益古演段 (四库全书本)/卷下

益古演段　卷下

　　钦定四库全书
　　益古演叚卷下　　　　　　元　李冶　撰第四十三问
　　今有圆田三叚〈一依古法一依密率一依徽率〉共计地二十亩五十二步一百七十五分步之二十三只云密径多于古径九步徽径多于密径九步问三径各多少
　　答曰古径三十六步　密径四十五步　徽径五
　　十四步
　　法曰立天元一为古径加多九步得
　　□丨为密径以自之得下□□丨为
　　密径幂又以十一乘之得□□□为
　　十四叚密圆积于头又立天元古径
　　加二之多步一十八步得□丨为徽
　　径以自之得□□丨为徽径幂也又
　　以一百五十七乘之得□□□为二
　　百叚徽圆积于中〈按徽率周一百五十七径五十径乘〉
　　〈周四归为圆幂今以径幂乘周当以径五十除之再四归之为圆幂不除便为五十乘之又四乘之之二百圆幂也〉又置天元古径以自之又三之得〈元○〉□为四叚古圆积于下乃求三积齐同分母而并之先以分母一万七千五百〈按此即十四除二十四万五十之数〉乘十四叚密圆积得□□□为二十四万五千叚密圆积于头位次以分母一千二百二十五乘二百叚徽积得□□□为二十四万五千叚徽积于中位次以分母六万一千二百五十乘四叚古积得○○□为二十四万五千叚古积于下位三位相并得□□□为二十四万五千叚如积数寄左然后列见积通分内子得八十四万九千一百二十三就分以一千四百乘之得一十一亿八千八百七十七万二千二百与左相消得下式□□□平方开之得三十六步为方径也各加多步见徽密二径也　义曰所以齐同于二十四万五千叚者以元母一百七十五乘一千四百得此数依条叚求之以一千四百乘田积于头位置徽径多古径自之为幂又以一千九十九〈按置一千四百分以徽圆幂率一百五十七乘之方幂率二百除之即得〉乘之减头位续置密径多古径自之为幂又以一千一百〈按置幂十〉一〈千四百分以密率圆乘之方幂十四除之即得〉乘之复减头位馀为实又倍徽径多古径以千九十九乘之为徽从又倍密径多古径以一千一百乘之为密从并二从得五万九千三百六十四为从法廉常置三千二百四十九
　　义曰以一千四百乘积者取其三率皆可以除之也
　　齐同分母湏至于二十四万五千
　　叚者盖以分母一百七十五元乘
　　积数一千四百此二数相乘得二
　　十四万五千也


　　此问求真积实数　古径三十六得积九百七十二步　密径四十五步得积一千五百九十一步一十四分步之一　徽径五十四步得积二千二百八十九步二百分步之一十二并三积全步四千八百五十二步外〈密零一十四分步之一徽零二百分步之一十二〉以上维乘下位〈密子得二百分　徽子得一百六十八分〉相并得三百六十八分为子实又上二位相乘得二千八百分为母法子母俱以十六约之为一百七十五分步之二十三　一千四百乘田积来历盖只就密率上定之也置一千四百在地以密率十一之如十四而一为一千一百积　若以古率三之四而一则得一千五十积　若以徽率一百五十七乘之如二百而一得一千九十九积所以用一千四百乘积者縁古法四徽法二百皆可以除之也　求三积齐同分母元分母数一百七十五元乘积数一千四百此二数相乘二十四万五千即大分母也三积总率皆齐同于此既得此齐同分母乃各以先求到叚数约之徽率得一千二百二十五密率得一万七千五百古率得六万一千二百五十故反以乘叚数皆齐同于二十四万五千也
　　按条叚分母数简于前法者用旧术也然各分母之数犹有可省者盖众数取分母数必得最小者方为确凖其义见秦九韶数学九章大衍术中今附其法于后以发明前法所未尽者
　　法列四数先以元母一百七十五与
　　密方率十四相度得度尽二数之数
　　为七次以二数相乘以度尽数除之
　　得三百五十为二数总母又以二数
　　总母与徽方率数相度得度尽二数
　　之数为五十以二数相乘度尽数除
　　之得一千四百为三数总母又以三
　　数总母与古方率数相度则古方率
　　四即为度尽二数之数二数相乘度
