顶极起十也
　　东西圏平分球为南北二方造日晷必用之
　　论天元去离圏二条　天元三大圏其一赤道其二地平若欲知两点相距几何则二圏为未足也故有去离大圏过所设二点自此点至彼点其间之容则相去离之度分也若此二点俱在天元赤道或俱在其过极圏或俱在地平圏即所在圏为去离圏不用百游去离圏〈游者游移不一百言其多〉
　　如上图甲乙丙丁为地平戊己为南北极庚辛为黄道设壬癸点则子癸壬丑大圏上之癸壬是其度分
　　或问二点或俱在纬圏则即以纬圏为去离圏不可乎曰凡测量必用准分之尺度准度者止有一不得有二静天上之大圏分则准度也各纬圏之小大与其度分之广狭一一不等若多寡不齐之尺度岂能得物之准分乎故测去离必用大圏不得用纬圏也



　　新法算书卷十一
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>