益古演段 (四库全书本)/卷上

益古演段　卷上

　　钦定四库全书
　　益古演段卷上　　　　　　元　李冶　撰第一问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记内圆外方只云从外田楞至内池楞四边各二十步问内圆外方各多少
　　答曰外田方六十步　内池径二十步
　　法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨〈按太即真数此
　　即四十步并一池径〉为田方靣〈按方靣即每边〉以
　　自增乘得□□丨〈按此即一千六百步八十
　　池径一平方并〉为方积于头再立天元
　　一为内池径以自之又三因四
　　而一得〈太○〉○□〈按此即百分平方之七十五上二○存步与池之位〉为池积以减头位得□□□〈按此即一千六百步八十池径二分半平方〉为一段虚积寄左然后列直积以亩法〈按亩法二百四十步〉通之得三千三百步与左相消〈按相消者两边同减一千六百步后凡言相消者皆两边加减一数也〉得□□□〈按此即一千七百步与八十池径二分半平方等〉开平方得二十步为圆池径也倍至步加池径即外方靣也按今借根方法即立天元一法详见
　　御制数理精蕴兹不尽释
　　以条段求之真积内减四段至步幂为实四之至步为从二分半常法
　　义曰真积内减四段至步幂者是减去四隅也以二分半为常法者是于一步之内占却七分半外有二
　　分半也



　　第二问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记径面只云从外田南楞通内池北楞四十步问内圆外方各多少
　　答曰同前
　　法曰立天元为池径减倍通步
　　得□丨〈按此即八十步少一圆径〉为田方靣
　　以自増乘得□□丨〈按此即六千四百步
　　少一百六十径多一平方〉为方田积于头又
　　以天元池径自之三因四而一得〈太　○○〉□〈按此即百分平方之七十五〉为池积以减头位得□□□〈按此即六千四百步少一百六十径多二分半平方〉为一段虚积寄左然后列真积三千三百步与左相消得□□□〈按此即三千一百步与一百六十径少二分半平方等〉开平方得二十步即内池径也倍通步内减池径为方靣也
　　依条段求之倍通步自乘于头位以田积减头位馀为实四之通步为从二分半虚常法
　　义曰倍通步者是于方靣之外引出一圆也用二分半虚常法者是一个虚方内却有减馀圆池补了七分半外欠二分半故以之为虚隅也





　　第三问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三百二十八步只云从外田角斜至内池楞各五十二步问靣径外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池径六十四步
　　法曰立天元一为内池径加倍
　　至步得□丨为方斜以自増乘
　　得□□丨为方斜幂于头〈其方斜上
　　本合身外减四今不及减便是寄一步四分为分母也今此方斜幂乃〉
　　〈是变斜为方靣以自乘之数又别得是展起之数也〉又立天元为池径自之又三因四而一为池积今为方田积既以展起则此池积亦须展起故又用一步九分六釐乘之得一步四分七釐亦为一个展起底圆池积也〈以一步九分六釐乘之者盖为分母十四以自之得一步九分六釐也〉以池积减田积馀□□□为一段虚积寄左然后列真积一万一千三百二十八步亦用分母幂一步九分六釐乘之〈或两度不加四亦同〉得二万二千二百○二步八分八釐与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也倍至步加池径身外除四见方靣也　一法求所展池积以径自之了更不湏三因四除及以一步九分六釐乘之只于径幂上以一步四分七釐〈按此即三因四除一步九分六釐之数〉乘之便为所展之池积也
　　依条段求之展积内减四段至步幂馀为实四之至步为从四分七釐益隅
　　义曰凡言展积者是于正积上以一步九分六釐乘起之数元法本是方靣上寄一步四分分母自乘过于每步上得一步九分六釐故今命之为展起之数
　　也诸变斜为方者皆凖此所展
　　之池积是于一步圆积上展出
　　九分六釐若以池径上取斜为
　　外圆径则一步上止生得四分
　　七釐也故以四分七釐为虚常法又取方幂一步九分六釐四分之三亦得圆积一步四分七釐也按法内皆以径一周三方五斜七为率故各靣积分数与密率不合盖此书専为明理而作密率数繁碍于讲解故用古率以从简且其法既明即用密率亦无不可
　　第四问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三百二十八步只云从外田角斜通池径得一百一十六步问靣径外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池径六十四步
　　法曰立天元一为圆径减倍通步得下□丨为方斜
　　以自之得□□丨便为所展方
　　田积于上再立天元一为池径
　　以自之又以一步四分七釐乘
　　之得〈太　○○〉□　　　　　　　　　　　　　　　　　　〈步〉便为所展圆池
　　积也以池积减上田积馀得□□□为一段如积寄左然后列真积如法展之得二万二千二百○二步八分八釐与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也以池径减倍通步即是方田斜身外除四为方靣也
　　以条段求之四段通步幂内减展积为实四之通步为从四分七釐常法
　　义曰四之通步为从其减
　　积外实欠一个方今即有展
　　池减时所剰之积补却一
　　个虚方外犹剰一个四分
　　七釐为常法也
　　第五问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩二分只云内圆周不及外方周一百六十八步问方圆各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步
　　法曰立天元一为内圆周加一百六十八步得□丨为外方周以自増乘得□□丨为一十六个方田积又三因之得□□□为四十八段方田积于头〈所以三因
　　为四十八者就为四十八分母也〉再立天元圆
　　周以自之〈元○〉丨为十二段圆池
　　积〈圆周幂为九个圆径幂每三个圆径幂为四个圆池积今九
　　个圆径幂共为十二个圆池积也〉又就分四之
　　得〈元○〉□为四十八个圆池积以减头位得□□丨为四十八段如积寄左然后列真积一十三亩二分以亩法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五万二千○六十四步与寄左相消得□□丨平方开之得七十二步为内圆周也三而一为池径
　　依条段求之四十八段田积内减三段不及步幂为实六之不及为从一虚隅



