钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第053卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第五十三卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第五十三卷目录

　历法总部汇考五十三

　　新法历书三〈恒星历指二〉

历法典第五十三卷

历法总部汇考五十三

新法历书三

恒星历指二

《恒星本行》第一。〈凡五章。〉

前卷所借西史测星之法，为《恒星历》之基本，此卷应 准前法，仍借旧测诸星经纬度立表，以待推算。然旧 测在万历十三、四年，今相去四十馀载，不复可用，宜 作新表。又须先明新旧所以异同之故，不得不论其 本行次，乃定时下各星之经纬度表。

恒星本行之征

七政之运行也，时相会，时相对。其与恒星也，时相近， 时相远，其本曜之光，时消时长。

“月有晦朔弦望。” 《近论》太白、辰星、荧惑皆有之。

“其东西出没于卯酉也。时南时北，其过子午圈也，时 高时下，人目所见，变动不居。故从古迄今，人人知其 自有运动，因生各曜推步之法，无可疑者。若恒星则 无先相会后相望，无先相近后相远，其光不消不长， 其东西出没，其过子午圈，虽百数十年，无从觉其有 差，安知其有本运动乎？”夫恒星移运，非一世之事，前 古历家既已测其定度，欲更得其转移之数，必百年 数十年，谁能待之？是故一人之身，绝无能觉之缘也。 后来学者，传受先贤所测度数，复身试测之，往往见 其不合。先人所见与四节相近者，后人测之渐远，又 后之人测之又渐远，从是推知恒星有本行之实，度 分及其移易之所以然也。如角宿大“星，《古地末恰》”于 周赧王二十年丙寅测得其经度，在秋分前鹑尾宫 二十二度。后。多禄某于汉顺帝永和三年戊寅测在 鹑尾宫二十七度后。《泥谷老》于嘉靖四年乙酉测得 过秋分，在寿星宫一十七度。后。第谷于万历十三年 乙酉测在寿星宫一十八度。轩辕星亦如之，周赧王 丙寅在鹑首宫二十七度。汉永和戊寅，在鹑火宫三 度二十分。今测在鹑火宫二十四度四十分。馀星皆 如之。是以帝尧之世，日中星鸟谓春分，则初昏时鹑 火中也。而周末在井，今在参矣。尧时冬至，日在虚；汉、 唐在斗，今在箕矣。非其自有本行，安得冬至宿虚离 而西，鸟离子午而东乎？

恒星本行之极

七政本行，以黄道为道，以黄道极为极，终古恒然。何 繇知之？盖人目所见，出没于地平之卯酉，南北不一； 过午之高度，多寡不一。又有时离赤道而南，有时复 还于赤道之北。以此知其行，必非循赤道行；以此知 其极，必非宗赤道极也。然七政之循黄道，或浃旬可 得，或周岁可得；恒星之循黄道，必上下古今，然后可 得。何者？上古有测，中古有测，今时有测，乃恒星出没 地平之处，今非中古之处，中古非上古之处，其遇午 之轨高亦然。而恒移不定者，赤道之距度；恒定不移 者，黄道之距度也。以此推知，其循黄道行，宗黄道极， 与七政同理，灼然无疑矣。更征实论之，凡恒星距赤 道之度，从星纪迄鹑首，则在赤道之南者，必古多而 今渐少；在赤道之北者，必古少而今渐多，不似七政 之行从冬至逾春分，而夏至自南趋北乎？从鹑首迄 星纪，则在赤道之南者，必古少而今渐多；在赤道之 北者，必古多而今渐少，不似七政之行从夏至逾秋 分，而冬至自北趋南乎？如外屏第二星，尧时在赤道 南一十二度，彊因此时入娵訾宫，故距度渐减至多 禄某，尚在南○二度四十九分，后渐过赤道以北，今 北距五度矣。井宿距星，尧时在赤道北一十四度弱， 因入实沈宫，故距度渐加至多禄某，得二十度，正今 北距二十三度，与夏至圈相近也。又轩辕大星，尧时 距赤道北二十四度，因入鹑火宫，故距度渐减至多 禄某，得一十九度三十○分，今止一十三度三十○ 分。角宿大星，尧时距赤道北十○度，因入鹑尾宫，故 距度渐减，以至于尽，尽而复加，至《多禄》某，过赤道距 南三十○分，而今渐远，距南得○九度一十○分。以 此三四星为征，馀者尽然，知其不随赤道而循黄道 行，宗黄道极也。且七政皆右行，而恒星亦右行，以此 推之，尤著明矣。

恒星本行古测

多禄某见恒星距赤游移不一，先以上古所测星之 赤道距度、黄道距度及其两道相距度，依三角形法 测得其黄道经度，后以自测之赤道距度，如前求所当之黄道经度，以两距时之经度差，得中积之本行， 假如地末恰在其前。四百三十二年所测角宿大星， 距赤道北一度二十四分，距黄道南二度，正此时之 两道相距，为二十三度五十一分。因推其黄道经度， 在鹑尾宫二十二度二十○分后，自测其黄道距度， 已过赤道而南三十○分。其黄道距度及两道相距 如前，因得本星黄道经度，在鹑尾宫二十六度三十 八分。以较地末恰所测，差四度一十八分。以四百三 十二年分之，约得一百馀年而行一度。此《多禄》某所 定为恒星本行也。

泥谷老后多禄某一千三百八十六年。又以《时史》所 记恒星距赤道度及所自测，以推其本行渐次成速。 盖从多禄某至巴德倪七百四十一年，共得本行一 十一度二十六分，为六十五年而一度。又六百四十 五年至见测时行九度一十一分，是为六十一年而 一度。以是论恒星之本行有迟速，初无恒度可为常 定不易之法也。因立为迟疾加减法。今略解之云：凡 恒星去离四节有两说。或云恒星离四节，〈二分二至〉而右。

图

行每六七十年进一度或四节离恒星而左行每六七十年退一度其理则同此所用者左行而退度也如图甲戊子大圆为黄道甲为天元春分古时合于娄宿南星后来春分去离天元甲而积渐西移以至于戊乃其行迟疾不一故

推步之法，以从甲至戊之本行为春分去天元之平 行，以戊为心，作午子、己小平面圈，贴合于圆球面上， 以子未全径指量平行与视行。〈视行即实行也〉之差度。其癸 己辛边上，为自行度，立加减法。若在己未午半圈，则 减于甲戊之平行，以得其实行；若在午子己半圈，即 加于甲戊之平行，以得实行也。依此，所求有三：一求 春分节，戊随时去离天元甲若干为平行；二求小圈 之最远，己随时向辛未行若干为自行；三求子未小 圈半径内加减度所当小圈边之自行度，即显恒星 实本行之度也。

恒星本行今测

从古历家既知恒星自有本行，后相去二千馀年，其 所行度尚未及周天十二分之一。〈三十○度〉“其迟如此，乃 欲借此推测全周，欲定其运行体势，历岁多寡，譬如 隙中窥豹，所见一班，而遽欲概其全体，何从取证乎？ 故古来诸家所定，或六十年，或七八十年，或百年，而 行一度，各不相合。若于诸家所定长短不齐之中立 为别法，又甚繁而未必是也。”苐谷精思累年，用前贤 之成法，展转参订，始信恒星运动常是“平行。虽从前 诸测，不无差殊，究所从来，各有因起，穷极理势，终归 一致。”其说：先以泥谷老所测角宿距星试之，于正德 九年甲戌，测得赤道南距八度三十六分。《苐谷》疑前 测地面，其北极出地高度尚非真率，使人用大器密 测，实得彼所用高度，尚差二分四十五秒。因辨角距 星距度中宜减二分四“十五秒，为北极不及之度。”又 以所自测本星之黄道南距一度五十九分及此时 之两道相距二十三度三十一分三十○秒，依前卷 三《角形法》，改泥谷老时所测黄道经应，得过秋分一 十七度○三分三十○秒。又自于万历甲申年测算， 得十八度○三分。两测时相距七十年，而角南星行 五十九分三十○秒，即一年得五十一秒，为恒星本 行之恒数也。

