新法算书 (四库全书本)/卷090

新法算书　卷九十

　　钦定四库全书
　　新法算书卷九十　　　　明　徐光启等　撰测量全义
　　界说
　　第一界
　　面者有长有广
　　第二界
　　平面者一面平
　　第三界
　　曲面者一面曲
　　无界者如球卵之面有界者如窑桥之面
　　第四界
　　一界之面
　　一曲线内之形如圆形在圏界之内凡有三一平圆从心
　　至界各线俱等一撱圆如
　　圆柱而斜剡之得两面焉
　　一无法曲线如桃棃之面
　　第五界
　　二界之面
　　如两弧或无法之曲线或一直
　　线一曲线而形之有法与否则
　　视曲线
　　第六界
　　三界之面
　　三边或直或曲以曲线为边者先定曲线之有法与否面因之量与二界同法以直线为本
　　如丙丁戊曲边形从丙角至丁作丙丁直线成丙乙丁两角杂形从丙至戊从戊至丁亦如之细分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三边形或俱等或
　　俱不等或两边等或有直角或无直角皆有法之形也第七界
　　四界之面
　　方面有五边角俱等者正方也角等边不等者长方也边等角不等者斜方也各对角对边等者长斜方也边角俱不等者无法之方也首两种之外皆属无法盖有设边
　　无设角或大或小容积
　　因之异焉欲求其容须
　　定角之度或中长线也
　　第八界
　　五以上多界之面
　　边角俱等者有法之形也或边或
　　角不等者皆无法之形也

　　第九界
　　定度者求两物之比例
　　凡量度万形先定一有几何之度如三丈之物以一丈之度量之谓之某物与定度为三倍大则一丈之度名曰公度因其能量之势定各所量之物也凡量高长广远皆属线类则以线为公度盖比例之两率为同类也故量线者先具一定线或一丈或一尺以为公度量面者先具一定面或方步或方丈边等角直以为公度量线用直线以直线在万线中为最短故量面用平面用正方以平面在万面中为最短正方之理视万形之理为最凖故〈量体亦定一度如一石斗为六面体各面等各角及边等〉第十界
　　量算
　　丈尺寸分满十进位亩法步法则否二百四十方步为亩二十五方尺为步一百方寸复为尺也凡若干步之积步约为亩以二百四十方步而一若干尺之积约为步以二十五方尺而一若干寸之积约为尺以一百方寸而一约步约亩则逓以步法亩法除之
　　第十一界
　　中垂线
　　从形心至边作直角者为中垂线有法形之各中垂线必等无法形各边不等中垂线亦不等
　　第十二界
　　中长线
　　从形之一边或一角至对边作垂线是各边上极远之线以得本形中之直角三边形
　　第十三界
　　直线为有法形之径
　　直线形本无径聊借圆形之径名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各边切圏周在内者各用切圏周故圏之径亦可谓容形之径
　　第一题
　　量四边形〈其法有三〉
　　形之类有二有直线有曲线兹先解直线形若曲线形
　　后方详之
　　公量为方有法之方形二有正方四边四
　　角俱等〈直角也〉以所设一边自之得面之容
　　如正方田一叚各边四步自之其容为十六方步有长方以所设两边相乘得面之容如长方田一叚纵五横六相乘其容为三十方步若斜方具边无角亦无法之类也有中长线之数则以底数乘之得斜方之容若无中长线之数而知一角之数则先以角求中长线如乙丁斜方形有长阔若干有丁角之数即从丙钝角作丙甲垂线〈即中长线〉则丙丁甲直角形有丙丁边丁角依法求甲得数以乘乙丙得元形之容若等边斜方形作两对角线分元形为四
　　句股形两对角线之交为直
　　法法以两对角线相乘二而
　　一

　　四边形有上下不等而在平行线内者名梯田旧法并两广半之以中长线乘之　论曰戊己丁丙形从上广之两界己戊作己甲戊乙两垂线〈即中长线〉中成长方形旁有两句股形次引戊己广至庚得庚己与乙丙等成己庚丁句股形与丙乙戊形等则庚乙方形与梯田形等丙乙甲丁为两广之较半之者损下广以益上广也兹旧法所自出也

