古今律厯考 (四庫全書本)/卷69

古今律厯考　卷六十九

　　欽定四庫全書
　　古今律厯考卷六十九　　明　邢雲路　撰厯原三
　　厯原
　　求黃赤道弧矢勾股割圓差率度
　　周天徑一百二十一度七十五分少〈少不用〉
　　半徑六十○度八十七分半〈又黃赤道大又立勾股〉
　　黃赤道內外半弧背二十四度〈所測就整〉
　　黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒
　　黃赤道大勾二十三度八十分七十秒
　　黃赤道大股五十六度二分六十八秒〈又為立股〉
　　如問半弧背一度下黃赤道矢度若干
　　答曰八十二秒〈微以下不用〉
　　術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背冪
　　置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度六分二十五秒為徑冪〈又為上廉〉
　　置二冪相乘得一萬四千八百二十三度○六二五為正實
　　置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周徑一百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方
　　置半弧背一度倍之得二度以周徑乘之得二百四十三度五十分為下廉
　　初商八十秒
　　置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從方
　　置初商八十秒自之得六十四微以減下廉餘二百四十三度四九九九三六以八十秒乘之得一度九四七九九九四八八為從廉併從方共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八為下法除正實餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六〈置秒自之得微者葢八十秒自之原得六十四分以萬定分定萬秒為分筭得微也餘同〉
　　次商二秒
　　置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一分六十二秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一三三六一二五以減益從方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五為從方
　　置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒自之之數得一秒三十一微以減下亷二百四十三度五十分餘二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七八七七八為從亷併從方共得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下法除餘實又餘實二十五度四三八三〈不足一秒不用下同〉是求得矢度八十二秒即授時厯元所謂立天元一也
　　問黃道半弧背一度下赤道積度若干
　　答曰一度○八分六十五秒
　　術曰置半徑六十○度八十七分五十秒〈又為黃赤道大〉內減矢度八十二秒餘六十○度八六六八為黃赤道小
　　置黃赤道小以黃赤道大股五十六度○二分六十八秒乘之得三千四百一十○度一七二○三○二四以黃赤道大六十○度八七五而一得五十六度○一分九十二秒為黃赤道小股〈又為赤道小勾〉
　　置矢度八十二秒自之得六十七微以周天徑一百二十一度太而一得五十五纖為黃道半背差〈微以下不用下同〉
　　置黃道半弧背一度內減黃道半背差餘為黃道半弧〈今黃道半背差在微以下所以不減〉即為黃道半弧
　　置黃道半弧一度自之得一度為冪
　　置黃赤道小股五十六度○一分九二自之得三千一百三十八度一十五分○七六八六四為股冪
　　置二冪相併得三千一百三十九度一五○七六八六四以平方法開之得五十六度○二分八一為赤道小〈弧中以至黃道小勾股隅〉
　　置黃道半弧一度以黃赤道大乘之得六十○度八七五以赤道小五十六度○二八一而一得一度○八分六十五秒為赤道半弧
　　置黃赤道小股五十六度○一九二〈又為赤道橫小勾〉以乘黃赤道大六十○度八七五得三千四百一十○度一六八八以赤道小五十六度○二分八一而一得六十○度八十六分五十三秒為赤道橫大勾
　　置半徑六十○度八七五內減赤道橫大勾六十○度八六五三餘九十七秒為赤道橫弧矢