又疑“七十年时日太少，不足以推验《全周》。”再引系巴 科于汉武帝元朔六年戊午所测轩辕大星，在鹑首 宫二十九度五十○分，至自测时逾一千七百一十 三年，乃在鹑火宫二十四度○五分，即所行二十四 度一十五分。以距年而一，亦得五十一秒，为一年之 本行。凡七十年，又七阅月而行一度，可为定率矣。 又因此距太远，复引巴德倪在系巴科后一千○六 年，为唐僖宗中和四年甲辰所测轩辕大星，得其黄 道经度，在鹑火宫一十四度○五分，比元朔戊午赢 一十四度一十五分，迄苐谷时，越七百○五年而差 一十度。正究其比例，又得五十一秒，为一年之本行。 且无迟速。若兹参伍，知千年数百年，此率犹当未变 也。

或问“前言古名历若地末，恰若多禄，某各有测验，苐 谷时曷不用此二家之说，并加参伍乎？”曰：“依地末恰 多”、禄某测法，即二家所得本行先自不合，用之参伍， 将何从而可乎？试简彼两测角距星，地末恰测在鹑 尾宫二十二度二十○分，越一千八百七十九年而 苐谷测得经度东行二十五度四十三分，即一年平 行仅得四十九秒一十五微。多禄某测在鹑尾宫二 十六度四十○分，越一千四百四十六年而《苐谷》测 得东行二十一度二十三分，即一年平行五十三秒一十五微，何从而可乎？若损其有馀，补其不足，亦宜 以五十一秒为正，何况有系、巴科、巴德倪《苐谷》三，测 数并较，并无乖舛，安得舍此之密合，而从彼之纷纭 哉。

又问：“古者测验，何故多有不合，而今所当用，全属苐 谷之新法乎？”曰：“苐谷测星，非得其分秒不用，非三四 器三四人同时并测，而所并得在一分以内不用，故 其法为独密也。古法宽疏，或仪器未善，或未觉知天 行变易之详，所测度数，差在数分之内，自谓足矣，安 得如新法之精乎？又，苐谷于恒星一一测候，皆躬亲” 为之，又苦心数十年，乃得就此。若古测不能遍及诸 星，又皆远借系巴科所遗之经纬度表，加以后来行 度，率尔立法，未如苐谷之实测实见，确有据依，可以 信今传后也。若泥谷老所立恒星测法，设平行自行， 以迟疾加减求得实行，当其时诚为密合。今以测星 法细考之，已觉稍远，将来愈久愈远，后有作者。当自 得之。不待繁称也。

恒星本行表

因列宿本行恒平分无迟速，可用加减法，于《历元》以 前、历元以后时时，推得黄道经度所在也。若因黄道 距度稍有变易，恒星本行亦当小差。此在数百载之 后，随时测定，若经度分，即数百年后亦当未变。况《苐 谷》所测，近在四十年间，今借用之，岂非河汲水甚 易，而实是乎？

崇祯元年戊辰，为《历元》。下推应加，上推应减。〈分秒法俱是六 十〉

加。〈每年五十一秒。〉减。〈同上〉　　加。〈同上〉减。〈同上〉　　加。〈同上〉减。〈同上〉

戊辰。〈分○○秒○○〉戊辰　　　　　　丁丑。〈○七三九〉己未　　丙戌。〈一五一八〉庚戌 己巳。〈分○○秒五一〉丁卯　　　　　　戊寅。〈○八三○〉戊午　　丁亥。〈一六○九〉己酉 庚午。〈分○一秒四二〉丙寅　　　　　　己卯。〈○九二一〉丁巳　　戊子。〈七○○〉戊申 辛未。〈分○二秒三三〉乙丑　　　　　　庚辰。〈一○一二〉丙辰　　己丑。〈一七五一〉丁未 壬申。〈分○三秒二四〉甲子　　　　　　辛巳。〈一一○三〉乙卯　　庚寅。〈一八四二〉丙午 癸酉。〈分○四秒一五〉癸亥　　　　　　壬午。〈一一五四〉甲寅　　辛卯。〈一九三三〉乙巳 甲戌。〈分○五秒○六〉壬戌　　　　　　癸未。〈一二四五〉癸丑　　壬辰。〈二○二四〉甲辰 乙亥。〈分○五秒五七〉辛酉　　　　　　甲申。〈一三三六〉壬子　　癸巳。〈二一一五〉癸卯 丙子。〈分○六秒四八〉庚申　　　　　　乙酉。〈一四二七〉辛亥　　甲午。〈二二○六〉壬寅。

加。〈每年五十一秒。〉减。〈同上〉　　　加。〈同上〉减。〈同上〉　　加。〈同上〉减。〈同上〉

乙未。〈分二二秒五七〉辛丑　　　　　　庚戌。〈三五四二〉丙戌　　乙丑。〈四八二七〉辛未 丙申。〈分二三秒四八〉庚子　　　　　　辛亥。〈三六三三〉乙酉　　丙寅。〈四九一八〉庚午 丁酉。〈分二四秒三九〉己亥　　　　　　壬子。〈三七二四〉甲申　　丁卯。〈五○○九〉己巳 戊戌。〈分二五秒三○〉戊戌　　　　　　癸丑。〈三八一五〉癸未　　戊辰。〈五一○○〉戊辰 己亥。〈分二六秒二一〉丁酉　　　　　　甲寅。〈三九○六〉壬午　　己巳。〈五一五一〉丁卯 庚子。〈分二七秒一二〉丙申　　　　　　乙卯。〈三九五七〉辛巳　　庚午。〈五二四二〉丙寅 辛丑。〈分二八秒○三〉乙未　　　　　　丙辰。〈四○四八〉庚辰　　辛未。〈五三三三〉乙丑 壬寅。〈分二八秒五四〉甲午　　　　　　丁巳。〈四一三九〉己卯　　壬申。〈五四二四〉甲子 癸卯。〈分二九秒四五〉癸巳　　　　　　戊午。〈四二三○〉戊寅　　癸酉。〈五五一五〉癸亥 甲辰。〈分三○秒三六〉壬辰　　　　　　己未。〈四三二一〉丁丑　　甲戌。〈五六○六〉壬戌 乙巳。〈分三一秒二七〉辛卯　　　　　　庚申。〈四四一二〉丙子　　乙亥。〈五六五七〉辛酉 丙午。〈分三二秒一八〉庚寅　　　　　　辛酉。〈四五○三〉乙亥　　丙子。〈五七四八〉庚申 丁未。〈分三三秒○九〉己丑　　　　　　壬戌。〈四五五四〉甲戌　　丁丑。〈五八三九〉己未 戊申。〈分三四秒○○〉戊子　　　　　　癸亥。〈四六四五〉癸酉　　戊寅。〈五九三○〉戊午 己酉。〈分三四秒五一〉丁亥　　　　　　甲子。〈四七三六〉壬申　　己卯。〈一度○○二一〉丁巳， 以日周三百六十五度四分度之一，推恒星积岁本 行列表如左，分秒、微纤法俱一百。