　　凡斜田箕田诸法俱同前两腰之等与不等角之等与不等俱以平行线为本若不知中长线而知斜边或一角者如下文
　　知斜边如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁为两广之半较有己丁法以两
　　数自之相减开方得己甲中长线
　　知角者如己甲丁形有甲丁边有丁角或己角求己甲即全数与丁角之切线若丁甲边与己甲边
　　旧法曰一面长乘中阔得形之容驳曰中广必垂线乃
　　准垂线而外皆斜线必长于
　　中长线况斜边乎今设两形
　　之同边异积如上图其理易
　　见

　　二不等田东长三十六西长三十北广二十五无南广
　　问田旧法并两长折半乘北广
　　驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否则从何定南广之度乎
　　旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五十八并东西两边半之并南北两边亦半之两半相乘得二九八九步为其容驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成甲乙丁句股形有句股以求为七十六
　　又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形之三边求其容得一五三七〈此法见后第三题〉并两形积得二八七一知法为未合也
　　论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有馀补不足改为方形也以中长线乘之则得其容若四不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中长线何縁得合乎
　　第二题
　　量三边形
　　乙丙丁三边形有边数无角数求实其法并三边数半之为实以每边之数为法各减之三较连乘得数以半总数乘之为实
　　平方开之得实
　　如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十四减七较七减十二较二减九较五三较连乘得七十以半总十四乘之得九百八十○开方得三十一又六十二之一十九不尽
　　又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为二十六减十三较十三减十八较八减二十一较五三较连乘得五百二十○以半总数二十六乘之得一万三千六百二十○
　　开方得一百一十六又二三
　　二七之一六四不尽
　　解曰如图乙丙丁斜角形先
　　平分丙丁二角作丙戊丁戊
　　二线遇于戊从戊向各边作
　　垂线为戊壬戊己戊庚三线
　　皆等〈戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙边两丙角
　　亦等形必等则戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚两直角
　　形同用戊丁边两丁角亦等形必等则壬戊戊庚亦等〉次从乙作乙戊平分乙角乙
　　戊己乙戊庚两直角形有己
　　戊戊庚两边等同用乙戊边
　　形必等则两乙角亦等依三角形推壬丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三等次于三相等边各取一边如乙己己丙壬丁合之为元形三边并之半〈或丁庚庚乙壬丙或每相等两形边减一边得三较亦元形三边并之半〉次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子〈乙癸子乙辛子两直角形之乙癸乙辛两边等两乙角亦等即乙子必等而辛子子癸亦等〉次截丙午与壬丁等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子与丁子必等〈癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与辛子等则其丁子丑子必等〉又午丁子辛丑子两形亦等〈丁子与丑子等丁午与辛丑等则午子与辛子必等〉则午为直角〈相似之辛角先已为直角〉而丙辛子丙
　　午子两直角形亦等又此两
　　形并成一斜方形而丙辛子
　　午四角内减午辛两直角馀
　　子丙两角并为两直角〈凡四边形
　　之四角并为四直角〉又□　丙壬壬丙辛
　　两角并亦等两直角而减共
　　用之壬丙辛馀午子辛壬丙己两角等其各半角亦等〈即丙子辛己丙戊两角〉即己丙戊辛子丙两直角形相似〈己辛等为直角己丙戊辛子丙两角又等即其对边相似〉而戊己〈小句一率〉与己丙〈小股二率〉若丙辛〈大句三率〉与辛子〈大股四率〉次以线变为数〈乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有奇今约用成数令直截易算也〉则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也
　　又以第一率乘第四以
　　第二率乘第三得数必
　　等则戊己辛子之矩内
　　实己丙丙辛之矩内实
　　〈各五七六〉通用可也又戊己
　　〈小句一率〉与辛子〈大句二率〉若乙
　　己〈小股三率〉与乙辛〈大股四率〉而以第一自乘又以
　　乘第二其两方之比
　　例亦若第三与第四
　　〈见几何七卷十七题〉则戊己方
　　〈一四四〉与戊己〈十二〉辛子
　　〈四八〉矩〈五七六〉若戊己〈十二〉
　　与辛子〈四八其比例皆四之一〉亦若乙己〈十七〉与乙辛〈六八何者乙己戊乙辛子两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛子〉反之则乙己〈十七一率〉与乙辛〈六八二率〉若戊己方〈一四四三率〉与戊己辛子矩〈五七六四率〉或与己丙丙辛矩〈又四率亦五七六也一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与四异形而为同比例者论积不论形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也〉
　　又四率法既云一乘四二乘三
　　两矩积等今依法乘之即得乙
　　己根〈十七一率〉乘己丙丙辛矩〈五七六第
　　四率所得数〉〈九七九二〉与乙辛根〈六八二率〉乘戊己方〈一四四第三率〉所得数〈九七九二〉等次再以乙辛乘之即得乙辛
　　根〈第一率六十八二边总之半〉乘乙辛根
　　〈六八〉偕戊己〈元形中垂线〉方〈一四四〉之
　　矩实〈共九七九二为第二率〉所得数〈六六
　　五八五六与乙辛根〉〈第三率六十八三边总之
　　半乘乙己根〉〈十七〉偕己丙辛丙