　　义曰每一个方周方为十六段方田积今三之为四十八段方田积也内除了三个圆周幂外于见积上虚了一个圆周幂也今求圆周故以一步为虚隅法旧术曰以十六乘田积为头位〈以合方周之积〉以不及步自乘减头位馀三之为实六之不及步为从法廉常以一步为减从法
　　第六问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地二千六百七十三步只云内圆周与外方靣数等问各多少答曰外方靣内圆周各五十四步
　　法曰立天元一为方靣〈便是圆周〉以
　　自之得元丨便为十二段池积
　　也再立天元方靣以自之又十
　　二之得〈元○〉□为十二段方田积
　　也二数相减馀〈元○〉□为十二段如积寄左然后列真积就分母十二之得□与左相消得□□平方开之得五十四步为方靣亦为圆周径也
　　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法
　　义曰一个方田积便是一
　　个圆周积也一个圆周积
　　便是十二个圆池积今将
　　一十二个圆池积减于十
　　二个方田积通有十一段方田积也
　　旧术曰以十二乘田如十一而一所得开方除之合前问也
　　又法立天元一为等数以自之为外田积又就分母九之得〈元○〉□为九个方田积于头又立天元等数以自之为十二个圆池积也三之四而一得〈元○〉□为九个圆池以减头位得〈元○〉□为九段如积寄左然后列真积就分九之得二万四千○五十七步与左相消得□○□平方开得五十四步为等数也
　　依条段求之九之积为实无从八步二分半为常法义曰每一个方幂为十二个圆池今将见有底九个
　　圆池去了七分半馀二分半并
　　实有八个方恰是八个二分半
　　也
　　又法立天元一为径以三之为
　　外方靣以自之得〈元○〉□为外方积于上再立天元圆径以自之三之四而一得〈元○〉□为圆池积也以此圆积减方积得〈元○〉□为一段如积寄左然后列真积与左相消得下式□○□平方开得一十八步为圆径也
　　以条段求之积为实八步二分半为常法
　　义曰中间一方除圆池四分之
　　三外有四分之一即是一步内
　　得二分半也
　　旧术曰列积步以八步二分半
　　为法除之所得再开方见内圆径
　　第七问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地一千三百五十七步只云外方靣不及内池周一十四步问方圆各多少
　　答曰方靣四十步　圆周五十四步
　　法曰立天元一为外方加不及
　　一十四步得□丨为内周以自
　　増乘得□□丨为十二个圆池
　　积于头再立天元方靣以自之
　　又十二之为十二个方田积内减头位得□□□为十二段如积寄左然后列见积一千三百五十七步就分母十二通之得一万六千二百八十四步与左相消得□□□开平方得四十步为外方靣也依条段求之十二之积内加入不及步幂为实二之不及步为虚从十一步常法
　　义曰其十二段积内带起十二个圆池其十二个圆池补成一个圆周方其圆周多于方靣十四步故
　　自之为幂加入所
　　欠之一角又二之
　　为虚从恰得十一
　　个方也
　　第八问
　　今有方田一段内有圆池水占之外有地一十三亩七分半只云内外方圆周共相和得三百步问方圆周各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周六十步
　　法曰立天元一为圆径以三之
　　为圆周以减共步得□□为方
　　周以自増乘得□□□为十六
　　段方田积于头再立天元圆径
　　以自之又十二之得〈太○〉○□为十六个圆池积以减头位得□□□为十六段如积寄左然后列真积一十三亩七分半以亩法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五万二千八百步与左相消得□□□开平方得二十步为圆池径又三之为圆周也依条段求之和步幂内减十六之见积为实六之和步为从三步常法
　　义曰十六个圆池该十二个方内从步合除去九个方外犹剰三个方故以三步为常法也
　　旧术曰列相和步自乘为头位又以十六之田积减头位又六而一为实以相和步为从法廉常置五分






