庄氏算学 (四库全书本)/卷07
| 庄氏算学 卷七 |
钦定四库全书
庄氏算学卷七
淮徐海道庄亨阳撰
正方体
边求积
法以边数自乘得平方面积再以边数乘之得立方体积如系米糓则用石法除之得石斗各数〈二千五百寸为一石二百五十寸为〉
〈一斗二十五寸为一升〉凡筭积糓法皆同
倍积求边〈设正边二尺〉
法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有馀即所求边数
八倍积求边
将边数加倍即得
长方体
边求积
法以长边与阔边相乘得长方面积再与高数相乘得长方体积○如系米糓则用石法除之得石斗各数
倍积求边〈设长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形同式问长阔高〉
法用正立方比例先以长一尺二寸自乘再乘得立方积一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有馀即所求之长再用比例以求阔与高以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有馀为三率求得四率一尺零七釐有馀即所求之阔又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有馀为三率求得四率五寸零三釐有馀即所求之高
长圆体
圆周及高求积〈设圆周二十四尺高十尺〉
法用圆周求面积法求得圆径七尺六十三寸九十五分有馀又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有馀为圆面积再与高十尺相乘得四百五十八尺三百六十六寸有馀即所求之长圆体积○如系米糓或米窖问盛米几何俱以石法除体积得石斗各数有径求积法同
积及高求周径〈设圆窖一座盛米一百六十石高十尺问周径〉
法以石法二千五百寸与米数相乘得四百尺为圆窖积以高十尺除之得四十尺为圆窖面积乃用圆面积求径法〈用圆周三五五方周四五二比例开平方〉求得圆径七尺一寸三分六釐有馀即所求之圆径再用径求周法〈径二三周三五五比例〉求得二十二尺四寸一分九釐有馀即所求之圆周
带纵较数立方
带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多者则为带两纵相同之立方至于长与阔与高皆不同者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立方同止有带纵之异耳其带一纵之法如以高与阔相等惟长不同为问者则以初商为高与阔以之自乘又以初商加縦数为长以之再乘得初商积至次商以后亦有三方廉三长廉一小隅但其一方廉附于初商积之方面者即初商数其二方廉附于初商积之长面者则带纵也其二长廉附于初商积之方边者即商数其一长廉附于初商积之长边者则带纵也其带两縦相同之法如以长与阔相等皆比高多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乘又以初商为高以之再乘得初商积至次商以后其一方廉附于初商积之正面者则带两纵其二方廉附于初商积之旁面者则各带一縦也其一长廉附于初商积之高边者即初商数其二长廉附于初商积之长阔两边者即各带一纵也其带两纵不同之法如以阔比高多长比阔又多为问者则以初商为高又以初商加阔纵为阔与高相乘又加长縦为长以之再乘得初商积至次商以后其一方廉附于初商积之正面者则带两縦其二方廉附于初商积之旁面者则一带阔纵一带长纵也其一长廉附于初商积之高边者即初商数其二长廉附于初商积之长阔两边者则各带一纵也惟小隅则无论带一纵两纵皆各以所商之数自乘再乘成一小正方其每边之数即三方廉之厚亦即三长廉之阔与厚焉凡有几层廉隅皆依次商之例逓析推之法虽不一要皆本于正方而后加带纵故商出之数皆为小边方体共十二面边若带一縦或带两縦相同者则八边相等四边相等若带两縦不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也
带一纵立方
设带一纵立方积一百一十二尺其高与阔相等长比高阔多三尺问高阔长各几何
法列积如开立方法商之其
积一百一十二尺止可商四
尺乃以四尺书于原积二尺
之上而以所商四尺为高与阔〈因高与阔等故四尺即方之高与阔也〉加纵多三尺得七尺为长即以高与阔四尺自乘得一十六尺又以长七尺再乘得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为高甲己为阔己戊为长甲乙甲己俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所带之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也
设如带一纵立方积二千四百四十八尺其高阔相等长比高阔多五尺问高阔长各几何
法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高阔加縦多五尺得十五尺为初商之长即以初商之高阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十五尺再乘得一千五百尺书于原积之下相减馀九百四十八尺为初商积乃以初商之高阔十尺自乘得一百尺又以初商之高阔十尺与初商之长十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方廉面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之
高阔加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之高阔十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乘得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之高阔俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长阔俱比高多二尺问长阔高各几何
法以共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为高加纵多二
尺又以高七尺再乘得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与阔也
设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其阔比高多二尺其长比阔又多四尺问高阔长各几何
法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之高加阔比高多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长即以初商之高十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减馀一千一百零四尺为次商积乃以初商之阔十二尺与初商之长