　　置赤道橫弧矢九十七秒自之得九十四微○九以周天徑而一得七十七纖為赤道背差
　　置赤道半弧一度○八分六十五秒內加赤道背差為赤道積度〈今赤道背差在微以下不加〉即為赤道積度是求得赤道積度一度○八分六十五秒
　　問半弧背二度下黃赤道矢度若干
　　答曰三分二十八秒
　　術曰置半弧背二度自之得四度為半弧背冪
　　置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六二五為徑冪〈又為上廉〉
　　置二冪相乘得五萬九千二百九十二度二五為正實置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周天徑一百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五為益從方
　　置半弧背倍之得四度以周天徑一百二十一度太乘之得四百八十七度為下廉
　　初商三分
　　置初商三分乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得四百四十四度六九一八七五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千二百六十三度一六七五為從方
　　置初商三分自之得九秒以減下廉四百八十七度餘四百八十六度九九九一以初商三分乘之得一十四度六○九九七三為從廉併從方共得一百八十○萬四千二百七十七度七十七分七四七三為下法除正實餘實五千一百六十三度九一六六七五八一
　　次商二十秒
　　置初商三分倍之加次商二十秒得六分二十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得九百一十九度○二九八七五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬三千七百八十八度八十二分九十五秒為從方
　　置初次商三分二十秒自之得一十○秒二四加初商三分自之之數得一十九秒二四以減下廉四百八十七度餘四百八十六度九九八○七六以前所得六分二十秒乘之得三十○度一九三八八○七一二為從廉併從方共得一百八十○萬三千八百一十九度○二三三八○七一二為下法除餘實又餘實一千五百五十六度二七八六二九○五
　　又商八秒
　　置初次商三分二十秒倍之得六分四十秒加三商八秒共得六分四十八秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得九百六十○度五三四四五以減益從方餘一百八十○萬三千七百四十七度三二四九二五為從方
　　置初次三商三分二十八秒自之得一十○秒七五八四加初次商三分二十秒自之得一十○秒二四內共得二十○秒九九八四以減下廉四百八十七度餘四百八十六度九九七九○○一六以六分四十八秒乘之得三十一度五五七四六三九三為從廉併從方得一百八十○萬三千七百七十八度八八二三八八九三為下法除餘實又餘實一百一十三度二五五五
　　是求得矢度三分二十八秒
　　問半弧背二度下赤道積度若干
　　答曰二度一十七分二十八秒
　　術曰置半徑六十○度八七五〈又為黃赤道大〉內減矢度三分二十八秒餘六十○度八十四分二十二秒為黃赤道小
　　置黃赤道小以黃赤道大股五十六度○二分六八乘之得三千四百○八度七九三七七○九六以黃赤道大而一得五十五度九九六六一二為黃赤道小股〈又為赤道小勾〉
　　置矢度三分二十八秒自之得一十○秒七五八四以周天徑一百二十一度太而一得八微八為黃道半背差
　　置黃道半背二度內減黃道半背差餘為黃道半弧〈今黃道半背差在微以下不減〉即為黃道半弧
　　置黃道半弧二度自之得四度為冪
　　置黃赤道小股五十五度九九六六一二自之得三千一百三十五度六二○五五五四七為股冪
　　置二冪相併得三千一百三十九度六二○五五五四七以平方法開之得五十六度○三二三一六為赤道小〈弧中以至黃道小勾股隅〉
　　置黃道半弧二度以黃赤道大乘之得一百二十一度七五以赤道小五十六度○三二三一六而一得二度一十七分二十八秒為赤道半弧
　　置黃赤道小股五十五度九九六六一二〈又為赤道橫小勾〉以乘黃赤道大六十○度八七五得三千四百○八度七九三七五五五以赤道小五十六度○三二三一六而一得六十○度八三六二為赤道橫大勾
　　置半徑六十○度八七五內減赤道橫大勾六十○度八三六二餘三分八十八秒為赤道橫弧矢
　　置赤道橫弧矢自之得一十五秒○四六六四以周天徑而一得一十二微為赤道背差
　　置赤道半弧二度一十七分二十八秒內加赤道背差為赤道積度〈今赤道背差在微以下不加〉即為赤道積度是求得赤道積度二度一十七分二十八秒
