勾股引蒙 (四庫全書本)
| 勾股引蒙 |
欽定四庫全書
數度衍附錄
桐城方中通 撰
幾何約
名目一
〈名目二〉
〈名目三〉
名目四
〈名目五〉
〈名目六〉
度說
設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
有多度等若所加之度等則合併之度亦等
有多度等若所減之度等則所存之度亦等
有多度不等若所加之度等則合併之度不等
有多度不等若所減之度等則所存之度不等
有多度俱倍於此度則彼多度俱等
有多度俱半於此度則彼多度亦等
有二度自相合則二度必等以一度加一度之上也全大於其分如一尺大於一寸寸乃全尺十之一也
有幾何度等若所加之度各不等則合併之差與所加之差等
有幾何度不等若所加之度等則合併所贏之度與原所贏之度等
有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減去所贏之度等
有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與原所贏之度等
全與諸分之並等
有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全所減之度則此較亦倍於彼較如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較十四彼較七
度各形之髙皆以垂線之亘為度兩形同在兩平行線內其髙必等凡度物髙以頂底為界以垂線為度不論物之偏正也蓋物之定度有一無二自頂至底垂線一而已偏線無數也
線說
有二橫直線任加一縱線或正或偏若三線之間同方兩角小於兩直角則此二橫直線愈長愈相近必至相遇如甲乙丙丁二橫直線任意作戊巳線交於二橫直線之上而戊巳線或正或偏若戊巳線旁同方兩角俱小於直角或並之小於兩直角則甲乙丙丁二線必有相遇之處
兩直線不能為有界之形
兩直線止能於一㸃相遇
凡圜內直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心逺近之度如甲乙丙丁圜內甲乙線丙丁線其去戊心逺近等因己戊戊庚兩垂線等故也若辛壬線去戊心近矣因戊癸垂線小故也
凡一㸃至直線上惟垂線至近垂線之兩旁漸逺平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為形大於線
角說
凡直角俱相等
直線上立垂線則兩旁皆直角若立偏線則一為鈍角
其一必為銳角如子丑線上甲乙
垂線也丙丁偏線也
比例說
比例者兩幾何以幾何相比之理幾兩幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前率所比之他幾何為後率如以六尺之線比三尺之線則六尺為前率三尺為後率也反用之以三尺之線比六尺之線則三尺為前率六尺為後率也
凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為小合如直角方形之兩邊與其對角線可以相比而非數可明者是也其大合線為有兩度之線其小合線為無兩度之線
凡大合有二種有等者如二十比二十十比十是也有不等者如二十比十八比四十是也
凡等者為相同之比例其不等者又有二種有以大不等者如二十比十是也有以小不等者如十比二十是也
大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一分五為幾倍大帶幾分其一為幾倍大者如二十與四是二十內為四者五如三十尺與五尺是三十尺內為五尺者六則二十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為六倍大之比例也其二為等帶一分者如三與二是三內既有二別帶一以為二之半如十二與九是十二內既有九別帶三以為九之三分之一則三與二名為等帶半也十二與九名為等帶三分之一也其三為等帶幾分者如八與五是八內既有五別帶三一每一各為五之分而三一不能合而為五之分也他如十與八其十內既有八別帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一卻能為八之四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即名為等帶六分也其四為幾倍大帶一分者如九與四是九內既有二四別帶一一為四之四分之一則九與四名為二倍大帶四分之一也其五為幾倍大帶幾分者如十一與三是十一內既有三三別帶二一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也則十一與三名為三倍大帶二分也
大合比例之以小不等者亦有五種俱與右相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾倍大帶幾分凡諸數俱有書法有全數有分數全數依本數書之分數有二一為命分數一為得分數如分一以三而取其二則書為三分之二三為命分數二為得分數也其一幾倍大以全數書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若反幾倍大則用分數書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之數如大為五倍大之比例則此書五之一是也其二等帶一分之比例有全數有分數其全數恆為一其分數則以分率之數為命分數恆以一為得分數如三與二名為等帶半即書一又二之一也若反等帶一分則全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又如等帶八分之一反書之即書九之八也其三等帶幾分之比例亦有全數有分數其全數亦恆為一其分數亦以分率之數為命分數以所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書一又七之三也若反等帶幾分亦全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數如大之得分數為此之命分數如大為等帶七之三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二十也其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數恆以一為得分數如二十二與七二十二內既有三七別帶一一為七分之一名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分數一為得分數書三又七之一也若反幾倍大帶一分則大比例之命分數為此之得分數以大之命分數乗大之倍數加一為此之命分數如大為三帶七之一即以七乗三得二十一又加一為命分數書二十二之七也又如五帶九之一反書之九乗五得四十五加一為四十六即書四十六之九也其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如二十九與八二十九內既有三八別帶五一名為三倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分數書三又八之五也若反幾倍大帶幾分則以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數乗大倍數加大之得分數為此之命分數如大為三帶八之五即以八乗三得二十四加五為二十九書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之五也通曰右皆化整為零之法也法詳竒零
兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身即大於八尺之線是為有比例之線也又如直角方形之一邊與其對角線雖非大合之比例可以數明而直角方形之一邊一倍之即大於對角線是亦有小合比例之線也又圜之徑四倍之即大於圜之界則徑與界亦有小合比例之線也又曲線與直線亦有比例如以大小兩曲線相合為初月形別作一直角方形與之等即曲線直線兩視有大有小亦有比例也又方形與圜不能為等形然相視有大有小亦不可謂無比例也又直線角與曲線
角亦有比例如上圖直
角鈍角銳角皆有與曲
線角等者如甲乙丙直
角在甲乙乙丙兩直線內而其間設有甲乙丁與丙乙戊兩圜分角等即於甲乙丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙丙直角等矣因知壬庚癸曲線角與己庚辛鈍角等也又知卯丑辰曲線角與子丑寅銳角各減同用之子醜醜辰內圜小分即兩角亦等也他若有窮之線與無窮之線雖則同類實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之線也又線與面面與體及切圜角與直線銳角皆無比例也
四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或俱為大俱為小恆如是如有四幾何第一曰三第二曰二第三曰六第四曰四今以第一之三第三之六同加四倍為十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍為十四為二十八其倍第一之十二既小於倍第二之十四則倍第三之二十四必小於倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍為十八為三十六次以第二之二第四之四同加四倍為十八為三十六其倍第一之十八既等於倍第二之十八則倍第三之三十六必等於倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為八其倍第一之九既大於倍第二之四則倍第三之十八必大於倍第四之八也乃知三與二偕六與四得為同理之比例也此斷比例之法若連比例則以中率兩用之既為第二又為第三也若第一之幾倍大於第二之幾倍而第三之幾倍不大於第四之幾倍則第一與二之比例大於第三與四之比例矣
三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例四幾何為同理之連比例則第一與四為三加之比例倣此以至無窮如甲與乙若乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊五幾何為同理之連比例其一甲與三丙為
