新法算书 (四库全书本)/卷018

新法算书　卷十八

　　钦定四库全书
　　新法算书卷十八　　　　明　徐光启等　撰浑天仪说卷三
　　立象
　　立象者何任所得时刻应何宫度依之以推定十二舍也而各舍所当居之度分并经纬诸曜皆从本度起算则此因时之变得天之容乃占验所繇以生苐此中𦂳要在定每舍之初界〈即初度〉举所应得分数绘以方图或圆形随点入星曜即浑天之象成矣法依本北极高安球以本日躔度与时盘午正较对始转球与盘将先所得时刻居子午圏下而本球宛然一当时之天象次于西地平识同居之赤道度并得相应之黄道度即苐七舍初界次起半圏至赤道上距三十度之限所得黄道度乃苐八舍初界递起递加尽得地平上各舍初界而地平下诸舍则以黄道相对处可定如一与七二与八三与九四与十五与十一六与十二之类是也假如崇祯九年正月十五日辛酉晓望月食顺天府食甚在卯正一刻二分日躔在娵訾宫一度五十三分因此时求各舍躔度先以日躔对时盘午正依法转仪得西地平交赤道一百五十度交黄道鹑火宫一十三度此即七舍初界正对东地平得玄枵宫一十三度为苐一舍初界〈即命宫是〉上居天中得析木宫二度为苐十舍初界正下得实沈宫二度为苐四舍初界半圏交赤道一百八十度〈距前数三十度〉得黄道寿星宫初度为苐八舍初界正对之降娄初度起苐二舍又以半圏交赤道二百一十度得大火宫九度为苐九舍正对之大梁九度即苐三舍后移半圏至子午圏之东得析木宫二十度为苐十一舍星纪一十度为苐十二舍而正对处即实沈鹑首相等之处为苐五及苐六舍因而上下左右四角〈四角占验最得力处〉定矣复求纬星所居之舍或依表预算或径用推定七政细行则以本北极高及本时刻取各曜相应度分入其舍若星近舍初界有距度或可入前舍中必先以黄经纬安球上随以本曜所居之处求于本舍而以前所立象定球渐移半圏如法起舍乃星入前后界内者即得本舍是也若地平下各舍之星法起南极于架上与北极等高移前苐一舍之初界至西地平而天容在地平下者反居地平上即得诸曜本舍之界如以鹑火十三度交西地平至寿星初度总弧内得前月食惟木星与太阴略近查丙子年七政细行食甚时木星躔鹑火二十九度五十七分而火星则躔大火三度三十分应入八舍土星躔星纪一十一度三十分纬北三十四分必在十二舍之初界太阳金水二星皆在娵訾宫因同入命舍其土星依本经度惟纬北三十四分故得在十二舍之初界若距黄道北或一度半或二度试以舍圏限之必其已入十一舍因近顶纬多故也求恒星法同此盖此象一立则凡各曜性情势力强弱可考而知穷理之家借以观变于未然鲜有不验者〈其法详天文卷中〉
　　求两星于立象圏上相合之时
　　凡两星本各无力一合即増力此实足为所立象损益之原也故以初得某星某宫度主人生命等事者安东地平〈依本地北极高〉即应查其与某星相合否盖转立象圏于球面上下得二星在通径上即命星在地平时其星必合否则令球与立象圏各自那转后求其当合时法必得二星能如此合遂识赤道交子午圏度次移本日躔度合子午圏并识其同居赤道度乃以前赤道交度减后赤道交度馀度化为时刻即得二星应合之时如极高四十度一星在鹑尾宫二度距纬南三度又一星在本宫四度距纬北一度本日躔鹑首宫七度试转仪并半圏见子午圏西未合必过东近地平方可得合而合时赤道则以七十五度交子午圏便移日躔至子午圏下得同居赤道九十七度为前度所减〈先借全周后减〉馀三百三十八度化为时得二十二时二刻四分即二星去午时后合圏下之限
　　求经纬星相照度
