钦定古今图书集成/历象汇编/历法典/第056卷

钦定古今图书集成
历象汇编 第五十六卷

钦定古今图书集成历象汇编历法典

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　历法总部汇考五十六

　　新法历书六〈月离历指二〉

历法典第五十六卷

历法总部汇考五十六

新法历书六

月离历指二

推太阴之实经度第十三：

前论“因本轮之自行度加减，立第一均数，以得定朔、 定望朔周转周。”又因两弦之自行差与朔望异，用次 轮之自行加减，立第二均数，于理为尽，从是可得太 阴之视行实经度。今论次如左。

查《平行表》，简得太阴、太阳之相距度分，及月距本轮 最高度分。用平面三角形法，可得其实经度。〈用古法解之〉 第一法“西古史依巴谷”，在罗德岛。

“地中海岛” ，北极出地三十六度；

于总积之四千五百八十七年，为“汉武帝元朔二年 甲寅三月。”〈建寅之月〉初七日子正后八十四刻一十四分。 〈顺天睿时刻〉用浑仪测得月距太阳为四十八度○六分， 于时日视行，躔鹑首一十○度四十○分，即月视行 度必在鹑火二十八度三十七分。此时此地为午正 后一十二刻。依正升斜升表算，得月准在黄平象限， 无东西差。

今用《月离表》试之，依表是时太阳之平行为鹑首一 十二度○三分，均数为一度二十三分。当时太阳最 高在实沈宫初，以减四十八度○六分，得四十六度 四十三分，为太阴距太阳之平行度。

此于实距内减均数，而得平行。盖太阳在最高后，平大视小，用减法。若在最高冲，平小视大，用加法。

查表，于时太阴自行为三百三十三度，又平行距太

图

阳为四十五度　五分视平两行之较为一度三十八分更用两小轮图试之从自行之最高甲左旋过己至乙得三百三十三度乙为心作次轮圈作乙丙联两心线割次轮于壬从壬至戊为日月相距之倍

图

数九十○度一十○分次作乙戊戊丁戊丙三线成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角

壬戊弧九十度一十分

求丙戊边及戊丙乙角

乙为钝角宜引长丙乙边作戊子垂线成戊乙子直角形有乙戊边二

图

三一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙过九十之馀也先求戊子得二五七弱次求乙子得○○一以并丙乙得一一○四戊子子丙各自之并而开方得一一二五不尽为戊丙又子丙与全数若戊子与

图

丙角之切线得一十二度一十○分为乙辛弧

次以甲己乙弧并乙辛得三百四十五度一十一分其馀弧一十四度四十九分为甲辛或甲丙辛角次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角〈戊丙甲角之馀〉一百六十五度一十一分。

图

丙丁为全数求戊丁丙角

引长丁丙边从戊作戊子垂线戊子丙直角形有角有边求戊子为二八七子丙为一○八五子戊丁直角形有两边求第三丁戊得一○一八五为月距地心次求丁角为子丁边数与全

图

若戊子边数与丁角之切线二八四查表

得一度三十八分如上所测数为确合

第二法太阳经二百六十九度○四分太阴经二百五十七度四十三分太阴自行为一百二十二度四十九分日月相距为一十

图

一度二十一分倍之为二十二度四十二分如图甲乙为太阴自行度壬戊为倍数丙乙戊形有丙乙乙戊两边有乙角壬戊弧之角求丙角得五度五十二分为辛乙弧求丙戊边得五十六分以乙辛减乙甲

自行不过半周故应减

馀一百一十六度五十三分，为甲辛弧。其馀六十三 度○七分，即辛丙丁角。次丙戊丁形，有丙戊，丙丁两 边有丙角。求丁角得四度四十二分，为白道。上之庚 癸弧因在自行前半周。以减平行，得二百五十三度 五十七分，是太阴本时之实经度。〈从春分起算〉 篇中屡言“黄平象限”者，是黄道在地平以上之九十 度限也。两道在地平上下皆半周，赤道恒定不易。其 半周上九十度限，恒在午正线，黄道斜迤，时时不一。 其九十度限，时东时西，又随地多寡。若极出地四十 度，则差多者至距午二十五度，惟南北二至，乃与午 线同度分耳。其法其表详载《交食历》。今略举如左法， 欲求本地本时之黄平象限，于本月日时，简本地本 宫之黄平限表，其第一直行，本日之月离宫度也。第 二、第三、四行，为其时分秒；第五、第六为其月离象限 度分。先约得月离经度若干极，四十度，表有时之秒， 他极减之而少一行，查表取其横相对时分。〈子正起算〉得 某时月在黄平象限。更以本时《简月表》求月离经度， 得某宫某度分。又对取其时分，为月在象限之正时。 假如崇祯四年八月十四日求本日何时月在黄平 象限，先约月在娵訾宫六度，本表求时，得二十一时 ○一分五十三秒。以此时查《月表》求月经度，查本宫 七度一十分查时，得二十一时三分五十三秒，为月 “在黄平限之时”，可测其高。欲密合，更以此时求经度， 更求时。

