庄氏算学 (四库全书本)/卷05

庄氏算学　卷五

　　钦定四库全书
　　庄氏算学卷五
　　淮徐海道庄亨阳撰
　　中西笔算
　　度量权衡
　　度法
　　丈　尺　寸　分　釐　毫　丝　忽　微　纎　沙尘埃　𣺌　漠　模糊　逡巡　须㬰　瞬息　弹指刹那　六徳　虚空　清浄〈俱逓以十析〉
　　量法
　　石　斗　升　合　勺　撮　抄　圭〈俱逓以十析〉　粟〈六粟为圭〉
　　权衡
　　两　钱　分　釐　毫　丝　忽〈俱逓以十析忽以下并与度法同〉凡丈　石　两以上则为十　百　千　万〈逓増十倍〉　亿兆　京　垓　秭　穰　沟　涧　正　载　极
　　恒河沙　阿僧只　那由他〈不可思议无量数亿以下俱逓増万倍〉
　　田法
　　顷〈百亩为顷〉亩〈二百四十步为一亩〉分〈二十四步为分〉步〈方五尺为步〉
　　斤法
　　斤〈十六两为一斤〉两〈以下俱与权衡同〉
　　里法
　　里〈三百六十步为一里计一百八十丈〉
　　历法
　　周天〈十二宫为周〉宫〈三十度为宫〉度〈六十分为度〉分　秒　微　纎忽　芒　尘〈俱逓以六十析〉
　　日时
　　日〈十二时又为二十四小时〉时〈八刻又为二小时〉刻〈十五分〉分以下俱与前同
　　石法
　　石〈积二千五百寸即正方一尺高二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例方得密合也〉
　　命位
　　凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分釐皆为奇零命尺为单位则寸以下为奇零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为奇零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为奇零命斗为单位则升以下为奇零而石则进而为十若命升为单位则合以下为奇零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为奇零命钱为单位则分以下为奇零而两则进而为十若命分为单位则釐以下为奇零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于历法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类盖因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也
　　加法
　　加者命众数而总成也盖数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位
　　减法
　　减者较众数而得馀也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类〈如千减千百减百之类〉如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位〈加法由后而进前减法则借前而退后其理一也〉前位作一点以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减馀位
　　因乘
　　因乘者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乘数为法实列于上法列于下必使法实相当〈如千对千百对百十对十单对单之类〉按法乘实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有奇零与否如无奇零则实中所命之单位相对即法尾之数若有奇零则法实相乘者法实之一位统得数之二位〈如单位后奇零有一位则截得数之二位奇零有二位则截得数之四位向前为单位纪之〉法实相乘再以法乘者〈即自乘再乘也〉法实之一位统得数之三位〈如单位后奇零有一位则截得数之三奇零有二位则截得数之六位向前为单位纪之〉是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乘之类以三位论者则为自乘再乘之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左
　　开平方法
　　平方积者两数相乘所得之数也开之之法每方积二位得方边一位
　　法以自乘数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乘之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之数倍之为廉法以除馀积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与廉法数相加得数为廉隅共法书于馀积之左以次商数乘之得数与次商廉隅共积相减减尽则已如有馀数又为第三位以后积数商开之法与次商同
　　开带纵平方法
　　较法
　　法以縦方积四因以较自乘二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为阔也
　　又法以纵多折半自乘与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得阔于半和加半较得长也
　　较数纵平方有较无长阔和故四因积数与较自乘数相加得长阔和积开方为长阔和
　　和数纵平方有长阔和无长阔较故用和自乘得和积与四因积相减馀数为较积开平方为长阔较
　　总之有长阔和有较者于和内加较折半为长减较折半为阔其理同也
　　和法
　　法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长阔相较之数以较数与和数相加折半为长减较即阔也
　　又法以和数折半为半和自乘与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为阔于半和加半较为长
　　开立方法
　　立方者自乘再乘所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方〈此为自一至九自乘再乘数〉为首位用各数自乘再乘为首位积以减通积馀数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平廉其边与大方等其厚与次商数等有三长廉其长与大方等其宽厚皆与次商数等有一小隅系次商自乘再乘之数法以初商数自乘相因为三平廉面积与馀积相商约得几倍〈用为少之数〉即定次位为几数然后以次商数与初商数相乘三因为三长廉面积又以次商自乘为小隅面积三数相并为平廉长廉小隅之共面积再以次商数乘之为磬折形通积以减馀积减尽则止如有馀数又为第三位以后积数开之之法与次商同
　　开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乘之数除首位积其馀数为第二位以后积数次以首位数加倍为廉法以商馀积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与廉法隅法相乘以减馀积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同
　　田地顷亩分法
　　纵横方五尺为一步二百四十步为一亩一百亩为一顷凡地纵横相乘得积步得积步以二百四十步除之得亩数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得亩数〈每边数一丈得积四步〉再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺
　　正比例
　　以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乘一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类













　　庄氏算学卷五