　　凡两星相照増力或阻力多以向黄道为凖大约有五等如会合即同度同分为密而同度不同分者则谓之疏六照以六十度为界四照止于一象限三照以四宫相距而云然望照则以正相对而得半圏之距乃此数照又各有亲或远者盖星体居正照之界即亲而力强若体未正居其界而苐以光居之即远而力弱至若光之前后虽同而各星所定之限有异如土得十度〈前十后十〉木十二度火八度太阳十七度金水皆七度太阴复十二度经星凡苐一等有七度三十分二等五度三十分三等三度三十分四等一度三十分五六等最微力弱不入其数总之除会望二照馀皆以顺十二宫为左照逆十二宫为右照试于仪上考之法用规器量黄道上任取一照之界〈六十九十等度〉以星为心于黄道左右分顺与逆照之限假如求大角四照以九十度为限将规一锐居本星体一锐指左界九十度必至星纪十七度为顺照指右界九十度必至鹑首十七度为逆照若七政必先依各经纬度安其本位馀法同前又一法用立象半圏先依北极出地安球任取本时升度居地平乃移半圏径过其星依之于赤道上作识后转球从前所识赤道度相距三四等照界仍移半圏其上所指黄道度即星照所至界也假如升度在夀星十六度求轩辕大星六照限必移升度于东地平立象圏过星指赤道一百三十八度复加六十度应一百九十八度居立象圏即并得寿星宫十六度居本圏为轩辕大星六照之左限其右限则以反减六十度为法
　　求岁旋
　　凡从前所取时刻至太阳复躔元度分其中相去总数谓之岁旋盖依后时所立象较前象所得七政等星居舍内应増或阻前星之力即效验所繇变也法令球依前立象之时定住视赤道交子午圏若干度为前象天中升度今越若干年复求后象天中之升度必每去一岁加八十八度四十九分满全周则去之馀数即后象赤道交子午圏度使之于本圏正合可得天容依岁旋之时因以定各舍宫度而各星安舍法亦同前假如崇祯元年正月酉正时立前象因太阳躔玄枵一十六度一十九分依法转球令时盘酉正交子午圏得赤道交本圏之升度为五十度设相去八年复立象为崇祯八年十二月二十九日〈太阳躔元度是〉则以八乘八十八度四十九分去全周馀四十度三十三分为后象之升度移居子午圏得本圏指酉初二刻为岁旋之时如用立成表细求即后岁中先查太阳躔元度分之日为岁旋终之日次以后象升度减太阳是日之升度〈不足减借全周减之〉馀数化为时刻分即得当日立象之时刻焉假如因十二月二十九日太阳躔元度为岁旋终之日其升度三百一十八度四十八分后象升度四十度三十三分不足减借全周共得四百度三十三分减去前数馀八十一度四十五分化为五小时一刻一十二分〈从午正起算〉
　　加升度表





　　引照元与増力元相合
　　凡初得某星某宫居某舍因之以占所效是谓照元设更有一星或一宫所居舍能増力或阻前效即谓为増力元二元必各依定时著力乃就中求以前者至后之位或反以后者至前之位俱依赤道弧相应二元之距为限转球查其弧之大小为引则一度应一年度数既定应在何时亦可限矣故引后至前以顺宗动为正而引前至后则因五纬逆行时用之遂名曰反引皆于球上

　　可得正引者何转球先依天象安定令黄道应苐一舍初界之度正居东地平次查照元移象圏径过其上并识赤道合子午圏度又转球右行以増力元至半圏复识赤道交子午圏度则先后所识之间弧乃指正引限而总数可推年时也欲反引安球令之转同前惟立象圏宜先径过増力元复识转球时赤道过子午圏弧因以定其中相去之年假如北极高四十度设大梁十度在苐一舍初界太阴离黄道娵訾二十度距北二度为照元火星近东地平躔大梁六度距南三度为増力元必先依各经纬度带二曜于球上然后令象圏过太阴处所交赤道点约为三百五十二度〈用本圏与用子午圏同〉次定住象圏移火星与本圏正对约得赤道交圏点为二十八度以所得前后度相减馀中弧为三十六度即正引之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南极依北极出地度令黄道苐一舍初界之度正居西地平馀法同前〈见前苐二卷〉
　　求引二元应止黄道何度