　　置一度下積度一度○八分六十五秒與二度下積度二度一十七分二十八秒相減餘一度○八分六十三秒為黃道一度下赤道度率後皆倣此
　　置一度下矢度八十二秒與二度下矢度三分二十八秒相減餘二分四十六秒為黃道一度下差率後皆倣此
　　問半弧背二十四度下黃赤道矢度若干
　　答曰四度八十四分八十二秒
　　術曰置半弧背二十四度自之得五百七十六度為半弧冪
　　置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六二五為徑冪〈又為上廉〉
　　置二冪相乘得八百五十三萬八千○百八十四度為正實
　　置徑冪以周天徑乘之得一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五為益從方
　　置半弧背倍之得四十八度乘周徑一百二十一度太得五千八百四十四度為下廉
　　初商四度
　　置初商四度乘上廉得五萬九千二百九十二度二十五分以減益從方餘一百七十四萬五千四百一十五度六○九三七五為從方
　　置初商四度自之得一十六度以減下廉餘五千八百二十八度以四度乘之得二萬三千三百一十二度為從廉併從方共得一百七十六萬八千七百二十七度六○九三七五為下法除正實餘實一百四十六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒次商八十分
　　置初商四度倍之得八度加次商八十分共得八度八十分乘上廉得一十三萬○四百四十二度九五以減益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九○九三七五為從方
　　置初次商四度八十分自之得二十三度○四加初商四度自之之數得三十九度○四以減下廉餘五千八百○四度九六以乘八度八十分得五萬一千○八十三度六四八為從廉併從方共得一百七十二萬五千三百四十八度五五七三七五為下法除餘實又餘實八萬二千八百九十四度七一六六又商四分
　　置初次商四度八十分倍之加又商四分得九度六四乘上廉得一十四萬二千八百九十四度三二二五減益從方餘一百六十六萬一千八百一十三度五三六八七五為從方
　　置初次三商四度八十四分自之得二十三度四二五六加初次商自之之數共得四十六度四六五六以減下廉餘五千七百九十七度五三四四以乘九度六十四分得五萬五千八百八十八度二三一六一六為從廉併從方共得一百七十一萬七千七百○一度七六八四九一為下法除餘實又餘實一萬四千一百八十六度六四五八六○三六
　　又商八十秒
　　置初次三商四度八十四分倍之加又商八十秒共得九度六十八分八十秒乘上廉得一十四萬三千六百○五度八二九五以減益從方餘一百六十六萬一千一百○二度○二九八七五為從方
　　置初次三四商四度八十四分八十秒自之得二十三度五○三一○四加初次三商自之之數共得四十六度九二八七○四以減下廉餘五千七百九十七度○七一二九六以乘九度六八八得五萬六千一百六十二度○二六七一五六四八為從廉併從方共得一百七十一萬七千二百六十四度○五六五九○六四八為下法除餘實又餘實四百四十八度五三三四○七六三四八一六
　　又商二秒
　　置初次三四商四度八四八倍之加又商二秒共得九度六十九分六二以乘上廉得一十四萬三千七百二十七度三七八六一二五以減益從方餘一百六十六萬○九百八十○度四八○七六二五為從方
　　置初次三四五商得四度八四八二自之得二十三度五○五○四三二四加初次三四商自之之數共得四十七度○○八一四七二四以減下廉餘五千七百九十六度九九一八五二七六以乘九度六九六二得五萬六千二百○八度七九二四○二七三一五一二為從廉併從方共得一百七十一萬七千一百八十九度二七三一六五二三一五一二為下法除餘實又餘實一百○五度○九五五五三
　　是求得矢度四度八十四分八十二秒
　　問半弧背二十四度下赤道積度若干
　　答曰二十五度七十七分五十二秒
　　術曰置周天半徑內減矢四度八四八二餘五十六度○二六八為黃赤道小〈即黃赤道大股〉
　　置黃赤道小與黃赤道大股相乘〈今同即自之〉得三千一百三十九度○○二三一八以半徑而一得五十一度五六四七為黃赤道小股
　　置矢度四度八四八二自之得二十三度五○五以周天徑而一得一十九分三為黃赤道背差在半弧背二十四度內減之餘二十三度八○七為黃道半弧〈又為黃赤道大勾〉自之得五百六十六度七七三二四九為冪
　　置黃赤道小股自之得二千六百五十八度九一八二八六○九為股冪併冪共得三千二百二十五度六九一五三五○九以平方法開之得五十六度七十九分五十一秒為赤道小〈弧中以至黃道小勾股隅〉