再加之比例其一甲與四丁為三加之比例其一甲與五戊為四加之比例若反用之以戊為首則一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加也再以數明之如此直角方形之邊三尺彼直角方形之邊一尺若九與一夫九與一之間有三為同理之連比例則此九三一之三數既有三與一為比例又以九比三三比一為再加之比例也故彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分之一也大約第一與二之比例若線相比第一與三若平面相比第一與四若體相比第一與五若少廣之三乗方與六則若四乗方與七則若五乗方也
同理之幾何前與前相當後與後相當
比例以比例相結者以多比例之命數相乗除而結為一比例之命數蓋中率相結者於不同理之中求其同
理也如十二倍
之此比例則以
彼二倍六倍兩
比例相結也二
六相乗為十二故也或以彼三倍四倍兩比例相結三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例則以彼二倍三倍五倍三比例相結也二乗三為六六乗五為三十故也大約以三率為始三率則兩比例相乗除而中
率為紐也若四率則先以前
三率之兩比例相乗除而結
為一比例又以此與第三比
例相乗除而總結為一比例也若五率則先以前三率之兩比例乗除相結又以此與第三比例乘除相結又以此與第四比例乗除相結而為一比例也或如下圖亦可
三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第一與二第二與三兩比例相結也如第一圖三幾何二比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六倍大二乗三為六也若以小不等戊己為第一甲乙為第三三乗二亦六則戊己與甲乙為反六倍大也又
如次圖前以大不等後以小不等者中率小於前後兩率也其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大則甲乙與戊己為等帶半三乗半得等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反
推之半除三為反等帶半也又如末圖前以小不等後以大不等者中率大於前後兩率也其甲乙與丙丁為反二倍大丙丁與戊己為等
帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己當三是甲乙二戊己當三也又法以命數三帶得數一為四半除得二二比三為反等帶半也若戊己為首則為等帯半矣
若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二倍大帶三之二也右說連比例之不同理者用中率以結矣若不同理之斷比例異中率而無可結者當於其所設幾何之外別立三幾何二比例而同中率者乗除相結即得如所設幾何十六為首十二為尾卻雲十六與十二之比例若
八與三及二與四之比例八為前之
前四為後之後三為前之後二為後
之前此二比例無可結乃別立同中率之二比例如其八與三二與四之比例如三其八得二十四為前之前三其三得九為前之後即以九為後之前又求得十八為後之後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之比例矣
通曰十六內去十二餘四為十二三之一當曰等帶三之一也
論三角形
一於有界直線上求立平邊三角形如甲乙線先以甲為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為界作丙甲丁圜兩圜相交於丙於丁末自甲至丙丙至乙各作直線即成甲乙丙平邊三
角形
二一直線線或內或外有一㸃求以㸃為界作直線與元線等如甲㸃乙丙線先以丙為心乙為界作丙乙圜
次觀甲㸃若在丙乙外則自
甲至丙作線如上圖或在丙
乙內則截取甲至丙一分線
如下圖俱以甲丙為底作甲丁丙平邊三角形次引丁丙至丙乙圜界為丙戊引丁甲出丙乙圜外至己為甲己乃以丁為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交於庚即甲庚線與乙丙線等
三兩直線一長一短求於長線減去短線之度如甲短線乙丙長線先引乙至別界作乙丁線與甲等乃以乙為心丁為界作圜交乙丙線於戊
則戊丙為餘也
四兩三角形若兩腰線各等各兩腰間之角等則底必等
五三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出之其底外兩角必等
六三角形若底線兩端之兩角等則兩腰必等
七一線為底出兩腰線其相遇止一㸃不得別有腰線與元腰線等如甲乙底於甲於乙各出一線至丙相遇此一定之處也若至丁則不與元
腰線甲丙等矣
八兩三角形若兩腰兩底俱等則兩腰間角必等九有直線角求兩平分如乙甲丙角先於甲乙線任截一分為甲丁亦截甲戊與甲丁等作丁戊直線次以丁戊為底倒立丁戊己平邊三角形
再作甲己直線即得
通曰乙丙底作甲己垂線亦得
十有界線求兩平分如右圖乙丙線以乙丙為底作甲乙丙兩邊等三角形兩平分之得甲己直線即分乙丙線於己
十一一直線任於一㸃上求作垂線如甲乙線上任指一㸃於丙先於丙之左右各截一界為丁為戊次以丁戊為底作丁己戊兩邊等角形再作己
丙直線即己丙為甲乙之垂線若欲於甲㸃立垂線則任取丙㸃立丁丙垂線乃以甲丙丁角平分得丙己線次以甲丙為度截戊丙又於戊上立垂
線與己丙線相遇於庚再作庚甲直線即得
十二無界直線外有一㸃求於㸃上作垂線至直線上如甲乙線外有丙㸃先以丙為心作圜令兩交於甲乙線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙
又兩平分丁戊線於己作丙己線即甲乙之垂線也又法於甲乙線上近甲近乙任取一㸃為心以丙為界作一圜界於丙㸃及相望
處各稍引長之次於甲乙線上視前心或相望如上圖或進或退如下圖任移一㸃為心以丙為界作一圜界交處得丁乃作丙丁垂線
十三一直線至他直線上所作兩角非直角即等於兩直角如甲線下至丙丁線遇於乙其甲乙丙鈍角與甲乙丁銳角相併必等於戊乙丙戊乙丁
兩直角
十四一直線於線上一㸃出不同方兩直線偕元線毎旁作兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直線如甲乙線於丙㸃左出丙丁線右
出丙戊線若甲丙戊甲丙丁兩角與兩直角等則丁丙丙戊必成丁戊一直線
十五凡兩直線相交作四角每兩交角必等如甲乙與丙丁兩線相交於戊則甲戊丙角與丁戊乙角必等甲戊丁角與丙戊乙角必等
十六凡三角形之外角必大於相對之各角如甲乙丙角形引乙甲至丁則外角丁甲丙必大於相對之內角甲乙丙甲丙乙引丙甲至戊其外角戊甲乙亦大
通曰此不論乙甲丙角也葢有時丁甲丙角反
小於乙甲丙角故不論
十七凡三角形之每兩角必小於兩直角如甲乙丙角形甲乙丙甲丙乙兩角並小於戊乙丁戊乙丙兩直角丙甲乙甲乙丙兩角亦小甲丙乙丙甲
乙兩角亦小
十八凡三角形大邊對大角小邊對小角如甲乙丙角形甲乙邊大於甲丙丙乙兩邊則甲乙邊所對之甲丙乙角必大甲丙邊所對之乙角乙丙邊
所對之甲角皆小
十九凡三角形大角對大邊小角對小邊
二十凡三角形之兩邊並之必大於一邊
二十一凡三角形於一邊之兩界出兩線作小三角形於內則內形兩腰並必小於外相對兩腰而內所作角必大於外相對角如甲乙丙角形於乙
丙邊之兩界作丁乙丙小角形則丁丙丁乙兩線並必小於甲乙甲丙並而乙丁丙角必大於乙甲丙
角
二十二三直線求作三角形其每兩線並大於一線如甲乙丙三邊先任作丁戊線長於三線並次以甲為度截丁己以乙為度截己庚以丙為度截庚辛乃以己為心丁為界作丁壬癸圜
以庚為心辛為界作辛壬癸圜兩圜相遇於壬於癸再以庚己為底作癸庚癸己兩直線即得己癸庚三角形若兩線並與其一線或等或小即不能成三角形也
通曰若庚㸃在丁壬圜內及庚㸃雖在
丁壬圜外而兩圜不交皆不能成三角形也
二十三一直線任於一㸃上求作一角與所設角等如
甲乙線與設丁戊己角先於戊丁任
取庚㸃於戊己任取辛㸃作庚辛線
次將甲乙線依庚戊戊辛辛庚度用右法作壬丙癸角形與丁戊角等
通曰壬丙等庚戊丙癸等戊辛癸壬等辛庚即右之甲乙丙三線也
二十四兩三角形相當兩腰各等若一形腰間角大則底亦大如甲乙甲丙兩腰與丁戊丁己兩腰左右各等若甲角大於丁角其乙丙底必大於戊己底
二十五兩三角形相當兩腰各等若一形底大則腰間角亦大
二十六兩三角形相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之內及一角之對
二十七兩直線有他直線交加其上若相對內兩角等則兩直線必平行如甲乙丙丁兩線加戊己線交於庚辛而甲庚辛角與丁辛庚角等則甲乙丙丁兩線必平行
二十八兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之內角等或同方兩內角與兩直角等其兩直線必平行如甲乙丙丁兩線加戊己線
交於庚辛其戊庚甲外角與庚辛丙內角等或甲庚辛丙辛庚兩內角與兩直角等則甲乙丙丁兩線必平行二十九兩平行線有他直線交加其上則內相對兩角必等外角與同方相對之內角亦等同方兩內角亦與兩直角等
三十兩直線與他直線平行則元兩線亦平行〈此論同面不同面線後別有論〉如甲乙丙丁兩線與戊己平行則甲乙
與丙丁亦平行
三十一一㸃上求作直線與所設直線平行如甲㸃與乙丙線先從甲向乙丙線任指丁㸃作甲丁線成甲丁乙角次於甲作戊甲丁角與甲丁乙角
等再引戊甲至己則己戊線與乙丙平行又法作甲丁線以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長於戊己乃取戊己為度截取庚辛再作甲辛線各引長之即得用法設丙角甲乙兩線求作有法四邊形先作丁己庚角與丙角等次截己庚與甲等丁己與乙等再依丁己平
行作戊庚己庚平行作丁戊即得
三十二凡三角形之外角與相對之內兩角並等三角形之內三角並與兩直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁則甲丙丁外角與內甲乙兩角並等
又甲乙丙三角並如甲丙丁角既等於甲乙兩角又加丙甲豈不與戊丙乙戊丙丁兩直角等乎從此推之如後圖甲當兩直角乙當四直角丙當六直角
丁當八直角自此可至無窮其多