　　因照元渐离初得之象圏乃更有黄道相应故任至某年亦可求其相应度法先安球依本象令象圏与照元合随查赤道交子午圏度因之顺或逆取本度与年数所止限移至子午圏必此时交象圏黄道度即其年所引照元止限也如北极高四十度设寿星十六度东出太阳躔玄枵六度为照元依去四十二年之数复求躔度因安寿星十六度于本地平安象圏于鹑火六度〈与玄枵对度因后在地平下故〉得子午圏交赤道一百一十度以加四十二度依之应一百五十二度交子午圏得象圏交鹑尾一十六度即娵訾一十六度〈正对宫度是〉为照元去四十二年所至限若照元自居四角不必用象圈依所取年数转球复居本角黄道度即照元所止度设寿星十六度为照元而出地平者亦即此度则得地平交赤道二百零一度令球右转以赤道四十三度至地平则所并居之大火十九度即为照元任取之年后止限又设増力元亦居地平等角即以同居赤道度减年数之度所止限复移至地平等角亦即得黄道交地平等角为其当年所至之限或増力元不正居角仍用象圏与之交并识其所过赤道度减总年数馀度限移至本象圏复得并交黄道度为増力元当年之限也
　　依浑仪解圆线三角形
　　圆线三角形者何乃过球心大圏相交三弧之形而各弧不及圏之半周所成也盖形内每两弧共抱一角在间者谓之腰弧而与角相对之弧即底弧或又谓直角三角形内以所抱直角弧为底弧及垂弧即与勾股不异而以所正对直角者为弧论角其大小以对弧之大小为则盖用规器以本角为心以九十度为界则两腰间之弧〈腰先引长〉必量其角得本弧为一象限即对角为直角过象限为钝角不及象限乃为锐角凡弧或角不及满象限之度名之为馀又凡两腰引长至合一点则得抱角之对三角形以底弧为公底以对角为等角而馀弧馀角皆前三角形所不及满一百八十度之馀弧馀角者也因止一直角三角形得馀皆钝角者则与直角正对之形内腰间角必直馀反皆锐也如止一直角三角形得馀一钝一锐者则与锐角正对之形内惟前形直角相连之角为直角馀皆锐角也如图乙戊丙形内设戊为直角乙丙皆钝角即其对形乙甲丙内得甲为直角乙丙皆锐角也又丁丙戊形内设丙为锐角戊直角丁钝角即其对形为丁巳戊而戊角独直丁巳皆锐角论斜角形如三角总为锐角必对形独存一锐角馀皆钝角也设乙甲丙形内甲为锐角即得对形乙戊丙内
　　戊亦为锐角乙丙皆钝角如三角总为钝角乃对形反存一钝角馀皆锐角也设乙戊丙形内戊为钝角即乙甲丙内甲亦钝角今解三角形法多论不及一象限之弧即锐角之底是也因以斜钝角形先变为锐角形以直角形有一或二钝角者亦先改为对形则就中推求之法与解原形不异即馀弧馀角之理所繇出也今用浑天仪解之亦仿此但先解直角形尽之于三比法有以先得一锐角并与各弧者又馀锐角复并与各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法如左
　　任取一弧一锐角求馀弧及馀角
　　设甲乙丙三角形内甲为直角其底乙丙馀弧即腰则乙与丙皆锐角也先设得乙丙直角之底弧及乙角欲求馀尽解本三角形法架内北起子午圏令赤道前高依本角之度然后或东或西自赤道交地平处与本地平查底多寡之度以为限移过极圏至此限上即三角形仪上定矣如乙角为二
　　十三度半以前子午圏弧为则使赤道依之其左右交地平角即得对弧以定大小今甲为直角必于赤道交过极圏处求之则地平上得底若设乙丙底弧为六十度而移过极圏至本度〈从乙角算起〉因大腰在赤道弧约为五十八度小腰在过极圏弧为二十度有半自过极圏交地平查各圏满一象限即以其限安高弧得二圏间之弧为丙锐角之对弧约七十八度又设以小腰及本角求馀弧及馀角即先定角等法同前而以所先得甲丙弧〈如二十度半〉与过极圏上为点移之至交地平必自得腰与底弧合前度即丙角亦在高弧同矣或以大腰查求其馀亦先定乙角而转仪以渐进赤道弧入