　　尽数除之仍得一千四百即为四数
　　总母然后以密方率十四除之得一
　　百为密分母以徽方率二百除之得
　　七为徽分母以古方率四除之得三
　　百五十为古分母以元分母一百七
　　十五除之得八为原积分母以此数
　　与各叚幂积相乘除较原数所省多
　　矣
　　第四十四问
　　今有梯田一叚长二百四十步并不知东西两阔只云从东头截长五十步计地三亩从西头截长三十步计地五亩问二阔各多少
　　答曰东头元阔一十一步二分　西头元阔四十
　　一步九分二釐
　　法曰此问先湏求见两头各截之停广求东截停广者置东头所截三亩之积七百二十步以截长五十步除之得一十四步四分为东截地之停广也求西截停广者置西头所截五亩之积一千二百步以截
　　长三十步除之得四十步为西头所
　　截停广也乃立天元一为毎步之差
　　以东头截长五十步乘之折半得□
　　以减东停广一十四步四分得□〈分〉□为东头元小阔于上再置天元差
　　步以西头截长三十步乘之得□折半得□加入西头停广四十步得□□为西头大阔也内减东头小阔馀□步□为二阔总差也寄左再立天元毎步差以正长二百四十步乘之得□亦为二阔总差与左相消得□步□下法上实如法而一得一分二釐八毫为毎步之差也置毎步之差以西头截长三十步乘之得三步八分四釐折半得一步九分二釐加入西头停广四十步得四十一步九分二釐为西头元大阔也又置毎步之差以东头截长五十步乘之得六步四分折半得三步二分以减于东头停广一十四步四分馀一十一步二分为东头元小阔也此问止求毎步之差更不湏以条叚明之
　　旧术依法求得东停广与西停广数乃以二停广相减馀以二百而一〈谓东截长五十步其停广当二十五步馀去了二十五步也西截长三十步其停广当一十五步馀去了一十五步也两头计去了四十步以减于正长二百四十步馀二百步〉所得为毎步之差乃副置半步之差左以东截长乘之以减东停广馀为东元阔也右以西截长乘之以加西停广并为西元阔也又法置一步之差以正长二百四十乘之所得为都阔差也以都阔差加于小头阔则为大头阔也
　　第四十五问
　　今有方田一叚中心有方田池占之外计地一亩只云从外田东南隅至内池西南隅一十三步问内外田方各多少
　　答曰内池方七步　外田方一十七步
　　法曰立天元一为内池方以自乘倍之得〈元○〉□加入见积得□□寄左又列至步自之得一百六十九步
　　又倍之得三百三十八步与左相消
　　得□○□开平方得七步即内池方
　　也池方自之加入见积再开平方即
　　外田方面也
　　依条叚求之只据前式便是更不湏重画也只是将见积打作四叚小直田以池面为较以外田方面为和以斜至步为然此问惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏侧则不能用也　旧术列去角步自乘为二位头位减半田积开平方见内池面下位加半田积开平方见外田面也
　　第四十六问
　　今有方圆田各一叚共计积一百二十七步只云其方面大如圆径圆径穿方斜共得二十步问面径各多少
　　答曰方面一十步　圆径六步
　　法曰立天元一为圆径减穿步得□丨为方斜以自
　　之得□□丨为方斜幂于头再
　　置天元圆径以自之又以一步
　　四分七釐乘之得□□步为展
　　起圆田也并入头位得□□□
　　步为展数如积一叚寄左然后
　　列见积一百二十七步两度下加四〈两度下加四止是以一步九分六釐乘之也以一步九分六釐乘之者变方田为斜田也〉得二百四十八步九分二釐与左相消得下式□□□开平方得六步即圆径也以径减穿步即方斜也
　　依条叚求之穿步幂内减去展起见积为实二之穿步为从二步四分七釐虚隅
　　义曰下式乃展起之圆
　　积也亦俱是减数也此
　　数该一步四分七釐之
　　方又从步内叠出一步
　　虚隅计得二步四分七釐常法也
　　旧术曰以一步九分六釐乘田积为头位又列穿步自乘内减去头位馀为实倍穿步为从廉常置二步四分七釐减从开方