邊求當幾直角者以其所有之邊內減二倍其餘即得如丁形六邊減二存四倍八故知當八直角也 凡諸種角形之三角並俱相等 凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直角之半腰間鈍角則餘兩角俱小於半直角腰間銳角則餘兩角俱大於半直角 平邊角形每角當直角三分之二 平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角形此分形各有一直角在垂線下兩旁則垂線上兩旁角毎當直角三分之一其餘兩角每當直角三分之二
三十三兩平行相等線之界有兩線聫之其兩線亦平行亦相等如甲丙乙丁兩平行相等線有甲乙丙丁兩線聫之則甲乙丙丁亦平行相等線
三十四凡平行線方形毎相對兩邊線各等每相對兩角各等對角線分本形兩平分
三十五兩平行方形若同在平行線內又同底則兩形等如甲乙丙丁兩平行線內有丙丁戊甲丙
丁乙己兩平行方形同丙丁底則此二形等或戊己同㸃其甲戊丁丙戊乙丁丙兩形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己兩
形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也後言形等者倣此
三十六兩平行線內有兩平行方形若底等則形亦等三十七兩平行線內有兩三角形若同底則兩形必等如甲乙丙丁兩平行線內有甲丙丁乙丙丁兩三角形
同丙丁底則兩形等
三十八兩平行線內有兩三角形若底等則兩形必等又凡角形任於一邊任作一㸃求從㸃分本形為兩平分如取丁㸃先向甲角作直線次平分
乙丙於戊作戊己線與甲丁平行末作己丁直線即分本形為兩平分
三十九兩三角形其底同其形等必在兩平行線內如甲乙丙形與丁丙乙形同乙丙底而兩形復等則自丁
至甲作直線必與乙丙平行
四十兩三角形其底等其形等必在兩平行線內四十一兩平行線內有一平行方形一三角形同底則方形倍大於三角形如甲乙丙丁兩平行線內有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底則
方形必倍大於角形
四十二有三角形求作平行方形與之等而方形角與所設角等如甲乙丙角形先兩平分乙丙邊於戊作丙戊己角與所設丁角等次自甲作直線與乙丙平行而遇戊己線於己末自丙作直線與戊己
平行為丙庚得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等四十三凡方形對角線旁兩餘方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙對角線則兩旁之乙壬庚戊與庚己丁辛兩形必等
四十四一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角有與所設角等如甲線乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚角與丙角等次引庚己至辛作己辛線與甲線等次作辛壬線與戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作對角線引出至癸又引丁
庚至癸相遇再作癸子線與庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求與乙角形等四十五有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有與所設角等如甲乙丙五邊形丁角先分五邊形為甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角次於戊
辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與乙等又引前線作壬癸子丑平行方形與丙等並為戊己子丑平行方形與五邊形等而有丁角
又甲與乙兩直線形不等甲大乙小以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方
形與甲等次於丙丁線上依丁角作丁丙辛庚平行方形與乙等得辛庚戊己平行方形為相減之較矣四十六一直線上求立直角方形如丙丁線上兩界各立垂線甲丙乙丁與丙丁等再作甲乙線即得
四十七凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊上所作兩直角方形並等如甲乙丙角形甲為直角對甲之乙丙邊上作子直角
方形與甲丙甲乙兩邊所作丑寅兩直角方形並等通曰此
冪內有勾股二冪也乙丙也
又凡直角方形之對角線如甲丙則甲丙線上
所作直角方形必倍大於甲乙丙丁形
又設不等兩直角方形一以甲為邊一以乙為邊求別作兩直角方形自相等並之又與
元設兩形並等先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角而丙丁與乙等作戊丁線相聫再於丁戊兩角各作一角皆半於直角者為己戊己丁相等而遇於己則己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而並之又與丙戊丙丁兩線上所作兩直角方形並等其曰半直角者己戊丁半於庚戊丁己丁戊半於辛丁戊也
又多直角方形求並作一直角方形
與之等如五直角方形以甲乙丙丁
戊為邊先作己庚辛直角而己庚線
與甲等庚辛線與乙等次作己辛線即作己辛壬直角而壬辛與丙等次作壬己線即作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線即作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線於此線上作直角方形如求
四十八凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直角方形並等則對一邊之角必直角
論線
一兩直線任以一線任分為若干分其兩元線矩內直角形與不分線偕諸分線矩內直角形並等如甲乙乙丙兩線以乙丙三分之為乙庚庚戊戊丙則甲乙偕乙丙之矩線內直角形與甲乙偕乙
庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩線內直角形並等二一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩內直角形並必等如甲乙線任兩分於丙則甲乙上直角方形與甲乙偕甲丙甲乙
偕丙乙兩矩線內直角形並等
三一直線任兩分之其元線任偕一分線矩內直角形與分餘線偕一分線矩內直角形及一分線上直角方形並等如甲乙線分於丙甲乙偕甲丙矩內直角形與分餘丙乙偕甲丙矩內直角形及甲丙上直角方形並必等或如後圖甲乙偕丙乙矩內直角形與分餘甲丙偕丙乙矩內直角形及
丙乙上直角方形並亦等
四一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角方形及兩分互偕矩線內直角形並等如甲乙線分於丙甲乙線上直角方形與甲
丙丙乙線上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
<子部,天文算法類,算書之屬,數度衍,附録 幾何約>甲丙上及分內線丙丁上兩直角方形相併成庚辛丁磬折形蓋子與子等丑寅與丑寅等卯辰與卯辰等故也
十一直線兩平分之又任引增一線共為一全線其全線上及引増線上兩直角方形並倍大於平分半線上及分餘半線偕引增線上兩直角方形並
通曰如甲乙線平分於丙又任引增為乙丁則甲丁線上直角方形如丁戊者與乙丁線上直角方形如乙己者相併成戊己乙磬折形倍大於甲丙線上直角方形如甲庚者與丙丁線上直角方形如辛丙者相併成辛庚甲磬折形蓋子丑與子丑等寅卯與寅卯等故也
十一 一直線求兩分之而元線偕初分線矩內直角形與分餘線上直角方形等如甲乙線先作甲丙直角方形次以甲丁平分於戊作戊乙線
從戊甲引至己令戊己與戊乙等乃於甲乙線截取甲庚與甲己等則甲乙偕庚乙矩線內直角形與甲庚上直角方形等
十二三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大於餘邊上兩直角方形並之較為鈍角旁任用一邊偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩內直角形二如甲乙丙形乙為鈍角從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙引長之遇於丁為直角則對鈍角之甲丙邊上直角方形大於甲乙乙丙邊上兩
直角方形並之較為丙乙偕乙丁矩內直角形二反說之則甲乙乙丙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線內直角形二相併與甲丙上直角方形等
十三三邊銳角形之對銳角邊上直角方形小於餘邊上兩直角方形並之較為銳角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近銳角分線矩內直角形二如甲乙丙三邊銳角形從一角如甲向對邊乙丙下一垂線分乙丙於丁則甲丙乙銳角
之相對甲乙邊上直角方形小於乙丙甲丙邊上兩直角方形並之較為乙丙偕丁丙矩線內直角形二反說之則乙丙甲丙上兩直角方形並與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩線內直角形二並等
十四有直線形求作直角方形與之等如甲無法四邊形先作乙丁形與之等而直角次任用一邊引長之如丁丙引至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平分於庚其庚㸃若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣若庚㸃在
丙外則以庚為心丁己為界作丁辛己半圜再從乙丙線引長之遇圜界於辛即丙辛上直角方形與甲等又直角方形之對角線所長於本形邊之較為甲乙而求本形邊先於甲乙上作甲丙直
角方形次作乙丁對角線又引長之為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊線如求
論圜
一有圜求㝷其心如甲乙丙丁圜先於圜之兩界任作一甲丙直線次兩平分於戊再於戊上作乙丁垂線兩平分於己己即圜心因顯圜內有直線
分他線為兩平分而作直角即圜心在其內