系凡月生明或生魄，作直线联两角，此线若过天顶， 为地平上之垂线，即太阴必在黄平限点上。而此直 线亦与白道为直角，引长之必过黄道之极。

图

“黄白二道，在《太阴历》中每作一道，论其所差甚微” 故。

此线直过天顶及黄道极，必分地平上之黄道弧，为 两平分。

此两圈相交有细解，其本论见《球圈》原本。

月望时无从得角，从月驳定月体之南北两极，如前 直线用之，知其过黄道极及在黄平象限之上。

《二十八宿距度》第十四。

中西古今历法，理同数异，大同小异。理大同者，共戴 一天，同资七政也。数小异者，如周天有平度日度，度 法有用六用十之类，会而通之，罔或弗合，亦无害其 大同也。独恒星宫次中历依赤道为二十八宿，北为 三垣；南方无垣，则附见于诸宿。《西历》依黄道为十二 象，通计南北为五十二象，此即大不相侔矣。以故《回 回历》翻译并存。今《恒星历》各注黄赤经纬度分、星名、 位次，皆按中历更定，免致凌杂。而间考西古《太阴历》， 则亦有二十八舍。译谓月所宿留之处，即又与宿次 同义。且二十八距星亦皆吻合。其不合者，独觜宿距 星不用觜，用天关耳，竟不知其何繇而同？若疑上古 相通，则此法之外，又何以毕无一合？亦一奇也。其诸 法义图表，俱见《恒星历指》。今欲推太阴宫宿度，仍用 本表先定黄道所离经度，依表求得本时刻，太阴所 离某宿某度。法曰：表中求月所离之宫度数，内减去 近小宿数，所馀者为本宿之度分。

假如月离鹑火二十八度三十七分，本宫近小数为 星宿二十二度○九分，相减之，得六度二十八分，乃 月在星宿六度有奇宿距星在宫次　　度　分。

《斗　　　星纪　○》五○三。

牛：　　　　　　“二八五四。”

女：　　　元枵　○《八○○》。

虚，　　　　　　《一八一四》。

危：　　　　　　二八一三

室　　　娵訾　《一八二○》

壁：　　　“降娄　○”，四○一

奎：　　　　　　《一七一七》

娄：　　　　　　二八四六

胃　　　大梁　一一四六

昴：　　　　　　二四四七

《毕　　　实沈　○》三《一六》。

觜，　　　　　　一八三五。

参：　　　　　　《一七一四》

井，　　　《鹑首　○○○》七。

鬼：　　　鹑火　○○，三三

柳　　　　　　○六○三。

宿距星在宫次　　度　分。

星：　　　　　　二二○九

张：　　　鹑尾　○○，三二

《翼》：　　　　　　一八三六

轸：　　　寿星　○，五三六

角：　　　　　　一八三九

亢：　　　　　　二九一四

氏　　　大火　○，九五四。

房：　　　　　　二七四八。

心　　　析木　○，二三四。

尾：　　　　　　《一○○七》

箕：　　　　　　二五四三

此表崇祯元年定测，以后每年加五十二秒，七十年 一度。

见《恒星历》，指有细行之表用之。

《择月食以定交周》第十五。

如上论定朔望转周实经度讫，次当定交周度分，其 法亦用两月食。两食者，须太阳之距最高等，须太阴 自行度等，须食分等，须食在阳历或在阴历亦等，乃 可推月行交道满若干周而复还于故处。第《旧史》不 载食分，亦不载阴阳历，无凭推步，即西古多禄某。〈汉顺 帝时〉“亦未觉太阳之最高”，随天运行。