年　　分　　　秒　　　微　　　纤　　　年　　度　　　分　　　秒　　　微　　　纤： “一　　一　　　四十三、　七十三、　二十六、　八十　一、　　　一十四、　九十八、　六十一、　一十一、 二　　二、　　　八十七、　四十六、　五十二、　九十　一、　　　二十九、　三十五、　九十三、　七十五 三　　四、　　　三十一、　一十九、　七十八　一百　一、　　　四十三、　七十三、　二十六、　三十九 四　　五、　　　七十四、　九十三　○六、　　二百　二、　　　八十七、　四十六、　五十二、　七十八、 五　　七、　　　一十八、　六十六，　三十二，　三百　四，　　　三十一，　一十九，　七十九，　一十七， 六　　八，　　　六十二，　三十九，　五十八，　四百　五，　　　七十四，　九十三　○五　　；五十六， 七　　十　　　○六，　　一十二、　八十五，　五百　七，　　　一十八，　六十六，　三十一，　九十四， 八　　十一，　　四十九，　八十六，　一十一，　六百　八，　　　六十二，　三十九，　五十八，　三十三， 九　　十二，　　九十三，　五十九，　三十八，　七百　一十　　○六，　　一十二”，　八十四，　七十二 十　　十四，　　三十七，　三十二，　六十四，　八百　一十一，　四十九，　八十六，　一十一，　一十一， 二十，　二十八，　七十四，　六十五，　二十八，　九百　一十二，　九十三，　五十九，　三十七，　五十， 三十　四十三，　一十一，　九十七，　九十二，　一千　一十四，　三十七，　三十二，　六十三，　八十九， 四十　五十七，　四十九，　三十　　五十六，　二千　二十八，　七十四，　六十五，　二十七，　七十八， 五十，　七十一，　八十六，　六十三，　一十九，　三千　四十三，　一十一，　九十七，　九十一，　六十七， 六十　八十六，　二十三，　九十五，　八十三，　四千　五十七，　四十九，　三十　　五十五，　五十六， 七十　一度○，　六十一，　二十八，　四十七，　五千　七十一，　八十六，　六十三，　一十九，　四十四。

《岁差》第二。〈凡一章。〉

岁之有差，亦多故矣。一因太阳最高行度，一因太阳 本圈心去离地心渐次不等，此二者为自差之根。或 因测验未合，或因北极出地之高度未真，此二者为 偶差之根。若无此四缘，即太阳所成岁周，终古若一， 何难之有哉？然而太阳最高地心去离，皆缘古今测 候，灼然无爽，故当依彼自差，创意立法。若恒星行度 参错短长，既未能确见其所；而平行一法，又千数 百年来的有可据，则短长之因，亦宜断归于偶差而 已，何必强定为自差，揣摩臆度，定为参差之法？并向下诸天亦与之为参差，牵率天行，慭从彼管窥未定 之说耶？今依实测实理，则恒星经岁之间，其东行实 得三百六十五日二十四刻○九分二十六秒四十 三微，常有定率，绝无多寡，以较日躔定用岁实。实赢 一刻五分四十二秒。以变经度，得五十一秒，为恒星 周岁。离四节而东行之经度。

恒星岁实

古今定岁实之法有二：一为“星岁”，恒星行周岁而复 于故处是也；一为“节岁”，日行周岁而复于故处是也。 近古历家专用节岁者多矣。泥谷老于正德年间欲 复用星岁，其说引恒星之岁实三：一上古之实，为三 百六十五日二十四刻一十一分；其一中古之实，为 三百六十五日二十四刻○九分一十二秒。又自行 测“验，约略改定为三百六十五日二十四刻○九分 四十○秒。以先后三率较之，所差仅一分四十八秒， 以为密亲。”又用古今所测节岁相较，二千年以来有 差至八九分者，以为疏远。此其复用星岁之本意也。 然苐谷更密考之，并恒星岁实所得日数亦复小异。 其法取多禄某所测太阳及恒星度分，以较所自测 度分，又除去最高差，不同心差，专求太阳从娄西星 平行之度。

上古春分节密合于娄西星后，节渐违星而西，星渐违节而东。推步者从天元春分以迄娄西，定为若干度分，是名“岁差根” 也。

自“多禄某以迄自测，得两距之中积度分，用中积岁 而一为每年之岁实也。”按多禄某于汉顺帝永和三 年戊寅测得天正秋分《苐谷》于万历十六年戊子亦 如之。次加两测地之东西差。

两测地有东西差，即中积岁之率，有多有寡。加之者，令两测之中积岁等。

得中积距，一千四百五十五年三百五十三日五十 九刻一十○分。依此查太阳平行，得若干周，如左。 《多禄》某测太阳在秋分节，其最高在实沉宫五度三 十分，其本圈心距地心之度为六十○分，本圈半径 之二分二十九秒三十○微。如左图甲为最高，丙为 最高心，戊为地心，甲乙为太阳离最高之弧弧之对。

图

甲戊乙与丙戊乙同角则乙丙戊三角形内有乙丙为本圈之半径有丙戊为本圈心离地心之远有丙戊乙角对太阳去最高之远可推得丙乙戊角为中处〈日平行所至〉与实数。

以见测视行依法加减讫即实行

之差，因在夏后冬前，宜以“中实差”加于实处。

若冬后夏前，则以减于实处。

即太阳实处改为“中处”，而离春分得六宫○二度一 十○分。当时岁差根止六度三十六分。

因此时测得角距星距赤道三十○分。推得其黄道经度，距春分为一百七十六度三十六分，内减角距娄西之本距一百七十○度，正馀六度三十六分，为此时之岁差根。

以减太阳距节平行度六宫○二度一十○分，得太。

图

阳距娄西星平行度五宫二十五度三十四分为阳嘉元年壬申之太阳平行根

后苐谷亦测太阳在秋分此时最高移至鹑首宫五度三十○分如图甲为最高丙为太阳本圈心戊为地心二心之距丙戊为六十○分本圈半径之二分○九秒乙为太阳之实处

图

见测之数已经加减讫

距最高八十四度三十○分所对甲戊乙与丙戊乙同角即乙丙戊三角形内有乙丙丙戊两边有戊角可推丙乙戊角为中处与实处之差得二度○二分

三十○秒。以加实处，得中处六宫○二度○二分三 十○秒，为太阳距春分之平行度也。内减此时之岁 差根二十八度○五分三十○秒，得太阳去离娄西 星平行五宫○三度五十七分。以较前多禄某所测， 五宫二十五度三十四分所差二十一度三十七分， 为太阳中积年间之平行。以恒星之中积度分，推太 阳之右旋，得一千四百五十五周三百三十八度二 十三分。以四率比例，推得日行度五十九分○八秒 一十一微二十七纤一十四芒二十六末五十四尘一年行一十一宫二十九度四十四分四十九秒四 十○微四十二纤五十三芒三十八末三十○尘，为 恒星岁实。较《泥谷老》所定，实少一十三秒一十六微 三十○纤。变时得三百六十五日二十四刻○九分 二十六秒四十三微三十○纤。自《多禄某》以来至于 今，恒如是。

问：“星岁无差而有定算，如此何近古历家不复用之？” 曰：“欲立岁限，以定处为主。节岁于躔道有定处，于四 节有定处，于天气寒暑有定处。若星岁虽有定算而 无定限，随恒星右旋，若随火木土而已，以此较彼，将 孰愈也？其馀尚有他故，《历指》详之。”