　　第九问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外周与实径共相得三百三十步问三事各多少
　　答曰外方周二百四十步　实径十八步　圆周七十二步
　　法曰立天元一为池径以五之
　　减倍之相和步得□□为九个
　　方靣以自増乘得□□□为八
　　十一段方田积于头位〈二之相和步别〉
　　〈得是八方面六圆径二实径今将二实径与一圆径就成一方靣共前数计九方靣五圆径却更无实径也〉再立天元池径以自之又以六十步七分半乘之得〈元○〉□为八十一个圆池〈所以用六十步七分半乘之者欲齐其八十一分母也每个圆池七分半以八十一通之得六十步七分半也〉以此减头位馀□□□为八十一段如积寄左然后列真积三千一百六十八步以八十一通之得二十五万六千六百○八与
　　左相消得下□□□　　　　　　　　　　　　　〈步〉开平方得二十四步为池径也五因池径减倍相和馀九而一得方田靣以池径减方馀折半为实径
　　依条段求之倍共步自乘于头以八十一之田积减头位馀为实二十之共步为从三十五步七分半为常法
　　义曰八十一个方田内带起八
　　十一个圆池每个圆池七分半
　　此八十一个计该六十步七分
　　半其从步内合除去二十五个
　　外犹剰三十五个七分半故以之为常法也
　　旧术曰倍相和步自乘为头位又以八十一乘田积减头位馀退一位为实倍相和步为从法廉常置三步五分七釐半
　　第十问
　　今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外方圆周与斜径共相和得三百四十二步问三事各多少
　　答曰外方周二百四十步　内圆周七十二步
　　斜三十步
　　法曰立天元一为池径以二十
　　五之减于十之相和三千四百
　　二十步得□□为四十七个外
　　方靣以自増乘得□□□为二
　　千二百九段方田积于头位〈十之相和步三千四百二十为方靣四十个内池径三十个斜至步一十个以一十个斜至步合入五个池径共得五斜此五斜却便是七个方靣计总数该四十七个方靣二十五个圆径外更无斜至步也〉再立天元池径以自之又以一千六百五十六步七分半乘之得〈元○〉　□为二千二百○九个圆池积也〈所以用一千六百五十六步七分半乘之者欲齐其二千二百○九分母也每一个圆池积七分半今有二千二百○九个圆池积以七分半乘之该一千六百五十六步七分半也〉以此减头位得□□□为二千二百九段如积数寄左然后列真积三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九万八千一百一十二步与左相消得□□□开平方得二十四步即池径也以二十五之圆径减十之和步馀四十七而一得为外方靣身加四内减了圆池径馀折半为斜径也
　　按法内所用四十七方靣之数亦由立天元一法取出但截去前段恐初学不能无疑兹仍依其法补之
　　法立天元一为池径五因之以减倍和得□□为八方靣一斜共数以方五因之得□□为实又以方五因八方靣得四十以斜七乘一斜得七并之得四十七为法除实得方靣不除便为四十七个方靣也
　　依条段求之相和步进一位自乘于头位以二千二百九之真积减头位馀为实五百之和步为益从一千三十一步七分五釐为益隅
　　义曰减数系是二千二百九段方靣幂内却漏下二千二百九个圆池此数该一千六百五十六个七分
　　圆径幂却于从步上叠用了六
　　百二十五个池径幂外犹剰一
　　千三十一个七分五釐故以之
　　为隅法其从法元有五十个圆
　　径今命为之五百者縁相和步进一位也
　　旧术曰列相和步进一位自相乘为头位以二千二百九之积减头位馀以三之为实又以一千五百之相和步为从法廉常置三千九十五步二分半开平方见池径
　　第十一问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地二十五亩馀二百四步只云从外田楞至四边各三十二步问外圆内方各多少
　　答曰外圆径一百步　内方靣三十六步
　　法曰立天元一为内方靣加倍至步为外田径以自之得下式□□丨又三之得□□□为四段圆田积
　　于头再立天元方靣以自之又
　　就分母四之得〈元○〉□为四池积
　　以减头位得□□丨为四段如
　　积数寄左然后列真积又就分
　　四之得二万四千八百一十六步与左相消得□□丨开平方得三十六步为方池靣也加倍至步即圆径也
　　依条段求之四之积步于头位〈作三个外圆径幂内出了四个方池积也〉内减十二之至步幂为实十二之至步为从一虚隅