　　矩〈五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也〉之矩
　　实〈共九七九二为第四率〉所得数〈六六五八五六〉等依此用三较连相乘又以半总乘之得数为实开平方得元形之积此用前所得数本法也或用元形中垂线自乘以乘半总又以
　　半总乘之得数为实
　　开平方亦得元形之
　　积此用后所得数证
　　法也
　　何谓中垂线自乘以
　　乘半总又再乘而得
　　积以句股法解之如
　　戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形并之
　　积〈两形等故〉又乙戊己句股形以戊己句
　　乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形
　　并之积又以戊壬句乘壬丁股〈或戊己乘
　　丙辛〉得倍积即庚戊壬丁两形并之积
　　故戊己乘乙辛得元形之积如此即
　　一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法之相合者
　　算术中两方相乘开方得两根相乘之
　　数如图戊己〈一二〉自乘为戊子方〈一四四〉以
　　乘乙辛〈六八即戊寅〉为戊丑长方〈九七九二〉又以
　　乘乙辛为戊寅大方〈六六五八五六〉此前证法所得数也若以乙辛〈六八〉自之得〈四六二四〉以戊己方〈一四四〉乘之所谓两方相乘也〈得六六五八五六〉开方各得八一六即戊己根〈一二〉乙辛根〈六八〉相乘之数也若三较连乘又以乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较连乘之元法无证以垂线三乘法为证也
　　若直角三边形以句股数相乘得数半
　　之为形之容盖方形与三角形同底同
　　在平行线内则方形之容倍于三边形
　　之容或用半
　　若三边等形则有中长线者法与句股
　　同为本线分元形为两直角形也无中
　　长线者以法求之如乙丙丁三边等形
　　从丁角作垂线至乙丙边平分元形为
　　二〈一卷二十六〉用句股法以乙丁乙甲两方相减馀为甲丁方其根则甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减馀四之三甲丁上方也开方得四之三之方根〈何谓四之三之方根盖四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为十则能发之根也既不能发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之方根根号也法见下文〉次以四之三乘甲乙四之一〈甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根为同类故可以相乘若能发之根与不发之根为异类不可相乘故别求同类者乘之同类者则两方数也算法根乘根得方开方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其根号独用两方相乘得数以分法𨳩之得异类两根相乘之容方积也详见句股索隐〉得方方根〈即根之方〉十六之三为元形之容次用分法开之得九十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不能毕合以开方不尽故
　　系三十为元形乙丙边上方形十三
　　为乙丙丁三边形之容盖两形同底
　　则其比例为三十与十三求分之母
　　为全数全数者一也则一边之方数亦一其根亦一
　　法曰三角形边上方形与三边形之容若三十与十三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也
　　又如各边为十其半五五自之得二十
　　五以减全边方之一百馀七十五开方
　　得八又一百之六十六以五乘之得四
　　十三又十之三较前少差以开不尽故
　　公法先求形之中垂线以形之半周乘
　　之得形之容凡有法之形通用此
　　解曰设三边等形从心向各边作垂线
　　又向各角作线必分元形为六直角形
　　而等夫甲皆直角甲乙边俱等则其为
　　句股形亦各相等半句〈即甲乙之半〉乘股〈即甲〉
　　〈丙中垂线〉得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次〈为半句者六也〉乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有奇为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五若所设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十方寸有奇如前法试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘之得一八七五开方得四三同前法
　　一系若三边等形之边为全数如十百千等其中长线及其容积皆不发之数〈十四卷十二〉
　　二系二边等形先求中长线如三边等形之法如两
　　腰各五底六半之三自之得九以减腰
　　五上方二十五得十六开方得四中长
　　线也馀与前等
　　三系三边不等形有一明角而求中长线则从一隐
　　角向对边作垂线成句股形有角有
　　以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙
　　丁十二丁乙十五乙角二度二分从丁
　　作丁甲垂线成两句股形其甲丁乙形
　　有丁乙边乙角而求丁甲边为全数〈内〉
　　与丁乙边十五〈外〉若乙角之正三七五一五〈内〉与甲丁边五六二七二五〈外〉约得五尺有奇以所得与底之十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十八方尺有奇元形之容也〈凡先设先得者为明所求为隐边角同下文仿此〉
　　若俱隐角则用本书一卷六题法从大
　　角至底作垂线求两任分底之各分若
　　干既分元形为两句股各有又求得
　　句以求股若干即元形之中长线
　　法曰丁乙丁丙两小边相并为总相减
　　得存存总相乘为实底数为法而一数
　　与底相减所馀半之得相小边之小半
　　底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相