《恒星变易度》第三。〈凡三章。〉

向言“恒星有本行”，足明其黄道经度日日变迁，且有 定率矣。若用此以推赤道经纬度，及黄道纬度可否 移易，及其经度差互相近、互相远，俱未及详也。今论 次如左：

《恒星赤道经纬度变易》。

定恒星向赤道之度，必从赤道起算，右行则为经度， 而去离南北则距度也。若从赤道两极出大圈，过春 分，名“极分交圈”，乃为界首经度所始。而星居其上者， 不论在赤道之或南或北，皆无经度分，因在初度初 分故也。一离此圈，不论左右远近，皆名“正升度之圈。”

是从黄道上行，而与赤道同出地平、同入地平者，名“升度圈” ；其在正球处名“正升” ，在欹球处名“斜升。” 然止论赤道度，则皆用正升。

乃以限赤道之经度，容赤道之纬度也。又赤道大圈 为南北距度所始，星居其上，则无纬度，一离此圈，不 论南北远近，乃至两极，皆名“距等圈。”〈或云赤道纬圈〉“乃以限 赤道之纬度，容赤道之经度也。”但赤道既斜交于黄 道，而恒星依黄道有本行，必与赤道纬圈皆以斜角 相交相过，即星虽在赤道纬圈上得限距度，而以迤 行，故即黄赤两距圈每相违远矣。故星之升度圈，能 得黄、赤经度合一不离者独有二：一为同在极至交 圈，一为同在两道交之两点。自此而外，更不可得。虽 行黄道经度均平如一，其行赤道经度时时变动。所 以然者，赤道之升度圈与黄道极所出圈相遇有疏。

图

有密随在不等故也如图赤道极乙所出升度圈乙午乙子乙癸等黄道极甲所出圈甲庚未甲丑未等若星在黄道纬之丙己圈行近于黄道即黄赤两极所出两圈相去略等其经度或赤道或黄道东行亦略等若星距黄道远在戊

丁圈从戊至庚，设一十五度，即星历黄道经圈若干 时得戊庚十五度而历赤道升度圈亦若干时，所过 乙壬乙癸。〈各十五度〉将及乙甲，几四十度矣。所以然者，甲 庚未弧限黄道经度至戊庚已稍宽，而乙壬、乙癸等 弧限赤道经度至此尚密，所以星行历黄道经度少、 历赤道经度多也。又使有星在黄道纬之辛丁圈上 行，即乙午、乙子等弧限赤道经度者反宽，而甲辛未 等弧限黄道者反密，则星行时所历黄道经度反多， 历赤道经度反寡矣。总言之，为星行二道之经度。恒。

图

自不等

再论星历赤道纬度亦常不等如图甲为星在赤道南二十三度三十○分若行一周必至分节乙即无距度然随黄道行必过赤道而北极远处又在北二十三度三十○分矣又丙为星行一周即离赤道圈

丙，渐至己，行愈远，去赤道亦愈远，至丁必离四十七 度。若更在戊，距赤道丙己向北二十○度，过庚行愈 远，距亦愈远，至壬为本圈距赤最远之界，更加二十 ○度，总为六十七度矣。馀皆仿此。盖左边距赤之度， 每多于右边距赤之度，如庚之距乙多于戊之距丙 也。至北极癸即左满九十度，若过极即周行皆在癸 丙九十度间，戊辛之间加一度，即癸辛之间减一度。 〈减者减癸丙九十度也〉若至黄道极辛，即其距度终古不易矣。

二十八宿，各宿度变易。

或问：“二十八宿有次第。盖日月五星，各以本行，先历 角宿，至亢至氐、房、心等，古昔如此，今世不然，所见先 入参度而后过觜度，自馀不觉者，宿度宽也。其实皆 有之，何故？”曰：“二十八宿不以赤道极为本行之极，而 以黄道极为极，故其行度时近时远，于赤道极。行渐 近，极即北极所出赤道经圈渐密，七政过之，其行则 疾；渐远极”，即《赤道经》圈渐疏。“七政过之，其行则迟。”七 政行度疾于恒星远甚，其逐及于近极之恒星，在古 觉速，在今觉迟；其逐及于远极之恒星，在古觉迟，在

图

今觉速皆缘二道二极能使其然非七政有异行亦非恒星有易位也

如图赤道南北极甲上所出各圈相去皆设一十度黄道两极乙上所出各圈亦如之有星为丁即限其赤道经度者为甲丁癸圈而星却不依赤道行乃依

图

黄道自丁向戊行约每七百年行一十度也又一星为己原设在丁前一十度其限赤度者为甲己子圈而所行亦依黄道自己向庚七百年十度因是己星依黄道至壬时丁星亦依黄道至辛己壬以黄道筭得十经度而丁辛亦正对

寅卯，为黄道之十经度也。然以赤道算之，则黄己壬 所对赤子丑一十度之弧，而黄丁辛所对，不止赤癸 子一十度之弧，更过赤道子而近丑，将及二十度，即 丁星先在己星之后十度，而渐向前行，至逐及于甲 丑圈上，即两星同经度矣。过丑则丁反在前矣。假令 日循黄道，亦于丁戊线上行，何得不于七百载之先， 至卯入丁宿度前距己未及数度，而七百载之后乃 至壬并入丁己二宿同经之度乎？此非行有疾迟，皆 因度有广狭故也。度之所以广狭者，分宿度以赤道 所出经圈为限，而步《七政》以黄道所出经圈为限也。 但此设丁己二星，一近北极，一近黄道，相去稍远者， 欲令此理灼然易见，若设两星距度不远，即不必七 百年能超逾十度，或进一二度，亦此理耳。若古时七 政所历，先后不相越者，正当黄赤二度，广狭相等故 也。

考赤道宿度差

《中历》，古分宿度以相并，或不成一周天。今用之不合 天度，因自《授时》以来，如上所说宿度变易故也。法宜 先求今之实宿度，以究极古今异同之故，仍立法以 求古之实宿度。如尧时冬至，相传日在虚七度，或在 初分，或在末分，皆不可知。今折中设在六度三十○ 分，即所用虚宿距星，定在析木宫二十三度三十○ 分，为“其赤道经度”，则其距黄道之纬度必八度四十 二分。以此经纬度依三角形法，推其黄道经度，所得 与赤道经度不远，亦在本宫二十三度三十八分。所 以然者，两星之黄道经度差，终古不易。依诸距星，今 相离黄道经度，可以定古黄道各宿度，而更以黄道 经纬度覆求各距星之赤道经度及各宿本度也。其 术俱用三角形法。