　　第四十七问
　　今有直田一叚中心有小方池结角占之外计地二千七十九步只云从田二头至池角二十一步半两边至池角七步半问三事各多少
　　答曰长六十四步　阔三十六步　池方一十五步
　　法曰立天元一为内方面身外加四
　　又加二之头至步四十三得□□为
　　田长也又置池方面身外加四又加
　　入二之边至步一十五得□□为田
　　阔也长阔相乘得下式□□□为直田积于头又置天元池方面以自之得〈元○〉丨为内方池以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列见积二千七十九步与左相消得□□□开平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加两头至池步见长若加两边至池步即见阔也
　　依条叚求之积步内减四叚边至与头至步相乘数为实并至头至步倍之又身外加四为从九分六釐常法
　　义曰水池外有九分六釐常法从
　　步皆加四者盖于斜上求方面也


　　第四十八问
　　今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步只云其池广不及长四步又云从田楞通池长一十五步问三事各多少
　　答曰田方二十步　内池长一十步　广六步
　　法曰立天元一为池长减于倍通步□丨为田方面以自之得□□丨为田方积于头再置天元池长内减较四步□丨为池阔以天元乘之得□丨为直池
　　积以减头位得□□○为如积一叚
　　寄左然后列直积三百四十步与左
　　相消得□□下法上实如法而一得
　　一十步即池长也以长减于倍通步
　　即方田面也
　　依条叚求之四叚通步幂内减田积为实四之通步内减池较为法如法得池长
　　义曰四之通步为法内欠一个池长幂却用所漏之
　　池补之犹差一池较
　　为法合除之数也既
　　于实积内虚了此数
　　故作法时于四之通步内减去一数也
　　第四十九问
　　今有方田一叚内有小方池结角占之外计地一万八百步只云从外田楞至内池角各一十八步问内外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池方六十步
　　法曰立天元一为内方面身外加
　　四又加倍至步三十六得□□为
　　田方面以自乘得□□□为外方
　　积于头再置天元内方面以自之
　　得〈元○〉丨为内池积也以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□开平方得六十步为内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也
　　依条叚求之见积内减四叚至步幂为实四之至步身外加四为从九分六釐常法
　　义曰从步内加四者是于一个方
　　面上求

　　第五十问
　　今有方田一叚自有小方池结角占之外计地九千三百七十五步只云从外方角至内池面各五十七步半问内外方各多少
　　答曰外田方一百步　内池方二十五步
　　法曰立天元一为内方面
　　加倍至步一百一十五步
　　得□丨为外田斜以自之
　　得□□丨为所展方积于
　　头再置天元内池面以自
　　之得〈元○〉丨为内池积又就分以一步九分六釐乘之得下〈元○〉□亦为所展之池积也以减头位得□□□为一叚所展如积寄左然后列真积九千三百七十五步以一步九分六釐乘之得一万八千三百七十五与左相消得□□□开平方得二十五步即内方面也
　　依条叚求之展积内减四叚至步幂为实四之至步为从九分六釐虚常法
　　义曰展积时其池亦展得虚了九
　　分六釐也


　　第五十一问
　　今有方田一叚内有小方池结角占之外计地四十五亩只云从外田南边斜通池北角一百二步问内外方各多少
　　答曰外田方一百二十步　内池方六十步