二圜界任取二㸃以直線相聨則直線全在圜內三直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角為兩直角必兩平分如乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁線為兩平分則己旁必兩直角
甲己為垂線故也
四圜內不過心兩直線相交不得俱為兩平分如甲丙乙丁圜內有甲乙丙丁兩直線俱不過己心而交於戊若甲乙為兩平分則丁丙不得兩平分
若一過心一不過心即兩線亦不得俱為兩平分五兩圜相交必有同心
六兩圜內相切必不同心
七圜徑離心任取一㸃從㸃至圜界任出幾線其過心最大不過心最小餘線愈近心者愈大愈近不過心者愈小諸線中止兩線等如甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離心任取一㸃為庚從庚至圜界
任出幾線為庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟過心庚甲最大不過心庚乙最小庚丙大於庚丁庚丁大於庚戊而庚乙兩旁止可出兩線等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
八圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規內則過圜心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線等
如乙己壬圜之外從甲㸃任出幾
線其一為過癸心之甲壬其餘為
甲辛甲庚甲己皆至規內則過心
之甲壬最大近心之甲辛大於甲
庚甲己最小規外之甲乙為乙壬徑餘者最小近徑餘之甲丙小於甲丁甲戊為大矣甲乙丙旁止可出兩線等如甲子等甲丙也
九圜內從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心如從甲㸃至乙丙丁作三線為甲乙甲丙甲丁若三線等則甲㸃必圜心
十兩圜相交止於兩㸃
十一兩圜內相切作直線聫兩心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊兩圜內切於甲己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心作己庚直線聫兩心又引
己至圜界必至相切之甲㸃
十二兩圜外相切以直線聫兩心必過切界如甲乙兩圜外切於丁甲心為丙乙心為戊作丙戊直線聫之必過丁界
十三圜相切不論內外止於一㸃
十四圜內兩直線等即距心之逺近等距心逺近等即兩直線等如甲乙丙丁圜心戊圜內甲乙丁丙兩線等則庚戊己戊逺近必等
十五徑為圜內之大線其餘線近心大於逺心
十六圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊角不得更作一直線入其內其半圜分角大於各直線銳角切邊角小於各直線銳角如甲丙徑末之甲戊垂線全在圜外戊甲垂線偕乙甲圜
界所作切邊角不得更作一直線入其內丙甲線偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大於各直線銳角而戊甲線偕乙甲圜界所作切邊角小於各直線銳角又有兩種幾何一大一小以小率半増之遞增至於無窮以大率半減之遞減至於無窮其元大者恆大元小者恆小
如後圖直線切圜之戊甲乙切邊角
為小率壬庚辛直線銳角為大率今
別作甲丙甲丁各圜俱切戊己線於
甲其切邊角愈增愈大別以庚癸庚子線作角分壬庚辛角於庚愈分愈小恆大恆小終不得相比
又甲丙徑甲不動引丙線向己漸移其所經乙丁戊中間無數凡割圜皆為銳角即小於半圜
分角纔離銳角便為直角即大於半圜分角是所經無數線終無有相等線也又直線銳角皆小於半圜分角直角鈍角皆大於半圜分角是大小終無等也
十七設一㸃一圜求從㸃作切線如甲㸃與乙丙圜其圜心丁先從甲作甲丁直線截圜於乙次以丁為心甲為界作甲戊圜乃作甲丁之垂線為乙戊遇甲戊圜於戊又作戊丁直線截乙丙圜於丙再作甲丙直線即切乙丙圜於丙也
十八直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線
十九直線切圜圜內作切線之垂線則圜心必在垂線之內
二十負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍大於負圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負圜角同以乙丙圜分為底
則乙丁丙角倍大於乙甲丙角
又乙丁丁丙不作角於心或如上圖為半圜或如下圖為小半圜則丁心外餘
地為乙丁戊戊丁丙兩角倍大於同乙丁丙之底負圜角為乙甲丙角也
二十一凡同圜分內所作負圜角俱等如丁甲乙丙圜
分內不論此為大分小分函心不函
心但分內任作丁甲丙丁乙丙兩角
必等
二十二圜內切界四邊形每相對兩角並與兩直角等如圜心為戊圜內有甲乙丙丁四邊形則甲乙丙丙丁甲兩角並或乙丙丁丁
甲乙兩角並與兩直角必等
二十三一直線上作兩圜分不得相似而不相等二十四相等兩直線上作相似兩圜分必等如甲乙丁戊兩等直線上作甲丙乙丁己戊兩相似
圜分必等
二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙線
次作乙丁為甲丙之垂線丁即分甲
丙為兩平分次作甲乙線須視丁乙
甲角或大於丁甲乙角或小或等若大則甲乙丙當為圜小分也即作乙甲戊角與丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小於丁甲乙角則甲乙丙當為圜大分也即作乙甲戊角與丁乙甲角等戊即圜心若乙甲兩角正等則甲乙丙當為半圜分丁即圜心矣又法於甲乙丙圜分任取三㸃於甲於乙於丙以兩直線聫之各兩平分於丁於戊從丁從戊作甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇於己即己為圜心又法任取四㸃為甲為乙為丙為丁每兩㸃各自為心相向各任作圜分四圜分兩相交於戊於己於庚於辛從戊己從庚辛各作
直線引長之交於壬即壬為圜心
二十六等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等如在心者為甲庚丙丁辛己兩角等在界者為甲乙丙丁戊己兩角
等其甲丙丁己兩圜分必等
二十七等圜之角所乗圜分等則其角或在心在界俱等此反前題也如甲丁乙丙兩直線在一圜內而不相交其相去之甲乙丁丙兩圜分等則兩
線必平行
二十八等圜內之直線等則其割本圜之分大與大小與小各等
二十九等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等三十有圜之分求兩平分之如甲乙丙圜分先作甲丙線次兩平分於丁作乙丁線為甲丙之垂線即分甲乙丙圜為兩平分
三十一負半圜角必直角負大分角小於直角負小分角大於直角大圜分角大於直角小圜分角小於直角如甲乙戊丙圜其心丁徑甲丙於半圜分內任作甲乙丙角負半圜分乙甲丙角負乙甲丙大
分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分則負半圜之甲乙丙為直角負大分之乙甲丙為銳角負小分之乙戊丙為鈍角丙乙甲大圜分角大於直角丙乙戊小圜分角小於直角
又凡角形之內一角與兩角並等其一角必直角何者其外角與內相對之兩角等則與外角等之內交角豈非直角
三十二直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分內各任為負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等如甲乙線切圜於丙從丙任作丙戊直線不論過己心與不過己心
割圜兩分兩分內任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角則甲丙戊角與丙庚戊角等乙丙戊角與丙丁戊角等通曰割線正則左與左等右與右等割線偏則左與右等右與左等蓋切線在外割線在內故也
三十三一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等如甲乙線丙直角先以甲乙兩平分於丁以丁為心甲乙為界作半圜圜分內作甲戊乙角
即負半圜角為直角而與丙等若丙係銳角先於甲㸃上作丁甲乙銳角與丙等次作戊甲為甲丁之垂線次作己乙甲角與己甲乙角等乙己線遇甲戊線於己即己乙己甲兩線等以己
為心甲為界作圜則甲庚乙圜分內所作負圜角必為銳角而與丙等若丙係鈍角如辛者即作壬甲乙鈍角與辛等又作戊甲為壬甲之垂線餘倣銳角法而於甲乙線上作甲癸乙角即與辛等
三十四設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等如甲乙丙圜丁角先作戊己線切圜於甲次作己甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上所
作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等
三十五圜內兩直線交而相分各兩分線矩內直角形等如甲乙丙丁兩線圜內交於戊若兩線俱過心者其各分四線等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩內直角形等或丙丁線過心
而甲乙線不過心者或
兩線俱不過心者其甲
戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩內直角形亦等
三十六圜外任取一㸃從㸃出兩直線一切圜一割圜其割圜全線偕規外線矩內直角形與切圜線上直角方形等如甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙切圜線而切於乙作丁甲割
線毋論過心不過心而截圜界於丙則甲丁偕丙丁矩內直角形與丁乙上直角方形等
又從圜外甲㸃作數線至規內各全線偕各規外線如甲戊偕甲丁甲己偕甲丙兩矩內直角形必等
又從圜外甲㸃作兩直線切圜如甲乙甲丙
必等亦止可作兩線切圜無三線也
三十七圜外任於一㸃出兩直線一至規外一割圜其割圜全線偕割圜之規外線矩內直角形與至規外之線上直角方形等則至規外者必切圜線此反前題也
