Faa de Bruno's Theorem

Faa de Bruno's Theorem
作者:E. B. Elliott
1924年4月
译者:曾炯
刊于《国立武昌师范大学数理化杂志》第十二期(十周年纪念号),民国十三年四月,武昌师范大学数理化学会出版。原文取自E. B. Elliott著《An introduction to the algebra of quantics》(1895年初版,1913年二版)。
Faa de Bruno's Theorem
曾 炯
乘幂之行列式

 因欲直接证明多种函数之为行列式形者,为二元形Binary quantic之不变式invariants及共变式covariants,有初简单定理对于某种行列式极为有助,即Faa de Bruno's Theorem是也.此定理之最初三类为:

  

  

  

而此一般定理General Theorem,乃一行列式,其第一列由下列各元素而成

  

而其各列可由第一列继续的in succession与

演算Operating而得之,此行列式为之乘宽即th幂也.

 此又有显然易见者,即可同样的先书下其最末一列:

  

而继续的向上upwards 由此列与

  

演算而得其馀各列也.因由Taylor's Theorem,在第行之元素向下读之乃

  

之展开之各幂Various powers之系数;而同样向上读之,乃

  

之展开之各幂之系数也.

 此两种形成行列式之方法;谓之第一种写法及第二种写法.

 此定理之第一类即可证明,其第二类之证明:以乘第二列,乘第三列,加之于第一列,即可得证明之,第三类之证明亦可由同样之方法易于求之.此一般定理,乃线偏微分方程式Lagrange解法之定理The theory of Lagrange's solution of linear partial differential equations中,一简易习题,兹将进而讨论之.

 由乘积Products微分之普通之规则,可知微分次行列式之结果,可书为个行列式之和,其每行列式由微分原行列式中一列之元素,而遗留其馀各列元素不动而得之.试思此原行列式为第一种写法,以演算之.此结果乃个行列式之和,而此等列行式皆消灭为零Vanish因演算任何列之结果,除最末一列外,皆发生为其下一列following row之数值之倍数a numerical multiple而最末一列演算之结果为一列零.于是若表示此原行列式,则得

  

故由Lagrange定理仅含有关系之中.

 再试思为第二种写法,以演算之,同样得

  

仅含有关系之中.

 是故此行列式,仅为之函数,且为同次式Homogeneous而必为之一单幂single power带有一可能的数值的因数而成者也.但此数值的因数为,例如取, ,则,而为一主对角线A principal diagonal之,及其他各元素零而成.

 由是可知次元Dimension,更由此事实而知th幂矣.

 试证明

  

为一个二元形之一共变式,于特别情形,若为四次式quartic,则为一不变式.以为本定理之标准应用。

 由上述之行列式,行与行乘此式二次。

 第一次乘法之结果,因

  

  

  

 第二次乘法变易其每元素之微分次数,则

  

 如是上述之事实证明矣

 注意I. 此篇译自 E. B. Elliott's Algebras of Quantics 中16,17两节

 注意II. The theory of Lagrange's solution of linear partial differential equations可参考A. R. Forsyth's Differential Euqations之187,189两节PP.392-394.

 注意III. Faa de Bruno (1825-1888)

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原文

这部作品在1929年1月1日以前出版,其作者1937年逝世,在美国以及版权期限是作者终身加80年以下的国家以及地区,属于公有领域


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译文

1996年1月1日,这部作品在原著作国家或地区属于公有领域,之前在美国从未出版,其作者1940年逝世,在美国以及版权期限是作者终身加80年以下的国家以及地区,属于公有领域


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