　　义曰四个外圆田内减了十二段至步幂复以十二之至步为从又合去四个方池今元积内有三个虚池外犹欠一个虚池故以一步为虚隅常减从以为法
　　又有圆田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圆边其一尖至圆边三步问圆径方靣各若干
　　答曰径十步　靣五步
　　法曰立天元一为方斜加三步
　　为圆径以自之又以一步九分
　　六釐乘之得□　　　　　　　　　　　　　　　　　　　〈步〉□□〈按此为一平方
　　九分六釐多十一元七分六釐多十七步六分四釐诸条皆步〉
　　〈数在上此条独步数在下〉又三之得□　　　　　　　　　　　　　　　〈步〉□□内减四之天元幂得上层□中下云云〈按即多三十五元二分八釐多五十二平方九分二釐〉寄左然后置五十步两度加四得□〈步〉又四之得□〈步〉与左相消得下层三百三十九步○八釐〈按此下当加与一平方八分八釐多三十五元二分八釐等十八字方明〉负开平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圆径下位身外减四即方靣也合问
　　依条段求之四段展起见积内减三段展起至步幂为实六之至步展起为从一步八分八釐为常法也此问若求方靣则其法甚易今求方斜故其图须细分之



　　义曰三个九分六釐共计二步八分八釐其元初作四段如积时合有四个所展之池今来只见三个故于二步八分八釐内去却一步有馀只有一步八分八釐为常法也〈此法于别纸上抄得故录于此〉
　　第十二问
　　今有圆田一段内有方池水占之外有地二十五亩零二百四步只云从外田楞通内方方靣六十八步问各数若干
　　答曰外圆径一百步内方靣三十六步
　　法曰立天元一为内方靣减倍通步得□丨为外圆
　　径以自之得□□丨为圆径幂
　　以三之得□□□为四段圆田
　　积于头再立天元内方靣以自
　　之又就分母四之得〈元○〉□为四
　　段方池积以减头位得□□丨为四段如积数寄左然后以四之见积二万四千八百一十六步与左相消得□□丨平方开之得三十六步为内方靣也减倍通步即圆径
　　依条段求之十二段至步幂内减四之见积为实十二之通步为从一常法
　　义曰所减数内剰
　　下四个方池叠补
　　了三个外犹剰一
　　个故以之为常法
　　第十三问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地五千步只云从外田楞至内池角四边各一十五步问方圆各多少
　　答曰外圆径一百步　内方靣五十步
　　法曰立天元一为内方靣身外
　　加四为内方斜又加倍至步得
　　□□为外圆径也以自増乘得
　　□□□为外径幂以三之得□
　　□□为四段外圆积于头再立天元内方靣以自之又四之得〈元○〉□为四段方池积也以减头位馀□□□为四段如积数寄左然后列四之见积二万步与左相消得□□□开平方得五十步为池方靣也身外加四又加入倍至步即为外田径也
　　依条段求之四之积步内减十二段至步幂为实十二之至步身外加四为从一步八分八釐为常法义曰三个九分六釐计二步八分八釐其四个圆田内有四个方水池除从步合占三个外犹剰一个水



　　池却于数内取了一步馀一步八分八釐故以之为常法也其从步加四者盖取斜中之方靣也盖不加四不能见方靣而但得方斜也
　　旧术曰四因积步为头位又倍去角步自乘三之减头位馀折半为实又倍去角步三因加四为从法廉常置九分四釐
　　第十四问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云从田外楞通内池斜三十五步半问外圆内方各多少
　　答曰外圆径三十六步　内方靣二十五步
　　法曰立天元一为内方靣加四得〈元□〉为方斜以减倍通步得〈太□〉□为外圆径以自増乘得□□□为外田
　　径幂也以三之得□□□为四
　　段圆田积于头再立天元内方
　　靣以自之又就分四之得〈元○〉□
　　为四段方池以减头位得□□
　　□为四段如积寄左然后列四之见积一千三百八十八步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也方靣加四减于倍通步得圆径也
　　依条段求之十二段通步幂内减四之田积为实十二之通步加四为益从一步八分八釐常法