“《顺》七政” 右旋，每百年约行一度。

故所择两月食见黄道上之经度等，即谓太阳之距 最高亦等，而实则不等，其法亦不可用。至近世歌《白 泥》〈正德间〉“择用两食”，于法为合。但所用两食，一在阳历， 一在阴历，虽内外不等，而度分之对待相等，如日《月》

图

之在朔望皆名交会不害为可用也

第一食总积之四千五百四十年为汉文帝六年日躔大梁宫六度四分五月

酉月也实建申之月

初二日子正后三十一刻

顺天府时刻不见食甚

月食十二分之七在阳历

图

中交即月在南初亏东北于时月自行为一百六十三度三十三分

多禄某歌白泥两算同

均数为一度二十三分

未满半周一百八十度故用减法

第二食〈歌白泥所记〉六千二百二十二年，为“正德四年己

巳”，日躔实沈宫二十一度。六月。〈实建酉之月〉初二日子正 后二十四刻一分。

顺天府“时刻不见。” 食甚。

月食十二分之八，在阴历正交，即月在北，初亏东南。 于时月自行为一百五十九度五十五分。

两食时月自行差止三度半，可勿论。其日躔前后相 距不等。然多禄某所测，太阳最高为实沈六度，所用 食时，日躔在最高前三十度；弱歌《白泥》时最高在鹑 首五度，所用食时，日躔在最高前十四度。两距之较 虽十六度，以最高旁近度距地心之数为差微，即地 景大小无二，亦可勿论。

今论两“食时之月，自行略等，太阴距地心之度分略 等，则所差者在食分也，为十二分之一。”

计两食之中积为平年。〈三百六十五日〉一千六百八十三年 八十八日九十刻○五分。或六十一万四千三百八 十三日九十刻○五分，得交会。〈即朔望〉二万○八百○ 五会，《交终》则二万二千五百七十七周外，馀一百七 十九度二十四分

后食大于前食，为十二分之一。月体之径于天度略为三十分，则食差为二分三十秒。交前后之纬距二分三十秒，其经度为三十分。次食既大于前食即近交，其较半度则未满半周之较为三十分。查表求两食之两均数，一加一减，其较二十一分。以减三十分，得九分，为不及半周之数。实馀一百七十九度五十一分。

上文推定。

“依巴谷” 及多禄某先后推定，见本篇第四。

月交会五千四百五十八，则交终五千九百二十三。 依此。用三率法，以“交会率。”〈二千九百有奇〉为法中积日为实 而一，得二万○八百○五会。再用三率法，以交终为 法而一，得二万二千五百七十七交半。

置交数。〈二二五七七半〉以三百六十乘之以会数。〈二○八○五〉而 一得一会时。〈二十九日有奇〉交行之度分。

又以会数。〈五四五八〉为一率交数。〈五九二三〉为二率一日之太 阴平行。

一十二度，一十一分，二十七秒。

为三率，求得一十三度一十三分四十六秒，为一日 交行之度。以日求月求年，准此法。

论交行第十六

“交行有二：一顺经度行，一逆经度行。”顺行者，月平行 一日一十三度一十三分四十六秒，是为月行距交 之度，则以交为界。又如前定，月平行一日一十三度 一十分三十五秒○五微，是为月行距宫次或节气 之度，则以宫次或节气为界，两数之较，得三分一十 一秒，是则两交一日逆行之数，所谓罗计行度也。顺 行者，如《七政》右旋，自西而东。逆行者，如《宗动》左旋，自 东而西。右旋者，先降娄，次大梁；左旋者，先《元枵》，次星 纪。故月行两界，一为定界，一为不定界。定者，宫次如 娵訾等，节气如冬至等。不定者，谓正中二交也。两界 则两数，其较则为不定界之行。分不定界之数，大于 定界之数。故累积其较，则与月行相背矣。