地平令自其二圏相交之处独馀五十八度至过极圏交赤道之角必馀法馀度亦合前也今试以三弧各与丙角为先得如底为六十度求馀弧馀角法移过极圏至地平距子午东或西三十度〈六十度馀是〉定住球使高弧距二圏相交之处各满一象限得间弧为七十八度即所设之形凖否则宜前或后起子午圏必令高弧对丙角如其度为止即子午圏自地平以上得对乙角之弧而直角两腰皆明矣或设先得大腰与丙角必进或退赤道圏定其腰之大小〈如五十八度〉即安高弧而起子午圏依前法求馀弧及馀角也或以小腰及丙角求馀即先于过极圏查腰弧大小之度使之交地平以试高弧得全形盖对角弧不及其度即球宜北起过极圏宜南下若对弧已过其度则球反宜南起随移过极圏东西得正然后馀角馀弧皆依前法凖得矣任取一腰一底或二腰求馀弧及诸角先设得小腰与底弧皆依前度法令球转东或西以过极圏限底弧之度〈如六十度〉视本过极圏自赤道至交地平弧若正合其度〈如二十度半〉即三角形已定否则前后起仪求小腰务合于地平乃所对大腰亦复得五十八度而查乙角丙角必同前又设得大腰与底弧亦先定底弧度渐起球或下令之左右转以并对大腰度即小腰亦自合而求角必依前法也或复设得二腰求底与角即先定大腰令球下或起即得馀腰与底而求角亦不异前也
　　解斜角三角形总为六题
　　其一曰以二腰及间角求底弧及馀角如甲乙丙三角形内丙为钝角甲乙皆锐角设先知甲角〈即间角〉则乙丙为底馀弧皆腰也如甲角为三十度大腰六十度小腰止五十度法于子午圏查距极〈南北不拘〉六十度之弧移其限于天顶次用过极圏令
　　距子午圏左或右而以赤道三十度为限末安高弧东西必依极圏所居方位令之交极圏距极限五十度即三角全形定矣大都子午圏为大腰极圏为小腰高弧为底因而如前图得乙丙底为二十六度有半乙角以地平为对弧在子午圏及高弧之间得五十九度有半所馀丙钝角欲求其对弧未免再移球故先依高弧于球面上界线后转极圏令交高弧之点正居子午圏下而并其子午圏起之以当天顶乃复依先界之线安高弧而以至地平为限则此限及子午圏之中弧即丙馀角之对弧为一百八十度所减存得丙角一百零三度若用浑仪求之线宜界于黄道上或高弧本位不与黄道遇即于未转极圏之先移高弧于正对地平度所遇多寡度界线其上馀法同前而所得弧即正丙钝角之对弧也其二曰以二弧及先所得一弧之对角求馀弧馀角如前图设先得甲乙弧六十度乙丙二十六度半及丙角一百零三度法起子午圏以二十六度半为距极之限令之居天顶则自极至顶得乙丙弧将秋分经圏西距子午圏十三度
　　〈依赤道为则〉或将春分经圏东距十三度则自二至经圏至子午圏其中得赤道弧为一百零三度乃丙角之对弧也又安高弧使之以六十度〈自顶下数〉交过至经圏即以高弧得甲乙以经圏得甲丙而甲乙丙形全矣今查甲丙必为五十度乙角则自高弧至子午圏在地平上必五十九度半所馀甲角因依高弧于黄道上界线然后移经圏交高弧之点以正居天顶而依界线复安高弧得交地平至子午圏之中弧为三十度或不移球止安高弧于地平正对之处用规器于前交经圏及高弧一象限之界量二圏所距亦必得三十度为甲角之度也设反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十度以求馀弧馀角法起子午圏令距极五十度之限在天顶次转仪使过极圏距子午圏之东或西依赤道上三十度为则即于高弧自顶而下数至二十六度半以之交经圏即得馀弧于本圏为六十度而高弧在地平上其距子午圏一百零三度乃为丙角之对弧仍依高弧在黄道上作线令前交之经圏六十度居顶用高弧顺线下至地平必得五十九度半即形内乙角也其三曰以二角及先所得一角之对弧求馀角馀弧设甲乙丙形先得乙角为十度半丙角为一百五十四度半又得甲丙弧对乙角为二十三度半宜求甲角与甲乙及乙丙弧但既先得甲丙对乙角之弧亦应知甲乙对丙角之弧过象限否今使过象限法查经圏左右赤道上之十度半令之正居子午圏