　　法曰立天元一为内方面身
　　外加四为池斜以减于倍通
　　步二百四步得□□为外方
　　面以自之得□□□为方田
　　积于头又置天元内池面以自之得下〈元○〉丨为内方池也以内方池减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□平方开之得六十步为池方面也
　　依条叚求之四叚通步幂内减见积为实四之通步加四为从九分六釐虚隅法
　　义曰从步身外加四者盖是于池
　　斜上求池面也


　　旧术曰倍通步自乘以田积减之馀折半为实倍通步加四为从廉常置四分八釐减从开方见内方面
　　第五十二问
　　今有方田一叚内有方池结角占之外计地三十九亩零一十五步只云从田东南角至内池西北面八十二步半问内外方面各多少
　　答曰外田方面一百步　内池方面二十五步
　　法曰立天元一为内方面减于倍通步一百六十五
　　步得□丨为外田斜也以自之得
　　□□丨为所展外田积于头再置
　　天元池方面以自之为方池积又
　　就分以一步九分六釐乘之得〈元○〉
　　□为所展方池积也以减头位得□□□为展起底如积一叚寄左然后列真积三十九亩一十五步通纳得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六釐乘之得一万八千三百七十五步与左相消得□□□平方开之得二十五步即内池面也以池面减于倍通步又身外去四即外方面也
　　依条叚求之四叚通步幂内减展积为实四之通步为从九分六釐常法
　　义曰元以展积减四叚通步
　　幂时漏下一步九分六釐池
　　积今来于从步内叠用了一
　　个方外剰九分六釐
　　第五十三问
　　今有方田一叚内有直池结角占之外计地八百五十步只云从田角通水长三十七步通水阔三十二步问三事各数
　　答曰池长二十五步　阔一十五步　外田方三十
　　五步
　　法曰立天元一为内池长减于倍通步七十四步得□丨为外田斜也以自之得□□丨为所展外田积
　　于头再置倍通长七十四步内
　　减倍通阔六十四步馀一十步
　　乃池长阔差也〈或直以通长通阔相减于者倍
　　之亦为长阔差也〉再置天元池长内减
　　长阔差得□丨为阔也以天元长乘之得□丨为直池积也又就分以一步九分六釐乘之得□□为展起底直池积也以减头位得下式□□□为所展如积一叚寄左然后列真积八百五十步就分以一步九分六釐乘之得一千六百六十六步与左相消得□□□开平方得二十五步为内池长也〈以减倍通长步又身外去四即外田方面也〉
　　依条叚求之四叚通长幂内减展积为实四之通长于头以一步九分六釐乘长阔差以减头位为从九分六釐常法
　　义曰据从步合用之积于叠起处少了一方今将减积时漏下所展水池补了一甲之地若更得一乙之
　　地则共补成一步九
　　分六釐之地方也〈按原
　　图仍用正方今易为直方庶为简明〉今
　　不可补故于从步内
　　减去所展差步便是
　　于从法合用之积内借了一乙之地恰补就一步九分六釐之方也除补了叠起的一步方外犹剰九分六釐故以之为常法也
　　第五十四问
　　今有方田一叚内有直池结角占之外计地一千一百五十步只云从田角至水两头各一十四步至水两边各一十九步问三事各多少
　　答曰方四十五步　池长三十五步　阔二十五
　　步
　　法曰立天元一为池阔加二之边至步三十八得□丨为外田斜以自之得□□丨为所展外田积于头
　　二之边至步内减二之头至步
　　馀一十步为池长阔差也再置
　　天元池阔加差一十步得□丨
　　为池长也用天元池阔乘之得
　　□丨为直池积也又就分以一步九分六釐乘之得□□步为所展之池积也以减头位得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积一千一百五十步以一步九分六釐乘之得二千二百五十五十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为池阔也〈又加二之边至步又身外去四即外方面也〉