十六尺相乘得一百九十二尺又以初商之高十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之高十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之高加阔比高多二尺得十四尺为初商次商之阔再加长
比阔多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之高十二尺与初商之阔十四尺相乘得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乘得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之高十二尺其阔为十四尺其长为十八尺也
直线体
设正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何
法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有馀即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六
尺即如戊己庚辛正方体积
每边二尺五寸一分有馀
设长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何
法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有馀即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今长一尺五寸一分一厘有馀为三率求得四率一尺零七釐有馀即所求之阔也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今长一尺五寸一分一厘有馀为三率求得四率五寸零三釐有馀即所求之高也或以阔八寸自乘再乘倍之开立方亦得一尺零一厘有馀为所求之阔以高四寸自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三釐有馀为所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即如相当二界各作两正方体积之比例也
设堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何
法以阔五尺与长十二尺相乘得六十尺
又以高七尺再乘得四百二十尺折半得
二百一十尺即堑堵体形之积也
又法以阔五尺与高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乘得二百一十尺即堑堵体形之积也如图甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙高与乙丙阔相乘折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也
设刍甍体形阔四尺长十二尺高四尺问积几何
法以阔四尺与长十二尺相乘得四十八尺又与高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即刍甍体形之积也
又法以阔四尺与高四尺相乘得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乘得九十六尺即刍甍体形之积也
如甲乙丙丁戊己刍甍体形以乙丙阔与甲庚相乘折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也
设方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问尖至底中垂线之高几何
法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有馀折半得三尺五寸三分五釐五毫三丝有馀为勾以自尖至底四角斜线六尺为
用勾求股法求得股四尺八寸四分七釐六毫八丝有馀即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙己为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也
又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰角平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四釐三毫五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七釐六毫七丝有馀即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线以甲庚为底边折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也设方底尖体形底方每边六尺高三尺问积几何
法以下方每边六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲乙高再乘得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其高又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也
设阳马体形底方每边六尺高亦六尺问积几何
法以底方每边六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙甲丁正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳
马体形与尖方体形虽不一而法
则同也盖尖方体形尖在正中阳
马体形尖在一隅凡体形其底面
积等高度又等其体积必相等也
设如鳖臑体形长与阔俱四尺高九尺问积几何
法以长与阔四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六归之得二十四尺即鳖臑体形之积也盖鳖臑体即勾股面之尖体如甲丙乙丁鳖臑体形以丁丙长与乙丙阔相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鳖臑
体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积
之一半阳马体为长方体三分之一