　　随于地平上从北去南查一百五十四度半以之安高弧因而起或下子午圏必视其所交经圏之点距北极出象限外乃并视经圏所交高弧之点必距天顶二十三度半一得距度凖即本形定矣盖乙角在极中经圏及子午圏之间与正对赤道得其若干〈十度半〉丙角于地平〈一百五十四度半〉甲乙弧于经圏上约得一百零六度乙丙于子午圏上得八十四度半止馀甲角必起高弧与经圏所交之点至顶而求其角于地平依前法得其为二十七度其四曰以二角及角间之弧求馀角馀弧如前形内设甲角为三十度丙角一百零三度甲丙弧为五十度法自极中查子午圏上五十度令之居天顶为甲丙弧查地平去子午圏北一百零三度以安高弧为丙角末以赤道上距经圏三十度之限移居子午圏乃得甲角而馀弧自明矣因而高弧上得乙丙为三十六度半经圏上得甲乙为六十度若求馀角必起高弧所交经圏之点至天顶依前法查之乃得其五曰以三弧求诸角设甲乙弧为六十度乙丙为五十度甲丙为二十六度半法使甲乙弧在子午圈出极中至天顶即以之安高弧令以二十六度半〈从顶算〉交经圏距极五十度之限必得乙角于赤道圏
　　甲角于地平而丙角则起经圏五十度至顶依前法求也或使乙丙五十度在子午圏而以高弧安经圏之六十度即乙角可在赤道上得丙角则反在地平甲角则起球求之法同前其六曰以三角求诸弧设甲角为五十九度半乙角为三十度丙角为一百零三度法转经圏于子午圏之东或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三度皆以赤道弧为则必得相应之角在经圏过极之处安高弧亦同法盖其交地平距北或三十度或五十九度半或一百零三度必皆在地平上算而相应之角则在天顶但安高弧必先于地平取凖乃于天顶未定之时渐起或下仪试二弧远近相交之处以对馀角其法或识高弧交经圏之点于顶而地平上试所求角正对之弧或用规器从高弧与经圏相交之各点距一象限量其二弧所距〈必先转高弧于地平正对度〉得合馀角即初起之球必凖否即更移之总以试定三角后而其弧自明矣
　　依比例原法复解圆线三角形
　　圆线三角形中之比例总归四原因生四公论以尽解或直或斜三角形之理一论曰凡多直角三角形得锐角同近底线者以较其及埀线之正必皆互得比例设后图于仪上甲乙丙丁为地平戊为天顶从戊过甲
　　戊丙与庚戊巳皆以直角交
　　地平彼为子午圏此为高弧
　　乙辛丁当赤道圏以直角交
　　子午于辛以斜角交地平于
　　乙于丁盖多三角形中取二
　　形即丁辛丙及丁壬巳乃二
　　形中有丁辛与丁壬为线辛丙与壬巳为埀线丁丙丁巳皆底线锐角在丁依常法以辛癸及壬寅两线之正与辛子及壬丑两埀线之正互相较先得三线其馀线俱可得矣今用浑仪显之试以二线及大形中之垂线求小形中之垂线因而设丁辛得九十度为赤道一象限丁壬为赤道四十二度之弧辛丙则其地平高得四十八度二十五分法移高弧在壬下至地平得壬巳弧为三十度二分或安高弧以三十馀度交赤道圏即自限小形之可并得两线欲求大形中之垂线则辛丙必为子午圏上之弧自地平至赤道高四十八度二十分或以二垂线及大形中之线求小形中之线各依前所定度则自壬高弧交赤道处至本赤道交地平丁必得四十二度二论曰凡多直角三角形得锐角同近底线者以较其底线之正与弧之切线必皆互得比例如前图三角形同而大形底弧之正癸丙其切线即卯丙小形底弧之正己巳其切线为辰巳皆可反复相解或求垂线或底线必以算
　　乃得今于浑仪上查之设赤道
　　高同前高弧交处亦同前度必
　　所得垂线亦不异前若求丁巳
　　底线即自赤道交地平至高弧