　　依条叚求之展积内减四叚边至步幂为实四之边至步于头以一步九分六釐乘长阔差减头位馀为从九分六釐虚常法
　　义曰所展池积内将四叚红〈按原
　　图应减者以红色别之〉积恰补作九分六
　　釐虚常法其两个所占半差于
　　减从时又以一步九分六釐乘
　　之者盖欲合身外加四所乘积也
　　按展积义多未备此条尤略今具图说以详之
　　义曰外四隅方所减之四至幂
　　也中十字积为实则池阔为隅
　　四之至步为从也附直池外斜
　　方展池积也平分上下二尖形
　　附于左右二尖形外成一原池阔乘展池正长之直方展池正长为原池长之一步九分六釐十字积与展池积之较为实是前从隅内应少原池长之一步九分六釐又为少原池长阔较之一步九分六釐并原池阔之一步九分六釐故展较减前从以为从展隅反减前隅为虚隅也
　　第五十五问
　　今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三亩一分只云内外周径共相和得四百二十四步问内外周径各多少〈图依密率〉
　　答曰外周二百八十六步径九十一步　内周一百一十步径三十五步　实径二十八步
　　法曰立天元为实径以减相和
　　步四百二十四得□丨为内外
　　周共步用天元实径乘之得□
　　丨为如积两叚寄左然后列二
　　之真积一万一千八十八步与左相消得□□丨开平方得二十八步为实径也以径步除田积于头位又二十二乘径步如七而一得数若加头位即外周若减头位即内周也
　　义曰以径步除田积所得乃半内周半外周共步也又据古率三个实径即是半个外内周差步也縁此问系是密率故以二十二乘径以七约之也即得半差以加共步即是外周以减共步即是内周也又据古率三之实径以加减共步者縁共步便三空径三实径共数也于此共数内加三实径则恰是三个大圆径故为一个外周也若共数内减去三实径则正有三个小圆径故为一个内周也今是密率故先以二十二之七而一所以附就此数以求内外周也依条叚求之倍积步为实和步为从一益隅
　　义曰以和步为从
　　是于内外周数外
　　又引出一步虚常法也
　　第五十六问
　　今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三亩一分只云从外田通内池径六十三步问同前
　　答同前
　　法曰立天元为实径加通步六
　　十三得□丨为外田径以自之
　　得下□□丨为外圆径幂又十
　　一之得下式□□□为十四叚
　　外圆积于头再置天元实径以减通步得□丨为内圆径以自之得□□丨为内圆径幂又十一之得□□□为十四叚内圆积也以减头位得下式□步为十四叚如积寄左然后列真积二十三亩一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七万七千六百一十六与左相消得□□下法上实如法而一得二十八步为实径也以实径加通步即外径若减通步即内池径也
　　依条叚求之十四之积为实四十四之通步为法求得实径


　　此问难以为式强立此式以推之毎积之长乃三个通步今十四之积合以四十二个通步除之今用四十四之通步为法者縁密率之周稍多于古率之周也假令古率七个积即合用二十一个通步为法若依密率七个积即合用二十二个通步为法此问乃并十四之积为实是合用四十四个通步为法也旧术曰二十二之通步如七而一为法除田积见径又法倍通步自之又十一之于上以十四之积减上馀为实四十四之通步为法见池径
　　按条叚皆于立天元一内取出而于方圆变积之义或未暇深思故谓难以为式若以方环圆环解之固易易耳今増一图义于后而旧术又法先求池径更可互相发明因并附焉
　　义曰圆幂率十一方幂率十四以十四
　　乘圆环积便为十一方环积毎环为实