古赤道积宿度：〈今筭定。〉

角，一百四十六度三十一分。〈春分起算〉

《亢》，一百五十九度○五分；

氐，一百六十八度四十四分；

“房”，一百八十一度四十五分。

《心》，一百八十七度二十五分。

“尾”，一百八十九度二十○分；

箕二百○七度○五分；

《斗》，二百一十七度二十七分。

牛，二百四十二度四十六分。

“女”，二百五十○度十○分。

虚二百六十三度三十○分。

《危》二百七十二度三十七分；

《室》，二百九十一度二十四分；

《壁》，三百○七度二十四分；

《奎》，三百一十九度五十三分；

《娄》，三百三十三度四十六分；

“胃”，三百四十四度二十○分。

“昴”，三百五十九度二十二分；

“毕”，一十○度二十二分。

《觜》，二十八度二十五分；

参：二十○度五十五分。

《井》，三十五度一十七分；

“鬼”，六十五度○八分。

《柳》，七十二度三十三分；

星：八十八度五十四分；

“张”，九十六度二十四分；

《翼》，一百一十三度○三分。

《轸》，一百三十○度○二分；

今赤道积宿度

角，一百九十六度二十六分。

《亢》，二百○八度一十○分；

氐，二百一十七度二十九分；

房，二百三十四度一十○分心，二百三十九度三十八分。

“尾”，二百四十五度四十七分。

箕，二百六十五度○五分；

《斗》，二百七十五度三十九分。

牛三百○○度○三分。

《女》，三百○六度五十三分。

《虚》三百一十八度○○分。

《危》三百二十六度四十一分；

《室》，三百四十一度三十四分；

《壁》，三百五十八度三十四分。

“奎”，六度五十七分；

《娄》，二十三度三十二分；

“胃”，三十五度三十六分。

“昴”，五十○度十六分；

“毕”，六十一度四十五分。

参：七十八度二十九分。

《觜》，七十八度四十三分。

《井》九十度○七分；

鬼：一百二十二度二十一分。

“柳”，一百二十四度三十○分。

星：一百三十七度二十一分；

“张”，一百四十三度○九分；

《翼》，一百六十○度二十八分。

《轸》，一百七十九度○六分；

赤道古各宿度　　　　，今各宿度。

角，十二度三十四分，　　十一度四十四分。

亢，九度三十九分。　　　九度十九分。

氐，十三度○一分。　　　十六度四十一分。

“房”，五度四十○分。　　　五度二十八分。

《心》，一度五十五分。　　　六度九分。

尾，十七度四十五分，　　一十九度一十八分。 箕，十○度二十二分，　　十○度三十四分。

斗，二十五度十九分，　　二十四度二十四分。 牛，七度二十四分，　　　六度五十○分。

女，十三度二十二分。　　十一度○七分。

虚，九度○七分。　　　　八度四十一分。

《危》，十八度四十七分。　　十四度五十三分。

《室》，十六度○○。　　　　十七度○○。

《壁》，十二度二十九分。　　八度二十三分。

奎，十三度五十三分。　　十六度三十五分。

《娄》，十○度三十四分。　　十二度○四分。

胃，十五度○二分。　　　十四度三十○分。

“昴”，十一度○○　　　　十一度二十九分。

毕，十八度○三分。　　　十六度三十四分。

《觜》，二度三十○分。　　参○度二十四分。

参，四度二十二分。　　觜，十一度二十四分。

井，二十九度五十一分，　三十二度四十九分。 鬼，七度二十五分，　　　二度○九分。

《柳》，十六度二十一分。　　十二度五十一分。

星，七度三十○分，　　　五度四十八分。

张，十六度三十九分。　　十七度一十九分。

《翼》，十六度五十九分，　　一十八度三十八分。 轸，十六度二十九分，　　十七度二十分。

赤道，古今各宿度。〈“依” 三百六十五度四分度之一算。〉

角，十一度九十○分四十四秒。

《亢》，九度四十五分二十六秒；

《氐》，十六度九十二分六十六秒；

《房》，五度五十四分六十四秒。

《心》，六度二十三分九十七秒。

“尾”，十九度三十○分○秒；

箕，十度五十六分六十六秒。

《斗》，二十四度七十五分五十八秒。

牛，六度九十三分六十一秒。

《女》，十一度二十七分五十七秒。

《虚》八度八十一分○秒。

危，十五度十○分四秒；

《室》，十七度二十四分七十九秒。

《壁》，八度四十四分五十六秒。

《奎》，十六度八十一分六十三秒。

《娄》，十二度二十四分二十六秒；

“胃”，十四度七十○分五十八秒。

“昴”，十一度八十一分○二秒；

《毕》，十六度八十○分八十二秒。

〈古觜今参〉○度，四十○分○秒。

〈古参今觜〉十一度五十六分○二秒。

《井》，三十三度二十九分五十三秒。

“鬼”，二度一十五分○秒。

《柳》，十二度八十五分○秒。

“星”，五度八十八分四十六秒。

“张”，十七度五十六分，九十二秒。

《翼》，十八度六十三分三十三秒轸，十七度三十三分三十三秒。

《恒星黄道经纬度变易》第四。〈凡三章。〉

前论“赤道星度，设大圈过南北两极及赤道上，以定 诸星赤道经度。又赤道左右设不等小圈至两极，横 割子午圈以定赤道纬度。”今论黄道以定其经纬度， 亦如之，但不从赤道南北极论，而以黄道南北极论。 一切行度及行度之有变易，皆主此。今论其纬度变 易与否，及其经度差，与诸星相近相远，以尽黄道星 度之理。

《恒星黄道纬度变易》。

苐谷“测星数十年，得其黄纬度以较多。禄某所记微 不合。且极至交圈侧近之星，比于极分交圈侧近之 星，其纬度所差尤多。反复研究，以古黄经度及赤纬 度究其所当黄纬度，明其实然。又欲定诸星之古时 经度，宜得一起算之界，故先求角宿距星经度。”

此为“近于极分交圈者，其黄赤距当不易。”

依前三角形法求其纬度。按地末恰所测角距星，距 赤道北一度二十四分，系巴科所测，止距三十六分。 后多禄某测得其距度，在赤道南三十○分。其黄道 南距度，因此时离秋节不远，故恒为二度不变。因推 得黄经度于地《末恰》时，在鹑尾二十一度五十三分 后，系巴科时在本宫二十三度五十三分。多禄某时 至二十六度三十八分，繇是以角南为距星，先测近 二至之星试之，然后以测分至两间之星，各得其纬 度分，知诸星之距黄纬度渐近，二至渐有变易焉。非 星位之有变易也，而黄道之时远时近于赤道也。 北河西星距角距星之黄经差九十三度三十五分。

图

而在左

此为近于极至交圈可验黄赤距度变易之数

地末恰时其经度在实沈宫一十八度一十八分与夏至近其赤道距度三十三度止后系巴科时稍前在本宫二十○度一十八分赤距度三十三度一十

○分，又多禄某时更前在二十三度○三分，而赤纬 度三十三度二十四分，因是可求其黄纬度，各时所 当焉。如图外圈为极至交圈，甲丙为赤道，甲乙为黄 道，丁为北河西星，甲己为黄经度，庚己为过黄道极 及本星之弧。其赤道纬度，三史所测，皆设为丁戊，今 所求为丁己黄道距度也。丁辛庚三角形，内有丁辛 边，为本星距赤道戊丁之馀弧。

在地末恰时为五十七度，盖三十三度之馀也。

有“庚辛边。”

黄赤二道最远之距，于时为二十三度五十一分二十○秒。

有“辛庚丁角”，

甲己《黄经》七十八度一十八分，馀己乙一十一度四十二分，为辛庚丁角之弧。

以求庚丁第三边，得其馀弧，即本星之黄纬度。丁《己 法》从辛至壬下垂线成两直角形，一为壬辛庚，一为 壬辛丁，先壬辛庚内有庚辛边，有庚角，有壬直角。以 求壬辛边，得四度四十二分一十五秒。又求壬庚得。

图

二十三度二十五分次壬辛丁内有壬直角有壬辛辛丁二边以求壬丁边得五十六度五十二分十五秒以井先得之壬庚边共八十○度一十七分一十五秒为丁庚边是黄道纬度丁己之馀弧即当时北河西星离黄道极庚之度

其馀“九度四十二分四十五秒，为本星距黄道之度。” 依系巴科所测赤纬度如前。其丁辛边，则五十六度 五十○分。〈三十三度一十○分之馀〉两极相距，辛庚仍前，二十三 度五十一分二十○秒，辛庚丁角九度四十二分。