　　切地平之处得其弧为三十度五十馀分因依常法凡弧之正与垂线之正得比例可互求而底线之正较垂线之正则否何也盖垂底两弧之正各圆线形内不能合成一直线三角形故〈见前苐一图〉用浑仪可免直线形止须以圏相交处即得各弧之长短大小焉三论曰凡圆线三角形其线之正必与对角之正得正比例如后图设甲乙丙为直角三角形直角在丙馀皆锐角各边引长为一象限至壬至戊至丁自丁复引象限至子至庚因得乙丁巳斜角三角形今依常
　　法直角形内求甲丙边即因先比之
　　丙角与甲乙或甲角与乙丙推乙角
　　与甲丙之比例求乙角即因甲乙反
　　比之丙角或乙丙与甲角亦算得甲
　　丙与乙角又求乙丙应以甲角较推如丙比甲乙同而反求甲角应以乙丙边推如甲乙比丙同此反复用八线表推求法也若用浑仪即本图内子甲壬自当地平必得天顶在丁而子丁壬为子午圏设辛乙戊为赤道丁乙丙为黄道或当高弧则直角形中之三边各显于本图各有定度可取盖论角则丙角自显为直角以丁子弧可徴馀角皆以对弧得则甲角以戊壬乙角以辛癸是也试于斜角三角形内先求乙巳边必以丁对角推之用乙与丁巳或巳与丁乙之比例求乙巳等角亦以对边求之法必同前但查表或疑其所求角应锐与否〈如查正九二七一八应六十八度并应一百一十二度〉必以取凖图形为正或用天球尤易明盖设丁庚为高弧得丁角于丙庚地平弧乙角在两道相交之处必对则在过二至之圏弧巳角既为钝角乃左右之边无以定其象限必球上自顶顺高弧界线而线交乙巳弧之点移至顶则球一面依先界线安高弧必尽于地平一面赤道亦自至地平彼此间地平弧即能量定巳角矣四论曰凡圆线三角形两边各小于象限先以两边弧自并后又以小边并大边之馀弧而即以此后总弧之正或减先并总弧之馀或加其过象限弧之正所得线半而用之乃以求第三边即前两边间角之矢与他线如全数与前半线所复得线为后并弧之正所减必馀第三边之馀或为后并弧之正所加亦馀第三边过象限弧之正若反求角则他线与角之矢如前半线与全数而他线亦为后并弧之正以内减第三边之馀或加其过象限弧之正所生因此三角形中之两边并较象限或等或小或大而各依之以推第三边设角时直时斜皆同但推角设边反异盖两边并较象限相等或小则设第三边必小于象限独两边并大于象限所设第三边亦能大于象限故法虽同临推种种略异此等三角形历家无所不用虽加减法若省然亦未免于烦欲查浑仪则捷若指掌何也以二边及间角求馀边先设两边并与象限等其一为四十七度其一为四十三度间角为五十度试于仪上极高四十度即安高弧令地平上依间角自南去东距子午圏五十度自顶于高弧上查四十三度亦自顶于子午圏馀四十七度得其中黄道弧从娵訾宫一十四度至降娄宫一十七度共为三十三度即形内馀边也复设两边并小于象限如各为三十五度间角与极高同前得三边在中黄道弧则自降娄宫九度至大梁宫六度共为二十七度又设两边并大于象限如各为六十度馀皆同前得第三边在黄道弧自玄枵宫二度至娵訾宫十五度共为四十三度若求角即以先所得三边反查高弧及子午圏之间角则所得三弧必生五十度之角苐原法凡得三边小于象限者用其馀与后并弧之正相减大即以其大弧之正相加乃仪上亦无二法如黄道自玄枵宫一十八度至实沈宫初度共一百零二度为苐三边其对角当在高弧及子午圏相距之地平上得一百一十度此则抱角之二弧并必大于象限也今试以公论用仪解日食内所算三角形则凡直角形归一种斜角形又归一种其列二等如左
　　求时圏与地平交角