　　径乘通步之直方四故以十一方环积为
　　实四十四通步为法即得实径也
　　义曰倍通步即大小径并其幂内有
　　大小径幂各一大小径相乘直方二
　　内减圆环积所变之方环积馀小径
　　幂二大小径相乘之直方二又为小
　　径乘大小径并之直方二又为小径乘通步之直方四故以十一倍之积较为实四十四之通步为法即得小径也
　　第五十七问
　　今有圆田一叚内有直池水占之外计地八千七百四十四步只云两头至田楞各二十一步两畔至田楞各四十五步问三事各数
　　答曰田径一百二十四步　池长八十二步　阔
　　三十四步
　　法曰立天元一为池阔加二之畔至
　　步得□丨为外田径以自之得□□
　　丨为田径幂以三之得□□□为四
　　叚圆田积于头二至步相减馀二十
　　四步又倍之得四十八步为池长阔差也再立天元池阔加差得□丨为池长以天元阔乘之得□丨为池积又就分四之得□□为四叚直池积以减头位得□□丨为如积四叚寄左然后列真积八千七百四十四步就分四之得三万四千九百七十六步减头位得□□丨平方开之得三十四步为池阔也依条叚求之四之见积内减十二叚畔至步幂为实十二之畔至步内减四个长阔差馀为从一步虚常法



　　义曰八处以红志之者共是从内所减之数也旧术曰四之积步于上又倍一畔步自乘三之减上馀为实又并一头一畔步六之内减了长阔之差馀为从廉常置一步减从开方见池阔也
　　第五十八问
　　今有圆田一叚内有直池占之外计地一千五百八十七步只云从田楞通地长四十二步通地阔三十七步问三事各数
　　答曰田径五十四步　池长三十步　阔二十步
　　法曰立天元一为内池长以减
　　倍通长八十四步得□丨为田
　　径以自之得□□丨为田径幂
　　以三之得□□□为四叚圆田于头再立天元一为池长内减长阔差得□丨为池阔以天元一乘之得□丨又就分四之得□□为四叚池积〈求长阔差者倍通长内减倍通阔即是也〉以减头位得下式□□丨为四叚如积寄左然后列四之真积六千三百四十八步与左相消得□□丨开平方得三十步为内池长也以长减倍通长即田径也依条叚求之十二之通步幂内减四之见积为实十二之通步内减四差为从一步常法




　　义曰十二之从步内减去了三个差又以三个漏下池积补了叠起底三步虚方外犹剰一池更用一差减从并上所剰之一池恰补成一步常法也
　　第五十九问
　　今有二方夹一圆失却圆水占外有田积一十一亩五分五釐其方圆相去重重径等问方圆各多少答曰内方面一十二步　圆径三十六步　外方
　　面六十步
　　法曰立天元一为等数五之得
　　□为外方面自之得〈元○〉□为外
　　方积于头一次立天元一为等
　　数以三之得□为中圆径以自
　　之得〈元○〉□为圆径幂又三之四而一得〈元○〉□为池积以减头位得〈元○〉□为外田积内减了中圆积之数于次位一再立天元等数便为内方面以自之得〈元○〉丨为内方积却加入次位得下□为如积一叚寄左然后列真积一十一亩五分五釐以亩法通得二千七百七十二步与左相消得□□步下法上实如法而一得一百四十四步再开平方得一十二步为等数也便是内方面也三之为中圆径五之为外方面　此问更无条叚旧法以十九步二分半除积步得内方幂只是以一步推之也假令内方一步则圆径三步外方面五步也于外方积二十五步之内减了中圆积六步七分半却加入内方积一步计得十九步二分半也第六十问
　　今有二圆夹一方失却中方水占外有田积一十四亩一分七釐半其方圆相去重重径等问方圆各几何答曰内圆径一十八步　方面五十四步　外圆径九十步
　　法曰立天元一为等数以五之为外
　　圆径以自之得〈元○〉□为外径幂又三
　　之四而一得□为外田积于头再立