交有平行，又有自行，与日月相似。自行有迟有疾。黄 白二道之相距，亦时多时少，古来未觉有此《苐谷》。累 年密测，得交行，惟朔望时无加减。

图

与日在最高最高冲同理

恒得五度弱过此渐加至两弦而极而此自行恒半月满一周

与太阴次轮行度同理

如图甲为月天球上之黄道一极人目在他极外斜看黄道面戊庚己为黄道

图

圈去甲五度○八分得乙乙为心作戊癸己球上大圈为平白道两圈相遇各平分于己于戊为两交庚癸相距之限五度○八分是为两交相距之中数

两相距之小数为四度五十八分三十秒大数为五度一十七分三十

秒相减，得较，半之，以并小数，得五度○八分相距之中数也。

而己戊为两交平行之度。

次乙为心，作丁丙小圈，其径为大小两数之较一十 九分。小圈之周，恒负正白道之心。

如黄极绕赤极作一圈，名“极圈。” 又白极绕黄极作一圈，名“白极圈。” 此小圈与之同理，正白道之心，如丙丑丁寅皆是也。

《半月》。

图

十四日有奇半朔策也

行一周

若正白道之心在丑

最近黄道极惟朔望则然

以丑为心作球上大圈如辰辛子辛为正白道

若球上作大圈过白黄两极宜为乙丑庚弧今

图

依视法作直线

其距黄道为辛庚〈本大圈之一弧〉辛癸为“中白道”，正白道之差，而正白道两交黄道于辰于子，则辰子为两道。〈朔望〉〈时〉之“正交”，是交食所用之两交也。

若正白道之心在寅〈两弦时〉以寅为心，作卯壬未大圈

图

定癸壬为中白道正白道之差而庚壬得五度一十七分三十○秒是为黄白二道相距之极远

寅心距甲心为极远故

则卯未为两远交距戊己两平交为戊卯未己距卯未两近交为卯辰未子

远交者两弦之交近交

者，朔望之交；《平交》者，半弦策之交。

凡正白道心，在寅之上。〈两弦前后〉丑之下：〈朔望前后〉若干度分， 则“中正两白道”之大距：〈相距之最远〉在壬之上，辛之下，亦 若干度分；而两交在卯未之上，辰子之下，亦若干度 分。

若正白道心，或在丙或在丁，则正中两道之大距，相 合于癸弧之上，而丁甲癸或丙甲癸为两象限，两交 则在辰卯子未之间，戊己之左右。

本历表中有“正交”之加减，有正白道与黄道相距之 度分，其原盖出于此。如图正白道为辰辛子，即有辛 辰、庚角，可推正白道之各度分，距黄道若干。〈与黄赤二道距〉 〈度同法〉“若在癸”、“在壬”，俱仿此。

“若正白道”，在辛癸壬之外。

在辛壬限内，而不在三点之上。

则先求丁之上下距甲若干，以得癸之上下距庚若 干。盖丁甲、癸为一象限，甲癸庚亦一象限，甲丁大，癸 庚亦大，若小亦小。其加减率及用法，见本《历表》。

《定交行之历，元》第十七。

上文言“择两月食以定交周，因其经时若干而满周， 以知交终及岁月日时交行之数。”然止用两食相对， 较勘多寡，不知其距交几何度分。今欲审某时距交 若干以定交应，亦须两月食。其距太阳之远近等，两 食分等。两食之在阴历、阳历，正交、中交等，既诸率各 等，则距交必等，因而折取中数，则得本时正交所躔 度分。〈此歌白泥法〉

第一《食》。

《多禄》某所记。即前第六章定本轮所用第二食。

总积之四千八百四十七年，为“汉顺帝阳嘉三年甲 戌十月。”〈建戊之月〉二十四日子正后一十七刻。〈顺天府时刻〉一 十分月食十二分之十，在黄道南，初亏东北。于时太 阳躔寿星宫二十五度一十分，月自行为六十四度 三十○分，用减法得均数为四度二十○分。

第二食。〈歌白泥所测〉总期之六千二百一十三年，为“弘治 十三年庚申，十一月某日子正后三十一刻正。”〈顺天府时〉 〈刻〉月食十二分之十，在黄道南，初亏东北，日躔大火 宫二十三度一十一分。

“两食之中，积时为一千三百六十六年。其间太阳行最高一十六度有奇，以减日躔两度，差二十八度，得一十二度，为前后日距最高之差。” 日在最高旁近，其距地之差甚微，地景无二，与《无差》同。