　　时圏与赤道经圏及过赤极圏皆一而独以其所用有分别焉设太阳居正午其过时圏至地平正交必为直角若午前后因斜交地平得角亦斜且大小不一复设太阳在正东距正子午圏共六小时则过时圏至北极得九十度其交角大小与极高度同使交角在正午及正东西间即以高弧求其大小法从交点各圏上正去九十度安高弧〈地平上算〉必本弧上从地平至交时圏间度为时圏交地平角也假如太阳躔降娄宫初度设时为辰正二刻先将午正与本躔度并居子午圏下后转仪令辰正二刻正切子午圏乃本时圏交地平从正东起南去四十度以之安高弧又距本度满一象限则又在正北之四十度以此度复安高弧从地平上数起得交时圏五十三度为时圏交地平角也
　　求地平与黄道交角
　　法用高弧过黄平象限下至地平即因高弧为大圏以所正对交角之弧能量其大小则必自地平至其交黄道点乃得黄道交地平角也假如北极高四十度设实沈宫初度居地平东出得平象限偏子午圏之东以高弧从此点过至地平约得三十四度一十分为地平及黄道二圏之交角盖黄道因半周恒在地平上而平分左右各得九十度独冬夏二至此限正合子午圏外此则限每偏东或西所以查交角用高弧不能用子午圏也
　　求黄平象限距子午圏为三形之弧
　　黄道随宗动左旋其交子午圏也时高时庳因而两象限之中点距天顶亦时近时远且以斜升斜入故则九十度限大半偏东或西乃从冬至迄夏至限常在东从夏至迄冬至限常在西即从而得限及子午圏中之弧也今依法加高弧使之过其限必以直角相交其角左右之弧一在高弧一在黄道而相对之底弧在子午圏则三弧共为直角三角形也明矣本形内各弧亦能自显度分乃限距天顶又距子午圏等度皆见于弧若更求高弧距子午圏中黄道之对角必应查于地平即以高弧距子午圏之中弧量之乃得且本弧大小正与黄道出没之广弧等如北极高四十度设大梁宫初度为平象限因偏东十四度以安高弧得其至地平切子午圏东二十七度即象限偏子午圏对角之弧与黄道自正东去北之出正西去南之人等而高弧自顶至交限点则三十度也
　　求子午圏及黄道交角
　　凡黄道以冬夏二至交子午圏成角者必为四直角因子午圏当过黄极并二至圏此间必正相交故也使以春秋二分交即为斜角得对弧正与两道最相距之馀弧等从此距分渐远交角亦渐易必自冬至至夏至交得锐角向东北或西南自夏至至冬至亦交得锐角向西北或东南法以黄道度正合子午圏定住移交点至天顶从此至地平两圏各成象限则其间地平弧能量交角之度如大梁宫初度交合子午圏七十九度〈从北极算〉必移其七十九度在顶与本宫初度相交其二弧至地平间必抱七十度东北与西南皆等又设鹑火宫以十五度相交因在子午圏七十四度移本度居顶得二圏至地平中弧必为七十二度西北与东南皆等
　　求高弧与黄道各度之交角
　　先依黄道距午正前后度以赤经圏交黄道角或加或减于高弧交经圏之角乃得高弧与黄道或正或馀〈形内外是〉之交角此原法也今用浑仪可免加减径安高弧交黄道于其距正午度即依前法界线随移本度至顶复依线安高弧必得角于对地平弧矣如北极高四十度设大梁宫初度距午正六十四度〈东西无异〉使高弧交其躔度因得界线后起大梁初度居顶依线复安高弧即得所指地平五十八度为高弧交黄道角也或不必转仪而独移高弧于地平对度用规噐于高弧及黄道弧距前交点九十度之界量其二弧相距则地平上亦得五十八度如后图甲为天顶丙戊黄道弧甲丁为子午圏平象限距其东设在乙日食在戊或丙依前第三及第四题公论以二曜躔度丙及定朔时先得丙丁黄道弧必
　　使丁居正午以高弧过丙为甲丙
　　丁斜角三角形内求甲丙弧〈二曜地平
　　高之馀弧〉及丙交角盖以甲丙查得太
　　阴高庳差〈丙巳是〉丙角与小形内交
　　角等因并得所馀巳角〈壬自为直角〉而以之推丙壬时差及壬已气差故也或依第一及第二题公论以先得黄道交子午圏丁点于仪上并得平象限相距之乙丁弧即安高弧过乙限先得甲丁乙直角三角形内查甲乙本限距顶之弧而更使高弧过丙躔度乃复得甲乙丙直角三角形内求甲丙弧及丙角皆依前法因解丙巳壬小形以求视差其法尤省











　　新法算书卷十八