　　减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七两小边并得三十二总也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁边自之得二八九相减馀一八一又九之八开方得十三又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之积也试用本题一法三边并得五十六半之二十八各边之减较为四为十三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六○一六开方得一二六有奇不尽若有角求一边或有二角求二边亦先求边〈本书一卷十五十六题〉
　　若形之边为断几何如圆果平积
　　之边其法以边数自之又加边数
　　半之为形之积假如各边有三自
　　之得九加边得十二半之得六形
　　积也又如设边五自之得二十五
　　加边三十半之得十五积也见算
　　章逓加法
　　第三题
　　量多边形
　　一解曰有法多边形求其容必先分元形皆为两边等三角形故不论㡬何边俱同法
　　法曰多边形从心至各作线悉分为两边等三角形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之容并之得元形之容
　　如八边边设十步从心至角作线辏心成八角皆等凡
　　辏心必四直角分三百六十度八而
　　一每角得四十五度乙丙丁角形二
　　边等有丁丙底有丁乙丙角则丁丙
　　两角并得一百三十五度半之得六
　　十七度又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲〈半元边为五〉求甲乙垂线即全数〈内〉与丁甲〈五外〉若丁角之切
　　线〈二四一四二一内〉与甲乙边〈一二○七一○五外〉约
　　之得十二步有奇以乘甲丁五步得
　　六二三五五二五约六十步有奇八
　　之得四八八四二四○○约得四百
　　八十八步有奇为元形之容
　　若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等又如十二边有法形边设十步以十二除三百六十度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度从心作乙甲线至丁丙边又甲乙丁角形有甲丁五步有丁角七十五度求甲乙线即全数〈内〉与甲乙〈五外〉若丁角之切线〈三七三二○五内〉与甲乙〈八一八六六○二五外〉约得十八步有奇甲乙中垂线也次如前
　　或用正数法曰各边为本弧之
　　即半边为半弧之正而中垂线为
　　半弧之馀以边数除三百六十得
　　设边之弧边数及弧度各半之次用
　　半弧度求其正及馀末用三率法以半弧之正为第一半边数为第二馀数为第三得第四为正垂线即乙甲
　　如五边等形边设十二以五除三百
　　六十得七十二半之得三十六其正
　　五八七七九为一率〈内〉其馀八
　　○九○二为三率〈内〉半边六为二率
　　〈外〉得九又九之一为四率〈外〉即一边上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五边形之周为六十乘得五四六又九之四为五边形之并积
　　多边有法形之比例　多边有法形之具三曰边曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例
　　每形之边为一〈一虚数也丈尺寸分唯所设之〉
　　三边形之周三积为三十之十三
　　四边形之周四积为一
　　五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽
　　六边形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足
　　七边形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈
　　八边形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足
　　九边形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽
　　十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足
　　用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也
　　旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法
　　分元形作两句股形各形有有句以
　　求股而求积得八四又三十之二十八
　　几为八五非八四
　　论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不
　　知丙乙十四乙甲七各自之相减开方
　　乃十二有奇非十二也且七除又七乘
　　安用之
　　旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六边等形内有
　　三角等边形六用古法得各形之积为
　　九十六又七之六六因之得五九一又
　　七之一非六七五
　　论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙边乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同边而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之馀九六○八角形积也
　　正法作图每两边引长之遇于甲成正
　　方形其内有元八边形又有甲乙丙四
　　句股形以丙乙元形边十四为求丙
　　甲而句股等法以十四自之得一九
　　六半之得九八开方为九又十九之十
　　七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁
　　元形之边得三十二又十九之十七为甲甲正方之边自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积馀九四四有奇元八角形之积也古法曰九六○谬矣
　　论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有奇不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙边与乙丙俱十四不知各率皆是而独乙丙非十四也故八角形之积实少而误以为多













　　新法算书卷九十
<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>