　　义曰此式元系虚从今以虚隅命之四段圆田减积时剰下四段方池于从步内用讫三个外犹剰一个却于二步八分八釐虚数内补了一步外虚一步八分八釐故以之为法〈从负隅正或从正隅负其实皆同故因此廉从以别之〉旧术曰倍通步自乘三之为头位四因田积减头位馀为实又十二通步加四为从法廉常置一步八分八釐减从开方〈新旧廉从不同开时则同故两存之〉
　　第十五问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内方周不及外圆周一百五十二步问外圆内方各多少
　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步
　　法曰立天元一为内方靣以四
　　之为内方周加不及一百五十
　　二步得□□为外圆周以自増
　　乘得□□□为十二段圆田积
　　于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得〈元○〉□为十二段方池积以减头位馀□□□为十二段如积寄左然后列见积八千○九十六步又就分十二之得九万七千一百五十二步与左相消得□□□平方开得五十二步为内池方靣也以四之为内方周加不及步为圆周也
　　依条段求之十二段积步内减不及步幂为实八之不及步为从四步为常法也
　　义曰十二段圆积该九段圆径
　　幂九段圆径幂便是九个圆周
　　幂也据十二段圆积内元少十
　　二个方池今于周幂内除折筭
　　外剰四个池积故以四步为常法也
　　旧术曰十二之积步为头位以不及步自乘减头位馀八而一为实以不及步为从法廉常置半步开平方〈新旧二术不同者旧术从简耳算术本贵简易而犹立新术者縁旧术难画条段也馀仿此〉第十六问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三千五百六十四步只云内方周与外圆径等问等数各若干答曰内方周外圆径各七十二步
　　法曰立天元一为等数便以为
　　方周以自之为十六个方池于
　　头〈元○〉丨再立天元等数便以为
　　圆径以自之又十二之得〈元○〉□
　　为十六段圆田积内减头位馀〈元○〉□为十六段如积寄左然后列真积三千五百六十四步又就分十六之得五万七千○二十四步与左相消得□○□平方开得七十二步即等数也
　　按法后落条段一条依前例补之
　　依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法
　　义曰十六个圆积
　　乃十二段圆径幂
　　也其十六个圆积
　　内有十六个方池恰是一个方也此一个方便是等数幂也
　　旧术曰列田积从十一段平方开之得内方靣四之即等数也乂法以十六乘田积如十一而一所得开方即等数
　　第十七问
　　今有圆田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圆径不及内方周四十二步问方圆各若干
　　答曰外圆径五十四步　内方周九十六步
　　法曰立天元一为外圆径加不及四十二步得
　　为内方周以自増乘得下式□
　　□丨为十六段池积于头再立
　　天元外圆径以自之又十二之
　　得〈元○〉□为十六段田积也内减
　　头位馀□□□为十六段如积寄左然后列真积一千六百一十一步就分母十六之得二万五千七百七十六步与左相消得□□□平方开得五十四步为外圆径也加不及步为内方周也
　　依条段求之置十六之积加不及步幂为实倍不及步为虚从一十一步为常
　　义曰十二个圆径
　　幂该十六个圆田
　　积十六个圆田积
　　内有十六个方池其十六个方池于实积内侵过所加一角并二段虚从之数也
　　第十八问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云外圆周内方周共得二百八步问内外周各多少
　　答曰外圆周一百八步　内方周一百步
　　法曰立天元一为内方靣以四
　　之为内方周减于相和二百八
　　步得□□为外圆周以自增乘
　　得□□□为圆周幂便为十二
　　段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得〈元○〉□为十二段方池积也以减头位馀□□□为十二段如积寄左然后列见积三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也四之为内方周减于相和步为圆周也
　　依条段求之以十二之积步减和步幂为实八之和步为虚从四常法
　　义曰十二段圆田内有十二个
　　方池于方周幂内补了十二池
　　外犹欠四个故以四为隅法此
　　式元系虚从今却为虚隅命之
　　故以四为虚常法
　　旧术曰相和步自乘于头位以十二之积步减头位馀八而一为实相和步为从法廉常置半步减从第十九问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内外周与实径共相和得六百二步问三事各多少
　　答曰外圆周三百六十步　内方周二百八步
　　实径三十四步
　　法曰立天元一为内方靣以减一百七十二得□丨为外田径也〈倍云数得一千二百四步别得是六个圆径八个方靣两个实径今将一个方靣两个实径合成一个圆俓并前数而计是七个方靣七个圆径也今置一千二百四步在地以七约之
　　得一百七十二步为径靣共也便是一个方靣一个圆径更无
　　实径也〉以自增乘得□□丨为圆
　　径幂也以三之得□□□为四
　　段圆田积于头再立天元内池
　　靣以自之又就分四之得〈元○〉□为四池积以减头位得□□丨为四段如积寄左然后列见积八千九十六步又就分四之得三万二千三百八十四步与左相消得□□丨开平方得五十二步为内方靣也以七之方靣减于倍和步馀以七而一即圆径也圆径内减方靣馀者又半之即实径也
　　依条段求之径靣共一百七十二也自之为幂又三之于头位内减四之见积馀为实六之径靣共步为从一常法