《黄经》“甲己” ，八十○度一十八分之馀。

推壬辛边三度五十四分三十○秒，壬庚二十三度 三十三分，壬丁五十六度四十四分四十五秒，并得 丁庚八十度一十八分，即北河西星黄道之北，距丁 己九度四十二分。

依多禄某所测，其两极距如前。本星赤道纬三十三 度二十四分，即丁辛边为五十六度三十六分。《黄道 经》八十三度○三分，即辛庚丁角六度五十七分。以 推壬辛边，得二度四十八分二十○秒，壬庚二十三 度四十二分，以加壬丁五十六度三十三分一十五 秒，并得黄纬之馀弧，庚丁八十○度一十五分一十 五秒。其纬度稍强于前两测为九度四十四分四十 五秒，总《三史》所推，折中为九度四十三分。以较今测 北河西星之距黄道一十○度○二分，实差一十九分，为《三史》时至今黄赤相距之度，渐次改易，自远而 近也。

又“河鼓中星角距星之经差，九十七度五十二分，在 右边。”

亦近于极至交圈，可验黄赤距变易。

地末，恰时在析木宫二十九度五十○分，距赤道北 五度四十八分后稍前，至星纪宫一度五十○分，其 距赤纬亦五度四十八分。及多禄某时更前，至本宫 四度三十五分，其距赤纬五度五十○分。此时此星 在冬至左右不远，故以黄赤二道相距最远之度加 三测之本星赤纬度，即得黄纬度之二十九度四十 ○分，为其“切近于极至交圈，与其在圈也略等，故不 用三角形法。”乃今河鼓中星距黄道二十九度二十 一分三十○秒，以此证近至之黄赤距度，昔远今近， 极著明矣。

前用二星者，为其一近冬至，一近夏至，皆在黄道北， 必一增一减。其黄纬度，随黄道所两至之处，测其违 离南北几何，得其渐近于赤道也。若考星居分至之 间者，则其差亦在多寡之间矣。如昴宿东第二星地 末，恰以太阴测之，得其北距黄道三度四十○分，在 降娄三十○度后，在大梁三度。《亚仁诺》所测未移纬 度，而今测在本宫二十四度四十五分，恒得距黄道 三度五十五分，较古测强一十五分，为此处变易黄 道之度也。又房宿北星与昴宿为对照地，末恰所测 在大火宫二度，距北一度二十○分后在本宫六度。 然聂老所测未移度，而今测乃前至二十三度二十 ○分，距黄道止一度○五分，较古测差一十五分。即 此时黄道近就于赤道亦一十五分矣。或疑黄赤二 道之距，既能自远而近，则邃古之时必更远，远于何 止乎？曰：邃古之距，无从取证，何可妄为之说？但近古 三史，皆以二十三度五十一分为二至距赤之限，且 测非一人，人非一测，乂皆以太阳二至之高下得之， 岂有误乎？今世之测验更细更详，比昔就近，实为三 分度之一，尤无可疑者。但“自今以后，当复更近，近何 时已近极，或当复远，复在何时？”此则人灵微眇，无能 穷天载之无穷耳。

或问：“前所求虚宿等距星，上古之经度也，而用今之 黄纬度，能无谬乎？”曰：用今世之纬度，微不同于古之 纬度，但以之推南北度，亦微差，以求东西经度，即无 缘致误矣。

恒星黄道经度不变易

“前以恒星之有本行，征其赤道经纬度随时变易者， 为诸星循黄道行斜交于赤道故也。今论诸星循黄 道行，互相视，有迟速乎？”曰：否。藉有迟有速者，必有违 有就；位置有违就者，形象必有改革。乃自上古以来， 氐恒似斗，尾恒如钩，天津如弓，箕宿向冬至行，四千 年得五十四度。虚宿之过冬至也，四千年亦五十四 “度。馀皆若此。历数千年，形象如故，运行如故，迟速如 故”，知黄道经度决无变易矣。系巴科于二千年前述 古记以遗后世。论黄道周绕数星，或居一直线上，或 别成形象，多禄某在后更测之，仍如是，迄今不改。如 当时娄宿自西一二星与天大将军南二星作一直 线，天关星偕毕大星、天廪南二星同“在大梁宫亦如 之。北河二大星与五诸侯中星为三等，边三角形。鹑 火宫内御女，与轩辕向北第二、第四、第六星皆相距 等远。次相星与角宿北星、亢宿北二星在鹑尾宫皆 作一直线，虚宿二星相距之广，同危宿南北二星相 距之广也。”此皆古系巴科所传，与今所见，一一不爽。 试用尺度，向地平二“十○度以上”，既离蒙气之处，一 一量度，甚易见也。此以知恒星各相距或远或近，穷 古今恒如是矣。

考黄道宿度差

“星自循黄道上行，而分别宿度之过极经圈，乃从赤 道极上出。故以黄道之星，历赤道之度，迤行斜过，疏 密疾迟，变迁不一。出黄极者，诸星依之运动，相距远 近，行度迟速，终古如一也。故当有诸恒星之黄道经 度”法。先以尧时冬至日躔虚六度三十○分，用三角 形法，推得其正丽黄经度二百六十三度三十八分， 而以《经度差定率历》，推古今之黄道各宿积度、各宿 本度，并列于左：