月自行为二百九十一度三十五分，用加法得均数， 为四度二十八分。

两食时月本轮最高前后等距。

前过最高六十四度，后未至最高六十九度，其较五度距地之差甚微，与无差同。

食分大小等，初亏方位等，则两食之月距交等度。

中积为一千三百六十六，平年，三百五十八日一十七刻九分。

此时自行满交周外，其距交为一百五十九度五十 五分。

如图甲乙丙丁为白道，乙丁为正中二交。甲为北为 内为上，为阴历；丙为南为外为下，为阳历。乙戊己丁 为距交。等之两弧，是两食时。月体一过交一不及交 之度。戊在乙交之前，己在丁交之后。前食用减法得。

图

均数四度二十○分

减者月在自行之前半周依表平交行为甲乙庚减庚戊得甲乙戊戊为月所至之实处

取戊庚后食用加法得均数四度二十八分

加者月在自行之后半周依表平交行为甲丙

图

辛加辛己得甲丙己己为月所至之实处

取己辛庚辛为两食中积月距交之平行一百五十九度并戊庚辛己得戊丙己两距之实行一百六十八度四十三分其馀一十一度一十七分为乙戊丁己两弧并半之得五度三

十九分为两食时月距交之度，乙庚得九度五十九

分。若半交甲为界，则甲乙庚得九十九度五十九分， 是第一食时之交行根，所谓“交应”也。若他时他处求 交，应依此加减之。

“今拟崇祯元年戊辰天正冬至为历元”，顺天府为历 元本所。如《日躔表》《推算本》《曜恒年表》〈如后卷〉

交行两界任用，但月体行度多端，差数繁曲，既成加 减均齐，则或用定界从宫次节气起算，或用不定界 从罗计起算，所得正等。

《测黄道白道相距度分》第十八。

《西史》“多禄某。”〈汉光武时〉其地为“北极，高”三十○度五十八 分，用三直仪。〈测高仪皆可用〉测得月轨极北距天顶二度○ 七分，以减北极出地度，得二十八度五十一分，为月 距赤道度分。于时黄赤距度为二十三度五十一分。

“黄赤距古远今近” ，说见《日躔历指》。

以减太阴距赤度，馀五度正，为黄白相距之度。此测 因月近天顶地半径差极微，可以勿论。又轨度最高， 在清蒙限外，亦无差分。若在近浊，测月轨高，不先定 地半径差、清蒙差以为加减，即所得者非实度分。 西古史多言黄白距五度正，上古则云四度五十八 分，《回回历》则五度○二分，皆不远。近世苐谷〈万历间〉密 测详推，功倍古人。其言曰：“朔望时，古测仅少一分半， 若上下两弦，则五度一十七分。”本书有测法，有算数， 今略举如左：

总积四千八百○○年，为汉章帝章和元年丁亥八 月。〈建未之月〉十八日。〈本地〉午正后二十九刻一十分，月在正 午时为上弦，依本表算，得距交八十六度一十七分， 于时测得月距黄道。

地半径蒙气二差，俱加减讫，外

为五度一十三分。

右二则所言度分，通为日度，则五度一分半者，当为五度九分八十二秒；五度一十七分者，当为五度三十六分；五度一十三分者，当为五度二十九分。

“《大统》以前诸历，黄白相距，俱六度正，通为平度。”则是 五度五十五分距度恒大于西术。以推算月食，往往 小于天验，殆缘于此。

西术定黄白距度，求月轨极高，得距赤度分，去减黄 赤距度，馀为黄白距度，此古今通法。但多禄某当汉 光武时，去今一千四百馀年，于时黄赤距二十三度 五十一分，所减大，所馀必小；今时则二十三度三十 一分半，所减小，所馀必大。故今之黄白距较古为大。

是“黄赤渐近” ，而“黄白不移。” 其所以然，难可窥度。

又《恒星历》言，近至之恒星，古今纬度不一，在冬至则 南纬度小，北纬度大，夏至反是，亦黄赤渐近之征也。 今推黄白距度，列表略同黄赤距度法。〈见日躔历指及测量八卷〉 其用法见《月离表》。

论月视差第十九

《日躔历》指论地球半径与月天半径为比例。若本天 视地为远为高，则比例为小；若为近为庳，则比例为 大。

两数相近，其比例名为“大” ，相远名为“小。”