論圜內外形
一有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之徑線如甲乙丙圜與丁線其丁線不大於徑線若大則不可合矣先作圜徑為乙丙若乙丙與丁等者即是合線若丁小於徑者即乙丙上截取乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙
丙圜於甲末作甲乙合線即與丁等
通曰甲乙與乙戊等凡兩圜相交毋論深淺其一圜之半徑必與合圜線等
二有圜求作圜內三角切形與所設三角形等角如甲乙丙圜與設角形先作庚辛線切圜於甲次作庚甲乙角與己角等次作辛甲丙角
與戊角等末作乙丙線即圜內三角切形與所設形之三角各等甲等丁乙等戊丙等己也
通曰凡三角形並三角為一處必成直線蓋圜外切線自切界出兩線入規內分切處為
三角並此三角必與設形三角相併等也
三有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角如圖先於戊己一邊引長之為庚辛次於圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚
角等次作乙壬丙角與丁己辛角等次於甲乙丙上作癸子子醜醜癸三垂線切圜而令角上相遇則癸子丑三角與設形之丁戊己三角各等
四三角形求作形內切圜如圖先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分作乙丁丙丁兩直線遇於丁自丁至角形之三邊各作垂線為丁己丁庚丁
戊以丁為心戊庚己為界作圜切甲乙丙角形之三邊五三角形求作形外切圜如圖先平分兩邊分甲丙於
戊甲乙於丁各作垂線為丁己
戊己而遇於己其己㸃或在形
內或在形外或在乙丙邊上再作己甲己丙己乙三線等以己為心甲為界作圜切三角
六有圜求作內切圜直角方形如圖作甲丙乙丁兩徑線直角相交於戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即成甲乙丙丁內切圜直角方形
七有圜求作外切圜直角方形如圖作甲丙乙丁兩徑線直角交於戊次於甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑之垂線而相遇於己
辛壬庚即成己庚壬辛外切圜直角方形
八直角方形求作形內切圜如圖以四邊各兩平分之於戊於己於庚於辛作辛己戊庚兩線交於壬以壬為心戊為界作圜如所求
九直角方形求作形外切圜如圖作甲丙丁乙對角兩線而交於戊以戊為心甲為界作圜如所求通曰方外圓內同徑圓外方內方斜為圓徑也
十求作兩邊等三角形而底上兩角各倍大於腰間角如圖先任作甲乙線次分之於丙其分法須甲乙偕丙乙矩內直角形與甲丙上直角方形等
次以甲為心乙為界作乙丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等末作甲丁線相聨其甲乙甲丁等成兩邊等三角形底上乙丁兩角各倍大於甲角
十一有圜求作圜內五邊切形其形等邊等角如圖先作己庚辛兩邊等角形而庚辛兩角各倍大於己角次於圜內作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分為
丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聫即得
十二有圜求作圜外五邊切形其形等邊等角如圖先用右法作圜內五邊等邊等角切形乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線再從此五線
作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂線各界相遇即得十三五邊等邊等角形求作形內切圜如圖先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分為己甲己乙兩線遇於己又自己作己庚為甲乙之垂線而平分甲
乙於庚再以己為心庚為界作圜如求
十四五邊等邊等角形求作形外切圜如圖分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分為己甲己乙兩線遇於己以己為心甲為界如求
十五有圜求作圜內六邊切形其形等邊等角如圖先作甲丁徑線庚為心次以丁為心庚為界作圜兩圜相交於丙於戊次從庚心作丙
庚戊庚各引長之為丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聫即得
又凡圜之半徑為六分圜之一之分庚丁與丙丁等也
十六有圜求作圜內十五邊切形其形等邊等角如圖先作甲乙丙內切圜平邊三角形與丁等角三邊等也次作甲戊己庚辛內切圜五邊形等角甲乙圜分之圜界為十五分之
五分甲戊圜分之圜界為十五分之三分戊乙為十五分之二分乙己為十五分之一分也依度作十五合圜線如求蓋甲乙圜分為三分圜之一即命三甲戊圜分為五分圜之一即命五三五相乗得十五即知兩分法可作十五邊形也又如甲乙命三甲戊命五三五相較得二即知戊乙得十五分之二也以此法為例
又從甲㸃作數形之各一邊如甲乙為六邊形之一邊甲丙為五邊形之一邊甲丁為四邊形之一邊甲戊為三邊形之一邊甲乙命
六甲丙命五較數一乗數三十即知乙丙圜分為所作三十邊等邊等角形之一邊也又如後圖甲乙丙與丁戊兩圜同己心求於甲乙丙大圜丙作多邊切形不至丁戊小圜其多邊為偶數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜於戊
從戊作庚辛切線而為甲戊之垂線乃於甲庚丙圜分減半存乙丙又減半存壬丙又減半存癸丙小於庚丙而止作癸丙合圜線此即所求切圜形之一邊也
論比例
一此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍於彼之各率則此之並率亦幾倍於彼之並率如甲乙二幾何大於丙丁二幾何各三倍則
甲乙並亦大於丙丁並三倍
二六幾何其第一倍第二之數等於第三倍第四之數而第五倍第二之數等於第六倍第四之數則第一第五並倍第二之數等於第三第六並倍第四之數如甲乙〈一〉倍丙〈二〉之數若丁
戊〈三〉倍己〈四〉之數又乙庚〈五〉倍丙之數若戊辛〈六〉倍己之數則甲乙乙庚並倍丙之數若丁戊戊辛並倍己之數
三四幾何其第一之倍於第二若第三之倍於第四次
倍第一又倍第三其數等則第一所
倍之與第二若第三所倍之與第四
如甲〈一〉所倍於乙〈二〉若丙〈三〉所倍於丁〈四〉次作戊己兩幾何同若干倍於甲於丙則以平理推之戊倍乙之數若己倍丁
四四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍與第二所倍第三所倍與第四所倍比例等如甲〈一〉與乙〈二〉偕丙〈三〉與丁〈四〉比
例等作戊與己同任若干倍於甲丙別作庚與辛同任若干倍於乙丁則戊與庚偕己與辛比例亦等
五大小兩幾何此全所倍於彼全若此全截取之分所倍於彼全截取之分則此全之分餘所倍於彼全之分餘亦如之如甲乙大幾何倍於丙丁小幾何若所截之甲戊倍於丙己則分餘之戊
乙亦倍於己丁
六此兩幾何各倍於彼兩幾何其數等於此兩幾何每減一分其一分之各倍於所當彼幾何其數等則其分餘或各與彼幾何等或尚各倍於彼幾何其數亦等如甲乙丙丁兩幾何各倍
於戊己兩幾何其數等減甲庚丙辛若所減之倍戊己等則所餘之倍等戊己亦等
七此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與此相等之兩幾何各為比例亦等如甲乙兩幾何等彼幾何丙不論其等大小於甲乙
則甲與丙偕乙與丙各為比例必等即丙與甲偕丙與乙各為比例亦等
八大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大於小與他之比例而他與小之比例大於他與大之比例如甲大乙小又有丙不論其等大小於甲乙則甲與丙之比例大於乙與丙之比例
丙與乙亦大於丙與甲
九兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等如甲乙兩幾何各與丙為比例等或丙幾
何與甲與乙各為比例等則甲與乙必等
十彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大於彼與他之比例則此幾何大於彼他幾何與彼幾何之比例大於他與此之比例則彼幾何小於此如甲乙兩幾何又有他幾何丙若甲與丙之比例大
於乙與丙則甲大於乙若丙與乙之比例大於丙與甲則乙小於甲
十一此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比例與此兩幾何之比例亦等如甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比例等則甲乙
與丙丁之比例亦等
十二數幾何所為比例皆等則並前率與並後率之比例若各前率與各後率之比例如甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與乙若丙與丁丙與丁若戊與己也則甲丙戊諸前率並與
乙丁己諸後率並之比例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之比例也
十三數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三與四之比例大於第五與六之比例則第一與二之比例亦大於第五與六之
比例如甲〈一〉與乙〈二〉之比例若丙〈三〉與丁〈四〉而丙丁之比例大於戊〈五〉與己〈六〉則甲乙之比例亦大於戊己十四四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一大於三則第二亦大於四第一或等小於三則第二亦等小於三
十五兩分之比例與兩多分並之比例等如甲與乙同任倍之為丙丁為戊己則丙丁與戊己之比例若甲與乙
十六四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等如甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若丙與丁更推之則甲與丙之比例亦
若乙與丁