黄道宿古积度

角，一百四十四度○三分。

“亢”，一百五十四度三十八分；

氐，一百六十五度一十八分；

“房”，一百八十三度一十二分。

《心》，一百八十七度五十八分。

“尾”，一百九十五度三十一分。

箕二百一十一度○七分；

《斗》，二百二十○度二十七分。

牛，二百四十四度一十八分。

女：二百五十一度五十九分虚，二百六十三度三十八分。

《危》二百七十三度三十七分；

《室》，二百九十三度四十四分；

《壁》，三百○九度二十五分；

《奎》，三百二十○度五十六分；

娄，三百三十四度一十○分；

“胃”，三百四十七度一十○分。

“昴”，三百五十九度○一分；

“毕○”八度四十○分。

参○：二十二度三十八分。

《觜○》，二十三度五十九分；

《井○》，三十五度三十二分；

“鬼○”，六十五度五十七分。

“柳○”，七十○度三十三分；

星○：八十七度三十三分；

《张○》，九十五度五十六分；

《翼》，一百一十四度○○分。

《轸》，一百三十一度○○分。

黄道宿今积度。〈平度。〉

角，一百九十八度三十九分。

《亢》，二百○九度一十四分；

氐，二百一十九度五十四分；

《房》，二百三十七度四十八分。

《心》，二百四十二度三十四分。

《尾》，二百五十○度○七分。

箕，二百六十五度四十三分；

“斗”，二百七十五度○三分。

牛，二百九十八度五十四分。

《女》，三百○六度三十五分。

《虚》，三百一十八度一十四分。

《危》三百二十八度一十三分；

《室》，三百四十八度二十○分；

《壁○》，四度○一分；

《奎○》，一十五度三十二分；

《娄○》，二十八度四十六分；

“胃○”，四十一度四十六分。

“昴○”，五十三度三十七分；

“毕○”，六十三度一十六分。

参○：七十七度一十四分。

《觜○》，七十八度三十五分。

《井○》，九十度○八分；

“鬼”，一百二十○度，三十三分。

“柳”，一百二十五度○九分。

“星”：一百四十二度○九分；

“张”，一百五十○度三十二分。

《翼》，一百六十八度三十六分。

《轸》，一百八十五度三十六分。

右《黄道积度》，是各宿离春分东行之度。其十二次度 分表见后方。

各宿黄道本度

角，一十度三十五分；

亢，一十度四十○分；

氐一十七度五十四分；

“房”，四度四十六分；

《心》，七度三十三分。

“尾”，一十五度三十六分；

箕九度二十○分；

《斗》，二十三度五十一分；

牛，七度四十一分。

“女”，十一度三十九分；

《虚》九度五十九分。

危二十度○七分；

《室》，一十五度四十一分；

《壁》，一十一度三十一分；

《奎》，一十三度一十四分；

娄：一十三度○○分；

“胃”，一十一度五十一分；

“昴”，九度三十九分；

“毕”，一十三度五十八分。

参：一度一十一分；

《觜》，一十一度三十三分；

《井》，三十○度二十五分；

“鬼”，四度三十六分。

“柳”，一十七度○○分。

星八度二十三分；

“张”，一十八度○四分；

《翼》，一十七度○○分。

《轸》，一十三度○三分；

各宿黄道本度。〈以三百六十五度四分度之一分各宿度。〉

角，一十度七十三分七十六秒。

亢，一十度八十二分二十二秒氐，一十八度一十六分一十○秒。

《房》，四度八十三分六十二秒。

《心》，七度六十六分○一秒。

“尾”，一十五度，八十二分七十六秒。

“箕”，九度四十六分九十五秒；

《斗》，二十四度一十九分七十八秒。

牛，七度六十三分五十四秒。

《女》，一十度九十七分，九十九秒。

《虚》，一十度，一十二分九十○秒。

危，二十度四十一分○一秒；

《室》，一十五度九十一分二十一秒。

“壁”，一十一度六十七分六十七秒。

《奎》，一十三度四十二分二十六秒。

《娄》，一十三度一十八分九十六秒。

“胃”，一十一度九十六分，一十六秒。

“昴”，九度七十八分一十一秒。

“毕”，一十四度一十七分○四秒。

参○，一度三十五分○秒；

《觜》，一十一度七十一分○二秒。

《井》，三十度八十六分○二秒。

“鬼”，四度六十五分八十二秒。

《柳》，一十七度二十四分七十五秒。

星，八度五十○分五十六秒。

“张”，一十八度三十三分○一秒。

《翼》，一十七度二十四分七十九秒。

《轸》，一十三度二十四分○三秒。〈按以上原本作历指卷三误当作历指卷

二恒星之二

〉

“以恒星之《黄道经纬度求其赤道经纬度》”，第一上。〈凡二章。〉

“前论恒星，以本行依黄道渐移而东，既有平行经度， 而纬度南北移就，为数甚少，非历岁久远，不可得见。 以此互相推较，其经度差，无时不同，纬度相距远近， 又无从可改。必至数百年后，测验差数，乃得依法推 变也。”若论赤道经纬度则否。星行既依黄道，其向赤 道时时迁改，欲从赤道求之，无法可得。故求赤道经 纬，必用黄道经纬。盖星之去离赤道无恒，而去离黄 道有恒，黄道赤道之相去离也又有恒，以两有恒求 一无恒，无患不得矣。其推步则有多法：或用曲线三 角形，依乘除三率推算，为第一，此《初法》也。或用曲线 三角形，加减推算，为第二，此《约法》也。或用简平仪量 度加减推算，为第三，此《简法》也。或造《立成表》，简阅得 数，并免临时推算之烦，为第四。此因法也。第一法前 第一卷已备论之，今所论者，每具二则，为第二第三 法如左方。若《立成表》，作者甚难，用者甚佚，但恐徇末 忘本，则繇而不知者多矣，今附载之。

图

求恒星赤道纬度前法〈即第二法〉

前法用曲线三角形加减推算如图有星在甲甲辛为黄道纬度其馀弧甲乙为甲乙丙三角形之一边辛戊为黄道经度以加戊己象限得甲乙丙角又乙丙为两极距度则是甲乙

图

丙三角形有甲乙乙丙两边有乙角可求甲丙边甲丙之馀弧甲丁则本星距赤道之纬度也其法以三角形内之小弧加于大弧之馀弧得总弧求其正弦

求纬恒用正弦求经恒用切线

为先得数其总弧或正得

九十度，或较多，或较寡。若正得九十度，即半先得之 弦，为次得之弦。又以大小两弧所包之见角，求其倒 弦。

为角之弧过象限，故用倒弦。倒弦者，对本角过弧之正弦。

则后得之弦也。今用三率法为全数，与次得之弦，若 后得之倒弦与他弦，既得他弦，以减先得之弦，所存 为三角形内第三弧之馀弦，即所求赤道纬之正弦 也。

假如参宿腰星之西有五等小星，其黄道经度于崇 祯元年推得七十四度二十二分，其纬度距黄道南 二十三度三十二分，使黄道在南，距赤道二十三度 三十二分。〈云使者假设之数不用实分秒〉则“三角形”内，甲乙大弧得 六十六度二十八分，乙丙小弧二十三度三十二分， 甲乙丙角对辛戊经度弧及戊己象限弧，共得一百 六十四度二十二分，甲辛为甲乙大弧之馀，弧得二 十三度三十二分。依法加于乙丙小弧二十三度三 十二分，得四十七度○四分。其正弦七三二一五为

图

先得之弦数即以此数折半〈适足一象限故〉得三六六○七为次得之弦数。次求甲乙丙角之倒弦。〈即己辛弧之弦〉《一九六三○一》〈首一者己戊全弦也〉为后得之弦数。依三率法，以乘次得之三六六○七，得七一八五九，为他弦；以减先得之七三二一五，馀一三

五六，为甲丙弧之馀弦；即甲丁弧之正弦；为本星距 赤道圈纬度四十六分三十五秒。

若三角形内之总弧，过一象限，即次得之弦，非折半 可得。法以大弧之馀弧，减小弧所存，求其弦，以加于 先得之总弦，半之，为次得之弦。其后得者，甲乙丙角 之倒弦，依前用三率法，但所求得之他弦，若小于先 得之弦，其法同前。若等，则所求三角形内第三弧之 弦，正为九十度之弦，而星必在赤道上，无距度。若他 弦大于先得之弦，则以小弦减大弦。〈不论何弦但以小减大〉馀。

图

为本星距赤道之弦假如毕宿大星于崇祯元年距黄道南五度三十一分在甲其黄道经度为辛戊六十四度三十五分三十秒即甲乙为大弧八十四度二十九分乙丙为小弧二十三度三十一分三十秒〈两极之距度〉两弧所包甲乙丙

角一百五十四度三十五分三十秒。依法以大弧甲 乙之馀弧甲戊五度三十一分，加于小弧乙丙二十 三度三十一分三十秒，共得二十九度○二分三十 秒。求其弦四八五四四，为先得之总弦。又以馀弧甲 戊减小弧乙丙，存一十八度○分三十秒，其弦三○ 九一五，以加先得之总弦四八五四四，得七九四五 九，然后半之，得三九七二九，为次得之弦。其后得者， 甲乙丙角之倒弦一九○三二八，依三率法以乘次 得之三九七二九，得他弦七五六一四，因他弦大于 先得之弦，故于他弦内减先得之四八五四四，存二 七○七○，查得十五度四十二分，为甲庚弧，是本星 距赤道之度。

若总弧不及一象限，则如前求先得之总弦，次以小 弧减大弧之馀，弧所存，查其正弦。又以减先得之弦， 所存半之，为次得之弦。其馀同前第一法。

假如崇祯元年大角星距黄道北三十一度○二分 三十○秒，其经度过秋分一十九度○二分三十○ 秒，其两弧间之角甲乙丙，得一百○九度○二分三。

图

十○秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十○秒乙丙小弧二十三度三十一分三十○秒今大弧之馀弧甲己三十一度○二分三十○秒以加乙丙二十三度三十一分三十○秒得五十四度三十四分其弦八一四七九为先得