　　置黃道半弧以半徑乘之得一千四百四十九度二五一一二五以赤道小而一得二十五度五一七一為赤道半弧
　　置黃赤道小股五十一度五六四七以乘半徑得三千一百三十九度以赤道小而一得五十五度二六八八為赤道橫大勾在半徑內減之餘五度六○六二為赤道橫弧矢自之得三十一度四二九四七八四四以周天徑而一得二十五分八十一秒為赤道背差加入赤道半弧內共得二十五度七十七分五十二秒為赤道積度
　　是求得赤道積度二十五度七十七分五十二秒
　　問半弧背四十四度下矢度若干
　　答曰一十六度五十六分八十二秒
　　術曰置周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六二五為徑冪〈又為上廉〉
　　置半背四十四度自之得一千九百三十六度為半弧背冪以乘徑冪得二千八百六十九萬七千四百四十九度為正實
　　置徑冪以乘周天徑得一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五為益從方
　　置半弧背倍之得八十八度以乘周徑得一萬○七百一十四度為下廉
　　初商一十度
　　置初商乘上廉以減益從方餘一百六十五萬六千四百七十七度二三四三七五為從方
　　置初商自之得一百度以減下廉餘一萬○六百一十四度以初商一十度乘之得一十○萬六千一百四十度為從廉併從方共得一百七十六萬二千六百一十七度二三四三七五為下法除正實餘實一千一百○七萬一千二百七十六度六五六二五次商六度
　　置初商倍之得二十度加次商六度共得二十六度以乘上廉得三十八萬五千三百九十九度六二五以減益從方餘一百四十一萬九千三百○八度二三四三七五為從方
　　置初次商得一十六度自之得二百五十六度加初商自之之數共得三百五十六度以減下廉餘一萬○三百五十八度以乘二十六度得二十六萬九千三百○八度為從廉併從方共得一百六十八萬八千六百一十六度二三四三七五為下法除餘實又餘實九十三萬九千五百七十九度二五
　　又商五十分
　　置初次商倍之加三商五十分共得三十二度五乘上廉得四十八萬一千七百四十九度五三一二五以減益從方餘一百三十二萬二千九百五十八度三二八一二五為從方
　　置初次三商得一十六度五自之得二百七十二度二五加初次商自之之數共得五百二十八度二五以減下廉餘一萬○一百八十五度七五以乘三十二度五得三十三萬一千○三十六度八七五為從廉併從方共得一百六十五萬三千九百九十五度二○三一二五為下法除餘實又餘實一十一萬二千五百八十一度六四八四三七五
　　又商六分
　　置初次三商倍之加又商六分共得三十三度○六乘上廉得四十九萬○○五○四四六二五以減益從方餘一百三十一萬四千六百五十七度四一三一二五為從方
　　置初次三四商得一十六度五六自之得二百七十四度二三三六加初次三商得一十六度五自之之數共得五百四十六度四八三六以減下廉餘一萬○一百六十七度五一六四以乘三十三度○六得三十三萬六千一百三十八度○九二一八四為從廉併從方共得一百六十五萬○七百九十五度五○五三○九為下法除餘實又餘實一萬三千五百三十三度九一八一一八九六
　　又商八十秒
　　置初次三四商得一十六度五六倍之加又商八十秒共得三十三度一二八乘上廉得四十九萬一千○五十八度四一四五以減益從方餘一百三十一萬三千六百四十九度四四四八七五為從方
　　置初次三四五商得一十六度五六八自之得二百七十四度四九八六二四加初次三四商得一十六度五六自之之數共得五百四十八度七三二二二四以減下廉餘一萬○一百六十五度二六七七七六以乘三十三度一二八得三十三萬六千七百五十四度九九○八八三三二八為從廉併從方共得一百六十五萬○四百○四度四三五七五八三二八為下法除餘實又餘實三百三十○度六八二六三二八九三三七六
　　又商二秒
　　置初次三四五商倍之加又商二秒共得三十三度一三六二乘上廉得四十九萬一千一百七十九度九六三六一二五以減益從方餘一百三十一萬三千五百二十七度八九五七六二五為從方
　　置初次三四五六商得一十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四加初次三四五商得一十六度五六八自之之數共得五百四十九度○○三八七五二四以減下廉餘一萬○一百六十四度九九六一二四七六以乘三十三度一三六二得三十三萬六千八百二十九度二四四五八九二六為從廉併從方共得一百六十五萬○三百五十七度二四○三五一七六為下法除餘實又餘實六十一分
　　是求得矢度一十六度五十六分八十二秒
　　問半弧背四十四度下赤道積度若干
　　答曰四十六度三十分八十五秒
　　術曰置周天半徑內減矢度一十六度五六八二餘四十四度三○六八為黃赤道小