　　天元等数以三之为中方面又自之得〈元○〉□为中方幂以减头位得〈元○〉□为外圆积内减了中方幂之数于次位又置天元等数便为内圆径以自之得〈元○〉丨为内径幂又三之四而一得〈元○〉□为内圆积也却加入头位得〈元○〉□为如积一叚寄左然后列真积一十四亩一分七釐半以亩法通得三千四百二步与左相消得□□下法上实如法而一得三百二十四步再开平方得一十八步为等数便是内圆径也副置之三因为中方面五因为外圆径也　此问与前问意同更无条叚旧法以十步半除积步得内径幂亦只是以一步推之假令内圆径一步则是中方面三步外圆径五步先置外圆积一十八步七分半内减了中方积九步却加内圆积七分半共得一十步半也
　　第六十一问
　　今有方田一叚靠西北隅有圆池水占之外计地九百二十五步只云从外田东南隅至池楞二十五步问面径各多少
　　答曰外田方面三十五步　内池径二十步
　　法曰立天元一为内池径身外加
　　二得□为池东南楞至田西北角
　　也又加斜至步二十五步得□□
　　为外田斜以自之得□□□为田
　　斜幂于头再立天元圆径以自之为幂又以一步四分七釐乘之得〈元○〉□为所展圆池积以减头位得□□□为所展如积一叚寄左〈初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也　按加二系以方求半方半斜和之数也〉然后列真积九百二十五步就分以一步九分六釐乘之得一千八百一十三步与左相消得□□□平方开得二十步为池径也池径外加二又添入斜至步却身外除四即外方面也
　　依条叚求之展积内减斜至幂为实倍至步身外加二为从三釐虚常法减从开平方
　　义曰于一方外虚了四分七釐
　　从上带了四分外虚七釐又于
　　从上乘起四釐外犹虚三釐故
　　以三釐为常法此图内二分合
　　画作极细形状与四分七釐外圆边正自相应今不应者但二分差阔耳所以画作差阔之状者正欲易辩二分之数也
　　按原图式有附斜至幂外磬折形无附池径幂外磬折形且二形相离皆𫝊本之误也故义中所论亦不知其何指今订补此图二分不必加阔未尝不易辨也
　　第六十二问
　　今有方田二叚靠西北隅有方池结角占外计地四亩一十五步只云从田东南隅斜至水方面一十九步问内外面各多少
　　答曰外方面四十步　内方面二十五步
　　法曰立天元一为池方面身外加
　　四八又加入斜至步一十九步得
　　□□为外田斜也〈先将池斜变为方故加四后又〉
　　〈将池方变为斜复合加四两度加四于一步上合得一步九分六釐今求一半故身外止加四八也　按方一步求斜身外加四又以斜为方求斜再身外加四是原方求再斜为身外加九六今求半方半再斜之和数故加四八也〉以自之得□□□为外田斜幂于上再立天元一为池方面以自之又以四十九乘之如二十五而一得〈元○〉□为展起方池积以减上得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积四亩一十五步以亩法通内得九百七十五步又随分以一步九分六釐乘之得一千九百一十一步与左相消得□□□平方开得二十五步为内池方面也于此方面上两次求斜合得一步九分六釐以除元方一步外有九分六釐半之则得四分八釐故此方面上加四八更加入斜至步为大方斜也
　　以条叚求之展积内减至步幂为实二之至步以一步四分八釐乘之为从二分三釐四丝为常法
　　义曰此一问其展起积时
　　于一池之外虚了九分六
　　釐却于一个从步内加四
　　分八釐二个从步计加了
　　九分六釐恰就了所展虗
　　数除外有一叚四分自乘数该一分六釐于上又有两叚四分乘八釐数〈按附自乘方外〉该六釐四毫于次又有一叚八釐自乘数〈按小方隅〉该六毫四丝于下三位并得二分三釐四丝此数系是于展积内实有之数故以常法也
　　旧术以四十九乘田积如二十五而一于头位以至水步自乘减头位为实馀与条叚同
　　按原图式四分八釐方内按分釐数细分之因其数甚微又以分数釐数作等数分之终不免混淆今以廉隅线易之
　　第六十三问