则鳖臑体又为长方体六分之一矣
设上下不等正方体形上方每边四尺下方每边六尺高八尺问积几何
法以上方每边四尺自乘得一十六尺下方每边六尺自乘得三十六尺又以上方每边四尺与下方每边六尺相乘得二十四尺三数相并得七十六尺与高八尺相乘得六百零八尺三归之得三百零二尺六百六十六寸有馀即上下不等正方体形之积也
又法以上方边四尺与下方边六尺相减馀二尺折半得一尺为一率高八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体形之共高乃以下方边六尺自乘得三十六尺与所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三归之得三百八十八尺为大尖方体之积又以高八尺与共高二十四尺相减馀十六尺为上小尖方体之高以上方边四尺自乘得十六尺与上高十六尺相乘得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有馀为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减馀三百零二尺六百六十六寸有馀即上下不等正方体形之积也
设上下不等长方体形上方长四尺阔三尺下方长八尺阔六尺高十尺问积几何
法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上阔三尺与下长八尺相乘得二十四尺以下阔六尺与上长四尺相乘得二十四尺四数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也
又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上阔三尺相乘得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下阔六尺相乘得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也
设上下不等刍甍体形上长十尺下长十四尺下阔五尺高十二尺问积几何
法以上长十尺与下阔五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺为上下相等刍甍体积又以上长十尺与下长十四尺相减馀四尺与下阔五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍甍体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍甍体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛阔相乘即得己辛壬庚刍甍体之面积与甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊刍甍体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所馀丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙阔相乘得
乙辛与庚辛二尖方体之底面积与高相乘三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与一甲己辛壬戊一刍甍积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也
设两两平行边斜长方体形长二尺四寸阔八寸高二尺七寸问积几何
法以长二尺四寸与阔八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙阔与丙丁长相乘得乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也
设空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何
法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减馀一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸
为内方边与外方边相乘长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则馀空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅己子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅卯辰一长方面积其丑寅阔与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长阔之较故以厚二寸倍之为带纵求得阔为内方边长为外方边也
又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乘再乘得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减馀一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边加较四寸得一尺一寸即外方边也
设大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边多几何
法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乘再乘得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千
三百六十八寸相减馀二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十二寸即小正方之边数加较四寸得十六寸即大正方之数也如甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体馀壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体己一小隅体以甲戊边较自乘再乘得己一小隅体与磬折体积相减馀三方廉体三长廉体三
归之则得癸一方廉体寅一长廉体共成午甲已未庚甲乙扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也
设大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何
法以共边二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺馀九千二百十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得