凡视差有三：〈清蒙不与〉“一曰地平纬差，二曰黄道经差，三 曰去极纬差”，其根则一，地球之半径是也。盖推算之 地平纬，恒与地心为对，人目所见之地平纬，恒与地 面为对，故因地之半径而生视差。若日月星在天顶， 即实行与视行为一线，即测验与推算为一率。自此 而外，七政皆有视差，但以去地远近、出地高庳，分别 大小耳。今所论者，《地平纬差》也。〈馀二差详见交食历指〉《前史》谓 之《南北差》，因曜实在北，所见在南，故立此名，今通称 之。

《求月视差法》：依表算，得月在极南。

即冬至。但此论经度非时也。故称“南至” 以别之。

近冬至十度以内，又在两交之中。

正半交、中半交，黄白相距极远之际。

又在黄平象限之上，测其地平以上之高，是为视高。 次用赤道出地度南至距赤纬度、太阴距黄纬度，推 得月在地平以上之高，是为实高。次以视高减实高， 其较为地半径之视差。若不用南至，任以恒日。依表 推月过子午线或黄平象限上，求其黄道上经度及 其距交经度。距黄纬度，得地平以上之实高。亦测其 视高两数之较，为地半径之视差。此法古今累测所 得数无异，略举如左：

总积四千八百四十八年，为“汉顺帝阳嘉四年乙亥 十月。”〈建酉之月〉初三日，西史多禄某，在本地极高三十 度五十八分，太阳躔寿星宫五度二十八分，月在子 午线，亦为黄平象限。

凡两至，在黄平象限，与子午线同度。

推其经度，为星纪宫三度○九分，月距交为七十四 度四十○分，其距黄纬度为四度五十九分。计本地 赤道高五十九度○二分，《星纪》三度九分之距赤纬

图

于时为二十三度四十八分以减赤道高得纬度高为三十五度一十四分〈黄道某度地平上高〉加月距黄纬度。〈在黄道北故加〉得四十○度一十三分，为太阴之实高。次测得三十九度○五分为视高。一推一测，其较，一度八分为地半径视差。

又总积六千二百三十五年为“嘉靖元年壬午九月。” 〈建申之月〉二十七日午正后二十二刻一十分，《西史》《歌白 泥》测得月轨视高七度一十分，于时日躔寿星一十 三度二十九分，月自行得三百五十八度，为本轮之 最高。推黄道经为在星纪一十二度三十三分，距交 七十二度五十二分，距黄纬为四度四十七分，因推 得月距赤道二十七度四十一分，本地赤道高三十 五度三十八分，去减月距赤道度馀七度五十七分， 为月在地平上之实高；一测一推之，较为四十四分， 即月在最高地半径视差。

右两术所推太阴之地半径差，各依本法论定。太阴 出入地平时，若在本轮之最高，则《多禄》某为○度五 十三分，《歌白泥》为五十分；若在最高冲，则《多禄》某为 一度一十九分，《歌白泥》为六十六分。异同若此，将何 适从？所以然者，缘两史测月时，未悟月近地平，有清 蒙一差故也。〈说见日躔历指〉“清蒙”映物，能升卑为高。凡测月 之地，平高所得数，乃所见之视高。〈与人目平行〉非月行之 实高。〈与地心平行〉以地半径差减实高则为视高。又以清 蒙差加视高，则为真视高。近世苐谷依此法，推得太 阴出入地平时，在最高为五十六分二十一秒，在最 庳为六十六分○六秒，其各远近之差，在多禄某为 二十六分，歌白泥为一十六分，苐谷为一十分。三家 皆有地半径差表，今以《苐谷新术》为正。

“以地半径大差求月距地心” 第二十。

如左图甲为地心，乙丙为视地平，乙甲为地半径，丙 角为视差。〈用苐谷之大数〉六十六分○六秒乙为直角，乙甲 半径为度。

图

为度者恒呼为一以上累加之

求月距地心之甲丙法为全数〈内〉与乙甲。〈外〉若丙角之馀割线：〈内〉与《甲》《丙》，得五十二，又十万之二万一千○二十五，是月极近地为五十二，地半径有奇。若用小数五十六分二十一秒，