　　义曰四之真积内有四个方池于从法内叠周了三个外剰一个故以一步为常法
　　旧术曰倍相和步自乘三之为头位以一百九十六步〈按此即四与四十九相乘之数〉之田积减头位馀以十四而一为实又六之相和步为从法廉常置三步半开平方见内方靣
　　第二十问
　　今有圆田一段内有方池水占之外计地二千四百七十五步只云内外周与斜径相和得二百五十九步半问三事各多少
　　答曰外圆周一百八十步　内方周六十步　斜
　　十九步半
　　法曰立天元一为内方靣以三
　　十三之减于十之云数二千五
　　百九十五步得□□为三十五
　　个圆田径〈十之云数内有外圆径三十个内方靣四〉
　　〈十个角斜十个今将七个方靣并入十个角斜为五个圆径也总别得十之云数是方靣三十三个圆径三十五个外更无斜径角也〉乃以三十五之圆径自増乘得下式□□□为一千二百二十五段圆径幂也以三因之得□□□合以四除之今不除便为四千九百段圆田积于头再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乘之得○□为四千九百段方池积以减头位得□□□为四千九百段如积数寄左然后列真积二千四百七十五步就分以四千九百乘之得一千二百一十二万七千五百步与左相消得□□□平方开得一十五步为内方靣方〈三十三之方靣以减于十之相和二千五百九十五步馀三十五而一即圆径以方靣加四减圆径馀半之即斜径也〉
　　依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之相和步为从一千六百三十三为常法
　　义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从
　　内叠用了三千二
　　百六十七个方池
　　外犹剰一千六百
　　三十三个方靣幂故以之为常法也其从法元有一百九十八个方靣合用一百九十八之相和步为从今用一千九百八十个相和步者縁为相和步先进了一位也
　　第二十一问
　　今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相较等三方靣共并得一百八步问三方多少
　　答曰大方靣五十七步　中方靣三十六步　小
　　方靣一十五步
　　法曰立天元一为方差以减中方靣
　　〈置并数三而一即得中方靣〉得□丨为小方靣也
　　以自之得□□丨为小方积于头再
　　立天元方差加入中方靣得□丨为
　　大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也〈置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也〉
　　依条段求之列并数以三约之所得即中方靣也以自之为幂又三之以减积为实无从二步常法义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步
　　常法旧术又折半止得一个
　　方也


　　第二十二问
　　今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十五步半问田方靣多少
　　答曰田方靣三十五步
　　法曰立天元一为水占斜加入
　　云数四十五步半得□〈元丨〉为田
　　斜以自増乘得□步□丨为田
　　斜幂于头再立天元一水占斜
　　以自之为水占得小方积就分以一步九分六釐乘
　　之得〈元○〉□　　　　　　　　　〈步〉为所展得水占积也以减头位得□□
　　□　　　　　　〈步〉为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七十六步九分九釐与左相消得□□□开平方得三步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方靣也
　　依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从九分六釐虚常法开平方得三步半即水占斜也义曰今将水占斜直命为小方池靣也
　　旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以
　　自乘减头位馀为实二之直至
　　为从以九分六釐为廉从开平
　　方得二步半加直至步三十二
　　步半得三十五步即田方靣也
　　此图即旧术条段也旧术减云
　　步为直至步入法而求得二步
　　半为直至不及方靣步新术展
　　积入法而求得三步半为水占
　　斜






　　益古演段卷上