一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔八尺即小正方之边数与共阔二十四尺相减馀十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乘再乘则成壬乙癸子一总
正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积馀丑寅卯三方廉体辰已午三长廉体三归之则得丑一方廉体辰一长廉体共成未壬乙丙戊甲一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊甲之长方面形其未壬阔与壬申等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长阔和用带縦和数开平方法算之得未壬阔即小正方之边数与长阔和相减馀壬戊长即大正方之边数也
设人立河坡平处欲知水边低于平地之数用重表之法测之
法于河坡平处立四尺表杆测之稍前再立二尺表杆㸔两表端参对水边低处量得距分六尺向前直量三丈复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆㸔两表端参对水边低处量得距分四尺八寸乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减馀一尺二寸为一率表杆四尺与二尺相减馀二尺为二率前测与后测相距三丈为三率求得四率五丈为水边低于表尖之数内减去表高四尺馀四丈六尺即水边低于河坡平处之数也
设人在山上欲知山涧之深用重表测之
法于山边立二尺表杆稍后立四尺表杆测之看两表端参对涧底量得两杆相距得三尺再退量五尺复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆㸔两表端参对涧底量得两杆相距得三尺四寸乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减馀四寸为一率表杆四尺与二尺相减馀二尺为二率两表相距五尺为三率求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深内减去表高四尺馀二丈一尺即所求山涧之深也
设东西二树欲知其相距之远测距东树七十丈距西树五十丈问二树相距
法用同式形比例先以距东树七十丈取其五十分之一得一丈四尺即对东树直量一丈四尺作记又以距西树五十丈亦取其五十分之一得一丈即对西树直量一丈作记乃于两作记处斜量如得四尺五寸是为
同式形之相距数然后以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺〈因两作记处为二树测处五十分之一则所得同式形之相距数亦必为二树相距数五十分之一〉即二树相距之远也
设东西二树欲知其相距之远用重表或取同式形测之问二树相距
法先用不取直角测远法〈如测石测树之法〉求得二树距测处之远再用知两远求相距之法求之
设左右两峰不知其高远欲求两峰相距
法先用重表求高远法各求得高与远〈其高为尖峰距地平之高其远为山根距测处之远〉如求得左峰高四十八丈远六十四丈右峰高六十五丈远七十二丈乃用勾股求法以左峰四十八丈为股远六十四丈为勾求得八十丈即左峰距人之远以右峰高六十五丈为股远七十二丈为勾求得九十七丈即右峰距人之远然后用知两远求相距法各取其百分之一对左峰直量八尺作记对右峰直量九尺七寸作记如于两作记处横量得一丈二尺即加一百倍为一百二十丈得两峰相距之远
左峰高如左甲远如甲丙右峰高如右乙远如乙丙两峰相距如
设如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸测之问水面距地之深
设井口径阔九尺法于井沿取直角立表杆测之人目对表端斜向井沿看水以恰见水边为凖如表高四尺量得表距井沿一尺五寸则以一尺五寸为一率表高四尺为二率井口阔九尺为三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也
方圆诸率
径○七
周二二
径○五○
周一五七
径○三二
周一○○
径一一三
周三五五
径一○○○○○○
周三一四一五九二
凡径求周者以周率乘以径率除得周周求径者以径率乘以周率除得径
平方积四○○○○○○○○
平圆积三一四一五九二六五
平方积一○○○○○○○○
平圆积○七八五三九八一六
平方积四五二
平圆积三五五
平方积一四
平圆积一一
立方积 同平方率
圆柱积同平圆率
圆周自乘积八八
圆周中占积○七
方柱积三
方锥积一
圆柱积三
圆尖积一
圆柱积三
圆球积二
立方积六○○○○○○○○
立圆积三一四一五九二六五
立方积一○○○○○○○○
浑圆积○五二三五九八七七
立方积六八七
浑圆积三五五
立方积二一
浑圆积一一
立方积二一
浑圆积一 一
浑圆面积四
平圆面积一
撱圆求积
两径相乘数以十一乘之十四除之得所求
解曰取撱圆两径之中率作圆其容与撱圆等浑撱圆求积
小径自乘再以大径乘之以十一乘二十一除得所求解曰方体浑撱圆之比例犹立方与浑圆也
弧矢求径及离径半径
置折半自乘以矢除之得所求
解曰半股也矢句较也馀径句和也股之自乘积以和除之得较以较除之得和故以矢除之得馀径馀径加矢折半为半径半径减矢为离径也弧矢求积〈旧法以矢相并得弧背径一围三之义也疏甚不可法〉
置弧背以离径并矢〈即半径〉乘之别置以离径乘之两数相减馀折半得所求
解曰弧背圆周分线也离径并矢圆半径也于弧背两端作线会于圆心成杂线形求积之法当与圆同故以半径乘背折半得积也又杂线形内除弧矢形馀一三角形以为阔以离径为高高乘阔折半得积以减杂线形积则所馀者弧矢积矣故以半径乘背离径乘相减折半得积也
求中率法
以两率相乘得数平方开之得中率
截方锥体求积法
置上方自乘下方自乘上下方相乘三数并以高乘之以三除之得所求
右形得方体一堑堵方锥各四今方体三堑堵方锥体各十二故以三除也〈凡堑堵二之一方锥三之一〉
截圆锥体求积法
置上径自乘下径自乘上下径相乘三数并以高乘之再十一乘四十二除得所求〈元当用三除之又十一乘十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合两次除为一次除也〉
截直锐体求积
倍上长加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之两数并以高乘之以六除之得所求
右形具体如截方锥今得直体六堑堵锥体各二十四故以六除也
截撱圆锐体求积
倍面大径加底大径以面小径乘之又倍底大径加面大径以底小径乘之两数并以高乘之再以十一乘八十四除得所求〈此以六因十四得八十四也〉
庄氏算学卷七
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