推得六十一，又十万之二千七百八十二。

系既定甲乙乙丙之比例，若有月距天顶之戊丁弧， 或称戊乙丁角，或称丁乙甲之馀角，任高任下，皆用 甲乙丁形。有乙甲甲丁，有丁乙甲角，求乙丁甲角恒 为地半径之角。

如前论月本、天本轮、次轮各半径之比例，为十万为 一，一○二为二，二一并之，得地心至太阴极远。〈最高〉之 线。一一三三三。次用变率法一一三三三，得六十一 地半径。又十万之二千七百八十二，则本轮之半径。

图

一一○二得若干次轮之半径二三一得若干依此推之

系如图得丁戊

月距地心十万分之几

若干数亦可得月距地心若干地半径数有表〈图说见前〉二系地半径差、月距地心恒互推

《三系》若定地半径若干里，亦可得月近远若干里。〈有本 解〉

论《太阴清蒙气》第二十一，

《日躔历指》有论有法，以测清蒙差度分因之。列表，凡 测太阴，得其视高，则求地半径差加之，得数又以清 蒙气差减之，为其实高。凡推太阴，得其实高，则以地 半径差减之，得数又以清蒙气差加之，为其视高。但 清蒙之差，因地因时，所在各异，今表其折衷通用之 率也。必求本地本时之确数，宜随处所积，岁月累测 以定之。

《测月径地景径》第二十二。

测日月径度，西古史有，本用仪器，今以月食立法，则 历家之正术也。

总积四千○九十三年，为周襄王三十一年庚子月 日子正后。〈顺天府时刻下同〉四十一刻○五分，月食十二分 之三，约为四之一。于时，日躔降娄宫二十七度○五 分，月离寿星二十七度○五分，月自行为三百四十 ○度○五分，月距交九度二十分，距黄道北四十八分半。〈依表算〉

又总积四千一百九十一年，为周景王二十二年戊 寅，月日子正后一十四刻五分，月食十二分之六，约 为半径于时，日躔星纪一十八度一十二分，月离鹑 首一十八度一十二分，月自行二十八度五十四分。

前食月距本轮最高二十度弱。两食之较，八度有奇，俱在本轮上，弧不能变远近之数。

月距交七度四十八分，距黄道南四十分四十秒， 如图。日光照地面，即地背生景，形如角体，渐小以趋。

图

尽月过交入地景〈一名图虚〉有高庳食分为之大小。今两食时同在最高之左右，其距地等，食分一为半径，一为四之一，其较为四之一。距黄道，一为四十分四十秒，一为四十八分三十秒，其较七分五十秒。依法算月径四之一，得七分五十

秒；依法四之，得三十一分二十秒，是月距最高二十 度之似径也。

测月径度法：详见《三圆比例说》。

系凡食分，为月之半径，即月距黄道为景之半径。因 上数当食时地影半径为四十分四十秒。

《二系》若食时，能测定食分，又推算得躔离自行距交 距黄等诸率，可得月径及景径，不必用古两食法。

“《日月距地率》·《日月实径率》” ·《地景长率总论》第二十三

图乙

如右图乙甲丙为日，己丁戊为地，日光照地，以两光 线从乙过己，从丙过戊，而遇于丑，是生己戊丑角体 之景。次从乙从丙至地心，作乙丁丙丁二线，又作甲 丁丑线过日地两心。次从地心丁上下取月距地心 之数。

地半径为度，如上文所定。

为丁庚，为丁寅，两距等，作庚辛、壬己、戊寅子线，皆平 行。其太阳似径之度为三十一分二十○秒。

欲解土义，先定太阳之似径，此在三图，说有各种。

图

法今用者，古《多禄》某所定也。又太阳行最高最庳不等，似径亦不等。本章所用者，日在最高之似径也。论月亦在小轮之最高如下文。

庚辛丁：直角形，有庚丁。〈月距地〉六十四又六之一，“有丁 角。”〈甲丙度〉一十五分四十　秒。求庚辛法为全。〈内〉与丁 庚六十四又六之一。〈外〉若丁角之切线四五五。〈内〉与 某数。〈外〉得地半径十万分之二万九千一百九十六。 次求寅子。

庚壬丑三角形，内有庚壬丁戊寅子三线相距等。

图

用逓加法三率之第一、第三，并为第二率之倍数。

“庚辛为月最高半径度”，依《多禄》某说，约与日半径度 等。又寅子为地景之半径，四十分四十秒，即两数之 比例。

庚辛十五分四十秒。寅子四十分四十秒。

为若五与十三，先得庚辛二九一九六。用三率法，得 寅子，为地半径十万分之七万五千九百○九，以并 庚辛得一十○万五千一百○五，以满丁戊之倍数 二十万，为不足地半径十万分之九万四千八百九