十七相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等如甲乙合丁乙丙戊合己戊其甲乙與丁乙之比例若丙戊與己戊分之甲丁與丁乙亦若
丙己與己戊
十八兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等此即反前題之說也
十九兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例等則分餘之比例與兩全之比例亦等如甲乙全與丙丁全之比例若截甲戊與丙己則餘戊乙與己丁之比例亦若甲乙與丙丁又甲乙
與戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與丙己也
二十有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於第三則第四亦大於第六第一或等小於第三則第四亦等小於第六如甲乙丙三幾何丁戊己三幾何
其甲與乙之比例若丁與戊乙與丙
之比例若戊與己如甲大於丙丁亦
大於己甲丙等丁己亦等甲小於丙
丁亦小於己
二十一有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之若第一幾何大於第三則第四亦大於第六第
一或等小於第三則第四亦等小於
第六如甲乙丙三幾何丁戊己三幾
何相為連比例不序不序者甲與乙
若戊與己乙與丙若丁與戊也以平理推之若甲大於於丙丁亦大於己甲丙等丁己亦等甲小於丙丁亦小於己
二十二有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以平理推如有甲乙丙又有丁戊己而甲與乙之比例若丁與戊乙與丙若戊與己
以平理推甲與丙之比例若丁與己
二十三若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推如甲乙丙又丁戊己相為連比例而錯者甲與乙若戊與己乙與丙若丁與戊以平理推甲與丙之比例亦若丁與己
二十四凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而第五與二之比例若第六與四則第一第五並與二之比例若第三第六並與四如甲乙〈一〉與丙〈二〉若丁戊〈三〉與己〈四〉而乙庚〈五〉與
丙若戊辛〈六〉與己則甲乙乙庚並與丙若丁戊戊辛並與己
二十五四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何並大於餘兩幾何並如甲與乙若丙與丁甲最大丁最小則甲與丁並大於丙與乙並也
二十六第一與二之比例大於第三與四之比例反之則第二與一之比例小於第四與三之比例如甲〈一〉與乙〈二〉之比例大於丙〈三〉與丁〈四〉反
之則乙與甲之比例小於丁與丙
二十七第一與二之比例大於第三與四之比例更之則第一與三之比例亦大於第二與四之比例如甲〈一〉與乙〈二〉之比例大於丙〈三〉與丁〈四〉
更之則甲與丙之比例亦大於乙與丁
二十八第一與二之比例大於第三與四之比例合之則第一第二並與二之比例亦大於第三第四並與四之比例如甲乙〈一〉與乙丙〈二〉之比例大於丁戊三與戊己〈四〉合之則甲丙與乙丙之比例亦大
於丁己與戊己
二十九第一合第二與二之比例大於第三合第四與四之比例分之則第一與二之比例亦大於第三與四之比例此反前題之說也
三十第一合第二與二之比例大於第三合第四與四之比例轉之則第一合第二與一之比例小於第三合第四與三之比例如甲丙與乙丙之比例大於丁己與戊己轉之則甲丙與甲乙之比例小於
丁己於丁戊
三十一此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大於彼第一與二之比例此第二與三之比例大於彼第二與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之比例亦大於彼第一與三之比
例如甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙之比例大於丁與戊乙與丙之比例大於戊與己如是序者以平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己
三十二此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大於彼第二與三之比例此第二與三之比例大於彼第一與二之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例亦大於彼第一與三之比例如此甲乙丙彼丁戊己而甲與乙之比例大於戊與
己乙與丙之比例大於丁與戊如是錯者以平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己
三十三此全與彼全之比例大於此全截分與彼全截分之比例則此全分餘與彼全分餘之比例大於此全與彼全之比例如甲乙全與丙丁全之比例大於兩截分甲戊與丙己則兩分餘戊乙與
己丁之比例大於甲乙與丙丁
三十四若干幾何又有若干幾何其數等而此第一與彼第一之比例大於此第二與彼第二之比例此第二與彼第二之比例大於此第三與彼第三之比例以後俱如是則此並與彼並之比例大於此末與彼末之比例亦大於此並減第一與彼並減第一之比例而小於此第一與彼第一之比例如甲乙丙又丁戊己其甲與丁之比例大於乙與戊乙與戊之比例大於丙與己則甲乙丙並與丁戊己並之比例
大於丙與己亦大於乙丙並與戊己並但小於甲與丁也
通曰比稱數等者是數等也凡稱比例等者非數等也數不等而比例等也
論線面之比例
一等髙之三角形方形自相與為比例與其底之比例等如甲乙丙丁戊己兩三角形等髙其底乙丙戊己如庚丙戊辛兩方形等髙其底乙丙戊己則甲乙丙與丁戊己之比例庚丙與戊辛之比例皆若
乙丙與戊己
又甲乙丙與丁戊己兩角形甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形其底乙丙與戊己
等則甲乙丙與丁戊己兩角形之比例甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之比例皆若甲壬與丁癸之髙之比例也
二三角形任依一邊作平行線即此線分兩餘邊以為比例必等三角形內有一邊分兩邊以為比例而等即此線與餘邊為平行如甲乙丙角形作丁戊與乙丙平行線於形內則甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙反言之甲丁與丁乙甲戊與戊丙比例若
等則丁戊與乙丙兩線必平行
三三角形任以直線分一角為兩平分而分對角邊為兩分則兩分之比例若餘兩邊之比例三角形分角之線所分對角邊之比例若餘兩邊則所分角為兩平分如甲乙丙角形以甲丁線分乙甲丙角
為兩平分則乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙反言亦可
四凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似之邊如甲乙丙丁丙戊兩角形各角俱等則甲乙與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲丙若丁丙與丁戊甲丙
與丙乙若丁戊與戊丙而每對等角之邊各相似相似者謂各前各後率各對本形之相當等角也
又凡角形內之直線如丁戊與乙丙平行則截一分之甲丁戊角形必與甲乙丙全角形相似又甲乙丙角形內作丁戊線與乙丙平行於乙丙邊任取己㸃向甲角作線則乙己與己丙之
比例若丁庚與庚戊
五兩三角形其各兩邊之比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等此反前題之說也
六兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等如兩角形之乙與戊兩角等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己則餘角丙與己甲與丁俱等
七兩三角形之第一角等而第二相當角各兩旁之邊比例等其第三相當角或俱小於直角或俱不小於直角即兩形為等角形而對各相似邊之角各等如兩角形之甲與丁角等而第二相當角如丙角兩旁之甲丙丙乙兩邊偕己角兩旁之丁
己己戊兩邊比例等其第三之相當角如乙與戊或俱小俱不小於直角則丙角與己等乙角與戊等
八直角三邊形從直角向對邊作一垂線分本形為兩直角三邊形即兩形皆與全形相似亦自相似如甲乙丙直角三邊形從乙甲丙直角作丁垂線則所分甲丁丙甲丁乙兩三邊形皆與全形相似亦
自相似同直角也
又從直角作垂線即此線為兩分對邊線比例之中率而直角旁兩邊各為對角全邊與同方分邊比例之中率也
九一直線求截所取之分如甲乙線欲取三分之一先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也次作己乙直線末作丁庚線與己乙平行即甲庚為甲
乙三分之一
十有直線求截各分如所設之截分如甲乙線先任作甲丙線又作丙乙線相聨乃任分於丁於戊即從丁作丁己從戊作戊庚皆與丙乙平行即分
甲乙線於己於庚若甲丙之分於丁於戊又法如後圖甲乙線求五平分任作丙乙線次於乙丙上任取一㸃作丁戊線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸令小於甲乙次作甲癸子線再作子壬子辛子庚子己四線各引長之即分甲乙於丑於寅於夘於辰為五平分也又法從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸
辛壬四線即分甲乙於午於辰於卯於寅為五平分又法先作丙丁戊己兩平行線任平分若干格今欲分甲線為五平分即觀甲線之度
以一角牴戊一角牴庚辛線如長於庚即漸移之至壬而合即戊壬之分為甲線之分
十一兩直線求別作一線相與為連比例如甲乙甲丙兩線而甲乙與甲丙之比例若甲丙與他線也先引甲乙為乙丁與甲丙等次作丙乙線次作
丁戊線與丙乙平行次引甲丙至戊即丙戊線為所求又法以甲乙乙丙兩線別作甲乙丙直角次以甲丙線聨之次作丙丁為甲丙之垂線末引甲
乙至丁即乙丁線為所求
十二三直線求別作一線相與為斷比例如甲乙乙丙甲丁三線而甲乙與乙丙之比例若甲丁與他線也先以甲乙乙丙作一直線為甲丙以甲丁線任作甲角次作丁乙線次作丙戊線與丁乙平行次