　　今有大圆田一叚大小方田二叚其小方田内有圆池水占之外共计积六万一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多于小方田面五十步其圆田径又多于大方田面五十步问四事各多少答曰小方田面一百步　池径四十步　大方田
　　面一百五十步　圆田径二百步
　　法曰立天元一为内池径加二之至
　　水六十步为小方面于小方面上又
　　加入大小方面差五十步即大方面
　　也于大方面上又加入大圆径大方
　　面差五十步即大圆径也具图于左
　　一内圆径〈太○〉丨　一小方面□丨
　　一大方面□丨　一大圆径□丨
　　乃先置天元内圆径以自之义三之
　　得〈元○〉□为四叚圆池积于上又置小方面□丨以自之得□□丨为小方积以四之得下式□□□为四叚小方积于次又置大方面以自之得□□丨为大方积四之得□□□为四叚大方积于下又置大圆径下式□丨以自之得□□丨为大圆径幂以三之得下式□□□为四叚大圆积于下位之次并下三位得下式□□□于右以四池积〈元○〉□减于右得□□□为如积四叚寄左然后列真积六万一千三百步就分四之得二十四万五千二百步与左相消得□□□平方开之得四十步为内池径也各加差步即各得方面与圆径也
　　依条叚求之四之田积于头位内减三叚〈按落大圆径三字〉多池径幂又减四叚大方面多池径幂又减十六叚至水步幂为实六之圆田多池径步又八之大方田面多池径步又十六之至水步三位并之得二千三百二十步为从法廉常置八步开平方








　　义曰三叚圆径幂乃四个圆田积此数内有三个方也其四叚大方田积内有四个方也其四叚小方积毎个圆池外馀二分半四池计馀一步方也三位上并带八步方
　　第六十四问
　　今有方田一叚中心有环池水占之外计地四十七亩二百一十七步只云共环水内周不及外周七十二步又从田四角至水各五十步半问内外周及田方方各多少
　　答曰外周一百八十步　内周一百八步　田方
　　一百一十五步
　　法曰立天元一为池内径
　　先以六除内外周差七十
　　二步得一十二步为水径
　　倍之得二十四步加入天
　　元池内径得□丨为池外径又加倍至步一百一步得下式□丨为外田斜以自之得□□丨为田斜幂于头位再立天元池内径加入二之水径得□丨为池外径以自之得□□丨为外径幂又以一步四分七釐乘之得下式□□□步为展起底外圆积于次上再立天元一池内径以自之〈元○〉丨亦以一步四分七
　　釐乘之得〈元○〉□　　　　　　　　　　　〈步〉为展起底内圆积以减次上得□步□○为所展底池积也以此池积减头位得下式□步□丨为展起如积一叚寄左然后列真积四十七亩二百一十七步以亩法通纳之得一万一千四百九十七步又就分以一步九分六釐乘之得二万二千五百三十四步一分二釐与左相消得下式□步□丨开平方得三十六步即池内径也三之为内周又加差为外周置内径加二之水径又加倍至步为外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依条叚求之以一步九分六釐乘田积于头位以水径加至步以自之为幂又四之以减头位又倍水径自乘又以一步四分七釐乘之却加入头位为实又水径加至步四之于头位又三之水径以一步九分六釐乘之减头位为从一步常法此问图式有三第一式即所画原様是也以一步九分六釐乘之变为斜幂其式如后
　　右第二式也黒者为元问
　　点者尽是展数恐糢糊难
　　辩再具加减图式于下更
　　不见旧式也
　　右第三式也其圆环以条
　　叚命之只是一个方环内
　　取四分之三也却加入三
　　叚展起底水径幂外只有
　　三叚展起底水径乘内圆径直田积也此系展环之虚数也今以至步并水径共为从故于内却除去水径之虚步也必湏以一步九分六釐乘水径而去从者縁二停虚环并是展起之积故减从时将水径亦展起而减之也〈按展水径展内圆径皆于原数身外加四今以内圆径为不动则水径必两度加四故以一步九分六釐乘之也〉













　　益古演段卷下