图

十五为《辛壬》，

丁戊倍之，为二十万，与庚壬寅子并等。于倍数内，减庚辛寅子并，所馀为辛壬。

次丙戊戊丁两线所作戊角，拟为直角。

实非直角，其差极微，非算所及。

丙戊甲丁两线，亦拟为平行。

“实非平行” ，以差微故。

用几何法？〈第六卷第二题〉为戊丙与壬丙，若丁丙与辛丙，又 丁甲与庚甲，若戊丁。〈地半径十万〉与壬辛。〈九四八九五〉既《丁甲》。

图

与庚甲，若戊丁与壬辛，则甲丁为十万，〈若戊丁〉庚甲为 九四八九五。〈若壬辛〉所馀之庚丁，必为○○五千一百 ○五。先定庚丁为六十四地半径，又六之一，依变率 法求甲丁，得一二一○，是日距地心如地之半径者 一千二百一十也。

以上系古法，后世累代密推。有亚《巴德》于总积五千 六百○四年，为唐昭宗大顺二年辛亥，推得一千一 百四十六倍。歌白泥于正德间推得一千一百七十 九倍。《苐谷》于万历间推得一千一百八十二倍。此差 列数至微，推算极难。或月径、月径加减以分计，则其 差以数百倍计，故名。历家于此殚思竭虑焉。今时所 用，大都歌《白泥》之率也。

一、系依上论，丁戊地半径为一万分，庚辛月半径为 一万分之二千九百二十六，是为“地月之两实径。”用 此比例，可推两体之比例。

二，系甲丙丁，庚辛丁，两形相似，则庚丁与庚辛，若丁 甲与甲丙，推得“日实径”与月实径之比例。

《三系》可得甲丙与丁戊日地两《实径》之比例。

以上三系，详见《三图说》。

四系置日距地度及日与地之比例。又距月行本轮 距地度。〈于上图为丁寅〉可得月所过地景之径列表，其引数 为月本轮自行之数。然《图说》所设者，日在最高，若去 最高，即复异此，故表有本行，名“地景差。”其引数为太 阳之引数，以所得之分与引数相减，即得。〈无加法〉盖日 在高，景大，“在庳”景小故也。

《月距地视差视径三家异率》第二十四。

汉章帝时，《西史》多禄某术。

月距诸率为“地半径、　　地半径视差、　　　月视差。”

十单又十分　度十分。〈《天度》，〉十分、十秒

极远〈二轮并远〉六四　○九　○五、四　二九， “本轮最高”，五三　五○　一五、八　　　　　三、二○八 本轮心，　四八　五、一、　一○、一　　　　　三、八四二， 本轮最庳，四三　五一、　一○四　　　　　三八○、八 极近。〈二轮并近〉三三　三三　一二四　五五， 远近限差三○　三七　○。三○　　　　　二六。 正德间，西史歌“白泥术。”

月距诸率为“地半径，　　地半径视差，　　　月视径。”

“十单。” 又十分　，十分十秒　　　　，十分十秒。

极远　　六八　二一　五○一九　　　　二七四○， 本轮最高六五　三○　五二二四　　　　三○一○， 本轮心　六○　一九　五八二五　　　　三二四四， 本轮最庳五五　○八　六二二一　　　　五五四○ 极近　　五二　一七　六五四四　　　　三六○八， 远近限差一六　　　　一五二五　　　　○八三○ 《万历间西史苐谷术》

“十单。” 又十分　，十分十秒　　　　，十分十秒。

极远　　六○　三六　五《七四四》。

本轮最高：五八　○八　五九○九　　　　三○三○； 本轮心：　五六　五○　六○五，一　　　　三二三四； 本轮最庳，五四　五○　六二，三九　　　　三四四○； 极近：　　五二　一，四　六五三六。

《远近限差》：　八　　　　八五三。

苐谷及其门人《刻尔白》改之法，今所用。又测太阳视径，为冬至三十一分半，夏至三十分。〈以上原本《历指》卷六。〉

〈月离之二。〉