引甲丁至戊即丁戊線為所求
十三兩直線求別作一線為連比例之中率如甲乙乙丙兩線求甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以兩線作一直線為甲丙次兩平分於戊
次以戊為心甲丙為界作半圜次從乙至圜界作乙丁垂線即乙丁線為中率也
又凡半圜內之垂線皆為兩分徑線之中率線也又甲乙線大於甲丙二倍以上求兩分甲乙而以甲丙為中率者先以甲乙甲丙作丙甲乙直
角平分甲乙於丁以丁為心甲乙為界作半圜次作丙戊與甲乙平行遇圜界於戊次作戊己垂線分甲乙於己即戊己為甲己己乙兩分之中率戊己與甲丙等也通曰凡半圜外之切線自等半徑以下者皆為全徑兩分之中率也
十四兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邊為互相視之邊兩平行方形之一角等而等角旁兩邊為互相視之邊即兩形等如甲乙丙丁乙戊己庚兩平行方形等甲乙丙戊己庚兩角又等此
兩角各兩旁之兩邊甲乙與乙庚之比例若戊乙與乙丙也反言之亦可
十五相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邊互相視兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊互相視即兩三角形等如甲乙丙乙丁戊兩角形等兩乙角又等此等角旁之各兩邊甲乙與乙戊之
比例若丁乙與乙丙也反言之亦可
十六四直線為斷比例即首尾兩線矩內直角形與中兩線矩內直角形等首尾兩線與中兩線兩矩內直角形等即四線為斷比例如甲乙丙丁四線為斷比例甲與乙若丙與丁而戊形係甲丁首
尾兩線矩內直角形己形係乙丙中兩線矩內直角形則戊己兩形必等反言之亦可
十七三直線為連比例即首尾兩線矩內直角形與中線上直角方形等首尾線矩內直角形與中線上直角方形等即三線為連比例如甲乙丙三線為連比例甲與乙若乙與丙而丁形係甲丙首尾兩
線矩內直角形戊形係乙上直角方形則丁戊兩形必等反言之亦可
十八直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等如甲乙線先設丙丁戊己庚形任從一角向各對角各作直線而分本形為若干角形如作己丙己丁分為丙丁己丁己戊丙己庚
三三角形次於甲乙上作甲壬乙角形與丙己丁等角次作乙壬辛與丁己戊等角又作甲壬癸與丙己庚等
角則甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚相
似而體勢等矣凡設多角形俱倣此
又法如設甲乙丙丁戊己形求於庚
線上作相似而體勢等形先引甲乙
至辛甲丑亦然次從甲向角各作直線為甲壬甲癸甲子次於甲乙線上截取甲辛與庚線等不論其在乙內外末作辛壬與乙丙平行作壬癸與丙丁平行作癸子與丁戊平行作子丑與戊己平行即所求
十九相似三角形之比例為其相似邊再加之比例如甲乙丙丁戊己兩角形等角乙與戊丙與己相當之角各等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己則兩形之比例為乙丙與戊己兩邊再加
之比例也
又凡三直線為連比例即第一線上角形與第二線上角形之比例若第一線與第三線之比例也
二十以三角形分相似之多邊直線形則分數必等而相當之各三角形各相似其各相當兩三角形之比例若兩元形之比例為兩相似邊再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邊直線形其乙甲戊庚己癸兩角等餘相當之各
角俱等而各等角旁各兩邊之比例各等則各以角形分之其分數必等如題所云
又甲線倍大於乙線則甲上方形與乙上方形為四倍大之比例
又凢三直線為連比例其線上多邊形一與二之比例若一與三
二十一兩直線形各與他直線形相似則自相似二十二四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直線形為斷比例則四直線為斷比例
二十三等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邊兩比例相結如甲丙丙己兩平行方形之乙丙丁戊丙庚兩角等則兩比例之前率在此形兩比
例之後率在彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戊相結也或以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結此乃不同理之比例也
二十四平行線方形之兩角線方形自相似亦與全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行而與對角
線交相遇於壬則戊庚己辛兩角線方形自相似亦與全形相似
二十五兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等如甲乙兩形先於甲形任取一邊如丙丁上作平行方形與甲等為丙戊次於丁戊邊上作平行方形與乙等而丙丁庚己戊辛
俱為直線也次作壬癸線為丙丁丁庚之中率次於壬癸上作子形與甲相似而與乙等
通曰似者形似也等者容等也體勢等者非容等也二十六平行方形之內減一平行方形其減形與元形相似而體勢等又一角同則減形必依元形之對角線如乙丁形內減戊庚形元形減形相似而體勢等又戊甲庚同角則戊庚形必依乙丁形之對
角線
二十七凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線上之闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕依形必大於此有闕依形如甲乙線平分於丙於半線丙乙上任作丙丁戊乙平行方形
對角線乙丁次作甲乙戊辛滿元線平行方形即甲丁為甲丙半線上之有闕依形丙戊為丙乙半線上之闕形此兩形相似相等體勢又等則甲乙線上凡作有闕依形不滿線者其闕形與丙戊相似而體勢等即甲丙半線上之甲丁有闕依形必大於此有闕依形
二十八一直線求作依線之有闕平行方形與所設直線形等而其闕形與所設平行方形相似其所設直線形不大於半線上所作平行方形與所設平行方形相似者如甲乙線平分於戊於戊乙半線上作戊己庚乙平行方形與丁相似而體勢
等次作甲辛庚乙滿元線平行方形若甲己平行方形與丙等者即得所求甲己依線之有闕平行方形也戊庚闕形也
二十九一直線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形等而其餘形與所設平行方形相似如甲乙線平分於戊於戊乙半線上作戊己庚乙平行方形與丁相似別作平行方形與丙及戊庚並相等為辛形又別作平行方形與辛
等又與丁相似為壬癸子丑形乃引己戊至卯與壬丑等引己庚至寅與壬癸等作夘寅平行方形與申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未與己卯平行得甲辰帶餘平行方形依甲乙線與丙等而酉午為其餘形與戊庚形相似即與丁相似也
三十有直線求作理分中末線如甲乙線上作甲丙直角方形次依丁甲邊作丁己帶餘平行方形與甲丙形等而甲己為其餘形又與甲丙形相似
則戊己線分甲乙於辛為理分中末線也謂甲乙與甲辛若甲辛與辛乙也
三十一三邊直角形之對直角邊上一形與直角旁邊上兩形若相似而體勢等則一形與兩形並等如甲乙丙三邊直角形乙甲丙為直角於乙丙
上任作直線形為丁於甲乙甲丙上亦作己戊兩形與丁相似而體勢等則丁形與戊乙兩形並必等
通曰此勾股半冪相併與半冪等也
三十二兩三角形此形之兩邊與彼形之兩邊相似而平置兩形成一外角若各相似之各兩邊各平行則其餘各一邊相聨為一直線如甲乙丙丁丙戊兩角形甲乙甲丙邊與丁丙丁戊邊相似則甲乙與甲丙之比例若丁丙與丁戊也試平置兩形令相切
成甲丙丁外角而甲乙與丁丙甲丙與丁戊各平行則乙丙丙戊必一直線
三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比例亦若所乗兩圜分之比例如兩圜等其心為丁為辛各任割一圜分為乙丙為己庚其乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界者為
乙甲丙己戊庚則乙丙與己庚兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角又乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙丙與己庚又乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分內乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分內己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚
又凡在圜心兩角之比例皆若兩分圜形
又在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗圜分與全圜界
増題
一圜與圜為其徑與徑再加之比例如甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己則甲乙丙與丁戊己為甲丙與丁己再加之比例
又全圜與全圜半圜與半圜相當分與相當分任相與為比例皆等蓋諸比例皆兩徑再加之比例故也又三邊直角形對直角邊為徑所作圜與餘兩邊為徑所作兩圜並等半圜與兩半圜並等圜分與相似兩圜分並等
又三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求各圜之相與為比例者
二直線形求減所命分其所減所存各作形與所設形相似而體勢等如甲形求減三分之一先作丙丁形與甲等與乙相似次任於一邊如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊為三分而取其庚戊
一分從庚作己庚為丙戊之垂線次作己丙己戊兩線次於己丙己戊上作己辛己壬兩形各與乙相似又若於大圜求減所設小圜以圜徑當形邊法如右又依此可作直角方形與初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一為乙壬丙戊初
月形先從乙丙作甲乙丙丁內切圜直角方形次用方形法四平分之即其一為所求方形