　　置黃赤道小以乘黃赤道大股得二千四百八十二度三六八二二二二四以黃赤道大而一得四十○度七七八一為黃赤道小股
　　置矢度一十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四以圓徑而一得二度二五四六為黃赤道背差以減半弧背四十四度餘四十一度七四五四為黃道半弧〈又為赤道小股〉自之得一千七百四十二度六七八四二一一六為冪
　　置黃赤道小股四十○度七七八一自之得一千六百六十二度八五三四三九六一為股冪併冪共得三千四百○五度五三一八六○七七以平方法開之得五十八度三五六九為赤道小〈弧中以至黃道小勾股隅〉
　　置黃道半弧四十一度七四五四以乘半徑得二千五百四十一度二五一二二五以赤道小而一得四十三度五十四分六十七秒為赤道半弧
　　置黃赤道小股四十○度七七八一〈又為赤道小勾〉乘半徑得二千四百八十二度三六六八三七五以赤道小而一得四十二度五十三分七六為赤道橫大勾以減半徑餘一十八度三三七四為赤道弧矢自之得三百三十六度二六○二三八七六以圓徑而一得二度七六一八為赤道背差加入赤道半弧內共得四十六度三○八五為赤道積度
　　是求得赤道積度四十六度三○八五
　　以新法密率推
　　周天徑一百一十六度八十四分五十秒〈就整〉
　　黃道內外半弧背二十四度〈所測就整〉
　　黃赤道大五十八度四十二分二十五秒〈即半徑又名勾股〉黃赤道弧矢五度○五分八十秒
　　黃赤道大句二十三度七十七分八十五秒〈即半弧〉黃赤道大股五十三度三十六分四十五秒〈以矢減大得〉問黃赤道內外二十四度為半弧背為矢若干
　　答曰五度○五分八十秒
　　術曰置半弧背自之得五百七十六度為半弧冪置周天徑一百一十六度八十四分五十秒自之得一萬三千六百五十二度七五四○二五為徑冪〈又為上廉〉
　　置徑冪以半背弧冪乘之得七百八十六萬三千九百八十六度三一八四為正實
　　置徑冪以周天徑乘之得一百五十九萬五千二百五十六度○四四○五一一二五為益從方
　　置周天徑以倍半弧背得四十八度為全弧背乘之得五千六百八十八度五六為下廉
　　置初商五度以因上廉得六萬八千二百六十三度七七○一二五以減益從方餘一百五十二萬六千九百九十二度二七三九二六一二五為從方
　　置初商五度自之得二十五度以減下廉餘五千六百六十三度五六以初商五度因之得二萬八千三百一十七度八為從廉併從方共得一百五十五萬五千三百一十○度○七三九二一二五為下法以除正實得五度餘實八萬七千四百三十五度九四八七六八九三七五
　　置初商五度倍之得十度加次商五分共得一十○度○五分以乘上廉得一十三萬七千二百一十○度一七七七八六五以減益從方餘一百四十四萬八千○四十五度八六六二六四六二五為從方
　　置初次商五度○五分自之得二十五度五○二五以加初商自之之數二十五度共得五十○度五○二五以減下廉餘五千六百三十八度○五七五以倍初商加次商一十○度○五分乘之得五萬六千六百六十二度四七七八七五為從廉以併從方得一百五十○萬四千七百○八度三四四一九六二五為下法以除餘實得五分餘次餘實一萬二千二百○○度五三一五六一九五六二五
　　置初次商倍之得一十○度一十○分再加再商八十秒共得一十○度一十○分八十秒以乘上廉得一十三萬八千七百二十二度○三七六八四七以減益從方餘一百四十五萬六千五百三十四度○○六三六六四二五為從方
　　置初次再三商五度○五八自之得二十五度五八三三六六四再加初次商自之之數二十五度五○二五共得五十一度○八五八六四以減下廉餘五千六百三十七度四七一三六以初次商倍之再加再商之數共一十○度一十○分八十秒乘之得五萬六千九百八十三度五八八七九四○四為從廉以併從方共得一百五十一萬三千五百一十七度五九五六○四六五以除次餘實得八十秒餘再次餘實九十七度一七四八五八二七五三
　　置黃赤道大股自之得二千八百四十七度七六九八六○二五為股冪
　　置黃赤道大自之得三千四百一十三度一八八五○二五為冪
　　置二冪相減餘五百六十五度四一八六四六以平方法開之得二十三度七十七分八十五秒為大句〈又為立句〉
　　右二法前乃授時舊法後乃新推密率且如黃鍾之率推者非一古率圍三徑一魏劉徽以一百五十七之五十為密率宋祖沖之以二十二之七為密率皆未善也須以圓取實量圓中求徑乃得真率圓徑相取皆三一二六為率虛實積取率皆十三為準以此步筭周天三百六十五度二十五分七十五秒得周天徑一百一十六度八十四分五十秒弱較授時所用圍三徑一之古法差四度九十分有奇徑差則矢句股皆差矣雖曰圍三徑一與新推密率以步割圓分至於碎數亦相符然圍三徑一非正法也須密率所求方為正法









　　古今律厯考卷六十九