数又甲己内减乙丙小弧，存七度三十一分，其弦一 三○八一，以减先得之弦，存六八三九八，半之，得三 四一九九，为次得之弦。次依三率法，以乘甲乙丙角 之倒弦一三二六一二，得四五三五一，为他弦；以减 先得之八一四七九，存三六一二八，为本星距赤道 之弦。查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒。

求赤道纬度后法：〈即第三法。〉

后法用《简平仪》，或量度，或加减推算。

《简平仪》者，以圆平面当浑仪也。圆平面〈阙。〉以极至交圈为界，作过心平面也。以面当球，与《平浑仪》同意，论球则半在面前可见。今以直线当弧，半在面后不可见，其直线当弧，与前半同理。下文言“某线为某弧”，或言前弧后弧等，俱本此。

量度者，用规器量度所有之见度分，即于分度等圈 上量取所求之隐度分也。“加减”者，亦于本仪取数，其 算法即前法也。量度则省算，然每星当作一图，亦不 能得细分秒，加减则一图能筭多星，可省图可得细 分秒，特未免乘除之烦。总之，先得各星之黄道经纬 度，即从星作直线，与赤道平行至外周。从线尾起算 “至赤道，为本星之赤道纬度，弧可量，亦可算也。今并 具二法，用者择焉。”试先解仪上诸线，如丙壬寅子大 圈为极至交圈，壬丑线为赤道大圈，辛寅线为黄道 大圈，春秋二分俱在癸。若星距黄道北，则辛为夏至， 寅为冬至；星距黄道南，则寅为夏至，辛为冬至。今所 测星，为乙癸甲线，为星之黄道纬度。对丙辛弧甲乙 线，为星之黄道经度，对辰卯弧丙乙子线，为过星之 距等小圈，与黄道平行。丙卯辰子即过星距等圈之

图

半在仪上为立面与仪面为直角在弧为丙卯辰子在仪面为丙乙甲子自人视之卯点即乙点辰点即甲点也卯辰为星之黄道经度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁线与赤道平行截极至交圈于午即从午至赤道壬为所求本星之

赤道纬度弧矣。今用规器量度，则先定黄道纬度之 丙辛弧，经度之辰卯弧，从经纬线相交之乙星上出 乙午线，则壬午弧必所指赤道距度也。以加减推算， 则用直线三角形，先从丙出垂线至己，半之得己戊。 从戊作线，与丁乙平行，必至甲

丙甲为丙子之半，故丙戊为丙己之半；

又从子出子己底线，偕丙己垂线，作丙己子直角，即 成三角形者，三而求丙丁弦，以减丙庚正弦，存丁庚 弦为星之赤道纬度。

图

假如乙为句陈大星其黄道经于崇祯元年为八十三度二十五分二十七秒黄道纬六十六度○二分当用第二图推本星距赤道之纬度法以星距黄道之丙辛〈六十六度○二分〉加于黄道距赤之壬辛，〈二十三度二十一分三十○秒〉得丙壬弧八十九度

二十三分三十○秒。其正弦丙庚九九九九七。今欲 推己庚线：

己庚者，子丑弧之正弦，子丑者，星距等圈近赤之弧。

法以黄道距赤之丑、寅。

二十三度三十一分三十○秒。

减星距黄道之子，寅。〈六十六度○二分〉得丑子弧四十二度 三十○分三十○秒。其正弦己庚六七五六九。以减 丙庚馀丙己三二四二八，半之，得丙戊弦一六一一 四。又勾陈黄道经度，甲乙八十三度二十五分二十 七秒。以减全数十万。〈一率〉存乙丙六五八。〈二率〉以乘丙戊 弦：〈三率〉得一○六，为“丙丁弦。”〈四率〉也。次以一○六减丙庚 正弦，得丁庚九九八九一。其弧八十七度一十九分， 为勾陈大星距赤道之度。其比例，甲丙与乙丙，若戊 丙与丙丁也。更之甲丙与戊丙，若乙丙与丙丁。〈几何六卷 四〉

算恒星赤道纬度，以右法为例，若各星躔度不同，即 加减法亦异。今为六图，略率论次如左：

第一图

凡星距黄道北其纬在二十三度三十一分三十○秒以内其黄道经度自春分起至秋分止用第一图推算或星距黄道南亦在

第二图

二十三度三十一分三十○秒以内而经度过秋分至春分止者同

凡星距黄道北过二十三

第三图

度三十一分三十○秒而不过六十六度二十八分三十○秒〈在本象限之内〉其黄道经度，自春分至秋分，用第二图推算，若星距黄道南

第四图

过二十三度三十一分三十○秒又不过六十六度二十八分三十○秒而过秋分至春分者同

第五图

凡星在黄道北其纬过六十六度二十八分三十秒经度自春分至秋分用第三图推算若在黄道南纬度同前而经度自秋分至春分亦用第三图为两至距赤度星距黄度并之〈壬丙弧也〉过九十度，而丙庚正弦，亦不在癸辛象限之内。故

凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内， 而经度自春分至秋分，用第四图。若星距黄道北亦 二十三度三十一分三十○秒以内，而经度自秋分 至春分者同。

凡星距黄道南，过二十三度三十一分三十○秒，而 不过六十六度二十八分三十○秒，其经度自春分 至秋分，用第五图。若星距黄道北纬度同上，而经度 反过秋分至春分，亦用第五图。

凡星距黄道南过六十六度二十八分三十○秒。其

第六图

经度自春分至秋分用第六图若星距黄道北纬度同前而经度自秋分至春分即壬丙总弧过九十度亦用第六图总之星距黄道之弧任在南在北其与黄赤距弧于图右推算即相加于图左推筭即相减为恒法也

凡星黄距度大于黄赤距度，则以其较弧之正弦减 先得总弧之正弦。若小，则以较弧之弦加，先得总弧 之正弦。如第三图子寅。〈星黄距〉大于丑寅，〈黄赤距〉则以其 较《弧》，〈子丑〉之正弦。〈子未或己庚〉减丙壬总弧之正弦丙庚，而 得丙己，若小如第一图子丑。〈星赤距〉为寅、丑，〈黄赤距〉之较 弧，则以较弧之正弦庚己，加丙壬总弧之正弦丙庚， 而得丙己。

凡星黄距、黄赤距之总弧，大于一象限，用其通馀弧 之正弦。如第三图壬丙过九十度壬丙丑为通弧，丙 丑为通馀弧，则用其正弦丙庚。

凡星之经度弧少不及二至圈，则取其正弦，加减于 全数，以得其馀矢。若大而过二至之圈，则取其通馀 弧之正弦，求其馀矢。求法，在前三图用减，在后三图 用加。如各图从甲辰分节起算，至卯乙辰卯为经度 弧，其正弦甲乙。〈俱在前半圈〉若过至节之界，或子或丙，至 卯乙，则卯辰为经度之加弧。〈在后半圈〉又前三图内甲乙 减甲丙，得乙丙；后三图内加之，得乙丙，皆为馀矢也。

以正弦减半径，为馀矢。大弧过九十度，其限外弧为加弧，并九十度为过弧。

各图皆以丙丁弦减丙庚正弦，惟星在两道间。如第 四图丙丁大于丙庚，则以丙庚减丙丁而得丁庚。〈赤道 纬〉其馀法简各图，自《明。