三兩直線形求別作一直線形為連比例如甲子兩形先作戊己庚直線形與甲等與子相似以相似兩形之各一邊如戊己乙丙為前率中率
線而求其連比例之末率線為辛壬於辛壬上作辛壬癸形與子丑兩形相似如求
四三直線形求別作一直線形為斷比例如甲丁辛三形先作戊形與甲等與丁相似次以三形之任各一邊如壬癸乙丙己庚求其斷比
例之末率線為寅卯於寅卯上作寅卯辰形與辛相似如求
五兩直線形求別作一形為連比例之中率如甲丁兩形先作戊己庚直線形與甲等與丁相似次求戊己乙丙兩線之中率為辛壬於辛壬上
作辛壬癸形與戊己乙丙上兩形相似即為戊己乙丙兩形之中率又法如後圖甲乙兩形先作丁丙戊己平行線形與甲等次作庚己辛壬平行線形與乙等與丁戊相似以所作兩形己角相聨令
丁己壬戊己庚俱成直線再引各邊成丙子辛癸平行線形即兩餘方形俱為丁戊庚壬兩形之中率
六一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例此與二題之法相同但多乙丙兩線之比例耳如先取戊己邊兩分之於庚令戊庚與庚己之比
例若乙與丙也餘用前法
七一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其兩分形兩相似邊之比例若所設兩幾何之比
例如甲形求分兩形俱與丁相似其
兩分形兩相似之邊又與乙與丙之
比例相若先以乙丙兩線求其連比例之末率為戊次作己庚辛形與甲等與丁相似次分己辛於壬令己壬與壬辛若乙與戊餘同二題之法
八兩直線形求並一直線形與所設形相似而體勢等如甲乙兩形先作戊丁己形與甲等作己庚辛形與乙等又各與所設丙相似次令兩形
相似之戊己己辛兩邊聨為直角次作戊辛線聨之於戊辛上作戊辛壬形與丙相似即與上兩形並等也又法作一平行方形與甲乙兩形並等又作戊辛壬角形與平行方形等又與丙相似即所求
九圜內兩合線交而相分其所分之線彼此互相視如圜內有甲丙乙丁兩合線交而相分於戊則所分之甲戊戊丙乙戊戊丁為互相視之線謂甲
戊與戊丁若乙戊與戊丙也又甲戊與乙戊若戊丁與戊丙也
通曰兩等線交亦等兩不等線交亦不等
十圜外任取一㸃從㸃出兩直線皆割圜至規內其兩全線與兩規外線彼此互相視若從㸃作一切圜線則必為各割圜全線與其規外線之各中率如任取戊㸃作戊丁戊丙兩割圜線則戊丙與戊丁若戊甲與戊乙又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也或有
戊己切圜線則戊丙偕戊乙矩內直角形與戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
十一兩直線相遇作角從兩腰之各一界互下垂線而每方為兩線一自界至相遇處一自界至垂線則各相對之兩線皆彼此互相視如甲乙丙乙兩線相遇於乙作甲乙丙角從甲作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為鈍角如甲丁丙戊兩垂線至甲乙丙乙之各引出線上而甲戊丙丁交而
相分於乙也若甲乙丙為銳角如甲丁丙戊兩垂線在甲乙丙乙之內交而相分於己也則兩圖之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相視者謂甲乙與乙丙若丁乙與乙戊又甲乙與丁乙若乙丙與乙戊也
十二平行線形內兩直線與兩邊平行相交而分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆等如甲丙平行線形內戊己庚辛兩線與甲丁丁丙各平行而交於壬則所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
任相與為比例皆等
十三凡四邊形之對角兩線交而相分其所分四三角形任相與為比例皆等如甲乙丙丁四邊形之甲丙乙丁兩對角線交相分於戊則所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆
等
十四三角形任於一邊任取一㸃從㸃求作一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾何之比例如甲乙丙角形任於一邊如乙丙上任取一㸃求丁上作線分本形為兩形其兩形之比例若所設戊與己也先兩分乙丙於庚令乙庚與庚丙之
比例若戊與己其庚與丁若同㸃即作丁甲線則乙丁甲與丁丙甲兩角形之比例若戊與己也假若庚㸃在丁丙之內亦作丁甲線從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若戊與己也又若庚㸃在乙丁之內亦作丁甲線從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛線分本形為兩形其比例若戊與己也
又凡角形任於一邊任取一㸃從㸃求減命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍數每少於命分之一如求減四分之一即作三倍大之比例減五分之一即作四倍大之比例也則全形與所減分之比例其倍數若命分之數也
十五一直線形求別作一直線形相似而體勢等其小大之比例如所設兩幾何之比例如甲形先以所設乙丙及任用甲之一邊如丁戊三線求其斷比例之末率為己次求丁戊及己之中率線為
庚辛乃於庚辛上作壬形與甲相似甲與壬之比例若乙與丙
用此法可依此直線形加作兩倍大三四五倍以至無窮之他形亦可減作二分之一三四五分之一以至無窮之他形其此形與他形皆相似而體勢等也如甲乙丙丁直角方形求別作五倍大之他形先以甲乙線引長之以甲乙為度截取五分至戊令乙至戊五倍大於甲乙也次以甲戊兩平
分於己次以己為心甲戊為界作甲庚戊半圜其乙丙線引之至圜界於庚即乙庚為所求方形之一邊也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大於甲丙
又凡甲乙上不論何等與乙庚上形相似而體勢等者其乙庚上形皆五倍大於甲乙上形相加相減俱倣此以至無窮
十六諸三角形求作內切直角方形如甲乙丙銳角形
先從甲角作甲丁為乙丙之垂線次
以甲丁線兩分於戊令甲戊與戊丁
之比例若甲丁與乙丙末從戊作己
庚線與乙丙平行從己從庚作己辛庚壬兩線皆與戊丁平行即得己壬形如所求若直角鈍角則從直角甲鈍角甲作垂線餘法同前
又若直角三邊形求依乙角作內切直角方形則以垂線甲乙兩分於丁令甲丁與丁乙之比
例若甲乙與乙丙次從丁作丁戊線與乙丙平行從戊作戊己線與甲乙平行即得丁己形如求
通曰西學莫精於象數象數莫精於幾何余初讀三過不解忽秉燭玩之竟夜而悟明日質諸穆師極𫎇許可凡制器尚象開物成務以前民用以利出入盡乎此矣故約而記之於此
數度衍附錄
<子部,天文算法類,算書之屬,句股引蒙>
欽定四庫全書 子部六
勾股引𫎇 天文算法類二〈算書之屬〉提要
〈臣〉等謹案勾股引𫎇五卷
國朝陳訏撰訏字言楊海寧人由貢生官淳安縣教諭是書成於康熈六十一年壬寅首載加減乗除之法雜引諸書如加法則從同文算指列位自左而右減法則從梅文鼎筆算列位自上而下易橫為直乗法則用程大位算法統宗鋪地錦法畫格為界除法則用梅文鼎籌算直書列位至定位則又用西人橫書之式葢兼採諸法故例不畫一至開帶縱平方但列較數而不列和數開帶縱立方但列帶一縱而不列帶兩縱相同及帶兩縱不同皆為未備所論勾股諸法謂勾股和自乗方與絃積相減所餘之積轉減積為股較不知以勾股和自乗積與倍積相減所餘為勾股較積不得為勾股較也又謂勾股相乗以勾股較除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾積股相乗矣則用此一勾股相乗之積而勾股和與勾股較除之皆得容方無是理也又謂勾股相乗之積為容方者四斜內為容方者兩不知勾股形內以為界止容一方試以勾三股四之容方積較尚不及勾股積四分之一而股愈長則容方愈小者更無論矣又謂勾股之長恆兩倍於容圓之周不知平圓積以半周除之而得半徑勾股相乗積以總和除而得半徑根既不同不得牽混為一也如斯之類亦多未協其三角法則全録梅文鼎平三角舉要畧加詮釋所用八線小表以餘線可以正正切正割三線加減得之故不備列其半徑止用十萬亦測量全義所載泰西之舊表無所發明然算法精㣲猝不易得其門徑此書由淺入深循途開示於初學亦不為無功觀其名以引𫎇宗㫖可見録存其説亦足為發軔之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上
總纂官〈臣〉紀昀〈臣〉陸錫熊〈臣〉孫士毅
總校官〈臣〉陸 費 墀
欽定四庫全書
句股引𫎇
海寜 陳訏 撰
凡例
六藝數居其一句股又九章之一古周髀積羃今三角八線皆句股法也但不得其門每多望洋是編如𫎇童初識之無漸至握管作文或析其數或明其理為入門之始故名勾股引𫎇
自籌算法行珠算可廢至専用筆算籌亦似可不用宣城梅定九先生有筆算一書備極諸用然其要不過加減乘除四字今止發其端餘不辭費葢全帙中皆加減乗除故也
籌算剙自逺西較珠算最為雅便但定位置○殊費推𫾣今有訣法有假如簡明易曉庶無悞用並列製籌之法用時即不必𢹂籌便楮可代
數學之有開方為勾股之所必需平方易立方難今不厭其詳務使開卷易明至𢃄縱方雖於勾股法不恆用然法尤㣲奧不可不知故併載焉
勾股為測量諸法之原變化神妙不外叅互一定之數今載唐荊川先生論李涼菴水部論為註釋數條足以括其變化有志之士亦在熟之而已
測量法西刻備有成書實與中法無異但文義簡奧是編顯淺明晰且先列中法後列西法知中法自有勾股以來未嘗禮失而求諸野但製器之巧當推西法耳
三率為西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附測量之末三角法之前一覽瞭然俾習者易如反掌
三角法即測量全義中所載測三角直線法至梅刻三角舉要尤明顯矣今備錄梅本而於取邊取線之所以然或附管見或補圖明之
三角八線必檢表得度雖弧三角〈即西法三角曲線〉與平三角㣲有不同未可據平三角遽為步厯之準然算三角若不得表將何印証但八線表未能備刻今附八線小表雖具體而微然與八線全表無異
元李欒城測圓海鏡明顧箬溪為之注釋宣城梅定九先生謂止容圓一術引而伸之遂如五花八門想昔時視為絶學今昌運作人算學設館肄習然
天府之書無從窺見即梅刻諸書亦購覓甚難是編不辭固陋視李顧二書似各法具備且由淺入深人易曉悉譬之江河濫觴之始可涓涓不已以至於海雲爾
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